Конспект урока по математике «Использование Диофантовых уравнений в школе»

Вступ

У процесі вивчення математики, часто виникають питання: «Як можна застосувати отримані знання на практиці?», «Де в сучасному житті я можу використати знання здобуті на уроках?».

При вивченні запропонованих учителем тем, таких як «Числа Фібоначчі», «Геометрія трикутника», «Парадокси теорії ймовірностей», «Діофантові рівняння», я переконалася в значущості математичних методів для розв'язання різних завдань, що відображають реальні життєві ситуації. Найцікавішою для мене виявилася тема «Діофантові рівняння".

Моя цікавість викликана тим, що навчившись вирішувати діофантові рівняння першого ступеня з двома змінними, можна вирішувати завдання, що описують різні практичні ситуації в оточуючому нас світі, математичною моделлю яких є діофантові рівняння. Ця тема дозволила мені розширити уявлення про історію математики, продемонструвала значимість математичних методів у вирішенні різноманітних завдань науки і практики.

У своїй роботі я покажу, як за допомогою діофантових рівнянь, можна вирішити ряд економічних завдань в школі, на виробництві та в звичайному житті.

Вирішення багатьох практичних завдань призводить до проблеми розв'язання невизначених рівнянь першого ступеня в цілих (натуральних) числах.

У шкільному курсі було розглянуто тільки загальне питання: визначення лінійного рівняння, але цих знань недостатньо для вирішення більш складних завдань.

Над проблемою розв'язання невизначених рівнянь в раціональних числах, ще в давні часи працював великий вчений Діофант. У своїх роботах він дав деякі загальні методи їх вирішення. До нас дійшло шість книг з тринадцяти, деякі були об'єднані в «Арифметику». Стиль та зміст цих книг різко відрізняються від класичних античних творів з теорії чисел і алгебри, зразки яких ми знаємо з «Початків» Евкліда. «Арифметика» Діофанта, безсумнівно, була результатом численних досліджень, які залишилися для нас невідомими.

«Арифметика» Діофанта-це збірник задач (їх всього 189), кожна з яких забезпечена рішенням (або декількома способами рішення) і необхідними поясненнями. У своїй арифметиці Диофант розглядає цілі і дробові числа та їх степені, представлені у творі завдання відносяться до невизначеного аналізу, призводяться до вирішення певних систем рівнянь першого чи другого ступеня.

Алгебраїчні рівняння з цілими коефіцієнтами, що вирішуються на множини цілих (рідше раціональних) чисел, увійшли в історію математика, як діофантові. Найбільш цікавими є невизначені рівняння або їх системи, тобто такі, в яких кількість змінних більше числа рівнянь. Найбільш вивчені діофантових рівняння з 1 і 2 ступенями. Надалі будуть розглянуті завдання, які зводяться до вирішення рівняння першого ступеня з двома невідомими

AX+BY=C

Існує кілька способів вирішення цього рівняння:

а) спосіб перебору варіантів;

б) використання алгоритму Евкліда;

в) використання способу подрібнення коефіцієнтів.

1.Спосіб перебору варіантів

Завдання № 1

Спортивна секція школи № 6 міста Авдіївка для підготовки до змагань «Нащадки козацької слави» хоче закупити волейбольні та баскетбольні м'ячі на суму 770 гривень. Волейбольний м'яч коштує 90 грн, а баскетбольний - 80 грн. Скільки волейбольних та баскетбольних м'ячів можна купити на цю суму?

Наприклад, можна придбати Х волейбольних і У баскетбольних м'ячів, тоді маємо рівняння:

90х+80у=770, розділимо рівняння на 10:

9х+8у=77.

Маємо НСД(9;8)=1

Рівняння вирішується в цілих числах.

9х=77-8у

х=(77-8у):9, при цьому Х та У-числа натуральні.

При у = 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, отримуємо х-дробове число. Якщо у = 4, то х = (77-32): 9 = 5-ціле число. Значить, на суму 770 гривень можна купити 5 волейбольних і 4 баскетбольних м'ячі.

Завдання № 2

Спортивна секція школи № 6 змагалася у влучності зі стрільби з пневматичної гвинтівки зі школами міста. За кожне попадання команда отримувала 10 очок, і з командного заліку вираховувалися 4 очки за кожен промах. Команда заробила 180 очок. Скільки було влучень і промахів, якщо відомо, що було проведено не більше 26 пострілів.

