Алгебраические уравнения высших степеней с параметрами

• Ермакова Татьяна Петровна, учитель математики

Разделы: Преподавание математики

1.1. Общая методическая концепция решения уравнений с параметрами

Пусть дано уравнение F(x, a) = 0, (1)

если ставится задача для каждого значения а А решить уравнение (1) относительно х, т.е. получить уравнение

х = f(a), (2)

то уравнение (1) называется уравнением с неизвестным х и параметрома. А - область изменения параметра. Принято считать, что А - множество действительных чисел. Решить уравнение (1) - значит решить множество уравнений, которые получаются из уравнения (1) при а R. Сделать это можно, если по некоторому признаку разбить множество А на подмножества и решить заданное уравнение на каждом из них. Значенияа называются контрольными.

1.2. Использование параметра как равноправной переменной

Некоторые уравнения бывает целесообразно решать, рассматривая их как уравнение именно относительно параметра, который фигурирует в условии, а не относительно искомой переменной. Этот путь эффективен, в частности, в тех случаях, когда степень переменной относительно высока, а степень параметра равна двум.

Пример 1. Решить уравнение с параметром.

2x³ - (а+2)х² - ах + а² = 0 (1)

Решение: Данное уравнение можно рассматривать как квадратное относительно параметра а, переписав его в виде:

а² - х(х+1)а - 2х² + 2х³ = 0 (2)

Найдем дискриминант D.

D = х² (х+1)² - 8(х³ - х²) = х⁴ - 6х³ + 9х² = х²(х² - 6х + 9) = х²(х - 3)².

D = х²(х - 3)²

Найдем корни уравнения (2).

; а₂ = 2х.

Получим уравнение (а - х² + х)(а - 2х) = 0 равносильное исходному уравнению, которое ещё в свою очередь равносильно совокупности

Рассмотрим уравнение х² - х - а = 0, D = 1 - 4а.

D = 0 при а = -1/4 один корень х = 1/2

D < 0 при а < - 1/4 корней нет

D > 0 при а > -1/4 два корня

Рассмотрим уравнение х = а/2, при а = -1/4, х = -1/8.

Выбираем ответ.

Ответ: при а > -1/4 три корня: х1 = а/2,

при а = -1/4 два корня: х1 = -1/8; х² = ½

при а < - 1/4 один корень: х = а/2.

Упражнения

Решить уравнения.

1. 2x⁴ - (а+2)х³ - (а - 1)х² + (а² - 1) = 0;

2. x⁴ + 6х³ + (4 - 2а)х² - (6а + 1)х + а² + а = 0;

3. х³ + (2а - 3)х² + (а² - 4а + 2)х - а² + 2а = 0;

4. х³ - (2а + 3)х² + (а² + 4а + 2)х - а² - 2а = 0.

1.3. Графический способ решения уравнений с параметрами

Взгляд на параметр как на равноправную переменную находит свое отражение в графических методах. В самом деле, поскольку параметр «равен в правах» с переменной, то ему, естественно можно выделить и свою координатную ось. Таким образом, возникает координатная плоскость (х; а). Рассмотрим примеры.

Пример 1. В зависимости от параметра а определить число корней уравнения.

x⁴ - 10х³ - 2(а - 11)х² + 2(5а + 6)х + 2а + а² = 0;

Решение. Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно а.

а² + 2а(1 + 5х - х²) + (х⁴ - 10х³ + 22х² + 12х) = 0;

Найдем дискриминант

D/4 = 1 + 25х² + х⁴ + 10х - 10х³ - 2х² - х⁴ + 10х³ - 22х² - 12х = х² - 2х +1 = = (х - 1)²

Найдем а₁ и а₂ ; а₁ = х² -5х - 1 + х - 1 = х² - 4х - 2;

а₂ = х² -5х - 1 - х + 1 = = х² - 6х.

Теперь обращаемся к координатной плоскости (х; а).

х² - 4х - 2 = х² - 6х, 2х = 2, х = 1, а(1) = -5.

Ответ: если а < -9, то нет решений;
если а = -9, то одно решение;
если -9 < a < -6, то два решения;
если а = -6 или а = -5, то три решения;
если -6 < а < -5 или а > -5, то четыре решения.

