Урок по математике (алгебра): «Алгоритм построения графика квадратичной функции y=ax^ (2)+ bx+c». (8 класс)

Тема урока:

«Алгоритм построения графика квадратичной функции ».

Цель:

1. Обучающая.

Продолжить формирование навыков решения квадратных уравнений, построения

графика квадратичной функции вида , .

Рассмотреть алгоритм построения графика квадратичной функции

Показать связь изучаемого материала с жизнью.

Повторение вопросов, встречающихся на ГИА в 9 классе.

2. Воспитывающая.

Воспитывать любовь к предмету, трудолюбие, умение выбирать дело по силам,

желание доводить его до логического конца.

3. Развивающая.

Развивать письменную и устную речь учащихся. Способствовать самовыражению

учащихся через различные виды деятельности. Расширение кругозора учащихся.

Оборудование:

Компьютер и интерактивная доска для демонстрации электронной презентации,

памятки с алгоритмом построения графика квадратичной функции, тесты, трафареты

графиков квадратичной функции, планшет для демонстрации свойств параболы, стакан с

водой и ложечкой для опыта, подтверждающего свойства параболы.

План урока:

1. Разминка.

2. Проверяем себя.

Повторяем темы «Решение квадратных уравнений»:

а) тестирование для группы учащихся, слабо усвоивших теорию;

б) решение квадратных уравнений на закрепление формулы корней квадратного

уравнения;

в) решение уравнений, сводящихся к квадратным.

3. От неизвестного к известному.

Изучение нового материала.

4. Физкультминутка.

5. Учимся вместе.

Закрепление нового материала.

6. Понять и запомнить.

Подведение итога урока, домашнее задание.

7. Это мы не проходили.

Сообщение на тему «Квадратные уравнения с параметрами».

Защита проекта «Использование свойств квадратичной функции человеком».

Ход урока:

На сегодняшнем уроке мы продолжим повторение темы «Решение квадратных

уравнений», рассмотрим алгоритм построения графика квадратичной функции без

выделения полного квадрата, оценим проект «Использование свойств квадратичной

функции человеком».

1. Разминка.

1. Знакомые все лица.

Цель - повторить решение неполных квадратных уравнений; формировать навыки

находить их корни.

Решить уравнения:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

2. Графики, графики, графики.

Цель - совершенствование навыков построения графиков квадратичной функции.

Построить график квадратичной функции, используя трафареты

а)

б)

в)

Квадратичная функция задана графиком. Задать квадратичную функцию уравнением.

3. Внимание ГИА!

Масса космического корабля «Восток», на котором Ю.А.Гагарин впервые полетел в

космос, равна 4725 кг. Выразите массу корабля в тоннах и кг; только в тоннах; в

центнерах и кг; только в центнерах.

2. Проверяем себя.

Цель - индивидуально повторить тему «Решение квадратных уравнений»

1. Тестирование для группы учащихся, слабо усвоивших теорию:

Вариант 1.

1. ….. уравнением называется уравнение , где a, b, c - числа, x - переменная,

2. Уравнение …

3. Уравнение называют …..

4. Уравнение , называют ….. квадратным уравнением и его корень равен …..

5. Если - квадратное уравнение, то b называют ….. коэффициентом.

6. Корни квадратного уравнения вычисляются по формуле

, .

7. Приведенное квадратное уравнение совпадает с уравнением общего вида, где

8. Если - корни уравнения , то справедливы формулы

Вариант 2.

1. Если - квадратное уравнение, то а называют ….. коэффициентом, с - ….. членом.

2. Уравнение , не имеет …..

3. Уравнение называют ….. квадратным уравнением.

4. Корни квадратного уравнения вычисляются по формуле

, .

5. Квадратное уравнение имеет два различных корня, если

6. Квадратное уравнение вида называют ……

7. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна ….. коэффициенту, взятому с ….. знаком, а произведение корней равно ….. члену.

8. Если числа - корни ….. уравнения….

2. Решение квадратных уравнений на закрепление формулы корней квадратного уравнения (группа учащихся работает самостоятельно).

Решить уравнения:

а) .

