Программа элективного курса по математике «Математика в экономике. Процентные расчеты»

ПРОГРАММА ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА

«Математика в экономике. Процентные расчеты»

Учитель: Коновалова Марина Викторовна

Класс: 9

Общее количество часов по плану: 17 часов

Количество часов в неделю: 1 час

Пояснительная записка

Программа элективного курса по математике «Математика в экономике. Процентные расчеты» рассчитана на 17 часов для учащихся 9 классов в рамках предпрофильной подготовки.

Данный элективный курс рассматривает один из разделов математики, связанный с темой «Проценты». Проведение данного курса обусловлено непродолжительным изучением темы «Проценты» на первом этапе основной школы, когда учащиеся в силу возрастных особенностей еще не могут получить полноценные представлении о процентах, об их роли в повседневной жизни. На последующих этапах обучения повторного обращения к этой теме не предусматривается. Во многих школьных учебниках можно встретить задачи на проценты, однако в них отсутствует компактное и четкое изложение соответствующей теории вопроса. Текстовые задачи включены в материалы итоговой аттестации за курс основной школы, в КИМы и ЕГЭ, в конкурсные экзамены. Однако практика показывает, что задачи на проценты вызывают затруднения у учащихся и очень многие окончившие школу не имеют прочных навыков обращения с процентами в повседневной жизни. Понимание процентов и умение производить процентные расчеты в настоящее время необходимы каждому человеку: прикладное значение этой темы очень велико и затрагивает финансовую, демографическую, экологическую, социологическую и другие стороны нашей жизни. Предлагаемый курс сейчас весьма актуален, ибо понятие «кредит» (будь то ипотека или автокредит) прочно вошло в жизнь современного человека. Люди берут банковские кредиты и, как правило, не могут правильно рассчитать процентные выплаты.

Данный курс «Процентные расчеты на каждый день» демонстрирует учащимся применение математического аппарата к решению повседневных бытовых проблем каждого человека, вопросов рыночной экономики и задач технологии производства; ориентирует учащихся на обучение по естественно-научному и социально-экономическому профилю. Познавательный материал курса будет способствовать не только выработке умений и закреплению навыков процентных вычислений, но и формированию устойчивого интереса учащихся к процессу и содержанию деятельности, а также познавательной и социальной активности.

Цели курса:

• сформировать понимание необходимости знаний процентных вычислений для решения большого круга задач, показав широту применения процентных расчетов в реальной жизни;

• способствовать интеллектуальному развитию учащихся, формированию качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых человеку для жизни в современном обществе, для общей социальной ориентации и решения практических проблем;

• создать возможность для учащихся реализовать свой интерес к математике.

Задачи курса:

• сформировать умения производить процентные вычисления, необходимые для применения в практической деятельности;

• обучить решению основных задач на проценты с применением формул простого процентного роста и сложного процентного роста;

• привить учащимся основы экономической грамотности;

• помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы.

Содержание материала курса показывает связь математики с другими областями знаний, иллюстрирует применение математики в повседневной жизни, знакомит учащихся с некоторыми историческими сведениями по данной теме. Все занятия направлены на развитие интереса школьников к предмету, на расширение представлений об изучаемом материале (решаются задачи с историческими и литературными сюжетами) на решение новых и интересных задач.

На занятиях предусмотрено использование мультимедиапроектора, а также компьютер в режиме некоторых функций инженерного калькулятора при решении задач, где это целесообразно. Применение компьютера в режиме инженерного калькулятора снимает непринципиальные технические трудности, позволяет разобрать больше задач.

Содержание изучаемого курса

Тема 1. Проценты. Основные задачи на проценты (3 часа)

Сообщается история появления процентов; устраняются пробелы в знаниях по решению основных задач на проценты: а) нахождение процента от числа (величины); б) нахождение числа по его проценту; в) нахождение процента одного числа от другого. Актуализируются знания об арифметических и алгебраических приемах решения задач.

Форма занятий: объяснение, практическая работа.

Метод обучения: лекция, беседа, объяснение.

Форма контроля: проверка самостоятельно решенных задач, самостоятельная работа.

Тема 2. Процентные расчёты в жизненных ситуациях (4 часа)

Показ широты применения в жизни процентных расчетов. Введение базовых понятий экономики: процент прибыли, стоимость товара, заработная плата, бюджетный дефицит и профицит, изменение тарифов, пеня и др. Решение задач, связанных с банковскими расчетами: вычисление ставок процентов в банках; процентный прирост; определение начальных вкладов. Выполнение тренировочных упражнений.

Форма занятий: объяснение, практическая работа.

Метод обучения: выполнение тренировочных задач.

Формы контроля: проверка самостоятельно решенных задач, самостоятельная работа.

Тема 3. Задачи на смеси, сплавы, растворы (3 часа)

Усвоение учащимися понятий концентрации вещества, процентного раствора. Формирование умения работать с законом сохранения массы. Обобщение полученных знаний при решении задач на проценты.

Форма занятий: комбинированные занятия.

Метод обучения: рассказ, объяснение, выполнение практических заданий.

Формы контроля: проверка самостоятельно решенных задач, самостоятельная работа.

Тема 4. Проценты в заданиях единого государственного экзамена (2 часа)

Форма занятий: практическая работа.

Метод обучения: объяснение, выполнение практических заданий.

Форма контроля: проверка самостоятельно решенных задач, самостоятельная работа.

Тема 5. Решение разнообразных задач по всему курсу (3 часа)

Форма занятий: практическая работа.

Методы занятий: беседа, творческие задания.

Форма контроля: проверка самостоятельно решенных задач, самостоятельная работа.

