Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников по специальности 260807 Технология продукции общественного питания по дисциплине Математика

ГАОУ СПО Тольяттинский колледж сервисных технологий и предпринимательства

Методические указания и контрольные задания

для студентов-заочников

по специальности 260807 Технология продукции общественного питания

по дисциплине

Математика

Номинация: Учебно-методические материалы по учебным дисциплинам математического и естественнонаучного цикла.

Составитель: Агаева О. И. - преподаватель I категории

Тольятти

2012

Пояснительная записка

Цель данной учебно-методической работы состоит в том, чтобы оказать помощь студентам, обучающимся на заочном отделении по специальности 260807 Технология продукции общественного питания, в самостоятельном изучении дисциплины «Математика», а также помочь при подготовке к экзамену и при выполнении контрольной работы.

Методические указания составлены в соответствии с примерной программой и требованиями образовательного стандарта по дисциплине «Математика» по специальности 260807 Технология продукции общественного питания.

Данные методические рекомендации включают перечень изучаемых тем, краткие сведения по теоретическому материалу, правила и примеры выполнения заданий, вопросы для самопроверки, задания для самостоятельного решения, требования к оформлению, содержанию и критерии оценивания контрольной работы, задания для выполнения контрольной работы в десяти вариантах, экзаменационные вопросы, список рекомендуемой литературы.

Методические рекомендации по каждой теме содержат теоретический и практический блоки. Наличие тезисной информации по теме позволит студентам вспомнить ключевые моменты, рассмотренные преподавателем на занятии. Практическая часть содержит задания, пояснения или рекомендации по их выполнению.

1.ВВЕДЕНИЕ

Данная учебно-методическая работа составлена в соответствии с требованиями образовательного стандарта по дисциплине «Математика» и предназначена для самостоятельного изучения этой дисциплины, для подготовки к экзамену и выполнения контрольной работы студентами, обучающихся по специальности 260807 Технология продукции общественного питания

Содержание современного курса математики тесно связано не только с задачей получения фундаментального естественно - научного образования, но и с задачей формирования представлений о математике как о необходимой для каждого человека составляющей общих знаний о мире и понимания значимости этой науки для общественного прогресса. Важной частью общей культуры является широкий набор знаний, которые человек активно использует в быту, в профессиональной деятельности, на протяжении всей жизни.

Умение применять полученные теоретические знания на практике может служить критерием оценки уровня культурного развития человека. Поэтому одним из традиционных направлений в преподавании математики является освещение вопросов прикладной направленности.

Прикладная направленность математики осуществляется с целью повышения качества математического образования студентов, применения их математических знаний к решению задач повседневной практики и в профессиональной деятельности.

Цель курса математики заключается в том, чтобы сформировать у студентов необходимый объем фундаментальных и прикладных знаний, необходимых для выполнения работ по анализу, проведению расчетов и составлению рекомендаций в практической деятельности специалиста.

Задачи курса математики: ознакомить студентов со следующими вопросами: основные этапы и структура современной математики; основные черты математического мышления; математические доказательства; основные идеи математического анализа; дифференциальные уравнения; общая постановка задачи о принятии решения; математические методы в целенаправленной деятельности; элементы теории вероятностей; основные понятия математической статистики.

В результате изучения курса Математика:

Студент должен иметь представление: о месте и роли математики в современном мире, мировой культуре и истории; о математическом мышлении, индукции и дедукции в математике, принципах математических рассуждений и математических доказательствах.

Студент должен использовать: основы математического анализа; основы алгебры, дискретной математики; основы теории дифференциальных уравнений и численных методов; основы теории вероятностей и математической статистики.

Студент должен знать: основные численные методы решения прикладных задач и их применение в технологии продукции общественного питания.

Студент должен уметь: использовать математические методы при решении прикладных задач; проводить элементарные расчеты, необходимые в технологии продукции общественного питания.

Методические рекомендации по дисциплине Математика созданы студентам в помощь для работы на занятиях, при подготовке заданий для практического изучения.

Данные методические рекомендации включают перечень изучаемых тем, краткие сведения по теоретическому материалу, правила и примеры выполнения заданий, вопросы для самопроверки, задания для самостоятельного решения, требования к оформлению, содержанию и критерии оценивания контрольной работы, задания для выполнения контрольной работы в десяти вариантах, экзаменационные вопросы, список рекомендуемой литературы.

Методические рекомендации по каждой теме содержат теоретический и практический блоки. Наличие тезисной информации по теме позволит студентам вспомнить ключевые моменты, рассмотренные преподавателем на занятии. Практическая часть содержит задания, пояснения или рекомендации по их выполнению

Курс Математика изучается в течение двух семестров. В процессе изучения настоящего курса, студенты должны выполнить одну контрольную работу. В качестве формы контроля предусмотрен экзамен в конце второго семестра.

2.РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ «МАТЕМАТИКА» ДЛЯ СТУДЕНТОВ СПЕЦИАЛЬНОСТИ 260807 ТЕХНОЛОГИЯ ПРОДУКЦИИ ОБЩЕСТВЕННОГО ПИТАНИЯ

Введение:

Содержание учебного материала: история возникновения, развития и становления математики как основополагающей дисциплины, необходимой для изучения профессиональных дисциплин. Цели, задачи математики. Связь математики с общепрофессиональными и специальными дисциплинами.

Раздел 1. Математический анализ

Тема 1.1. Дифференциальное и интегральное исчисление

Вычисление пределов функций с использованием первого и второго замечательных пределов; исследование функций на непрерывность; нахождение производных по алгоритму; вычисление производных сложных функций; исследование функций; функции нескольких переменных; нахождение частных производных.

Неопределенный интеграл. Непосредственное интегрирование. Замена переменной. Определенный интеграл. Вычисление определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. Приложение интеграла к решению прикладных зада

Методические указания по теме 1.1

Вычисление пределов функций с использованием первого и второго замечательных пределов:

Краткие теоретические сведения по теории пределов:

- 1-й замечательный предел.

Следствия:

Пример 1. Вычислить предел:

Пример 2. Вычислить предел:

Пример 3. Вычислить предел:

- 2-й замечательный предел.

Следствие 1.

Следствие 2.

Сделаем замену: = y => x = .

Тогда при x→∞ y→0 и

Пример 4. Вычислить предел:

Пример 5. Вычислить предел:

Пример 5. Вычислить предел:

=

Пример 6. Вычислить предел:

==

Две бесконечно малые величины (x) называются эквивалентными (или равносильными) при x→a, если

Таблица эквивалентных величин (всюду x→0)

sinx

arcsin xx

tg xx

arctg xx

e^x-1x

ln(1+x)x

a^xx ln a , a≠1, a>0

log_a(1+x)

(1+x) -1x, R

1-cos x

Пример 7. Найти предел:

Пример 8. Найти предел:

Исследование функций на непрерывность:

Если в какой либо точке х₀ функция не является непрерывной, т.е. , то точка называется точкой разрыва этой функции, а функция называется разрывной в этой точке.

Пусть аргумент остается все время слева от _, т.е. . Если при этом условии функция имеет предел - число , то это число называется односторонним пределом функции слева в точке обозначается: .

Односторонний предел справа:

Пример 8. Вычислить односторонние пределы:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

Функция называется непрерывной в точке, если предел функции при равен значению функции при, т.е. .

Если условие непрерывности функции в точке нарушено, то такую точку называют точкой разрыва функции.

Точка является точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы: .

Точка x₀ является разрывом второго рода функции , если в этой точке не существует хотя бы одного из односторонних пределов функции или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.

Пример 9. Установить характер точки разрыва функции в точке или доказать непрерывность функций:

а)

б)

в)

г)

точка разрыва II рода.

д)

Нахождение производных по алгоритму:

Производной функции y=f (x) называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует):

.

Производная функции имеет несколько обозначений: y′, f′(x), , .

Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции.

Таблица производных:

_{, ;} ;

; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

; .

Правила вычисления производных.

1. .

2. ;

;

.

3. .

Пример 10. Найти производные функции:

;

2. 3)

.

Вычисление производных сложных функций:

Если y=f (u) и- дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу и, умноженной на производную самого промежуточного аргумента и по независимой переменной x, т.е. .

С учетом полученного правила дифференцирования сложной функции для функции y=uⁿ, где u=u(f), можно записать:

,

′,

.

Пример 11. Найти производные функций:

;

2. ;

3. ;

;

;

Исследование функций:

Общая схема построения графиков функций:

1. Область определения функции.

2. Четность, периодичность функции.

3. Точки пересечения графика с осями координат (если это не вызывает затруднений).

4. Асимптоты графика функции.

5. Промежутки монотонности функции и экстремумы.

6. Промежутки выпуклости графика функции и точки перегиба.

7. Дополнительные точки (если возможно)

8. График функции.

Пример 12. Исследовать функцию у=х³-5х²+3х-5 построить график:

1. D(у)=(-∞; ∞)

2. у(-х)=(-х)³-5(-х)²+3(-х)-5 = -х³-5х²-3х-5≠у(х) ≠-у(х).

Функция не является ни чётной ни нечётной.

3. Точка пересечения с осью у:

x=0, у=0³-50²+30-5=-5

(0;-5) - точка пересечения с осью у.

Точки пересечения с осью х найти затруднительно.

4. Вертикальных асимптот нет, т.к. функция непрерывна на (-∞;∞).

Наклонная асимптота: у=kх+b.

Наклонных асимптот нет.

4. у^/=(х³-5х²+3х-5)^/=3х²-10х+3;

у^/=0; 3х²-10х+3=0,

D=100-433=100-36=64,

x₁=

x₂= .

x₁=3; х₂ = -критические точки функции.

x

(-)

3

у^/

+

0

-

0

+

у

-14

max

min

y(3)=3³-53²+33-5=27- 45+9-5= -14

() - точка max; (3;-14) - точка min

4. у^//=(3х²-10х+3)^/=6х-10

у^//=0; 6х-10=0,

6х=10,

x= 1.

х

у^//

-

0

+

у

точка перегиба

у(

yточка перегиба

x

y

-1

-14

2

-11

4

-9

5

10

x

Пример 13. Исследовать функцию F(x)= и построить её график.

1. х-2≠0,

х≠2,

D(f)=(-∞;2)(2;∞)

2)f(-х)=функция не является ни чётной, ни нечетной.

Функция не периодическая.

3) точка пересечения с осью Оу:

x=0; у=0

(0;0) - точка пересечения с осью Оу. Точки пересечения с осью Ох.

y=0,

x=0 или х+6=0,

x=-6.

(0;0), (0;-6) - точки пересечения с осью Ох.

4) х=2 - точка разрыва II рода.

x=2 - вертикальная асимптота.

y= kx+b - наклонная асимптота.

y=1х+8;

y= х+8 - наклонная асимптота.

5)

у^/=0 , х≠2

х²-4х-12=0

D=16-41(-12)=16+48=64

x₁=6; х₂=-2 - критические точки

х

(-∞;-2)

-2

(-2;2)

2

(2;6)

6

(6; ∞)

у^/

+

0

-

-

0

+

у

2

18

max

точка разрыва

min

y(-2)=

y(6)=

(-2;2) - точка max

(6;18) - точка min

6) у^//=

у^//=0 ; х≠2.

32≠0

нет критических точек II рода.

х

(-∞;2)

2

(2; ∞)

у^//

-

+

у

точка разрыва

7) дополнительные точки

х у

4 20

10 20

Функции нескольких переменных:

Переменная величина называется функцией двух переменных величин и , если каждой паре допустимых значений и соответствует единственное значение .

Функции двух переменных обозначают символами и т.п.

Значение функции при и обозначают через

Упорядоченная пара значений и называется точкой М, а функция двух переменных - функцией этой точки .

Переменная величина и называется функцией трех переменных величин , если каждой упорядоченной тройке значений соответствует единственное значение и.

Аналогично определяется функция переменных.

Нахождение частных производных:

Частной производной функции по переменной x называется производная этой функции при постоянном значении переменной y; она обозначается или .

Частной производной функции по переменной y при постоянном значении переменной x; она обозначается или .

