Методическое пособие учителю по теме Элементы теории вероятности

В помощь учителю

Алгебра и начала математического анализа

11 класс

Учебник для общеобразовательных учреждений

Базовый и профильный уровни

Авторы:Ю.М.Колягин,М.В.Ткачева,Н.Е.Федорова,М.И.Шабунин

Под редакцией А.Б.Жижченко

Глава 6.Элементы теории вероятностей

Вероятность события. Сложение вероятностей. Условная вероятность. Независимость событий. Вероятность произведения независимых событий. Формула Бернулли.

Основная цель-сформировать понятие вероятности случайного независимого события; научить решать задачи на применение теоремы о вероятности суммы двух несовместных событий и на нахождение вероятности произведения двух независимых событий.

В программу включено изучение (частично на интуитивном уровне) лишь отдельных элементов теории вероятностей. При этом введению каждого понятия предшествует неформальное объяснение, раскрывающее сущность данного понятия, его происхождение и реальный смысл. Так вводятся понятия случайных, достоверных и невозможных событий, связанных с некоторым испытанием; определяются и иллюстрируются операции над событиями.

Классическое определение вероятности события с равновозможными элементарными исходами формулируется строго, и на его основе (с использованием знаний комбинаторики) решается большинство задач. Понятия геометрической вероятности и статистической вероятности вводились на интуитивном уровне в основной школе.

Независимость событий вводится достаточно строго (после определения понятия условной вероятности) Разбирается решение задачи на нахождение вероятности события. В, состоящего в том, что при n испытаниях наблюдаемое событие А произойдет ровно kраз, после чего обосновывается формула Бернулли.

При изложения материала данного раздела подчеркивается прикладное значение теории вероятностей в различных областях знаний и практической деятельности человека.

Глава VI Элементы теории вероятностей

§1

№1.

1)невозможное

2)случайное

3)достоверное

№2.

1)несовместными являются

2)не являются несовместными(так как они могут наступить одновременно:можно вытащить туз бубновой масти)

3)не являются несовместными (так как они могут наступить одновременно:четыре очка-это четное число)

4)являются несовместными

№3

1)Сегодня первый урок -не физика

2)экзамен сдан не на отлично

3)на игральной кости выпало не меньше пяти очков

4)ни одна пуля не попала в цель

№4

1)AB

2)A+B

3)AḂ+ĀB

4)ĀḂ

5)ĀB

№5

Событие А-выпало число,кратное 3

Р(А)== (всего 2 числа:3,6)

№6

Событие А- выпало 5 число на високосный год

Р(А)== (в високосном году 366 дней,12 раз в году выпадает 5 число)

№7

1)А-вынутый шар черный

Р(А)==

2)А-вынутый шар белый

Р(А)==

3) А-вынутый шар красный

Р(А)=

4)А-вынутый шар черный или белый

Р(А)=

5)А-вынутый шар черный или красный

р(А)==

6)А-вынутый шар красный или белый

р(А)==

7)А-вынутый шар или черный,или белый,или красный

р(А)=1

8) А-вынутый шар зеленый

р(А)=0

№8

Событие А-наудачу выбранные 3 лампы исправные

р(А)===≈0,86

№9

1)Общее число исходов при бросании трех игральных костей 66=216

Событие А-на трех костях выпало одинаковое количество очков.

Количество благоприятствующих исходов 6:1,1,1;2,2,2;3,3,3;4,4,4;5,5,5;6,6,6

р(А)==

2)Общее число исходов при бросании трех игральных костей 66=216

А-сумма выпавших очков равна 4

Набор,дающий в сумме 4:2,1,1 .Он допускает 3 перестановки

Р(А)==

3)Событие А-сумма очков на всех костях равна 5

Наборы,дающи в сумме 5:3,11;2,2,1.Каждый набор допускает по 3 перестановки ,следовательно,3+3=6

