Модуль занятий по теме «Многогранники»

Филиал боу СПО «ЧЕБОКСАРСКИЙ МЕДИЦИНСКИЙ КОЛЛЕДЖ» минздравсоцразвития чувашии Г. КАНАШ чувашской республики

«Утверждаю»

зав учебной части

Филиал

БОУ СПО «ЧМК»

г. Канаш

_______Фадеева Т.Э

«____» ________2014 г.

Методическая разработка

Модуля занятия по дисциплине ОДБ.06 Математика

«Многогранники»

Для специальности:

060501 «Сестринское дело»

Разработала преподаватель

математики и физики

Cеменова А.М

Рассмотрена

на заседании ЦМК ОГСЭ

дисциплин

протокол №____

«____» _______2014 г

Председатель ЦМК

_________ Романова Л.В

Канаш 2014 г.

Пояснительная записка

Методическая разработка модуля занятия по дисциплине «Математика» на тему «Многогранники» составлена на основе Рабочей программы по математике и календарно-тематического плана. Темы занятия взаимосвязаны содержанием, основными положениями.

Программный материал данного занятия базируется на знаниях математики. Рассматриваются вопросы:

- Двугранный угол. Трехгранный угол. Многогранные углы.

- Многогранники. Призма.

- Параллелепипед. Куб. Пирамида. Правильные многогранники.

Методическая разработка модуля занятия составлена для проведения теоретических занятий по теме: «Двугранный угол. Многогранные углы. Многогранники. Призма» - 2 часа, «Параллелепипед. Куб. Пирамида. Правильные многогранники» - 2 часа, по математике для студентов 1 года обучения.

Аннотация

Методическая разработка модуля занятия включает программный теоретический материал раздела «Многогранники», материал для изучения основные понятия в стереометрии: двугранный угол, трехгранные углы, многогранные углы, многогранники, призма, параллелипипед, куб, пирамида, правильные многогранники студентами и оценка их знаний, вопросы и упражнения для закрепления теоретического занятия.

Методическая разработка модуля занятия по теме «Многогранники» рекомендуется к использованию преподавателям математики и студентам 1 года обучения.

Филиал БОУ СПО «Чебоксарский медицинский колледж» в г. Канаш

План теоретического занятия.

Специальность: 060501 Дисциплина ОДБ. 06 Математика

Тема: «Двугранный угол. Многогранные углы. Многогранники. Призма»

Тип занятия: Урок усвоения навыков и умений, комбинированное занятие - с элементами беседы и выполнением упражнений.

Цели занятия:

Образовательные - формирование знаний в усвоении понятия в изучении: Двугранный угол. Многогранные углы. Многогранники. Призма. Продолжить систематическое изучение многогранников в ходе решения задач на вычисления их.

Развивающие - развитие мыслительных операций посредством конкретизации, развитие зрительной памяти, потребности к самообразованию, способствовать развитию познавательных процессов.

Воспитательные - воспитание познавательной активности, чувства ответственности, уважения друг к другу, взаимопонимания, уверенности в себе; воспитание культуры общения. Воспитывать сознательное отношение к учебе и заинтересованность

Средства обучения:

- Методическая разработка по теме.

- Электронная презентация по теме.

- Персональный компьютер, медиапроектор.

Внутрипредметные связи: Двугранный угол, многогранники, синус, косинус и тангенс числа.

Межпредметные связи: геометрия, алгебра.

Студент должен знать:

- Определение двугранного угла, трехганного и мнгогранного угла, определение призмы.

Студент должен уметь:

- решать задачи на нахождения высоты, двугранного угла при основании, ребра мнгогранников.

План занятия

1.Организационный момент - 2 мин.

2.Вводная мотивация: постановка целей, изложение плана урока - 3 мин.

3.Проверка домашнего задания - 10 мин.

4.Изучение нового материала - 35 мин.

Основной материал, с использованием электронной презентацией по теме: «Мнгогранники»

5.Закрепление материала: Решение задач № 1-2, 17,18,20 на стр 66-67. - 35 мин.

6.Подведение итогов - 3 мин.

7. Домашнее задание - 2 мин. § 5(20) Упражнение № 19,33,38.

Ход урока:

1. Организационный момент .

