Научно-исследовательская работа на тему Золотая пропорция

Республиканский конкурс научно-исследовательских работ

« Академические чтения»

Секция математики им. Н.Г.Четаева

Исследовательская работа

Золотая пропорция и человек

Направляющая организация:

НОУ «Квазары» МБОУ «СОШ №10» г. Набережные Челны

Подвигина Анастасия

Галиуллина Алина, 7а класс,

МБОУ «СОШ №10»

Научный руководитель: Степанова Л.А.

Казань 2013

Содержание

Введение…………………………………………………………………………3

1. «Золотая» пропорция………………………………………………… . …… 4

2. «Золотая» пропорция в природе……………………………… . . . . . . . . . . 7

3. «Золотая» пропорция человеческого тела. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4. Исследования : пропорции человеческой фигуры, пропорции на ладони,

«Золотое сечение» и восприятие изображений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Заключение…………………………………………………………………….. 18

Список использованной литературы……………………………………….....20

Введение

Результаты психолого-педагогических исследований показывают: эффективное обучение невозможно без активной и сознательной деятельности самих учащихся.

С целью ее активизации, формирования и развития у школьников познавательного интереса на уроках математики используются различные приемы. Один из них - введение курса «Золотая» пропорция в базовую программу обучения. Этот элективный курс станет дополнительным фактором формирования положительной мотивации в изучении математики, также понимания учащимися философского постулата о единстве мира.

Целью моей работы является формирование общекультурной компетентности, создание представлений о математике как науке, возникшей из потребностей человеческой практики и развивающейся из них.

Задачи:

- расширить сферу математических знаний учащихся: познакомить учащихся с золотой пропорцией и связанных с нею соотношениях;

- развить эстетическое восприятие математических фактов: расширить представления учащихся о сферах применения математики не только в естественных науках, но и в такой области гуманитарной сферы деятельности, как искусство;

- расширить общекультурный кругозор учащихся посредством знакомства их с лучшими образцами произведений искусства;

- продемонстрировать разнообразное применение математики в реальной жизни;

- помочь осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения им с точки зрения дальнейшей перспективы (показать возможности применения полученных знаний в своей будущей профессии художника, архитектора, биолога, инженера-строителя).

1. Золотая пропорция

Как вы думаете, что общего между египетскими пирамидами, полотном Леонардо да Винчи «Святой Иероним», подсолнухом, улиткой, сосновой шишкой и пальцами человека?
Ответ на этот вопрос сокрыт в удивительных числах, которые были открыты итальянским математиком средневековья Леонардо Пизанским, более известным под именем Фибоначчи. После его открытия числа эти так и стали называться именем известного математика. Числа Фибоначчи:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…

Удивительная суть последовательности чисел Фибоначчи состоит в том, что каждое число в этой последовательности равно сумме двух предыдущих чисел:

…144, 233,377…

144+237=377

В числах Фибоначчи существует одна очень интересная особенность. При делении любого числа на число стоящее перед ним в ряду, результатом всегда будет величина равная 1,618:

233/44=1,618

377/233=1,618

610/377=1,618

Итак, математическое значение золотой пропорции равно соотношению 1/1,618. Из многих пропорций, которыми издавна пользовался человек при создании гармонических произведений, существует одна, единственная и неповторимая, обладающая уникальными свойствами. Эту пропорцию называли по разному - "золотой", "божественной", "золотым сечением", "золотым числом", "золотой серединой".

Золотое сечение (деление в крайнем и среднем отношении)- деление непрерывной величины на две части в таком отношении, при котором меньшая часть так относится к большей, как большая ко всей величине.

"Впервые интерес к пропорции возникает в античной науке (Пифагор, Платон, Евклид). Удивительные математические свойства этой пропорции уже тогда создают вокруг нее ореол таинственности и мистического поклонения". В дошедшей до нас античной литературе деление отрезка в крайнем и среднем отношении впервые встречается в «Началах» Евклида (ок. 300 до н.э.), где оно применяется для построения правильного пятиугольника. Лука Пачоли, современник и друг Леонардо да Винчи, называл это отношение «божественной пропорцией». Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что свое знание золотого деления он позаимствовал у египтян и вавилонян.

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии.