Р(А)==

№10

Событие А-сумма очков ,выпавших на обеих костях ,есть число нечетное

1

2

3

4

5

6

1

11

21

31

41

51

61

2

12

22

32

42

52

62

3

13

23

33

43

53

63

4

14

24

34

44

54

64

5

15

25

35

45

55

65

6

16

26

36

46

56

66

Р(А)==

2)Событие А-произведение очков,выпавших на обеих костях,есть число четное

1

2

3

4

5

6

1

11

21

31

41

51

61

2

12

22

32

42

52

62

3

13

23

33

43

53

63

4

14

24

34

44

54

64

5

15

25

35

45

55

65

6

16

26

36

46

56

66

р(А)==

3)Событие А-сумма выпавших очков больше 6

1

2

3

4

5

6

1

11

21

31

41

51

61

2

12

22

32

42

52

62

3

13

23

33

43

53

63

4

14

24

34

44

54

64

5

15

25

35

45

55

65

6

16

26

36

46

56

66

Р(А)==

№11

1)Событие А-оба вынутых билета выигрышные

Р(А)===

2)Событие А-только один билет выигрышный

р(А)===

3)Событие А-выигрышного билета не оказалось

Р(А)===

№12

Событие А-на первой кости очков больше ,чем на второй

1

2

3

4

5

6

1

11

21

31

41

51

61

2

12

22

32

42

52

62

3

13

23

33

43

53

63

4

14

24

34

44

54

64

5

15

25

35

45

55

65

6

16

26

36

46

56

66

Р(А)==

№13

В обеих урнах по 8 шаров.

Событие А-достанут два белых шара

Р(А)= ·=

Событие В-достанут два черных шара

Р(В)=·=

Событие С-достанут два красных шара

Р(С)==

Вороятность,что шары одного цвета р(А+В+С)=р(А)+р(В)+р(С)=

§2

№14

Событие А-вынутая карта туз

Событие В-вынутая карта дама

А+В-наугад вынутая карта либо туз,либо дама

Р(А)==

Р(В)==

Так как события Аи В несовместные ,к ним применима теорема сложения вероятностей

Р(А+В)=+=

№15

А-наудачу вынутый билет будет билетом денежно-вещевой лотереи

В-наудачу вынутый билет будет билетом художественной лотереи

А+В-один наудачу вынутый билет будет билетом либо денежно-вещевой ,либо худождественной лотереи

Очевидно р(А)=

Р(В)=

Так как события Аи В несовместны,к ним применима теорема сложения вероятностей

Р(А+В)=+==

№16

1 способ

Событие А-вынутый шар белый

Р(А)==

Событие Ā-вынутый шар не белый

Р(Ā)=1-=

2способ

Событие А-появление черного шара

Событие В-появление красного шара

А+В-появление цветного шара (не белого)

Р(А)==

Р(В)==

Р(А+В)=р(А)+р(В)=+=

2способ

Событие А-наугад вынутый шар не белый

Р(А)==

№17

Событие А-выигрыш главного приза

По условию р(А)=

Не выиграть главный приз -противоположное выигрышу событие,и его вероятность:

Р()=1-=0,99999999

№18

Событие А-наугад вынутая из полного набора кость домино будет «дублем»

Р(А)==

Событие -наугад вынутая из полного набора кость домино не будет «дублем»

Р()=1-р(А)=1-=

№19

Событие А-среди отобранных цветков нет белой астры

Р(А)===

Ā-среди отобранных студентов по крайней белая астра

Р(Ā)=1-=

№20

Событие А-среди отобранных студентов нет девушки

Р(А)===

Ā-среди отобранных студентов по крайней мере одна девушка

Р(Ā)=1-=

№21

Событие А-поражение цели из первого орудия

По условию,р(А)=0,7

Событие В-поражение цели из второго орудия.

