- Преподавателю
- Математика
- Способы решения задач на растворы, смеси и сплавы
Способы решения задач на растворы, смеси и сплавы
| Раздел | Математика |
| Класс | 11 класс |
| Тип | Статьи |
| Автор | Бондаренко Е.Ф. |
| Дата | 09.02.2016 |
| Формат | docx |
| Изображения | Есть |
Тема: «Способы решения задач на растворы, смеси и сплавы»
Оглавление:
1.Введение……………………………………………………………………………………………..
2. Задачи на растворы, смеси и сплавы…………………………………………..
2.1. Теоретические основы решения задач на растворы, смеси и сплавы ………………………………………………………………………………………
2.2. Способы решения задач на растворы, сплавы и смеси…………….
2.3. Решение задач на растворы, смеси и сплавы…………………………….
3. Заключение………………………………………………………………………………….
4. Список источников информации………………………………………………..
5. Приложение………………………………………………………………………………...
Введение
При подготовке к сдаче ЕГЭ по математике на профильном уровне встретила задачи на растворы, смеси и сплавы, которые в школьном курсе математики почти не рассматриваются.
Они также встречаются на уроках химии и физики.
Имеют практическое значение в повседневной жизни. Например, как правильно приготовить маринад для консервирования, как смешать клей для обоев, приготовить раствор для заливки фундамента дома, разбавить уксусную кислоту для употребления в пищу, приготовить различной концентрации растворы.
Задачи на растворы, смеси и сплавы являются хорошим средством развития логического мышления, средством к углублению свои знаний .
Одним из возможных путей подготовки к ЕГЭ является изучение методов (способов, алгоритмов) решения задач на растворы, смеси и сплавы. В данной ситуации будет полезным не только самому научиться решать такого типа задачи, но и научить одноклассников.
Объект исследования: Задачи на смеси и сплавы
Предмет исследования: Способы решения задачи на растворы, смеси и сплавы
Цель: Изучить способы решения задач на смеси и сплавы.
Задачи: 1. Изучить способы решения задачи на растворы, смеси и сплавы.
2.Выявить алгоритм решения задач данного вида.
3. Научиться решать задачи на растворы, смеси и сплавы. Гипотеза: все задачи на растворы, сплавы и смеси делятся на несколько типов, а каждый из типов имеет конкретный способ решения.
Человеку часто приходится смешивать различные жидкости, порошки, газообразные или твердые вещества, или разбавлять что-либо водой.
В задачах такого типа эти операции приходится проводить мысленно и выполнять расчеты.
Текстовые задачи на смеси, сплавы и растворы входят в различные сборники заданий по подготовке к итоговой аттестации по математике за курс основной школы, включаются в варианты ЕГЭ.
Теоретические основы решения задач на растворы, смеси, сплавы.
Чтобы лучше понимать условия задач, необходимо знать следующие понятия:
-
Все получающиеся сплавы или смеси однородны.
-
При решении этих задач считается, что масса смеси нескольких веществ равна сумме масс компонентов.
-
Процент - одна сотая любого вещества.
-
Производительность объекта - скорость работы
-
Процентным содержанием ( концентрацией) вещества в смеси называется отношение его массы к общей массе всей смеси. Она показывает долю вещества в растворе.
-
Это отношение может быть выражено либо в дробях, либо в процентах.
-
Сумма концентраций всех компонент, составляющих смесь, равна единице.
Глава 2. Типы задач «на смеси сплавы, растворы». Способы их решения.
Все задачи на растворы, смеси, сплавы, можно разделить на три типа:
-
на вычисление концентрации;
-
на вычисление количества чистого вещества в смеси (или сплаве);
-
на вычисление массы смеси (сплава).
Существуют следующие способы решения задач:
-
с помощью таблиц;
-
с помощью схемы;
-
старинным арифметическим способом;
-
алгебраическим способом;
-
с помощью графика;
-
с помощью расчетной формулы.
