Практическая работа по теме Тригонометрические уравнения и неравенства

Практична робота з теми «Тригонометричні рівняння

та нерівності»

(алгебра та початки аналізу, 10 клас)

Виконавець
вчитель математики

ЗШ № 7

м. Дружківки

Орлова Л.В.

2015-2016 навчальний рік

Зміст роботи:

1. Критерії оцінювання навчальних досягнень учня при вивченні теми «Тригонометричні рівняння та нерівності».

2. Довідковий матеріал з теми.

3. Довідковий матеріал з повторення.

4. Поелементний аналіз навчальних досягнень учнів з теми та повторення з цієї теми

5. Поелементний аналіз завдань 1-3(ТКР) відповідно до рівнів навчальних досягнень.

Критерії оцінювання навчальних досягнень учнів 10-го класу при вивченні теми

«Тригонометричні рівняння та нерівності»

Рівні навчальних досягнень учнів

Бали

Критерії оцінювання навчальних досягнень учнів

І. Початковий

1

Учень(учениця) розпізнає обернені тригонометричні функції. Читає і записує найпростіші тригонометричні рівняння.

2

Учень(учениця) вибирає обернені тригонометричні функції з інших, пояснює свій вибір. Розв'язує однокрокові найпростіші тригонометричні рівняння .

3

Учень(учениця) обчислює значення обернених тригонометричних функцій. За допомогою вчителя(або опорного конспекту)розв'язує найпростіші тригонометричні рівняння та нерівності.

ІІ. Середній

4

Учень(учениця) формулює означення та основні властивості обернених тригонометричних функцій;називає формули загального розв'язку найпростіших тригонометричних рівнянь sinx=a, cosx=a, tgx=a, ctgx=a. Виконує за зразком завдання обов'язкового рівня - розв'язує нескладні тригонометричні рівняння та нерівності.

5

Учень(учениця) дає та ілюструє прикладами з підручника чи конспекту означення та властивості обернених тригонометричних функцій, тригонометричних рівнянь та нерівностей. Розв'язує завдання з оберненими тригонометричними функціями, тригонометричні рівняння та нерівності обов'язкового рівня з частковим поясненням.

6

Учень(учениця) дає та ілюструє власними прикладами означення обернених тригонометричних функцій, тригонометричних рівнянь та нерівностей. Самостійно розв'язує завдання з оберненими тригонометричними функціями, тригонометричні рівняння та нерівності обов'язкового рівня з достатнім поясненням, записує обернені тригонометричні функції, тригонометричні рівняння та нерівності за їх словесним формулюванням і навпаки.

ІІІ. Достатній

7

Учень(учениця) застосовує означення та властивості обернених тригонометричних функцій для визначення властивостей конкретної оберненої тригонометричної функції. Зображує графіки обернених тригонометричних функцій. Розв'язує тригонометричні рівняння, нерівності, їх системи у знайомих ситуаціях. Знає основні способи розв'язування тригонометричних рівнянь, що зводяться до найпростіших. Самостійно виправляє вказані помилки; розв'язує завдання, передбачені програмою, без достатніх пояснень.

8

Учень(учениця) володіє темою та розв'язує завдання, передбачені програмою (розв'язання тригонометричних рівнянь, нерівностей, систем, читає графіки обернених тригонометричних функцій та ін.) з частковими поясненнями, частково аргументує математичні міркування і розв'язування завдань.

9

Учень(учениця) вільно володіє поняттями обернених тригонометричних функцій та їх властивостями,способами розв'язування тригонометричних рівнянь, нерівностей та їх систем, зазначеними програмою. Самостійно виконує завдання у знайомих ситуаціях з достатнім поясненням; виправляє допущені помилки; повністю аргументує обраний спосіб розв'язування тригонометричних рівнянь, нерівностей та їх систем; аналізує можливості різних тригонометричних формул для спрощення умови тригонометричного рівняння, нерівності, системи. Будує графіки обернених тригонометричних функцій за допомогою геометричних перетворень.

ІV. Високий

10

Знання про обернені тригонометричні функції та їх властивості, способи розв'язування тригонометричних рівнянь, нерівностей, систем, побудову графіків обернених тригонометричних функцій за допомогою геометричних перетворень повністю відповідають вимогам програми. Учень(учениця) усвідомлює ці знання, вміє достатньо їх обґрунтовувати; під керівництвом вчителя знаходить додаткові джерела інформації та самостійно їх використовує; розв'язує завдання з повним поясненням та обґрунтуванням; застосовує різні методи при розв'язуванні тригонометричних рівнянь, нерівностей та їх систем.

