- Преподавателю
- Начальные классы
- Письменное умножение и деление
Письменное умножение и деление
Раздел | Начальные классы |
Класс | - |
Тип | Другие методич. материалы |
Автор | Слабова О.А. |
Дата | 18.04.2015 |
Формат | doc |
Изображения | Есть |
Письменное умножение и деление |
Многое из того, что сказано о методике письменного сложения и вычитания, относится и к методике ознакомления учащихся с письменным умножением и делением. И эти действия можно изучать как совместно, так и раздельно. В обоих случаях следует использовать прием сопоставления.
Различные случаи этих действий располагаются в порядке постепенно возрастающей трудности (такой порядок обстоятельно разработан в существующих методических руководствах и получил свое отражение в учебниках).
При объяснении письменного приема выполнения каждого из этих действий нужно опираться на прием устного умножения и устного деления, подчеркивая то общее, что имеется в устных и письменных приемах выполнения действий, и их различие.
Нужно также объяснить детям случаи умножения нуля на число и числа на нуль (0 x 4 = 0; 9 x 0 = 0), а также деление нуля на число (0 : 6 = 0).
Результаты деления следует чаще проверять умножением, что способствует более глубокому пониманию взаимообратности этих действий.
Объяснение письменного умножения на однозначное число, как и сложения, не нуждается в опоре на предметные наглядные пособия; здесь достаточно только подчеркнуть строгую поразрядность выполнения этого действия, отразив это в первой записи умножения следующим образом. Допустим, что нужно 324 умножить на 2. После разбора состава числа 324 учитель записывает этот пример
так:
Из этой записи видно, что умножение трехзначного числа сводится к умножению каждого разряда этого числа начиная с единиц.
Но в объяснение способа письменного деления нужно привнести возможно больше наглядности, используя в" этих целях и предметные наглядные пособия (палочки и пучки палочек), и подробные развернутые записи действия.
Уже при объяснении такого случая деления, как 324 : 2, когда приходится делимое разбивать на 3 числа (200, 120 и 4), из которых каждое без остатка делится на 2, нужно показать процесс деления на наглядном пособии, взяв 3 сотни палочек (в пучках), 2 пучка-десятка и 4 палочки. Деля 3 сотни на 2, получим по одной сотне, и одна сотня будет в остатке. Развязываем ее, она распадается на 10 пучков-десятков, да у нас еще есть 2 десятка, всего получаем 12 десятков. Делим их пополам, получаем по 6 десятков. Остается разделить пополам 4 палочки; получится 2 палочки. А всего получится 1 сотня, 6 дес. и 2 ед., или 162.
Письменное деление - сложное действие. Оно состоит из ряда вычислительных операций, и каждую из них надо объяснить тщательно.
Допустим, что решается пример:
Решение его сопровождается следующим объяснением: 4 сотни делим на 6; сотен в частном не получится. Раздробим 4 сотни в десятки, получим 40 десятков. 40 десятков да еще 5 десятков составляют 45 десятков. Разделим их на 6, получим 7 десятков. Узнаем, сколько всего десятков мы разделили; для этого умножим 6 на 7, получим 42 десятка.
Узнаем, сколько десятков осталось разделить; для этого от 45 десятков отнимем 42 десятка, получим 3 десятка. 3 меньше 6 (остаток меньше делителя), значит, цифра в частном взята правильно. Раздробим 3 десятка в единицы, получим 30, да еще 6, всего 36 единиц. Делим их на 6, получится 6 единиц. Итак, всего получилось 7 дес. и 6 ед., или 76. Проверим: 76 X 6 = 456. По мере усвоения навыка деления объяснения становятся более краткими.
В процессе упражнений в умножении и делении, как при сложении и вычитании, дети решают не только обычные примеры, но и простейшие уравнения типа 8 * X = 432; X : 3 = 128; 96 : X = 16; выполняют задания: проверить данное равенство или неравенство; сравнить данные арифметические выражения; решить пример с проверкой результата.
В процессе формирования навыков письменных вычислений все время проводятся тренировочные упражнения в устных вычислениях с круглыми числами в пределах 1000.
Надо отметить, что в школьной практике ученики часто пользуются вместо устных письменными приемами. Чтобы предупредить этот недочет, полезно чаще сравнивать устные и письменные приемы. Например, ученику предлагается решить два примера: 460 + 320 и 347 + 486. Эти примеры записываются на доске в строчку. Ученик должен сам выбрать способ решения каждого примера, устный или письменный, подчеркивая их сходство и различие.