Нехай х-кількість попадань, тоді 10х очок вона б заробила, але було у промахів, тому із командного заліку відняли 4у очки.

Маємо рівняння:

10х-4у = 180, при тому, що х + у менше або дорівнює 26, поділили рівняння на 2. Отримаємо:

5х-2у=90;

5х=90+2у;

х=18+2у:5.

Через те що х-ціле число, 2у має нацело ділитися на 5, щоб у правій частині вийшло ціле число. Можливі варіанти:

1) у = 0; х = 18, тобто рішенням є пара-(18, 0)

2) у = 5; х = 20, тобто рішенням є пара-(5; 20)

3) у = 10; х = 22-не відповідає умові завдання.

Завдання має 2 пари рішення (18, 0), (5, 20)

Завдання № 3

Для занять з цивільної оборони потрібно закупити бинти вартістю 2 гривні і вату вартістю 3 гривні за одиницю товара на суму 23 гривні. Яку кількість бинтів та вати можна закупити на цю суму?

Розв'язання

Нехай на таку суму можна придбати х штук бинтів і у упаковок вати. Маємо рівняння:

2х+3у=23

НСД (2;3)=1.

Рівняння вирішується в цілих числах.

Виражаємо х через у:

2х=23-3у;

х=(23-3у):2;

За умовою задачі х і у-натуральні числа, тому вираз (23-3у) має ділитися на 2.

варіанти:

у=1,х=10;

у=3,х=7;

у=5,х=4;

у=7,х=1.

Завдання має 4 пари рішень: (10; 1), (7, 3), (4, 5), (1, 7).

Завдання № 4

Для освітлення спортивної зали ЗШ №6 м. Авдіївка потрібні лампи за ціною 4 та 5 грн. за одиницю товару. Було виділено 150 гривень на закупівлю ламп. Яку можливу кількість ламп кожного виду можна купити на задану суму?

Розв'язання

Нехай ламп першого виду можна купити х штук, а другого у штук. Маємо лінійне рівняння першого ступеня з двома невідомими:4х+5у=150

НСД(4;5)=1-рівняння вирішується в цілих числах4х=150-5у;

х=(150-5у):4;

х=(100+50-5у):4;

х=25+(50-5у):4.

За умовою задачі х і у - натуральні числа. Маємо варіанти:

у=2,х=35;

у=6,х=30;

у=10,х=25.

Таким чином, завдання має три пари рішень.

Для освітлення спортивної зали нашої школи підходить варіант 25 штук і 10 штук.

Для вирішення більш складних завдань, знання методу перебору варіантів недостатньо. Наприклад, розглянемо відому задачу «Про казки Шахиризади»: Шахиризада розповідала свої казки великому правителю. Всього вона повинна розповісти 1001 казку. Скільки ночей потрібно Шахиризаді, щоб розповісти всі свої казки, якщо х ночей вона буде розповідати по 3 казки, а решту казкок по 5 за у ночей.

Казкарці, очевидно, потрібно х + у ночей, де х і у-натуральні корені рівняння 3х +5 у = 1001.

Маємо діафантово рівняння.

Розглянемо це рівняння спочатку способом перебору варіантів.

х = (1001-5у): 3, так як х-натуральне число, то і в правій частині рівності також має бути натуральне число, а тому вираз (1001-5у) повинен націло ділитися на 3.

Здійснимо перебір варіантів:

у = 1, 1001-5у = 1001-5 = 996, 996 ділиться на 3,отже, х = 332;рішення(332; 1)

у = 2, 1001-10 = 991, 991 не ділиться на 3;

у = 3, 1001-15 = 986; 986 не ділиться на 3;

у = 4, 1001-20 = 981; 981 ділиться на 3, отже, х = 27, рішення (327, 4);

у = 5, 1001-5у = 1001-25 = 976, 976 не ділиться на 3;

у = 6, 1001-30 = 971, 971 не ділиться на 3.

У цьому завданні, рішенням є 67 пар можливих коренів. Таким чином, спосіб перебору варіантів не зовсім ефективний для вирішення даної задачі, адже для знаходження всіх рішень рівняння потрібні додаткові часові витрати.