Тема 6. Заключительное занятие. Зачётная работа (2 часа)

Учебно-тематический план

№

Наименование тем курса

Кол-во часов

1

Тема 1. Проценты. Основные задачи на проценты

3

2

Тема 2. Процентные расчеты в жизненных ситуациях (в том числе, задачи на формулы: простой процентный рост и сложный процентный рост)

4

3

Тема 3. Задачи на смеси, сплавы и растворы

3

4

Тема 4. Проценты в заданиях единого государственного экзамена

2

5

Тема 5. Решение разнообразных задач по всему курсу

3

6

Тема 6. Заключительное занятие. Зачётная работа. Проект.

2

Итого

17

Требования к уровню подготовки учащихся 9 класса

В результате изучения курса учащиеся должны:

понимать содержательный смысл термина «процент» как специального способа выражения доли величины, его роли в экономической и социальной жизни общества;

знать:

- как переводить на язык процентов такие речевые обороты как «увеличить число в 2,5 раза», «уменьшить на четверть» и т. д.;

- как делается обратный перевод;

- широту применения процентных вычислений в жизни, решать основные задачи на проценты, применять формулу простого процентного роста и формулу сложного процентного роста;

уметь:

- соотносить процент с соответствующей дробью (особенно в некоторых специальных случаях: 50 % - 1/2; 20 % - 1/5; 25 % - 1/4 и т. д.);

- производить прикидку и оценку результатов вычислений;

- при вычислениях сочетать устные и письменные приемы, применять калькулятор, использовать приёмы, рационализирующие вычисления.

Литература

1. Барабанов О.О. Задачи на проценты как проблемы словоупотребления //Математика в школе. - 2003. - №5. - С. 50-59.

2. Башарин Г. П. Начала финансовой математики. - М., 2007.

3. Водинчар М.И., Нежданова Т. Элементарная математика в экономике и бизнесе. - М., 2007.

4. Дорофеев.Г.В., Седова Е.А. Процентные вычисления. 10 - 11 классы: учеб.-метод. пособие. - М.- Дрофа, 2009. - 144с.

5. Рязановский А.Р. Задачи на части и проценты //Математика в школе. - № 1. - 2002. - С. 18.

6. Симонов А. С. Проценты и банковские расчеты // Математика в школе. - № 4. - 2008.

7. Симонов А. С. Сложные проценты // Математика в школе. - № 5. - 2008.

8. Симонов А. С. Сегодняшняя стоимость завтрашних платежей // Математика в школе. - № 6. - 2008.

9. Соломатин О. Д. Старинный способ решения задач на сплавы и смеси //Математика в школе. - № 1. - 2007. - С. 12-13.

10. Перельман Я.И. Занимательная алгебра. - М., 1967.

11. Денищева Л.О., Глазков Ю.А. и др. ЕГЭ - 2008. Математика. Учебно - тренировочные материалы для подготовки учащихся. ФИПИ - М.:

Интеллект-Центр, 2013.

12. Соболь Б.В., Виноградова И.Ю., Рашидова Е.В., Пособие для подготовки к единому государственному экзамену и централизованному

тестированию по математике. - 3-е изд.- Ростов-на-Дону: Феникс, 2010.

13. Денищева Л.О. Единый государственный экзамен: Математика.- М.: Просвещение, 2011

14. Корешкова Т.А. Тестовые задания по математике. - М.: Экзамен, 2008

15. Петрова И.Н. Проценты на все случаи жизни. - Челябинск, 2007

16. Гальперин Г.А., Толпыго А.К. Московские математические олимпиады. Под ред. А.Н.Колмогорова. - М.: Просвещение, 1986.

17. Климеченко Д.В. Задачи по математике для любознательных. - М.: Просвещение,2012.

18. Лунгу К.Н. Тесты по математике для абитуриентов. - М.: Айрис-пресс, 2008.

19. Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка. М.: Просвещение, 1998.

20. Винокурова Е., Винокуров Н. Экономика в задачах. - М, 2008

21. Денищева Л.О. Единый государственный экзамен: Математика. - М.: Просвещение, 2011

22. Звавич Л.И., Аверьянов Д.И., Пигарев Б.П., Трушанина Т.Н. Задания для проведения письменного экзамена по математике в 9-м классе. - М.: Просвещение, 2005

23. Корешкова Т.А. Тестовые задания по математике. - М.: Экзамен, 2007

24. Макарычев Ю.Н. Дополнительные главы к школьному учебнику. - М.: Просвещение, 2009

25. Математика: 2600 тестов и проверочных заданий для школьников и поступающих в вузы / П.И. Алтынов, Л.И. Звавич, А.И. Медяник и др. - М.: Дрофа, 1999

26. Петрова И.Н. Проценты на все случаи жизни. - Челябинск, 2007

27. Рельдман Ф.Г., Рудзитис Г.Е. Химия для 9-х классов средних общеобразовательных учебных заведений. - М.: Просвещение, 2008

28. Сборник задач по математике для поступающих в вузы / Под редакцией А.Н. Приленко. - М.: Высшая школа, 1999

29. Симонов А.С. Экономика на уроках математики. - М: Школа-Пресс, 2009

30. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач. - М.: Просвещение, 1994

31. Кузнецова Л.В., Суворова С.Б. и др. Государственная итоговая аттестация выпускников 9 классов в новой форме. Алгебра. 2010 / ФИПИ. - М.: Интеллект - Центр,2010г.

32. Сборник программ курсов по выбору. ККИДППО. Математика. Краснодар, 2004.

Интернет -источники

mathege.ru

uztest.ru/

nsportal.ru/

MatBuro.ru/

Календарно-тематическое планирование

№

Тема занятия

Кол-во часов

Дата

План

Факт

1

Проценты. Нахождение процента от числа

3

2

Нахождение числа по его проценту; нахождение процента одного числа от другого.

3

Основные задачи на проценты.

4

Базовые понятия экономики.

4

5

Процентные расчеты в жизненных ситуациях. Платежи.

6

Процентные расчеты в жизненных ситуациях. Банковские расчеты.

