- Преподавателю
- Математика
- Сообщение по математике на тему Целое число
Сообщение по математике на тему Целое число
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Другие методич. материалы |
Автор | Уильямс М.(. |
Дата | 13.05.2015 |
Формат | docx |
Изображения | Есть |
Целое число
Целые числа на числовой прямой
Целые числа - расширение множества натуральных чисел , получаемое добавлением к нуля и отрицательных чисел вида . Множество целых чисел обозначается Необходимость рассмотрения целых чисел продиктована невозможностью, в общем случае, вычесть из одного натурального числа другое - можно вычитать только меньшее число из большего.
Сумма, разность и произведение двух целых чисел дают снова целые числа, то есть целые числа образуют кольцо относительно операций сложения и умножения. Впервые отрицательные числа стали использовать в древнем Китае и в Индии, в Европе их ввели в математический обиход Николя Шюке (1484 год) и Михаэль Штифель (1544).
Алгебраические свойства
не замкнуто относительно деления двух целых чисел (например, 1/2). Следующая таблица иллюстрирует несколько основных свойств сложения и умножения для любых целых a, b и c.
сложение
умножение
замкнутость:
a + b - целое
a × b - целое
ассоциативность:
a + (b + c) = (a + b) + c
a × (b × c) = (a × b) × c
коммутативность:
a + b = b + a
a × b = b × a
существование нейтрального элемента:
a + 0 = a
a × 1 = a
существование противоположного элемента:
a + (−a) = 0
a ≠ ±1 ⇒ 1/a не является целым
дистрибутивность умножения относительно сложения:
a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
На языке общей алгебры первые пять вышеперечисленных свойств сложения говорят о том, что является абелевой группой относительно бинарной операции сложения, и, следовательно, также циклической группой, так как каждый ненулевой элемент может быть записан в виде конечной суммы 1 + 1 + … 1 или (−1) + (−1) + … + (−1). Фактически, является единственной бесконечной циклической группой по сложению в силу того, что любая бесконечная циклическая группа изоморфна группе .
Первые четыре свойства умножения говорят о том, что - коммутативный моноид по умножению. Однако стоит заметить, что не каждое целое имеет противоположное по умножению, например, нет такого x из , что 2x = 1, так как левая часть уравнения чётна, а правая нечётна. Из этого следует, что не является группой по умножению, а также не является полем. Наименьшее поле, содержащее целые числа, - множество рациональных чисел ().
Совокупность всех свойств таблицы означает, что является коммутативным кольцом с единицей относительно сложения и умножения.
Обычное деление не определено на множестве целых чисел, но определено так называемое деление с остатком: для любых целых a и b, , существует единственный набор целых чисел q и r, что a = bq + r и , где |b| - абсолютная величина (модуль) числа b. Здесь a - делимое, b - делитель, q - частное, r - остаток. На этой операции основан алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел.
Теоретико-множественные свойства
- линейно упорядоченное множество без верхней и нижней границ. Порядок в нём задаётся соотношениями:
… < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < …
Целое число называется положительным, если оно больше нуля, отрицательным, если меньше нуля. Нуль не является положительным или отрицательным.
Для целых чисел справедливы следующие соотношения:
-
если a < b и c < d, тогда a + c < b + d.
-
если a < b и 0 < c, тогда ac < bc. (Отсюда легко показать, что если c < 0, то ac > bc.)
Целые числа в вычислительной технике
Тип целое число - зачастую один из основных типов данных в языках программирования. Тем не менее, эти «целые числа» - лишь имитация класса в математике, так как это множество бесконечно и всегда найдётся целое число, которое данный компьютер не сможет хранить в своей памяти. Целые типы данных обычно реализуются как фиксированный набор битов, но любые представления, в конце концов, приведут к тому, что свободное место на носителе (жёстком диске) закончится. С другой стороны, теоретические модели цифровых компьютеров имеют потенциально бесконечное (но счётное) пространство.