Контрольная работа по МОМ на тему: Прогрессия

3. Методы и приемы создания мотивации изучения темы: «Арифметическая и геометрическая прогрессия».

1. Исторический материал

Уже в Древнем Египте знали не только арифметическую, но и геометрическую прогрессию. Об этом свидетельствует приведенная ниже задача из папируса Райнда. Эта задача много раз с разными вариациями повторялась и у других народов в другие времена. Например, в написанной в XIII в. «Книге об абаке» Леонардо Пизанского (Фибоначчи) есть задача, в которой фигурируют 7 старух, направляющихся в Рим (очевидно, паломниц), у каждой из которых 7 мулов, на каждом из которых по 7 мешков, в каждом из которых по 7 хлебов, в каждом из которых по 7 ножей, каждый из которых в 7 ножнах. В задаче спрашивается, сколько всего предметов.

Задача Древнего Египта

Задача из папируса Райнда

«У семи лиц по семи кошек; каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев, из каждого колоса может вырасти по семь мер ячменя. Как велики числа этого ряда и их сумма?»

Решение задачи

Людей всего 7, кошек 7² = 49, они съедают всего 7³ = 343 мыши, которые съедают всего 7⁴ = 2401 колосьев, из них вырастает 7⁵ = 16807 мер ячменя, в сумме эти числа дают 19 607.

Задача о шахматах

Рассказывают, что индийский принц Сирам рассмеялся, услышав, какую награду попросил у него изобретатель шахмат: за первую клетку шахматной доски - одно зерно, за вторую - два, за третью -четыре, за четвертую - восемь и так далее до 64-го поля. Нетрудно сосчитать, используя формулу

, что количество зерна, нужное для расплаты, составляет примерно 18,5*10¹⁸.

Если бы принцу удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая и моря , и океаны, и пустыни, и Арктику с Антарктикой, то получить удовлетворительный урожай, то за пять лет он смог бы рассчитаться с просителем. Такое количество зерен пшеницы можно собрать лишь с площади в 2000 раз большей поверхности Земли. Это превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до нашего времени.

Старинные русские задачи

Задача из "Арифметики" Л. Ф. Магницкого

Проторговался ли купец?
Некто продавал коня и просил за него 1000 рублей. Купец сказал, что за коня запрошена слишком большая цена. "Хорошо, - ответил продавец, - если ты говоришь, что конь дорого стоит, то возьми его себе даром, а заплати только за его гвозди в подковах. А гвоздей во всякой подкове по 6 штук. И будешь ты мне за них платить таким образом: за первый гвоздь полушку, за второй гвоздь заплатишь две полушки, за третий гвоздь - четыре полушки, и так далее за все гвозди: за каждый в два раза больше,чем за предыдущий". Купец же, думая, что заплатит намного меньше, чем 1000 рублей, согласился. Проторговался ли купец, и если да, то насколько?

Решение задачи

За 24 подковных гвоздя пришлось уплатить

копеек. Сумма эта равна

копеек, т.е. около 42 тысяч рублей. При таких условиях не обидно дать и лошадь в придачу

2. Прием «Эстафета формул»

При изучении нескольких формул темы «Прогрессии» целесообразно применение карточек «Эстафета формул». На листе бумаги в столбик записаны формулы, в которых вместо какой-либо величины вырезан круг. Карточку удобно оформлять в виде перфокарты со сменной бумажной полоской-подложкой. Заполняется карточка так: вписывая в первую формулу недостающую величину, её же записывают во вторую формулу, туда, куда показывает стрелка. Процедура продолжается, пока не будут заполнены все пропуски. Так, например, на рис. 1 представлена карточка «Эстафета формул», применяемая при изучении арифметической прогрессии.

