Научно-исследовательская работа Длина окружности и площадь круга

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №8»

Научно - исследовательская работа по теме:

активизация познавательной деятельности школьников в процессе изучения темы «Длина окружности и площадь круга»

Выполнили: Семина Юлия Вадимовна,

ученица 9д класса МБОУ «СОШ №8»

Руководитель: Шевелёва Екатерина Сергеевна,

учитель математики МБОУ «СОШ №8»

Ханты-Мансийск, 2012

Аннотация

Цель работы - разработать комплекс задач, направленных на активизацию познавательной деятельности школьников в процессе изучения темы «Длина окружности и площадь круга».

Для достижения данной цели необходимо выполнить следующие задачи:

- изучить материал методической литературы по теме исследования;

- выделить особенности активизации познавательной деятельности школьников;

- оформить комплекс задач по тем «Длина окружности и площадь круга».

Методы исследования:

1. Теоретические методы: анализ литературы по проблеме исследования, обобщение.

2. Эмпирические методы: составление комплекса задач.

План исследования

Активизация познавательной деятельности учащихся одна из актуальных проблем на современном этапе развития педагогической теории и практики. Это закономерно, так как учение ведущий вид деятельности школьников, в процессе которого решаются главные задачи, поставленные перед школой: подготовить подрастающее поколение к жизни, к труду, к активному участию в научно-техническом и социальном прогрессе.

Работать над активизацией познавательной деятельности - это значит формировать положительное отношение школьников к учебной деятельности, развивать их стремление к более глубокому познанию изучаемых предметов.

Объект исследования - процесс обучения математике в общеобразовательной школе.

Предмет исследования - особенности активизации познавательной деятельности учащихся.

Цель работы - разработать комплекс задач, направленных на активизацию познавательной деятельности школьников в процессе изучения темы «Длина окружности и площадь круга».

Для достижения данной цели необходимо выполнить следующие задачи:

- изучить материал методической литературы по теме исследования;

- выделить особенности активизации познавательной деятельности школьников;

- оформить комплекс задач по тем «Длина окружности и площадь круга».

Методы исследования:

1. Теоретические методы: анализ литературы по проблеме исследования, обобщение.

2. Эмпирические методы: составление комплекса задач.

Научная статья

1. Активизация познавательной деятельности школьников

в процессе обучения математике

Отношение учащихся к учению преподавателя обычно характеризуется активностью. Активность (учения, освоения, содержания и т.п.) определяет степень (интенсивность, прочность) «соприкосновения» обучаемого с предметом его деятельности.

В структуре активности выделяются следующие компоненты:

готовность выполнять учебные задания;

стремление к самостоятельной деятельности;

сознательность выполнения заданий;

систематичность обучения;

стремление повысить свой личный уровень.

Главная цель активизации - формирование активности учащихся, повышение качества учебно-воспитательного процесса.

В педагогической практике используются различные пути активизации познавательной деятельности, основные среди них - разнообразие форм, методов, средств обучения, выбор таких их сочетаний, которые в возникших ситуациях стимулируют активность и самостоятельность учащихся.

Коротаева Е.В. определяет следующие уровни познавательной активности.

Первый уровень - воспроизводящая активность.

Характеризуется стремлением учащегося понять, запомнить и воспроизвести знания, овладеть способом его применения по образцу. Этот уровень отличается неустойчивостью волевых усилий школьника, отсутствием у учащихся интереса к углублению знаний, отсутствие вопросов типа: «Почему?»

Второй уровень - интерпретирующая активность.

Характеризуется стремлением учащегося к выявлению смысла изучаемого содержания, стремлением познать связи между явлениями и процессами, овладеть способами применения знаний в измененных условиях.

Третий уровень - творческий.

Характеризуется интересом и стремлением не только проникнуть глубоко в сущность явлений и их взаимосвязей, но и найти для этой цели новый способ.

Существуют основные способы активизации познавательной деятельности:

опираться на интересы учащихся и одновременно формировать мотивы учения, среди которых на первом месте выступают познавательные интересы, профессиональные склонности;

включать учеников в решение проблемных ситуаций, а проблемное обучение, в процессе поиска и решения научного и практических проблем;

использовать дидактические игры и дискуссии;

использовать такие методы обучения, как беседа, пример, наглядный показ;

стимулировать коллективные формы работы, взаимодействие учеников в учении.

Данные способы активизации познавательной деятельности осуществляются с помощью методов обучения. Активными методами обучения следует называть те, которые максимально повышают уровень познавательной активности учащихся, побуждают их к старательному учению.

