Исследовательская работа Математические неожиданности ученика 3 класса Залялова Расима

МБОУ «Лицей-интернат (школа для одаренных детей) г. Буинска РТ»

Исследовательская работа

Математические неожиданности:

лист Мёбиуса

Работу выполнил: ЗаляловРасимРаминович

ученик 3 а класса

Руководитель: Рябова Елена Сергеевна

учитель начальных классов

высшей квалификационной категории

Буинск, 2014 год

Оглавление

Введение На уроках математики мы много выполняем задания геометрического характера: чертим геометрические фигуры, находим их периметр и площадь, разбираемся, как изобразить объёмные фигуры на листе бумаги. У каждого из нас есть интуитивное представление о том, что такое "поверхность". Поверхность листа бумаги, поверхность стен класса, поверхность земного шара известны всем. Может ли быть что-нибудь неожиданное и даже таинственное в таком обычном понятии? Да! Это односторонняя поверхность. Тема моего исследования «Математические неожиданности». Одной из таких неожиданностей является лист Мёбиуса. Изучением этого феномена занимается раздел геометрии: топология.Топология (с греческого топос - место, местность + логия) является одним из самых «молодых» разделов современной геометрии, в котором изучаются свойства таких фигур, которые не изменяются при деформациях (растяжение, сжатие). Любую фигуру тополог имеет право сгибать, скручивать, сжимать и растягивать - делать с ней всё что угодно, И при этом он будет считать, что ничего не произошло, все её свойства остались неизменными. Для него не имеют никакого значения ни расстояния, ни углы, ни площади. Пример топологии - таинственный и знаменитый лист Мёбиуса. Меня очень заинтересовала эта тема. Я решил углубить свои познания в этой области. Встала проблема: узнать, что такое «лист Мёбиуса» и как его можно использовать. Мною были поставлены задачи:

1. Собрать всевозможную информацию о листе Мёбиуса.
2. Исследовать опытным путем свойства листа Мёбиуса.

Историческая справка Таинственный и знаменитый лист Мёбиуса (иногда говорят: "лента Мёбиуса") придумал в 1858 г. немецкий геометр Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868), ученик "короля математиков" Гаусса. Мёбиус был первоначально астрономом, как Гаусс и многие другие из тех, кому математика была обязана своим развитием. В те времена занятия математикой не встречали поддержки, а астрономия давала достаточно денег, чтобы не думать о них, и оставляла время для собственных размышлений. И Мёбиус стал одним из крупнейших геометров XIX века. В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей, одна из которых - лист Мёбиуса.Открыть свой "лист" Мёбиусу помогла служанка, сшившая неправильно концы ленты. В 1858 году Август Фердинанд Мёбиус послал в Парижскую академию наук работу, включавшую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы и, не дождавшись, опубликовал ее результаты. Одновременно с Мёбиусом изобрел этот лист и другой ученик К.Ф. Гаусса - Иоганн Бенедикт Листинг (1808 - 1882), профессор Геттингенского университета. Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем Мёбиус, - в 1862 году. Что же поразило этих двух немецких профессоров? А то, что у листа Мёбиуса всего одна сторона. Мы же привыкли к тому, что у всякой поверхности, с которой мы имеем дело (лист бумаги, велосипедная или волейбольная камера), - две стороны.

Изготовление листа Мёбиуса Самое же удивительное, пожалуй, то, что я смогу её сделать своими руками и это совсем несложно. Лист Мёбиуса очень легко сделать, подержать в руках, разрезать, поэкспериментировать как-нибудь еще.Надо лишь взять полоску бумаги. Далее склеить её концы, предварительно повернув один из них на 180^о. И тогда в ваших руках окажется лист, или лента Мёбиуса.(показать образец обыкновенной полоски и полоски Мёбиуса) Получим перекрученное кольцо.И задаемся вопросом: сколько сторон у этого куска бумаги? Две, как у любого другого? Нет. У него ОДНА сторона. Не верите? Хотите - проверьте.Убедимся в этом: возьмём кисти и краски, начнём постепенно окрашивать его в какой-нибудь цвет, начиная с любого места. После окончания лист у нас полностью будет окрашен. (отдать одному из участников конференции покрасить лист простой полоски и лист Мёбиуса другому участнику)Это доказывает, что лист Мёбиуса имеет одну сторону.

Эксперименты с листом Мёбиуса Эксперимент 1. Что получится, если обыкновенное (не перекрученное) бумажное колечко разрезать вдоль его средней линии? Очевидно - два кольца, причем длина окружности каждого будет такой же, как длина окружности первоначально взятого колечка. А если вы разрежете лист Мебиуса вдоль его средней линии, то вместо двух лент получится одна длинная лента с двумя полуоборотами.

Эксперимент 2. Если разрезать ленту Мёбиуса, отступая от края приблизительно на треть её ширины, то получаются две ленты, одна-более тонкая лента Мебиуса, другая - длинная лента с двумя полуоборотами.







Эксперимент 3. Если разрезать ленту на четыре равные части, то мы получим две ленты с двумя полуоборотами.

Такие эксперименты можно продолжать до бесконечности! И получать всё новые и новые результаты!