11

Учень(учениця) вільно і правильно висловлює міркування щодо обернених тригонометричних функцій та їх властивостей, розв'язування тригонометричних рівнянь, нерівностей та їх систем, переконливо їх аргументує; самостійно знаходить джерела інформації та опрацьовує їх; використовує набуті знання та вміння в незнайомих ситуаціях; знає основні методи розв'язання тригонометричних рівнянь, нерівностей та їх систем; робить добір коренів при розв'язанні тригонометричних рівнянь, нерівностей, систем; визначає якісну характеристику тригонометричної формули й застосовує її з метою спрощення умови тригонометричного рівняння, нерівності, системи; використовує властивості обернених тригонометричних функцій та вміє їх застосовувати з необхідним обґрунтуванням

12

Учень(учениця) виявляє варіативність мислення, шукає раціональність в виборі способу розв'язання тригонометричних рівнянь, нерівностей та їх систем; вміє узагальнювати і систематизувати знання з теми у вигляді опорного сигналу, таблиці чи моделі здобутих знань; здатний(а) до розв'язання нестандартних тригонометричних рівнянь та нерівностей, рівнянь з оберненими тригонометричними функціями або застосовувати нестандартні прийоми у їх розв'язанні.

Довідковий матеріал

з теми

«Тригонометричні рівняння та нерівності»

(алгебра та початки аналізу, 10 клас)

І. Обернена функція.

1. Поняття оберненої функції.

Якщо функція y= f(x) набуває кожного свого значення в єдиній точці її області визначення, то можна задати функцію y= g(x), яка називається оберненою до функції

y= f(x):

для кожного аD(f), якщо f(а)=b, то g(b)=a

E(f)= D(g); D(f)=E(g)

Функції f(x) і g(x) взаємно обернені.

2. Властивості оберненої функції.

1) Графіки прямої і оберненої функції симетричні відносно прямої y=x.

2) Якщо функція f(x) зростає ( спадає) на деякому проміжку, то вона має обернену функцію на цьому проміжку, яка зростає, якщо f(x) зростає, і спадає, якщо f(x) спадає.

3. Практичний прийом знаходження формули функції, оберненої до функції y= f(x).

1) З'ясувати, чи буде функція y= f(x) оборотною на всій області визначення: для цього досить з'ясувати, чи має рівняння y= f(x) єдиний корінь відносно змінної x.

2) Якщо ні, то виділити ( якщо можливо) проміжок, де існує обернена функція

( наприклад, це може бути проміжок, де функція y= f(x) зростає або спадає).

3) З рівності y= f(x) виразити x через y.

4) В одержаній формулі ввести традиційні позначення - аргумент позначити через x , а функцію - через y.

Наприклад.

Знайдіть функцію, обернену до функції y = 2x+4

Розв'язування.

1. З рівності y = 2x+4 можна однозначно виразити x через y:

x=y-2.

2. Позначимо в одержаній формулі аргумент через x , а функцію - через y.

Маємо функцію y=x-2, обернену до функції y = 2x+4.Ι

ΙΙ. Обернені тригонометричні функції.

1.Поняття арксинуса, арккосинуса, арктангенса та арккотангенса числа.

Арксинусом числа а називається кут (число) з проміжку [], синус якого дорівнює а.

arcsin a = ,

|a| 1

sin = a

• arcsin(-a) = -arcsin a

sin(arcsin a) = a, a

arcsin(sin ) = ,

Наприклад

arcsin 0 = 0 ; arcsin() = ;

arcsin = ; arcsin(-1) = .

Арккосинусом числа а називається кут (число) з проміжку [], косинус якого дорівнює а.

arccos a = , cos = a

|a|1

• arccos(-a) = - arccos a

cos(arccos a) = a, a

arccos(cos ) = ,

Наприклад

arccos 0 = ; arccos 1 = 0;

аrccos() = .

Арктангенсом числа а називається кут (число) з проміжку , тангенс якого дорівнює а.

arctg a = ,

tg = a

• arctg(-a) = -arctg a

tg(arctg a) = a

arctg(tg ) = ,

Наприклад

arctg 0 = 0 ; arctg = .

arctg(-1) = ;

Арккотангенсом числа а називається кут (число) з проміжку , котангенс якого дорівнює а.

arcctg a = ,

ctg = a

• arcctg(-a) = -arcctg a

ctg(arcctg a) = a

arcctg(ctg ) = ,

Наприклад

arcctg 0 = ; arcctg(-1) = -arcctg 1 = .

arcsin x + arccos x = arctg x + arcctg x =

tg(arcctgx) = tg(arcctgx) =

sin(arccos x) = arccos x = arcsin

2. Властивості обернених тригонометричних функцій.

1) .

2) .

3) Непарна:

4) Неперіодична.

5) Нулі функції:

6) при ;

при .

7) зростає при .

8) Екстремумів немає.

9) Графік

x

1) .

2) .

3) Ні парна, ні непарна: .

4) Неперіодична.

5) Нулі функції: .

6) при .

7) Функція спадна.

8) Екстремумів немає.

9

х

) Графік

1) .

2) .

Горизонтальні асимптоти:

.

3) Непарна: .

4) Неперіодична.

5) Нулі функції: .

6) при при

7) функція зростає

8

у) Екстремумів немає.

9

) Графік

х

ΙΙΙ. Найпростіші тригонометричні рівняння.

1.Рівняння cos x = a

1.Якщо |a| >1, то x Є

cos x = П, x Є ,

так як П≈ 3,14

cos x = , х Є

2. Частні випадки:

cos x = 0

x = + Пn, n Є z

cos x =1

x = 2Пn, n Є z

cos x = -1

x = П + 2Пn, n Є z

3. Якщо |a|>1, то соs x=a розв'яжемо графічно.

