Методическая разработка Арифметические действия в позиционных системах счисления

Министерство образования Тверской области

ГБПОУ «Ржевский колледж»

Преподаватель: Петрова А. Н.

1. Краткие теоретические сведения и основные правила

• Позиционной системой счисления (п.с.с.) называют такую систему счисления, в которой значимость (вес) каждой цифры в числе зависит от ее положения в данном числе.

• Основание системы счисления - это количество букв и других символов, необходимых для записи числа в данной системе счисления. Например:

В компьютерной технике основными п.с.с. являются: двоичная, восьмеричная, десятичная, двоично-десятичная и шестнадцатеричная п.с.с.

Компьютерная грамотность предполагает знание арифметических основ ЭВМ, к которым относятся основы п.с.с., умение оперировать с числами в разных системах счисления и умение производить арифметические действия (сложение, вычитание, умножение, деление) над числами в разных системах счисления.

• Правило перевода целого десятичного числа в q-ичное:

Ч

35₁₀ à X₁₆тобы целое десятичное число перевести в q-ичное надо целое десятичное число делить нацело на основание q до тех пор, пока не получится число меньшее q. Например,

12₁₀  X₂:

12₁₀ =1100₂

12₁₀ à X₈

35₁₀ =23₁₆

12

12₁₀ =14₈

• Правило перевода q-ичного числа в десятичное:

Чтобы q-ичное число перевести в десятичное надо q-ичное число записать в виде многочлена по основанию q и соответствующим степеням:

• Для q-ичной дроби справедливо:

степени

….3 2 1 0 , -1 -2 -3 ….

 , 

Например:

111,11₂X₁₀ =1*2²+1*2¹ +1*2⁰+1*2^-1+1*2^-2 =

=4+2+1+0,5+0,25 =7,75₁₀

• Правило перевода целого десятичного числа в двоичное методом разностей.

П

1110100100000₂рименяется, как правило, для больших значений целого десятичного числа, например: 7456₁₀ X₂=

2⁰ =

1

2¹=

2

2²=

4

2³=

8

2⁴=

16

2⁵=

32

2⁶=

64

2⁷=

128

2⁸=

256

2⁹=

512

2¹⁰=

1024

2¹¹=

2048

2¹²=

4096

2¹³=

8192

2¹⁴=

16384

2¹⁵=

32768

И т.д.

=2¹² + 2¹¹ +2¹⁰ + 2⁸ + 2⁵ =

7456₁₀

4096

3360

2048

1312

1024

288

256

32

32

0

Отсутствующие степени заменяются нулевыми значениями !!!

• Правило продвижения цифр в алфавитах позиционных систем счисления (п.с.с.) - «ПРАВИЛО ОБЩЕГО СЧЕТА»

Продвижением цифры в алфавите любой п.с.с. называется замена ее следующей цифрой в алфавите в сторону возрастания. Например, продвижение 0 в десятичной с.с. означает замену его на 1. При этом следует знать, что при продвижении старшей цифры в алфавите любой п.с.с., эта старшая цифра заменяется 0 и продвигается слева стоящая от нее цифра. Например:

В 10-тичной с.с. - 9,10, ……19,20 …

В 2-ичной с.с. - 0,1,10,11,100,101,110,…..

В 3-ичнойс.с. - 0,1,2,10,11,12,20,…..

В 8-ричной с.с. - 0,1,2,….,7,10,11,….,17,20,21,….

В 16-ричной с.с. -0,1,……E,F,10,…..,1F,20,…

• Правило n двоичных разрядов

В n двоичных разрядах можно записать 2ⁿ двоичных последовательностей

• Правило перевода 2-ичного числа в 8-ричное

Алфавит 8-ричной системы {0,1,2,3,4,5,6,7} обуславливает необходимость трех двоичных разрядов для записи цифр от 0 до 7:

10-тичная

8-ричная

Три двоичных разряда называются двоичной триадой2-ичная

0

0

000

1

1

001

2

2

010

3

3

011

4

4

100

5

5

101

6

6

110

7

7

111

Для перевода 2-ичного числа в 8-ричное надо:

а) сгруппировать по двоичным триадам (справа налево) целую часть 2-ичного числа (в недостающие разряды дописать незначащие 0);

б) сгруппировать по двоичным триадам (слева направо) дробную часть 2-ичного числа (в недостающие разряды дописать значащие 0);

в) под каждой триадой подписать цифры из алфавита 8-ричной системы.

