Практическая работа Определение промаха при измерении величин

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОМАХА ПРИ ИЗМЕРЕНИИ ВЕЛИЧИН

Цель: научиться осуществлять наблюдение и определять среднее значение параметров, измеренных в течение опыта

2.1 Понятие о природе экспериментальных ошибок

В процессе наладочных работ и эксплуатации теплотехни­ческого обору-дования приходится измерять различные вели­чины (температуру, расход, сос-тав продуктов горения и т. д.). При измерении любой величины мы никогда не получаем ее истинного значения, так как результаты любых измерений со­дер-жат погрешность. В результате измерений удается получить лишь прибли-женное значение измеряемой величины. Под из­мерением понимают сравнение измеряемой величины с другой величиной, принятой за единицу измерения.

При наладке и испытании теплотехнического оборудования выполняют прямые и косвенные измерения. При прямых изме­рениях определяемая вели-чина сравнивается с единицей изме­рения непосредственно или при помощи измерительного при­бора, например при измерении длины линейкой, проме-жутков времени секундомером, температуры каким-либо термоприем­ником. При косвенных измерениях определяемая величина вы­числяется на основании прямых измерений, например потеря тепла с уходящими газами определяется по измеренной темпе­ратуре и составу уходящих газов.

При различных экспериментальных работах очень важно правильно выб-рать класс точности используемых измеритель­ных приборов. Под точностью прибора понимают его свойство, характеризующее степень приближения по-казаний данного прибора к действительным значениям измеряемой величины. Обычно точность прибора задается классом точности прибора или указы-вается в его паспорте. Очевидно, что чем точнее прибор, тем меньше его по-грешность и выше стоимость. Поэтому при планировании экспериментальных работ и выборе приборов для их выполнения анализ ошибок должен быть на пер­вом плане.

При измерении любой физической величины обычно прихо­дится выпол-нять следующие операции: проверку и установку приборов, отсчет их показа-ний, обработку результатов измере­ний и оценку погрешности.

Погрешности измерений определяются разностью измерен­ной и истин-ной величин и зависят от ряда причин. Погрешно­сти разделяются на две груп-пы: систематические и случайные (погрешности, вызванные неисправностью прибора или не­брежностью экспериментатора, не рассматриваются).

Систематические погрешности обусловлены ограниченной точностью прибора, неправильным выбором метода измерения, неправильной установкой прибора или недоучетом некоторых внешних факторов, например теплооб-мена калориметра с внеш­ней средой при определении теплоты сгорания топ-лива. Таким образом, систематическая погрешность наблюдается в тех слу­чаях, когда среднее значение последовательных отсчетов от­клоняется от из-вестного точного значения и продолжает от­клоняться независимо от числа по-следовательных отсчетов. Пусть, например, при измерении частоты вращения электро­двигателя среднее значение получилось равным 950 об/мин, а эталон-ное значение или значение, полученное при калибровке тахометра, 1000 об/мин. Из этих данных можно сделать вывод, что тахометр неточен, даже если при измерении был малый разброс показаний. Определение систематиче-ской погрешности может быть произведено калибровкой прибора или его по­веркой.

Случайные погрешности обусловлены большим числом раз­личных слу-чайных причин и имеют место, когда при последо­вательных измерениях по-стоянной величины получают различ­ные численные значения этой величины. Случайные погрешно­сти вызываются вибрацией, незначительным движением воздуха, явлением параллакса и т. д. Погрешность от параллакса про­является при неточном расположении глаз наблюдателя по от­ношению к шкале или указателю прибора (или уровню рабо­чей жидкости прибора). Случайную по-грешность, даже если известно, что она имеется, никогда нельзя исключить и опре­делить ее абсолютное значение по одному измерению. Однако математи-ческая теория случайных явлений позволяет умень­шить влияние этих погреш-ностей и разумно установить их зна­чение.

При экспериментальных работах следует учитывать, что если случайная погрешность, полученная по данным измере­ний, окажется значительно мень-ше погрешности, определяемой точностью прибора, то нет смысла пытаться еще уменьшить случайную погрешность, так как результаты измерений от этого не станут точнее. Наоборот, если случайная погрешность больше при-борной ( систематической ), то измерения следует произвести несколько раз, чтобы уменьшить случайную по­грешность данной серии измерений и сделать эту погрешность меньше погрешности прибора или одного порядка с ней.

Существенным этапом любых экспериментов является пер­вичная обра-ботка результатов наблюдений, которая состоит в разметке результатов наб-людений и определении средних значений параметров, измеренных в течение опыта. Целью раз­метки является обнаружение и исключение ошибочных из-мерений или измерений, которые вызывают сомнения. Редкий эксперимент обходится без того, чтобы не появилось хотя бы одно резко выделяющееся значение. Наличие такой грубой по­грешности (промаха) может заметно иска-зить среднее значе­ние измеряемой величины. Поэтому из окончательного ре-зуль­тата необходимо этот промах исключить. Обычно промах имеет значение, резко отличающееся от других. Однако это отклоне­ние от других результатов измерений не дает еще права ис­ключить это измерение, пока не проверено, не является ли это отклонение следствием статистического разброса.

