Коспект урока геометрии «Конус»

Конспект урока геометрии в 11 классе по теме: «Конус».

Цели урока:

Обучающая: вывести формулу объёма конуса, показать связь между элементами конуса в процессе решения задач, показать связь темы с окружающим миром.

Развивающая: способствовать формированию приёмов критического мышления, сознательному восприятию учебного материала.

Воспитательная: воспитывать познавательную активность, приобретение опыта работы в паре.

Тип урока:

урок изучения нового материала.

Приёмы технологии критического мышления: кластеры, «продвинутая лекция», «ромашка Блума».

Справка

Приём «Кластеры» позволяет выделить смысловые единицы текста (информации) и их графически оформить в определенном порядке в виде грозди. Методика работы очень простая. Выделяем центр - это наша тема, от неё отходят лучи - крупные смысловые единицы, а от них соответствующие термины, понятия. Система кластеров охватывает большее количество информации, чем учащиеся получают при обычной письменной работе.

Прием «Продвинутая лекция» - это активное слушание, партнерские отношения, развитие социальной компетенции. Во время лекции используется сначала индивидуальная работа, а затем - в паре: на стадии вызова каждая пара заполняет первую графу таблицы (что я знаю?), затем во время чтения лекции один ученик (или оба) ищет соответствия и несоответствия своих первоначальных ответов с материалом лекции, другой (или оба) кратко записывает новую информацию, на стадии рефлексии- идет обсуждение полученных результатов сначала в паре, затем - в классе. Использование этого приема позволяет превратить монотонный рассказ учителя в интереснейший диалог ученика с учеником, ученика с учителем и со всем классом. По итогам урока у каждого ученика в тетради получается конспект по изучаемой теме.

Прием «Ромашка Блума» Это система вопросов, построенных в зависимости от уровней познавательной деятельности: знание, понимание, применение, анализ, синтез и оценка. Шесть лепестков - шесть типов вопросов.

Простые вопросы требуют знания, фактического материала,

ориентированы на работу памяти.

Уточняющие вопросы - «насколько правильно я понял?»

Интерпретирующие вопросы (объясняющие) - побуждая учеников к интерпретации, мы учим их навыкам осознания причин тех или иных поступков или мнений (почему?)

Оценочные вопросы (сравнение) - необходимо использовать, когда вы слышите, что кто-либо из учеников выражает соседу по парте свое недовольство или удовольствие от произошедшего на уроке

Творческие вопросы (прогноз) - «Как вы думаете, что произойдет дальше…?»

Практические вопросы - «Как мы можем…?» «Как поступили бы вы…?»

План урока

1. Организационный момент (1 минута)

2. Постановка целей урока (4 минуты)

3. Создание кластера (4 минуты)

4. Лекция с остановками (25 минут)

5. Решение задач на готовых чертежах (8 минут)

6. Заключительный этап. Подведение итогов. Постановка домашнего задания. (3 минуты)

Ход урока

1. Организационный момент.

Звучит эпиграф к уроку: «Знания - самое превосходное из владений. Все стремятся к нему, само же оно не приходит» (Ал - Бируни, арабский математик X века).

Этап вызова

2. Учитель. Нам необходимо вывести формулу объёма конуса, установить связь между элементами конуса в процессе решения задач, показать связь темы с окружающим миром. Тема сегодняшнего урока «Объёма конуса».

Начнём со старинной восточной легенды, рассказанной А.С. Пушкиным в «Скупом рыцаре». Послушайте её:

«Читал я где-то,

Что царь однажды воинам своим

Велел снести земли по горсти в кучу,-

И гордый холм возвысился,

И царь мог с высоты с весельем озирать

И дол, покрытый белыми шатрами,

И море, где бежали корабли».

Представьте иллюстрацию к этим стихам. Что должно быть изображено на рисунке? Верите ли вы в реальность этой легенды?