Будуємо графіки функцій y = cos x і y = a.

Знайдемо абсциси точек перетину цих графіків.

x = arccos a x = -arccos a

x = arccos a + 2П x = -arccos a + 2П

x = arccos a + 4П x = -arccos a + 4П

x = arccos a - 2П x = -arccos a - 2П

x = arccos a - 4П x = -arccos a - 4П

Об'єднуя це в одну формулу,отримаємо:

X = ± arccos a + 2Пn, n Є z

Наприклад:

№1. cos x =

x = ± arccos + 2Пn, n Є z

x = ± + 2Пn, n Є z

№2. cos = -

x = ± arccos (-) + 2Пn, n Є z

x = ± (П - arccos) + 2Пn, n Є z

x = ± П + 2Пn, n Є z

№3. cos2x = -

2x = ± arccos (-) + 2Пn, n Є z

2x = ± (П - arccos) + 2Пn, n Є z

2x = ± П + 2Пn, n Є z

x = ± П + Пn, n Є z

№4. cos x =

x = ± arccos + 2Пn, n Є z

x = ± + 2Пn, n Є z

2.Рівняння виду sin x = a

1. Якщо |a| >1, то x Є

Наприклад: sin x = 2,5; sin x = П

x Є x Є

2. Частні випадки.sin x = 0

x = Пn, n Є z

sin x = 1

x = + 2Пn, n Є z

sin x = -1

x = - + 2Пn, n Є z

3. Якщо |а|<1, то рівняння sin x = a розв'яжемо графічно.

.

Будуємо графіки функцій y = sin x і y = a і знайдемо абсциси точек перетину цих графіків.

.

Запишемо 2 групи коренів:

x = arcsin a x = -arcsin a + П

x = arcsin a + 2П x = -arcsin a + 3П

x = arcsin a + 4П x = -arcsin a + 5П

x = arcsin a - 2П x = -arcsin a - П

x = arcsin a - 4П x = arcsin a - 3П

: Об'єднуя групи в одну формулу,отримаємо:

x = (-1) arcsin a + mП, m Є z

Наприклад:

№1 sin x =

x = (-1) arcsin + mП, m Є z

x = (-1) + mП, m Є z

№2 sin x = -

x = (-1) arcsin (- ) + mП, m Є z

x = (-1) (-) + mП, m Є z

x = (-1) (-1) + mП, m Є z

x = (-1) + mП, m Є z

№3 sin x = -1

X = - + 2Пn

№4 sin x

x Є , т.к ≈ 1.7

№5 sin x =1

x = + 2Пn, n Є z

№6 sin 2x =

2x = (-1) arcsin + mП, m Є z

2x = (-1) + mП, m Є z

x = (-1) + , m Є z

№7 sin x =

x Є , т.к = ≈ 1.7

3. Рівняння tgx = a

x = arctg a + Пn, n Є z

4.Рівняня ctg x = a

x = arcctg a + Пn, n Є z

Наприклад:

№1 tg x = 1

x = arctg1 + 2Пn, n Є z

x = arctg1 + Пn, n Є z

x = + Пn, n Є z

№2 tg2x =

2x = arctg + Пn, n Є z

2x = + Пn, n Є z

x = +, n Є z

№3 tg x =

x = arctg + Пn, n Є z

x = + 2 Пn, n Є z

№4 ctgx = -

x = arcctg (-) + Пn, n Є z

x = (П - arcctg) + Пn, n Є z

x = (П - ) + Пn, n Є z

x = П + Пn, n Є z

Ι . Основні способи розв'язування

тригонометричних рівнянь.

1.Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным

Сведение тригонометрического уравнения к алгебраическому относительно одной тригонометрической функции - один из самых общих методов решения тригонометрических уравнений. В этом разделе рассмотрим уравнения, которые после введения нового неизвестного t = f(x), где f(x) - одна из основных тригонометрических функций, превращаются в квадратные. К таким уравнениям можно отнести уравнения вида: asin²x + вsin x + c = 0, аcos²x + вsin x + c = 0 и т. д. Но в большинстве случаев приходится исходное уравнение преобразовать так, чтобы оно приобрело нужный вид. Для этого чаще всего используется основное тригонометрическое тождество sin²х + cos²х = 1.

.

№1.

2sin²x + sin х - 1 = 0.

Введём новую переменную: t = sin х. Тогда данное уравнение можно записать в виде: 2t² + t - 1 = 0. это квадратное уравнение. Его корни: t₁ = - 1; t₂ = . Тогда sin х = -1 и sin х = - . Решим каждое из получившихся простейших уравнений.

1) sin х = -1 (это частный случай),

х =

2) sin х = - ,

х = (- 1)ⁿarcsin (-) + πk, k Î Z,

х = (- 1)^{k + 1} + πk, k Î Z.

Ответ: х_n = х_k = (- 1)^{k + 1} + πk, k Î Z.

№2.