(Проверка: учащиеся называют корни уравнения, учитель говорит правильно или нет).

3. Решение уравнений, сводящихся к квадратным (двое учащихся решают у доски)

Решить уравнения (с полным объяснением решения. У доски 2 ученика)

Проверка тестов учителем после урока.

3. От неизвестного к известному.

Цель - рассмотреть новый способ построения графика квадратичной функции: с помощью алгоритма.

1. Построить график функции

2. Построить график функции

Как можно построить такой график? А, если, не выделяя полного квадрата? Подумайте, как это можно сделать?

После ответов уч-ся объяснить: построить график такой квадратичной функции можно по специальному алгоритму, который мы сегодня рассмотрим.

Это квадратичная функция. Ее графиком является парабола.

Начинаем построения графика с того, что рассмотрим коэффициент а.

, значит, ветви параболы направлены вверх.

Дальше в формуле идет х.

Найдем х , при которых y=0, т.е. нули функции. Для этого решим уравнение

. По теореме, обратной Виета построим их в системе координат.

Следующий коэффициент b.

Зная b и а, можно найти координаты вершин параболы по формулам

Построим вершину в той же системе координат.

Через вершину параболы проходит ее ось симметрии, поэтому построим прямую которая является осью симметрии.

Для точности построения параболы возьмем еще две дополнительные точки на оси Ох, симметричные относительно вершины 0 и 4.

Вычислим значение функции в этих точках и построим их в системе координат.

Через все построенные точки проведем плавную кривую, которая будет графиком параболы.

Итак, мы построили график квадратичной функции по следующему алгоритму (читают алгоритм по памятке, лежащей у каждого на столе).

4. Физкультминутка.

1. Раз - поднялись, потянулись.

Два - согнулись, разогнулись.

Три - в ладоши три хлопка,

Головою три кивка.

Плюс - хорошая фигура.

Вот что значит физкультура!

На четыре - руки шире,

Пять - руками помахать.

Шесть - за парту тихо сесть.

5. Учимся вместе.

Цель - закрепления алгоритма построения графика квадратичной функции.

№ 624, задание 1.

Построить график квадратичной функции по алгоритму.

(Учащиеся самостоятельно строят график. Учитель оказывает индивидуальную помощь). Затем готовый график демонстрируется для проверки.

6. Понять и запомнить.

Итак, вы должны были понять и запомнить на сегодняшнем уроке?

Правильно, график любой квадратичной функции можно построить по алгоритму. (этот алгоритм дома постараться запомнить)

В этом вам поможет памятка и

1 группа - № 624(2,4)

2 группа - № 625(2), 619(1,3).

Каждый делает работу над ошибками в работе на повторение.

Повторить решение биквадратных уравнений.

Повторить решение линейных уравнений с параметром.

7. Это мы не проходили.

Цель - расширение кругозора учащихся, формирование навыков работы над проектом, подготовка учащихся к решению квадратных уравнений с параметром.

1. Сообщение на тему «Квадратные уравнения с параметрами».

2. Защита проекта «Использование свойств квадратичной функции человеком».

8. Итог урока:

На уроке

• Мы повторили…

• Мы изучили…

• Увидели новое…

• Получили оценки… (с учетом таблицы успешности)

Таблица учета успешности учащихся.

№

Фамилия

Устно

Повторение

Проверка

д/з

Дополнительные ответы

1

2

3

…

Приложение к уроку № 1

Алгоритм построения графика квадратичной функции.

1. Графиком квадратичной функции является парабола.

2. По знаку коэффициента a определить направление ветвей параболы.

3. Найти нули квадратичной функции, решив квадратное уравнение , и построить их в системе координат.

4. Найти координаты вершины параболы по формулам и построить вершину.

5. Построить ось симметрии параболы

6. Взять дополнительные значения аргумента, так, чтобы они были симметричные относительно оси симметрии параболы. Вычислить значение этих точек и построить их в системе координат.

7. Соединить построенные точки плавной кривой.

8. Получается кривая, которая называется параболой, и является графиком квадратичной функции.

Приложение к уроку № 2

Сообщение на тему «Квадратные уравнения с параметрами».