7

Задачи на проценты повышенного уровня сложности

8

Задачи на смеси, сплавы и растворы.

3

9

Задачи на смеси, сплавы и растворы. Концентрация вещества.

10

Задачи на смеси, сплавы и растворы. Выпарка.

11

Проценты в заданиях единого государственного экзамена

2

12

Проценты в заданиях единого государственного экзамена

13

Решение разнообразных задач по всему курсу

3

14

Старинный способ решения задач.

15

Расчетные задачи с прагматической ориентацией.

16

Заключительное занятие. Зачётная работа

2

17

Заключительное занятие. Проект.

Учебно- методическое обеспечение программы

- специальная справочная литература;

- методическая литература:

- дидактический и раздаточный материал;

- набор КИМов ЕГЭ прошлых лет:

- желательно наличие компьютеров дома у учащихся.

- наличие программы курса.

Тематика возможных проектных (творческих, исследовательских) работ учащихся

1. Проценты на уроках…

Учащимся предстоит выяснить, какие задачи «на проценты», и на каких предметах они решают. Учащимися проводится самостоятельная исследовательская работа, в ходе выполнения которой учащиеся выясняют, как используется понятие процентов при изучении других дисциплин? Результаты работы обсуждаются совместно, дополняются.

При изучении этого вопроса рассматривается использование процентов на уроках химии, физики, географии. В восьмом классе учащиеся начали изучать химию. Химия тесно связана с математикой, т.к. при решении химических задач необходимо знание процентов, умение составлять пропорции. Поэтому одной из таких работ может быть проект «Проценты на уроках химии».

2. Кредит, ссуда или сберегательный вклад?

Понятие процентов и их роли в повседневной жизни. В этом проекте учащимся предстоит:

• определить какую крупную вещь вы решили приобрести;

• желательно познакомиться с правами и обязанностями потребителя (покупателя) и определить, что необходимо для того, чтобы стать грамотным покупателем;

• изучить типы соответствующих магазинов в вашей местности, исследовать цены и ассортимент интересующих вас товаров;

• определить максимально подходящий магазин для покупки, запланированной вещи;

• выяснить (собрать) предложения

  1. различных магазинов (цена товара, первый взнос, проценты по кредиту)

  2. банков по ссудам (виды кредитов, проценты, сроки, условия)

  3. банков по вкладам (процентные ставки, виды вкладов, сроки)

  4. кредитных отделов (первый взнос, проценты, сроки возврата кредита);

     • выполнить расчеты, оформить результаты (таблицы, схемы, графики, диаграммы);

• проанализировать полученные результаты, выбрать наиболее выгодные предложения.

3. Профессия + проценты.

В этом проекте учащимся предстоит:

• изучить интересные и престижные профессии,

• выделить те группы профессий, в которых необходимы знания о процентах;

• детально изучить несколько профессий,

• создать базу данных (включающую название профессии, диапазон заработной платы, необходимые навыки образования и работы, учебные заведения в которых можно получить необходимое образование, какие школьные предметы требуются на вступительных экзаменах, предполагаемое место работы, должностные обязанности, и т.п.)

Вводный тест по теме «Проценты»

1. Найдите 25% от 56.

А) 14 Б) 22,04 В) 20 Г) 25

2. Найдите число, если 1% его равен 75.

А) 0,75 Б) 7,5 В) 7500 Г) 750

3. Клубника содержит 6% сахара. Сколько килограммов сахара в 27 кг клубники?

А) 1,82 кг Б) 1,62 кг В) 2,24 кг Г) 2,42 кг

4. Книга стоила 25 р. После повышения цены она стоит 30,25 р. На сколько процентов возросла стоимость книги?

А) на 21% Б) на 20% В) на 24% Г) на 25%

5. Найдите число, 34% которого равны 170.

А) 57,8 Б) 500 В) 56,5 Г) 510

6. На математической олимпиаде 32% участников получили грамоты. Сколько школьников приняло участие в олимпиаде, если наградили 416 человек?

А) 932 Б) 1300 В) 133,1 Г) 1340

7. Надо вспахать участок поля в 500 га. В первый день вспахали 150 га. Сколько процентов составляет вспаханный участок от всего участка?

А) 330% Б) 30% В) 125% Г) 45%

8. Число уменьшили на 20%. На сколько процентов надо увеличить полученное число, чтобы получить данное число?

А) на 20% Б) на 40% В) на 25% Г) на 30%

9. Число 56 составляет 80% от некоторого числа. Найдите среднее арифметическое этих чисел.

А) 63 Б) 44,8 В) 126 Г) 56

10. Сторону квадрата уменьшили на 20%. На сколько процентов уменьшилась его площадь?

А) на 20% Б) на 36% В) на 10% Г) на 40%

Таблица ответов:

№ задания

Ответ

1

А

2

В

3

Б

4

А

5

Б

6

Б

7

Б

8

В

9

А

10

Б

РАЗДЕЛ 1.

1. В классе присутствует 60% всех учащихся. Сколько процентов учащихся отсутствует?

1. Выразите в процентах ¼ всех жителей города.

3. Найдите 16% от 20000 рублей.

4. Сколько будет, если 20000 руб. увеличить на 16%?

5.Сколько процентов составляют 400 руб. от 200 руб.?

6. 20% некоторой суммы составляют 100 рублей. Какая это сумма?

РАЗДЕЛ 2.

Задания представлены в виде текстовых задач.

1. Квартирная плата повысилась на 20%. За прошлый месяц заплачено 120рублей. Сколько надо заплатить за текущий месяц?

2. В референдуме приняли участие 18 тыс. человек, что составило 60% всех жителей города, имеющих право голоса. Сколько жителей имеют право голоса?

3. В 5 тысячах из выпущенных 20 тысяч коробочек с жевательной резинкой находится сюрприз. Сколько процентов составили коробочки с сюрпризами?