Для выявления промахов применяется критерий

где ап - наибольшее значение измеренной величины в серии из п измерений;

- среднее значение измеренной величины в серии из п измерений;

- выборочная дисперсия (ко­рень квадратный из выборочной дисперсии

определяет сред­нюю квадратическую погрешность отдельного изме-

рения).

Выборочная дисперсия определяется уравнением

где п - число измерений.

В таблице 2.1 приведены максимальные возможные значения критерия v, возникающие вследствие статистического разброса, соответствующие задан-ной надежности. Из таблицы ясно, что вероятность больших отклонений, воз-никающих вследствие ста­тистического разброса, растет при увеличении числа измерений.

Если значение критерия v, подсчитанного для резко выде­ляющегося из-мерения, окажется больше максимального воз­можного vмакс , определенного из таблицы 2.1, то данное измере­ние можно считать промахом и следует исклю-чить при под­счете среднего значения. Наоборот, если v<vмакс, то резко выделя- ющееся измерение является следствием статистического разброса и нет осно-вания считать его промахом. В этом случае оно не исключается при подсчете среднего значения.

Таблица 2.1 - Значения v в зависимости от числа измерений п

и надежности β

v

при β, равном

п

v

при β, равном

п

0,90

0,95

0,99

0,90

0,95

0,99

4

1,64

1,69

1,72

29

2,60

2,78

3,14

5

1,79

1,87

1,96

30

2,61

2,79

3,16

6

1,89

2,00

2,13

31

2,62

2,80

3,17

7

1,97

2,09

2,26

32

2,63

2,82

3,18

8

2,04

2,17

2,37

33

2,65

2,83

3,20

9

2,10

2,24

2,46

34

2,66

2,84

3,21

10

2,15

2,29

2,54

35

2,67

2,85

3,22

11

2,19

2,34

2,61

36

2,68

2,86

3,24

12

2,23

2,39

2,66

37

2,69

2,87

3,25

13

2,26

2,43

2,71

38

2,70

2,88

3,26

14

2,30

2,46

2,76

39

2,71

2,89

3,27

15

2,33

2,49

2,80

40

2,72

2,90

3,28

16

2,35

2,52

2,84

41

2,73

2,91

3,29

17

2,38

2,55

2,87

42

2,74

2,92

3,30

18

2,40

2,58

2,90

43

2,74

2,93

3,31

19

2,43

2,60

2,93

44

2,75

2,94

3,32

20

2,45

2,62

2,96

45

2,76

2,95

3,33

21

2,47

2,64

2,98

46

2,77

2,96

3,34

22

2,49

2,66

3,01

47

2,78

2,96

3,35

23

2,50

2,68

3,03

48

2,78

2,97

3,35

24

2,52

2,70

3,05

49

2,79

2,98

3,36

25

2,54

2,72

3,07

50

2,80

2,99

3,37

26

2,55

2,73

3,09

51

2,81

2,99

3,38

27

2,57

2,75

3,11

52

2,81

3,00

3,39

28

2,58

2,76

3,12

53

2,82

3,01

3,40

2.2 Примеры расчета промаха

Пример 1.

Методику выявления промаха рассмотрим на конкретном примере. Пусть в результате анализа продуктов горения полу­чены значения RO2, указанные во втором столбце следующей таблицы 2.2.

Таблица 2.2 - Результаты расчета

Измерение

(RO2)i

(RO2) i -

[(RO2)i - ]²

1

10,4

0,0

0,00

2

10,2

-0,2

0,04

3

10,3

-0,1

0,01

4

10,1

-0,3

0,09

5

11,0

+0,6

0,36

6

10,5

+0,1

0,01

Сумма

62,5

+0,1

0,51

Среднее значение = 62,5/6=10,4.

Определяем величину

отсюда

Подсчитаем величину

.

Из таблицы 1 находим для n = 6 и надежности β = 0,95 зна­чение

vмакс =2,00.

Ясно, что v5 > vмакс. Это означает, что пятое измерение ( RО2= 11,0) явля-ется промахом и его следует ис­ключить при подсчете среднего значения. Та-ким образом, сред­нее значение

RО2 будет 51,5/5= 10,3.

Пример 2.

Таблица 2.3 - Данные для расчета.

Измерение

1

2

3

4

5

Величина

70

72

71,9

81

70

Определить величину прохода υ при β=0,95.

Для выявления промахов применяется критерий

,

где - наибольшее значение измерений величины в серии из n измерений;

- среднее значение измерений величины в серии из n измерений;

- выборочная дисперсия;

Выборочная дисперсия определяется уравнением

,

где n- число измерений

Находим среднее значение измерений величины

.

Составим таблицу 2.4.

Измерение

1

70

-2,98

8,8804

2

72

-0,98

0,9604

3

71,9

-1,08

1,1664

4

81

8,02

64,3204

5

70

-2,98

8,8804

Сумма

364,9

0

84,208

Определяем величину

,

отсюда

.

Подсчитываем величину

.

Из таблицы 2.1 находим для n =5 из надежности β=0,95 значение = 1,87.

Ясно что . Это означает, что четвертое измерение =81 является промахом и его следует исключить при подсчете среднего значения.

Таким образом, среднее значение будет 283,9/4=70,975