-
правило квадрата
-
приравнивание площадей равновеликих прямоугольников
-
Способ Л.Ф.Магницкого для трех веществ
-
Правило креста
Алгоритм решения задачи на сплавы, растворы и смеси:
-
Изучить условия задачи;
-
Выбрать неизвестную величину (обозначить ее буквой);
-
определить все взаимосвязи между данными величинами;
-
Составить математическую модель задачи (выбрать способ решения задачи, составить пропорцию или уравнение относительно неизвестной величины) и решить ее;
-
провести анализ результата.
Глава 3. Рассмотрим несколько задач и решим их различными способами.
Задача 1. Сколько нужно добавить воды в сосуд, содержащий 200 г
70 % -го раствора уксусной кислоты, чтобы получить 8 % раствор уксусной кислоты?
Решение: 1 способ - с помощью таблицы:
Наименование веществ, смесей
Наименование веществ, смесей
Масса
раствора (г)
Масса вещества (г)
Исходный раствор
70 % = 0,7
200
0,7·200
Воды долили
-
x
-
Новый раствор
8 % = 0,08
200 + x
0,08(200 + x)
Так как подливали только воду, масса уксусной кислоты в растворе не изменилась. Составляем уравнение : 0,08(200 + х) = 0,7·200
16 + 0,08х = 140
0,08х = 124
х = 1550г
Ответ :1,55 кг воды.
2способ: с помощью схемы: Пусть в сосуд долили х литров воды. Получаем схему:
Уксусная кислота
Уксусная кислота
70%
8%
+ х литров воды
200 (200 + х) г.
0,08(200 + х) = 0,7·200; 16 + 0,08х = 140; 0,08х = 124; х = 1550г Ответ :1,55 кг воды.
Задача 2: В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Решение - с помощью формулы:
Концентрация раствора равна
Объем вещества в исходном растворе равен 0,12*5=0,6 литра. При добавлении 7 литров воды общий объем раствора увеличится, а объем растворенного вещества останется прежним. Таким образом, концентрация полученного раствора равна:
Ответ: 5.
Задача 3: Сначала приготовили 25%-ый водный раствор поваренной соли. Затем одну треть воды выпарили. Найдите концентрацию получившегося раствора.
Решение - с помощью схемы:
До выпаривания: 
После выпаривания:
Сейчас соль стала составлять третью часть всего раствора, т.е. 100% : 3 = %
Ответ: %.
Задача 4: Смешали некоторое количество 15-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Решение: 1 способ - с помощью формулы.
Пусть количество каждого из растворов было V. Тогда количество сухого вещества в первом растворе 0,15V , а во втором - 0,19V. После того как растворы смешали их общий объем стал 2V, а количество сухого вещества в смеси стало 0,15V+0,19V. Концентрация раствора равна:
Таким образом, концентрация полученного
раствора равна:
Ответ: 17.
2 способ - правило креста или прямоугольника
15
19-х
х
19
Х-15
Запишем исходные концентрации в левый столбец таблицы, искомую полученную концентрацию х запишем в центральный столбец. Правый столбец таблицы заполним разностями исходных и полученной концентрации, вычитая из
большей концентрации меньшую.
Отношение полученных разностей
равно отношению долей, в которых требуется смешать растворы для получения из растворов исходной концентрации раствора с требуемой концентрацией. Так как объемы смешиваемых растворов равны, имеем:
Ответ: 17.
Задача 5. Имеется два сплава меди и свинца. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65% меди. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди?
Решение - с помощью схемы:
Задача 6 Свежие абрикосы содержат 80 % воды по массе, а курага (сухие абрикосы) - 12 % воды. Сколько понадобится килограммов свежих абрикосов, чтобы получить 10 кг кураги?
Решение: (с помощью схемы)
При высыхании абрикосов испаряется вода, количество сухого вещества не изменяется. Выразим количество сухого вещества в свежих абрикосах и в кураге. Пусть взяли х кг свежих абрикосов. Тогда схема для решения такой задачи имеет вид: вода
вода
с.в.
с.в.
20%
88%
х кг *0,2
10 кг *0,88
80%
12%
=
Составим уравнение, подсчитав количество сухого вещества в левой и правой части схемы:
0,2х=8,8
х=44.
Ответ:44кг.
Задача 7. При смешивании 5% -ного раствора кислоты с 40% -ным раствором кислоты получили 140 г 30% -ного раствора. Сколько грамм каждого раствора надо было взять?