4. Банком установлен тариф на пролонгацию аккредитива в размере 0,2% за квартал от суммы аккредитива. Вычислите размер комиссионных за пролонгацию аккредитива на сумму 100000 рублей за один квартал?

5. В первом квартале литр молока стоил 10 рублей. Во втором квартале цена на молоко повысилась на 20%, а в третьем еще на 50%. Сколько стал стоить литр молока?

6. Фирма платит разносчикам рекламных изданий за первую партию 10 тыс. рублей, а за каждую следующую в тот же день - на 5% больше по сравнению с предыдущей. Сколько получит человек, если в течение одного дня он разнес 4 партии изданий?

РАЗДЕЛ 3.

1. 15% жителей города ежегодно слушают ВВС, 45% - радио «Свобода» и 40% - «Голос Америки». Можно ли сказать, что все жители города ежедневно слушают передачи западного радио?

2. Себестоимость товара 30 тыс. рублей. В магазине этот товар продается по цене 90 тыс. руб. Сколько процентов от себестоимости составляет розничная цена.

3. Валовой национальный продукт государства составил 33 млрд. долларов, что соответствует 75% от планировавшегося бюджетом. Найдите плановую величину НВП этого государства.

4. Подоходный налог установлен в размере 13%. До вычета подоходного налога 1% заработной платы отчисляется в пенсионный фонд. Работнику начислено 5420 рублей. Сколько он получит после указанных вычетов?

5. Инфляция составляет 10% каждый месяц. Сколько процентов составила инфляция за два месяца?

6. В результате мелиоративных мероприятий посевные площади увеличились на 150% по сравнению с прошлым годом. Найдите величину посевных площадей этого года, если в прошлом году она была 60 га

ЗАДАНИЯ ИЗ ВАРИАНТОВ ЕГЭ

1. Смешали 160 г раствора, содержащего 60% соли, и 240 г раствора, содержащего 40% соли. Сколько процентов соли в получившемся растворе?

2. В январе пакет акций стоил на 10% меньше, чем в феврале. В феврале этот же пакет акций стоил на 20% меньше, чем в марте. На сколько процентов меньше стоимость акций в январе, чем в марте?

3. Предприятие уменьшило выпуск продукции на 20%. На сколько процентов необходимо теперь увеличить выпуск продукции, чтобы достигнуть его первоначального уровня?

4. Зарплату повысили на р%. Затем новую зарплату повысили на 2р%. В результате двух повышений зарплата увеличилась в 1,32 раза. На сколько процентов зарплата была повышена во второй раз?

ЗАДАНИЯ ИЗ ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ЭКЗАМЕНОВ В ВУЗы

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Имеются три металлических слитка. Первый весит 5 кг, второй - 3 кг, и каждый из этих двух слитков содержит 30% меди. Если первый слиток сплавить с третьим, то получится слиток, содержащий 56% меди, а если второй слиток сплавить с третьим, то получится слиток, содержащий 60% меди. Найти вес третьего слитка и процент содержания меди в нем.

ХИМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Сосуд вместимостью 8 л наполнен смесью кислорода и азота. На долю кислорода приходится 16% вместимости сосуда. Из сосуда выпускают некоторое количество смеси и впускают такое же количество азота, после чего опять выпускают такое же, как в первый раз, количество смеси и опять добавляют столько же азота. В новой смеси кислорода оказалось 9%. Какое количество смеси каждый раз выпускалось из сосуда?

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Банк планирует вложить на 1 год 40% имеющихся у него средств клиентов в проект Х, а остальные 60% - в проект Y. В зависимости от обстоятельств проект Х может принести прибыль в размере от 19 до 24% годовых, а проект Y - от 29 до 34% годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить им проценты по заранее установленной ставке. Определить наименьший и наибольший возможный уровень % - ой ставки по вкладам, при которых чистая прибыль банка составит не менее 10 и не более 15% годовых от суммарных вложений в проекты Х и Y.

СОЦИОЛОГИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

В дошкольном учреждении провели опрос. На вопрос: «Что Вы предпочитаете, кашу или компот?» - большая часть ответила: «Кашу», меньшая: «Компот», а один респондент: «Затрудняюсь ответить». Далее выяснили, что среди любителей компота 30% предпочитают абрикосовый, а 70% - грушевый. У любителей каши уточнили, какую именно кашу они предпочитают. Оказалось, что 56,25% выбрали манную кашу, 37,5% - рисовую, и лишь один ответил: «Затрудняюсь ответить». Сколько детей было опрошено?

ОЛИМПИАДА ПО ЭКОНОМИКЕ

Задача 1. Господин Лебединский арендует Белый Дом и платит за аренду 20000 долларов в год. Остальные деньги он хранит в банке, что приносит ему 12% годовых. Стоимость дома- 180000 долл. Определите, стоит ли Лебединскому приобретать этот дом, если ему представится такая возможность.

Задача 2. В течении трех лет инфляция составляла соответственно по годам: 1-й год-15%, 2-ой год- 29%, 3-й год-33%. Вы положили свой капитал в банк на 3 года под 21% годовых. На сколько % за 3 года ваш капитал увеличился или уменьшился в реальном исчислении?

ПРОЦЕНТНОЕ СОДЕРЖАНИЕ, ПРОЦЕНТНЫЙ РАСТВОР

Тип задач на составление уравнений и систем уравнений - задачи на сплавы и смеси, решение которых связано с понятиями «концентрация», «процентное содержание», «проба», «влажность».

Процентное содержание вещества в растворе, иногда называют %-м раствором, например, 15%-й раствор соли.

1. Сколько кг соли в 10 кг соленой воды, если %-е содержание соли 15%?

Решение: 10∙0,15 = 1,5(кг).

Ответ: 1,5 кг.

Процентное содержание вещества в сплаве - это часть, которую составляет вес данного вещества от веса всего сплава.

