Исследовательская работа Аюшеевой Юлии Практическое применение подобия треугольников

Управление образования МО «Тункинский район»

МОУ «Горхонская средняя общеобразовательная школа»

Научно-практическая конференция школьников

«Шаг в будущее»

Секция «Геометрия»

Практическое применение

подобия треугольников

Выполнила: Аюшеева Юлия,

ученица 9 класса

руководитель: Сороковикова И.Г.

учитель математики

с.Кырен

2012г.

Оглавление

I.Введение……………………………………………………………………………………..2

II.Основная часть

1. Применение подобия треугольников для измерений на местности.

1.1.Преобразование подобия…………………………………………………………...3

1.2.Признаки подобия треугольников………………………………………………...4

1.3.Методы определения высоты предмета…………………………………………...4

2.Сравнительная характеристика методов определения высоты предмета…………….9

III.Заключение………………………………………………………………………………..12

IV.Литература………………………………………………………………………………...13

V.Приложение……………………………………………………………………………..…14

Введение. Проводить измерения на поверхности Земли люди начали в глубокой древности. Несколько тысячелетий назад египтяне научились восстанавливать границы своих небольших полей после ежегодного разлива Нила и рисовать их планы. Так родилась геометрия - наука об измерении Земли. В наше время геометрия - это не просто наука о свойствах треугольников, параллелограммов, окружностей и других фигур. Геометрия - это целый мир, который окружает нас с самого рождения. Ведь все, что мы видим вокруг, так или иначе относится к геометрии, ничто не ускользает от ее внимательного взгляда. Геометрия помогает человеку идти по миру с широко открытыми глазами, учит внимательно смотреть вокруг и видеть красоту обычных вещей, смотреть и думать, думать и делать выводы. Так и я, учась в 7 классе и будучи членом туристической сборной школы столкнулась с необходимостью применения геометрии при определении высоты дерева. Готовясь к турслёту я узнала много нового, и решила систематизировать свои знания. Итак, тема моей работы «Практическое применение подобия треугольников». Цель работы: изучить практическое применение подобия треугольников. Для достижения цели поставлены следующие задачи: 1.изучить литературу по данной теме; 2.провести практическую работу; 3.дать сравнительную характеристику методов определения высоты предмета. Актуальность заключается в том, что без каких - либо инструментов, можно измерить высоту столба, пирамиды, колокольни, дерева, ширину реки, озера, оврага, длину острова, глубину пруда и т.д. В ходе работы были применены следующие методы: обзор литературы, практическая работа, сравнение. Работа носит практико-ориентированный характер, так как практическая значимость работы заключается в возможности использования результатов исследования на уроках геометрии, в повседневной жизни. Результаты исследований оформлены в виде буклета.

1.Применение подобия треугольников для измерений на местности.

1.1.Преобразование подобия. Учение о подобии фигур на основе теории отношений и пропорции было создано в Древней Греции в V - IV вв. До нашей эры трудами Гиппократа Хиосского, Архита Таренского, Евдокса Книдского и др. Оно изложено в VI книге «Начал» Евклида, начинающейся следующим определением: «Подобные прямолинейные фигуры суть те, которые имеют соответственно равные углы и пропорциональные стороны». Свойства подобных фигур издавна применяются на практике при составлении географических карт, планов и чертежей, при землемерных работах на местности. Преобразование фигуры F в фигуру F' называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз (рис. 1). Это значит, что если произвольные точки X, Y фигуры F при преобразовании подобия переходят в точки X', Y' фигуры F', то X'Y' = k-XY, причем число k - одно и то же для всех точек X, Y. Число k называется коэффициентом подобия. При k = l преобразование подобия, очевидно, является движением.
Рис.1 Две фигуры называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия. Для обозначения подобия фигур используется специальный значок: ∞. Запись F∞F' читается так: «Фигура F подобна фигуре F'». Докажем, что если фигура F₁ подобна фигуре F₂, а фигура F₂ подобна фигуре F₃, то фигуры F₁ и F₃ подобны. Пусть Х₁ и Y₁ - две произвольные точки фигуры F₁. Преобразование подобия, переводящее фигуру F₁ в F₂, переводит эти точки в точки Х₂, Y₂, для которых X₂Y₂ = k₁X₁Y₁. Преобразование подобия, переводящее фигуру F₂ в F₃, переводит точки Х₂, Y₂ в точки Х₃, Y₃, для которых X₃Y₃ = - k₂X₂Y₂. Из равенств X₂Y₂₌kX₁Y_1, X₃Y₃ = k₂X₂Y₂ следует, что X₃Y₃ = k₁k₂X₁Y₁. А это значит, что преобразование фигуры F₁ в F₃, получающееся при последовательном выполнении двух преобразований подобия, есть подобие. Следовательно, фигуры F₁ и F₃ подобны, что и требовалось доказать. В записи подобия треугольников: ΔABC∞ΔA₁B₁C₁ - предполагается, что вершины, совмещаемые преобразованием подобия, стоят на соответствующих местах, т. е. А переходит в А₁, В - в B₁ и С - в С₁. Из свойств преобразования подобия следует, что у подобных фигур соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны. В частности, у подобных треугольников ABC и А₁В₁С₁

