Математическая статья «Поиграем» с квадратичной функцией!

Математическая статья

«Поиграем» с квадратичной функцией!

Работу выполнила

Ефремова Анна Валентиновна,

учитель математики

МКОУ СШ № 1 г. Дубовки

2015 г

«Поиграем» с квадратичной функцией!

При изучении явлений окружающего мира и в практической деятельности нам приходится рассматривать величины различной природы: длину, площадь, объем, температуру, время. Поэтому математика изучает зависимость между переменными в процессе их измерения.

Зависимость, выраженная видом , где a, b, c - заданные числа, причем a ≠ 0, а x, y - переменные, является квадратичной функцией.

Знакомство с квадратичной функцией начинается в 7 классе на примере зависимости площади квадрата от его стороны ( , где S - площадь квадрата, a - сторона квадрата). Впервые строится график , его называют параболой и выясняют некоторые свойства.

х

-3

-2

-1

0

1

2

3

у

9

4

1

0

1

4

9

1.Если х = 0, то

2.Если х ≠ 0, то

3.Противоположным значениям х соответствует одно и то же значение у:

Ветви параболы симметричны относительно оси ОУ.

В 9 классе, изменяя коэффициент a , замечаем изменения в графике:

При

Построим график функции

х

-3

-2

-1

0

1

2

3

у

18

8

2

0

2

8

18

При

Построим график функции

х

-3

-2

-1

0

1

2

3

у

4,5

2

0,5

0

0,5

2

4,5

При

Построим график функции

х

-3

-2

-1

0

1

2

3

у

-4,5

-2

-0,5

0

-0,5

-2

-4,5

Приходим к выводу, что для построения графика функции надо растянуть график функции в a раз вдоль оси ординат, если ; если , график строится с помощью сжатия график функции в a раз вдоль оси ординат; при для построения графика функции надо сначала растянуть график в раз вдоль оси ординат, а затем отразить его симметрично относительно оси абсцисс.

Рассмотрим другие случаи квадратичной функции .

Если

Построим график функции

х

-3

-2

-1

0

1

2

3

у

11

7,5

5

3

5

7,5

11

Если

Построим график функции

х

-3

-2

-1

0

1

2

3

у

2,5

0

-1,5

-2

-1,5

0

2,5

Вывод: для построения графика функции надо график функции параллельно перенести на единиц вдоль ось ординат

• в положительном направлении, если ;

• в отрицательном направлении, если

Если

Построим график функции

х

1

3

4

5

6

7

9

у

8

2

0.5

0

0.5

2

8

Если

Построим график функции

х

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

у

9

4

1

0

1

4

9

Вывод: график функции можно получить из графика функции с помощью параллельного переноса вдоль ось абсцисс на m единиц вправо, если , или на m единиц влево, если

Построим график функции

График этой функции можно получить из графика функции с помощью параллельных переносов на 3 единицы вправо вдоль оси абсцисс и 2 единицы вверх вдоль оси ординат.

Вывод: график функции вида можно получить из графика функции с помощью двух параллельных переносов :

• сдвига вдоль оси ОХ на единиц вправо, если , или на единиц влево, если

• сдвига вдоль оси ОУ на единиц вверх, если , или на единиц вниз, если

Для построения надо:

1.Найти координаты вершины параболы (;) по формулам

; ;

.Построить ось симметрии параболы ;

3.Найти две точки графика слева или справа от оси симметрии;

4.Построить две точки , симметричные полученным точкам относительно оси симметрии;

5.Построить параболу и назвать ее.

Пример.

Построить график функции .

Квадратичная функция, график парабола , ветви направлены вверх (т.к. Вершина параболы (2; -1)

x=2, - ось симметрии

x

0

1

2

y

3

0

-1

Рассмотренные варианты построения графиков квадратичных функций можно разбить на 4 блока

Преобразование графиков квадратичных функций

С помощью отображения относительно оси абсцисс

С помощью параллельного переноса вдоль оси абсцисс и оси ординат

С помощью алгоритма построения графика квадратичной функции общего вида

С помощью сжатия и растяжения вдоль оси ординат

При рассмотрении построения графика квадратичной функции в системе координат реализуются связи содержательных линий алгебры и геометрии: выясняется геометрический смысл коэффициента , а также ясную геометрическую интерпретацию получает коэффициент .

Данный материал имеет практическую направленность. Умение выполнять простейшие преобразования графиков элементарных функций помогает при составлении различных математических моделей, позволяет расширить аппарат решения уравнений и неравенств, систем уравнений и неравенств графическим способом. А это позволяет успешно применять полученные навыки при выполнении материалов итоговой аттестации ЕГЭ и ОГЭ.