По условию ,р(В)=0,6

А и В-независимые события

Р(А·В)=р(А)·р(В)=0,7·0,6=0,42

№22

р(АВ)=р(А)+р(В)-р(А+В)

р(А+В)=р(А)+р(В)-р(АВ)

р(А+В)=0,3+0,8-0,1

р(А+В)=1

А+В=U

§3 Условная вероятность.Независимость событий

№23

1. способ

Событие А-первым вынут синий карандаш

В-вторым был взят красный карандаш

После извлечения со стола первым синего карандаша (произошло событие А)там останутся 3 синих и 3 красных карандаша.Появлению красного карандаша из 6 оставшихся благоприятствуют 3 события,поэтому

Р(В/А)==

Р(В/А)-вторым был взят красный карандаш при условии ,что первым был синий

2. способ

р(А)=

Всего исходов 7,т.к.на столе первоначально 4+3=7 карандаша.Исходов,благоприятствующих наступлению события А,всего 4: синих 4 карандаша.

А·В-последовательно извлечены синий,затем красный карандаш

Число всех возможных вариантов извлечения двух шаров со стола с 7 карандашами( с учетом порядка их появления)равно =7·6=42

Благоприятствующими событию А·В будут всевозможные упорядоченные пары синий,красный карандаш,составленные из имеющихся 4 синих и 3 красных карандашей.Таких соединений ,согласно правилу умножения будет 4·3=12

Таким образом,р(А·В)==

Р(В/А)==

2)Событие А-первым вынут синий карандаш

В-вторым вынут синий карандаш

После извлечения со стола первым синего карандаша (произошло событие А)там останутся три синих и три красных карандаша.Появлению синего карандаша из 6 оставшихся благоприятствуют 3 события

Р(В/А)==

3)А-первым вынут красный карандаш

В-вторым вынут синий карандаш

После извлечения со стола красного карандаша (произошло событие А) там останется 4 синих и 2 красных карандаша.Появлению синего карандаша вторым из 6 оставшихс благоприятствует 4 события,поэтому р(В/А)==

4)А-первым вынут красный карандаш

В-вторым вынут красный карандаш

После извлечения со стола первым красного карандаша (произошло событии А)там останутся 4 синих и 2 красных карандаша.

Появлению красного карандаша вторым из 6 оставшихся благоприятствует 2 события,поэтому р(В/А)==

№24

1)А-первым вынут выигрышный билет

В-вторым извлечен билет без выигрыша

После извлечения из барабана первым выигрышного билета(произошло событие А)там останутся 1 выигрышный и 8 билетов без выигрыша.Появлению билета без выигрыша из 9 оставшихся благоприятствует 8 событий,поэтому

Р(В/А)=

2)Событие А-первым вынут выигрышный билет

В-второй вынут билет без выигрыша

Вероятность того,что сначала вынут выигрышный билет

Р(А)==

Вероятность того,что вторым вынут билет без выигрыша (произошло событие В)вычисляется при условии,что первым уже вынули выигрышный билет

Р(В/А)=

Р(А·В)=р(А)·р(В/А)=·=

№25

1)А-первым вынут красный шар

В-вторым вынут красный шар

После извлечения из ящика первым красного шара(произошло событие А)там останутся 4 белых и 4 красных шара

Появлению красного шара вторым из 8 оставшихся благоприятствуют 4 события ,поэтому

Р(В/А)==

2)А-первым вынут красный шар

В-вторым вынут красный шар

Вероятность того,что первым вынут красный шар р(А)=

Вероятность того,что вторым вынут красный шар (произошло событие В) вычисляется при условии,что первым уже вынут красный шар

Р(В/А)=

Р(АВ)=р(А)·р(В/А)=·=

№26

1)А-первой извлекли карту красной масти

В-второй извлекли карту красной масти

Р(А)==

Р(В/А)= (после извлечения из колоды карты красной масти(произошло событие А)там останутся 18 карт черной масти и 17 карт красной масти.Появлению карты красной масти второй из 35 оставшихся благоприятствует 17 событий)

Р(АВ)=р(А)·р(В/А)==

2)А-первым извлекли карту красной масти

В-второй извлекли карту черной масти

Р(А)==

Р(В/А)=

После извлечения из колоды карты красной масти (произошло событие А)там останутся 18 карт черной масти и 17 карт красной масти.Появлению карты черной масти второй из 35 оставшихся благоприятствует 18 исходов)

Р(АВ)=р(А)·р(В/А)==

3)А-первой вынута карта красной масти

В-вынута карта черной масти

В/А-второй вынута карта черной масти при условии,что первой была карта красной масти.