• A=А₁, В=В₁, С=С₁

1.2.Признаки подобия треугольников. Теорема 1. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Теорема 2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны. Теорема 3.Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

1.3.Задачи. Многие задачи, требующие нахождения расстояния на местности решаются с помощью признаков подобия треугольников, но чаще всего применяется первый признак подобия треугольников по двум углам. Задача. Измерение высоты дерева. Есть много методов измерения высоты предмета, основанных на признаке подобия треугольников по двум углам. 1.Для того, чтобы измерить высоту дерева BD, нужно приготовить равнобедренный прямоугольный треугольник АВ₁C₁ (угол А = 45⁰) и, держа его вертикально, отойти на такое расстояние, при котором, глядя вдоль гипотенузы АВ₁, нужно увидеть верхушку дерева В. Какова высота дерева ВD? Решение: 1) Так как А общий для обоих треугольников, АС₁В₁ =АСВ 90^о (по условию), то АС₁В₁ и АСВ - подобные (по признаку подобия о 2-х углах). 2) Тогда АВ₁C₁ = АВС = 45^о, => ВС = АС , но к получившейся длине мы должны еще прибавить рост человека, то есть длина дерева BD=ВС + СD

Рис. 2 2. Самый простой способ состоит в том, что в солнечный день можно пользоваться любой тенью, какой бы длины она ни была. Измерив свою тень или тень какого-нибудь шеста, вычисляют искомую высоту из пропорции (рис. 3) AB :ab=BC:bc т.е. высота дерева во столько раз больше вашей собственной высоты (или высоты шеста), во сколько раз тень дерева длиннее тени человека (или тени шеста). Это вытекает из геометрического подобия треугольников ABC и abc (по двум углам). Рис. 3 3.Можно воспользоваться свойствами равнобедренного прямоугольного треугольника, обратившись к весьма простому прибору, который легко изготовить из дощечки и трех булавок. На дощечке любой формы, даже на куске коры, если у него есть плоская сторона, намечают три точки - вершины равнобедренного прямоугольного треугольника - и в них втыкают по булавке (рис. 4) .