Например: 1101101,1101₂  X₈ ==155,64₈

Группируем:

1100

101

101

• Правило перевода 2-ичного числа

Алфавит 16-ричной системы {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,А,B,C,D,F} обуславливает необходимость четырех двоичных разрядов для записи цифр от 0 до 15:

10-тичная

16-ричная

Четыре двоичных разряда называются двоичной тетрадой2-ичная

0

0

0000

1

1

0001

2

2

0010

3

3

0011

4

4

0100

5

5

0101

6

6

0110

7

7

0111

8

8

1000

9

9

1001

10

A

1010

11

B

1011

12

C

1100

13

D

1101

14

E

1110

15

F

1111

Для перевода 2-ичного числа в 8-ричное надо:

а) сгруппировать по двоичным тетрадам (справа налево) целую часть 2-ичного числа (в недостающие разряды дописать незначащие 0);

б) сгруппировать по двоичным тетрадам (слева направо) дробную часть 2-ичного числа (в недостающие разряды дописать значащие 0);

в) под каждой тетрадой подписать цифры или символы из алфавита 16-ричной системы.

Например: 1101101,11011₂ X₁₆ =

Группируем:

1101,1101

=6D,D8₁₆

• Правило вычитания q-ичных чисел.

Реализуется аналогично правилам 10-тичной системы, например:

• Правило сложения q-ичных чисел.

• Правило сложения q-ичных чисел.

Реализуется аналогично правилам 10-тичной системы, например:

• Правило деления q-ичных чисел.

Реализуется аналогично правилам 10-тичной системы, например:

1

11001₂ : 101₂21₁₀ :11₁₀ =11₁₀

• Правило умножения q-ичных чисел.

Реализуется аналогично правилам 10-тичной системы, например:

+

2F₁₆

3A₁₆

1D6

8D

AA6₁₆

1)F*A=150₁₀X₁₆ =96₁₆

 6 9

2)2*10+9=29₁₀X₁₆ =1D

D 1

3)0+1

Аналогично:

3*2F=8D

Выравниваем разряды:

И поразрядно складываем 1D5

+

8D0

AA6₁₆

II ПРИМЕР РЕАЛИЗАЦИИ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ В СМЕШАННЫХ П.С.С.

Вариант 1

1. Вычислить в 8-ричной с.с., Проверить в 16-ричной и 10-тичной с.с. 43422₈ + 6346₁₀ - 3374₁₆

6346₁₀ = 14312₈ = 18CA₁₆ I₈) 43422₈

13172₁₀ = 31564₈ = 3374₁₆ 14312₈

18194₁₀ = 43422₈ = 4712₁₆ 57734₈ = 5FDC₁₆= 24540₁₀

II₈)

1)4-4=0 2) 8+3-6=5_ I₁₆) 4712₁₆

57734₈ + 18CA₁₆

31564₈ 5FDC₁₆ =57734₈ =24540₁₀

26150₈ =2C68₁₆ =11368₁₀

II₁₆) 5FDC₁₆

337 4₁₆

2C68₁₆ = 26150₈ = 11368₁₀

I₁₀) 18194₁₀ II₁₀) 24540₁₀

6346₁₀ 13172₁₀

24540₁₀ = 57734₈ =5FDC₁₆ 11368₁₀ = 26150₈ = 2C68₁₆

2. Записать числа в 16-ричной, 8-ричной и 10-тичной с.с.

а)111000,10111₂  111 000, 101 110₂  0011 1000, 1011 1000₂=

=70,56₈ =38,B8_{16 =} 56,72₁₀

б) 101000,11001₂  101 000,110 010₂  0010 1000, 1100 1000₂ =

=50,62₈ =28,C8₁₆= 40,78₁₀

в) 101011,00101₂  101 011 ,001 010₂ 0010 1011,0010 1000₂ =53,12₈ =2B,28₁₆ = =43,16₁₀

3. Вычислить: FBDB₁₆ * 5FC₁₆ Записать результат в двоичной с.с.