2. Вводная мотивация: постановка целей, изложение плана урока.

3. Проверка домашнего задания: Письменно на доске решить № 69 § 19.

4. Изучение нового материала:

Двугранный угол.
Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей ограничивающей их прямой (рис. 398). Полуплоскости называются гранями, а ограничивающая их прямая - ребром двугранного угла.

Плоскость, перпендикулярная ребру двугранного угла, пересекает его грани по двум полупрямым. Угол, образованный этими полупрямыми, называется линейным углом двугранного угла.

За меру двугранного угла принимается мера соответствующего ему линейного угла. Все линейные углы двугранного угла совмещаются параллельным переносом, а значит, равны. Поэтому мера двугранного угла не зависит от выбора линейного угла.

Задача (1). Из точек А и В, лежащих в гранях двугранного угла, опущены перпендикуляры АА₁ и ВВ₁ на ребро угла. Найдите длину отрезка АВ, если АА₁=а, ВВ₁=b, A₁B₁=c и двугранный угол равен (рис. 399).

Решение. Проведем прямые А₁СllВВ₁ и ВСllА₁В₁. Четырехугольник A₁B₁ВС - параллелограмм, значит А₁С = ВВ₁ = b. Прямая A₁B₁ перпендикулярна плоскости треугольника АА₁С₁ так как она перпендикулярна двум прямым в этой плоскости АА₁ и СА₁.

Следовательно, параллельная ей прямая ВС тоже перпендикулярна этой плоскости. Значит, треугольник ABC - прямоугольный с прямым углом С. По теореме косинусов

Трехгранный и многогранный угол
Рассмотрим три луча a, b, с, исходящие из одной точки и не лежащие в одной плоскости. Трехгранным углом (аbс) называется фигура, составленная из трех плоских углов (аb), (bс) и (aс) (рис. 400). Эти углы называются гранями трехгранного угла, а их стороны - ребрами . Общая вершина плоских углов называется вершиной трехгранного угла. Двугранные углы, образованные гранями трехгранного угла, называются двугранными углами трехгранного угла.

Аналогично определяется понятие многогранного угла (рис. 401).

Задача (2). У трехгранного угла (аЬс) двугранный угол при ребре с прямой, двугранный угол при ребре Ь равен , а плоский угол (bс) равен Найдите два других плоских угла: =(аb), =(ac).

Решение. Опустим из произвольной точки А ребра a перпендикуляр АВ на ребро b и перпендикуляр АС на ребро с (рис. 402). По теореме о трех перпендикулярах СВ - перпендикуляр к ребру b.

Из прямоугольных треугольников: ОАВ, ОСВ, АОС и ABC получаем:

- позволяют, зная два угла, найти два других.

Многогранник
В стереометрии изучаются фигуры в пространстве, называемые телами. Наглядно (геометрическое) тело надо представлять себе как часть пространства, занятую физическим телом и ограниченную поверхностью.

(рис. 403). Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону плоскости каждого плоского многоугольника на его поверхности. Общая часть такой плоскости и поверхности выпуклого многогранника называется гранью. Грани выпуклого многогранника являются плоскими выпуклыми многоугольниками. Стороны граней называются ребрами многогранника, а вершины - вершинами многогранника.

Поясним сказанное на примере знакомого вам куба (рис. 404). Куб есть выпуклый многогранник. Его поверхность состоит из шести квадратов: ABCD, BEFC, .... Они являются его гранями. Ребрами куба являются стороны этих квадратов: АВ, ВС, BE,.... Вершинами куба являются вершины квадратов: А, В, С, D, Е, ....У куба шесть граней, двенадцать ребер и восемь вершин.

Простейшим многогранникам - призмам и пирамидам, которые будут основным объектом нашего изучения,- мы дадим такие определения, которые, по существу, не используют понятие тела. Они будут определены как геометрические фигуры с указанием всех принадлежащих им точек пространства. Понятие геометрического тела и его поверхности в общем случае будет дано позже.

Прямая призма
Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны основаниям. В противном случае призма называется наклонной.

У прямой призмы боковые грани являются прямоугольниками. При изображении прямой призмы на рисунке боковые ребра обычно проводят вертикально (рис. 410).

Прямая призма называется правильной, если ее основания являются правильными многоугольниками.