Використання алгоритму Евкліда

Розглянемо алгоритм Евкліда для вирішення діофантових рівнянь.

Маємо лінійне рівняння з двома невідомими:

АХ + ВУ = С

Можливі 2 випадки: або число ділитися на d = НСД (а, b), або ні.

У першому випадку можна розділити обидві частини рівняння на d і звести задачу до вирішення в цілих числах рівняння ах + by = c, коефіцієнти якого a = a / d, b = b / d взаємно прості.

У другому випадку рівняння не має цілочисельних рішень при будь-яких цілих х і у число ах + by ділитися на d і тому не може дорівнювати числу с, яке на d не ділитися.

X=CX0+BT

Y=CY0-ATРозглянемо практичні задачі,що зводяться до рівняння, в якому коефіцієнти а і b взаємно прості. Даному рівнянню будуть задовольняти безліч пар (x; y) цілих чисел, які можна знайти за формулами:

Тут t-будь-яке ціле число. Підставивши замість t конкретне ціле число, отримаємо його частне рішення.

Повернемося до задачі № 1.

Отже, моїй школі потрібно закупити волейбольні та баскетбольні м'ячі на суму 770 гривень. Волейбольний м'яч коштує 90 грн., а баскетбольний 80 грн. Скільки волейбольних і баскетбольних м'ячів можна придбати на цю суму?

Маємо рівняння:

9х+8у=77

НСД(9;8)=1. . Знайдемо значення Х₀ та У₀ для отримання рішень рівняння.

Застосуємо алгоритм Евкліда до чисел 9 і 8:

9=8 ×1+1=> 1=9-8 ×1

Таким чином, отримуємо: 9 × 1 +8 × (-1) = 1, отже, Х0 = 1; У0 = (-1).

Запишемо загальний розв'язок рівняння на множині цілих чисел:

х=77 ×1+8t;

y=77×(-1)-9t;

x=77+8t;

y=-77-9t.

Враховуючи, що х і y-натуральні числа, маємо-77-9t>0; 9t<-77; t<-77:9.

Якщо t=-9, то х=77+8×(-9)=5, а у=-77+81=4.

Маємо рішення: (5;4), тобто купуємо 5 волейбольних і 4 баскетбольних м'ячі.

Якщо t=-10, то х=77+8×(-10)=77-80=-3<0--не є рішенням поставленої задачі.

Розглянемо рішення задачі, використовуючи алгоритм Евкліда.

Спортивна секція школи № 6, змагаючись у влучності зі стрільби зі школами міста, заробив 180 очок. За кожне попадання команда отримувала 10 очок і з командного заліку віднімалося 4 очки за кожен промах. Скільки було влучень і промахів, якщо відомо, що було проведено не більше 26 пострілів?

Маємо диофантово рівняння:

10х-4у=180 або

5х-2у=90.

НСД(5;2)=1. знайдемо значення Х0 и У0 для даного рівняння:

5=2×2+1=>1=5-2×2

Таким чином, 5×1-2×2=1, отже Х0=1 и У0=2.

Запишемо загальний розв'язок рівняння:

х=90×1-2×t;

y=90×2-5×t.

x=90-2t;

y=180-5t

x; y-натуральні числа, тому:

90-2t>0;

180-2t>0;

t<45;

t<90

Значить t <90. Пострілів було зроблено не більше 26, отже X <26

Маємо 90-2t <26

-2t <-64

t> 32

Можливі варіанти:

t=33, тоді х=90-2×33=24

у=180-5×33=15-не відповідає умові завдання;

t=34, тоді х=90-2×34=22

у=180-5×34=10- не відповідає умові завдання;

t=35, тоді х=90-2×35=20;

y=180-5×35=5

Влучень 20 і 5 промахів.

t=36, тоді х=90-2×36=18

у=180-5×36=0

Було 18 влучень і 0 промахів.

Якщо t = 37, то у <0-не відповідає умові завдання.

Отже, було або 20 влучень і 5 промахів, або рівно 18 влучень, без промахів.

Розглянемо рішення більш складних завдань.

Для заміни системи опалення по школі потрібно 150 метрів труб. Є труби 13 м і 9 м завдовжки. Скільки потрібно труб, за умови їх не різати при заміні на старі.