Правильность заполнения карточки проверяется с помощью заготовленной подложки-ключа. Для описанной карточки подложка-ключ представлена на рис. 2

Рис.1 Рис.2

Достоинств у приёма «Эстафета формул» несколько. Во-первых, это нетрадиционный способ работы с формулами, что, несомненно, привлекает внимание учащихся. Во-вторых, формы работы с карточками «Эстафета формул» могут быть разнообразны. Возможно заполнение карточки одним учеником, при этом проверяется знание им формул данной темы. Приемлема организация групповой работы, когда учащиеся поочередно записывают пропущенные величины в формулы, связанные в общую цепочку. В этом случае у учащихся возникает чувство ответственности перед товарищами за выполнение своего задания, потому что от правильности записи одной формулы зависит верность заполнения дальнейших пропусков. В-третьих, проверка выполнения заданий очень проста и оперативна, поэтому она может быть осуществлена даже учащимися.

2. «Математическая викторина»

Отработка знаний формул и умения работать с ними может быть осуществлена с помощью математической викторины.

В указанной ниже таблице приводится содержание карточки «Математическая викторина» по теме «Прогрессии», которая может быть использована на уроках после изучения всего теоретического материала темы.

п-й член арифметической прогрессии

разность арифметической прогрессии

сумма первых п членов арифметической прогрессии

сумма бесконечной геометрической прогрессии , при

характеристическое свойство арифметической прогрессии

характеристическое свойство геометрической прогрессии

(п-1)-й член геометрической прогрессии

п-й член геометрической прогрессии

знаменатель геометрической прогрессии

сумма первых п членов геометрической прогрессии

2. Задачи с практическим и экономическим содержанием на прогрессии.

Задача 1. Бегун за первую минуту бега пробежал 400 м, а в каждую следующую минуту пробежал на 5 м меньше, чем в предыдущую. Какой путь пробежал он за 1 ч?

Решение. За первую минуту бегун пробежал 400 м, за вторую - 395 м, за третью - 390 м и т. д. Числа 400, 395, 390, … образуют арифметическую прогрессию, у которой , . Путь за 1 ч, т. е. за 60 мин, равен сумме первых шестидесяти членов прогрессии. Увидев формулу , получим: .

Итак, за 1 ч бегун пробежал 15 км 150 м.

Ответ: 15 км 150 м.

Задача 2. В сберегательный банк внесли вклад в 10000 руб. с доходом 2% годовых. Какую сумму выплатит сберегательный банк вкладчику через 4 года?

Решение. Сбербанк за один год выплатит , где - вклад, q- процентная ставка. За 2 года , но , следовательно, .

Легко убедиться, что за 3 года , …, за n лет .

По этой формуле определим сумму, которую сбербанк выплатит вкладчику по истечении четырех лет:

.

Ответ:

4. Выявите типичные ошибки и возможные затруднения учащихся при изучении темы. Предложите способы предупреждения этих ошибок.

Учение о прогрессиях является существенной, хотя и несколько изолированной от остальных разделов, частью курса алгебры.

Знакомство учащихся с прогрессиями происходит в курсе алгебры девятого класса в теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии». На эту тему по программе общеобразовательных классов отводится 14 часов. Для изучения арифметической прогрессии отводится 6 часов, геометрической - 7 часов, но соотношение часов может варьироваться по усмотрению учителя.

Выполняя математические задания по теме «Прогрессия», учащиеся допускают следующие ошибки:

• Незнание правил, определений, формул.

• Непонимание правил, определений, формул.

• Неумение применять правила, определения, формулы.

• Неверное применение формул.

• Невнимательное чтение условия и вопроса задания.

• Вычислительные ошибки.

• Логические ошибки при решении текстовых задач

4. Типы, виды, и средства контроля знаний и умений учащихся по данной теме.

Проверочные тесты по теме «Прогрессии»

Работа № 1.

1. Какое из чисел является членом арифметической прогрессии 3; 6; 9; 12; …

1). 83; 2). 95; 3). 100; 4). 102

2. Какая из последовательностей является арифметической прогрессией?

1. Последовательность натуральных степеней числа 2.

2. Последовательность натуральных чисел, кратных 7.

3. Последовательность квадратов натуральных чисел.

4. Последовательность чисел, обратных натуральным числам.