Боковой поверхностью призмы (точнее, площадью боковой поверхности) называется сумма площадей боковых граней. Полная поверхность призмы равна сумме боковой поверхности и площадей оснований.

Теорема 19.1. Боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы, т. е. на длину бокового ребра.

Доказательство. Боковые грани прямой призмы - прямоугольники. Основания этих прямоугольников являются сторонами многоугольника, лежащего в основании призмы, а высоты равны длине боковых ребер. Отсюда следует, что боковая поверхность призмы равна

S = a₁l + a₂l + ... + a_nl = pl,

где a₁,а_n - длины ребер основания, р - периметр основания призмы, а I - длина боковых ребер. Теорема доказана.

Задача (22). В наклонной призме проведено сечение, перпендикулярное боковым ребрам и пересекающее все боковые ребра. Найдите боковую поверхность призмы, если периметр сечения равен р, а боковые ребра равны l.

Решение. Плоскость проведенного сечения разбивает призму на две части (рис. 411). Подвергнем одну из них параллельному переносу, совмещающему основания призмы. При этом получим прямую призму, у которой основанием служит сечение исходной призмы, а боковые ребра равны l. Эта призма имеет ту же боковую поверхность, что и исходная. Таким образом, боковая поверхность исходной призмы равна рl.

5.Закрепление материала: Решение задач № 1-2, 17,18,20 на стр 66-67.

6.Подведение итогов.

7. Домашнее задание. § 5(20) Упражнение № 19,33,38..

Филиал БОУ СПО «Чебоксарский медицинский колледж» в г. Канаш

План теоретического занятия.

Специальность: 060501 Дисциплина ОДБ. 06 Математика

Тема: «Параллелепипед. Куб. Пирамида. Правильные многогранники»

Тип занятия: Урок усвоения навыков и умений, комбинированное занятие - с элементами беседы и выполнением упражнений.

Цели занятия:

Образовательные - формирование знаний в усвоении понятия в изучении: Параллелепипед. Куб. Пирамида. Правильные многогранники. Продолжить систематическое изучение многогранников в ходе решения задач.

Развивающие - развитие мыслительных операций посредством конкретизации, развитие зрительной памяти, потребности к самообразованию, способствовать развитию познавательных процессов.

Воспитательные - воспитание познавательной активности, чувства ответственности, уважения друг к другу, взаимопонимания, уверенности в себе; воспитание культуры общения. Воспитывать сознательное отношение к учебе и заинтересованность

Средства обучения:

- Методическая разработка по теме.

- Электронная презентация по теме.

- Персональный компьютер, медиапроектор.

Внутрипредметные связи: Параллелепипед. Куб. Пирамида. Правильные многогранники.

Межпредметные связи: геометрия, алгебра.

Студент должен знать:

- Определение параллелепипеда, куба, пирамиды, правильных многогранников.

Студент должен уметь:

- решать задачи на нахождения высоты, двугранного угла при основании, ребра мнгогранников.

План занятия

1.Организационный момент - 2 мин.

2.Вводная мотивация: постановка целей, изложение плана урока - 3 мин.

3.Проверка домашнего задания - 10 мин.

4.Изучение нового материала - 45 мин.

Основной материал, с использованием электронной презентацией по теме: «Мнгогранники»

5.Закрепление материала: Решение задач № 42,46 ,47 на стр 68-70. - 25 мин.

6.Подведение итогов - 3 мин.

7. Домашнее задание - 2 мин. § 5(20) Упражнение № 48,49.

Ход урока:

1. Организационный момент.

2. Вводная мотивация: постановка целей, изложение плана урока.

3. Проверка домашнего задания: Письменно на доске решить № 19.

Вопросы для устного опроса:

1)Что называется двугранным углом? Линейный угол двугранного угла?

2) Что нвзывается трехгранным и многогранным углами? Линейный угол трехгранного угла?

3) Что называется многогранником? Какие многогранники вы знаете?

4)Дайте определение призмы. Какая призма называется прямой, какая - наклонной?

4. Изучение нового материала:

Параллелепипед

Если основание призмы есть параллелограмм, то она называется параллелепипедом. У параллелепипеда все грани - параллелограммы.

На рисунке 412, а изображен наклонный параллелепипед, а на рисунке 412, б - прямой параллелепипед.

Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими.

Теорема 19.2. У параллелепипеда противолежащие грани параллельны и равны.

Доказательство. Рассмотрим какие-нибудь две противолежащие грани параллелепипеда, например A₁A₂A'₂A'₁ и A₃A₄A'₄A'₃ (рис. 413). Так как все грани параллелепипеда - параллелограммы, то прямая A₁A₂ параллельна прямой A₃A₄, а прямая A₁A'₁ параллельна прямой A₄A'₄. Отсюда следует, что плоскости рассматриваемых граней параллельны.

Из того, что грани параллелепипеда - параллелограммы, следует, что отрезки A₁A₄, A'₁A'₄, A'₂A'₃ и A₂A₃ - параллельны и равны. Отсюда заключаем, что грань A₁A₂A'₂A'₁ совмещается параллельным переносом вдоль ребра A₁A₄ с гранью A₃A₄A'₄A'₃. Значит, эти грани равны.

Аналогично доказывается. параллельность и равенство любых других противолежащих граней параллелепипеда. Теорема доказана.

Симметрия прямоугольного параллелепипеда

У прямоугольного параллелепипеда, как у всякого параллелепипеда, есть центр симметрии - точка пересечения его диагоналей. У него есть также три плоскости симметрии, проходящие через центр симметрии параллельно граням. На рисунке 416 показана одна из таких плоскостей. Она проходит через середины четырех параллельных ребер параллелепипеда. Концы ребер являются симметричными точками.

Если у параллелепипеда все линейные размеры разные, то у него нет других плоскостей симметрии, кроме названных.

Если же у параллелепипеда два линейных размера равны, то у него есть еще две плоскости симметрии. Это плоскости диагональных сечений, показанные на рисунке 417.





Если у параллелепипеда все линейные размеры равны, т. е. он является кубом, то у него плоскость любого диагонального сечения является плоскостью симметрии. Таким образом, у куба девять плоскостей симметрии.

Прямоугольный параллелепипед.

Прямой параллелепипед, у которого основанием является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом. У прямоугольного параллелепипеда все грани - прямоугольники.

Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом.

Длины непараллельных ребер прямоугольного параллелепипеда называются его линейными размерами (измерениями). У прямоугольного параллелепипеда три измерения.

Теорема 19.4. В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трех его измерений.

Доказательство. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA'B'C'D' (рис. 415). Из прямоугольного треугольника АСС по теореме Пифагора получаем:

Из прямоугольного треугольника АСВ по теореме Пифагора получаем АС²=АВ²+ ВС². Отсюда

Ребра АВ, ВС и СС не параллельны, а следовательно, их длины являются линейными размерами параллелепипеда . Теорема доказана.

Пирамида
Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника - основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания,- вершины пирамиды и всех отрезков, соединяюпдах вершину пирамиды с точками основания (рис. 418).

Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми ребрами.

Поверхность пирамиды состоит из основания и боковых граней. Каждая боковая грань - треугольник. Одной из его вершин является вершина пирамиды, а противолежащей стороной - сторона основания пирамиды.

Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

Пирамида называется n-угольной, если ее основанием является n-угольник. Треугольная пирамида называется также тетраэдром.

У пирамиды, изображенной на рисунке 418, основание - многоугольник А₁А₂...А_n, вершина пирамиды - S, боковые ребра - SА₁, SА₂,SА_n, боковые грани -SА₁А₂ SA₂A₃,... . В дальнейшем мы будем рассматривать только пирамиды с выпуклым многоугольником в основании. Такие пирамиды являются выпуклыми многогранниками.

Правильные многогранники
Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.

Существует пять типов правильных выпуклых многогранников (рис. 425): правильный тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.

У правильного тетраэдра грани - правильные треугольники; в каждой вершине сходится по три ребра. Тетраэдр представляет собой треугольную пирамиду, у которой все ребрй равны.

У куба все грани - квадраты; в каждой вершине сходится по три ребра.



Куб представляет собой прямоугольный параллелепипед с равными ребрами.

У октаэдра грани - правильные треугольники, но в отличие от тетраэдра в каждой его вершине сходится по четыре ребра.

У додекаэдра грани - правильные пятиугольники. В каждой вершине сходится по три ребра.

