Открытый урок в 8 классе по теме: Теорема Виета

Тема урока: «Теорема Виета».

Печковская Людмила Сергеевна

учитель математики МБОУ СОШ №2

г.Белореченск Краснодарский край

14.01.2015

8 «в» класс

Образовательные цели урока:

-повторить формулы корней неполных и полных квадратных уравнений;

-сформировать у учащихся умение применять теорему Виета при решении квадратных уравнений.

Развивающие цели урока:

-развивать и совершенствовать умение применять, имеющиеся у учащихся знания в изменённой ситуации;

-способствовать развитию умения делать выводы и обобщения.

Воспитательные цели урока:

-способствовать выработке у школьников желания и потребности в изучении новых фактов;

-воспитывать самостоятельность и творческую активность.

Оборудование урока: интерактивная доска , медиапроектор.

Ход урока:

1. Организационный момент.

2. Устная проверка домашнего задания.

3. Повторение пройденного материала.

(Два ученика работают с таблицей у доски.)

Задание: заполнить пустые места в таблице.

Остальные учащиеся класса отвечают на вопросы учителя

Вопросы:

1. Квадратное уравнение с первым коэффициентом, равным 1 называется… (приведенное)

2. Подкоренное выражение в формуле корней.

квадратного уравнения.. . (дискриминант), он равен..

3. Один из видов квадратного уравнения … (неполное)

4. a, b и с в квадратном уравнении … (коэффициенты)

5.Формула корней полного квадратного уравнения имеет вид… , приведенного…

Учитель проверяет с помощью учеников задание , выполненное учениками у доски.

Учитель сообщает тему урока: Сегодня на уроке мы исследуем зависимость между коэффициентами и корнями квадратного уравнения.

Занимаясь квадратными уравнениями, вы, вероятно, уже заметили, что информация об их корнях скрыта в коэффициентах. Кое - что «скрытое» для нас уже открылось.

От чего зависит наличие или отсутствие корней квадратного уравнения? (от дискриминанта)

Из чего составляется дискриминант квадратного уравнения?

(из коэффициентов a, b, c)

В зависимости от того, какие коэффициенты квадратного уравнения, можно определять корни неполных квадратных уравнений. (проверяем заполнение учащимися таблицы)

Как ещё связаны между собой корни и коэффициенты квадратного уравнения? Чтобы раскрыть эти связи, наверное, будет полезно понаблюдать за коэффициентами и корнями различных квадратных уравнений. (Учащийся от каждого ряда решает задание на оборотной доске, а остальные выполняют задание в тетради , затем происходит сверка выполненной работы с решениями на доске)

Задание. Решить уравнение.

I ряд

3(x²  2)  x = 2x²

3x²  6  x  2x²=0

x²  x  6=0

D = 25

x₁ = 3

x₂ = 2

II ряд

4(3x + 3) =2(1  x²)

2x² + 12x + 10 = 0

x² + 6x + 5 = 0

D₁ = 4

x₁ = 1

x₂=  5

III ряд

(x  3)² = 1

x² + 9  6x = 1

x²  6x + 8 = 0

D₁ = 1

x₁ = 4

x₂ = 2

Дополнительно для сильных учеников

(x  1)(x + 2) + 3x = 10

x² + x  2 + 3x  10 = 0

x² + 4x  12 = 0

D₁ = 16

x₁ = 2

x₂ =  6

Как называются квадратные уравнения, после алгебраических преобразований? (приведённые)

При поиске закономерностей исследователи часто фиксируют свои наблюдения в таблицах, которые помогают обнаружить эти закономерности.

Задание. Заполнить пропуски в таблице

Уравнение

a

b

c

x₁

x₂

x₁ +х₂

x₁x₂

x² - x - 6 = 0

x² + 6x + 5 = 0

x² - 6x + 8 = 0

x² + 4x -12 = 0

Помогла ли вам эта таблица в раскрытии новых связей между корнями и коэффициентами квадратных уравнений. Выскажите гипотезу, утверждение (учащиеся делают выводы). Сравните сформулированную вами гипотезу с теоремой, записанной в учебнике на стр. 123.

Теорема: Сумма корней приведённого квадратного

уравнения равна второму коэффициенту,

взятому с противоположным знаком,

а произведение корней равно свободному члену.

(Прочитать доказательство самостоятельно)

Теорема называется теоремой Виета, по имени знаменитого французского математика Франсуа Виета (1540-1603).

Свою знаменитую теорему он доказал в 1591 году.

Историческая справка

(презентация учащегося: Франсуа Виет )

Физкульминутка:

Учитель предлагает ученикам , стоя за столами сделать несколько круговых движений головой , затем туловищем , три раза встать-сесть на свой стул.

Задание. Используя теорему Виета, заполните пропуски в формулах.

Уравнение

Сумма корней

Произведение корней

x² - 5x - 6 = 0

x² - 3x + = 0

2

x² + x + 1 = 0

-3

x² + x + = 0

5

-7

Теорему Виета можно использовать для проверки, найденных корней квадратного уравнения. Рассмотрим задания из домашней работы № 450.

2) х² - 6х -7 = 0 4) x² + 6x - 40 = 0

х₁= -1; х₂ = 7. х₁= 4 ; х₂ = -10 .

6) x² - x - 2 = 0;

х₁= 2 ; х₂ = -1 .

Проверяем верность найденных корней уравнений по теореме Виета.

Применима ли теорема Виета для квадратного уравнения в общем виде? (Да, если заменить это уравнение равносильным ему приведённым уравнением.)

ax² + bx + c = 0

; если x₁ и x₂ - корни данного уравнения, то по теореме Виета:

Сформулируйте утверждение для квадратного уравнения в общем виде.

Теорема: Если корни квадратного уравнения ax²+bx+c=0

существуют, то сумма корней равна ,

а произведение корней .

По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета.

Что лучше, скажи постоянства такого:

Умножишь ты корни - и дробь уж готова:

В числителе c, в знаменателе a,

А сумма корней тоже дроби равна

Хоть с минусом дробь, что за беда,

В числителе b, в знаменателе a.

Задание № 451. Найти сумму и произведение корней

квадратного уравнения.

Уравнение

Сумма корней

Произведение корней

1) x² - x - 2 = 0

3) х² + 3х + 2 = 0

5) x² - 7x + 5 = 0

Устно: Не решая данного уравнения, определите какие числа являются корнями уравнения.

x²+ 5x + 4 = 0 -1 и - 4

x² - 5x + 4 = 0 1 и 4

x² - 3x - 4 = 0 - 1 и 4

x² + 3x - 4 = 0 1 и - 4

В некоторых случаях корни уравнения можно найти подбором. Подбор корней значительно облегчает, если известны зависимости между корнями и коэффициентами уравнения. Формулы, выражающие эти зависимости, отражены в теореме Виета.

Сформулируйте утверждение, обратное теореме Виета.

Теорема. Если действительные числа x₁ и x₂ таковы,

что x₁ + x₂= - p и x₁x₂=q, то эти числа являются

корнями квадратного уравнения x² + px + q = 0.

Но чаще эту теорему используют для нахождения

корней методом подбора.

Учащиеся самостоятельно решают задание № 456 (нечетные-1 вариант, четные- 2 вариант) ,

используя данную теорему.

Итог урока:

1.С какими теоремами вы познакомились сегодня на уроке?

2.В каких ситуациях может быть применима теорема Виета и ей обратная теорема?

3. Учитель выставляет отметки учащимися , которые решали задания у доски , активно работали на уроке и тем , кто успешно справился с самостоятельной работой.

Домашнее задание: п. 29 № 450, 455,457