После извлечения из колоды первой карты красной масти(произошло событие А) там останутся 18 черных и 17 красных карт.Появлению карты черной масти второй из 35 оставшихся благоприятствует 18 исходов,поэтому р(В/А)=

№27

1,2,3)наступление события А не оказывает влияния на вероятность события В.Следовательно,события А и В -независимые события

4)события Аи В не являются независимыми событиями,так как наступление события А оказывает влияние на вероятность события В(карту не возвращают в колоду)

№28

А-Оля вынула гвоздику

В-Таня вынула нарцисс

АВ-последовательно вынули гвоздику,а затем нарцисс

В/А-вторым вынут нарцисс при условии,что первым вынули гвоздику

Р(А)==

Р(В/А)=

Р(АВ)=р(А)р(В/А)==

2. способ

число всех возможных вариантов извлечения двух цветов из букета с 15 цветами(с учетом порядка их появления)равно =15·14=210

Благоприятствующими событию АВ будут все возможные упорядоченные пары «гвоздика,нарциис»,составленные из имеющихся 10 гвоздик и 5 нарциссов.Таких соединений согласно правилу умножения 10·5=50

Р(АВ)==

№29

А-первому контролеру досталась бракованная деталь

В- второму контролеру досталась не бракованная деталь

АВ-последовательно пкрвый достал бракованную деталь,а второй небракованную

В/А-второй достал небракованную деталь при условии,что первый достал бракованную

Р(А)==

Р(В/А)=

Р(АВ)=р(А)р(В/А)=·=

№30

Студент знал ответы на 70 вопросов ,и на 20 вопросов не знал

1)А-верно ответит на первый вопрос

В-верно ответит на второй вопрос

АВ-верно ответит на два вопроса

Р(А)==

(всего исходов 90,т.к. всего 90 билетов.Исходов ,благоприятствующих наступлению события А,равно 70,т.к. студент знал ответы на 70 вопросов)

Р(В/А)-=

(после вытягивания 1 билета (произошло событие А)останется 69 вопросов,на которые он знал ответы и 20 вопросов ,на которые он не знал ответы.Вытягивание билета,на который он знал

ответ,вторым благоприятствует 69 исхода

АВ-верно ответит на два вопроса

Р(АВ)=р(А)р(В/А)==

2)Событие А-не ответит на первый вопрос

Событие В-ответит на второй вопрос

После того,как студент вытащил один билет и не ответил на него (произошло событие А) там останутся 70 вопросов,на которые он знал ответ,на 19 вопросов не знал ответ.

В/А-ответит на второй вопрос при условии ,что он не знал ответа на первый вопрос

Р(В/А)=

§4 Вероятность произведения независимых событий

№31

Событие А-попадание в мишень при первом выстреле ,по условию ,р(А)=0,6

Событие В-попадание в мишень при втором выстреле,по условию ,р(В)=0,6

АиВ-независимые события

Р(АВ)=р(А)р(В)=0,6·0,6=0,36

№32

Событие А-поражение цели из первого орудия .По условию р(А)=0,7

Событие В-поражение цели из второго орудия.По условию р(В)=0,6

А и В -независимые события

Р(АВ)=р(А)р(В)=0,7·0,6=0,42

№33

1)Событие А-первым вынут красный шар

Событие В-вторым вынут черный шар

А и В-независимые события(шары возвращают в урну)

Р(АВ)=·=

2)Событие А-первым вынут черный шар

Событие В-вторым вынут белый шар

А и В -независимые события

Р(АВ)=р(А)р(В)=0,5·0,2=0,1

№34

Событие А-выпадение четного числа на 1 кости

Р(А)==

Событие В-выпадение четного числа на 2 кости

Р(В)=

Событие С-выпадение четного числа на 3 кости

Р(С)=

А,В,С-независимые события

Р(АВС)=р(А)р(В)р(С)=

№35

Событие А-при первом бросании появилось 6 очков

Событие В-при втором бросании появилось число очков,кратное трем.

