Творческая работа. Способы быстрого умножения

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1. УМЕНИЕ БЫСТРО СЧИТАТЬ - ФЕНОМЕН ИЛИ НАВЫК . . . . . . . . 3

2. ПРИЕМЫ УСТНОГО СЧЕТА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

   1. УМНОЖЕНИЕ ЧИСЕЛ НА 11 ПО Я.ТРАХТЕНБЕРГУ. . . . . . . . . . . . . 4

   2. УМНОЖЕНИЕ ЧИСЕЛ НА 12 ПО Я.ТРАХТЕНБЕРГУ. . . . . . . . . . . . . 4

   3. УМНОЖЕНИЕ ЧИСЕЛ ОТ 10 ДО 20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

   4. ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ ЧИСЕЛ, ОКАНЧИВАЮЩИХСЯ ЦИФРОЙ 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

   5. УМНОЖЕНИЕ ЧИСЕЛ, У КОТОРЫХ ЧИСЛО ДЕСЯТКОВ ОДИНАКОВОЕ, А СУММА ЕДИНИЦ РАВНА 10. . . . . . . . . . . . . . . . 6

   6. УМНОЖЕНИЕ ЧИСЕЛ, БЛИЗКИХ К 100. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

   7. ПОЛЕЗНО ЗАПОМНИТЬ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3. ЭКСПЕРИМЕНТ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

ВЫВОДЫ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

ЛИТЕРАТУРА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

ВВЕДЕНИЕ

Математику уже за то любить следует,

что она ум в порядок приводит

М.Ломоносов

В учебнике математика - 5 класс (авторы С.М. Никольский и др.) очень много внимания уделяется устному счету. Мне всегда нравилась математика. Приемы быстрого счета давались довольно легко. Но чем больше мы познаём математику, тем больше мне хочется узнать о том, как можно научиться считать быстро и правильно, не прибегая к использованию калькулятора.

В наш век умение быстро и правильно производить в уме достаточно сложные вычисления, не прибегая к вычислительным устройствам, остается полезным навыком. Гибкость ума является предметом гордости людей, а способность быстро производить в уме вычисления вызывает откровенное удивление. Такие навыки помогают человеку в учёбе, в повседневной жизни и профессиональной деятельности. Кроме того, быстрый счёт - настоящая гимнастика для ума, приучающая в кратчайшее находить время хорошие и нестандартные решения.

Цель работы: изучить, систематизировать и апробировать приемы устного счета.

Задачи:

• собрать информацию по рассматриваемой теме;

• выделить основные приемы устного счета;

• апробировать на конкретных примерах изученные приемы;

• познакомить одноклассников с приемами устного счета;

• провести эксперимент «Влияние приемов устного счета на скорость и качество выполнения задания»

1. УМЕНИЕ БЫСТРО СЧИТАТЬ - ФЕНОМЕН ИЛИ НАВЫК

Способность быстро считать известна с давних пор. Есть люди, обладающие поразительными математическими способностями. Они с легкостью перемножают в уме многозначные числа, словно в их мозг вмонтирован микрокалькулятор. Такими умениями обладали многие ученые. Например, Карл Гаусс. Уже в двухлетнем возрасте мальчик проявил свои способности. В три года он умел читать и писать, даже исправлял счётные ошибки отца.

Однако, умением быстро считать обладали и другие люди, чья профессия была далека от математики и науки в целом.

До второй половины XX века на эстраде были популярны выступления специалистов в устном счёте. Иногда они устраивали показательные соревнования между собой. Известными российскими «суперсчетчиками» являются Арон Чиквашвили, Давид Гольдштейн, Юрий Горный, зарубежными - Борислав Гаджански, Вильям Клайн, Томас Фулер и другие.

Может ли обычный человек овладеть такой феноменальной способностью? Что ему для этого необходимо знать и уметь?

Разработкой приёмов быстрого счёта занимались ученые: Яков Исидорович Перельман, Георгий Берман и другие.

Подробную систему резкого повышения быстроты устного счёта создал в годы Второй мировой войны цюрихский профессор математики Я.Трахтенберг. Она была названа «Система быстрого счёта». История ее создания необычная. В 1941г. гитлеровцы бросили Трахтенберга в концлагерь. Чтобы уцелеть в нечеловеческих условиях и сохранить нормальной свою психику, Трахтенберг начал разрабатывать принципы ускоренного счета. За четыре страшных года пребывания в концлагере профессору удалось разработать стройную систему быстрого счёта. После войны Трахтенберг создал и возглавил Цюрихский математический институт.

2. ПРИЕМЫ УСТНОГО СЧЕТА

Существует множество приемов устного счета. В работе приведены некоторые приемы быстрого умножения, которые, на мой взгляд, достаточно просты и интересны.

2.1 УМНОЖЕНИЕ ЧИСЕЛ НА 11 ПО Я.ТРАХТЕНБЕРГУ

Система быстрого счёта по Я. Трахтенбергу основана на свойствах умножения чисел. Чтобы умножить на 11, 12 и т.д., нужно знать алгоритм выполнения.