Методика изучения арифметических действий по программе "Школа-2100"
2-й класс
Умножение и деление чисел. (58 ч)
Операция умножения. Переместительное свойство умножения.
.Взаимосвязь операций умножения и деления. Таблица умножения однозначных чисел.
Частные случаи умножения и деления с 0 и 1. Понятия «увеличить в...», «уменьшить в...», «больше в...», «меньше в...». Умножение чисел на 10. Линейные и разветвляющиеся алгоритмы. Задание алгоритмов словесно и с помощью блок-схем.
Требования к результатам обучения учащихся к концу 2-го класса
- названия и обозначения операций умножения и деления;
- таблицу умножения однозначных чисел и соответствующие случаи деления (на уровне навыка);
выполнять умножение и деление чисел с 0, 1, 10;
- решать уравнения вида а ± х = b; х - а = b; а * х = b; а: х = b; х: а = b;
- находить значения выражений вида а ± 5; 4 - а; а: 2; а * 4; 6: а при заданных числовых значениях переменной;
3-й класс
Умножение и деление чисел в пределах 100. (35 ч)
Операции умножения над числами в пределах 100. Распределительное свойство умножения и деления относительно суммы (умножение и деление суммы на число). Сочетательное свойство умножения. Использование свойств умножения и деления для рационализации вычислений. Внетабличное умножение и деление. Деление с остатком. Проверка деления с остатком. Изменение результатов умножения и деления в зависимости от изменения компонент.
Операции умножения и деления над числами в пределах 1000. (42 ч) Устное умножение и деление чисел в случаях, сводимых к действиям в пределах 100; умножение и деление на 100. Письменные приемы умножения трехзначного числа на однозначное. Запись умножения «в столбик». Письменные приемы деления трехзначных чисел на однозначное. Запись деления «уголком».
Требования к результатам обучения учащихся
к концу 3-го класса
представлять любое трехзначное число в виде суммы разрядных слагаемых;
- выполнять устно умножение и деление чисел в пределах 100 (в том числе и деление с остатком);
- выполнять умножение и деление с 0; 1; 10; 100;
- выполнять устное сложение, вычитание, умножение и деление трехзначных чисел, сводимые к вычислениям в пределах 100, и письменное сложение, вычитание, умножение и деление чисел в остальных случаях;
- выполнять проверку вычислений;
- использовать распределительное свойство умножения и деления относительно суммы (умножение и деление суммы на число), сочетательное свойство умножения для рационализации вычислений;
- читать числовые и буквенные выражения, содержащие не более двух действий с использованием названий компоненты;
решать уравнения вида а ± х = b; а * х = b; а: х = b на основе зависимости между компонентами и результатами действий;
4-й класс
Умножение и деление чисел. (72 ч)
Умножение и деление чисел на 10, 100, 1000.
Умножение и деление чисел, оканчивающихся нулями. Устное умножение и деление чисел на однозначное число в случаях, сводимых к действиям в пределах 100.
Письменное умножение и деление на однозначное число.
Умножение и деление на двузначное и трехзначное число.
Требования к результатам обучения учащихся
к концу 4-го класса
выполнять умножение и деление с 1000;
- вычислять значения числовых выражений, содержащих 3-4 действия со скобками и без них;
уметь находить значения выражений с одной переменной при заданном значении переменных;
- решать уравнения вида a ± x = b; x - a = b; a * x = b; a: x = b; x: a = b на основе связи компонент и действий сложения, вычитания, умножения, делении
Введение
Изучение свойств алгебраических операций привело математиков к выводу о том, что основная задача алгебры - изучение свойств операций рассматриваемых не зависимо от объектов, к которым они применяются. И если первоначально алгебра была учением уравнений, то XX веке она превратилась в науку об операциях и их свойствах.
Ознакомление учащихся с арифметическими действиями подготавливается на первых уроках математики практическими упражнениям в объединении двух множеств предметов, в установлении соответствия между элементами двух множеств, в выделении части данного множества предметов.
Каждое из четырех арифметических действий должно прочно связаться в сознании детей с теми конкретными задачами, которые требуют его применения. Смысл действий и раскрывается главным образом на основе практических действий с множествами предметов и на системе соответствующих текстовых задач.
Если по двум данным числам определяют третье число, удовлетворяющее некоторым условиям, то этот процесс в математике называют действием.