Событие Ḃ-при втором бросании появилось очков,не кратное трем

Р(А)=

Р(В)==

Р()=1-р(В)=

А и Ḃ-независимые события

Р(АḂ)=р(А)р(Ḃ)=

№36

Событие А-первый раз выпало четное число очков

Событие В-второй раз выпало число очков ,меньшее трех

Событие Ḃ-второй раз выпало число очков ,не меньшее трех

Р(В)==

Р(Ḃ)=1-р(В)=

А и Ḃ-независимые события

р(АḂ)=р(А)р(Ḃ)=·=

№37

Событие А-хотя бы однажды попадет по мишени

Событие Ā-ни одного попадания

Событие -первый раз стрелок попал в мишень ,по условию р()=0,7

Событие -второй раз стрелок попал в мишень ,по условию р()=0,7

Р(Ā)=0,3·0,3=0,09

Р(А)=1-0,09=0,91

№38

Событие А-хотя бы один стрелок попал в мишень

Событие Ā-ни одного попадания

Событие -первый стрелок попал в мишень р()=0,2

Событие -второй стрелок попал в мишень р()=0,3

р()=0,8

р()=0,7

Ā=

Р(Ā)=р()=р()р()=0,8·0,7=0,56

Р(А)=1- Р(Ā)=1-0,56=0,44

№39

Событие А-появление бракованных деталей.По условию р(А)==

Появление небракованных деталей р(Ā)=1-р(А)=

Событие В-появление деталей зеленого цвета.По условию р(В)=

Появление неокрашенных деталей

Р(Ḃ)=1-р(А)=1-0,3=0,7

Задача сводится к нахождению вероятности совместного появления независимых событий Āи Ḃ ,т.е.к нахождению вероятности событий