Выполнить проверку в 8-ричной и 10-тичной с.с.

I

1) C*B = 12*11=132  84₁₆ =4⁸ 2)C*D=12*13 +8=164 =A4 4^A

3) C*B+10=142=8E₁₆E⁸ 4)C*F= 12*15+8=BC

1)F*B=15*11=165=A5₁₆5^A 2)F*D+10=205=CDD^C

3)F*B+12=177₁₆=B11^B 4)F*F+11=236=EC₁₆

1)5*B=55=37₁₆7³ 2)5*D+3=68=44₁₆4⁴

3) 5*B+4=59=3B₁₆B³ 4)5*F+3=78=4E₁₆

00BCE44₁₆

0EC1D50₁₆

F7EB94₁₆

4EB4700₁₆

5E33294₁₆=570631224₈

=98775700₁₀₁₆) FBDB₁₆

* 5FC₁₆

00BCE44

0EC1D50

4EB4700

5E33294₁₆

=101111000110011001010010100₂ =98775700₁₀

64475₁₀ * 1532₁₀ = 98775700₁₀

I₈) FBDB₁₆ = 175733₈ = 64475₁₀ 5FC₁₆ = 2774₈ =1532₁₀

1)4*3=12=14₈4¹ 2) 4*3+1=13 =15₈5¹ 3)4*7+1=2935₈->5³

4)4*5+3=23= 27₈->7² 5)4*7+2=30=36₈->6³ 6)4*1+3=7₈

1)7*3=21=25₈ ->5² 2) 7*3+2=23=27₈ ->7² 3)7*7+2=51= 63₈->3⁶

4)7*5+6=41= 51₈->1⁵ 5)7*7+5=54= 66₈->6⁶ 6)7*1+6=13=15₈

1)7*3=21=25₈ ->5² 2) 7*3+2=23=27₈ ->7² 3)7*7+2=51= 63₈->3⁶

4)7*5+6=41= 51₈->1⁵ 5)7*7+5=54= 66₈->6⁶ 6)7*1+6=13=15₈

1)2*3=6₈ 2)2*3=6₈ 3) 2*7=14=16₈ ->6¹

4)2*5+1=11=13₈->3¹ 5) 2*7+1=15=17₈ ->7¹ 6)2*1+1=3

000767554₈

015613750₈

016603524₈

156137500₈

174743224₈

373666000₈

570631224₈

175733₈

* 2774₈

000767554

015613750

156137500

373666000

570631224₈

= 101111000110011001010010100₂ = 98775700₁₀

4. Вычислить: 10011₂ * 110₂ Записать результат в десятичной с.с

Выполнить проверку в 8-ричной с.с.

10011₂ = 23₈ 110₂ =6₈

23₈

* 6₈

162₈

=1110010₂ =2⁶+2⁵+2⁴+2¹=64+32+16+2=114₁₀

10011₂

1) 6*3 =18₁₀ = 22₈ -> 2²

2) 6*2+2 = 14₁₀ =6¹₈

3) 0+1=1* 110₂

010011

100110

1110010₂ = 114₁₀

5. Перевести в 16-ричную, 8-ричную и 2-ичную с.с.:

а) 0,15₁₀ =0,001₂ = 0,1₈ =0,2₁₆

б) 0,17₁₀ = 0,00101₂ =0,12₈ =28₁₆

0,17₁₀

*2

0 34

*2

0 68

*2

1 36

*2

0 72

*2

1 44

0,15₁₀

*2

0 30

B) 0,34₁₀ = 0,01010₂ =0,24₈ =0,5₁₆

0,34

*2

0 68

*2

1 36

*2

0 72

*2

1 44

*2

0 88

*2

0 60

*2

1 20

*2

0 40

*2

0 80

Литература:

1. Левин А. Самоучитель работы на компьютере. - М.: Нолидж, 2000;

2. Шауцукова, Информатика 10-11 класс;

3. Макаренко А.Е., Готовимся к экзамену по информатике.- М.: Айрис-пресс, 2002