Все существующие ныне альтернативные системы обучения опираются на теоретико-множественный подход при формировании свойств арифметических действий.
Для объяснения обычно используют множества предметов не ссылаясь на задачи. Не каждый учитель ясно представляет, что изучение арифметических действий и их свойств в процессе работы с задачей усваиваются лучше. Исходя из важности изучения свойств арифметических действий, из-за отсутствия единого подхода к изучению данной проблеме в различных системах обучения возникает необходимость рассмотрения, выяснения и уточнения особенностей формирования понятия свойств арифметических действий. В этом заключается актуальность, так как, во-первых, изучение и применение свойств арифметических действий является одним из важных тем, во-вторых, многие учителя не акцентируют внимание на использование свойств этих действий.
Учитывая актуальность мы определили тему курсовой работы "Формирование понятия свойств арифметических действий у младших школьников".
Проблема исследования: какими приемами работы, видами деятельности детей можно добиться усвоения свойств арифметических действий.
Цель исследования: выявление особенностей формирования понятия свойств арифметических действий у младших школьников.
Объект исследования: процесс изучения математики в начальных классах.
Предмет исследования: формирование понятия свойств арифметических действий у младших школьников.
Гипотезой исследования выдвигается, положение о том, что раскрытие конкретного смысла свойств арифметических действий учителями поможет грамотному формированию понятия свойств арифметических действий:
лучше усвоить ее, применять свойства и действия при решении задач и примеров;
в доступной форме для младших школьников познакомить их с теми свойствами рассматриваемых действий, которые являются теоретической основой изучаемых приемов устных и письменных вычислений;
формировать у детей сознательные и прочные навыки быстрых и правильных вычислений.
Для достижения цели в ходе исследования поставлены следующие задачи исследования:
Изучить и систематизировать психолого-педагогическую, методическую и специальную литературу по проблеме исследования.
Выявить роль задач в усвоении свойств арифметических действий младшими школьниками.
Ознакомиться с опытом работы учителей начальных классов по формированию свойств арифметических действий у младших школьников.
Провести исследовательскую и экспериментальную работу по проблеме исследования.
Арифметические действия в начальном курсе математики и методика их изучения
В течение всех четырех лет начального обучения ведется работа по формированию у детей понятий о натуральном числе и арифметических действиях. С самого начала это делается в неразрывной связи с рассмотрением различных случаев практического применения этих понятий, с работой, направленной на усвоение детьми некоторых свойств чисел, десятичной системы счисления, арифметических действий и основанных на них приемов вычислений. Результатом этой работы должно стать усвоение детьми как включенных в программу вопросов теоретического характера, так и сознательное и прочное овладение навыками применения изученных вопросов теории к решению разнообразных практических и учебных задач и выполнению устных и письменных вычислений. Теория и практика должны при этом в ходе всей работы над арифметической частью программы выступать в их единстве и взаимосвязи. Как показывают наблюдения за опытом реализации программы в практике массовой школы, именно это важнейшее требование программы довольно часто нарушается.
Проявляется это в том, что, отрабатывая, скажем, навыки устных вычислений, учителя нередко забывают при этом о необходимости довести до сознания детей теоретическую основу выполняемых операций, не приучают к тому, чтобы в случае появления ошибок в ходе вычислений учащиеся возвращались к рассмотрению тех вопросов теории, которые могут помочь им осознать причину допущенной ошибки и самостоятельно исправить ее. Между тем именно сознательность усвоения - основа, на которой могут быть сформированы действительно прочные навыки уверенных, правильных и быстрых вычислений.
Нарушение требования рассмотрения теории и практики в их единстве проявляется также в том, что на уроках математики нередко перед детьми ставятся в отвлеченной форме вопросы теоретического характера, разучиваются соответствующие определения, "правила" и т.п. в отрыве от их практического применения. При этом приходится сталкиваться и с такими случаями, когда от учащихся требуется знание формулировок, которые либо вовсе не предусмотрены программой, либо должны быть усвоены детьми значительно позднее. Так обстоит дело, например, когда учитель в I классе требует полного ответа на вопрос: "Как называются числа при сложении?" В такой форме знания математической терминологии вообще не следует требовать. (Важно лишь, чтобы дети понимали смысл соответствующих слов, когда их использует учитель, и постепенно включали бы эти термины и в свою речь) Так обстоит дело и тогда, когда учитель уже в I классе требует от учащихся объяснения того, как может быть проверено вычитание с помощью сложения (это материал второго года обучения) и т.п.