Р(ĀḂ)=р(Ā)р(Ḃ)===68,6%

№40

А-попадание в мишень первым стрелком р(А)=0,6

В-попадание в мишень вторым стрелком р(В)=0,7

С-попадание в мишень третьим стрелком р(С)=0,8

АḂС-мишень поразят первый и третий стрелки

Р(АḂС)=0,6·0,3·0,8=0,144

№41

Событие А-из списка сотрудников выбран мужчина

Р(А)==

Событие В-выигрышный билет денежно-вещевой лотереи

Р(В)=0,2

Событие С-выигрышный билет спортивной лотереи

Р(С)=0,1

АВС-выбранный человек мужчина ,выигравший в обеих лотереях

Р(АВС)=р(А)р(В)р(С)=·0,2·0,1=

§5.Формула Бернулли

№42

А-появление орла

Р(А)=

1)==·=

2)=0,5⁵0,5⁵==

№43

Событие А-появление 6 очков

Р(А)=

1)===

2)===

№44

Событие А-появление 6 очков,р(А)=

==

==

+=

№45

Событие А-попадания в кольцо

Р(А)=0,7

++=0,7·0,3²+·0,7²·0,3+0,7³=0,973

Упражнения к главе VI

№46

Событие А-появление пяти очков на игральной кости при одном бросании

Событие В-появление шести очков

А+В-появление при одном бросании либо пяти,либо шести очков

Р(А+В)=р(А)+р(В)=+=

№47

Событие А-появление белого шара

Р(А)==

№48

Событие А-сумма выпавших очков равна 8

1

2

3

4

5

6

1

11

21

31

41

51

61

2

12

22

32

42

52

62

3

13

23

33

43

53

63

4

14

24

34

44

54

64

5

15

25

35

45

55

65

6

16

26

36

46

56

66

Р(А)=

№49

Событие А-набрана первая цифра

Р(А)=

Событие В-набрана вторая цифра

АВ-набрана первая цифра,а затем вторая

,отличная от первой

Р(АВ)=·=

№50

Событие А-выпадут 3 очка

Событие Ā-не выпадут 3 очка

Р(А)=

Р(Ā)=

№51

Событие А-выпадет герб при бросании монеты

Событие В -появятся 6 очков при бросании кости

События А и В -независимые

Р(АВ)=р(А)р(В)=·=

№52

Событие -попадание в мишень при первом выстреле,по условию р()=0,8

Событие -попадание в мишень при втором выстреле,по условию р()=0,9

Событие -промах в мишень при первом выстреле р()=0,2

Событие -промах в мишень при втором выстреле р()=0,1

А-мишень не будет поражена ни одним выстрелом

А=

Р(А)=р()=р() р()=0,02

№53

1

2

3

4

5

6

1

11

21

31

41

51

61

2

12

22

32

42

52

62

3

13

23

33

43

53

63

4

14

24

34

44

54

64

5

15

25

35

45

55

65

6

16

26

36

46

56

66

Событие А-оба раза появится одинаковое число очков

Р(А)==

№54

Событие А-вынутый шар черный

1)Р(А)==

2)Событие А-вынутый шар черный ,р(А)==

В-вынутый шар белый,р(В)==

А+В-вынутый шар черный или белый

Р(А+В)=р(А)+р(В)=+-=

№55

Событие А- ни на одной из костей нет 3-х очков

1

2

3

4

5

6

1

11

21

31

41

51

61

2

12

22

32

42

52

62

3

13

23

33

43

53

63

4

14

24

34

44

54

64

5

15

25

35

45

55

65

6

16

26

36

46

56

66

Р(А)=

Событие Ā-3 очка появятся хотя бы на одной из костей

Р(Ā)=

№56

1)Событие А-первым вынут туз

Событие В-вторым вынут туз

АВ-вынуты два туза

Р(АВ)=р(А)р(В/А)==

2)Событие А-первым извлечен туз

Событие В -второй извлечена дама

АВ-сначала извлечен туз,затем дама

Р(АВ)=р(А)р(В/А)==

3)Событие А-первой вынута карта бубновой масти

Событие В-второй вынута карта бубновой масти

Р(АВ)=р(А)р(В/А)==

4)Событие А-первой была вынута дама

После извлечения из колоды дамы (произошло событие А)в колоде останется 35 карт

Событие В-вторым извлечен туз

В/А-вторым извлечен туз при условии,что первой была вынута дама

Появлению туза вторым из 35 оставшихся благоприятствует 4 события,поэтому р(В/А)=

№57

1)А-первым извлекли шар черного цвета

В-вторым извлекли шары черного цвета

Р(А)==

Р(В/А)=

АВ-последовательно извлечены черный шар,затем опять черный шар

Р(АВ)=р(А)р(В/А)=

2)А-первым вынут белый шар

В-вторым извлекли шар черного цвета

Р(А)==

Р(В/А)=

АВ-первым вынут белый шар,а вторым -черный

Р(АВ)=р(а)р(В/А)=

3)А-первым вынут белый шар

В -вторым извлечен черный шар

В/А-вторым извлечен черный шар при условии ,что первым был вынут белый шар.

После извлечения из урны первого шара белого цвета (произошло событие А)там останутся 9 белых и 10 черных шаров.Появлению шара черного цвета вторым из 19 оставшихся благоприятствует 10 исходов ,поэтому

Р(В/А)=

№58

1бросок

2бросок

3бросок

1

о

о

о

2

о

р

р

3

р

о

Р

4

р

р

о

5

о

о

р

6

о

р

о

7

р

о

о

8

р

р

р

А-выпадет не более двух орлоа

-выпадет более 2-х орлов

Р(Ā)=

Р(А)=1-=

№59

Всего 28 костей домино :7 дублей и 21 с разными числами.Числа от 0 до 6

Количество вариантов выбора 2 костей равно 28·27=756.Порядок имеет значение.

