- Преподавателю
- Математика
- Методическая разработка по теме Тригонометрия
Методическая разработка по теме Тригонометрия
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Другие методич. материалы |
Автор | Шелепова И.В. |
Дата | 25.08.2015 |
Формат | doc |
Изображения | Есть |
Методическое пособие
Дисциплина: «Математика»
По разделу: «ТРИГОНОМЕТРИЯ»
Для студента
Разработал преподаватель:
Шелепова И.В.
Иркутск 2015
Содержание
Пояснительная записка
2
Радианное и градусное измерение углов и дуг. Числовая окружность.
3
Синус, косинус, тангенс, котангенс действительного числа. Знаки и значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
6
Соотношение между тригонометрическими функциями одного аргумента
8
Функция острого угла и прямоугольный треугольник
10
Примеры для самопроверки
13
Литература
14
Пояснительная записка
Основная задача обучения математике в среднем специальном учебном заведении - обеспечить прочное и сознательное овладение студентами системой математических знаний и умений, необходимых для дальнейшего освоения специальных дисциплин.
Цель: углубление знаний по разделу тригонометрия и отработка практических навыков решения задач.
Задачи:
-
Восполнить пробелы в знаниях студентов;
-
Провести взаимосвязь между дисциплинами, изучаемыми в блоках общепрофессиональных (электроника, электротехника) и специальных дисциплин, по специальностям реализуемым в учебном заведении;
-
Подготовить студентов к участию в олимпиадах и сдаче ЕГЭ.
Каждая тема методического пособия содержит теоретический и практический материал (примеры с алгоритмами решений) и задачи для закрепления (домашнее задание) по изучаемой теме. В результате изучения данного раздела «Тригонометрия» студентам предлагается контрольная работа, которая позволяет проверить полученные знания.
Данное пособие может использоваться как для аудиторной так и внеаудиторной работы студентов.
Тема1. Радианное и градусное измерение углов и дуг. Числовая окружность.
Градусная мера. Здесь единицей измерения является градус (обозначение °) - это поворот луча на часть одного полного оборота. Таким образом, полный оборот луча равен 360°. Один градус состоит из 60 минут (их обозначение '); одна минута - соответственно из 60 секунд ( обозначаются " ).
Радианная мера. Длина дуги l, радиус r и соответствующий центральный угол α связаны соотношением: α=
Эта формула лежит в основе определения радианной меры измерения углов. Так, если l = r , то α = 1, и мы говорим, что угол равен 1 радиану, что обозначается: α = 1 рад. Таким образом, мы имеем следующее определение радианной меры измерения:
Радиан есть центральный угол, у которого длина дуги и радиус равны (AmB = AO, рис.1 ). Итак, радианная мера измерения угла есть отношение длины дуги, проведенной произвольным радиусом и заключённой между сторонами этого угла, к радиусу дуги.
Следуя этой формуле, длину окружности C и её радиус r можно выразить следующим образом: .
Так, полный оборот, равный 360° в градусном измерении, соответствует 2 в радианном измерении. Откуда мы получаем значение одного радиана: .
Обратно,
Перевод градусной меры в радианную и обратно
-
Чтобы найти радианную меру любого угла по его данной градусной мере, надо умножить число градусов на , число минут - , число секунд - на и сложить найденные произведения.
Пример. Найти радианную меру угла 12°30' с точностью
до четвёртого десятичного знака.
Решение. Умножим 12 на π / 180 : 12 · 0.017453 ≈ 0.2094.
Умножим 30 на π / (180 · 60 ) : 30 · 0.000291 ≈ 0.0087.
Теперь находим: 12°30' 0.2094 + 0.0087 = 0.2181 рад.
2. Чтобы найти градусную меру любого угла по его данной радианной мере, надо умножить число радиан на . (относительная погрешность результата составит ~ 0.0004%, что соответствует абсолютной погрешности ~ 5" для полного оборота 360° ).
Пример. Найти градусную меру угла 1.4 рад с точностью до 1'.
Решение. Последовательно найдём: 1 рад ≈ 57°17'45";
0.4 рад≈ 0.4 · 57°.296 = 22°.9184;
0°.9184 · 60 ≈ 55'.104; 0'.104 · 60≈ 6".
Таким образом, 0.4 рад 22°55'6" и тогда:
1 рад ≈57°17'45"
+
0.4 рад≈ 22°55'6"
_____________________
1.4 рад ≈80°12'51"
После округления этого результата до требуемой точности в 1' окончательно получим: 1.4 рад » 80°13'.
Задания для решения
Рис. 2
-
Вторая четверть разделена пополам точкой М, а третья четверть разделена на три равные части точками К и Р. Чему равна длина дуги: АМ, ВК, МР, DС, КА, ВР, СВ, ВС? Перевести в градусную меру.