Чтобы не допускать подобных методических ошибок, приводящих к искусственной перегрузке учащихся, важно ясно представлять себе всю систему работы над арифметическим материалом с I по IV класс, понимать значение и место тех элементов теории, которые предусмотрены программой.
Из требований программы вытекают следующие задачи:
Довести до сознания детей смысл рассматриваемых действий, научить их правильно выбирать нужное арифметическое действие при решении различных простых задач.
На доступном для младших школьников уровне и в доступной для них форме познакомить их с теми свойствами рассматриваемых действий, которые являются теоретической основой изучаемых приемов устных и письменных вычислений. Научить применять изученные свойства в разнообразных условиях, используя соответствующие знания в целях рационализации вычислений, а также в целях отыскания наиболее рационального способа решения задач.
Обеспечить усвоение детьми связей, существующих между действиями. Научить применять соответствующие знания: а) в вычислениях (при нахождении частного с опорой на знание соответствующего случая умножения, при нахождении разности с опорой на знание соответствующего случая сложения); б) при проверке правильности выполненных вычислений; в) при решении задач на нахождение неизвестного компонента действий и г) при решении простейших уравнений.
Обеспечить сознательное и прочное усвоение детьми основных приемов устных и письменных вычислений, умение сознательно выбирать такие из известных приемов вычислений, которые более всего отвечают особенностям каждого конкретного примера.
Сформировать у детей сознательные и прочные навыки быстрых и правильных вычислений.
Для успешного решения каждой из этих конкретных задач курса необходимо не только определить содержание и систему соответствующих упражнений (это в основном сделано в учебниках), но целесообразно использовать различные методы обучения.
Осознание смысла действий, существующих между ними связей, зависимости между компонентами и результатами действий может быть обеспечено только в том случае, если рассмотрение этих теоретических вопросов будет вестись на прочной базе собственного опыта детей. При этом следует учитывать, что речь здесь должна идти не только о жизненном опыте, приобретаемом детьми в ходе разнообразных практических действий с предметами, но и об опыте, накапливаемом при изучении математики в школе.
Так, скажем, работа над нумерацией и арифметическими действиями строится в начальном курсе математики концентрически. В программе намечена система постепенного расширения области рассматриваемых с - детьми чисел (десяток - сотня - тысяча - многозначные числа), причем при изучении каждой из этих тем предусмотрено наряду с рассмотрением новой области чисел постепенное введение (или углубление, систематизация, обобщение) приобретенных детьми ранее знаний нумерации и действий с числами. Ознакомление детей с числами и арифметическими действиями подготавливается на первых уроках математики практическими упражнениями в объединении двух данных множеств предметов, в установлении соответствия между элементами двух множеств, в выделении части данного множества предметов.
От операций с множествами дети постепенно переходят к счету предметов, знакомятся с первыми десятью числами натурального ряда (их названиями, последовательностью), выясняют на примере этих чисел, как образуется каждое следующее число в натуральном ряду, учатся сравнивать числа, находить их сумму и разность. Сначала это делается на основе выполнения соответствующих операций над множествами предметов и счета элементов множества, полученного в результате объединения двух множеств или удаления части множества, а затем и с использованием некоторых приемов действий над числами (присчитывание и отсчитывание по единице и группами и др.).
При изучении сложения и вычитания в пределах 10, а затем и сотни дети знакомятся с вычислительными приемами, основанными на использовании свойств действий (переместительное свойство суммы, различные способы прибавления числа к сумме и суммы к числу, вычитания числа из суммы и суммы из числа), а также на основе понимания связи между сложением и вычитанием. При этом, как уже отмечалось, вся работа, связанная с рассмотрением этих свойств и разнообразных приемов вычислении, подчиняется задаче рационализации вычислений.
Важнейшей задачей первого года обучения в отношении формирования вычислительных навыков является такое усвоение детьми табличных случаев сложения и вычитания, которое обеспечивало бы возможность автоматизированных вычислений при сложении однозначных чисел и формирования навыков быстрых устных вычислений с двузначными числами.
В объяснительной записке к программе подчеркивается, что табличные случаи сложения и вычитания должны быть в результате упражнений усвоены детьми па память и поэтому большое значение имеет своевременное создание у детей установки на их запоминание. Необходимо также вести повседневную тренировочную работу, без которой желаемого результата достичь, нельзя.