Рис. 4 Рис. 5 Если нет под рукой чертежного треугольника для построения прямого угла, нет и циркуля для отложения равных сторон, то можно перегнуть любой кусок бумаги один раз, а затем поперек первого сгиба еще раз так, чтобы обе части первого сгиба совпали, - и получим прямой угол. Та же бумага пригодится и вместо циркуля, чтобы отмерить равные расстояния. Отойдя от измеряемого дерева, нужно держать прибор так, чтобы один из катетов треугольника был направлен отвесно, для чего можно пользоваться ниточкой с грузиком, привязанным к верхней булавке. Приближаясь к дереву или удаляясь от него, всегда можно найти такое место А (рис.5), из которого, глядя на булавки а и с, можно увидеть, что они покрывают верхушку С дерева: это значит, что продолжение гипотенузы ас проходит через точку С. Тогда, очевидно, расстояние аВ равно СВ, так как угол а=. Следовательно, измерив расстояние аВ (или на ровном месте, одинаковое с ним расстояние АD) и прибавивBD, т.е. возвышение аА глаза над землей, получим искомую высоту дерева. 4. Можно обойтись даже и без булавочного прибора. Здесь нужен шест, который придется воткнуть отвесно в землю так, чтобы выступающая часть как раз равнялась росту человека. Место для шеста надо выбирать так, чтобы, лежа, как показано на рис. 6, было видно верхушку дерева на одной прямой линии с верхней точкой шеста. Так как треугольник Abc - равнобедренный и прямоугольный, то угол А= и, следовательно, АВ равно ВС, т.е. искомой высоте дерева. Рис. 6 5. В качестве прибора для приблизительной оценки недоступной высоты можно использовать карманную записную книжку и карандаш. Она поможет построить в пространстве те два подобных треугольника, из которых получается искомая высота.

Рис. 7 Книжку надо держать возле глаз так, как показано на упрощенном рис. 7. Она должна находиться в отвесной плоскости, а карандаш выдвигаться над верхнем обрезом книжки настолько, чтобы, глядя из точки а видеть вершину В дерева покрытой кончиком b карандаша. Тогда вследствие подобия треугольников abc и аВС высота ВС определяется из пропорции BC : bc=aC:ac Расстояние bc, ac и аС измеряются непосредственно. К полученной величине ВС надо прибавить еще длину CD, т.е. - на ровном месте - высоту глаза над почвой. Так как ширина ас книжки неизменна, то если всегда становиться на одном и том же расстоянии от измеряемого дерева, высота дерева будет зависеть только от выдвинутой части bc карандаша. Поэтому можно заранее вычислить, какая высота соответствует тому или иному выдвижению, и нанести эти числа на карандаш. Записная книжка превратится тогда в упрощенный высотомер.
6. Своеобразный способ определения высоты дерева при помощи зеркала. На некотором расстоянии (рис. 8) от измеряемого дерева, на ровной земле в точке С кладут горизонтально зеркальце и отходят от него назад в такую точку D, стоя в которой наблюдатель видит в зеркальце верхушку А дерева. Тогда дерево (АВ) во столько раз выше роста наблюдателя (ЕD), во сколько раз расстояние ВС от зеркала до дерева больше расстояния СD от зеркала до наблюдателя. Рис. 8 Рис.9 Решение: Способ основан на законе отражения света. Вершина А (рис. 9) отражается в точке А' так чтоАВ=А'В. Из подобия же треугольников ВСА' и CED следует, что A'B:ED=BC:CD. В этой пропорции остается лишь заменить А'В равным ему АВ, чтобы обосновать указанное соотношение. Этот удобный и нехлопотливый способ можно применять во всякую погоду, но не в густом насаждении, а к одиноко стоящему дереву. 7. На рисунке 10 изображен высотомер лесника. Он представляет собой прямоугольную пластинку размером 10Х 10 см с закрепленным в точке А отвесом, шкалой на стороне ВС и визирами в точках А и D. Наведя с помощью визиров сторону AD на вершину дерева Е и заметив деление шкалы, которое показывает отвес AF,лесник с помощью несложной формулы и находит высоту дерева. Пусть, например, BF = 3 см. Докажем, что Н - h = 0,3d
Рис. 10 где Н - высота дерева, h - высота человека на уровне глаз, d - расстояние от дерева до человека (все размеры в метрах). Решение. Так как GEA=AFB, то прямоугольные треугольники EGA и FBA подобны. Поэтому (все размеры в см): или Задачи на нахождение расстояний всегда имели и имеют большое значение в военном деле. Например, задача о неприятельской вышке (см. приложение 1). История геометрии хранит немало приемов решения задач на нахождение расстояний. Определение расстояний до кораблей, находящихся в море, - одна из таких задач, решаемая двумя способами. (см. приложение 2). Решения отдельных старинных задач практического характера могут найти применение и в настоящее время, а поэтому заслуживают внимания. Например, определение высоты пирамиды Фалесом Милетским (см. приложение 3). И в художественной литературе мы тоже наблюдаем находчивость и изобретательность, а главное знание геометрии: при нахождении высоты дерева - в рассказе Артура Конана Дойля «Обряд дома Месгрейвов», в романе Жюля Верна «Таинственный остров» - при нахождении высоты гранитной стены (см. приложение 4). Итак, я рассмотрела различные методы определения расстояний, все они основаны на применении признака подобия треугольников по двум углам.