Частная производная функции нескольких переменных по одной переменной определяется как производная этой функции по соответствующей переменной при условии, что остальные переменные считаются постоянными.

Полным дифференциалом функции в некоторой точке М(x;y) называется выражение , где и вычисляются в точке M(x;y), а

, .

Пример 14. Найдите частные производные функции:

а) ;

;

;

б) ;

;

;

в) ;

г)

д)

е) ;

Неопределенный интеграл. Непосредственное интегрирование:

Таблица интегралов.

Замена переменной:

Сущность интегрирования методом замены переменной (способом подстановки) заключается в преобразовании интеграла в интеграл, который легко вычисляется по какой либо из основных формул интегрирования.

Для нахождения интеграла заменяем переменную новой переменной с помощью подстановки .

Дифференцируя это равенство, получим . Подставляя в подынтегральное выражение вместо и их значения выраженные через и , имеем:

.

После того как интеграл относительно новый переменной и будет найден с помощью подстановки он приводится к переменной .

Пример 15. Найти следующие интегралы:

1)

2)

3)

4)

5)

Интегрируя обе части равенства , получим , откуда

Примеры 16. Найти следующие интегралы:

1)

2)

Интегрирование рациональной дроби приводится к интегрированию простейших дробей.

Пример 17. Найти интегралы:

1)

2)

_{Определенный интеграл:}

Для вычисления определенного интеграла от функции f(x) в этом случае, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл F(x), служит формула Ньютона-Лейбница:

Вычисление определенного интеграла:

Пример 18. Вычислить следующие определенные интегралы

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

При вычислении определенного интеграла методом замены переменой (способом подстановки) определенный интеграл преобразуется с помощью подстановки и в определенный интеграл относительно новой переменной . При этом старые пределы интегрирования и заменяются соответственно новыми пределами интегрирования и , которые находятся из исходной подстановки.

Из первой подстановки новые пределы интегрирования вычисляются непосредственно: .

Из второй подстановки новый пределы интегрирования находятся путем решения уравнений и относительно и .

Таким образом, имеем:

Пример 19. Вычислить определенные интегралы:

1)

2)

3)

4)

5)

Если функции и и их производные и непрерывны в промежутке ,то формула интегрирования по частям для определенного интеграла имеет вид

Пример 20. Вычислить интеграл

Геометрический смысл определенного интеграла. Приложение интеграла к решению прикладных задач:

Найдём площадь S криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью Ox и двумя прямыми x=a и x=b, где , .

Так как дифференциал переменной площади S есть площадь прямоугольника с основанием dx и высотой ,т.е. , то интегрируя это равенство в пределах от a до b, получим .

Если криволинейная трапеция прилегает к оси Oy так, что , , то дифференциал переменной площади S равен , откуда .

В том случае, когда криволинейная трапеция, ограниченная кривой , осью Ox и прямым и , лежит под осью Ox, площадь находится по формуле .

Если фигура, ограниченная кривой , осью Ox и прямыми и , расположена по обе стороны от оси Ox, то .

Пусть, наконец, фигура S ограничена двумя пересекающимися кривыми и и прямыми и и . Тогда её площадь находится по формуле .

Пример 21. Вычислите площади фигур, ограниченных указанными линиями:

1) , , ,

В данном случае требуется вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой , прямыми , , и . Посмотрим эти линии.

Ответ: 1,5 кв. ед.

2) , , ,

Ответ: 3,5 кв. ед.

3) , , , .

-парабола

-парабола

кв. ед.

Ответ:кв. ед.

4) , .

-парабола

,

,

(1;2) - вершина параболы

-прямая

Для нахождения точек пересечения решим систему:

,

,

,

,

,

кв. ед.

Ответ: 9,5 кв. ед.

Вопросы для самопроверки по теме 1.1:

1. Какие неопределённости вы знаете?

2. Назовите 1-й замечательный предел.

3. Назовите второй замечательный предел.

4. Какая точка называется точкой разрыва?

5. Что называется точкой разрыва I рода?

6. Что называется точкой разрыва II рода?

7.Что называется производной функции?

8. Что называется дифференцированием функции?

9. Как найти производную сложной функции?

10. Какая функция называется чётной?

11. Какая функция называется нечётной?

12. Как найти критические точки функции?

13. Общий вид уравнения наклонной асимптоты.

14. В чем заключается сущность метода интегрирования заменой переменной?

15. Назовите формулу интегрирования по частям.

16. Как интегрируются рациональные дроби?

17. В чем суть вычисления определенного интеграла путем замены переменной?

18. Какова формула вычисления определенного интеграла по частям?

19. Какова формула вычисления площади криволинейной трапеции, ограниченой кривой , осью Ox и прямые и ?

20. Какова формула вычисления полощади криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью Ox и прямыми и , лежит под осью Ox?

21. Какова площадь фигуры ограниченной двумя пересекающимися кривыми и и прямыми и , где и ?

Задания для самостоятельного решения по теме 1.1:

1. Вычислить пределы:

1)

2)

3)

4)

5)

_{2. Вычислить односторонние пределы:}

1)

2)

3)

4)

_{3.Найдите производные функций:}

4. Исследовать и построить графики следующих функций:

а) ух³+х²-5х+3;

б) у =.

5. Найдите частные производные следующих функций:

1)

2)

3)

4)

5)

6.Найдите следующие интегралы методом замены переменной:

а)

б)

в)

г)

д)

7. Найдите следующие интегралы методом интегрирования на части:

1)

2)

8. Найдите интеграл:

1)

2)

9. Вычислите следующие определенные интегралы:

1)

2)

3)

4);

5)

10. Вычислите методом замены переменной следующие определенные интегралы:

1)

2)

3)

11. Вычислите определенный интеграл, применяя формулу интегрирования по частям.

12. Вычислите площади фигур, ограниченных указанными линиями:

1) , , , ;

2) , , ;

_{Тема 1.2. Обыкновенные дифференциальные уравнения}

_{Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Общие и частные решения. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.}

_{Методические указания по теме 1.2}

_{Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям:}

В различных областях науки и техники весьма часто встречаются задачи, для решения которых требуется решить одно или несколько уравнений, содержащих производные некоторых функций. Такие уравнения называются дифференциальными.
Пример 1. На плоскости хОу требуется найти кривую, проходящую через точку О(0; 0) и обладающую тем свойством, что угловой коэффициент касательной, проведенной в любой точке кривой, равен удвоенной абсциссе точки касания.

Пусть y = f (x) - уравнение искомой кривой. По условию, в каждой точке М(х; f (х)) имеется касательная к этой кривой, угловой коэффициент которой, т. е. f '(x), равен 2х. Таким образом, (1) Это дифференциальное уравнение, так как оно содержит производную искомой функции. Из уравнения (1) следует, что функция у есть первообразная функции 2х. Поэтому или , (2)где С - произвольная постоянная. Из формулы (2) видно, что дифференциальное уравнение (1) имеет бесконечное множество решений. Чтобы из этого множества решений выбрать искомое, надо воспользоваться тем, что искомая кривая проходит через точку О (0; 0). Следовательно, координаты этой точки должны удовлетворять уравнению (2), т. е. 0 = 0 + С, откуда С = 0. Итак, искомая кривая - это парабола .

Пример 2. Требуется найти закон движения свободно падающего в пустоте тела, если пройденный путь начинает отсчитываться от момента времени t = 0 и начальная скорость падения равна нулю.

В этом случае, как известно, скорость выражается формулой Так как скорость прямолинейного движения есть производная пути по времени, то (3) Из этого уравнения следует, что функция s есть первообразная функции g t. Поэтому или (4) Для нахождения произвольной постоянной С воспользуемся тем, что начало отсчета пути совпадает с началом отсчета времени, т. е. s = 0 при t = 0. Подставляя эти значения в равенство (4), имеем 0 = 0 + С, откуда С = 0 и, следовательно,
. _{Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Общие и частные решения:}

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х, искомую функцию у и ее производное или дифференциалы.

Символически дифференциальное уравнение записывается так: .

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая функция зависит от одного независимого переменного.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной (или дифференциала), входящей в данное уравнение.

Решением (или интегралом) дифференциального уравнения называется такая функция, которая обращает это уравнение в тождество.

Общим решением (или общим интегралом) дифференциального уравнения называется такое решение, в которое входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения. Так, общее решение дифференциального уравнения первого порядка содержит одну произвольную постоянную.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего при различных числовых значимых произвольных постоянных. Значения произвольных постоянных находятся при определенных начальных значениях аргумента или функции.

График частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Общему решению дифференциального уравнения соответствует совокупность (семейство) всех интегральных кривых.

Дифференциальным уравнениям первого порядка называются уравнение, в которое входят производные (или дифференциалы) не выше первого порядка.

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называются уравнения вида

Для решения этого уравнения нужно сначала разделить переменные:

, а затем проинтегрировать обе части полученного равенства:

Пример 3. Найдите общее решение уравнений с разделяющимися переменными.

а)

;

б)

_{Однородные дифференциальные уравнения первого порядка:}

Уравнения вида называется однородным, если и-однородные функции одного измерения.

Функция называется однородной измерения m , если ии

С помощью подстановки однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример 4. Решите однородное дифференциальное уравнение первого порядка.

Замена:

=

Уравнение вида где и - функции от х, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. В частном случае и могут быть постоянными величинами.

Это уравнение приводит к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки , где и - новые функции от .

Пример 5. Решите линейное дифференциальное уравнение первого порядка.

- - 3 =0;

Положим . Продифференцируем по : = + .

Подставим эти выражения в уравнения, получим:

+ - ;

+ - -3=0; (*)

- ;

- ;

=;

= ;

;

;

;

Подставим теперь выражение для в уравнение (*), тогда получим уравнение

-3=0;

=3;

;

;

;

;

.

Зная и , теперь получаем общее решение данного уравнения:

Пример 6. Найдите частные решения дифференциального уравнения:

_{Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:}

Уравнение, содержащие производные (или дифференциалы) не выше второго порядка, называется дифференцированным уравнением второго порядка. В общем виде уравнение второго порядка записывается следующим образом:

Общее решение дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные.

Пример 7. Найдите частное решение уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условием

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

(1)

где p и q - постоянные величины.

Для отыскания общего решения уравнения (1) заменой на соответствующие степени причем сама функция заменяется единицей. Тогда общее решение дифференциального уравнения (1) строится в зависимости от корней и характеристического уравнения (2). Здесь возможны три случая.

I случай. Корни и - действительны и различные. В этом случае общее решение уравнения (1) имеет вид:

(3)

II случай. Корни и - действительные и равные: Тогда общее решение уравнение (1) записывается так:

(4)

III случай. Корни и - комплексно-сопряженные: В этом случае общее решение уравнения (1) записывается следующим образом:

(5)

Пример 8. Найдите частные решения дифференциальных уравнений.

а) при при .

Составим характеристическое уравнение и найдите его корни.

Так как корни характеристического уравнения действительны и различны, то общее решение данного дифференциального уравнения согласно формуле (3) запишется так:

Для нахождения искомого частного решения нужно определить значения постоянных С₁ и С₂. Подставив в общее решение значения получим:

Продифференцировав общее решение и подставив в полученное выражение , имеем:

Таким образом, искомое частное решение имеет вид

_{Вопросы для самопроверки по теме 1.2:}

1. Что называется дифференциальным уравнением?

2. Что называется решением дифференциального уравнения?

3. Что называется частными решениями дифференциального уравнения?

4. Какой вид имеет дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными?

5. Какой вид имеет однородное дифференциальное уравнение?

6. Какой вид имеет линейное дифференциальное уравнение первого порядка.

7. Какое уравнение называется дифференциальным уравнением второго порядка?

8. Какой общий вид уравнения второго порядка?

9. Какой общий вид линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами?

Задания для самостоятельного решения по теме 1.2:

1.Найти общее решение уравнения: 1) ;

2) ;

3)

2.Найдите общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:

3.Найдите общее решение дифференциального уравнения:

Тема 1.3. Решение простейших дифференциальных уравнений, линейных относительно частных производных

Дифференциальные уравнения в частных производных

Методические указания по теме 1.3:

Дифференциальные уравнения в частных производных:

Пусть искомая функция зависит от нескольких независимых переменных

Уравнение, связывающее искомую функцию, независимые переменные и частные производные от искомой функции, называется дифференциальным уравнением с частными производными. Оно имеет вид:

Здесь -- данная функция своих аргументов. Порядок старшей частной производной, входящей в уравнение, называется порядком уравнения частными производными.