При рассмотрении нумерации в пределах 100 специальное внимание уделяется ознакомлению детей с новой счетной единицей - десятком, изучению состава чисел из разрядных слагаемых (13 - это 10 и 3 или 1 десяток и 3 единицы), выяснению поместного значения цифр в записи двузначных чисел. Рассмотрение этих вопросов происходит на таком уровне, который предполагает уверенное использование детьми соответствующих знаний, но не требует усвоения каких-либо обобщенных формулировок.
Умножение и деление в пределах 100 рассматривается во II классе. При ознакомлении с этими новыми для детей арифметическими действиями учитель может опереться на подготовительную работу, предусмотренную программой для I класса (упражнения в нахождении суммы одинаковых слагаемых и в представлении числа в виде такой суммы).
Как и при изучении сложения и вычитания, рассмотрение приемов умножения и деления в пределах 100 ведется на основе предварительного ознакомления детей с некоторыми важнейшими свойствами этих действий и связи, существующей между умножением и делением. При этом возникают вопросы, аналогичные тем, которые были рассмотрены нами выше применительно к сложению и вычитанию.
Каждое из четырех арифметических действий должно прочно связаться в сознании детей с теми конкретными задачами, которые требуют его применения. Смысл действий и раскрывается главным образом на основе практических действий с множествами предметов и на системе соответствующих текстовых задач.
На их основе доводится до сознания детей связь между компонентами и результатами действий, связь между действиями, рассматриваемые свойства действий и изучаемые математические отношения.
Уже в теме "Десяток" после ознакомления с первыми десятью числами дети впервые встретятся с нулем. В дальнейшем, по ходу изучения сложения, вычитания, умножения и деления уделяется специальное внимание рассмотрению случаев действий с нулем. В связи с изучением умножения и деления выделяются случаи умножения и деления с нулем и единицей.
В органической связи с изучением чисел и арифметических действий ведется и работа по ознакомлению детей с величинами и их измерением. Знакомство с новыми единицами измерения и установление соотношений между ними, упражнения в преобразовании чисел, выраженных в различных единицах измерения, связывается, как правило, с работой над нумерацией. (Так, параллельно рассматриваются состав чисел второго десятка из разрядных слагаемых и получение в результате измерения отрезков чисел вида 1 дм 5 см, преобразование этих чисел: 1 дм 5 см = 15 см. Делается это по аналогии со случаями вида: 1 дес.5 ед. составляют 15 ед) Этот принцип реализуется и в дальнейшем - при каждом расширении области чисел и при рассмотрении новых случаев действий.
При переходе к изучению тем "Тысяча" и "Многозначные числа" основное значение приобретает работа над формированием навыков письменных вычислений. Однако при этом предполагается, что параллельно с рассмотрением приемов письменного выполнения арифметических действий все время будет совершенствоваться и умение выполнять устные вычисления с числами в пределах 100 (а также, в легких случаях, и с числами большими).
При раскрытии способов письменного выполнения сложения, вычитания, умножения и деления чисел, как и для приемов устных вычислений, предусмотрено осознание учащимися смысла выполняемых операций, их последовательности, доступное их обоснование. Вместе с тем при этом все время должна иметься в виду конечная цель, состоящая в выработке определенного автоматизма в письменных вычислениях (возврат к осмыслению производимых операций и в данном случае рекомендуется главным образом при возникновении тех или иных затруднений или ошибок в ходе вычислений).
Хотя программой предусмотрено ознакомление учащихся начальных классов с нумерацией и действиями над многозначными числами в пределах класса миллионов, в соответствии с ограничением, оговоренным в объяснительной записке, подавляющее большинство тренировочных упражнений должно включать лишь такие числа и действия, которые не выходят за пределы миллиона.
Параллельно с работой над письменными вычислениями обобщаются и углубляются знания детей о самих действиях, их свойствах (вводятся некоторые новые свойства), о существующей между действиями связи, об изменении результатов действий при изменении одного из компонентов, о взаимосвязи между компонентами и результатом. Обобщение и углубление соответствующих знаний происходят на прочной основе наблюдений, систематически проводимых в течение четырех лет начального обучения. Все эти знания, как подчеркивается в объяснительной записке к программе, используются для рационализации вычислений.