4сos x = 4 - sin²x,

4сos x = 4 - (1 - cos²x),

4сos x = 4 - 1 + cos²x,

cos²x - 4сos x + 3 = 0.

Пусть cos x = t, тогда t² - 4 t + 3 = 0.

Так как а + в + с = 0, то t₁ = 1, t₂ = 3.

Если t = 1, то cos x = 1,

х = 2πn, n Î Z.

Если t = 3, то cos x = 3,

корней нет, т.к. 3 Ï [- 1; 1].

Ответ: х = 2πn, n Î Z.

№3.

tg x - 2ctg x + 1 = 0.

Применим формулу: .

Получим: tg x - 2 × + 1 = 0.

Пусть tg x = t, тогда t - + 1 = 0,

t² + t - 2 = 0 (при условии t ≠ 0),

Так как а + в + с = 0, то t₁ = 1, t₂ = - 2.

Если t = 1, то tg x = 1,

х = arctg 1 + πn, n Î Z,

х_n = + πn, n Î Z.

Если t = - 2, то tg x = - 2,

х = arctg (- 2) + πk, kÎ Z,

x_k = - arctg 2 + πk, kÎ Z.

Ответ: х_n = + πn, n Î Z, x_k = - arctg 2 + πk, kÎ Z.

2. Однородные уравнения

Рассмотрим уравнения вида а_о × sinⁿ х + a₁ × sin^{n - 1} х × сos x + a₂ × sin^{n - 2} х × сos² x + … + a_n × сos ⁿ x = 0, где а_о, a₁, a₂, …, a_n - действительные числа. Здесь в каждом слагаемом сумма показателей степеней синуса и косинуса левой части уравнения одна и та же и равна n.

Такое уравнение называется однородным относительно sin х и сos x, а число n называют показателем однородности.

Рассмотрим более подробно однородные уравнения с показателями однородности 1 и 2.

I) Сначала рассмотрим решение однородных тригонометрических уравнений первой степени, причём ю только самый общий случай, когда оба коэффициента а и в отличны от нуля, т. к., если а = 0, то уравнение принимает вид в × сos x = 0, т. е. сos x = 0 - такое уравнение отдельного обсуждения не заслуживает; аналогично при в = 0 получаем sin х = 0, что тоже не требует отдельного обсуждения. Итак, при n = 1 имеем уравнение а × sin х + в × сos x = 0 - это однородное уравнение первой степени, где а ≠ 0, в ≠ 0.

Разделив обе части уравнения почленно на сos x, получим уравнение равносильное данному: а × tg x + в = 0 или tg x = - , откуда х = - arctg + πn, n Î Z.

Необходимо помнить, что делить обе части уравнения на одно и то же выражение можно только в том случае, когда мы уверены, что это выражение нигде не обращается в нуль (на 0 делить нельзя!). Мы должны быть уверены в том, что сos x отличен от нуля. Предположим, что сos x = 0. Тогда однородное уравнение а × sin х + в × сos x = 0 примет вид а × sin х = 0, т. е.

sin х = 0 (ведь у нас коэффициент а отличен от нуля). Получается, что и сos x = 0, и sin х = 0, а это невозможно, т. к. sin х и сos x обращаются в нуль в различных точках. Итак, в однородном тригонометрическом уравнении первой степени деление обеих частей уравнения на сos x - вполне благополучная операция.

Уравнения вида а × sin mх + в × сos mx = 0 тоже называют однородными тригонометрическими уравнениями первой степени. Для их решения обе части уравнения делят на сos mx.

II) Рассмотрим теперь однородное тригонометрическое уравнение второй степени. При n = 2 имеем однородное уравнение вида а × sin² х + в × sin х ×

сos x + с × сos² x = 0.

Если коэффициент а отличен от нуля, т. е. в уравнении содержится член sin ² х с каким-то коэффициентом, рассуждая как и выше, нетрудно убедиться в том, что при интересующих нас значениях переменной сos x не обращается в нуль, а потому можно обе части уравнения разделить почленно на сos ²x. Что это даст?

Мы получим уравнение равносильное данному уравнению: а × tg² x + в × tg x + с = 0. Далее решение уравнения сводится к решению квадратного уравнения относительно tg x.

III) Пусть теперь в однородном тригонометрическом уравнении а × sin² х + в × sin х × сos x + с × сos² x = 0 коэффициент а равен 0, т. е. отсутствует член sin² х. Тогда уравнение принимает вид: в × sin х × сos x + с × сos² x = 0.

Это уравнение можно решить разложением на множители:

сos x(в × sin х + с × сos x) = 0,

сos x = 0 или в × sin х + с × сos x = 0.

Получилось два уравнения, о решении которых говорилось выше.

Аналогично обстоит дело и в случае, когда с = 0, т. е. когда однородное уравнение имеет вид а × sin² х + в × sin х × сos x = 0 (здесь можно вынести за скобки sin х).

Фактически получился алгоритм решения уравнения

а × sin² х + в × sin х × сos x + с × сos²x = 0:

1. Посмотреть есть ли в уравнении член а sin² х.