Дифференциальное уравнение с частными производными первого порядка с независимыми переменными может быть записано в форме:

Общее решение дифференциального уравнения с частными производными, вообще говоря, может зависеть от некоторых произвольных (гладких) функций.

Пример 1. Рассмотрим уравнение в частных производных второго порядка

Написав его в виде , убеждаемся в том, что не зависит от . Мы можем положить его равным произвольной функции от : . Интегрируем последнее равенство по . Замечая, что постоянная интеграции есть постоянная по отношению к , т.е. может быть любой функцией от , и что -- опять произвольная (дифференцируемая) функция от , получаем общее решение данного уравнения:

где , -- произвольные функции, которые, конечно, должны быть дифференцируемы, чтобы имел смысл результат подстановки в данное уравнение. В этом случае общее решение уравнения зависит от двух произвольных функций.

Для уравнений в частных производных можно вводить различные добавочные данные, которые определяют при некоторых условиях однозначно частное решение. В частности, можно использовать начальные данные Коши. Для одного уравнения -ого порядка, разрешенного относительно одной из старших производных, вида

начальные условия при имеют вид

где , ,..., -- заданные функции. Нахождение решения уравнения, удовлетворяющего указанным условиям, есть задача Коши.

В общем случае уравнение в частных производных может не иметь общего решения, зависящего от конечного набора функций или постоянных параметров. Уравнения в частных производных первого порядка обладают общим решением, зависящим от одной произвольной функции. Задача интегрирования уравнения в частных производных первого порядка сводится к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Рассмотрим линейное однородное уравнение в частных производных:

где -- данные функции независимых переменных , непрерывные и непрерывно дифференцируемые в рассматриваемой области. Наряду с дифференциальным уравнением в частных производных напишем систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

Левая часть любого первого интеграла системы обыкновенных дифференциальных уравнений есть решение уравнения в частных производных. И обратно, всякое решение уравнения в частных производных, приравненное произвольной постоянной, дает первый интеграл выписанной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Пусть

есть некоторая определенная система независимых интегралов составленной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Тогда для произвольной дифференцируемой функции суперпозиция функций является общим решением линейного однородного уравнения в частных производных.

Для уравнения

решим задачу Коши с начальными данными:

где -- заданное число, -- заданная дифференцируемая функция своих аргументов. Пусть -- независимые первые интегралы. Пусть далее -- такие функции, что

являются решениями системы уравнений

Тогда искомое частное решение дифференциального уравнения в частных производных имеет вид

Вопросы для самопроверки по теме 1.3:

Уравнение, какого вида называется дифференциальным уравнением в частных производных?

Тема 1.4. Ряды

Числовые ряды. Сходимость и расходимость числовых рядов. Признак сходимости Даламбера. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость рядов. Функциональные ряды. Степенные ряды. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.

Методические указания по теме 1.4:

Числовые ряды:

Числовым рядом называется сумма вида

где числа u₁, u₂, u₃, …, n_n, …, называемые членами ряда, образуют бесконечную последовательность; член un называется общим членом ряда.

Суммы

. . . . . . . . .

составленные из первых членов ряда (27.1), называются частными суммами этого ряда.

Каждому ряду можно сопоставить последовательность частичных сумм S₁, S₂,S₃, … . Если при бесконечном возрастании номера n частичная сумма ряда S_n стремится к пределу S, то ряд называется сходящимся, а число S- суммой сходящегося ряда, т.е.

Эта запись равносильна записи

Если частичная сумма S_n ряда (27.1) при неограниченном возрастании n не имеет конченого предела (в частности, стремится к + или к - ), то такой ряд называется расходящимся

Если ряд сходится, то значение S_n при достаточно большом n является приближенным выражением суммы ряда S.

Разность r_n= S - S_n называется остатком ряда. Если ряд сходится, то его остаток стремится к нулю, т.е. r_n=0, и наоборот, если остаток стремится к нулю, то ряд сходится.

Ряд вида называется геометрическим рядом.

Ряд вида

называется гармоническим.

если N, то S_n, т.е. гармонический ряд расходится.

Пример 1. Записать ряд по его заданному общему члену:

1) u_n=;

2) u_n=;

3).

1) полагая n=1,n=2, n=3, …, имеем бесконечную последовательность чисел: ,,,…. Сложив ее члены, получим ряд

2) Поступая так же, получим ряд

3)Придавая n значения 1, 2,3,… и учитывая ,что 1!=1, 2!=12, 3!=123,… получим ряд

Пример 2. Найти n-й член ряда по его данным первым числам:

1); 2) ; 3) .

Пример 3. Найти сумму членов ряда:

1) ;

2).

1) Находим частичные суммы членов ряда:

; ;

… .

Запишем последовательность частичных сумм: …, , … .

Общий член этой последовательности есть . Следовательно,

.

Последовательность частичных сумм имеет предел, равный . Итак, ряд сходится и его сумма равна.

2) Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, в которой a₁=, q=. Используя формулу получим Значит, ряд сходится и его сумма равна 1.

Сходимость и расходимость числовых рядов. Признак сходимости Даламбера:

Необходимый признак сходимости ряда. Ряд может сходиться только при условии, что его общий член u_n при неограниченном увеличении номера n стремится к нулю:

Если , то ряд расходится - это достаточный признак растворимости ряда.

Достаточные признаки сходимости ряда с положительными членами.

Признак сравнения рядов с положительными членами. Исследуемый ряд сходится, если его члены не превосходят соответствующих членов другого, заведомо сходящегося ряда; исследуемый ряд расходится, если его члены превосходят соответствующие члены другого заведомо расходящегося ряда.

При исследовании рядов на сходимость и растворимость по этому признаку часто используется геометрический ряд

который сходится при |q|<1 и расходятся при |q|1 , и гармонический ряд

,

являющийся расходящимся.

При исследовании рядов используется также обобщенный гармонический ряд

.

Если p=1, то данный ряд обращается в гармонический ряд, который является расходящимся.

Если p<1, то члены данного ряда больше соответствующих членов гармонического ряда и, значит, он расходится. При p>1 имеем геометрический ряд, в котором |q|<1; он является сходящимся. Итак, обобщенный гармонический ряд сходится при p>1 и расходится при p1.

Признак Даламбера. Если для ряда с положительными членами

(u_n>0)

выполняется условие , то ряд сходится при l<1 и расходится l>1.

Признак Даламбера не дает ответа, если l=1. В этом случае для исследования ряда применяются другие приемы.

Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость рядов:

Числовой ряд

u₁+u₂+u₃+…+u_n+…(*)

называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные числа.

Числовой ряд (*) называется знакочередующимся, если любые два стоящие рядом члена имеют противоположные знаки. Этот ряд является частным случаем знакопеременного ряда.

Признак сходимости Лейбница для знакочередующихся рядов. Если члены знакочередующегося ряда (*) монотонно убывают по абсолютной величине и общий член u_n стремится к нулю при n,то ряд сходится.

Ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд также сходится.
Если ряд сходится абсолютно, то он является сходящимся (в обычном смысле). Обратное

утверждение неверно.
Ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей

его членов, расходится.

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд .

Применим достаточный признак Лейбница для знакочередующихся рядов. Получаем

поскольку . Следовательно, данный ряд сходится.

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд .

Попробуем применить признак Лейбница:

Видно, что модуль общего члена не стремится к нулю при n → ∞. Поэтому данный ряд

расходится.

Пример 6. Определить, является ли ряд абсолютно сходящимся, условно сходящимся

или расходящимся. Применяя признак Даламбера к ряду, составленному из модулей соответствующих членов, находим

Следовательно, данный ряд сходится абсолютно.

Пример 7. Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) знакочередующийся ряд:

1)

2) ;

1) Члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают и . Следовательно, согласно признаку Лейбница, ряд сходится. Выясним, сходятся ли этот ряд абсолютно или условно.

2) Члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают: , но

.

Функциональные ряды:

Обычный числовой ряд состоит из чисел:

Все члены ряда - это числа.

Функциональный же ряд состоит из функций:

В общий член ряда помимо многочленов, факториалов и т.д. непременно входит буква «икс». Выглядит это, например, так: . Как и числовой ряд, любой функциональный ряд можно расписать в развернутом виде:

Как видите, все члены функционального ряда - это функции.

Наиболее популярной разновидностью функционального ряда является степенной ряд.

Степенные ряды:

Степенным рядом называется ряд вида

,

где числа а₀, а₁, а₂, …, а_n,… называется коэффициентами ряда, а член a_nxⁿ - общим членом ряда.

Областью сходимости степенного ряда называется множество всех значений x, при которых данный ряд сходится .

Число R называется радиусом сходимости ряда, если при |x|<R ряд сходится.

Пример 8. Дан ряд

.

Исследовать его сходимость в точках x=1 и х=3, x=-2.

При х=1 данный ряд превращается в числовой ряд

.

Исследуем сходимость этого ряда по признаку Даламбера. Имеем

т.е. ряд сходится.

При х=3 получим ряд

Или

,

Который расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости ряда

При х=-2 получим

.

Это знакочередующийся ряд, который, согласно признаку Лейбница,

сходится.

Итак, в точках x=1 и х=-2. ряд сходится, а в точке x=3 расходится.

Разложение элементарных функций в ряд Маклорена:

Рядом Тейлора для функции f(x) называется степенной ряд вида

.

Если, а=0, то получим частный случай ряда Тейлора

.

который называется рядом Маклорена.

Степенной ряд внутри его промежутка сходимости можно почленно дифференцировать и интегрировать сколько угодно раз, причем полученные ряды имеют тот же промежуток сходимости, что исходный ряд.

Два степенных ряда можно почленно складывать и умножать по правилам сложения и умножения многочленов. При этом промежуток сходимости полученного нового ряда совпадают с общей частью промежутков сходимости исходных рядов.

Для разложения функции в ряд Маклорена необходимо:

1) вычислить значения функции и ее последовательных производных в точке x=0, т.е. , , , …,

2) составить ряд Маклорена, подставив значения функции и ее последовательных в формулу

3) найти промежуток сходимости полученного ряда по формуле

Пример 9. Разложить в ряд Маклорена функцию:

₁₎

.

2)

.

3) ;

,

Вопросы для самопроверки по теме 1.4:

1.Какой ряд называется числовым?

2. Какой ряд называется сходящимся?

3. Сформулировать признак Даламбера.

4. Какой ряд называется гармоническим?

5.Какой ряд называется функциональным?

6. Какой ряд называется степенным?

7. Когда ряд сходится абсолютно, а когда условно?

8. Какой ряд называется рядом Тейлора?

9. Какой ряд называется рядом Маклорена?

Задания для самостоятельного решения по теме 1.4:

1. Найдите первые пять членов ряда по его заданному общему члену:

1) ; 2)

2. Найдите первые четыре члена ряда по его заданному члену:

1) 2).

3. Вычислите сумму членов ряда:

1);

2)

4.Исследовать сходимость ряда, применяя необходимый признак сходимости и признак сравнения:

1);

2) ;

5. Исследовать сходимость ряда, используя признак Даламбера:

1) ;

2) ;

3).

6.Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) знакочередующиеся ряды:

1)

₂₎

₃₎

7. Исследовать ряды на сходимость:

1);

2);

3);

8. Разложить в ряд Маклорена функции:

₁₎;

2);

3).

Раздел 2. Основы дискретной математики

Тема 2.1. Множества и отношения. Свойства отношений. Операции над множествами.

Элементы и множества. Задание множеств. Операции над множествами. Свойства операций над множествами. Отношения. Свойства отношений.

Методические указания по теме 2.1:

Элементы и множества:

Множество представляет собой соединение, совокупность, собрание некоторых предметов, объединенных по какому-либо признаку. Например, множество учащихся класса, множество букв алфавита, множество цифр десятичной нумерации, множество чисел первого десятка, множество натуральных чисел, множество точек на прямой, множество книг на полке и т. д.