Розв'язання

Нехай потрібно х труб по 9 м і у труб по 13 м. Складемо і розв'яжемо рівняння: 9х+13у=150

НСД(9;13)=1, рівняння вирішується на множинні цілих чисел.

Застосуємо алгоритм Евкліда до чисел 13 і 9:

13=9×1+4

= >1=9-4×2=9-(13-9×1) ×2=9-13×2+9×2=9×3-13×2=9×3+13×(-2).

9=4×2+1

Отже Х0=3, У0=-2.

Загальне рішення має вигляд:

х=150×3+13×t; x=450+13t;

<=>

y=-300-9t; y=150×(-2)-9t;

Так як х і у невід'ємні цілі числа, то щоб знайти значення t, вирішимо систему нерівностей:

13t+450≥0; 13t≥-450; t≥-34,6;

<=> <=> => t=-34.

-9t-300≥0; -9t ≥300; t≤-33,6;

Маємо: х=13×(-34)+450=8,

у=-9×(-34)-300=6. Отже, для заміни труб опалення потрібно 8 труб по 9 метрів і 6 труб по 13 метрів завдовжки.

Завдання.

Для фарбування поверхів школи необхідно купити кілька банок фарби для підлоги, і ще кілька банок блакитної фарби для фарбування панелей. Було відведено на дану закупівлю 3634 гривні. Скільки банок фарби можна купити, якщо в середньому ціна банки фарби для підлоги 59 гривень (за 2,8 кг) і 57 гривень фарби для панелей (за 2,8 кг)

Розв'язання

Нехай купили х банок по 59 грн і у банок по 57грн. Складемо і розв'яжемо рівняння:

59х+57у=3634

Застосуємо алгоритм Евкліда:

59=57×1+2

=>1=57-28×2=57-28×(59-57×1).

57=28×2+1

57-28×59+28×57×1=57×(1+28)-28×59=57×29-59×28.

Ітак, Х0=-28; У0=29.

Тоді, х=3634×(-28)+57×t,

y=3634×29-59×t;

x=-101.752+57t>0,

y=105.386-59t>0.

Оскільки х>0 і y>0 та х і у-натуральні числа, то

57t>101.752

59t<105.38

Маємо: t>101.752:57≈1785,1

t<105.386:59≈1786,2

Так як t приймає цілі значення, то системі нерівностей задовольняють значення t = 1786.

Отримаємо рішення диофантова рівняння в натуральних числах: х=-101.752+57 ×1786; х=50;

у=105.386-59 ×1786; у=12.

Відповідь. Можна купити 50 банок фарби для підлоги і 12 банок фарби для панелей.

Розглянемо задачу.

Для засадження клумб по бульвару Шевченка було придбано сажанці туї колоновидної по 350 гривень та сажанці ялівця колоновидного по 450 гривень за дерево на суму 5300 гривень. Скільки було придбано сажанців туї та ялівця на дану суму?

Розв'зання

Нехай було придбано х саджанців туї по 350 грн і у саджанців ялівця по 450 гривень. Складемо і розв'яжемо рівняння:

350х +450 у = 5300.

Перейдемо до рівняння з цілими коефіцієнтами.

Отримаємо:

7х +9 у = 106.

НСД (7; 9) = 1, рівняння має цілі рішення.

9=7×1+2,

= > 1=7-2×3=7-(9-7×1) ×3=7×4+9×(-3)= > Х0=4; У0=-3.

7=2×3+1;

х=106×4+9×t , x=424+9t,

<=> <=>

y=106×(-3)-7×t; y=-318-7t;

9t+424≥0, t≥-424:9≈-47,1,

<=>

-7t-318≥0; t≥-318:7≈-45,8.

Так як t-приймає цілі значення, то системі нерівностей задовольняють значення t =- 47 і t =- 46. Отримаємо рішення діофантова рівняння в натуральних числах:

х=424+9×(-47)=1;

у=-318-4×(-47)=11;

Рішенням є пара (1; 11)

х=424+9×(-46)=10;

у=-318-4×(-46)=4;

Рішенням є пара (10;4)

Таким чином, на задану суму можна придбати 1 тую та 11 саджанців ялівця ,або 10 саджанців туї та 4 саджанця ялівця.