2. Сплав содержит 10 кг олова и 15 кг цинка. Каково процентное содержание олова и цинка в сплаве?

Решение:

1) 10 + 15 = 25(кг) сплав;

2) 10 : 25 ∙ 100% = 40% процентное содержание олова в сплаве.

3) 15 : 25 ∙ 100% = 60% процентное содержание цинка в сплаве.

Ответ: 40%, 60%.

КОНЦЕНТРАЦИЯ, СМЕСИ И СПЛАВЫ

Если концентрация вещества в соединении по массе составляет р%, то это означает, что масса этого вещества составляет р% от массы всего соединения.

Пример. Концентрация серебра в сплаве 300 г составляет 87%. Это означает, что чистого серебра в сплаве 300∙0,87 = 261 г.

В этом примере концентрация вещества выражена в процентах.

Отношение объема чистой компоненты в растворе ко всему объему смеси называется объемной концентрацией этой компоненты.

Сумма концентраций всех компонент, составляющих смесь, равна 1. В этом случае концентрация - безразмерная величина.

Если известно процентное содержание вещества, то его концентрация находится по формуле: к = р : 100%,

к - концентрация вещества;

р - процентное содержание вещества (в процентах).

Дополнительные задачи.

Задача 1. Имеется два сплава, в одном из которых содержится 40%, а в другом 20% серебра. Сколько кг второго слава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы после сплавления вместе получить сплав, содержащий 32% серебра?

Решение (с помощью уравнения): Пусть к 20 кг первого сплава нужно добавить Х кг второго сплава. Тогда получим (20+Х) кг нового сплава. В 20 кг первого сплава содержится 0,4∙20 = 8 (кг) серебра, а в (20+Х) кг нового сплава содержится 0, 32∙(20+Х) кг серебра. Составим уравнение: 8+0,2Х = 0,32(20+Х), Х=13 1/3.

Ответ: 13 1/3 кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы получить сплав, содержащий 32% серебра.

Задача 2. При смешивании 5%-ного раствора кислоты с 40%-ным раствором кислоты получили 140 г 30%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было для этого взято?

Решение (с помощью системы уравнений):

Проследим за содержанием кислоты в растворах. Возьмем для смешивания Х г 5%-ного раствора кислоты (или 0,05Х г) и Υ г 40%-ного раствора (или 0,4Υ г). Так как в 140 г нового раствора кислоты стало содержаться 30%, т. е. 0,3∙140 г, то получаем следующее уравнение 0,05Х + 0,4Υ = 0,3∙140. Кроме того Х + Υ = 140.

Таким образом, приходим к следующей системе уравнений:

0,05Х + 40Υ = 30∙140,

Х + Υ = 140.

Из этой системы находим Х = 40, Υ = 100. Итак, 5%-ного раствора кислоты следует взять 40 г, а 40%-ного раствора - 100 г.

Ответ: 40 г, 100 г.

ЗАДАЧИ НА ВЛАЖНОСТЬ И СПЛАВЫ

В13 (99574) Виноград содержит 90% влаги, а изюм 5%. Сколько килограмм винограда требуется для получения 20 килограмм изюма?

Решение: Пусть х (кг), винограда требуется для получения 20 кг изюма.

Проследим за количеством сухого вещества в винограде и изюме.

В винограде 90% влаги, значит 10% сухого вещества. В изюме 5% влаги, значит 95% сухого вещества. Составим таблицу.

Сухое вещество

Количество в кг

Виноград

0,1х

х

Изюм

0,95∙20

20

Уравняем количество сухого вещества в винограде и изюме, составив уравнение

0,1х = 19

х = 190

190(кг) винограда надо взять.

Ответ: 190 кг.

В13 (99576) Первый сплав содержит 10% меди, второй - 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 килограмма. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в кг.

Решение: Проследим за количеством меди в каждом сплаве. Пусть х(кг) масса первого сплава, (х + 3) масса второго сплава. Меди в первом сплаве 10%, значит масса меди в первом сплаве 0,1х. Меди во втором сплаве 40%, значит масса меди во втором сплаве 0,4(х + 3). Масса третьего сплава (х + х + 3). Меди в третьем сплаве 30%, значит масса меди в третьем сплаве 0,3 (2х +3). Занесем данные в таблицу.

Медь

Масса сплава в кг

I сплав

0,1х

х

II сплав

0,4 (х + 3)

х +3

III сплав

0,3 (2х + 3)

х + х + 3

Составим уравнение, исходя из количества меди в каждом сплаве

0,1х + 0,4 (х + 3) = 0,3 ( 2х + 3)

- 0,1х = - 0,3

х = 3

3(кг) масса первого сплава, масса третьего сплава 9 кг.

Ответ: 9 кг.

Старинный способ решения

Таким способом можно решать задачи на смешивание (сплавление) любого числа веществ. Задачам подобного типа уделялось значительное внимание в старинных рукописях и «Арифметике» Л. Ф. Магницкого. Данный способ позволяет получить правильный ответ.

Решим предыдущую задачу 2 старинным способом. Друг под другом пишутся содержания кислот имеющихся растворов, слева от них и примерно посередине - содержание кислоты в растворе, который должен получиться после смешивания. Соединив написанные числа черточками, получим такую схему:

5

30

40

Рассмотрим пары 30 и 5; 30 и 40. В каждой паре из большего числа вычтем меньшее, и результат запишем в конце соответствующей черточки. Получится такая схема:

5 10

30

40 25

Из нее делается заключение, что 5%-ного раствора следует взять 10 частей, а 40%-ного - 25 частей (140 : 35 = 4 г приходится на одну часть), т. е. для получения 140 г 30%-ного раствора нужно взять 5%-ного раствора 40 г, а 40%-ного - 100 г.

Ответ: 40 г, 100 г.

Задача 3.

В общем виде решим задачу старинным способом.