Активизация познавательной деятельности учащихся неразрывно связана с применением таких методов обучения и их сочетаний, которые максимально содействуют осознанному овладению учебным материалом, учат делать из него выводы, применять полученные знания на практике. Дубинчук Е.С. предлагает классификацию методов на основе методологии целостного подхода к деятельности как таковой.

Такой подход предполагает выделение трех групп методов.

1. Методы организации и осуществления учебно-познавательной деятельности. Эти методы обеспечивают передачу информации преподавателем и восприятие ее учащимися посредством слушания, наблюдения или практических действий, т.е. имеются в виду соответственно словесные, наглядные и практические методы.

2. Методы стимулирования и мотивации учебно-познавательной деятельности. Речь идет о таких специальных методах, как стимулирование сознательности, ответственности, долга (убеждение, требование, приучение, поощрение и др.), и методах стимулирования мотивов интереса к учению (учебные дискуссии, использование парадоксов, занимательного материала, создание ситуаций новизны, успеха и др.).

3. Методы контроля и самоконтроля за эффективностью учебно-познавательной деятельности. Сюда относятся устный и письменный, индивидуальный, групповой и фронтальный контроль; текущий, итоговый, поурочный и тематический, с применением технических средств и без них. В каждом методе заложена возможность совместной деятельности преподавателя и учащихся, а связующим звеном в этой деятельности является содержание учебного материала.

Правильный выбор методов обучения предусматривает учет не только содержания программного материала, но и уровня его сложности.

Отыскание важнейших путей побуждения учащихся к учению является необходимым условием развития их познавательной деятельности. В этом плане предлагается:

Оживлять уроки элементами занимательности, имея в виду решение поставленной на уроке задачи;

Побуждать учащихся задавать вопросы учителю, товарищам;

Развивать на уроках коллективный анализ процесса и результатов работы отдельных учащихся;

Практиковать индивидуальные задания, требующие знаний, выходящих за пределы программы;

Использовать широкий кругозор отдельных учащихся в интересующей их области, как дополнительный источник знаний для других;

Рекомендовать дополнительную литературу.

Также есть еще ряд приемов и методов, позволяющих активизировать познавательную деятельность учащихся.

1. Групповой метод при решении задач. Работа в парах.

2. Различные формы работы с книгой. Пример. Учащимся по теме «Последовательность» (9 класс) предоставляется работа с книгой в два этапа. Первый этап состоит в том, что учащиеся, читая текст в учебнике, выделяют главное, а затем им предлагается план ответа по данному тексту.

План.

Примеры последовательности.

Определение последовательности.

Область определения последовательности.

Бесконечна последовательность.

Обозначение членов последовательности.

Обозначение последовательности.

Возрастающая последовательность.

Убывающая последовательность.

Постоянная последовательность.

План дается для того, чтобы обратить внимание девятиклассников на самое главное в прочитанном.

3. Использование всевозможных видов поощрений (жетоны, слова, вручение удостоверений «лучшему математику», дифференциация домашнего задания).

4.Самостоятельные работы с использованием аналогий, сравнений. Например, для того чтобы ввести понятие смежного угла в 7 классе на уроке геометрии, учащимся предлагается следующее задание.

Ответьте на вопросы, глядя на рис.4 (в скобках указаны ожидаемые ответы).

Что общего у всех пар углов? (Каждая пара углов имеет общую вершину.)

Чем отличается первая пара углов от второй? (У второй пары общая сторона.)

Чем отличается вторая пара углов от третьей? (У третьей пары несовпадающие стороны лежат на одной прямой.)

После выполнения задания учитель сообщает учащимся, что углы изображенные на третьем рисунке смежные. Учащиеся пытаются сформулировать определение смежных углов.

рис.4

5. Использование на уроках элементов историзма, занимательности (уроки-сказки, уроки-путешествия, уроки-кроссворды).

6. Использование проблемных ситуаций.

7. Изложение материала блоками.

8. Наглядность, доступность, оригинальность решения различными способами, самостоятельность в получении знаний, выборе метода решения задачи, связь науки с практикой; анкетирование, тестирование.

9. Наблюдение за речью, рецензирование по схеме-плану.

В результате анализа методической литературы были выделены следующие условия активизации познавательной деятельности учащихся:

1) организации активной деятельности каждого ученика;

2) мотивация учения;

3) широкое применение наблюдений и жизненного опыта учащихся;

4) регулярная организация самостоятельной работы как главного средства активизации познавательной деятельности учащихся;

5) обучение школьников умению перерабатывать информацию, т.е. осуществлять широкий перенос знаний;

6) обучение учащихся самоуправлению процессом учения;

7) использование информационно-поисковых методов преподавания (проблемное изложение материала, информационно-эвристический метод и метод организации исследовательской работы учащихся;

8) индивидуализация обучения.