Количество благоприятных случаев :

Если первая кость дубль

Если первая кость «не дубль»

7 вариантов и к ней подходит 6 «не дублей»

Всего 7·6=42

21 вариантов и к первому числу подходит 6 костей и ко второму числу 6 костей.Всего 21·12=252

Всего 42+252=294

А-вторую кость можно приставить к первой

Р(А)==

№60

А- ни на один из трех купленных билетов не выпадет выигрыш

Р(А)=

№61

А-хотя бы один билет выигрышный

Ā-нет выигрышного билета

Р(Ā)=

Р(А)=1-

№62

А-среди k деталей pбракованных

Р(А)=

№ 63

Cобытие А-в каждой стопке по два туза

Р(А)===

№64

Событие А-все команды высшего класса попадут в одну и ту же группу

Число способов составления группы в 9 команд из 18 команд равно

Для благоприятного исхода мы должны выбрать 5 команд из 5 команд высшего класса и 4 команды из 13 команд не высшего класса способами

Так как формируется 2 группы,то

Р(А)===

№65

А-орел выпадет при бросании монеты

Р(А)=

1)= 0,5² 0,5⁶=

2)= 0,5⁶ 0,5²=

3)++=0,5⁶0,5²+0,5⁷0,5+0,5⁸=++=

4)+=0,5·0,5⁷+0,5²·0,5⁶=+=

№66

А- выпадет одно очко на кубике

Р(А)=

1)=()²()³=

2)=()³()²=

3)+=()()⁴+()²()³=+=

4)+=()⁴()+()⁵=

№67

А-насекомое будет жить более 100 дней

Р(А)=0,5

+=0,5⁸ ·0,5²+0,5⁹ 0,5+0,5¹⁰=

Проверь себя!

1.Событие А-на обеих монетах выпадет «орел»

орел

решка

орел

оо

ро

решка

ор

рр

Р(А)=

2) Событие А-появление в партии бракованной детали,по условию р(А)=0,05

Событие Ā-наугад извлеченная деталь окажется небракованной

Р(Ā)=0,95

3)Событие А-наугад вынутый шар черного цвета

Событие В-наугад вынутый шар белого цвета

А+В-наугад вынутый один шар окажется или черного или белого цвета

Р(А+В)=р(А)+р(В)=+=

4)Событие А-первым взят апельсин

Событие В-вторым взято яблоко

АВ-первым взят апельсин,а вторым -яблоко

Р(АВ)=р(А)р(В/А)==

5)Событие -попадание по мишени в первом выстреле.По условию р()=0,8

Событие -попадание по мишени во втором выстреле,по условию р()=0,8

и -независимые события

Р( )= р()р()=0,80,8=0,64

6)После того,как ученик на первый на зачете вопрос не знал ответа,то там осталось 15 вопросов,на которые он знал ответ, и 4 вопроса,на которые он не знал ответ.

Событие А-ученик ответит на второй из предложенных ему вопросов

Р(А)=

1) А-попадание в мишень при первом выстреле р(А)=0,9

В- попадание в мишень при втором выстреле р(А)=0,9

Ā-промах в мишень при первом выстреле р(Ā)=0,1

Ḃ-промах в мишень при втором выстреле р(Ḃ)=0,1

Р(А+р(ĀВ)=0,9·0,1+0,1·0,9=0,09+0,09=0,18

2)А-попадание в мишень при первом выстреле р(А)=0,8

В- попадание в мишень при втором выстреле р(А)=0,8

D- попадание в мишень при третьем выстреле р(А)=0,8

ĀḂḊ-мишень не будет поражена

Р(ĀḂḊ)=0,2·0,2·0,2=0,008

1-0,008=0,992

3)А-вынутый шар не красный,но легкий

Р(А)=·=0,3

4)Событие А-вынутые по одному из каждой коробки шары окажутся разных цветов

Р(А)=·+·+·+·+·_+·=