Предположим, что смешиваются Х г а%-ного раствора кислоты (или а:100Х г) и Υ г b%-ного раствора кислоты (или b:100Υ г). При этом необходимо получить с%-ный раствор.

Решение: Пусть для определенности, а < с < b,

а b - с

с

b с - а

Задача 4. К 15 л 10%-ного раствора соли добавили 5%-ный раствор соли и получили 8%-ный раствор. Какое количество литров 5%-ного раствора добавили?

Решение (старинным способом):

10 3

8

5 2

Таким образом 15 л - это 3 части, 15 : 3 = 5 л приходится на одну часть, тогда 5 ∙ 2 = 10 л добавили 5%-ного раствора.

Ответ: 10 л.

Задачи из приложения 6 (задания из вариантов ЕГЭ) №1-4.

Математические знания, безусловно, должны носить четко выраженный прагматический характер. К такому кругу относятся знания, связанные с процентами. Их прагматическая значимость очевидна, в особенности для современного общества. В частности, вполне практические задачи повседневной жизни человека, возникающие, в том числе и у старшеклассников и непосредственным образом связанные с процентами, требуют для своего решения не только первичных знаний о процентах, получаемых в основной школе, но и значительно большего круга математических понятий.

Задача 1.

Стоимость компьютера 1250 долларов. Какова будет его стоимость после снижения цены на 20%?

Задача 2.

Торт стоил 100 рублей. Сначала цену повысили на 10%, а затем снизили на 10% (от новой цены). Сколько теперь стоит торт?

В первую очередь изучению - на основной или старшей ступени - подлежат «сложные» проценты. Понятия «простых» и «сложных» процентов, при условии достаточного овладения учащимися этими понятиями, могут послужить мощным источником мотивации введения многих математических понятий. Основой для введения арифметической и геометрической прогрессий. Приведу в качестве примера три задачи.

Задача 3.

Скорость тела, движущегося равноускоренно, каждую секунду увеличивается на 10%. В данный момент его скорость10,00 м/сек. Какова будет его скорость через три секунды?

Задача 4.

При внесении квартирной платы на один день позже установленного срока начисляется пеня в размере 0,1% от суммы платежа. Сколько придется заплатить в случае задержки квартирной платы на три месяца, если квартирная плата составила 100 рублей?

Задача 5.

Банком установлена процентная ставка из расчета 3% в месяц. Сколько денег должен получить гражданин, вложивший в этот банк 100 рублей на 3 месяца?

Следует заметить, что самые естественные примеры могут служить «материальным» доказательством сравнения скорости роста арифметической и геометрической прогрессий. Этот факт оказывается, таким образом, не чисто математическим, причем достаточно сложным «изысканием», а совершенно очевидным «на практике» утверждением.

Задача 6.

Выгодно ли гражданину задержать на три месяца внесение квартирной платы (задача 4), вложив эти 100 рублей в банк (задача 5)?

Линия геометрической прогрессии в дальнейшем, на старшей ступени естественным образом перерастает из дискретной модели в непрерывную, т.е. степенную, показательную и логарифмическую функцию.

Решение задач с помощью уравнения

Проблема заключается в том, что даже при решении несложных задач, возникают затруднения при переводе текста задачи на язык уравнений.

Систематизируем знания по данному вопросу.

Неизвестную величину обозначим через Х, тогда

• чтобы найти 20% от нее, надо 0,2Х;

• чтобы увеличить ее, например, на 10%, надо Х+0,1Х=1,1Х;

• чтобы уменьшить ее, например, на 30%, надо Х-0,3Х=0,7Х,

• в общем виде: если 0 < Р < 100,

• чтобы найти Р% от Х, надо 0,РХ;

• чтобы увеличить ее на Р%, надо Х+0,РХ=1,РХ;

• чтобы уменьшить ее на Р%, надо Х-0,РХ=(1-0,Р)Х, далее составляем уравнение, соответствующее условию задачи.

Задача

В двух школах поселка было 1500 учащихся. Через год число учащихся первой школы увеличилось на 10%, а второй - на 20%, и в результате общее число стало равным 1720. Сколько учащихся было в каждой школе первоначально?

Решение:

Пусть Х учащихся было в первой школе, тогда (1500-Х) учащихся было во второй школе. После увеличения на 10% учащихся первой школы их стало Х+0,1Х=1,1Х, а во второй школе стало (1500-Х)+0,2(1500-Х)=1500-Х+300-0,2Х=1800-1,2Х учащихся. В результате их общее число стало равным 1720. Составим уравнение

1,1Х+1800-1,2Х=1720

-0,1Х=-80

Х=800

Таким образом получили, что 800 учащихся было в первой школе, тогда 700 учащихся было во второй школе первоначально.

Ответ: 800 и 700 учащихся.

Решение с помощью системы уравнений

Когда в условии задачи неизвестными являются две величины, то можно решить задачу с помощью системы уравнений. Решим предыдущую задачу с помощью системы уравнений.

Решение:

Пусть Х учащихся было в первой школе, тогда Υ учащихся было во второй школе. В двух школах поселка было 1500 учащихся. После увеличения учащихся первой школы их стало 1,1Х, а во второй стало 1,2Υ учащихся, в результате их общее число стало равным 1720. Составим систему уравнений и решим ее способом подстановки

Х+Υ=1500, Х=1500-Υ, Х=1500-Υ, Х=800,

1,1Х+1,2Υ=1720; 1,1(1500-Υ)+1,2Υ=1720; Υ=700; Υ=700.

Ответ: 800 и 700 учащихся.

Задача 1. Одной машинистке на перепечатку рукописи требуется на 12 ч больше, чем другой. Если 25% рукописи перепечатает первая машинистка, а затем к ней присоединится вторая машинистка, то на перепечатку рукописи им понадобиться 35 ч, считая от момента начала работы первой машинистки. За сколько часов могла бы перепечатать рукопись каждая машинистка, работая отдельно?