-
Можно ли на единичной окружности найти такую точку Е, для которой задана длина дуги АЕ? Если точка Е существует, укажите четверть, в которой она расположена:
а) АЕ=2; в) АЕ=6,2;
б) АЕ=5; г) АЕ=6,3.
-
Найдите на числовой окружности точку, которая соответствует заданному числу и переведите ее в градусную меру угла:
а) ; б) ; в) ; г) ; д) 4 е) ; ж) ; з) ;
и) ; к) ; л) ; м) ; н) 1; о) -5; п) 4,5; р) -3.
-
Выделите на числовой окружности дугу, точки которой удовлетворяют заданному неравенству:
а) ; б) ;
в) ; г) .
-
Вычислите:
а) ; б) ; в) ;
г) .
-
Какова радианная мера угла:
-
Определите знаки выражений:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ;
е) .
Домашнее задание
-
Первая четверть разделена на две равные части точкой М, а четвертая разделена на три равные части точками К и Р. Чему равна длина дуги: АМ, BD, СК, МР, DM, МК, СР, РС?
-
Найдите на числовой окружности точку, которая соответствует заданному числу, и переведите ее в градусную меру угла:
а) ; б) ; в) ; г) ; д) 5; е) -5; ж) 8; з) -8.
-
Вычислите:
Тема2.Синус, косинус, тангенс, котангенс действительного числа. Знаки и значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Чтобы построить всю тригонометрию, законы которой были бы справедливы для любых углов ( не только для острых, но и для тупых, положительных и отрицательных углов ), необходимо рассмотреть так называемый единичный круг, то есть круг, радиус которого равен 1 ( рис.3 ).
Проведём два диаметра: горизонтальный AA' и вертикальный BB'. Будем отсчитывать углы от точки A ( начальная точка ). Отрицательные углы отсчитываются по часовой стрелке, положительные - против. Подвижный радиус OC образует угол α с неподвижным радиусом OA. Он может быть расположен в первой четверти ( COA ), во второй четверти ( DOA ), в третьей четверти ( EOA ) или в четвертой четверти ( FOA ). Считая OA и OB положительными направлениями, а OA' и OB' - отрицательными, мы определим тригонометрические функции следующим образом.
Линия синуса угла α ( рис.4 ) - это вертикальный диаметр единичного круга, линия косинуса угла α - горизонтальный диаметр единичного круга. Синус угла α ( рис.4 ) - это отрезок OB на линии синуса, то есть проекция подвижного радиуса OK на линию синуса; косинус угла α - отрезок OA линии косинуса, то есть проекция подвижного радиуса OK на линию косинуса. Знаки синуса и косинуса в различных четвертях единичного круга показаны на рис.5 и рис.6.
Линия тангенса (рис.7 ) - это касательная к единичному кругу, проведенная через точку A горизонтального диаметра.
Линия котангенса ( рис.8 ) - это касательная к единичному кругу, проведенная через точку В вертикального диаметра.
Тангенс - это отрезок линии тангенса между точкой касания A и точкой пересечения ( D, E, и т.д., рис.7 ) линии тангенса и линии радиуса.
Котангенс - это отрезок линии котангенса между точкой касания В и точкой пересечения ( Р, Q, и т.д., рис.8 ) линии котангенса и линии радиуса.
Знаки тангенса и котангенса в различных четвертях единичного круга показаны на рис.9.
Секанс и косеканс определяются как величины, обратные соответственно косинусу и синусу.
Задания для решения
-
Расположите в порядке возрастания числа:
а)
б)
в)
2) Найдите все неизвестные стороны прямоугольного треугольника, если:
а) ; б) ;
в) ; г) ;
д) .
Тема3.Соотношение между тригонометрическими функциями одного аргумента
Основные соотношения
-
-
;
-
;
-
;
-
-
Пример1: Известно, что и . Найти соответствующие значения cost, tgt, ctgt.
Решение. Из соотношения находим .
По условию, , значит, .
Из уравнения находим, что или .
По условию аргумент принадлежит первой четверти числовой окружности, а в ней . Значит из двух найденных возможных решений выбираем первое: .
Зная значения и , нетрудно вычислить соответствующие значения :
.
Ответ: , .
Пример2: Известно, . Найти соответствующие значения sint, cost, ctgt.
Решение. Воспользуемся соотношением . По условию , значит, .
Отсюда находим, , значит, или .
По условию аргумент принадлежит второй четверти числовой окружности, а в ней . Значит из двух указанных выше возможностей выбираем вторую: .
Зная значения , нетрудно вычислить соответствующие значения :
.
Ответ: , .