Слово «параметр» греческое и в переводе на русский язык означает - отмеривающий. Это слово пришло к нам из практической жизни людей.

В обыденной жизни мы употребляем слово «параметр» как величину, характеризующую какое-либо основное свойство процесса, явления или системы, машины, прибора. Например, напряжение, электрическое сопротивление, масса.

В математике параметр - это постоянная величина, выраженная буквой, сохраняющая своё постоянное значение лишь в условиях данной задачи.

Числовое значение параметра позволяет выделить определенный элемент из множества элементов того же ряда. Например, кривую.

В уравнении величина r является параметром окружности.

Параметры, входящие в условие, влияют на ход решения и форму ответа.

Интересной является та часть задачи, в которой нужно выявить, как зависит ответ от параметра.

С параметрами мы встречались, когда вводили понятия:

1. Функции y = kx (x, y - переменные, k - параметр).

2. Линейная функция y = kx + b (x, y - переменные, k, b - параметры).

3. Линейное уравнение ax + b = 0 (x - переменная, a и b - параметры).

Решая такое уравнение, мы рассматривали следующие варианты:

• Если , то уравнение имеет множество корней.

• Если , то уравнение имеет один корень .

• Если , то уравнение корней не имеет.

• Если , то уравнение имеет один корень .

4. Теперь мы научились решать обыкновенные квадратные уравнения и нужно научиться решать квадратные уравнения с параметрами.

Этим мы начнем заниматься со следующего урока.

Приложение № 3

Комментарии к проекту.

Рассмотрим свойства квадратичной функции и ответим на вопрос: «Нужно ли знать эти свойства человеку?»

Свойство 1.

Для демонстрации этого свойства параболы подготовлен планшет. На миллиметровой бумаге строим график функции

Отметим на оси Оу точку F(0;. Ниткой измеряем расстояние от точки F до какой-нибудь точки М параболы. Затем прикалываем нитку с грузом в точке М и поворачиваем ее вокруг этой точки так, чтобы она стала вертикальной. Конец нитки опустился немного ниже оси абсцисс. Замеряем расстояние от конца нитки до оси абсцисс.

Берем другую точку на параболе и повторяем опыт для новой точки. Результат оказался таким же, как и в первом случае. Вывод: какую бы точку на параболе мы не взяли, расстояние от этой точки до точки (0; будет больше расстояния от этой же точки до оси абсцисс всегда на одно и тоже число - на .

Мы открыли важное свойство параболы:

Расстояние от любой точки параболы до точки (0; равно расстоянию от той же точки параболы до прямой , параллельной оси Ох.

Эта замечательная точка (0; называется фокусом параболы, а прямая - директрисой этой параболы.

Свойство 2.

Если вращать параболу вокруг оси ее симметрии, то получится очень интересная поверхность, которая называется параболоидом вращения.

Параболоид вращения можно получить, если сильно помешать воду в стакане ложечкой, а затем вытащить ложку из стакана.

Свойство 3.

Если бросить камень под некоторым углом к горизонту, то он полетит по параболе.

Свойство 4.

Если пересечь поверхность конуса плоскостью, параллельной какой-нибудь ее образующей, то в сечении получится парабола.

Свойство 5.

В парках культуры устраивают иногда забавный аттракцион «Параболоид чудес». Каждому из стоящих внутри вращающегося параболоида, кажется, что он стоит на полу, а остальные люди каким-то чудом держатся на стенках этого параболоида. Этот опыт основан на таком свойстве параболоида:

Если вращать параболоид с подходящей скоростью вокруг оси, расположенной вертикально, то равнодействующая центробежной силы и силы тяготения в любой точке параболоида направлена перпендикулярно к его поверхности.

Свойство 6.

В зеркальных телескопах применяют параболические зеркала: свет далекой звезды, идущий параллельно пучком, упав на зеркало телескопа, собирается в фокусе.

Свойство 7.

У прожекторов зеркало обычно делают в форме параболоида. Если поместить источник света в фокусе параболоида, то лучи, отразившись от параболического зеркала, образуют параллельный пучок.