Решение: Пусть на перепечатку рукописи первой машинистке требуется ч, тогда второй потребуется ч. На перепечатку 25% рукописи первая машинистка затратит ч. Выясним теперь, сколько времени потребуется двум машинисткам на перепечатку оставшихся 75% рукописи. Первая машинистка перепечатывает за один час часть рукописи, вторая - часть рукописи, а вместе за час они перепечатывают часть рукописи. На перепечатку рукописи им потребуется ч, т.е. ч. Отсюда получаем уравнение:

Решив это уравнение, найдем, что оно имеет два корня: и .

Второй корень не соответствует условию задачи.

Ответ: первой машинистке на перепечатку рукописи требуется 60 ч, а второй - 48 ч.

Задача 2. Положив в банк деньги, вкладчик получил через год прибыль в 240 тысяч рублей. Однако он не стал забирать деньги из банка, а, добавив к ним еще 60 тысяч, снова оставил деньги на год. В результате спустя еще год он получил в банке 1 миллион 100 тысяч рублей. Какая сумма была положена в банк первоначально и какой процент прибыли в год давал банк?

Решение: Допустим, что первоначальный вклад составляет тысяч рублей. Тогда процент прибыли за год равен . Сумма вклада, положенного в банк через год, составила тысяч рублей, т.е. тысяч рублей. Этот вклад принес доход, равный тысячам рублей. Всего вкладчик получил 1100 тысяч рублей.

Получаем уравнение:

Решив его, найдем, что это уравнение имеет два корня: , Выполнив расчеты, можно убедиться, что оба корня соответствует условию задачи.

Ответ: задача имеет два решения: вкладчик вложил первоначально 200 тысяч рублей и получил доход 120% в год или вкладчик вложил первоначально 360 тысяч рублей и получил доход в год.

Задача 3. Имелось два слитка меди. Процент содержания меди в первом слитке был на 40 меньше, чем процент содержания меди во втором. После того как оба слитка сплавили, получили слиток, содержащий 36% меди. Найдите процентное содержание меди в первом и во втором слитках, если в первом слитке было 6 кг меди, а во втором - 12 кг.

Решение: Обозначим за массу первого слитка в кг, за массу второго слитка в кг, получим систему уравнений:

В результате получим: х=30, у=20.

Ответ: 30 кг, 20 кг

Задача 4. Для определения оптимального режима снижения цен социологи предложили фирме с 1 января снижать цену на один и тот же товар в двух магазинах двумя способами. В одном магазине - в начале каждого месяца (начиная с февраля) на 10%, в другом - через каждые два месяца, в начале третьего (начиная с марта) на одно и то же число процентов, причем такое, чтобы через полгода (1 июля) цены снова стали одинаковыми. На сколько процентов надо снижать цену товара через каждые два месяца во втором магазине?

Решение: Пусть руб. - стоимость товара, - число процентов. Тогда,

I магазин

Февраль

Март

……………………………………

Июль

II магазин

Март

Май

Июль

По условию задачи через полгода (1 июля) цены снова стали одинаковые, составляем уравнение:

Ответ: на 21%.

В13 (99567) Четыре рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять рубашек дороже куртки?

Решение: I способ.

Пусть цена куртки - К и это 100%. Если 4 рубашки дешевле куртки на 8%, то их стоимость 100% - 8% = 92% стоимости куртки, т.е.

0,92К - стоимость четырех рубашек, тогда - цена одной рубашки

0,23К ∙ 5 = 1,15К - стоимость пяти рубашек.

Сравним стоимость пяти рубашек и куртки.

Ответ: 15%.

II способ.

Для упрощения рассуждений введем условную стоимость куртки -100 рублей.

Тогда 92 рубля - стоимость 4 рубашек, 92 : 4 = 23 (р) стоимость одной рубашки,

5 ∙ 23 = 115 ( р) стоимость 5 рубашек.

Ответ: 15%.

III Задачи для самостоятельной работы

Задача 1. В соответствии с договором фирма с целью компенсации потерь от инфляции была обязана в начале каждого квартала повышать сотруднику зарплату на 3%. Однако в связи с финансовыми затруднениями она смогла повышать ему зарплату только раз в полгода (в начале следующего полугодия). На сколько процентов фирма должна повышать зарплату каждые полгода, чтобы 1 января следующего года зарплата сотрудника была равна той зарплате, которую он получил бы при режиме повышения, предусмотренной договором.

Решение: Пусть руб. - зарплата, - процент повышения зарплаты. Тогда,

По плану

I квартал руб.

……………………………

IV квартал руб.

Фактически

I полугодие руб.

II полугодие руб.

По условию задачи зарплата сотрудника была равна той зарплате, которую он получил бы при режиме повышения, предусмотренного договором, составляем уравнение:

Ответ: на 6,09 %.

Задача 2. На заводе было введено рационализаторское предложение. В результате время, необходимое для изготовления рабочими некоторой детали, уменьшилось на 20%. На сколько процентов возросла производительность труда этого рабочего?

Решение: Пусть - производительность труда, а - весь объем работы. Тогда работа будет выполнена за время . В результате роста производительности труда время на изготовление детали стало равно , соответственно производительность , или . Соответственно рост производительности труда составил:

Ответ: 25%

Задача 3. Из жителей города одни говорят только на украинском, другие - только на русском, третьи - на обоих языках. По-украински говорят 85% всех жителей, а по-русски - 75%. Сколько процентов всех жителей этого города говорят на обоих языках?

Решение:

100%-85%=15% - не говорят на украинском;

100%-75%=25% - не говорят на русском;

100%-15%-25%=60% - говорят на обоих языках.

Ответ: 60%

В13 (99569) Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и тоже число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если выставленный на продажу за 20000 рублей, через два года был продан за 15842 рубля.