Предметы, из которых состоит множество, называются его элементами (например, буква «к»- элемент множество букв русского алфавита).

Элементы множества обозначают малыми буквами латинского или греческого алфавита. Для обозначения множеств используют заглавные буквы латинского алфавита или запись со скобками. Например, А, В или ; ; .

Запись А означает, что элемент принадлежит множеству А. Запись А означает, что элемент не принадлежит множеству А. Например, если N- множество натуральных чисел, то 2 N, 0 N.

Задание множеств:

Множество считается заданным (известным), если или перечислены все его элементы, или указано такое свойство его элементов, которое позволяет судить о том, принадлежит данный элемент множеству или нет.

Так, например, говоря о множестве М всех четных чисел, мы указываем свойство его элементов: каждое число, принадлежащее этому множеству, делится нацело на два. Это записывается так:

М= N 2.

Здесь фигурные скобки указывают на наличие множества; знак (вертикальная палочка) заменяет слова «таких, что» (или «такие, что»); знак «» читается как «делится нацело»; о знаке сказано ранее; буквой N обозначено множество натуральных чисел.

Буквальное чтение этой записи таково: «Множество М - это множество натуральных чисел таких, что каждое из них делится нацело на 2». Можно прочитать и короче: «М - множество натуральных чисел, делящихся на 2», или «М - множество четных натуральных чисел».

Операции над множествами:

Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными (одинаковыми). Если множества А и B равны, то пишут А=B.

Если любой элемент множества B является и элементом множества А, то множество В называется подмножеством (частью) множества А. В том случае говорят, что В содержится в А или А содержит В, и пишут ВА или А В.

В силу этого определения любое множество является своим подмножеством.

Для удобства рассматривают и множество, которое не содержит ни одного элемента. Такое множество называется пустым и обозначается символом .

По определению, пустое множество является подмножеством любого множества.

Таким образом, у любого множества А всегда имеются два очевидных подмножества А и .

Пример 1. Найти все подмножества множества

А=1; 2; 3.

Подмножествами данного множества являются множества

1, 2, 3, 1;2, 1;3, 2;3, 1;2;3, .

Других подмножеств множество А не имеет.

Рассмотрим множество натуральных чисел, кратных числу 2, и множество натуральных чисел, кратных числу 3. Нетрудно заметить, что множество чисел, кратных числу 6, состоит из элементов, которые входят в каждое из двух рассмотренных множеств.

Множество С, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат каждому из данных множеств А и В, называется пересечением множеств А и В, и обозначается АВ (- знак пересечения).

На рис. 1 изображены множества А и В и их пересечение.

Для точечных множеств (например, геометрических фигур) смысл термина «пересечение множеств» соответствует привычному для нас смыслу термина «пересечение фигур» Так, например, если прямая имеет две точки пересечения с некоторой окружностью, то множество, являющееся пересечением множеств точек окружности и прямой, состоит из двух элементов (точек). Пересечение множеств точек отрезков АВ и СD (рис. 2) есть отрезок СВ.

А

АВ В

Рис. 1 Рис. 2

Два множества, пересечения которых является пустым множеством, называются пересекающимися множествами.

Объединением множеств А и В называется такое множество С, которое состоит из всех элементов множеств А и В и только из них. В этом случае пишут С=АВ (-знак объединения).

Например, объединением отрезков АВ и СD является отрезок АD(см. рис. 2),

1; 2; 3 4;5= 1;2;3;4;5.

Если множества А и В имеют общие элементы (т.е. А В ), то каждый из этих общих элементов берется в множестве С только один раз.

Пример 2. Найти объединение множеств:

1;2;33;4=1;2;3;4.

Пусть даны два множества А и В. Множество С, которое состоит из всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В, называется разностью множеств А и В и обозначается А/В (рис. 3).

Пример 3. Если А=1;2;3;4, В=1;2, то А/В=3;4;

Если А= 1;2;3, В=3;4;5;6, то А/В =1;2;

Если А=1;2;5, В=3;4, то А/В=1;2;5;

Если А=1;2, В=1;2;3, то А/В=

Если АВ, то разность А/В называется дополнением множества В до множества А (рис.4).

Отметим, что результат операции «дополнение» существенно зависит от того множества, до которого «дополняется» данное множество. Например, дополнением множества целых чисел до множества всех рациональных

В

А

ВА

С=А/В Рис. 4

Рис. 3 чисел является множество всех дробных чисел; если же рассматривать дополнение множества целых чисел, то дополнением этого множества будет множество всех дробных и всех иррациональных чисел.

Свойства операций над множествами:

Операции над множествами обладают и рядом свойств, аналогичных свойствам сложения и умножения чисел.

1) Переместительные законы пересечения и объединения (коммутативность):

АВ = ВА АВ = ВА

2) Сочетательные законы пересечения и объединения (ассоциативность):

(АВ)С = А(ВС) (АВ)С = А(ВС)

3) А А = А А А = А

4) А = А = А

5) А U = A A U = U

6) Распределительные законы (дистрибутивность):

(АВ)С = (АС) (ВС) (АВ)С = (АС)(ВС)

7) Законы включения:

А(ВС)(АВ)(АС) (АВ) (АС)А(ВС)

Вычитание и дополнение также обладает рядом свойств:

8) А' А = А'А = U

9) (АВ)' = А'В' (АВ)' = А'В'

10) '= U U ' =

11) (A B) C = A (BC) (A B) C = (A С) В

12) (AB)B = AB (AB) С = (AB)(В С)

13) А(ВС) = (АВ) (АС) А(ВС) = (АВ) (АС)

Отношения. Свойства отношений:

Когда говорят о родстве двух человек, Маша и Саша, то подразумевают, что есть некая семья, к членам которой они относятся. Упорядоченная пара (Маша, Саша) отличается от других упорядоченных пар людей тем, что между Машей и Сашей есть некое родство (кузина, отец, и т. д.). В математике среди всех упорядоченных пар декартового произведения А´В двух множеств А и В тоже выделяются некоторые пары в связи с тем, что между их компонентами есть некоторые «родственные» отношения, которых нет у других. В качестве примера рассмотрим множество S студентов какого-нибудь техникума и множество D изучаемых там дисциплин. В декартовом произведении S´D можно выделить большое подмножество упорядоченных пар (s, d), обладающих свойством: студент s изучает дисциплину d. Построенное подмножество отражает отношение «изучает», естественно возникающее между множествами студентов и дисциплин. Для строгого математического описания любых связей между элементами двух множеств вводится понятие бинарного отношения, которое часто появляется как в математике, так и в информатике. Отношения между элементами нескольких множеств (n-арные отношения) применяются для описания простой системы управления базами данных.

Отношением (бинарным отношением, двуместным отношением) из множества A в множество B называется некоторое подмножество декартового произведения А*В.

Свойства отношений: 1) рефлексивность;

2)симметричность;

3)транзитивность.

4)связанность.

Отношение R на множестве Х называется рефлексивным, если о каждом элементе множества Х можно сказать, что он находится в отношении R с самим собой: хRх. Отношение R на множестве Х называется антирефлексивным, если для любого элемента из множества Х всегда ложно хRх:.

Отношение R на множестве Х называется симметричным, если выполняется условие: из того, что элемент х находится в отношении с элементом y, следует, что и элемент y находится в отношении R с элементом х: xRyyRx .

Отношение R называют антисимметричным, если для любых элементов х и y из истинности xRy следует ложность yRx: : xRyyRx.

Отношение R на множестве Х называют транзитивным, если из того, что элемент х находится в отношении R с элементом y, а элемент y находится в отношении R с элементом z, следует, что элемент х находится в отношении R с элементом z: xRy и yRzxRz.

Отношение R на множестве Х называется связанным, если для любых элементов х и y из данного множества выполняется условие: если х и y различны, то либо х находится в отношении R с элементом y, либо элемент y находится в отношении R с элементом х. С помощью символов это определение можно записать так: xy xRy или yRx.

Отношение R на множестве Х называется отношением эквивалентности, если оно одновременно обладает свойством рефлексивности, симметричности и транзитивности.

Вопросы для самопроверки по теме 2.1:

1.Что такое множество?

2. Способы задания множества.

3. Перечислить операции над множествами.

4.Перечислить свойства операций над множествами

Задания для самостоятельного решения по теме 2.1:

1.Найдите АВ, если

1. А=3;4;5, В=3;5;6;

2. А=0;1;7;8, В=-7;0;6;9;

3. А=1;3;5;7, В=2;4;6;8;

4. А=1;2;3, В=-1;0;1;2;3.

2 . Найдите дополнения множества А до множества В, если

1. А=1;2;3, В=0;1;2;3;5;

2. А=1;2;3, В= ;0;1;2;3;4;

3. А=0;1, В=-1;0;1;-2.

№3. Найдите множества АВ, АВ, А/В, АС, АС, ВС, ВС, если

А=-4;-3;-2;-1;0;1;2,

В=4;3;2;1;0;-1;-2,

С=-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4.

Тема 2.2. Основные понятия теории графов.

Графы. Основные определения. Элементы графов. Виды графов и операции над ними.

Методические указания по теме 2.2:

Графы. Основные определения. Элементы графов:

Графом G(V, Е) называется совокупность двух множеств - непустого множества V (множества вершин) и множества Е неупорядоченных пар различных элементов

множества V (Е - множество ребер).

Соединения между узлами графа называются ребрами. Если узлы графа не нумерованы, то ребра являются неориентированными. У графа с нумерованными узлами ребра ориентированы. Ребрам могут быть присвоены определенные веса или метки. Число вершин графа A обозначим р, а число ребер - q:

p : = p ( A ) : = | V |, q : = = q ( A ) : = | E |;

Более простое определение графа - совокупность точек и линий, в которой каждая линия соединяет Vдве точки. Для ориентированного графа E _x - конечный набор ориентированных ребер. Ребром может быть прямая или кривая линия. Ребра не могут иметь общих точек кроме вершин (узлов) графа. Замкнутая кривая в E может иметь только одну точку из множества V, а каждая незамкнутая кривая в E имеет ровно две точки множества V. Если V и E конечные множества, то и граф им соответствующий называется конечным. Граф называется вырожденным, если он не имеет ребер. Параллельными ребрами графа называются такие, которые имеют общие узлы начала и конца. Если ребро соединят две вершины, то говорят, что оно им инцидентно; вершины, соединенные ребром называются смежными. Две вершины, соединенные ребром, могут совпадать; такое ребро называется петлей. Число ребер, инцидентных вершине, называется степенью вершины. Если степень вершины равна 0, то получается изолированная графа. Если два ребра инцидентны одной и той же паре вершин, они называются кратными; граф, содержащий кратные ребра, называется мультиграфом.

Пусть v₁, v₂ - вершины, е = (v₁, v₂) - соединяющее их ребро. Множество вершин, смежных с вершиной v, называется множеством смежности вершины v и обозначается Г⁺( v ).

Часто рассматриваются следующие родственные графам объекты:

1. Если элементами множества Е являются упорядоченные пары, то граф называется ориентированным (или орграфом). В этом случае элементы множества V называются узлами, а элементы множества Е - дугами.

2. Если элементом множества Е может быть пара одинаковых (не различных)элементов V, то такой элемент множества Е называется петлей, а граф называется графом с петлями (или псевдографом).

3. Если Е является не множеством, а набором, содержащим несколько одинаковых элементов, то эти элементы называются кратными ребрами, а граф называется мулътиграфом.

4. Если элементами множества Е являются не обязательно двухэлементные, алюбые подмножества множества V, то такие элементы множества Е называются гипердугами, а граф называется гиперграфом.

5. Если задана функция Е: V ® М и/или F: Е® М, то множество М называется множеством пометок, а граф называется помеченным (или нагруженным). В качестве множества пометок обычно используются буквы или целые числа.

Виды графов и операции над ними:

Для рассмотрения видов граф и операций над ними необходимо познакомиться с такими понятиями как подграфы, маршрут, цепь, цикл.