Правило. Добавь цифру к её соседу. (Под соседом подразумевается цифра справа.)

Пример 2.1.1 3425 × 11 = 37675

Доказательство.

11 = 10+1

Таким образом,3425 x 11 = 3425 x(10+1) = 34250 + 3425 = 37675.

Пример 2.1.2 6784 × 11 = 74624

Доказательство.

11 = 10+1

Таким образом,6784 x 11 = 6784 x(10+1) = 67840 + 6784 = 74624.

2.2 УМНОЖЕНИЕ ЧИСЕЛ НА 12 ПО Я.ТРАХТЕНБЕРГУ

Правило. Чтобы умножить число на 12
начни с правостоящей цифры, удвой каждую цифру и прибавь её соседа. (Под соседом подразумевается цифра справа.)

Это даёт одну цифру результата. Если ответ содержит больше одной цифры, просто переносим 1 или 2 в следующий регистр.
Пример 2.2.1 316 × 12 = 3 792:
В этом примере:

• последняя цифра 6 не имеет соседей.

• 6 - сосед единице - 1.

• единица - 1 соседка тройке - 3.

• тройка - 3 соседка двум добавленным слева нулям.

• второй добавленный ноль сосед первому.

6 × 2 = 12 (2 пишем, 1 переносим)
1 × 2 + 6 + 1 = 9
3 × 2 + 1 = 7
0 × 2 + 3 = 3
0 × 2 + 0 = 0

Доказательство.

12 = 10 + 2

316 × 12 = 316 × (10 + 2) = 3160 + 632 = 3792.

2.3 УМНОЖЕНИЕ ЧИСЕЛ ОТ 10 ДО 20

Правило. Чтобы умножить два числа, каждое из которых больше 10, но меньше 20, необходимо

• к одному из множителей прибавить единицы другого множителя

• полученную сумму умножить на 10

• к полученному результату прибавить произведение единиц.

Пример 2.3.1

16× 13 = (16 + 3) × 10 + 6× 3 = 190 + 18 = 208

или 16× 13 = (13 + 6) × 10 + 6× 3 = 190 + 18 = 208

Итак, 16× 13 = 208

2.4 ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ ЧИСЕЛ, ОКАНЧИВАЮЩИХСЯ ЦИФРОЙ 5

Правило. Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5, нужно:

• число десятков умножить на следующее за ним натуральное число (количество десятков + 1)

• приписать справа 25.

Пример 2.4.1

35² = 3 × (3 + 1) приписать 25 = 1225.

Итак, 35² = 1225

2.5 УМНОЖЕНИЕ ЧИСЕЛ, У КОТОРЫХ ЧИСЛО ДЕСЯТКОВ ОДИНАКОВОЕ, А СУММА ЕДИНИЦ РАВНА 10

Данное правило похоже на предыдущее с той лишь разницей, что приписывать надо произведение единиц, выраженное двузначным числом. Поэтому его лучше сформулировать иначе.

Правило. Чтобы умножить два числа, у которых число десятков одинаковое, а сумма единиц равна 10, нужно:

• число десятков умножить на следующее за ним натуральное число (количество десятков + 1) и на 100

• к полученному результату прибавить произведение единиц.

Пример 2.5.1

41 × 49 = 4 × (4 + 1) × 100 + 1 × 9 = 2000 + 9 = 2009

Пример 2.5.2

303 × 307 = 30 × (30 + 1) × 100 + 3 × 7 = 93000 + 21 = 93021

2.6 УМНОЖЕНИЕ ЧИСЕЛ, БЛИЗКИХ К 100

Правило. Чтобы умножить два числа близких к 100, нужно:

• найти дополнение каждого из чисел до 100

• из одного из чисел вычитаем дополнение другого

• к полученному результату приписываем произведение дополнений (выраженное двузначным числом).

Пример 2.6.1

94 × 97 (дополнения 6 и 3)

94× 97 = (94 - 3) приписать 6 × 3 = 9118

или 94× 97 = (97 - 6) приписать 6 × 3 = 9118

Данный способ «работает» для любых двузначных чисел. Однако применять его удобно лишь в том случае, если одно из чисел близко к 100, и помнить, что приписываем только двузначное число.

Итак, 94 × 97 = 9118

Пример 2.6.2

63 × 98 (дополнения 37 и 2)

63 × 98 = (63 - 2) приписываем 37 × 2 = 6174

или 63 × 98 = (98 - 37) приписываем 37 × 2 = 6174.

Итак, 63 × 98 = 6174

Пример 2.6.3

46 × 98 (дополнения 54 и 2)

46 × 98 = (46 - 2) приписываем 54 × 2. Поскольку 54 × 2 = 108 - трехзначное число, то 1 добавляем к 44, а приписываем 08. Получаем 4508.

или 46 × 98 = (98 - 54) приписываем 54 × 2. Поскольку 54 × 2 = 108 - трехзначное число, то 1 добавляем к 44, а приписываем 08. Получаем 4508.