Требования к задачам, направленным на активизацию познавательной деятельности школьников:

1. наличие задач практического содержания;

2. занимательные задачи (задачи «на соображение», «на догадку», головоломки, нестандартные задачи, логические задачи, творческие задачи);

Пример. В процессе изучения учащимися темы «Квадратные уравнения» предлагается следующая задача «На уроке учитель прочел задачу, а ученик кратко записал ее условие, как это показано на рис.5. Восстановите по этой записи условие задачи».

рис.5

3. задачи на совместную творческую деятельность;

4. задачи на исправление преднамеренно сделанных ошибок, на восстановление частично стертых записей;

5. задачи с закодированными ответами;

6. использование задач с элементами историзма;

7. задачи для самостоятельного решения;

8. задачи с элементами игры;

9. задачи, имеющие несколько способов решения;

10. необычное условие задачи;

11. задачи, вызывающие трудности при решении.

Недописанная фраза, недорешенная задача, недосказанное условие в задаче стимулируют работу учащихся. Любят ребята всех возрастов, когда уроки оживленны задачами шутками, заданиями на внимание. А сочинительство задач, сказок - это целый раздел в методике работы с детьми.

Наибольший активизирующий эффект на занятиях дают ситуации, в которых учащиеся сами должны:

отстаивать свое мнение;

принимать участие в дискуссиях и обсуждениях;

ставить вопросы своим товарищам и преподавателям;

рецензировать ответы товарищей;

оценивать ответы и письменные работы товарищей;

заниматься обучением отстающих;

объяснять более слабым учащимся непонятные места;

самостоятельно выбирать посильное задание;

находить несколько вариантов возможного решения познавательной задачи (проблемы);

создавать ситуации самопроверки, анализа личных познавательных и практических действий;

решать познавательные задачи путем комплексного применения известных им способов решения.

2. Комплекс задач по теме «Длина окружности и площадь круга»

Особенности изучения темы «Длина окружности и площадь круга»

Основная цель данной темы - расширить и систематизировать знания учащихся об окружностях и многоугольниках.

Основные требования к учащимся

В результате изучения темы «Длина окружности и площадь круга» ученик должен знать/понимать:

формулы длины окружности и дуги окружности, площади круга, кругового сектора и кругового сегмента;

уметь:

применять формулы длины окружности и дуги окружности, площади круга, кругового сектора и кругового сегмента при решении задач.

Комплекс задач, направленных на активизацию познавательной деятельности

Задача 1.

«Представим себе, что мы опоясали Землю (будем считать, что наша планета - идеальный шар) веревкой по экватору. Получилась очень большая веревочная окружность длиной примерно в 40 тысяч километров (рис. 1). Добавим теперь к этой страшно длинной веревке маленький кусочек длиной в 1 метр и сделаем из нее новую окружность (рис. 2). Спрашивается на сколько поднимется веревка над Землей?

Рис. 1 Веревочная окружность длиной в экватор

Рис. 2 Новая веревочная окружность, которая длиннее экватора на 1 м

Решение

Обозначим радиус Земли буквой R. Тогда длина экватора, а значит, и первоначальная длина веревки равна (это и есть 40 миллионов метров). Длина новой окружности равна , а ее радиус равен R+X (рис. 3). Следовательно,

,

откуда и

х

Рис. 3

Таким образом, простой расчет показывает, что если к веревке, опоясывающий земной шар, добавить всего 1 м, то веревка поднимется над Землей почти на 16 см (вполне ощутимая величина).

Задача 2.

Тепловоз прошел 1413 м, и при этом каждое его колесо сделало 300 оборотов. Найти диаметр колеса.

Задача 3.

Вычислите длину круговой орбиты искусственного спутника Земли, если он вращается на расстоянии 320 км от Земли, а радиус Земли равен 6370 км (считаем Землю шаром).

Задача 3. На сколько нужно увеличить длину окружности, чтобы ее радиус увеличился на 1 м?

Учащимся предлагается следующая задача: вычислить площадь производственной детали (заштрихованная фигура), представленной на рисунке.

52

20

Решение:

S6 = =

S6 = 3·R·r

Sдет. = S6 - Sм.кр. = 3·R·r -

Sдет. = 3··10 - 3,14·100 = 466

Задача: Дан круг. Требуется с помощью циркуля и линейки построить квадрат, равновеликий данному кругу, т.е. квадрат, площадь которого равна площади круга.