Решение: I способ

Пусть каждый год цена уменьшалась на х %, где 0 < х <100. (*)

Через год цена станет 20000 (1 - ), через два года 20000 ( 1 - ).

Зная, что через два года цена станет равной 15842, составим уравнение

20000 ( 1 - ) = 15842

2 (100 - х) = 15842

(100 - х)= 7921

х- 200х + 2079 = 0

= 7921 = 89

х = 100 89

х = 189, что не удовлетворяет условию (*)

х = 11

Ответ : на 11%.

II способ.

Заметим, что цена следующего года отличается от цены предыдущего года в К раз.

20000 ∙ К= 15842

К =

К =

К = 0,89

Цена снижалась каждый год на 11%.

Ответ: на 11%.

В13 Брюки дороже рубашки на 30% и дешевле пиджака на 22%. На сколько процентов рубашка дешевле пиджака?

I способ. Введем условную стоимость 100 рублей - стоит рубашка.

Тогда 130 рублей стоят брюки. Пусть х рублей стоит пиджак. По условию задачи брюки дешевле пиджака на 22%. Зная это, составим уравнение

х - 130 = 0,22х

0,78х = 130

х =

х =

(р) - стоимость пиджака.

Узнаем на сколько процентов рубашка дешевле пиджака.

Ответ: 40%.

II способ.

Пусть стоимость рубашки Р

Стоимость пиджака П

Стоимость брюк Б

По условию задачи стоимость брюк сравнивается со стоимостью рубашки и пиджака, поэтому 0,78 П = В = 1,3 Р

0,78 П = 1.3 Р

Р = П = 0,6 П, т.е. стоимость рубашки составляет 60% от стоимости пиджака,

Значит рубашка дешевле пиджака на 40%.

Ответ: 40%.

В13 (99568) Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

Решение: Введем обозначения и смоделируем задачу.

М - зарплата мужа

Ж - зарплата жены

С - зарплата дочери - студентки

Д - их доход

Надо ответить на вопрос -?

Исходя из условия М + Ж + С = Д (1)

2М + Ж + С = 1,67 Д (2)

М + Ж + = 0,96 Д (3)

(2) - (1): М = 0,67 Д

(1) - (3): ∙ С = 0,04 Д

С = 0,06 Д

Вернемся к равенству (1)

0,67 Д + Ж + 0,06 Д = Д

0,73 Д + Ж = Д

Ж = 0,27 Д

∙ 100% = 27%

Ответ: 27%

1. Расходы на одну из статей городского бюджета составляют 12,5%. Выразите эту часть бюджета десятичной дробью.

2. Содержание некоторого вещества в таблетке витамина составляет 7,5%. Выразите эту часть десятичной дробью.

3. Из хлопка получается 30% волокна. Сколько потребуется хлопка, чтобы получить 60т волокна?

4. Для изготовления мороженого взяли 21 кг сахара, 129 кг других продуктов. Определите процент сахара в полученном мороженом.

5. В 140 г воды добавили 60г соли. Сколько процентов соли в этом соленом растворе?

6. Сплав состоит из меди и олова. Меди в нем 60%, что больше олова на 2 кг. Сколько килограмм меди в сплаве?

7. Смешали раствор массой 300г и концентрацией 15% с раствором массой 500г и концентрацией 9%. Чему равна концентрация (%) полученной смеси?

8. Имеются два сплава из свинца и меди. Первый сплав содержит 3кг свинца и 2кг меди, а второй - 13кг свинца и 7кг меди. В каком сплаве процентное содержание свинца больше и на сколько процентов?

ЗАДАЧИ ИЗ ЭКЗАМЕНАЦИОННОГО СБОРНИКА

№ 635

В школьной библиотеке 210 учебников математики, что составляет 15% всего библиотечного фонда. Сколько всего книг в библиотеке?

№ 637

Утром было продано 28% товара, днем - в два раза больше, а вечером - оставшиеся 32 кг. Сколько всего кг товара было продано?

№ 639

Банк за год начисляет 20% на вложенную сумму. Какую сумму вкладчик внес на счет, если через год на счету оказалось 1920 руб.?

№ 641

За стиральную машину и ее установку заплатили 7840 р. Стоимость установки составляет 12% от стоимости машины. Сколько стоит машина?

№ 643

В девятых и десятых классах школы 162 ученика. Число учащихся десятых классов составляет 80% числа учащихся девятых классов. Сколько в школе девятиклассников и сколько десятиклассников?

№ 645

Определите стоимость товара до уценки, если после снижения цены на 30% он стал стоить 56 р.

№ 647

В школе два девятых класса. В 9 «А» учатся 52% всех девятиклассников, а в 9 «Б» - 24 человека. Сколько всего учеников в 9-х классах?

№ 649

В ателье за февраль сшили 126 юбок. Это оказалось на 10% меньше, чем было сшито за январь. Сколько было сшито юбок в январе?

В1 (26631) В городе N живет 200000 жителей. Среди них 15% детей и подростков. Среди взрослых жителей 45% не работает ( пенсионеры, студенты, домохозяйки т.п.). Сколько взрослых жителей работает?

№ 230 (1)

В двух школах поселка было 1500 учащихся. Через год число учащихся первой школы увеличилось на 10%, а второй - на 20%, и в результате общее число стало равным 1720. Сколько учащихся было в каждой школе первоначально?

№ 231 (1)

В городской думе заседало 60 депутатов, представляющих две партии. После выборов число депутатов от первой партии увеличилось на 12%, а от второй - уменьшилось на 20%. Сколько депутатов от каждой партии оказалось в Думе после выборов, если всего было выбрано 56 депутатов?

№ 228 (2)

Два печника, работая вместе, могут сложить печь за 12 часов. Если первый печник будет работать 2 ч, а второй 3 ч, то они выполнят только 20% всей работы. За сколько часов может сложить печь каждый печник, работая отдельно?