"Золотая пропорция" - это понятие математическое и ее изучение - это, прежде всего задача науки. Но она же является критерием гармонии и красоты, а это уже категория искусства и эстетики.

Золотое сечение - это один из основных основополагающих принципов природы, его можно найти и в пропорциях человеческого тела. Кроме того, человек сам является творцом, создаёт замечательные произведения искусства, в которых просматривается золотая пропорция.

Искусство дает огромное количество примеров использования Золотого Сечения. Пирамида Хеопса, знаменитый греческий храм Парфенон, большинство греческих скульптур (Дорифора и Венера Милосская).

Рис 1. Греческий храм Парфенон

Рис 2. Пирамида Хеопса Рис 3. Венера Милосская

В живописи это непревзойденная «Мона Лиза» Леонардо да Винчи, картины Рафаэля и Микеланджело, знаменитого пейзажиста Ивана Шишкина и талантливого русского художника Константина Васильева.

Рис 4.«Мона Лиза» (Джоконда) Леонардо да Винчи

В музыке это этюды Шопена и музыкальные произведения Бетховена, Моцарта, Чайковского - вот далеко не полный перечень выдающихся произведений искусства, которые наполнены чудесной гармонией, в основе которой лежит удивительное Золотое Сечение.

Известно, что Сергей Эйзенштейн искусственно построил фильм «Броненосец Потёмкин» по правилам золотого сечения. С развитием дизайна и технической эстетики действие закона золотого сечения распространилось на конструирование машин, мебели и т.д.

2. «Золотая» пропорция в природе

В биологических исследованиях 70-90 гг. показано, что, начиная с вирусов и растений и кончая организмом человека, всюду выявляется золотая пропорция, характеризующая соразмерность и гармоничность их строения. Золотое сечение признано универсальным законом живых систем.

У многих бабочек соотношение размеров грудной и брюшной части тела отвечает золотой пропорции. Стрекоза также создана по законам золотой пропорции: отношение длин хвоста и корпуса равно отношению общей длины к длине хвоста.

В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции - длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62/38.

Рис. 5. Ящерица живородящая

Можно заметить золотые пропорции, если внимательно посмотреть на яйцо птицы.

Среди придорожных трав растет ничем не примечательное растение - цикорий. Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок.

Рис.7 . Цикорий

Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий - 38, четвертый - 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения.

«Золотые» спирали в природе

"Золотые" спирали широко распространены в биологическом мире. Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Рога животных растут лишь с одного конца. Этот рост осуществляется по логарифмической спирали. В книге "Кривые линии в жизни" Т. Кук исследует различные виды спиралей, проявляющихся в рогах баранов, коз, антилоп и других рогатых животных. Среди множества спиралей он выбирает "золотую" спираль ("кривую гармонического возрастания") и рассматривает ее как символ эволюции и возрастания.

Спирально закручиваются усики растений, по спирали происходит рост тканей в стволах деревьев, спиральные движения (нутации) наблюдаются при росте корней и побегов. Очевидно, в этом проявляется наследственность организации растений, а ее корни следует искать на клеточном и молекулярном уровне.

Изучая конструкции раковин, ученые обратили внимание на целесообразность форм и поверхностей раковин: внутренняя поверхность гладкая, наружная - рифленая. Внутри покоится тело моллюска - внутренняя поверхность должна быть гладкой. Наружные ребра увеличивают жесткость раковины и, таким образом, повышают ее прочность. Форма раковин поражает своим совершенством и экономичностью средств, затраченных на ее создание. Идея спирали в раковинах выражена не приближенно, а в совершенной геометрической форме, в удивительно красивой, "отточенной" конструкции. Если ее развернуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десяти сантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 см.

Во Вселенной все известные человечеству галактики и все тела в них существуют в форме спирали, соответствующей формуле золотого сечения.

Во внутреннем ухе человека имеется орган "Улитка", который исполняет функцию передачи звуковой вибрации. Эта костевидная структура наполнена жидкостью и также сотворена в форме улитки, содержащую в себе стабильную логарифмическую форму спирали. Математики установили, что даже при увеличении размеров форма спирали остается неизменной. В математике нет более иной формы, которая обладала бы такими же уникальными свойствами как спираль.