Попробуем разобраться геометрически. Холм - это конус. Но какого объёма? Что и как нужно измерить чтобы найти этот объём?

Цель урока: необходимо вывести формулу объёма конуса, установить связь между элементами конуса в процессе решения задач, показать связь темы с окружающим миром.

Этап осмысления

3. Чтобы разобраться в поставленной задача, надо наметить этапы её решения. Составляем кластер

IV Учитель. Представим холм в виде конуса (см. рисунок), сделаем чертёж тетрадях. (Учитель предлагает учащимся вспомнить элементы конуса, показать их на чертеже)

Разделим тетрадный лист на 2 части. С одной стороны ученики отвечают на вопросы учителя, потом, при объяснении материала они ставят пометки «+», если их предположение оказалось верным и «-» в противном случае. В другой графе ученики записывают тезисы из лекции учителя. Методика работы с каждой порцией материала будет следующей: ученики думают над поставленными вопросами, отвечают письменно, потом обсуждают в парах. После нескольких минут обсуждения учитель предлагает сообщить предложения, обращаясь к ним по «цепочке» и попросив детей не повторяться.

Затем учитель объясняет в лекционной форме новый материал,. (Ученики маркируют свои предложения «+» или «-» и работают с правой половиной таблицы).

Вопросы к ученику

Лекция учителя

№1 Какие измерения можно провести у подножия большого холма? По каким формулам потом найти элементы конуса?

Ответы: …

Учитель, познакомившись с предложениями детей, объяснил, как провести измерения на местности и найти радиус основания, образующую и высоту конуса.

Учитель. Теперь попробуем сделать примерный расчёт реального объёма пирамиды.

Вопросы к ученику

Лекция учителя

№2 Как вы думаете, какой объём земли может взять воин в руку? Какая армия в истории была самой многочисленной? Какого реального объёма мог достичь холм, который горстями земли насыпали воины?

Ответы: …

Старинные армии были не так многочисленны, как в наше время. Самое большое войско, которое знал древний мир было у Аттилы. К сведению, Аттила - предводитель гуннов, кочевого народа, сложившегося в Приуралье из многих племен. Массовое передвижение гуннов на запад (с 70-х гг. IV в.) дало толчок «великому переселению народов». Наибольшего могущества гуннская держава достигла при Аттиле (?-453 гг.), который возглавил опустошительные походы в Восточно-Римскую империю (413 г., 447 г., 448 г., 451 г.). Но в 451 году на Каталаунских полях (равнина в северо-восточной Франции к западу от города Труа) войска

Западно-Римской империи в союзе с франками, вест-готами, бургундами, аланами и др. разгромили гуннов во главе с Аттилой, что привело к распаду гуннской державы.

Историки оценивают войско Аттилы в 700000 человек. Остановимся на этом числе, т.е. будем считать, что холм составился из 700000 горстей. Захватите горсть земли, насыпьте её в стакан. Вряд ли стакан полностью наполнится. И всё же будем считать, что горсть древнего воина равнялась 1 стакану земли, т. е. 0,2литра или 0,2 дм³.

Тогда V = 700000 ^.0,2 = 140000 дм³ = 140м³.

Учитель. Чтобы проводить дальнейшие подсчёты, нужно знать формулу объёма конуса.

Вопросы к ученику

Лекция учителя

№3 Подумайте, если вам дать ведро цилиндрической формы и ведро в форме конуса, у которых одинаковые высоты и площади оснований. Если бы вас попросили набрать воды в ведро с формой конуса и перелить эту воду в ведро цилиндрической формы, то сколько раз вы смогли бы проделать переливание до того, как цилиндрическое ведро полностью заполнится? Как вы думаете, как давно установлена формула объёма конуса?

Теорема Объем конуса равен одной трети произведения основания на высоту.

