Решение комбинаторных задач в начальной школе

Решение комбинаторных задач в начальной школе
Комбинаторика - раздел дискретной математики, изучающий всевозможные сочетания и расположения предметов.
Цели: 1. Понимание того, что в задаче на перебор вариантов целесообразно следовать логике перебора, а не хаотично. 2. Познакомить с инструментом перебора вариантов, деревом возможности. 3. Развивать вариативное мышление. 4. Закреплять вычислительные навыки.
Процесс обучения школьников решению комбинаторных задач таит в себе большие развивающие возможности: на их основе совершенствуются приемы умственной деятельности, формируется важная для человека способность комбинировать, определяющая развитие комбинаторного мышления. Комбинаторное мышление, тесно связанное со становлением умственных операций и представляющее собой активизацию мыслительной деятельности « в направлении поиска тех или иных преобразований» (О.С.Медведева), в свою очередь, взаимосвязано с теоретическим мышлением, считающимся основным «новообразованием» младшего школьного возраста (Л.С.Выготский, В.В.Давыдов).

Подготовительный период

(свойства предметов, отношения).
1. Следы от НЛО. Витя и Вика обнаружили в поле странные следы. Они сразу догадались. Что ночью здесь приземлились НЛО. Но дети поспорили: с одной планеты прилетели НЛО или с разных? Разрешите спор Вити и Вики. (Рис. 1) Чтобы помочь ученикам справиться с заданием, проводится беседа: - Что надо определить, чтобы ответить на вопрос задания? (Одинаковые следы или разные) - Как вы считаете? Ваши предложения? Чем они похожи? (По 4 кружка 4 цветов) - Но чем же все-таки различаются следы? (Кружки строятся в разном порядке) Учитель предлагает проследить, как «путешествуют» кружки одного цвета в следах. Ученики приходят к выводу, что если последовательно поворачивать «следы» по кругу, то получится один и тот же рисунок. При обнаружении этой ситуации ученики сравнивают, обобщают, анализируют и устанавливают отношения между предметами.
2. «Парусники». 4 парусника готовились к соревнованиям. У каждого спортсмена был свой белый корабль. Судьи решили, что надо раскрасить паруса, чтобы парусники были видны издалека, и было ясно, кто из спортсменов идет впереди, кто запаздывает. Покажите, кА по-разному раскрасили паруса, если были всего 2 краски. (Рис.2.) Основная трудность, которая возникает у школьников при раскрашивании - это догадаться, что весь парус можно закрасить одним цветом. В этой ситуации можно задать вопрос: «Обязательно каждый парус надо закрасить двумя красками? Как еще по-другому можно закрасить оставшиеся?» (Рис.3).

Перестановка из двух элементов.
Далее идет работа над понятиями «выше», «ниже», «наверху», «внизу», «слева», «справа» и вводится понятие перестановки. Учитель сообщает, что порядок расположения предметов называется перестановка. Сначала переставляются 2 элемента. (Рис.4) Дети делают вывод, что существует 2 способа расположения предметов.

Перестановка из трех элементов по два.
Теперь ученики при выполнении другого задания смогут сразу определить число комбинаций, если они будут составлены без повторений из трех элементов по два. Из трех букв А, У, Х можно составить 6 слогов, где слог состоит из двух букв, буквы не повторяются
АУ УА ХА АХ УХ ХУ

Перестановки из трех элементов.
Далее ребятам предлагается игра «Электричка». Сначала 2, а потом 3 девочки меняются местами.
ТК \\ ТКЛ КТЛ ЛКТ КТ \\ ТЛК КЛТ ЛТК
Деи проговаривают алгоритм получения новых перестановок: один элемент фиксируется, а два других переставляются. На 13-м уроке рассматривается перестановка 3-х элементов, здесь есть подсказка, и дети её замечают. Один цвет фиксируется 2 раза наверху, остальные дети меняют. (Рис.5) Учитель предлагает учащимся определить - какой прямоугольник расположен выше красного? - ниже красного? - какой ниже синего, но выше красного? - как изменить расположение прямоугольников, чтобы красный находился ниже синего, но выше зеленого? Такая же работа проводится над всеми столбиками, кроме последнего. - Можно ли раскрасить последний столбик как-нибудь по другому? Ребята вспоминают и закрепляют алгоритм перестановки. В последующих заданиях дети самостоятельно разукрашивают 2,3,4,5 столбиков. А потом - С\Р над всем заданием. Игры: «Светофор», «Поясок», «Бусинки».

«Картины» Художник написал 3 картины и сделал для них рамки. (Рис. 6) Помоги ему найти лучший способ расположения картин на стене.

Состав числа в пределах 10.