3. «Золотая» пропорция человеческого тела

Наибольший интерес у школьников вызовет информация о том, что человек, как высшее создание природы, весь «нашпигован» золотыми сечениями. Важнейшей линией нашей фигуры является линия талии или пупка, который делит нашу фигуру на две неравные части. На рисунке ниже показана человеческая фигура, которая нам кажется гармоничной или совершенной; в ней линия пупа делит фигуру золотым сечением. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13: 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8:5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1 :1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской.

Точное соответствие формуле золотого сечения, по мнению ученых и людей искусства, существует редко, только у людей, которым дарованы идеальные параметры, собственно точное наличие золотой пропорции в лице и теле человека и есть идеал красоты для человеческого взора. Соотношение расстояния от кончиков пальца до локтя и от запястья до локтя; соотношение расстояния от уровня плеча до макушки головы и высоты головы; соотношение расстояния от точки пупка до макушки головы и от уровня плеча и до макушки головы; соотношение расстояния от точки пупка до коленей и от коленей до ступней равны соотношению 1/ 1,618.

Достаточно лишь приблизить сейчас вашу ладонь к себе и внимательно посмотреть на указательный палец, и вы сразу же найдете в нем формулу золотого сечения. Каждый палец нашей руки состоит из трех фаланг сумма двух первых фаланг пальца в соотношении со всей длиной пальца и дает число золотого сечения, за исключением большого пальца.

В строении черт лица человека также есть множество примеров формул золотого сечения. К примеру, если суммировать ширину двух передних верхних зубов и разделить их сумму на высоту этих зубов, то, получив при этом число золотого сечения можно утверждать что строение этих зубов идеально. Это идеальная пропорция, по которой ориентируются все стоматологи и дантисты.

На человеческом лице существует и иные воплощения правила золотого сечения. Приведем несколько таких примеров. Соотношение высоты лица и ширины лица. Соотношение расстояния от бровей до центра губ и высоты носа. Соотношение высоты лица от макушки до подбородка и расстояние от линии бровей до подбородка. Соотношение ширины рта и ширины носа Соотношение ширины носа и ширины ноздри. Соотношение расстояния между глазами и расстоянием между бровями.

Был проведен гармонический анализ женского лица с использованием пентаграммы и золотого сечения. Было установлено, что наибольшее соответствие «принципу золотого сечения» лицо женщины принимает в тот момент, когда женщина улыбается. Женщина воспринимается более красивой с теплой улыбкой, чем с суровым взглядом, наполненным гневом, надменностью и пренебрежением.

Рис. 13. Гармонический анализ женского лица.

Американский физик Б.Д.Уэст и доктор А.Л. Гольдбергер во время физико-анатомических исследований установили, что в строении легких человека также существует золотое сечение. Особенность бронхов, составляющих легкие человека, заключена в их асимметричности. Бронхи состоят из двух основных дыхательных путей, один из которых (левый) длиннее, а другой (правый) короче. Было установлено, что эта асимметричность продолжается и в ответвлениях бронхов, во всех более мелких дыхательных путях. Причем соотношение длины коротких и длинных бронхов также составляет золотое сечение и равно 1:1,618.

Исследования : « Золотое сечение и восприятие изображений»

1. Мы произвели некоторые измерения учеников нашего класса, нашли отношения величин и получили следующие результаты:

№

Фамилия

Расстояние от талии до головы, L1

Расстояние от талии до пола,L2

L2\L1

1

Журавлева Настя

55

90

1,63

2

Касимов Айнур

52

87

1,67

3

Насибуллина Аделя

48

80

1,6

№

Фамилия

Длина двух фаланг, H1

Длина пальца,H2

H2\H1

1

Журавлева Настя

4,2

6,5

1,5

2

Касимов Айнур

4

6,1

1,53

3

Насибуллина Аделя

3,8

6,2

1,63

Анализируя приведенные таблицы, можно сделать вывод, что фигуры наших одноклассников, участвовавших в исследовании, соответствуют отношению «золотой» пропорции, то есть являются идеальными. А вот ладонь только Насибуллиной Адели соответствует «золотой» пропорции.

2) Нами проводилось исследование в 6а классе, в котором испытуемым предлагалось выбирать и копировать прямоугольники различных пропорций. На выбор предлагалось три прямоугольника: квадрат (40:40 мм), прямоугольник "золотого сечения" с отношением сторон 1:1,62 (31:50 мм) и прямоугольник с удлиненными пропорциями 1:2,31 (26:60 мм).