Параллельно и в неразрывной связи с изучением чисел и арифметических действий ведется работа, направленная на формирование понятий выражения, равенства и неравенства. Числовые выражения, равенства и неравенства впервые встречаются уже на первых уроках обучения математике и затем систематически, из урока в урок, работа над ними продолжается. Она предполагает постепенное усложнение материала не только за счет расширения области рассматриваемых чисел, но и за счет усложнения структуры рассматриваемых выражений и усложнения видов заданий, связанных с применением приобретенных детьми ранее знаний. Эта система проиллюстрирована в тексте программы отдельными, наиболее типичными примерами. Так, в теме "Десяток" предусмотрено сначала ознакомление детей со сравнением чисел и записями вида: 5 = 5, 6 < 7, 9 > 8; затем вводятся чтение, запись и сравнение выражений вида: 5 + 4 и 6 + 4, 7 + 2 и 7 - 2, 3 + 0 и 3 - 0. В теме "Сотня" приведены примеры, предназначенные для сравнения выражений вида: 10 - (5 + 3) и 10 - 5 - 3 (сравнение их может проводиться как на основе предварительного вычисления значения каждого из сравниваемых выражений и сравнения полученных чисел, так и на основе применения известных уже свойств действий). При изучении темы "Умножение и деление в пределах 100" для сравнения предлагаются выражения вида: х 9 и 9 х, связанные с использованием переместительного свойства произведения, и 7 8 и 7 9, где может найти применение знание связи умножения со сложением, и т.п.
Помимо задачи формирования понятий о выражении, равенстве, неравенстве, соответствующие упражнения служат, таким образом, задаче закрепления как вычислительных навыков, так и тех элементов арифметической теории, которые рассматривались при изучении действий.
Выводы
У каждого народа были свои арифметические действия. И все они использовались для выполнения операций над числами. Более тысячи лет развивалась и утверждалась идея выполнения арифметических действий сложения, вычитания, умножения и деления. Эти арифметические действия являются основными действиями в математике. Изучение истории развития являются интересными не только для учеников, но и для нас самих, а изучение помогает заинтересовать младших школьников.
Каждое из четырех арифметических действий должно прочно связаться в сознании детей с теми конкретными задачами, которые требуют его применения. Смысл действий и раскрывается главным образом на основе практических действий с множествами предметов и на системе соответствующих текстовых задач. На их основе доводится до сознания детей связь между компонентами и результатами действий, связь между действиями, рассматриваемые свойства действий и изучаемые математические отношения.
Сложение и умножение чисел обладают свойствами коммутативности, ассоциативности, умножение дистрибутивно относительно сложения.
Переместительное свойство умножения широко используется при составлении таблицы умножения однозначных чисел. Сочетательный закон в начальной школе в явном виде не рассматривается, но используется вместе с переместительным законом при умножении числа на произведение. Распределительный закон умножения относительно сложения рассматривается в школе на конкретных примерах и носит название правил умножения числа на сумму и суммы на число. Рассмотрение этих двух правил диктуется методическими соображениями.
Письменное умножение и деление
Письменное умножение - это поразрядное умножение. Каждый разряд второго множителя умножается на первый множитель как одноразрядное число. В произведении поэтапного (разрядного) умножения первый разряд попадает в столбец того разряда второго множителя, на который умножают.
Правило. При умножении в столбик два множителя располагаются один под другим так, чтобы разряды чисел совпадали (находились в одном столбце). Слева ставится знак «х».
Если один из множителей или оба множителя оканчиваются нулями, то числа записываются так, чтобы значащие цифры наименьшего из разрядов находились в одном столбце. Нули переносятся в произведение и в поле записи поэтапных произведений не заносятся.
Поэтапные (разрядные) произведения складываются по разрядам и под чертой записывается результат. Слева от слагаемых произведений ставится знак «+».
Письменное умножение в столбик равноценно письменному умножению по разрядам в строку. При письменном умножении в строку применяются сочетательный и распределительный законы умножения (сумму заменяем слагаемыми и первый множитель умножаем на каждое из слагаемых).
Пример.
1 014 * 258 = 261 612
1 014 * 258 = 1 014 * (200 + 50 + 8) = 1 014 * 200 + 1 014 * 50 + 1014 * 8 = 202 800 + 50 700 + 8 112 = 261 612
Чтобы перемножить в столбик числа, оканчивающиеся нулями, нужно их подписать друг под другом так, чтобы первая справа значащая цифра первого множителя стояла под первой справа значащей цифрой второго множителя
.
Например: 1 014 * 258 = 261 612
-
1014 - первый множитель
-
Х
-
258 - второй множитель
-
--------- поэтапные произведения:
-
8112 - слагаемое (первое произведение)
-
+ 5070 - слагаемое (второе произведение)
-
2028 - слагаемое (третье произведение)
-
---------
-
261612 - сумма (результат умножения)
Примеры записи умножении чисел, оканчивающихся нулями.