Розглянемо наступну задачу

Шкільний табір АОШ № 6 виділив на придбання 100 одиниць кондитерських виробів 1000 грн. Можна придбати печиво «Контік» за ціною 3 грн, шоколадки «Світоч» за 8 грн і шоколадний «Кіндер-сюрприз» по12 грн за одиницю товару. Скількома способами школа може зробити закупівлю?

Розв'зання

Нехай придбано х одиниць товару по 12 грн, у одиниць товару по 8 грн, z одиниць товару по 3 грн.

Всього придбано 100 одиниць товару, тобто х + у + z = 100, причому на придбання 100 одиниць товару було витрачено 1000 грн. тобто

12х+8у+3z=1000

х+у+z=100

У нашому випадку х>0, y>0, z>0.

Виключаємо z, шляхом віднімання з другого рівняння першого, помноженого на 3. Отже, отримуємо діофантово рівняння 1-го ступеня з двома невідомими:

9х+5у=700.

НСД(9;5)=1, рівняння має цілі рішення.

9=5×1+4,

= > 1=5-4×1=5-(9-5×1) ×1=5×2-9×1

5=4×1+1;

Значить, Х₀=-1; У₀=2.

x=700×(-1)+5t,

y=700×2-9t;

x=-700+5t,

y=1400-9t;

-700+5t>0,

1400-9t>0;

t>140,

t<1400:9≈155,5.

Можливі варіанти t=141, тоді

х=-700+5×141=5,

у=1400-9×141=131,

z=100-(5+131)<0, - не відповідає умові завдання;

Так само, якщо t = 142; 143; 144; 145; 146; 147; 148; 149; 150-то z <0-не відповідає умові завдання.

t=151.

х=-700+5×151,

у=1400-9×151;

х=55

у=41, тоді z=4.

х=55;у=41;z=4.

t=152

x=-700+5×152,

y=1400-9×152;

x=60

y=32, тоді z=8.

x=60; y=32; z=8.

t=153

x=-700+5×153,

y=1400-9×153;

x=65

y=23, тоді z=12.

x=65; y=23; z=12.

t=154

x=-700+5×154

y=1400-9×154;

x=70

y=14, тоді z=16.

x=70; y=14; z=16.

t=155

x=-700+5×155

y=1400-9×155;

x=75

y=5, тоді z=20.

x=75; y=5; z=20.

t=156

x=-700+5×156

y=1400-9×156;

x=80

y=-4- не є розв'язанням рівняння.

Отже, розв'язанням даної задачі є (55; 41; 4); (60, 32, 8); (65, 23, 12); (70, 14, 16); (75, 5, 20).

В результаті, ми виявили, що суму в 1000 гривень для закупівлі даного товару можна розподілити п'ятьма способами.

Спосіб подрібнення коефіцієнтів.

Розглянемо рішення діофантових рівнянь способом подрібнення коефіцієнтів.

Вирішимо способом подрібнення в цілих числах рівняння задачі про придбання туї і ялівцю на суму 5300 грн. Саджанець туї коштує 350 грн, а ялівця 450 грн.

Маємо рівняння:

350Х +450 у = 5300,

7х +9 у = 106.

Розв'зання

1.Виберемо невідоме, що має найменший коефіцієнт і виразимо його через інше невідоме:

х=(106-9у):7.

Виділимо цілу частину:

х = (15-у) + (1-2у): 7.

Усе число буде цілим, якщо цілим виявиться значення (1-2у): 7.

Це можливо, тоді коли число (1-2у) без залишку ділиться на 7. Вводячи додаткову цілочислену змінну z, останнє рівняння запишемо у вигляді:

1-2y = 7z.

Ми прийшли до рівняння такого ж типу, що й початкове, але вже з меншими коефіцієнтами. Вирішувати його вже потрібно відносно змінних y і z.

2. у = (1-7z): 2 =- 3z + (1-z): 2

Аналогічно міркуючи, запишемо 1-z через нову цілочислену змінну u: 1-z = 2u

3. z = 1-2u-дробів більше немає, спуск закінчено.

4. Тепер необхідно «піднятися вгору».

Висловимо через u спочатку z, потім y і потім х.

z = 1-2u; y = (1-7z): 2, y = (1-7 (1-2u)): 2, y = (1-7 +14 u): 2, y = (14u-6) : 2, y = 7u-3.

x = (106-9y): 7, x = (106-9 × (7u-3)): 7, x = (106-63u +27): 7, x = (133-63u): 7, x = 19-9u.