Граф G'(V', Е') называется подграфом графа G(V, Е) (обозначается G' Ì G), если V' Ì V и/или Е' Ì Е. Если V' = V, то G ' называется остовным подграфом G. Если V' Ì V & Е' Ì Е & (V' ¹ V Ú Е' ¹ Е), то граф G ' называется собственным подграфом графа G. Подграф G'(V' , Е') называется правильным подграфом графа G(V,Е), если G ' содержит все возможные ребра G.

Маршрутом в графе называется чередующаяся последовательность вершин и ребер в которой любые два соседних элемента инцидентны. Это определение подходит также для псевдо-, мульти- и орграфов. Для «обычного» графа достаточно указать только последовательность вершин или только последовательность ребер.Если v₀ = v_k, то маршрут замкнут, иначе открыт. Если все ребра различны, то маршрут называется цепью. Если все вершины (а значит, и ребра) различны, то маршрут называется простой цепью. В цепи v₀, e₁, v₁, e₂, v₂,…,e_k, v_k, вершины v₀ и v_k, называются концами цепи. Говорят, что цепь с концами и и v соединяет вершины и и v. Цепь, соединяющая вершины и и v, обозначается (и, v). Очевидно, что если есть цепь, соединяющая вершины и и v, то есть и простая цепь, соединяющая эти вершины.

Замкнутая цепь называется циклом; замкнутая простая цепь называется простым циклом. Число циклов в графе G обозначается z(G). Граф без циклов называется ациклическим.

Элементы графа - любое чередование вершин и рёбер графа, в котором каждому ребру предшествует смежная ей вершина, называющаяся контуром графа.

Два графа G₁(V₁ , Е₁) и G₂(V₂ , Е₂) изоморфны (обозначается G₁ ~ G₂), если существует биекция h: V₁ ® V₂, сохраняющая смежность: e₁ = ( u , v ) Î E₁ Þ e₂ = ( h( u ), h( v ) ) Î E₂,

e₂ = ( u , v ) Î E₂ Þ e₁ = ( h^-1( u ), h^-1( v ) ) Î E_1.Изоморфизм графов есть отношение эквивалентности.

Числовая характеристика, одинаковая для всех изоморфных графов, называется инвариантом графа.

Граф, состоящий из одной вершины, называется тривиальным. Граф, состоящий из простого цикла с k вершинами, обозначается С_k.

Граф, в котором каждая пара вершин смежная, называется полным. Полный граф с р вершинами обозначается К_р, он имеет максимально возможное число ребер. Полный подграф (некоторого графа) называется кликой (этого графа).

Двудольный граф (или биграф, или четный граф) - это граф G(V,Е), такой что множество V разбито на два непересекающихся множества V₁ и V₂ (V₁ ÈV₂ = V& V₁ Ç V₂) причем всякое ребро из Е инцидентно вершине из V₁ и вершине из V₂ (то есть соединяет вершину из V₁ с вершиной из V₂). Множества V₁ и V₂ называются долями двудольного графа. Если двудольный граф содержит все ребра, соединяющие множества V₁ и V₂, то он называется полным двудольным графом. Если | V₁ | = m и | V₁ | = п, то полный двудольный граф обозначается K_m,n Если в графе ориентировать все ребра, то получится орграф, который называется направленным. Направленный орграф, полученный из полного графа, называется турниром.

Название «турнир» имеет следующее происхождение. Рассмотрим спортивное соревнование для пар участников (или пар команд), где не предусматриваются ничьи. Пометим вершины орграфа участниками и проведем дуги от победителей к побежденным. В таком случае турнир в смысле теории графов - это как раз результат однокругового турнира в спортивном смысле.Если в орграфе полустепень захода некоторой вершины равна нулю (то есть d+(v) = 0), то такая вершина называется источником, если же нулю равна полу степень исхода (то есть d-(v) = 0), то вершина называется стоком. Направленный орграф с одним источником и одним стоком называется сетью.

Над графами можно выполнять следующие операции:

1. Дополнением графа G₁(V₁ , Е₁) называется граф G(V₂ , Е₂), где V₂ : = V₁ & Е₂ : = Ø Е₁ : = {e Î V₁ ´ V₁ ê e Ï Е₁} G₁ØG
Объединением графов G₁(V₁ , Е₁) и G₂(V₂ , Е₂) (обозначение - G₁ È G₂, при условии V₁ ÇV₁ = Æ, Е₁ ÇЕ₂ = Æ) называется граф G(V,E), V : = V₂ È V₁ & Е : = Е₁ ÇЕ₂

2. Соединением графов G₁(V₁ , Е₁) и G₂(V₂ , Е₂)(обозначение - G₁(V₁ , Е₁) + G₂(V₂ , Е₂), при условии V₁ Ç V₂ называется граф G(V,E), где V : = V₁ Ç V₂ & E : = Е₁ È Е₂ È {e = (v₁, v₂) êv₁ Î V₁ & v₂ Î V₂}

3. Удаление вершины v из графа G₁(V₁ , Е₁) (обозначение - G₁(V₁ , Е₁) - v, при условии vÎV₁) даёт граф G₂(V₂ , Е₂), где V₂ : = V₁ \ {v} & E₂ : = E₁ \ {e = (v₁ , v₂) ê v₁ = v Ú v₂ = v}

4. Удаление ребра e из графа G₁(V₁ , Е₁)(обозначение - G₁(V₁ , Е₁) - e, при условии e Î E₁) даёт граф G₂(V₂ , Е₂), где V₂ : = V₁ & E₂ : = E₁ \ {e}

5. Добавление вершины v в граф G₁(V₁ , Е₁) (обозначение - G₁(V₁ , Е₁) + v, при условии v Ï V₁) даёт граф G₂(V₂ , Е₂), где V₂ : = V₁ È {v} & E₂ : = E₁

6. Добавление ребра e в граф G₁(V₁ , Е₁) (обозначение - G₁(V₁ , Е₁) + v, при условии e Ï E₁) даёт граф G₂(V₂ , Е₂), где V₂ : = V₁ & E₂ : = E₁ È {e}

7. Стягивание подграфа А графа G₁(V₁ , Е₁) (обозначение - G₁(V₁ , Е₁) / А, при условии А Ì V₁) даёт граф G₂(V₂ , Е₂), где V₂ : = (V₁ \ A) È {v} &

E₂ : = E₁ \ {e = (u,w) êu Î A Ú w Î A} È {e = (u,v) êu Î Г(А) \ А}

Вопросы для самопроверки по теме 2.2:

1.Что такое граф?

2.Что относится к элементам графа?

3.Перечислить виды графов.

4. Какие операции можно выполнять над графами?

Задания для самостоятельного решения по теме 2.2:

1.Нарисуйте граф со смежными вершинами, ребрами, петлей. Подсчитайте сумму степеней всех его вершин.

2. Нарисуйте граф, связанный с вашей профессией.

3. Постройте граф с кратными ребрами.

Раздел 3. Основы теории вероятностей и математической статистики.

Тема 3.1. Вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Понятие события и вероятности события. Достоверные и невозможные события. Классическое определение вероятностей. Теорема сложения вероятностей. Теорема умножения вероятностей. Решение простейших задач на определение вероятности с использованием сложения вероятностей.

Методические указания по теме 3.1:

Понятие события и вероятности события. Достоверные и невозможные события. Классическое определение вероятностей:

Изучение каждого явления в порядке наблюдения или производства опыта связан с осуществлением некоторого комплекса условий (испытаний). Всякий результат или исход испытания называется событием.

Если событие при заданных условиях может произойти или не произойти, то оно называется случайным. В том случае, когда событие должно непременно произойти, его называют достоверным, а в том случае, когда оно заведомо не может произойти, - невозможным.

События называются несовместными, если каждый раз возможно появление только одного из них. События называются совместными, если в данных условиях появление одного из этих событий не исключает появление другого при том же испытании.

События называются противоположными, если в условиях испытания они, являясь единственными его исходами, несовместны.

Вероятность события рассматривается как мера объективной возможности появления случайного события.

Вероятностью события называется отношение числа исходов m, благоприятствующих наступлению данного события , к числу n всех исходов (несовместных, единственно возможных и равновозможных), т.е.

Вероятность любого события не может быть меньше нуля и больше единицы, т.е. . Невозможному событию соответствует вероятность , а достоверному - вероятность

Пример 1. В лотерее из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?

Общее число различных исходов есть n=1000. Число исходов, благоприятствующих получению выигрыша, составляет m=200. Согласно формуле, получим .

Пример 2. Из урны, в которой находятся 5 белых и 3 черных шара, вынимают один шар. Найти вероятность того, что шар окажется черным.

Обозначим событие, состоящее в появлении черного шара, через . Общее число случаев . Число случаев m, благоприятствующих появлению события , равно 3. По формуле получим .

Пример 3. Из урны, в которой находятся 12 белых и 8 черных шаров, вынимают наудачу два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными?

Обозначим событие, состоящее в появлении двух черных шаров через . Общее число возможных случаев n равно числу сочетаний из 20 элементов (12+8) по два:

Число случаев m, благоприятствующих событию , составляет

По формуле находим вероятность появления двух черных шаров:

Теорема сложения вероятностей. Решение простейших задач на определение вероятности с использованием теоремы сложения вероятностей:

Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равно сумме вероятностей этих событий:

Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Пример 4. В ящике в случайном порядке разложены 20 деталей, причем пять из них стандартные. Рабочий берет наудачу три детали. Найти вероятность того, что по крайней мере она из взятых деталей окажется стандартной.

Очевидно, что по крайней мере одна из взятых деталей окажется стандартной, если произойдет любое из трех несовместных событий: B - одна деталь стандартная, две нестандартные; C - две детали стандартные, одна нестандартная и D - три детали стандартные.

Таким образом, событие A можно представить в виде суммы этих трех событий: A=B+C+D.По теореме сложения имеем P(A)=P(B)+P(C)+P(D). Находим вероятность каждого из этих событий:

Сложив найденные величины, получим

Пример 5. Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 3, либо 5, либо тому и другому одновременно.

Пусть A - событие, состоящее в том, что наудачу взятое число кратно 3, а B - в том, что оно кратно 5. Найдем Так как A и B совместные события, то воспользуемся формулой:

Всего имеется 90 двузначных чисел: 10,11,…,98,99. Из них 30 являются кратными 3 (благоприятствуют наступлению события A); 18 - кратными 5 (благоприятствуют наступлению события B) и 6 - кратными одновременно 3 и 5 (благоприятствуют наступлению события AB). Таким образом, т.е.

Теорема умножения вероятностей:

Теорема умножения вероятностей независимых событий. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Вероятность появления нескольких событий, независимых в совокупности, вычисляется по формуле:

Теорема умножения вероятностей зависимых событий. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению одного из них на условную вероятность второго:

Пример 6. В одной урне находятся 4 белых и 8 черных шаров, в другой - 3 белых и 9 черных. Из каждой урны вынули по шару. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми.

Пусть - появление белого шара из первой урны, а - появление белого шара из второй урны. Очевидно, что события и независимы. Найдем По формуле получим:

Пример 7. В ящике находятся 12 деталей, из которых 8 стандартных. Рабочий берет наудачу одну за другой две детали. Найти вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.

Введем следующие обозначения: - первая взятая деталь стандартная; - вторая взятая деталь стандартная. Вероятность того, что первая деталь стандартная, составляет вероятность того, что вторая взятая деталь окажется стандартной при условии, что была стандартной первая деталь, т.е. условная вероятность события , равна

Вероятность того, что обе детали окажутся стандартными, находим по теореме умножения вероятностей зависимых событий:

Вопросы для самопроверки по теме 3.1:

1.Что такое событие?

2. Какие события называются достоверными?

3. Какие события называются невозможными?

4. Дать определение вероятности.

5. Сформулировать теорему сложения вероятностей.

6. Сформулировать теорему умножения вероятностей.

Задания для самостоятельного решения по теме 3.1:

1. В ящике в случайном порядке положены 10 деталей, из которых 4 стандартных. Контролер взял наудачу 3 детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей оказалась стандартной.

2. В урне находятся 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. Найдите вероятность того, что вынутый шар окажется: 1) белым; 2) черным или красным.

3. Найдите вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 4, либо 5, либо тому и другому одновременно.