-
450
-
Х
-
270
-
---------
-
315 (45 * 7 = 315)
-
+
-
90 (45 * 2 = 90)
-
---------
-
121500
Внимание! Нули в конце множителей в поэтапном умножении не принимают участия, а сразу все нули множителей переносятся в результат вычислений.
Правильная запись:
Неправильная запись
Методика изучения табличного умножения
В практике работы школы в начальных классах получила рассмотрение следующая система изучения действий умножения:
1. Введение понятия об умножении как сумм одинаковых слагаемых.
2. Составление таблицы умножения числа 2.
3. Понятие деления на равные части.
4. Составление таблицы деления на 2.
5. Составление таблицы умножения в пределах 20.
6. Составление таблицы деления в пределах 20.
7. Деление по содержанию.
8.Сопоставление умножения и деления как взаимообратных действий.
9. Изучение умножения в пределах 100. Составление таблиц умножения и деления. Практическое знакомство с переместительным законом умножения.
10. Деление с остатками
11. Умножение на 1 и единицы. Деление на 1. Ноль как компонент умножения. Ноль как делимое. При обучении умножению и делению перед учителем стоит сложная задача - раскрыть смысл каждого арифметического действия на конкретном материале.
Обучение табличному умножению в пределах 20.
В 2 классе учащиеся получают понятие об умножении и знакомятся с действиями умножения в пределах 20. Лучшему осознанию учащимся смысла действия умножения способствует подготовительная работа: счет равными группами предметов, а также счет по 2, 3, 4, 5, до 20.
После того как учащиеся получают первое представление об умножении, познакомятся со знаком умножения и записью этого действия, можно переходить к изучению таблицы умножения числа 2.
Таблица умножения составляется по постоянному множимому. Этапы знакомства с табличным умножением числа 2:
1. Счет предметов от 2 до 20.
2. Счет изображений предметов по 2 на рисунках или числовых фигурках и составление примеров на сложение.
3. Замена сложения умножением и чтения таблицы умножения.
Обучение табличному умножению в пределах 1000.
В 2 классе повторяется табличное умножение в пределах 20 и заканчивается изучение всего табличного умножения. По-прежнему много внимания уделяется наглядной основе и счета равными группами их числам.
После составления таблицы умножения числа 6 учитель должен обратить внимание на то что ответ каждого последующего примера может быть получен из предыдущего путем прибавления 6 (единиц множимого).
Обучение табличному делению в пределах 20.
В начальных классах действие деления рассматривается в зависимости от действия умножения. Только тогда дети хорошо усваивают сущность деления, когда сопоставляется с умножением, устанавливается взаимосвязь между этими двумя действиями. Опыт показывает, что вывод деления из умножения без объявления сущности самого процесса деления оказывается малопонятным.
Методика изучения арифметических действий в пределах 1000
Все действия в пределах 1000 без перехода через разряд учащиеся выполняют приемами устных вычислений с записью в строчку, а с переходом через разряд - приемами письменных вычислений с записью в столбик. Важно постепенно нарастание трудности при решении арифметических примеров, каждый последующий уровень в решении примеров должен опираться на знание предыдущих случаев. Непреодолимые трудности для ребенка могут возникнуть при несоблюдении степени трудности решения примеров. Поэтому очень важно соблюдать последовательность в выборе примеров, учитывая их нарастающую степень трудности, и тщательно отрабатывать каждый случай.
Умножение в пределах 1000.
Умножение также как сложение и вычитание, могут производиться как устными, так и письменными приемами вычислений, записываться в строчку или в столбик.
1. Устное умножение и пределах 1000:
- умножение круглых сотен
- умножение круглых десятков на однозначное число:
а) рассматриваются случаи умножения круглых десятков, которые сводятся к табличному умножению;
б) рассматриваются случаи, которые сводятся к нетабличному умножению без перехода через разряд.
2. Умножение трехзначных чисел на однозначное число без перехода через разряд.
3. Умножение десяти и ста, умножение на десять и сто.