5. Формули х = 19-9u, y = 7u-3 задають спільне рішення початкового рівняння в цілих числах.

6. Якщо необхідно отримати тільки натуральні числа, то серед всіх рішень потрібно вибрати такі, для яких x> 0, y> 0,

тобто 7u-3> 0,

19-9u> 0.

Отже, u> 3:7, u <19:7.

Спільно ці нерівності можуть виконуватися при u = 1 і u = 2.

Маємо, якщо u = 1, то х = 19-9 × 1 = 10,

у = 7 × 1-3 = 4.

Якщо u = 2, то х = 19-9 × 2 = 1,

у = 7 × 2-3 = 11.

Відповідь: (10, 4), (1 ; 11) .

Розглянемо рішення про закупівлю дитячим табором солодощів.

Отже, на суму 100 грн потрібно придбати печиво «Контік» за ціною 3 грн за одиницю товару, шоколадки «Світоч» за ціною 8 грн і «Кіндер-сюрприз» за ціною 12 грн за одиницю товару. Усього повинно бути закуплено 100 одиниць товару. Маємо рівняння:

12х+8у+3z=1000,

х+у+z=100.

Виключаємо змінну z з системи рівнянь:

х+у+z=100,

9x+4y=200;

Маємо рівняння:

9х+4у=200,

z=100-x-y.

Розв'язання.

1. Вибираємо невідоме, що має найменший коефіцієнт, виражаємо його через інше невідоме:

У = (200-9х): 4.

2. Виділимо цілу частину:

у = 50-2х-х: 4.

Усе число буде цілим, якщо цілим виявиться х: 4.

3. Вводимо цілочислену змінну t:х:4=t, x=4t,

y=50-8t-t; y=50-9t.

4. Маємо: у=50-9t, тоді х=4t.

5. При розв'язанні даної задачі х> 0; y> 0; z> 0. Тоді маємо систему нерівностей:

4t>0; t>0;

50-9t>0; t<50:9.

6. t-ціле число, отже t = 1; 2; 3; 4; 5.

7. Можливі варіанти:

Якщо t = 1, то:

х=4,

у=41,

z=55.

Якщо t=2, то:

x=8,

y=32,

z=60.

Якщо t=3, то:

x=12,

y=23,

z=65.

Якщо t=4, то:

x=16,

y=14,

z=70.

Якщо t=5, то:

x=20,

y=5,

z=75.

Відповідь: (55; 41;4); (60; 32; 8); (65; 23; 12); (70; 14; 16); (75; 5; 20).

Таким чином, ми довели, що спосіб подрібнення коефіцієнтів дозволяє вирішувати багато практичних завдань.

Висновки

1. Знання методів розв'язання діофантових рівнянь значно поширює математичний світогляд та підвищує математичну культуру,розвиває логічне мислення та сприяє виробленню дедуктивного мислення.

2. Уміння розв'язувати діофантові рівняння є необхідною умовою при дослідженні економічних,соціальних та інших процесів,а отже має велике практичне значення.

3. Вивчення діофантових рівнянь передбачає розвиток,збагачення і поглиблення знань про рівняння та їх системи взагалі.

4. Істотне місце займають текстові задачі, функціями яких і розвиток логічного мислення та ілюстрація практичного застосування математичних знань.

5. Діофантові рівняння набувають важливого значення с точки зору математичного моделювання реальних процесів та явищ.

Література

1. Перельман Я.І. Цікава алгебра - М: Наука, 1978-200с.

2. Башмакова І.Г. Діофант і діофантові рівняння - М: Наука, 1972.-68с.

3. Спринджук В.Г. Класичні діофантові рівняння від двох невідомих. - М: Наука, 1982.-287с.

4. Базильов Д.Ф. Довідник посібник до розв'язання задач: діофантові рівняння. - НТЦ «АПІ»; 1999.-200с.

5. Алфутова Н.Б. Алгебра і теорія чисел. Збірник задач для математичних шкіл. - М: МЦНМО, 2002.-264с.

6. Болтянский В,Т. Подільність чисел та прості числа. - М: Просвітництво, 1974.

7. Гельфонд А. Рішення рівнянь у цілих числах. Наука, - 1978.