Упражнения

Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет три решения.

1. (х² - 12а)² - 24х² + 32х + 96а = 0;

2. (2х² - а)² - 24х² + 16х + 4а = 0;

3. (2х² - а)² = 13х² + 6х - 2а = 0.

1.4. Использование свойств функций для решения алгебраических уравнений

На выпускных экзаменах за курс средней школы встречаются уравнения с параметром, решение которых связано с использованием четности функций. Напомним определение четности функции.

Определение. Функция f(x) называется четной, если f(-x) = f(x) для любого х из области определения этой функции. График четной функции симметричен относительно оси ординат. У четной функции область определения симметрична относительно начала координат.

Пример 1. Может ли при каком-нибудь значении а уравнение

2х⁸ - 3ах⁶ + 4х⁴ - ах² = 5 иметь 5 корней?

Решение. Обозначим f(x) = 2х⁸ - 3ах⁶ + 4х⁴ - ах². f(x) - функция четная, поэтому, если х0 - корень данного уравнения, то - х₀ - тоже, х = 0 не является корнем данного уравнения (0 ≠ 5). Следовательно, число корней у этого уравнения при любом действительном а четно, поэтому 5 корней оно иметь не может.

Ответ: не может.

Пример 2. При каком значении а уравнение х¹⁰ - а|х| + a² - а = 0 имеет единственное решение?

Решение. Обозначим f(x) = х¹⁰ - а|х| + a² - а, f(x) - функция четная,

поэтому, если х0 - корень данного уравнения, то - х₀ - тоже. Значит для единственности решения необходимо, чтобы х₀ = 0. В этом случае из уравнения получим: a² - а = 0, а = 0 или а = 1. Проверим достаточность каждого из полученных значений параметра а,

при а = 0, х¹⁰ = 0, т.е. х = 0 единственное решение.

при а = 1, х¹⁰ - |x| = 0. Корнями являются числа ± 1, 0.

Ответ: при а = 0 уравнение имеет единственное решение.

Упражнения

1. Может ли при каком-нибудь а уравнение 2х⁶ - х⁴ - ах² = 1 иметь три корня?

2. Может ли при каком-нибудь а уравнение 2х⁶ - 2ах⁴ + 3х² = 4 иметь пять корней?

3. При каком значении а уравнение имеет единственное решение?

1.5. Метод замены

Как мы уже знаем, что рациональное и быстрое решение уравнения зависит от замены переменной. Рассмотрим примеры, для решения которых нужны специальные замены, которые приводят как раз к быстрому решению уравнений.

Пример 1. Решить уравнение (х + 2а)(х +3а)(х + 8а)(х + 12а) = 4а²х²,

где а - параметр.

Решение. Данное уравнение относится к уравнению вида

(х + а)(х +b)(х + c)(х + d) = Eх² (см. п. 2.5 (3))

Используя специфику решения такого уравнения, будем иметь:

(х² + 14ах +24а²)( х² + 11ах +24а²) = 4а²х²

Если а = 0, то х = 0.

Обратно, если а ≠ 0, то х ≠ 0.

Разделим обе части этого уравнения на а²х², будем иметь

В полученном уравнении сделаем подстановку и получим уравнение (у + 14)(у + 11) = 4, у² + 25у + 150 = 0, у₁ = - 15, у₂ = - 10.

Таким образом, получим два уравнения

и

Решим второе уравнение х² + 10ах + 24а² = 0, D = 4a²

х³ = -6а, х⁴ = -4а

Ответ: если а = 0, то х = 0
если а ≠ 0, то х_1,2, х³ = -6а, х⁴ = -4а

Упражнения

1. Найдите все действительные значения величины а, при которых уравнение х(х +1)(х + а)(х + 1 + а) = а² имеет четыре действительных корня.

2. Решить уравнение х⁴ + а⁴ - 3ах³ + 3а²х = 0.

3. При каких значениях а уравнение (х² - 2х)² - (а + 2)(х² - 2х) + 3а - 3 = 0 имеет четыре корня?

4. Решить уравнение (х + а)(х + 2а)(х + 3а)(х + 4а) = 3а⁴