Дано: конус, S -площадь его основания,

h- высота конуса

Доказать V=1\3Sh

Доказательство

Введем ось Оx: так, как показано на рисунке (ОМ - ось конуса). Произвольное сечение конуса плоскостью, пер­пендикулярной к оси Ох, является кругом с центром в точке М₁ - точке пересечения этой плоскости с осью Ох. Обозначим радиус этого круга через R₁, а площадь сечения через S(х), где х - абсцисса точки М₁. Из подобия прямоугольных треугольников ОМ_:A₁ и ОМА

следует, что , откуда , R₁= .

Поскольку сечением является круг, то S(х)=(R₁₎², тогда

S(х) = х ² . Применим основную формулу для

вычисления объёмов тел при а=0, b=h,получаем

V== =

Так как площадь основания конуса равна S=, тогда

получаем результат V=. Что и требовалось доказать.

В задаче на вычисление отношения объёмов конуса и цилиндра, у которых одинаковые высоты и площади оснований, получаем ответ: =

Учитель. Снова обратимся к легенде и рассчитаем с помощью формулы объёма конуса высоту холма.

Вопросы к ученику

Лекция учителя

№4 Как вы считаете, какой угол должен быть между образующей конуса и плоскостью основания, чтобы земля не осыпалась? Какова высота холма при максимально возможном объёме в 140 м³? И значительно ли меняется панорама для наблюдения, если подняться на его вершину?

Ответы: …

Естественный откос составляет 45^о. Решаем задачу на нахождение высоты при данном объёме в 140 м³ и угле между образующей и плоскостью основания в 45^о.

А Краткое решение.

V=Sh=. Т.к. АВН=45^о, то

АВН равнобедренный, тогда h=R,

В Н V= , т.к. V=140.(м³), то 140=.

Откуда приближённо получаем что высота h5,1(м).

Сомнительно, чтобы курган таких размеров мог удовлетворить честолюбие Аттилы.

Можно рассчитать, что дальность горизонта наверху такого холма будет всего на 4км больше, чем на равнине у его подножия. Поэтому легенда остаётся легендой.

V Закрепление знаний нового материала. Решение задач по готовому чертежу. Каждая пара учеников выбирает задачу своего уровня сложности, используя «ромашку Блюма». Решение обсуждается в парах, коротко записывается в тетрадь. С помощью данного рисунка решить

№701(а,б) учебника

№701(в), 704 учебника

Почему осевым сечением конуса является прямоугольный треугольник, если известно, что объём фигуры равен см³, а образующая конуса mcм? Найдите площадь боковой поверхности такого конуса.

Сравните объёмы конусов, полученных вращением прямоугольного треугольника SBО вокруг катета SO, если острый угол В сначала равен 30^о, а затем 45^о, а высота конуса равна асм.

Если два конуса имеют равную образующую а см, но у первого конуса осевое сечение - правильный треугольник, а у второго - прямоугольный треугольник, то объём какого конуса больше и во сколько раз?

Смолу для промышленных нужд собирают, подвешивая конические воронки к соснам. Сколько воронок диаметром 10см с образующей 13см нужно собрать, чтобы заполнить 10-литровое ведро?

Ответы на задания выводятся на экран с помощью мультимедийного проектора, что помогает ученикам сверить свой результат.

VI. Постановка домашнего задания (Выучить доказательство формулы объёма пирамиды; задача №705)

Фаза рефлексии

VII. Обращение к кластеру для подведения итогов изученного материала, осознания, удалось ли в процессе занятия выполнить поставленные цели. Учитель просит закончить предложения:

"Сегодня на уроке…"
"Мне запомнилось…"
"Хотелось бы отметить…"

Подводя итог сказанному детьми, учитель ещё раз подчёркивает связь математики с окружающим миром и необходимость математических знаний в положительном преобразовании окружающего мира. Можно закончить урок строками из стихотворения М.В. Бромлея:

Настоящий геометр тоже поэт,

Вечно жаждущий знать и предвидеть.

Кто сказал, что в науке поэзии нет?

Нужно только понять и увидеть.