5
10
30
40
25
Решение - старинным арифметическим способом.
Рассмотрим пары 30 и 5; 30 и 40. В каждой паре их большего числа вычтем меньшее и результат запишем в конце соответствующей чёрточки. Получилась схема:
Из неё делается заключение, что 5% раствора следует
взять 10 частей, а 40 % - 25 частей. Узнав, сколько
приходится на одну часть 140: (10+25) = 4 г., получаем,
что 5% - ного раствора необходимо взять 40г,
а 40% -ного -100 г
Ответ: 40 г - 5% -ного раствора и 100г - 40% - ного раствора.
Задача 8 : В 100г 20%-ного раствора соли добавили 300г её 10%-ного раствора. Определите процентную концентрацию раствора
с помощью расчетной формулы
m1=100г .
m2=300г . а=
а=
=0,125
а1=0,2 .
а2=0,1 .
………….
а -? Ответ:12,5%
с помощью правила креста
0,2 Х- 0,1
Х
0,1 0,2- Х
1:3=(х-0,1):(0,2-х);
Х=0,125; х=12,5%.
Ответ: х=12,5%.
Задача 9: Смешали 30%-й раствор соляной кислоты с 10%-ым раствором и получили 600 г 15%-го раствора. На сколько граммов масса первого раствора меньше массы второго?
Решение: 1 способ - алгебраический.
Обозначим x массу первого раствора, тогда масса второго (600 - x).
Составим уравнение:
0,3x + 0,1* (600 - x) = 600 * 0,15; 0,3х + 60 - 0,1х = 90 0,2х = 3
x = 150 ( г.) масса 1 раствора
600 - 150 = 450 (г.) масса 2 раствора
450-150 = 300 (г.)
Ответ: на 300 г. масса 1 раствора меньше массы 2 раствора
2 способ - графический:
Рассмотрим прямоугольники с площадями S1 и S2. Прямоугольники равновелики, так как количество соляной кислоты в обоих растворах после смешивания одинаково (Масса смеси умноженная на концентрацию равна количеству чистого вещества.) Приравняв площади, равновеликих прямоугольников получаем
15x = 5 (600- x); 15х = 3000 - 5х; 15х + 5х = 3000
20х = 3000 Х = 150; 600 - 150 = 450г; . 450-150 = 300 (г.)
Ответ: на 300 г. масса 1 раствора меньше массы 2 раствора
Задача 10: Первый сплав содержит 10% меди, второй - 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.
Решение - старинный арифметический способ:
10
10
30
40
20
Пусть масса первого сплава равна m кг,
тогда масса второго сплава m+3 кг.
Заполним таблицу:
Отношение полученных масс равно отношению
долей, в которых требуется сплавлять исходные сплавы. Поэтому
Тогда масса второго сплава равна 6 кг, а масса третьего сплава равна 9 кг.
Ответ: 9.
Задача 11.Имеются сплавы золота и серебра. В одном эти металлы находятся в отношении 2: 3, а в другом в отношении 3: 7. Сколько нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 1 кг нового, в котором золото и серебро находились бы в отношении 5: 11?
золото:серебро
2:3
золото:серебро
3:7
золото:серебро
5:11
Х У
По этой схеме уравнение х + у =1 показывает массу нового сплава.
Определяем массу золота в каждом сплаве и получаем уравнение
*х + 
* у = 
* 1
Аналогично массу серебра и получаем уравнение
* х + 
* у = 
* 1
Записываем одну из систем:
х + у = 1 { х + у = {
х + у = 1
х + у =
Решая ее, получаем х = 0,125 и у = 0,875
Ответ: 125 г и 875 г.
Задача12:Имеется два кислотных раствора: один 20%, другой 30%. Взяли 0,5 л первого и 1,5 л второго раствора и образовали новый раствор. Какова концентрация кислоты в новом растворе?
Решение:Так как первый раствор 20 % - й, то в нем 0,2 объема занимает «чистая» кислота. Так как объем первого раствора равен 0,5л, то в этом количестве содержится 0,2*0,5=0,1 л «чистой» кислоты.