4. Рабочий обслуживает два автомата, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа первый автомат не потребует внимания рабочего, равна 0,8, а для второго автомата эта вероятность равна0,7. Найдите вероятность того, что в течение часа ни один и автоматов не потребует внимания рабочего.

5.В урне находятся 6 шаров, из которых 3 белых. Наудачу вынуты один за другим два шара. Вычислите вероятность того, что оба шара окажутся белыми.

6. В урне находятся 10 белых и 6 черных шаров. Найдите вероятность того, что три наудачу вынутых один за другим шара окажутся черными.

Тема 3.2.Случайная величина, ее функция распределения.

Случайная величина, ее функция распределения.

Методические указания по теме 3.2:

Случайная величина, ее функция распределения:

Одним из важнейших основных понятий теории вероятностей является понятие случайной величины.

Почти в каждой из задач, с которыми встречались в этой главе, дело обстояло таким образом, что в результате эксперимента возникало некоторое число. Например:

1. бросается игральная кость; x- выпавшее число очков;

2. обследуется партия готовых изделий; обнаруживается то или иное число бракованных изделий;

3. электрическая лампочка испытывается на длительность горения, х - полное время горения лампочки;

4. некто приходит на пригородную платформу, чтобы сесть в поезд; x- время ожидания ближайшего электропоезда.

Чтобы примеры подобного рода уложить в единую схему, вводится понятие случайной величины.

Случайной величиной называется переменная величина, которая в зависимости от исходов испытания принимает то или иное значение (зависящее от случая).

Случайная величина, принимающая различные значения, которые можно записать в виде конечной или бесконечной последовательности, называется дискретной случайной величиной.

Случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого промежутка, называется непрерывной случайной величиной.

Так, первый и второй из рассмотренных выше примеров относятся к дискретной случайной величине (в первом примере x- может принимать значения 1,2,3,4,5,6, а во втором - конечное множество из натурального ряда чисел). Третий и четвертые примеры относятся к непрерывным случайным величинам ( в том и другом случае время горения лампочки и время ожидания электрички есть некоторый временной интервал).

В дальнейшем мы будем весьма упрощенно рассматривать некоторые понятия, связанные с дискретными случайными величинами. Случайные величины будем обозначать прописными буквами латинского алфавита X,Y,Z,…,а их возможные значения - строчными буквами с индексами, например, Дадим следующие определения.

Законом распределения дискретной случайной величины называется соответствие между значениями этой величины и их вероятностями

Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан таблично или аналитически (т.е. с помощью формул).

Например, если дискретная случайная величина X принимает конечное множество значений с вероятностями соответственно, то ее закон распределения определяется числами

Этот закон можно задать и таблицей:

X

…

P

…

Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины изображают и графически: в прямоугольной системе координат на плоскости строят точки и соединяют их последовательно отрезками прямых. Получающаяся при этом ломаная линия называется многоугольником распределения случайной величины.

Пример 1. Дискретная случайная величина X задается законом

X

0,2

0,4

0,6

0,8

1

P

0,1

0,2

0,4

0,1

Чему равна вероятность

Построить многоугольник распределения.

Так как , то . Следовательно,

Для построения многоугольника распределения выберем прямоугольную систему координат, в этой системе построим точки и соединим их последовательно отрезками прямых.

Вопросы для самоконтроля по теме 3.2:

1.Какая величина называется дискретной случайной величиной?

2. Какая величина называется непрерывной случайной величиной?

3. Что называется законом распределения дискретной случайной величины?

Задания для самостоятельного решения по теме 3.2:

1. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения

X

3

4

5

6

7

P

0,15

0,25

0,35

Найти вероятности , если известно, что в 4 раза больше .

2.Подбрасываются две симметричные монеты, подсчитывается число гербов на обеих верхних сторонах монет. Рассматривается дискретная случайная величина X - число выпадения гербов на обеих монетах. Записать закон распределения случайной величины X.

3. Подбрасываются два игральных кубика, подсчитывается число очков, выпавших на обеих гранях. Найти закон распределения дискретной случайной величины X - суммы выпавших очков на двух игральных костях.

Тема 3.3. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины.

Нахождение математического ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения дискретной случайной величины, заданной законом распределения.

Методические указания по теме 3.3:

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение:

Перейдем к другой числовой характеристике случайной величины - к дисперсии.

Заметим, что различные случайные величины могут иметь одно и то же математическое ожидание. Как, например, для случайных величин х и у, заданных следующими законами распределения:

X

0,04

0,6

Y

300

100

P_x

0,6

0,4

P_y

0,5

0,5

Математические ожидания их одинаковы:

Однако характер распределения этих величин различен. Величина х принимает значения, мало отличающиеся от ее математического ожидания, а значения величины у сильно отличается от своего математического ожидания.

Таких примеров можно привести множество. Например, в двух учреждениях с различными соотношениями низкооплачиваемых и высокооплачиваемых работников может оказаться одна и та же средняя заработная плата или два различных исправных прибора для измерения одной и той же физической величины при многократных измерениях могут давать одно и тоже среднее значение, что вовсе не означает их одинаковой точности.

Подобного рода примеры убеждают нас в том, что необходимо ввести еще одну числовую характеристику, которая бы позволяла измерять степень разброса или, как еще называют, степень рассеивания значений, принимаемых случайной величины, вокруг ее математического ожидания.

Пусть х - дискретная случайная величина, возможные значения которой суть , ,…,, М[Х] - ее математическое ожидание. Случайную величину Х - М[Х] называют отклонение величины Х от ее математического ожидания. Таким образом, отклонение есть случайная величина, которая принимает значения

Оказывается, что отклонение не может служить характеристикой рассеивания случайной величины, так как ее математическое ожидание всегда равно нулю. Поэтому для получения характеристики разброса случайной величины введем, вначале математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Обозначим дисперсию случайной величины через D[x], тогда согласно определению будем иметь

D[Х]= M[(X-M)]

Теперь для случайной величины Х введем число , тогда согласно определению будем иметь , которое называется средним квадратичным отклонением случайной величины Х.

Если дисперсия характеризует средний размер квадрата отклонения случайной величины Х от ее математического ожидания, то среднее квадратное отклонение рассматривается как некоторая средняя характеристика этого отклонения.

Дисперсия обладает следующими свойствами, которые примем без доказательства:

1. Дисперсия постоянной величины равно нулю.

2. При умножении случайной величины Х на постоянное число С ее дисперсия умножается на .

3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий.

На практике часто используют формулу

Пример 1. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения

X

0

1

2

P

0,3

0,5

0,2

Найти дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины X.

По формуле находим

Запишем закон распределения квадрата отклонения этой величины, т.е. величины

(0-0,9)

(1-0,9)

(2-0,9)

P

0,3

0,5

0,2

По формуле имеем

В соответствии с формулой находим среднее квадратичное отклонение

Вопросы для самоконтроля по теме 3.3:

1.Что называется дисперсией?

2. Какими свойствами обладает дисперсия?

3.Определение среднего квадратичного отклонения.

Задания для самостоятельного решения по теме 3.3:

1.Симметричная монета подбрасывается 4раза. Случайная величина X - «число выпадения герба при этих подбрасываниях». Найдите числовые характеристики случайной величины X:

2. Найдите дисперсию дискретной случайной величины X - числа очков, выпадающих при подбрасывании игральной кости.

Раздел 4. Основные численные методы.

Тема 4.1. Численное интегрирование.

Вычисление интегралов по формулам прямоугольников, трапеций и формуле Симпсона. Оценка погрешностей.

Методические указания по теме 4.1:

Вычисление интегралов по формулам прямоугольников. Оценка погрешности:

Решение многих технических задач сводится к вычислению определенных интегралов, точное выражение которых сложно, требует длительных вычислений и не всегда оправдано практически. Здесь бывает вполне достаточно их приближенного значения. Например, необходимо вычислить площадь, ограниченную линией, уравнение которой неизвестно, осью х и двумя ординатами. В этом случае можно заменить данную линию более простой, для которой известно уравнение. Площадь полученной таким образом криволинейной трапеции принимается за приближенное значение искомого интеграла. Геометрически идея способа вычислений определенного интеграла по формуле прямоугольников состоит в том, что площадь криволинейной трапеции А₁АВВ₁ заменяется площадью равновеликого прямоугольника А₁А₂В₁В₂ , которая по теореме о среднем равна

где f(c) --- высота прямоугольника А₁А₂В₁В₂ , представляющая собой значение подынтегральной функции в некоторой промежуточной точке c(a cb).

Практически трудно найти такое значение с, при котором (b-a) f (c) в точности равнялось бы . Для получения более точного значения площадь криволинейной трапеции разбивают на n прямоугольников, высоты которых равны y₀, y₁, y₂, …,y _n-1 и основания .

Если суммировать площади прямоугольников, которые покрывают площадь криволинейной трапеции с недостатком, функция --- неубывающая, то вместо формулы используют формулу

Если с избытком, то

Значения находят из равенств . Эти формулы называются формулами прямоугольников и дают приближенный результат. С увеличением n результат становится более точным.

Пример 1. Вычислить по формуле прямоугольников

Разделим промежуток интегрирования на 5 частей. Тогда . При помощи калькулятора или таблицы найдем значения подынтегральной функции (с точностью до 4-х знаков после запятой):

По формуле прямоугольников (с недостатком)

С другой стороны по формуле Ньютона-Лейбница

Найдем относительную погрешность вычисления по формуле прямоугольников:

Вычисление интегралов по формулам трапеций. Оценка погрешности:

Геометрический смысл следующего способа приближенного вычисления интегралов состоит в том, что нахождение площади приблизительно равновеликой «прямолинейной» трапеции.

Пусть необходимо вычислить площадь А₁АmBB₁ криволинейной трапеции, выражаемую формулой .

Заменим дугу AmB хордой AB и вместо площади криволинейной трапеции А₁АmBB₁ вычислим площадь трапеции А₁АBB₁: , где AA₁ и ВВ₁-- основания трапеции, а A₁ В₁ -ее высота.

Обозначим f(a)=A₁A,f(b)=B₁B. высота трапеции A₁B₁=b-a, площадь . Следовательно, или

Это так называемая малая формула трапеций.

Для получения более точного результата необходимо разбить площадь криволинейной трапеции на n площадей ординатами, отстоящими друг от друга на расстоянии . Суммируем площади получившихся трапеций:

где по малой формуле трапеций

Сложив, получим

,

или

,

так как и , то можно записать так называемую большую формулу трапеций: , где y₀,y_1,y_2,..,.y_n ---значения подынтегральной функции при значениях аргумента, соответственно,

Пример 2. Ширина реки 26 м, промеры глубины в поперечном сечении реки через каждые 2 м дали, следующие результаты:

х

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

у

0,3

0,9

1,7

2,1

2,8

3,4

3,3

3,0

3,5

2,9

1,7

1,2

0,8

0,6

х-расстояние от одного берега, а у--- соответствующая глубина в метрах.

Зная, что средняя скорость течения 1,3 м/с, определить секундный расход Q воды в реке.

По формуле трапеций площадь поперечного сечения

Секундный расчет воды Q получим, если умножим эту площадь поперечного сечения на скорость течения реки:

Здесь точно оценить погрешность нельзя. Некоторые косвенные методы оценок позволяют указать приближенно, что погрешность вычисления площади S составляет примерно 3м², значит, погрешность вычисления Q составляет примерно 4 м³/с.

Пример 3. По формуле трапеций вычислить при n=5.

Положим

,

Вычисление интегралов по формуле Симпсона:

Это более совершенный способ - график подынтегральной функции приближается не ломаной линией, а маленькими параболами. Сколько промежуточных отрезков - столько и маленьких парабол. Если взять те же три отрезка, то метод Симпсона даст ещё более точное приближение, чем метод прямоугольников или метод трапеций. Задача на вычисление определенного интеграла по формуле Симпсона - самая популярное задание на практике. И методу парабол будет уделено значительное внимание.

Рассмотрим определенный интеграл , где - функция, непрерывная на отрезке . Проведём разбиение отрезка на чётное количество равных отрезков. Чётное количество отрезков обозначают через .