У икосаэдра грани - правильные треугольники, но в отличие от тетраэдра и октаэдра в каждой вершине сходится по пять ребер.

Задача (81). Найдите двугранные углы правильного тетраэдра.

Решение. Проведем из вершины S тетраэдра высоты SA, SB, SC его граней, сходящихся в этой вершине, и высоту SO тетраэдра (рис. 426). Если ребро тетраэдра обозначить через a, то высоты граней будут равны

Из равенства высот SA, SB, SC следует равенство отрезков OA, ОВ, ОС. А они перпендикулярны сторонам треугольника в основании тетраэдра (по теореме о трех перпендикулярах). Отсюда следует, что точка О является центром окружности, вписанной в основание тетраэдра. Следовательно, отрезки OA, ОВ и ОС равны Обозначим через двугранный угол при ребре, содержащем точку А. Тогда

Очевидно, двугранные углы при остальных ребрах тетраэдра такие же по величине.

5.Закрепление материала: Решение задач № 42,46 ,47 на стр 68-70.

6.Подведение итогов.

7. Домашнее задание: § 5(20) Упражнение № 48,49.

Задачи
1. Три латунных куба с ребрами 3 см, 4 см и 5 см переплавлены в один куб. Какое ребро у этого куба?

2. Металлический куб имеет внешнее ребро 10,2 см и массу 514,15 г. Толщина стенок равна 0,1 см. Найдите плотность металла, из которого сделан куб.

3. Если каждое ребро куба увеличить на 2 см, то его объем увеличится на 98 см^. Чему равно ребро куба?

4. Если каждое ребро куба увеличить на 1 м, то его объем увеличится в 125 раз. Найдите ребро.

5. Кирпич размером 25X12X6,5 см имеет массу 3,51 кг. Найдите его плотность.

6. Требуется установить резервуар для воды емкостью 10 м^ на площадке размером 2,5X1,75 м, служащей для него дном. Найдите высоту резервуара.

7. Измерения прямоугольного параллелепипеда 15 м, 50 м и 36 м. Найдите ребро равновеликого ему куба.

8. Измерения прямоугольного бруска 3 см, 4 см, 5 см. Если увеличить каждое ребро на д: сантиметров, то поверхность увеличится на 54 см². Как увеличится объем?

9. Чугунная труба имеет квадратное сечение, ее внешняя ширина 25 см, толщина стенок 3 см. Какова масса одного погонного метра трубы (плотность чугуна 7,3 г/см²)?

10. Чему равен объем прямоугольного параллелепипеда, диагональ которого а составляет с плоскостью основания угол , а с боковой гранью угол ?

11. В прямом параллелепипеде стороны основания а и b образуют угол 30°. Боковая поверхность равна S. Найдите его объем.

12. В прямом параллелепипеде стороны основания см и 5 см образуют угол 45°. Меньшая диагональ параллелепипеда равна 7 см. Найдите его объем.

13. Основание прямого параллелепипеда - ромб, площадь которого 1 м². Площади диагональных сечений 3 м² и 6 м². Найдите объем параллелепипеда.

14. Решите предыдущую задачу в общем случае, если площадь ромба Q, а площади диагональных сечений М и N.

15. Основание наклонного параллелепипеда - квадрат, сторона которого равна 1 м. Одно из боковых ребер равно 2 м и образует с каждой из прилежащих сторон основания угол 60°. Найдите объем параллелепипеда.

16*. Грани параллелепипеда - равные ромбы со стороной а и острым углом 60°. Найдите объем параллелепипеда.

17*. Каждое ребро параллелепипеда равно 1 см. У одной из вершин параллелепипеда все три плоских угла острые, по 2а каждый. Найдите объем параллелепипеда.

18*. В параллелепипеде длины трех ребер, исходящих из одной вершины, равны а, b, с. Ребра а и b взаимно перпендикулярны, а ребро с образует с каждым из них угол а (рис. 485). Найдите объем параллелепипеда.

19. По стороне основания а и боковому ребру b найдите объем правильной призмы:

1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной.

20. Деревянная плита в форме правильного восьмиугольника со стороной 3,2 см и толщиной 0,7 см имеет массу 17,3 г. Найдите плотность дерева.

21. Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 3,5 см, а диагональ боковой грани 2,5 см. Найдите объем призмы.

22. Сторона основания правильной треугольной призмы равна а, боковая поверхность равновелика сумме оснований. Найдите ее объем.

23. В правильной шестиугольной призме площадь наибольшего диагонального сечения 4 м², а расстояние между двумя противоположными боковыми гранями 2 м. Найдите объем призмы.

24. В наклонной призме проведено сечение, перпендикулярное боковым ребрам и пересекающее все боковые ребра. Найдите объем призмы, если площадь сечения Q, а боковые ребра равны I (рис. 486).

25. Боковые ребра наклонной треугольной призмы равны 15 м, а расстояния между содержащими их параллельными прямыми 26 м, 25 м и 17 м. Найдите объем призмы.

26. Вычислите пропускную способность (в кубических метрах за 1 ч) водосточной трубы, сечение которой имеет вид равнобедренного треугольника с основанием 1,4 м и высотой 1,2 м. Скорость течения 2 м/с.

27. Сечение железнодорожной насыпи имеет вид трапеции с нижним основанием 14 м, верхним 8 м и высотой 3,2 м. Найдите, сколько кубических метров земли приходится на 1 км насыпи.

28. В прямой треугольной призме стороны оснований равны 4 см, 5 см и 7 см, а боковое ребро равно большей высоте основания. Найдите объем призмы.

29. Площадь основания прямой треугольной призмы равна 4 cм², а площади боковых граней 9 cм², 10 cм² и 17 см². Найдите объем.

30. Основание призмы - треугольник, у которого одна сторона равна 2 см, а две другие по 3 см. Боковое ребро равно 4 см и составляет с плоскостью основания угол 45°. Найдите ребро равновеликого куба.

31. Основанием наклонной призмы является равносторонний треугольник со стороной а; одна из боковых граней перпендикулярна основанию и является ромбом, у которого меньшая диагональ равна с. Найдите объем призмы.

32. Чему равен объем прямой четырехугольной призмы, если ее высота h, диагонали наклонены к плоскости основания под углами и и острый угол между диагоналями основания равен ?

33. По стороне основания а и боковому ребру b найдите объем правильной пирамиды:

1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной.

34. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды а, а двугранный угол при основании равен 45°. Найдите объем пирамиды.

35. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое равно b (рис. 487). Найдите объем пирамиды.

36. Чему равен объем-правильной треугольной пирамиды, у которой сторона основания а, а боковые ребра взаимно перпендикулярны?

37. По ребру а правильного тетраэдра найдите его объем.

38. По ребру а октаэдра найдите его объем.

39. Основание пирамиды - прямоугольник со сторонами 9 м и 12 м, все боковые ребра равны 12,5 м. Найдите объем пирамиды.

40*. Основание пирамиды - равнобедренный треугольник со сторонами 6 см, 6 см и 8 см. Все боковые ребра равны 9 см. Найдите объем пирамиды.

41. Одно ребро треугольной пирамиды равно 4 см, каждое из остальных 3 см. Найдите объем пирамиды.

42. В основании пирамиды лежит прямоугольник. Каждое боковое ребро пирамиды равно I и составляет со смежными сторонами прямоугольника

углы и . Найдите объем пирамиды.

43. Найдите объем пирамиды, имеющей основанием треугольник, два угла которого и , радиус описанного круга R. Боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости ее основания под углом .

44. Найдите объем усеченной пирамиды с площадями оснований Q₁ и Q₂ 'Q₁ больше Q₂ и высотой h.

45. В пирамиде с площадью основания Q₁ проведено сечение, параллельное основанию, на расстоянии h от него. Площадь сечения равна Q₂. Найдите высоту пирамиды.

46. В правильной усеченной четырехугольной пирамиде стороны нижнего и верхнего оснований равны а и двугранный угол при ребре нижнего основания равен а. Найдите объем пирамиды.

47. Решите предыдущую задачу в случае правильной усеченной треугольной пирамиды.

48. Через середину высоты пирамиды проведена плоскость, параллельная основанию. В каком отношении она делит объем пирамиды?

49. Высота пирамиды h. На каком расстоянии от вершины находится сечение, параллельное основанию и делящее ее объем пополам?