- письменное умножение и деление в пределах 1000;
- умножение на однозначное число с переходом через разряд;
- умножение двухзначного числа на однозначное с переходом через разряд в разряде десятков или единиц;
- умножение двухзначного числа на однозначное с переходом через разряд в разряде единиц и десятков;
- умножение трехзначного числа на однозначное число с переходом через разряд в одном разряде - единиц или десятков;
- умножение трехзначного числа на однозначное число с переходом через разряд в двух разрядах - единиц и десятков
- особый случай умножения - первый множитель - трехзначное число с нулем на конце или в середине;
- умножение двухзначного числа на круглые десятки.
.
Умножение многозначных чисел.
Умножение многозначных чисел представляет гораздо больше трудностей, чем сложение и вычитание. Это связано с тем, что ученики не твердо знают таблицу умножения. Даже те учащиеся, которые запоминают таблицу умножения, затруднялись применить её при решении примера с многозначными числами, то есть актуализировать свои знания и использовать их.
Трудности возникают и тогда, когда надо единицы высшего разряда перевести в низший разряд, удержать их в памяти. Неумение долгое время сосредоточить внимание на выполнение действия приводит к тому, что учащиеся низшие разряды числа умножают правильно, а при умножении высших разрядов допускают ошибки. Объясним, почему 32 = 6?
Решение. Используя первое определение, произведение 32 можно записать в виде суммы 3 + 3. Возьмем различные множества К и С такие, что n(K) = n(C) = 3. Допустим К = {1, 2, 3}, C = { 4, 5, 6}. По определению нам нужно найти количество элементов в объединении КС. Т.к. КС = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, то n(КС) = 6. Значит 32 = 6.
Используем второе определение. Пусть n(A) = 3, n(B) = 2. А = {a, b, c}, B = {q, w}. Найдем декартово произведение данных множеств: = {(a, q), (a, w), (b, q), (b, w), (c, q), (c, w)}. Количество пар в декартовом произведении равно 6. Значит 32 = 6
Определим произведение нескольких множителей.
Пусть произведение двух множителей определено и определено произведение n множителей. Тогда произведение, состоящее из n + 1 множителя, т.е. произведение , равно .
С помощью определения суммы нескольких множителей, найдем произведение 2759.
Решение. Чтобы найти произведение 2759 согласно этому правилу, надо выполнить последовательно следующие преобразования: (275)9 = ((27)5)9 = (145)9 = 709 = 630.
Обоснуем выбор решения нескольких задач.
Задача 1. На одно пальто пришивают 4 пуговицы. Сколько пуговиц нужно пришить на 3 таких пальто? Решите задачу и обоснуйте ее решение.
Решение. В задаче идет речь о трех множествах, в каждом из которых по 4 элемента. Требуется узнать число элементов в объединении этих трех множеств.
Если n(A) = n(A) = n(A) = 4, то n() = n(A) + n(A) + n(A) = 4 + 4 + 4 = 43 = 12.
Значит, на три пальто нужно пришить 12 пуговиц.
Задача 2. Школьники посадили в парке 4 ряда деревьев по 5 штук в каждом ряду. Сколько деревьев они посадили? Объясните, почему данная задача решается при помощи умножения.
Решение. Обозначим деревья кружками. Тогда получим 4 ряда кружков по 5 в каждом (рис.10). Всего таких кружков окажется 20, т.е. 45.
Возьмем множества А и В такие, что n(A) = 4, n(B) = 5 и найдем их декартово произведение. Пусть А = {1, 2, 3, 4}, B = {5, 6, 7, 8, 9}. Тогда = {(1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (1, 9), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (2, 9), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (3, 9), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8), (4, 9)}.
Рис.10
Количество элементов в декартовом произведении n() = 20, т.е. n() = n(A) n(B) = 4 5 = 20. Следовательно, школьники посадили 20 деревьев.
Различные законы умножения позволяют упростить вычисления. Например, используя распределительный закон умножения, найдем 2978.
Решение. 2978 = (300 - 3) 8 = 3008 - 38 = 2400 - 24 = 2376.
Решим следующую задачу различными способами и обоснуем выбор способа: «В гараже в 3 ряда стояло по 9 машин. Из каждого ряда выехало 8 машин. Сколько машин осталось в гараже?»
Решение (рис. 11). 1 способ. Если в каждом ряду стояло по 9 машин и из каждого ряда выехало 8 машин, то в каждом ряду осталось по 1 машине. Так как всего 3 ряда, то и осталось 13 =
3 машины.
2 способ. Найдем общее количество машин: 39 = 27. Теперь найдем количество машин, которые выехали из каждого из трех рядов: 38 =24. Тогда в гараже осталось 27 - 24 = 3 машины. Ответ: осталось 3 машины.