Итак, 46 × 98 = 4508

Äàííîå ïðàâèëî ìîæåò áûòü ñôîðìóëèðîâàíî èíà÷å:

×òîáû óìíîæèòü äâà äâóçíà÷íûõ ÷èñëà, нужно:

• найти дополнение каждого из чисел до 100

• из одного из чисел вычесть дополнение другого

• полученную разность умножить на 100

• к полученному результату прибавить произведение дополнений.

Пример 2.6.4

89 × 31 (дополнения 11 и 69)

89 × 31 = (89 - 69)× 100 + 11 × 69 = 2000 + 759 = 2759

Итак, 89 × 31 = 2759.

7. ПОЛЕЗНО ЗАПОМНИТЬ

37 × 3 = 111 77 × 13 = 1001 91 × 11 = 1001 143 × 7 = 1001

Запомнив эти произведения легко выполнить следующие умножения:

37 × 6 = 222 77 × 26 = 2002 91 × 22 = 2002 143 × 14 =2002

37 × 9 = 333 77 × 39 = 3003 91 × 33 = 3003 143 × 21 = 3003

37 ×12 = 444 77 × 52 = 4004 91 × 44 = 4004 143 × 28 = 4004

и т.д.

3. ЭКСПЕРИМЕНТ

В ходе изучения данной темы у меня возник вопрос: как приемы устного счета влияют на скорость и качество выполнения задания?

Чтобы ответить на этот вопрос я с научным руководителем провел эксперимент.

Вначале мы предложили ученикам пятых классов выполнить вычисления обычным письменным способом. Провели замер времени и количество допущенных ошибок.

Познакомили учеников с приемами устного счета.

Предложили выполнить те же задания с использованием изученных приемов. Провели повторный замер времени и количество допущенных ошибок.

Данные эксперимента оформили в виде таблицы.

№

Фамилия, имя

Обычным способом

С использованием приемов устного счета

Сравнение

Время (мин)

кол-во ошибок

Время (мин)

кол-во ошибок

Время (мин)

кол-во ошибок

1

Морева Н.

12

2

7

1

-5

-1

2

Мачигина А

9

-

7

-

-2

-

3

Чегер М.

10

5

7

1

-3

-4

4

Короткова К.

9

-

7

-

-2

-

5

Непийвода М.

11

4

9

2

-2

-2

6

Османов Б.

11

2

9

1

-2

-1

7

Аль-Муайед Г

7

-

6

-

-1

-

8

Ибрагимов Б.

7

1

4

-

-3

-1

9

Исаев Е.

13

1

6

1

-7

-

10

Бакало Л.

11

-

6

-

-5

-

11

Куртмеметова З

9

2

5

1

-4

-1

12

Домановский И.

10

2

6

2

-4

-

13

Бадурова Д.

10

3

8

3

-2

-

14

Гуляев И.

12

-

9

-

-3

-

15

Вербовская Т.

7

2

5

1

-2

-1

Всего в эксперименте принимало участие 15 человек.

Среднее время выполнения задания обычным способом составило около 10 минут. Общее количество допущенных ошибок - 24.

При использовании приемов устного счета среднее время составило примерно 7 минут, а общее количество ошибок - 13.

При использовании приемов устного счета время выполнения задания сократилось на 3 минуты, а общее количество ошибок на 11.

ВЫВОДЫ

В ходе выполнения работы, я

• собрал и изучил информацию о приемах быстрого счета

• апробировал изученные приемы на конкретных примерах

• познакомил одноклассников с приемами устного счета

• провел эксперимент о влиянии приемов устного счета на скорость и качество выполнения задания

• пришел к выводу, что

- любые приемы быстрого счета основаны на свойствах умножения

- выполнение действий «в уме» развивает сообразительность, логическое мышление, память

- при использовании приемов устного счета сокращается время выполнения задания, уменьшается количество допущенных ошибок

- используя изученные методы можно развить скорость вычислений, что позволит добиться успехов в изучении школьных предметов.

ЛИТЕРАТУРА

1.Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5-6 кл. сред.шк. - М.: Просвещение, 1989. - 287 с.: ил.

2.Перельман Я.И. Живая математика. - Екатеринбург, Тезис, 1994.

3.Перельман Я.И. Занимательная алгебра. - Екатеринбург, Тезис, 1994.

4. Мак-Шейн Р., Катлер Э. Система быстрого счета по Трахтенбергу, М. Книга по Требованию, 2012г.

4.Борода Л.Я., Борисов А.М. Некоторые формы по привитию интереса к математике. //Математика в школе. - 1990, №11.- с.39-44.

5. Кордемский Б.А., Ахадов А.А. Удивительный мир чисел: Книга учащихся,- М. Просвещение, 1986г.

6. Билл Хэндли «Считайте в уме как компьютер», Минск, Попурри, 2009г.

Интернет-источники

1. school.edu.ru

2. ik.net/~stepanov/

3. junior.ru/students/chukhua/shestoe%20chyvstvo.htm

4. matsievsky.newmail.ru/sys-schi/file15.htm

5.sch69.narod.ru/mod/1/6506/hystory.