2. Если член а sin² х в уравнении содержится (т. е. а ≠ 0), то уравнение решается делением обеих его частей на сos² x и последующим введение новой переменной t = tg x.

3. Если член а sin² х в уравнении не содержится (т. е. а = 0), то уравнение решается методом разложения на множители: за скобки выносят сos x.

Также дело обстоит и в однородных уравнениях вида:

а × sin²mх + в × sin mх × сos mx + с × сos²mx = 0.

Хочется отметить, что некоторые уравнения, не являющиеся однородными, могут быть сведены к однородным после соответствующих преобразований.

№1.

4sin² х - sin 2x = 3.

Применим формулы: sin 2x = 2 sin x cos x, sin² х + сos² x = 1. Получим:

4sin² х - 2sin x cos x = 3(sin² х + сos² x),

4sin² х - 2 sin x cos x - 3sin² х - 3сos² x = 0,

sin² х - 2sin x cos x - 3сos² x = 0. Это однородное уравнение 2-ой степени. Разделим его на сos² x

tg² х - 2tg х - 3 = 0.

Пусть tg х = t, тогда: t² - 2 t - 3 = 0.

Так как а + с = в, то t₁ = - 1, t₂ = 3.

Если t = - 1, то tg х = - 1,

х = arctg (- 1) + πn, nÎ Z,

х_n = - + πn, n Î Z.

Если t = 3, то tg х = 3,

x_k = arctg 3 + πk, kÎ Z.

Ответ: х_n = - + πn, n Î Z, x_k = arctg 3 + πk, kÎ Z.

№2.

2sin² х = sin 2x.

Применим формулу sin 2x = 2 sin x cos x.

2sin² х - sin x cos x = 0,

2sin x(sin x - cos x) = 0,

2sin x = 0 или sin x - cos x = 0,

sin x = 0 tg х = ,

х_n = πn, n Î Z x_k = arctg + πk, kÎ Z,

x_k = + πk, kÎ Z.

Ответ: х_n = πn, n Î Z, x_k = + πk, kÎ Z.

3. Уравнения, решаемые разложением на множители

Как уже было сказано выше, одним из наиболее часто применяемых методов решения тригонометрических уравнений является метод разложения на множители. Поговорим теперь о нём.

Смысл этого метода таков: если уравнение f(х) = 0 возможно преобразовать к виду f₁(x) × f₂(x) = 0, то задача сводится к решению двух уравнений (обычно говорят - к решению совокупности уравнений): f₁(x) = 0; f₂(x) = 0.

№1.

tg² x - 3 tg x = 0,

tg x(tg x - 3) = 0,

tg x = 0 или tg x - 3 = 0,

х = arctg 0 + πn, n Î Z tg x = 3,

х_n = πn, n Î Z tg x = ,

х = arctg + πk, k Î Z,

х_k = + πk, k Î Z.

Ответ: х_n = πn, n Î Z, х_k = + πk, k Î Z.

№2.

sin 2х - сos x = 0,

2 sin х × сos x - сos x = 0,

сos x(2sin х - 1) = 0,

сos x = 0 или 2sin х - 1 = 0,

х_n = 2πn, n Î Z 2sin х = 1,

sin х = ,

х_k = (- 1)^k× + πk, k Î Z.

Ответ: х_n = 2πn, n Î Z, х_k = (- 1)^k× + πk, k Î Z.

№3.

сos 3x + сos x = 4сos 2x,

2сos × сos = 4сos 2x,

сos 2x × сos x - 2сos 2x = 0,

сos 2x(сos x - 2) = 0,

сos 2x = 0 или сos x - 2 = 0,

2х = 2πn, n Î Z сos x = 2,

х = πn, n Î Z корней нет, т.к. 2 Ï [- 1; 1].

Ответ: х = πn, n Î Z

Ι . Тригонометричні нерівності.

1. Нерівності виду а зручно розв'язувати за допомогою тригонометричного кола.

Треба пам'ятати:

1) Записуючи промежуток, стежать, щоб зліва було менше число, а справа - більше, що відповідає на колі руху проти годинникової стрілки;

2) Відповідь записують з урахуванням періоду;

3) Вісь Оу - вісь синусів, вісь Ох - вісь косинусів.

П

уриклад. Розв'язати нерівність: .

1

) Креслимо одиничне коло;

2

) Проводимо пряму ,

позначимо точки її перетину з колом, дугу,

яка відповідає розв'язку нерівності.

3) Записуємо відповідь.

2. Щоб розв'язати нерівності виду , слід позначити вираз через t і розв'язати одержану нерівність.

Приклад. Розв'язати нерівність:

Розв'язання

Зробимо заміну:

Розв'яжемо нерівність:

1

у) Проведемо пряму , позначимо точки її перетину з колом, дугу, яка відповідає розв'язку нерівності.

о

t

2) Нерівність задовольняють усі значення t подвійної нерівності

Тоді

Відповідь:

Довідковий матеріал з повторення

при вивченні теми

«Тригонометричні рівняння та нерівності»

(алгебра та початки аналізу, 10 клас)

1. Розкладання многочленів на множники.

1. Винесення спільного множника за дужки.

2. Спосіб групування.