Итак, наше разбиение имеет следующий вид:

Термины аналогичны терминам метода трапеций:
Точки называют узлами.

Формула Симпсона для приближенного вычисления определенного интеграла имеет следующий вид:
где:
- длина каждого из маленьких отрезков или шаг;
- значения подынтегральной функции в точках .

Детализируя это нагромождение, разберу формулу подробнее:
- сумма первого и последнего значения подынтегральной функции;
- сумма членов с чётными индексами умножается на 2;
- сумма членов с нечётными индексами умножается на 4.

Пример 4.Вычислить приближенно определенный интеграл по формуле Симпсона с точностью до 0,001. Разбиение начать с двух отрезков

Необходимо вычислить определенный интеграл с определенной точностью.. Как и для метода трапеций, существует формула, которая сразу позволит определить нужное количество отрезков, чтобы гарантированно достичь требуемой точности. Если у нас два отрезка разбиения , то узлов будет на один больше: . И формула Симпсона принимает весьма компактный вид:

Вычислим шаг разбиения:

Заполним расчетную таблицу:

Еще раз комментирую, как заполняется таблица:

В верхнюю строку записываем «счётчик» индексов

Во второй строке сначала пишем нижний предел интегрирования , а затем последовательно приплюсовываем шаг .

В третью строку заносим значения подынтегральной функции. Например, если , то . В результате:

Первичный результат получен. Теперь удваиваем количество отрезков до четырёх: . Формула Симпсона для данного разбиения принимает следующий вид:

Вычислим шаг разбиения:

Заполним расчетную таблицу:

Таким образом:

Оцениваем погрешность:

Погрешность больше требуемой точности: , поэтому необходимо еще раз удвоить количество отрезков: .

Формула Симпсона примет вид:

Вычислим шаг:

И снова заполним расчетную таблицу:

Таким образом:

Оцениваем погрешность:

Погрешность меньше требуемой точности: . Осталось взять наиболее точное приближение , округлить его до трёх знаков после запятой и записать:

Ответ: с точностью до 0,001

Вопросы для самопроверки по теме 4.1:

1.Какой вид имеет формула прямоугольников?

2.Какой вид имеет формула трапеций?

3.Какой вид имеет формула Симпсона?

Задания для самостоятельного решения по теме 4.1:

1. Вычислите по формуле прямоугольников:

a) б) .

2. Вычислите по формуле трапеций , разбивая отрезок на 4 равные части; найдите его точное значение по формуле Ньютона-Лейбница и относительную погрешность в процентах.

3. Вычислите по формуле трапеций с точностью до 0,001.

4. По формуле трапеций вычислите, приняв n=8.

5.Вычислить приближенно определенный интеграл по формуле Симпсона с точностью до 0,0001. Разбиение начать с двух отрезков
.

Тема 4.2. Численное дифференцирование.

Нахождение производных функций в точке х по заданной таблично функции у=f(x) методом численного дифференцирования.

Методические указания по теме 4.2:

Метод численного дифференцирования:

При решении практических задач часто нужно найти производные функции y = f(x), заданной таблично. Возможно также, что в силу сложности аналитического выражения функции f(x) непосредственное дифференцирование ее затруднительно. В этих случаях прибегают к численному (приближенному) дифференцированию.

Вычисление производной с помощью конечных разностей:

Пример 1. Постройте конечные разности для функции:

y=x³, x=1

Решение:

y=(x+1)³-x³=3x²+3x+1

=3x²

²y=3(x+1)²-3x²=3x²+6x+3-3x²=6x+3

=6x

³y=6(x+1)-6x=6x+6-6x=6

=6

⁴y=0

Вычисление производных на основе первой интерполяционной формулы Ньютона:

Пример 2. Составьте таблицу разностей различных порядков для функции заданной таблично при следующих значениях:

0

1

2

3

4

Заполните 4 столбик с помощью формул:

=-; =-; =-; =-

Заполните 5 столбик с помощью формул:

=-; =-; =-

Заполните 6 столбик с помощью формул:

=-; =-

Заполните 7 столбик с помощью формулы:

Вычисление производных на основе интерполяционных многочленов Лагранжа:

Пример 3. Составьте многочлен Лагранжа, график которого проходит через точки:

(1,2), (2,3), (3,4), (4,5).

Обратите внимание:

Убирая одну координату x в числителе, вы учитываете ее в знаменателе, а дробь умножаете на y стоящий в одной скобке с этим x (выделено для первой дроби жирным шрифтом).

Сделав алгебраические преобразования, вы получите многочлен Лагранжа.

Вопросы для самопроверки по теме 4.2:

1.Пречислите методы численного дифференцирования.

2.Напишите формулы производных основных элементарных функций.

Задания для самостоятельного решения по теме 4.2:

1.Постройте конечные разности для функции y = x⁴ при =3.

2.Составьте таблицу разностей различных порядков для функции заданной таблично при следующих значениях:

x₀= 1, x₁= 2, x₂= 3, x₃= -1, x₄= 2

y₀= 0, y₁= 5, y₂= 7, y₃= -2, y₄= -4.

3. Составьте многочлен Лагранжа, график которого проходит через точки:

(1,2), (-2,3), (3,4), (4,5).

Тема 4.3. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Нахождение значения функции с использованием метода Эйлера. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Методические указания по теме 4.3:

Нахождение значения функции с использованием метода Эйлера. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений:

Уравнения, содержащие производную функции одной переменной, возникают во многих областях прикладной математики. Вообще говоря, любая физическая ситуация, где рассматривается степень изменения одной переменной по отношению к другой переменной, описывается дифференциальным уравнением, а такие ситуации встречаются довольно часто. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений (нелинейных) первого порядка с начальными данными (задача Коши) - классическая область применения численных методов. Используется метод Эйлера, один из самых старых и широко известных методов численного интегрирования дифференциальных уравнений. Этот метод имеет довольно большую ошибку; кроме того, он очень часто оказывается неустойчивым - малая начальная ошибка быстро увеличивается с ростом Х. Поэтому чаще используют более точные методы, такие как: исправленный метод Эйлера и модифицированный метод Эйлера. Метод Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции у(х). Он является сравнительно грубым и применяется в основном для ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для ряда других методов.

Решить дифференциальное уравнение у^/=f (x, y) численным методом - это значит для заданной последовательности аргументов х₀, х₁…, х_n и числа у₀, не определяя функцию у=F(x), найти такие значения у₁, у₂,…, у_n, что у_i=F(x_i) (i=1,2,…, n) и F(x₀)=y₀.

Таким образом, численные методы позволяют вместо нахождения функции У=F(x) получить таблицу значений этой функции для заданной последовательности аргументов. Величина h=x_k-x_k-1 называется шагом интегрирования.

Метод Эйлера относится к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции у(х). Он является сравнительно грубым и применяется в основном для ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для ряда других методов.

Пример 1.Найти решение уравнения y^/=f (x, y) с начальным условием x=x₀, y(x₀)=y₀ на отрезке [а, b].

Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей и получим последовательность х₀, х₁, х₂,…, х_n, где x_i=x₀+ih (i=0,1,…, n), а h=(b-a)/n-шаг интегрирования.

В методе Эйлера приближенные значения у(х_i)y_i вычисляются последовательно по формулам у_i+hf(x_i, y_i) (i=0,1,2…).

Если правая часть уравнения в некотором прямоугольнике R {|x-x₀|a, |y-y₀|b} удовлетворяет условиям:

|f (x, y₁) - f (x, y₂)| N|y₁-y₂| (N=const), |df/dx|=|df/dx+f (df/dy)| M (M=const), то имеет место следующая оценка погрешности: |y(x_n) - y_n| hM/2N[(1+hN)ⁿ-1], где у(х_n) - значение точного решения уравнения(1) при х=х_n, а у_n - приближенное значение, полученное на n-ом шаге.

Формула имеет в основном теоретическое применение. На практике иногда оказывается более удобным двойной просчет: сначала расчет ведется с шагом h, затем шаг дробят и повторный расчет ведется с шагом h/2. Погрешность более точного значения у_n^* оценивается формулой |y_n-y(x_n)||y_n^*-y_n|.

В исправленном методе Эйлера находят средний тангенс наклона касательной для двух точек: x_m, y_m и x_m+h, y_m+hy'_m. Последняя точка есть та самая, которая в простом методе обозначалась x_m+1, y_m+1. Геометрический процесс нахождения точки x_m+1, y_m+1 можно проследить по рисунку 2. С помощью метода Эйлера находится точка x_m+h, y_m+hy'_m, лежащая на прямой L_1. В этой точке снова вычисляется тангенс угла наклона касательной, на рисунке этому значению соответствует прямая L₂. Усреднение двух тангенсов дает прямую L'₃. Наконец, через точку x_m, y_m мы проводим прямую L₃ параллельную L'₃. Точка, в которой прямая L₃ пересечется с ординатой, восстановленной из x= x_m+1=x_m+h, и будет искомой точкой y= y_m+1= y_m+hy'_m. Тангенс угла наклона L₃ равен:

F(x_m, y_m)=1/2 [f(x_m, y_m)+f(x_m+h, y_m+hy'_m)], где y_m = f(x_m, y_m)

Уравнение линии L₃ при этом записывается в виде: y = y_m + (x - x_m)*F(x_m)

так что:

y_m+1 = y_m + h*F(x_m) (8)

Модифицированный метод Эйлера более точен. Рассмотрим дифференциальное уравнение у^/=f (x, y) с начальным условием y(x₀)=y₀. Разобьем наш участок интегрирования на n равных частей. На малом участке [x₀, x₀+h] интегральную кривую заменим прямой линией. Получаем точку М_к(х_к, у_к). Через М_к проводим касательную: y=y_к=f(x_k, y_k) (x-x_k). Делим отрезок (x_к, x_к1) пополам: x_h+k^/=x_k+h/2=x_k+1/2 ,

y_h+k^/=y_k+f(x_k, y_k) h/2=y_k+y_k+1/2

Получаем точку N_k^/. В этой точке строим следующую касательную:

y(x_k+1/2)=f(x_k+1/2, y_k+1/2)=б_k (11)

Из точки М_к проводим прямую с угловым коэффициентом б_к и определяем точку пересечения этой прямой с прямой x_к1. Получаем точку М_к^/. В качестве у_к+1 принимаем ординату точки М_к^/. Тогда:y_к+1=y_к+б_кh, x_k+1=x_k+h,б_k=f(x_k+h/2, x_k+f(x_k, y_k) h/2) ,

y_k=y_k-1+f(x_k-1, y_k-1) h.

Эти формулы называются рекуррентными формулами метода Эйлера.

Сначала вычисляют вспомогательные значения искомой функции y_к+1/2 в точках x_к+1/2, затем находят значение правой части уравнения в средней точке y^/_k+1/2=f(x_k+1/2, y_k+1/2) и определяют y_к+1.

Метод Эйлера являлся исторически первым методом численного решения задачи Коши. О. Коши использовал этот метод для доказательства существования решения задачи Коши. Ввиду невысокой точности и вычислительной неустойчивости для практического нахождения решений задачи Коши метод Эйлера применяется редко. Однако в виду своей простоты метод Эйлера находит свое применение в теоретических исследованиях дифференциальных уравнений, задач вариационного исчисления и ряда других математических проблем.

Основные правила дифференцирования:

Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.

1) (u v) = u v

2) (uv) = uv + uv

3), если v 0

Производные основных элементарных функций.

1)С = 0; 9)

2)(x^m) = mx^m-1; 10)

3) 11)

4) 12)

5) 13)

6) 14)

7) 15)

8) 16)

17) (lnx)= ,

Свойства неопределенного интеграла:

1.

2.

3.

4. где u, v, w - некоторые функции от х.

5.

_{«Табличные» интегралы:}

Интеграл

Значение

1

-lncosx+C

2

lnsinx+ C

3

4

5

6

ln

7

8

9

e^x + C

10

sinx + C

11

-cosx + C

12

tgx + C

13

-ctgx + C

14

arcsin + C

15

16

Вопросы для самопроверки по теме 4.3:

1.Сформулируйте метод Эйлера.

2.Напишите формулы «табличных» интегралов.