Смысл действий сложения и вычитания.
Большинство задач этого этапа основывается на знании состава однозначного числа - на умении представить число разными способами в виде суммы других чисел, причем соблюдается принцип перевода предметных действий на язык математических символов и наоборот. 1. «Чашки». Помоги расставить 5 чашек на 3 полки разными способами так, чтобы на каждой полке стояли чашки.
1 2 2 1+2+2 2 1 2 2+1+2 2 2 1 2+2+1
3 1 1 3+1+1 1 3 1 1+3+1 1 1 3 1+1+3
Вывод: от перестановки слагаемых сумма не меняется.
2. Запиши значения выражений 2+1, 3-1, 3-2. Какие цифры использованы для записи чисел? Запиши все возможные перестановки этих цифр, без повторов. Подчеркни ту запись, которая обозначает отрезок чисел, стоящих по порядку, в обратном порядке.
3 2 1 2 1 3 1 2 3 3 1 2 2 3 1 1 3 2
3. Состав чисел в пределах 20. а) составь все возможные суммы из двух чисел, используя лишь числа 5,6,7 (порядок слагаемых не принимается во внимание)
5 + 5, 5 + 6, 5 + 7, 6 + 6, 6 + 5, 6 + 7, 7 + 5, 7 + 6, 7 + 7
б) составь все возможные разности из этих же чисел.
6 - 6, 6 - 5, 7 - 7, 7 - 6, 7 - 5, 5 - 5
Перестановки из 4,5,6… элементов
Во 2 классе рассматриваются случаи перестановки 4,5,6 элементов, где первые 1,2,3 соответственно элементы фиксируются, а остальные 3 переставляются: «Раскрась флаги». Задача учителя показать и познакомить детей с эффективными инструментами систематического перебора - таблицами и графами. Эта работа поможет создать мотивацию для изучения дерева возможностей.
з з \\ к к к

з к \\ з к к к з к к к з к з\\ з к к к з к к к з к к\\ з з к з к з к з з

Двузначные и трехзначные числа.
1.Запишите числа: 22,24,26, 42,44,46, 62,64,66. По какому правилу все эти числа собраны в одну группу? По каким признакам можно разбить эти числа на две группы? - в записи чисел 22,24,26 использованы цифры 2,3,6 - в этих числах по 2 дес., в записи каждого числа цифра 2 - в записи чисел 42,44,46 использованы цифры 2,4,6 - в этих числах по 4 дес., в записи каждого числа цифра 4 - в записи чисел 62.64,66 использованы цифры 2,4,6 - в этих числах по 6 дес., в записи каждого числа цифра 6 - Итак, по какому правилу записали все числа? В записи двузначных чисел использовали цифры 2,4,6. - На какие две группы разбиваются эти числа? 22,44,66 - записи использована одна цифра 24,26,42,46,62,64 - в записи разные цифры. 2. Какие трехзначные числа можно составить из цифр 7,0,9, если а) цифры в записи числа не повторяются? 7 0 9 9 0 7 7 9 0 9 7 0 4 перестановки, т.к. трехзначное число не может начинаться с 0. Дети должны усвоить мысль о том. Что перебор вариантов выгодно осуществлять в определенном порядке. Каждую цифру надо фиксировать по очереди в разряде сотен. б) цифры в записи числа могут повторяться? «7» «9» «7 и 0» «7 и 9» «9 и 0» \\ 9,7,0 9 и 7 777 999 770 779 990 707 797 909 700 799 900 977 997 979 - найди наименьшее трехзначное число - подчеркни наибольшее трехзначное число - найди число, в котором: 70 дес. 7 ед., 7 дес. 99 ед.. - какое число подходит к схеме ?

• * * * + * = * * *

Таблицы, графы. Дерево возможностей.
1. Три поросенка Ниф-Ниф, Нуф-Нуф и Наф-Наф решили построить себе домики. Выбрали три прекрасных места: у реки, на озере и на горе. Найди все возможные варианты их размещения с помощью таблицы. (Рис. 7) 2. Однажды встретились пятеро друзей. Каждый, здороваясь, пожал каждому руки. Сделай график и определи, сколько рукопожатий было сделано. (Рис.8) 3. Дерево возможностей - ветки растут и сверху и снизу. Дети являются творцами создания веточек у дерева. На их глазах точка превращается в дерево возможностей.
Сосчитай, сколько слов содержится в заклинании волшебника, если слова начинаются с букв Ш, Ц. Второй буквой могут быть О, И, Е. А оканчиваться слова могут буквами Р, К, Х. (Рис. 9)
ШОР ШИР ШЕР
ШОК ШИК ШЕК
ШОХ ШИХ ШЕХ

ЦОР ЦИР ЦЕР
ЦОК ЦИК ЦЕК
ЦОХ ЦИХ ЦЕХ

2 * 3 * 3 = 18 вариантов. Таким образом, при решении комбинаторных задач активизируется мыслительная деятельность учащихся. Ученики, анализируя условие, выделяют определенные части, составляют нужные комбинации. Задействуется такая мыслительная операция, как анализ - процесс расчленения целого на части, выделения отдельных элементов в объекте. С другой стороны, в процессе синтеза, или соединения элементов, сторон объектов в целое, учащиеся определяют, что сначала можно составить определенную комбинацию. На примерах хорошо видно, что при поиске ответа на поставленный вопрос ученики не смогут обойтись без наблюдения и сравнения. Если младшие школьники не будут специально, с определенной целью воспринимать информацию, заключенную в задаче, то вряд ли смогут решить её. Сравнение - процесс выделения признаков, свойств объектов и установления сходства и различия между ними - позволяет ученикам при составлении чисел избежать повторов. Составит все возможные числа на основе сходства и различия. Систематическое использование комбинаторных задач в обучении - эффективно для формирования у учащихся базовых математических знаний, умений, навыков.
ЛИТЕРАТУРА:

1. Е.Е.Белокурова «Обучение решению комбинаторных задач с помощью таблиц и граф».
2. Л.Г.Петерсон «Математика 1,2,3 кл.».
3. Л.Г.Петерсон «Методические рекомендации».
4. С.В.Солнышко «Использование комбинаторных задач при обучении первоклассников математике».