3. Формули скороченого множення.

2. Лінійні рівняння.

Означення: Лінійними рівняннями зі змінною х називається рівняння виду ах = b, де а і b - дані числа.

Основні властивості рівнянь:

1. В будь-якій частині рівняння можна звести подібні доданки або розкрити дужки.

2. Будь-який член рівняння можна перенести із одної частини рівняння до іншої, змінивши його знак на протилежний.

3. Обидві частини рівняння можна помножити або поділити на одне і те ж число, відмінне від нуля.

Розв'язання лінійних рівнянь:

Приклади

1)

2)

3) ǿ

4)

3. Лінійні нерівності

Означення: Лінійною нерівністю з однією змінною х називається нерівність виду ax + b>0(ax + b <0), де а і b - дані числа.

Основні властивості нерівностей:

1. Якщо з однієї частини нерівності перенесемо в другу доданок з протилежним знаком, то одержимо нерівність, рівносильну даній.

2. Якщо обидві частини нерівності помножимо, або поділимо на одне й те ж додатне число, то одержимо нерівність, рівносильну даній.

3. Якщо обидві частини нерівності помножимо, або поділимо на одне й те ж від'ємне число, змінивши при цьому знак нерівності на протилежний, то одержимо нерівність, рівносильну даній.

Схема розв'язування лінійної нерівності

Приклади розв'язування лінійних нерівностей

1)

2)

3)

4)ǿ

4. Квадратні нерівності

Означення: Якщо лівою частиною нерівності є вираз ax² + bx + c, де а≠0, правою - нуль, то її називають квадратною нерівністю.

Розв'язування квадратної нерівності за допомогою графіків:

5. Метод інтервалів

1. Якщо на проміжку (а;в) функція y=f(x) визначена і не дорівнює нулю, то для всіх значень змінної х з цього проміжку вона зберігає свій знак.

2. Алгоритм розв'язування нерівностей методом інтервалів:
   - знайти D(f);
   - знайти нулі функції (х, для яких f(x)=0);
   - знайти та показати на координатній прямій ОХ проміжки , на яких функція зберігає знак;
   - записати розв'язок нерівності .

6. Функція.

Означення : залежність змінної у від змінної х називається функцією, якщо кожному значенню х ставиться у відповідність єдине значення у. Позначають y=f(x), х - незалежна змінна, аргумент, у - залежна змінна, функція.

1. Область визначення функції D(f) - множина значень , яких набуває змінна х.

2. Область значень функції Е(f) - множина значень, які набуває змінна у

3. Монотонність функції:
   Функція називається зростаючою(спадаючою), якщо більшому значенню аргументу ставиться у відповідність більше(менше) значення функції(для будь-яких значень х₁ і х₂ змінної х, взятих з області визначення функції і таких, що х₂>х₁, виконується нерівність f(x₂) > f(x₁)( f(x₂) 1))

4. Графіком функції f(x) називається множина всіх точок (х;у) координатної площини, де y=f(x), а х D(f)

5. Графічне розв'язування рівнянь f(x)=g(x)
   Алгоритм:
   1. Будуємо графіки функцій у= f(x), у= g(x)
   2. Знаходимо точки перетину цих графіків. Їх кількість - це кількість коренів рівняння
   3. Знаходимо корені рівнянь - абсциси точок перетину графіків

6. Основні елементарні функції шкільного курсу (див. «Алгебра, 7-9», авт. Г. П. Бевз, «Алгебра та початки аналізу, 10»,авт. ШкільМ. І. та ін.)
   у = kx = b - лінійная функція, графік - пряма,
   y = kx - пряма пропорційність, графік - пряма, що проходить через початок координат,
   y =k/x - обернена пропорційність, графік - гіпербола,
   y = x²; y = ax² + bx + c - квадратична функція, графік - парабола,
   y =x³ - кубічна функція (степенева з непарним показником 3), графік - кубічна парабола,
   y =- степенева функція з дробовим показником 1/2 , графік - частина параболи,
   y = sinx - тригонометрична функція, графік - синусоїда
   y = cosx - тригонометрична функція, графік - косинусоїда
   y = tgx - тригонометрична функція, графік - тангенсоїда
   y = ctgx - тригонометрична функція, графік - тангенсоїда
   y =x^α - степенева функція

7. Побудова графіків з допомогою геометричних перетворень

1. Щоб побудувати графік функції y=кf(x), треба графік функції y=f(x) розтягнути від осі ОХ в к разів, якщо к >1, або стиснути його в к разів до осі ОХ, якщо 0 <к <1

2. Щоб побудувати графік функції y=f(x)+п, треба графік функції y=f(x) перенести на п одиниці у напрямку осі ОУ, якщо п >0, або в протилежному напрямку, якщо п <0.

3. Щоб побудувати графік функції y=f(x-m), треба графік функції y=f(x) перенести на m одиниць у напрямку осі ОХ , якщо m >0, або на - m одиниць у протилежному напрямку, якщо m <0

4. Щоб побудувати графік функції треба графік функції y=f(аx) (а >0), треба графік функції y=f(x) стиснути до осі ОУ в а разів при а >1, або розтягнути від осі ОУ в 1/а разів, якщо 0 <а <1.