Аналогично во втором растворе будет содержаться 0,3*1,5=0,45л «чистой» кислоты.
При смешивании растворов получим 0,5+1,5=2л кислотного раствора, в котором 0,1+0,45=0,55л «чистой» кислоты.
Отсюда следует, что концентрация кислоты в новом растворе есть отношение 0,55:2=0,275, т.е.27,5%.
Ответ: концентрация кислоты в новом растворе 27,5%
Задача 13.От двух кусков сплава с массами 3 кг и 2 кг и с концентрацией меди 0,6 и 0,8 отрезали по куску равной массы. Каждый из отрезанных кусков сплавлен с остатком другого куска, после чего концентрация меди в обоих сплавах стала одинаковой. Какова масса каждого из отрезанных кусков?
Так как в обоих сплавах концентрация меди после двух операция
стала одинаковой, то массы сплавов и массы меди в этих сплавах
пропорциональны.
Первоначально массы меди в сплавах равны 0,6*3(кг) и 0,8*2(кг).
После того, как отрезали куски массой х(кг), содержание меди стало 0,6(3-х) и 0,8(2-х),
а после сплавления
0,6(3-х) + 0,8х и 0,8(2-х) +0,6х 
mm (кг)
= 
, х = 1,2
2 3 mc(кг)
Ответ: 1,2 кг
Задача 14. Латунь - сплав меди и цинка. Кусок латуни содержит меди на 11 кг больше, чем цинка. Этот кусок латуни сплавили с 12 кг меди и получили латунь, в котором 75% меди. Сколько килограммов меди было в куске латуни первоначально?
Обозначим искомую величину за х.
Тогда масса первоначального куска латуни 2х - 11, а его содержание меди составляет р = 
процентов.
Поскольку «медность» куска меди 100%, то по правилу квадрата получаем: р 25
75 
=
х= 22,5
100 75-р
Ответ: 22,5 кг меди было в куске латуни
Задача 15. В бидон налили 4л молока трехпроцентной жирности и 6л молока шестипроцентной жирности. Сколько процентов составляет жирность молока в бидоне?
Обозначим искомую величину за Х.
По правилу квадрата получим: 3 6-х
Х
6 х-3
Составим пропорцию:
=
х= 4,8
Ответ: 4,8 % - жирность молока
Способ Л.Ф.Магницкого для трех веществ
Задача 16. Некто имеет чай трех сортов -цейлонский по 5 гривен за фунт,
индийский по 8 гривен за фунт и китайский по 12 гривен за фунт.
В каких долях нужно смешать эти сорта, чтобы получить чай
стоимостью 6 гривен за фунт?
5 6 6
6
12 1 2/8
…………………………………………………………………………..
5 2 1
6
8 1 1/10
Взять 6+2=8 частей чая ценой по 5 гривен и по одной части ценой 8 гривен и 12 гривен за один фунт.
Возьмем 8/10 фунта чая ценой по 5 гривен за фунт и по1/10 фунта чая ценой 8 и 12 гривен за фунт, то получим 1 фунт чая ценой
8/10*5 + 1/10*8 + 1/10*12 = 6 гривен
Задача17.Имеется два сплава меди и свинца. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65% меди. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди?
Изобразим каждый из сплавов в виде прямоугольника, разбитого на два фрагмента (по числу составляющих элементов). Кроме того на модели отобразим характер операции - сплавление, поставим знак «+» между первым и вторым прямоугольниками. Поставив знак «=» между вторым и третьим прямоугольниками, мы тем самым показываем, что третий сплав получен в результате сплавления первых двух. Полученная схема имеет следующий вид:
Теперь заполняем получившиеся прямоугольники в соответствии с условием задачи:
-
Над каждым прямоугольником («маленьким») указываем соответствующие компоненты сплава. При этом обычно бывает достаточно использовать первые буквы их названия (если они различны). Удобно сохранять порядок соответствующих букв.
-
Внутри прямоугольников вписываем процентное содержание (или часть) соответствующего компонента. Понятно, что если сплав состоит из двух компонентов, то достаточно указать процентное содержание одного из них. В этом случае процентное содержание второго компонента равно разности 100% и процентного содержания первого.