При копировании этих прямоугольников наблюдается следующее: когда активно правое полушарие, пропорции в копиях выдерживаются наиболее точно, при активности левого полушария пропорции всех прямоугольников искажаются, (прямоугольники вытягиваются), квадрат срисовывается как прямоугольник; пропорции вытянутого прямоугольника резко увеличиваются. Наиболее сильно искажаются пропорции "золотого" прямоугольника. По итогам исследования нами был проведен анализ:

-Количество испытуемых:25

-Количество человек с одинаковым развитием полушарий: 5(20%)

-Количество человек с более развитым левым полушарием: 4(16%)

-Количество человек с более развитым правым полушарием:16(64%)

Наши полушария "работают" по-разному. Левая половина мозга отвечает за логические операции, счет, установление последовательностей, тогда как правое полушарие контролирует инициативу и творчество. Левое полушарие можно назвют аналитическим, классификационным, абстрактным, алгоритмическим, последовательным, индуктивным. Можно сказать, что левому полушарию свойственно рационально-логическое, знаковое мышление, таких учеников в нашем классе 4 человека. Правому полушарию соответствуют такие характеристики, как целостное, синтетическое, конкретное, параллельное (одновременное, а не последовательное), дедуктивное. Его называют еще эмоциональным. Ему свойственно наглядно-образное, интуитивное, творческое мышление, таких одноклассников у нас 16.

Заключение

У каждого из вас, невольно возникает вопрос: почему же такую интересную информацию мне не преподавали в средней школе? Ведь знания о "золотом сечении" и о его многочисленных приложениях в Природе, Науке и Искусстве, несомненно, обогатили бы каждого из нас. И вряд ли кто-либо из признанных ученых в области педагогики сможет дать вразумительный ответ на этот вопрос. Возможно, дело в традиции. Традиционно классическая наука, а, следовательно, и классическая педагогика, относилась к "золотому сечению" с некоторым предубеждением. Все дело в широком использовании "золотого сечения" в астрологии и так называемых "эзотерических науках". Конечно, мы можем не воспринимать "изотерическую" философию, которая основана на "числах Фибоначчи", "золотом сечении", "золотой спирали". Но мы не можем отвергать теорию чисел Фибоначчи, использование "золотого сечения" в искусстве, "компьютеры Фибоначчи"! Все это стало сейчас таким же элементом современной культуры как геометрия Евклида, Ньютоновская теория гравитации, или музыка Чайковского. И эта часть человеческой культуры, основанная на золотом сечении, должна стать достоянием образования. По мнению Кеплера (и не только Кеплера) изучению уникальных свойств и применений золотого сечения в окружающем нас мире надо уделять в образовании не меньшее внимание, чем теореме Пифагора. И тогда вполне возможно, что изучение математики, которую в своем большинстве ученики рассматривают как сухую и неинтересную дисциплину, неожиданно могло бы превратиться в увлекательный поиск математических закономерностей окружающего нас мира. То есть, введение золотого сечения в математическое образование поднимает интерес учащихся к изучению математики! Всплеск интереса к золотому сечению, проблемам гармонии и симметрии отражает закономерный путь развития современной науки, которая движется к раскрытию законов гармонии мира, созданию на их основе новой научной картины мира и возобновлению утерянных в процессе исторического развития глубинных связей между Наукой и Искусством - двух взаимно дополняющих друг друга, способ раскрытия и отображения объективной гармонии мироздания.

Отношение «золотая» пропорция широко используется в медицине, косметологии, строительстве, модельном бизнесе. Эта тема интересна всем, кто не равнодушен к красоте.

Список использованной литературы

1. Васюткинский Н.Н. Золотая пропорция.- М: Молодая Гвардия, 1990.

2. Волошинов А.В. Математика и искусство.- М: Просвещение, 2000.

3. Померанцева Н.А Эстетические основы искусства Древнего Египта,1985.

4. Цветков В.Д. Сердце, золотое сечение и симметрия,1997.

5. Энциклопедия для детей. Математика.- М: «Аванта +»,2003.

6. Домкина, Г. Математика полна неожиданностей/ Математика 31,2001.