5. Щоб побудувати графік функції y=-f(x), треба графік функції y=f(x) відобразити симетрично осі ОХ

6. Щоб побудувати графік функції y=f(-x), треба графік функції y=f(x) відобразити симетрично осі ОУ

7. Щоб побудувати графік функції y=|f(x)|, треба відобразити симетрично осі ОХ частину графіка функції y=f(x), що лежить нижче осі ОХ. Об'єднання побудованих графіків, що знаходяться вище осі (або на ній), є графіком функції y=|f(x) |

8. Щоб побудувати графік функціїy=f(|x|), треба відобразити графік функції y=f(x) (х≥0), симетрично осі ОУ. Об'єднання побудованих графіків є графіком функції y=f(x)

8. Системи рівнянь

1. Якщо необхідно знайти спільний розв'язок двох або декількох рівнянь, говорять, що ці рівняння утворюють систему.

2. Розв'язком системи називають спільний розв'язок всіх її рівнянь

3. Розв'язати систему рівнянь - це значить знайти множину всіх її розв'язків.

Аналітичні способи розв'язування систем рівнянь

1. Спосіб підстановки
   Алгоритм:
   1) виразити з будь-якого рівняння одну змінну через другу;
   2)підставити в друге рівняння системи замість цієї змінної одержаний вираз;
   3) розв'язати одержане рівняння з однією змінною;
   4) знайти відповідне значення другої змінної.

2. Спосіб складання полягає в тому, що одне з рівнянь системи замінюють їх сумою. Так розв'язують системи, у яких коефіцієнти при будь-якій змінній - протилежні числа.
   Алгоритм:
   1) примінивши властивості рівносильних рівнянь, звести систему до виду, зручного для примінення способу складання;
   2) замінити в системі одне з рівнянь сумою;
   3) розв'язати одержане рівняння з однією змінною;
   4) знайти відповідне значення другої змінної.

9. Тригонометричні функції

Означення тригонометричних функцій

х

у

0ох

«+»

«-»

ордината точки

на тригонометричному

колі (R=1).

абсцисса точки

на тригонометричному

колі.

Знаки тригонометричних функцій

+

+

+

+

+

+

_

_

_

_

_

_

I

II

IV

III

III

III

I

I

II

IV

IV

II

Парність та непарність

Парна

Непарні

Обмеженість тригонометричних функцій

обмежені

необмежені

Значення тригонометричних функцій деяких кутів

Пам'ятаємо, що Пам'ятаємо, що

«синус - ордината»! «косинус - абсциса»!

не існує

не існує

не існує

не існує

10. Деякі значення тригонометричних функцій.

11. Формули зведення.

Поелементний аналіз навчальних досягнень учнів з теми та повторення з цієї теми

№довідки

Контрольні моменти

№п/п

Рівні

10 Клас Тригонометричні рівняння та нерівності.

І І .2

Розпізнання обернених тригонометричних функцій

1

І рівень (1б. - 3б.)

І І.1

Знаходження табличних значень обернених тригонометричних функцій

2

І І І .1,2,3,4

Розв'язування однокрокових найпростіших тригонометричних рівнянь за допомогою вчителя або за зразком

3

І І І .2

Розв'язування рівняння sin x = a

4

І І І .1

Розв'язування рівняння cos x = a

5

І І І .3

Розв'язування рівняння tg x = a

6

І І І .4

Розв'язування рівняння ctg x = a

7

І .1,2,

Розв'язування найпростіших тригонометричних нерівностей за допомогою вчителя або за зразком

8

І І .2

Означення обернених тригонометричних функцій

1

ІІ рівень (4б. - 6б.)

І І .2

Властивості обернених тригонометричних функцій

2

І І.1

Знаходження табличних значень обернених тригонометричних функцій

3

І І.2

Знаходження області визначення елементарних обернених тригонометричних функцій

4

І І.2

Знаходження області значень елементарних обернених тригонометричних функцій

5

І І І .1,2,3,4

Застосування формул загального розв'язку найпростіших тригонометричних рівнянь

6

І І І .1,2,3,4

Застосування частих випадків при розв'язанні найпростіших тригонометричних рівнянь

7

І І І .4

Розв'язування тригонометричних рівнянь алгебраїчним способом

8

І .1

Розв'язування тригонометричних рівнянь, що зводяться до квадратних

9

І .2

Розв'язування однородних тригонометричних рівнянь 1-го ступеня

10

І .1

Заміна аргумента в тригонометричних нерівностях

11

І .1

Застосування одиничного кола для розв'язку найпростіших тригонометричних нерівностей

12

І .1

Застосування графічного способу розв'язання найпростіших тригонометричних нерівностей

13

І І .2

Означення обернених тригонометричних функцій

1

ІІІ рівень (7б. - 9б.)

10 Клас Тригонометричні рівняння та нерівності.