Задания для решения
-
Найдите sint, tgt, ctgt если (1 четверть)
-
Найдите cost, tgt, ctgt если (3 четверть)
-
Найдите sint, cost, ctgt если (2 четверть)
-
Найдите sint, cost, tgt если (4 четверть)
-
Определите знак числа
-
;
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Какова радианная мера угла:
Тема4.Функция острого угла и прямоугольный треугольник
В системе координат расположим прямоугольный треугольник так, чтобы вершина совпала с началом координат, а катет лежал на оси . Обозначим внутренний угол треугольника при вершине через , а стороны треугольника - через (рис. 1). Построим прямоугольный треугольник - катет лежит на оси . Отношения сторон прямоугольного треугольника могут быть выражены с помощью тригонометрических функций угла . Из подобия треугольников и следует, что и . Следовательно,
.
Так как получаем .
Таким образом, в прямоугольном треугольнике с острым углом :
синус угла равен отношению противолежащего этому углу катета к гипотенузе;
косинус угла равен отношению прилежащего этому углу катета к гипотенузе;
тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету;
котангенс угла равен отношению прилежащего катета к противолежащему катету.
Пусть дан прямоугольный треугольник (угол ). Обозначим его катеты через , а гипотенузу - через . Рассмотрим 4 возможных случая.
-
Если известны катеты , то гипотенузу , углы находим из соотношений:
.
-
Если известны , то катет , углы находим из соотношений: .
-
Если известны катет и угол , то катет , гипотенузу и угол находим из соотношений: .
-
Если известны и угол , то катеты и угол находим из соотношений: .
Теоремы синусов и косинусов
Пусть - произвольный треугольник, .
Теорема синусов. Справедливы равенства , где - радиус описанной окружности.
Теорема косинусов. Справедливо равенство .
Последнее соотношение останется верным, если заменить в нем одну из сторон и противоположный ей угол соответственно другой стороной и противоположным ей углом треугольника.
С помощью теоремы синусов можно определить неизвестные элементы треугольника, когда известны две его стороны и угол, противоположный одной из этих сторон, или когда известны два угла и один из противоположных к этим сторонам углов.
Теорема косинусов используется для нахождения неизвестных элементов, когда даны три стороны треугольника или две стороны и угол между ними.
Например, даны три стороны Найти углы .
-
из теоремы косинусов имеем: ;
-
из теоремы синусов можем записать: ;
из значений при помощи таблиц тригонометрических функций или калькулятора находим углы .
-
третий угол .
Задания для решения
-
Расположите в порядке возрастания числа:
-
.
-
-
-
Найдите сторону прямоугольного треугольника, изображенного на данном рисунке:
-
В прямоугольном треугольнике известны гипотенуза и острый угол . Найдите катеты, площадь треугольника и радиус описанной окружности, если:
-
-
;
-
;
-
;
-
.
-
-
В известно, что см, , . Найдите и площадь .
-
Высота треугольника равна 5 см, а углы, прилегающие к основанию, равны и . Найдите площадь треугольника.
Домашнее задание
Расположите в порядке возрастания числа:
Контрольная работа
-
По заданному значению функции найдите значения остальных тригонометрических функций:
-
;
-
;
-
.
-
-
Упростите выражение:
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
.
Литература:
-
Алгебра и начала анализа. Под редакцией Яковлева Г.Н. часть 1, 2. М., Наука, 1987.
-
Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для техникумов.- 3-е изд.- М.: Высшая школа, 1990.-495с.
-
Дадаян А.А. Математика: Учебник 2-е изд.- М.: Форум- Инфра - М, 2006. - 552с.
-
Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика- Уч. пособие для техникумов. - М.: Высшая школа, 1991.- 480с.
-
Сборник задач по математике для техникумов: Уч. пособие для техникумов/ Под ред. Афанасьевой О.Н., - 2-е изд. переаб.- М.: Наука, 1992.- 208 с.
-
Филимонова Е.В. Математика: Уч. пособие для сред. спец. уч. завед. - 3-е изд доп. и перераб. - Ростов Н/Д: Феникс, 2005.- 416с.
-
Алгебра и начала анализа. Под редакцией Колмогорова А.Н. М., Просвещение, 2000
-
Алимов Ш.А. и др. Математика 10-11, М., Просвещение, 2001
-
Алтынов П.И. Тесты: алгебра и начала анализа 10-11 классы. М., Дрофа, 2001.
-
Башмаков М.И. Математика 10-11, М Просвещение, 2003
-
Беденко Н.К., Денищева Л.О. Уроки по алгебре и началам анализа. М., Высшая школа, 1988.
-
Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я. Контрольные и проверочные работы по алгебре 10-11 классы. М., Дрофа, 1998.
-
Крамор B.C. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа. М., Просвещение, 1990.
-
mathem.by.ru/matr0.html
-
arm-math.rkc-74.ru/p58aa1.html
11