Пояснения к задаче: эта задача называется «задачей о квадратуре круга», если возникнут затруднения, то найдите решение в дополнительных источниках (Интернет, книги), если нет решения, то обосновать почему. Следующий урок начнем с этой задачи.

Задача: В круге из одной точки окружности проведены две хорды, составляющие угол 120°. Найти площадь части круга, заключенной между ними, если длина каждой хорды 4 см.

Задача 4:

Дана окружность радиуса 12 см. Найти:

сторону правильного описанного треугольника;

периметр правильного вписанного четырехугольника;

площадь правильного описанного шестиугольника.

предложить самостоятельно решить ряд задач.

Задача Архимеда: На отрезке АС взята т.D и на отрезках АС, АD, CD как на диаметрах построены полуокружности. Закрашенную фигуру Архимед назвал «арбелон» (что в переводе скребок, скорняжный нож). Доказать, что площадь арбелона равна площади круга с диаметром BD.

Решение:

Надо доказать, что Sарб..

Sарб. = . Каким является треугольник АВС.

.

Sарб..

Задача 5:

вокруг правильного десятиугольника описан круг с радиусом R.

А1

А2

А10

О

С

Найдите длину стороны десятиугольника.

Пояснение к задаче: А1А2 = 2·R·sin18°. Задача сводится к нахождению sin18°.

Класс делится на два варианта и решает задачу.

1 вариант: алгебраическим способом.

Решение:

18°= , тогда sin 36° = sin(90° - 54°) = cos54° и

sin2= cos3,

sin 18°

Ответ. А1А2 = 2·R· = R·.

2 вариант: геометрическим способом.

Решение:

Получим другое выражение для А1А2. Рассмотрим ∆А1А2О и проведем биссектрису АС.

Вычислим ∟А1ОА2 = =36°.

∟А2А1О = ∟А1А2О =

∆A1A2C ~ ∆ А1А2О (по двум углам)

>0

Ответ. А1А2 = R·.

Задача 6:

От полукруга с диаметром АВ отрезали полукруг с диаметром АМ и измерили длину хорды СD, касающейся второго полукруга; получилось . Можно ли вычислить площадь полученной фигуры?

Решение:

Искомая площадь S равна:

где R и r - радиусы большего и меньшего полукругов. В этой формуле два неизвестных R и r, которые конечно нельзя найти, зная только, что . Однако разность можно найти из прямоугольного треугольника OED(рис.1):

Следовательно,

Этап. Решить задачу: вокруг круглой клумбы, радиус которой 3 м, проложена дорожка шириной 1 м. Сколько нужно песка, чтобы посыпать дорожку, если на один квадратный метр дорожки нужно 0,8 песка?

Этап. Составить аналогичную задачу приведенной выше задаче и решить ее, используя при решении ту же самую формулу.

Этап. Составить обратную задачу к придуманной вами. Решить ее.

Этап. Придумать свою задачу по теме «Длина окружности и площадь круга» по данным из истории, географии, физики, химии, черчения и т.д. и решить ее.

Заключение

В настоящее время у большинства учителей возникает необходимость кропотливого поиска таких приемов методики преподавания и организации учебного процесса, чтобы не заставлять насильно делать неинтересное, чтобы ученику захотелось понять и учить математику.

В практике работы школы накоплен уже немалый опыт по активизации познавательной деятельности учащихся при обучении математике. Но нередко случается так, что описанный в литературе метод или отдельный прием не дает ожидаемых результатов. Причина в том, что: во-первых, у каждого конкретного класса свой опыт познавательной деятельности и свой уровень развития, во-вторых, меняются времена, а вместе с ними и нравы, и интересы детей. Поэтому проблема активизации познавательной деятельности будет существовать во все времена.

Для разработки комплекса задач была проанализирована методическая литература, что позволило дать определение деятельности вообще и познавательной деятельности в частности и выделить средства и приемы активизации познавательной деятельности в математике для учащихся подросткового возраста.

Литература

1. Ахметгалиев А. Мотивация деятельности на уроках математики [Текст]/А. Ахметгалиев // Математика в школе. - 1996. - № 2. - С. 56 - 60.

2. Барамзина С.А. Учебная деятельность школьников в котексте личностно ориентированного обучения [Текст] / С.А. Барамзина // Педагогика. - 2006. - № 8. - С. 41 - 47.

3. Геометрия [Текст]: Учеб. для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.; Под ред. Л.С. Атанасян. - 9-е изд. - М.: Просвещение, 1999.335 с.

4. Зив, Б.Г. Задачи по геометрии для 7-11 классов [Текст]/ Б.Г. Зив. - М.: Просвещение, 1991. - 80 с.

17