3.Какая из последовательностей является геометрической прогрессией?

1. Последовательность натуральных чисел, кратных 3.

2. Последовательность кубов натуральных чисел.

3. Последовательность натуральных степеней числа 3.

4. Последовательность чисел, обратных натуральным числам.

4.Последовательность задана несколькими первыми членами. Одна из них - геометрическая прогрессия. Укажите её.

1. 1; 1/2; 2/3; 3/4; …

2. 1; 3; 5; 7; …

3. 1; 2; 4; 8; …

4. 1; 2; 3; 5; …

5.Последовательность задана несколькими первыми членами. Одна из них - арифметическая прогрессия. Укажите её.

1. 1; 4; 9; 16; …

2. 2; 3/2; 4/3; 5/4; …

3. 1; 3; 9; 27; …

4. 2; 4; 6; 8; …

Работа № 2.

1. Какое равенство не будет верным в любой арифметической прогрессии; где ?

Варианты ответов:

1).

2).

3).

4).

2.Сумма всех натуральных чисел от 30 до 120 включительно равна:

1). 6825; 2). 6750; 3). 9000; 4). 7500

3. Каково число положительных членов арифметической прогрессии, в которой и

1). 14; 2). 13; 3). 13,5; 4). 12

4. Сумма членов арифметической прогрессии с 13-го по 30 включительно, если =6 и , равна:

1). 684; 2). 546; 3). 846; 4). 799

5. Какое утверждение не является верным?

1). В любой геометрической прогрессии верно равенство

2). В любой арифметической прогрессии верно равенство

3). Последовательность, заданная формулой , является арифметической прогрессией. ( Где - последовательность натуральных чисел.)

4). Количество последовательных натуральных чисел, начиная с 1, сумма которых равна 60, составляет 120.

Работа № 3.

Тест по теме: «Арифметическая прогрессия».

Вопрос

Ответ

I вариант

1. В какой из данных арифметических прогрессий, есть член равный нулю?

,

,

,

,

2. В какой из данных арифметических прогрессий, сумма первых семи членов не равна (-21)?

1). 6; 3; 0; -3; …

2). 9; 5; 1; -3; …

3). 12; 7; 2; -3; …

4). 14; 8; 2; -4; …

3. В какой из данных арифметических прогрессий, 32 - ой член равен 133?

1).9; 13; 17; …

2). 7; 11; 15; …

3). 8; 12; 16; …

4). 13; 17; 21; …

4. Сколько положительных членов в арифметической прогрессии, в которой и ?

1).11

2). 10

3). 21

4). 20

5. В какой из данных арифметических прогрессий, есть член наиболее близкий к нулю?

1). 12,3; 9,8; 7,3; …

2). -10,3; -7,8; -2,8; …

3). 10,3; 8,6; 6,9; …

4). -10,3; -8,8; -7,3; …

II вариант

1. В какой из данных арифметических прогрессий, нет члена равного нулю?

,

,

,

,

2. В какой из данных арифметических прогрессий, сумма первых семи членов не равна 21?

1). 15; 11; 7; 3; …

2). -5; -2; 1; 4; …

3). -12; -7; -2; 3; …

4). 24; 17; 10; 3; …

3. В какой из данных арифметических прогрессий, тридцать третий член равен 133?

1).38; 41; 44; …

2). 7; 11; 15; …

3). 8; 12; 16; …

4). 5; 9; 13; …

4. Сколько положительных членов в арифметической прогрессии, в которой и ?

1).20

2). 11

3). 21

4). 10

5. В какой из данных арифметических прогрессий, есть член наиболее близкий к нулю?

1). 12,4; 9,7; 7; …

2). -11,4; -8,7; -6; …

3). 17; 14,2; 11,4; …

4). -13,3; -10,7; -8,1; …

Ответы к проверочным тестам по теме «Прогрессии».

Работа № 1.

Номер вопроса

1.

2.

3.

4.

5.

Верный ответ

4

2

3

3

4

№ вопроса

Ответ

1.