3.Сформулируйте свойства неопределенного интеграла.

Задания для самостоятельного решения по теме 4.3:

1.Вычислите интеграл:

2.Решите уравнение:

.

3.ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Указания к выбору варианта решения:

В контрольной работе 100 заданий: дается по 10 вариантов примеров на каждый из 10 видов заданий. Выбор варианта для решения: 1 вариант у студентов, порядковый номер которых в списке группы - 01, 11, 21,31 и т. д., 2 вариант у студентов - 02, 12, 22,32 и т. д.,

3 вариант - 03, 13, 23, 33 и т. д.,…, 10 вариант - 10, 20, 30, 40 и т. д.

1.Вычислить пределы:

2.Вычислить односторонние пределы:

1) ,

6) ,

2) ,

7)

3)

8)

4)

9)

5) 10) .

3.Найти производные функций:

1. ; 6) ;

2. ; 7) ;

3. ; 8) ;

4. ; 9) ;

5); 10) .

4. Найти частные производные:

1) 6)

2) 7)

3) 8)

4) 9)

5) 10)

5.Исследовать и построить графики следующих функций:

1) ух³+х²-5х+3; 6) ух³+6х²+9х+4;

2) у =. 7) у =

3) 8) y= x³+3x²-5

4) 9) у = 5х² + 6х+ 3

5) у = - 7х²+8х - 2 10) у = - 2х² + 8х - 3

6. Найти следующие интегралы методом замены переменной и интегрированием по частям:

1) 6)

2) 7)

3) 8)

4) 9)

5) 10)

7. Найти интеграл:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

8. Найдите общее решение уравнений:

1. ;

2. ;

3. ;

4. 

5. 

6. (- 2) = 0

7. ;

8. ;

9. ;

10)

9.Исследовать на сходимость ряд:

1)

2) 1 + x + x² + x³ + …

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

10. Решить следующие задачи:
1) В партии из 23 деталей находятся 10 бракованных. Вынимают из партии наудачу две детали. Используя классическое определение теории вероятности определить, какова вероятность того, что обе детали окажутся бракованными.
2) В ящике лежат шары: 4 белых, 10 красных, 8 зеленых, 9 коричневых. Из ящика вынимают один шар. Пользуясь теоремой сложения вероятностей определить, какова вероятность, что шар окажется цветным (не белым) ?
3) В вопросах к зачету имеются 75% вопросов, на которые студенты знают ответы. Преподаватель выбирает из них два вопроса и задает их студенту. Определить вероятность того, что среди полученных студентом вопросов есть хотя бы один, на который он знает ответ.
4) На складе находятся 26 деталей из которых 13 стандартные. Рабочий берет наугад две детали. Пользуясь теоремой умножения вероятностей зависимых событий определить вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.
5) В сборочный цех поступили детали с трех станков. На первом станке изготовлено 51% деталей от их общего количества, на втором станке 24% и на третьем 25%. При этом на первом станке было изготовлено 90% деталей первого сорта, на втором 80% и на третьем 70%. Используя формулу полной вероятности определить, какова вероятность того, что взятая наугад деталь окажется первого сорта ?
6) Имеется три одинаковых по виду ящика. В первом ящике находится 26 белых шаров, во втором 15 белых и 11 черных, в третьем ящике 26 черных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Используя формулу Байеса вычислить вероятность того, что белый шар вынут из первого ящика.
7) Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0.11. Пользуясь формулой Бернулли найти вероятность того, что из пяти наудачу взятых деталей будут четыре стандартных.
8) Дано следующее распределение дискретной случайной величины Х

Найти ее математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение, используя формулы для их определения.

9) Сколько нужно выполнить наблюдений, чтобы выборочное среднее отличалось от математического ожидания на величину равную 13, если по результатам предыдущих измерений известно среднее квадратическое равно 48. Пользуясь формулой для нахождения объема выборочной совокупности найти результат с надежностью равной 0.95, при этом значение функции Лапласа равно Ф(t)=0.475 и параметр t=1.96
10) Случайная величина Y распределена по нормальному закону с математическим ожиданием a=75 и среднеквадратическим значением равным 28. Используя функцию Лапласа найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение в интервале [+147,+231]

Методические указания по выполнению контрольной работы

Задания для выполнения контрольной работы студенты получают во время прохождения сессии. Работа выполняется по одному из вариантов, всего их предлагается десять. Выполненная работа сдается на регистрацию за 2 недели до начала очередной сессии. При несоответствии выполненной контрольной работы заданию, работа к проверке не допускается.

Для решения контрольной работы необходимо изучить учебный материал тем, методические указания к данным темам, рассмотреть решенные задачи, решить задания для самостоятельного решения, на консультации задать преподавателю вопросы по заданиям, при решении которых возникают трудности. Контрольная работа должна быть выполнена в полном объеме.

Требования, предъявляемые к оформлению и содержанию контрольной работе

Работа выполняется в отдельной тетради в клеточку. Титульный лист оформляется по образцу (прилагается на следующей странице). Работа должна быть написана от руки четким понятным почерком. Не следует писать в каждой клетке. Для возможных замечаний преподавателя следует оставлять поля. Все страницы контрольной работы нумеруются по порядку. Соблюдается последовательность выполнения заданий по порядку. К каждому заданию необходимо дать пояснения.

Материалы контрольной работы располагаются в следующем порядке: титульный лист, с указанием номера варианта; все задания контрольной работы; решение каждого задания; пояснения к каждому заданию; ответ.

Критерии оценивания контрольной работы

• задания сделаны на 75% - удовлетворительно;

• задания сделаны на 80% - хорошо;

• задания сделаны на 90% - отлично.

Образец

ГАОУ СПО Тольяттинский колледж сервисных технологий и предпринимательства

г. Тольятти, ул. Ленина

тел. (8482)365659

Ф.И.О. студента _____________________________________________________________

Домашний адрес

студента ____________________________________________________________________

Специальность ______________________________________________________________

Форма обучения _____________________________________________________________

Курс, группа ________________________________________________________________

Контрольная работа по дисциплине______________________________________________

Вариант________________________________________________________

Дата получения _____________

Дата возвращения____________

Дата получения преподавателем________________________

Оценка работы _________________________

Перечень вопросов и практических задач для подготовки к экзамену по дисциплине «Математика»

1. Расскажите о роли математики в вашей профессиональной деятельности.

2. Перечислите задачи математики.

3. Расскажите о пределе числовой последовательности.

4. Расскажите о пределе функции.

5. Перечислите «замечательные» пределы.

6. Напишите способы избавления от неопределенности вида .

7. Напишите способы избавления от неопределенности вида .

8. Напишите способы избавления от неопределенности вида .

9. Дайте определение производной функции.

10. В чем заключается геометрический смысл производной.

11.В чем заключается физический смысл производной.

12.Расскажите о правилах дифференцирования.

13. Дайте определение понятию неопределенного интеграла.

14. Дайте определение понятию определенного интеграла.

15.Перечислите операции, проводимые над множествами.

16. Расскажите о дифференциальном уравнении первого порядка.

17. Расскажите о дифференциальном уравнении первого порядка с разделяющимися

переменными. Приведите схему решения данного вида уравнения.

18. Расскажите об основных понятиях числовых рядов.

19. Сформулируйте необходимый признак сходимости ряда.

20. Сформулируйте признак сравнения при определении сходимости ряда.

21. Сформулируйте признак Коши.

22. Сформулируйте признак Даламбера.

23. Дайте определение понятию графы. Расскажите о его видах.

24. Дайте определение понятию элементы и множества.

25. Сформулируйте теоремы сложения и умножения вероятностей.

26. Напишите таблицу основных неопределенных интегралов.

27. Расскажите о методе интегрирования по частям.

28. Расскажите о методе интегрирования заменой переменной.

29. Расскажите о методах приближенного вычисления определенных интегралов (на примере формулы прямоугольников).

30. Расскажите о методах приближенного вычисления определенных интегралов (на примере формулы трапеций).

31. Расскажите о методах приближенного вычисления определенных интегралов (на примере формулы Симпсона).

32. Дайте определение понятию элементы и множества.

33. . Дайте определение понятию графы. Расскажите о его видах.

34. Дайте определение понятию элементы и множества.

35. . Дайте определение производной функции.

36. Расскажите о роли математики в вашей профессиональной деятельности.

37. Вычислить производную функции .

38. Вычислить производную функции .

39. Найти производную функции .

40. Найти производную функции .

41. Найти производную функции .

42. Найдите производную функции .

43. Найдите предел: .

44. Найдите предел: .

45. Найдите предел: .

46. Найдите предел: .

47. Найдите предел: .

48. Вычислить определенный интеграл:
    .

49. Вычислить определенный интеграл:
    .

50. Вычислить определенный интеграл:
    .

51. Вычислить определенный интеграл:
    .

52. Вычислить определенный интеграл:
    .

53. Решить дифференциальное уравнение:.

54. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

55. Решить дифференциальное уравнение .

56. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию . Выполнить проверку.

57. Закон распределения случайной величины X задан при помощи таблицы:

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

58. Закон распределения случайной величины X имеет вид:

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

18. Закон распределения случайной величины X имеет вид:

    X

    0

    1

    2

    3

    4

    P

    0,05

    0,3

    0,25

    0,2

    0,2

19. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

20. В ящике 5 апельсинов и 4 яблока. Наудачу выбираются 3 фрукта. Какова вероятность, что все три фрукта - апельсины?

21. Преподаватель предлагает каждому из трех студентов задумать любое число от 1 до 10. Считая, что выбор каждым из студентов любого числа из заданных равновозможен, найти вероятность того, что у кого-то из них задуманные числа совпадут.

22. Найти вероятность того, что в 8-значном числе ровно 4 цифры совпадают, а остальные различны.

23. Записать ряд по его заданному общему члену:

Критерии оценивания ответа на экзамене

На экзамене оценка знаний студента осуществляется путем индивидуального собеседования или проверки письменного ответа с учетом качества контрольной работы, индивидуальных особенностей экзаменуемого.

Студент может получить следующие оценки, если он проявит:

- полное и глубокое усвоение материала, грамотное и логичное его изложение, обоснованность выводов, умение сочетать теорию с практикой, наличие аналитического мышления - «отлично»;

- твердое знание программного материала, грамотное и по существу его изложение, отсутствие существенных неточностей в ответе - «хорошо»;

- наличие пробелов в усвоении основного материала, неточности формулировок, недостаточная аргументация выводов, отсутствие последовательности в ответе- «удовлетворительно»;

- отсутствие знаний основного материала, существенные ошибки при ответах на дополнительные вопросы - «неудовлетворительно».

4.СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ И ИНТЕРНЕТ-РЕСУРСОВ

Основные источники:

1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч. Ч.1: Учеб. пособие для вузов.- 6-е изд., испр.- М.: Высш. шк., 2009.-304с.:ил.;Ч.2: Учеб. пособие для вузов.- 6-е изд., испр.- М.: Высш. шк., 2009.-318с.:ил.

2. Шипачев В.С. Высшая математика. Учебник.- М.: Высшая школа , 2009.-480 с.:ил.

3. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: Учеб. пособие для вузов.- М.: Высш. шк., 2010.-304 с.: ил.

4. Шипачев В.С. Основы высшей математики. М.: Высшая школа ,2008.-380 с.

Дополнительная литература:

5. Кузнецов Л.А. Сборник задач по высшей математике: Учеб. пособие для вузов.- М.: Высш. шк., 2011.-310 с.: ил.

6. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: В 2-х т.- М.: Высшая школа. 2009г.

7. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник для вузов.- М.: Наука, 2009г.

8. Демидович Б.П. Задачи и упражнения по математическому анализу: Учеб. пособие для вузов. - М. Наука, 2010.-472 с.: ил.

Интернет-ресурсы

9. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика [Электронный ресурс] / Баврин И.И., Матросов В.Л. Режим доступа: alleng.ru/edu/math9.htm.

10. В. С. Шипачев Высшая математика [Электронный ресурс] / В. С. Шипачев - "Высшая школа" (2007) - Режим доступа: dic.academic.ru/dic.nsf/bse/76744/Высшая.