-
Под прямоугольником записываем массу (или объем) соответствующего сплава (или компонента).
Рассматриваемый в задаче процесс можно представить в виде следующей модели- схемы:
медь
свинец
медь
свинец
свинец
медь
65%
=
+
30%
15%
200гРешение.
1-й способ. Пусть хг - масса первого сплава. Тогда, (200-х)г - масса второго сплава. Дополним последнюю схему этими выражениями. Получим следующую схему:
свинец
свинец
свинец
медь
медь
медь
15%
65%
30%
х г
(200-х) г
200 г
+
=
Сумма масс меди в двух первых сплавах (то есть слева от знака равенства) равна массе меди в полученном третьем сплаве (справа от знака равенства):
Решив это уравнение, получаем х=140. При этом значении х выражение 200-х=60. Это означает, что первого сплава надо взять140г, а второго-60г.
Ответ:140г. 60г.
2-й способ. Пусть х г и у г - масса соответственно первого и второго сплавов, то есть пусть исходная схема имеет вид:
свинец
свинец
медь
медь
15%
65%
х г
y г
свинец
медь
30%
200 г
+
=
Легко устанавливается каждое из уравнений системы двух линейных уравнений с двумя переменными:
Решение системы приводит к результату:
Значит, первого сплава надо взять 140 г, а второго-60 г.
Ответ: 140г,60г.
Задача18. В 4кг сплава меди и олова содержится 40% олова. Сколько килограммов олова надо добавить к этому сплаву, чтобы его процентное содержание в новом сплаве стало равным 70%?
Решение: Пусть х кг - искомое количество олова. Тогда масса полученного сплава равна (4+х) кг. Составим схему и внесем эти выражения на схему:
олово
олово
олово
медь
медь
100%
4кг
х г
хкг
(4+х)кг
40%
70%
+
=
Составим уравнение, подсчитав массу олова слева и справа от знака равенства на схеме. Получаем уравнение:
(1), корнем которого служит 
Отметим, что уравнение можно составить и на основе подсчета массы меди слева и справа от знака равенства. Для этого понадобится знать процентное содержание меди в данном и полученном сплавах. Внесем эти данные в схему:
олово
олово
олово
медь
медь
60%
30%
4 кг
х г
х кг
(4+х) кг
+
=
В этом случае получаем следующее уравнение:
(2).
Уравнение (1) равносильно уравнению (2). В этом легко убедиться, решив последнее уравнение. Его корень равен 4. Обычно решают то уравнение, которое проще. В нашем случае разница не так заметна. Вместе с тем, второе уравнение содержит переменную только в одной (правой) части и его обе части сразу можно разделить на 0,3. Поэтому предпочтение можно отдать второму уравнению.
Ответ:4кг.
Задача 19. К некоторому количеству сплава меди с цинком, в котором эти металлы находятся в отношении 2:3, добавили 4 кг чистой меди. В результате получили новый сплав, в котором медь и цинк относятся как 2:1. Сколько килограмм нового сплава получилось?
Решение.
Прежде чем составлять схему, уточним, что в первом сплаве медь составляет 
, а в полученном сплаве - 
. Обозначим массу полученного сплава х кг, и внеся указанные части в соответствующие фрагменты схемы, получаем:
цинк
медь
медь
медь
цинк
2/5
1
(x-4) кг
х г
4 кг
х кг
2/5
2/3
+
=
Нетрудно составить уравнение, подсчитав количество меди слева от знака неравенства, и приравняв его к количеству меди, справа от него. Получаем уравнение:
Решив его, получаем искомое значение: х=9.
Замечание. Можно было составить уравнение на основе подсчета массы цинка в обеих частях неравенства. Для этого внесем в схему необходимые данные:
1)если в первом сплаве медь составляет часть , то цинк - 
;
медь
медь
медь
цинк
цинк
3/5
1/3
(x-4)кг
х г
4кг
хкг
2/5
+
=
2) если в полученном сплаве медь составляет часть , то цинк - 
.
Уравнение в этом случае имеет вид:
Это уравнение равносильно предыдущему.
Ответ х= 9кг.