102

2.

Последовательность натуральных чисел, кратных 7.

3.

Последовательность натуральных степеней числа 3.

4.

1; 2; 4; 8; …

5.

2; 4; 6; 8; …

Работа № 2.

Номер вопроса

1.

2.

3.

4.

5.

Верный ответ

3

1

2

3

4

Работа № 3.

I вариант

Номер вопроса

1.

2.

3.

4.

5.

Верный ответ

3

4

1

2

3

II вариант

Номер вопроса

1.

2.

3.

4.

5.

Верный ответ

2

2

4

4

3

6. Предложите формы самостоятельной работы учащихся при изучении темы.

• Задачи для самостоятельного решения.

1) В знакочередующейся геометрической прогрессии первый член равен 2, а сумма третьего и пятого членов равна 40. Найти шестой член прогрессии.

2) Найти сумму значений t или значение t, если оно единственное, при котором числа 3; t + 3; 3t + 21 являются тремя последовательными членами возрастающей геометрической прогрессии.

3) Найти сумму значений x или значение x, если оно единственное, при котором отрицательные числа х - 1; 2х - 1; х² -5 являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии.

4) Найдите наибольшую из сумм первых n членов арифметической прогрессии, если а₁ = 153 и а₂ = 138.

5) Найдите наименьшую из сумм первых n членов арифметической прогрессии, если а₁ = -143 и а₂ = -127.

6) В арифметической прогрессии известны члены а₁₁ = -121 и а₃₄ = 132. Укажите номер члена прогрессии, начиная с которого все её члены неотрицательны.

7) В арифметической прогрессии известны члены а₁₀ = 239 и а₄₀ = -31. Укажите номер члена прогрессии, начиная с которого все её члены меньше 167.

8) В арифметической прогрессии первый член равен 8, а разность равна 2. Найти сумму тех членов прогрессии, которые принадлежат интервалу

( 44; - 23)

9) Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Если известно, что сумма её первого и четвёртого членов равна 54, а сумма второго и третьего 36.

10) В геометрической прогрессии сумма первого и пятого членов равна 51, а сумма второго и шестого членов равна 102. Сколько членов этой прогрессии нужно взять, чтобы их сумма была равна 3069.

• Нестандартные задачи на прогрессии.

Учащиеся затрудняются в решении задач на прогрессии с буквенными данными. Но эти задачи часто встречаются на вступительных экзаменах в вузы. Поэтому школьников следует учить решению таких задач не только на внеклассных занятиях, но и на уроках, что, естественно, способствует активизации деятельности учащихся на уроках-практикумах.

Задача 1. Найдите сумму членов арифметической прогрессии, если сумма первых членов этой прогрессии равна .

Решение. Преобразуем искомую сумму:

По условию , отсюда .

Ранее мы доказали, что .

Из последних двух равенств следует: .

Ответ: [26].

Задача 2. В арифметической прогрессии . Найдите отношение к .

Решение. По условию .

Из последнего равенства получаем:

, так как .

Дальнейшие преобразования приводят к уравнению

, или .

Если , то и .

Пусть , тогда , причем из условия ясно, что . Найдем требуемое отношение: .

Ответ:

• Карточки.

Составляются карточки трех групп. Они получают условные обозначения А, Б, В.

Группа А

Содержание карточек группы А определяется стандартом математического образования. Ниже приведены примеры таких карточек. На них, как и на всех следующих, задания напечатаны жирным шрифтом и помечены буквами а) и б). Наборы ответов даны обычным шрифтом. Приняты сокращения: а.п. - арифметическая прогрессия, г.п. - геометрическая прогрессия, б.г.п. - бесконечная геометрическая прогрессия, у которой знаменатель по модулю меньше 1.

Группа Б

Карточки группы Б содержат задания хотя и более высокого уровня, но все еще только репродуктивного, т.е. предъявляются только такие вопросы, ответы на которые учащимся подробно разъяснялись

Группа В

Карточки группы В содержат задачи повышенного уровня.