І І .2

Властивості обернених тригонометричних функцій

2

І І.1

Знаходження табличних значень обернених тригонометричних функцій

3

І І.2

Знаходження області визначення обернених тригонометричних функцій

4

І І.2

Знаходження області значень обернених тригонометричних функцій

5

І І .2

Побудова графіків елементарних обернених тригонометричних функцій

6

І І .2

Побудова графіків обернених тригонометричних функцій за допомогою геометричних перетворень

7

І І І .4

Розв'язування найпростіших тригонометричних рівнянь

8

І І І .1,2,3,4.

Застосування формул загального розв'язку найпростіших тригонометричних рівнянь

9

І І І .1,2,3,4.

Застосування частих випадків при розв'язанні найпростіших тригонометричних рівнянь

10

І І І

Застосування тригонометричних тотожностей для розв'язування тригонометричних рівнянь та нерівностей

11

11.

Застосування формул зведення для розв'язування тригонометричних рівнянь та нерівностей

12

І . 1.

Розв'язування тригонометричних рівнянь шляхом зведення до однієї тригонометричної функції

13

І .2.

Розв'язування тригонометричних рівнянь способом розкладання на множники

14

І І . 1.

Розв'язування тригонометричних рівнянь, що зводяться до квадратних

15

10 Клас Тригонометричні рівняння та нерівності.

І.1

Заміна аргумента в тригонометричних нерівностях

16

І.1

Застосування одиничного кола для розв'язку тригонометричних нерівностей

17

І.1

Застосування графічного способу розв'язання тригонометричних нерівностей

18

Додаткова

інформація

Розв'язування систем, які складаються з тригонометричного і алгебраїчного рівнянь

19

8

Перехід до рівносильної системи рівнянь

20

І.1,2.

Вміння розв'язувати тригонометричні рівняння, нерівності та системи, що зводяться до простіших шляхом нескладних перетворень

21

І І .2

Означення обернених тригонометричних функцій

1

ІV рівень (10б. - 12б.)

І І .2

Властивості обернених тригонометричних функцій

2

І І.1

Знаходження табличних значень обернених тригонометричних функцій

3

І І.2

Знаходження області визначення обернених тригонометричних функцій

4

І І.2

Знаходження області значень обернених тригонометричних функцій

5

І І .2

Застосування умови існування обернених тригонометричних функцій

6

І І .2

Побудова графіків обернених тригонометричних функцій за допомогою геометричних перетворень

7

І І І .4

Розв'язування найпростіших тригонометричних рівнянь

8

І І І .1,2,3,4.

Застосування формул загального розв'язку найпростіших тригонометричних рівнянь

9

І І І .1,2,3,4.

Застосування частих випадків при розв'язанні найпростіших тригонометричних рівнянь

10

І І І

Застосування тригонометричних тотожностей для розв'язування тригонометричних рівнянь та нерівностей

11

І І І

Застосування формул зведення для розв'язування тригонометричних рівнянь та нерівностей

12

11.

Розв'язування тригонометричних рівнянь шляхом зведення до однієї тригонометричної функції

13

І . 1.

Розв'язування тригонометричних рівнянь способом групування та способом розкладання на множники

14

І .2.

Розв'язування тригонометричних рівнянь, що зводяться до квадратних

15

І І . 1.

Розв'язування однородних тригонометричних рівнянь та рівнянь, які до них зводяться

16

І.1

Відбір коренів тригонометричних рівнянь у відповідності вказаному проміжку

17

Додаткова

інформація

Розв'язування тригонометричних рівнянь за допомогою метода допоміжного кута

18

Додаткова

інформація

Розв'язування тригонометричних рівнянь за допомогою метода оцінки обох частин

19

Додаткова

інформація

Розв'язування ірраціональних тригонометричних рівнянь

20

8

Розв'язування тригонометричних рівнянь, які містять модуль

21

І.1,2.

Розв'язування тригонометричних рівнянь графічним методом

22

Додаткова

інформація

Розв'язування рівнянь з оберненими тригонометричними функціями

23

І.1

Заміна аргумента в тригонометричних нерівностях

24

І.1

Застосування одиничного кола для розв'язку тригонометричних нерівностей

25

І.1

Застосування графічного способу розв'язання тригонометричних нерівностей

26

8

Розв'язування систем, які складаються з тригонометричного і алгебраїчного рівнянь

27

8

Розв'язування систем, які складаються тільки з тригонометричних рівнянь

28

І.1,2.

Перехід до рівносильної системи рівнянь

29

Додаткова

інформація

Розв'язування нестандартних тригонометричних рівнянь, нерівностей та їх систем

30

1

Розкладання многочлена на множники

1

Повторення

10 Клас Тригонометричні рівняння та нерівності.

2

Лінійні рівняння

2

3

Розв'язування нерівностей

3

4

Квадратні нерівності

4

5

Метод інтервалів

5

6

Функція

6

7

Перетворення графіків функцій

7

8

Системи рівнянь

8

9

Тригонометричні функції

9

10

Табличні значення тригонометричних функцій

10

11

Формули зведення

11

Поелементний аналіз завдань

1-3(ТКР) відповідно до рівнів навчальних досягнень.

10 клас. ТКР Тригонометричні рівняння та нерівності.

Варіант 1