Применение листа Мебиуса в жизни Занимаясь этой работой, я пришёл к выводу, что хотя лист Мёбиуса открыли ещё в XΙX веке, он актуален и в XX веке, и в XXΙ. Удивительные свойства листа Мёбиуса применялись и используются сейчас в технике, физике, оптике. Вдохновлял он на творчество многих писателей и художников. Благодаря этой ленте возникло множество самых различных изобретений.

Лист Мёбиуса в технике и физике Так например были созданы особые кассеты для магнитофона, которые дали возможность слушать музыку» с двух сторон», не меняя их местами и удвоить время записи.В матричных принтерах красящая лента имела вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности. Это дает ощутимую экономию. В технике, например, при шлифовании, широко используются мёбиусные ленты. Подобные устройства способны не только шлифовать, но и резать различные материалы, те же граниты и базальты. Эта лента отлично работает при обвязке и переноске грузов в портах. Ленты конвейеров для перемещения горячих материалов, если их вывернуть по Мебиусу, будут по очереди «отдыхать» от раскаленных материалов. В итоге охлаждение ленты улучшается, а лента равномерно изнашивается значит, и служить она будет дольше.. Это даёт ощутимую экономию. Если у ременной передачи ремень сделать в виде листа Мёбиуса, то его поверхность будет изнашиваться вдвое медленнее, чем у обычного кольца. - Полоса ленточного конвейера, шлифовальная лента, выполненная в виде ленты Мёбиуса, позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты равномерно изнашивается.

Лист Мёбиуса в искусстве.

Очень интересны памятники, посвящённые ленте Мёбиуса.















Ювелиры посвятили свои работы ленте Мёбиуса.



Лист Мёбиуса изображают на различных эмблемах, значках, как, например, на значке механико-математического факультета Московского университета. Международный символ переработки также представляет собой Лист Мёбиуса.



Кроме того именем Мёбиуса назван кратер на обратной стороне Луны.

Фокусы 1. А сейчас я хочу предложить очень удивительное на мой взгляд превращение листа Мебиуса! Склеим обычное кольцо и ленту Мёбиуса под прямым углом и разрежем по пунктирной линии. Вы поразитесь тому, что получится, если разрезать двойное кольцо.







Получилась квадратная рамка! 2. Завязать на шарфе узел, не выпуская из рук его концов. Это можно сделать так. Положите шарф на стол. Скрестите руки на груди. Продолжая держать их в таком положении, нагнитесь к столу и возьмите поочередно по одному концу шарфа каждой рукой. После того как руки будут разведены, в середине шарфа сам собой получится узел. Пользуясь топологической терминологией, можно сказать, что руки зрителя, его корпус и шарф образуют замкнутую кривую в виде "трехлистного" узла. При разведении рук узел только перемещается с рук на платок. 3. Вывертывание жилета на изнанку, не снимая с человека. Владельцу жилета необходимо сцепить пальцы рук за спиной. Окружающие должны вывернуть жилет наизнанку, не разнимая рук владельца. Для демонстрации этого опыта необходимо расстегнуть жилет и стянуть его по рукам за спину владельца. Жилет будет болтаться в воздухе, но, конечно, не снимется, потому что руки сцеплены. Теперь нужно взять левую полу жилета и, стараясь не измять жилет, просунуть ее как можно дальше в правую пройму. Затем взять правую пройму и просунуть ее в ту же пройму и в том же направлении. Осталось расправить жилет и натянуть его на владельца. Жилет окажется вывернутым на изнанку.

Выводы «Мышление начинается с удивления»,- заметил 2500 лет назад Аристотель. А математика замечательный предмет для удивления. В ходе математического исследования я узнал много нового и интересного, необычного. Поставленной цели я достиг, так как я теперь знаю, что Мёбиус-это великий немецкий учёный, который внёс огромный вклад в развитие науки. Лист Мёбиуса обладает многими интересными свойствами.

1. Лист Мебиуса имеет один край.
2. Лист Мебиуса имеет одну сторону.
3. Ленту Мёбиуса можно встретить в различных сферах деятельности человека.

Литература

1. Стройк Д.Я. (перевод с немецкого и дополнения Погребысского И.Б.) Краткий очерк истории.

2. Джон Дж. О'Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон. Мёбиус, Август Фердинанд

3. Август Мёбиусcalend.ru/person/2637/|

4. Статья: Что такое лист Мёбиуса?genon.ru

5. Леонова О.А. Введение в топологию «Лист Мёбиуса».

6. Статья: Трогаем бесконечность. Мебиус, Клейн и другие топологические парадоксы. log-in.ru/articles/1360/

7. Статья: Элементы топологии на примере листа Мёбиуса. sola.narod.ru/top.htm

8. Кордемский Б.А, Топологические опыты своими руками. Квант. 1974, №3, с. 73-75

9. Статья: Преобразования Мебиусаsmartvideos.ru/mebius-transfor

10. Искусство и технология. dik.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/37.129#.

11. Волошинов А.В. "Математика и искусство" издательство: «Просвещение».

12. Газета «Математика», приложение к издательскому дому «Первое сентября».

13. Гарднер М. «Математические чудеса и тайны».

14. Гусев В.А., Комбаров А.П. «Математическая разминка» .

15. Кордемский Б. А. Топологические опыты своими руками.

16. Лэнгдон Н., Снейп Ч. С математикой в путь.

17. Савин А.П., Станцо В.В., Котова А.Ю. «Я познаю мир математики».

18. Стинрод Ю., Чинн У. «Первые понятия топологии».