2.Сравнительная характеристика методов

определения высоты предмета.

Цель практической работы: выявить наиболее точный метод определения высоты предмета. Я решила измерять расстояние от земли до электропроводов различными способами. В ОАО «Бурятэнерго» я узнала, что в населённых пунктах это расстояние равно 7,5 метров, а вне населённых пунктов 6м. Для практической работы я использовала четыре метода, которые мне показались наиболее интересными и применимыми в любых условиях с подручными средствами. 1.Определение высоты предмета с помощью планшета (на планшете - прямоугольный равнобедренный треугольник) (см. приложение 5)







Инструменты: планшет с прямоугольным равнобедренным треугольником, нить с грузиком, рулетка. Катеты прямоугольного равнобедренного треугольника равны 19 см. Расстояние от меня до столба ВD = 6,12 м, мой рост до глаз DЕ= 1, 55м. Так как треугольник на планшете и треугольник ВСD подобны и оба прямоугольные равнобедренные, то ВС = ВD. Значит АС = ВС + АВ = ВС + DЕ = 6,12 + 1,55 = 7,67(м) 2.Определение высоты предмета с помощью книжки и карандаша. (см. приложение 6) Инструменты: книга, карандаш, рулетка.





Ширина книги = 12,5 см, карандаш выдвинулся над книгой на расстояние 7см, расстояние от меня до столба АЕ = 11м, мой рост до глаз DЕ = 1,55м. СВD подобен IKD по двум углам, значит ВС : ВD = IK : KD ВС : 0,07 = 11: 0,125 ВС = 6,16 АС = ВС + АВ = ВС + DЕ = 6,16 + 1,55 = 7,71(м) 3.Определение высоты предмета с помощью зеркала (см. приложение 7) Инструменты: зеркало, рулетка.









Положив зеркало I на землю, я передвигала его до тех пор, пока не увидела в нём отражение нижнего изолятора. Измерила расстояния АI = 8,9 м, IE = 1,88м, мой рост до глаз DE = 1,55 м. АСI подобен IЕD по двум углам. АС : DE = АI : IE АС : 1,55 = 8,9 : 1,88 АС = 7,34 4.Определение высоты предмета с помощью высотомера охотника.(см. приложение8) Инструменты: высотомер, рулетка. Высотомер - квадрат картона размером 10Х10 см со шкалой (цена деления 1см)











Измерила расстояние АЕ = 11,65м, отвес остановился на расстоянии 5 см от края. DЕ = 1,55м - это мой рост до глаз. Составила пропорцию ВС : 0,05 = 11,65 : 0,1 ВС = 5,825(м) АС = ВС + АВ = ВС + DЕ = 5,825 + 1,55 = 7,375(м) Получив четыре значения расстояния до проводов (высота столба до первого изолятора), я составила следующую таблицу:

№

Метод

Результат вычислений

Фактически

Погрешность 1. С помощью планшета 7,67м 7,5м 0,17м 2.

С помощью книги и карандаша 7,71м 7,5м 0,21м 3.

С помощью зеркала 7,34м 7,5м -0,16м 4.

С помощью высотомера охотника 7,375м 7,5м -0,125м

Наибольшую точность даёт измерение с помощью высотомера охотника, но не всегда он бывает под рукой, его нужно специально сделать. Также хорошую точность даёт метод измерения с помощью зеркала, вместо зеркала можно использовать лужицу. Этот метод предусматривает меньше вычислений, так как не нужно прибавлять рост человека. Оставшиеся два метода тоже дают небольшую погрешность, и вполне применимы для измерний. Вывод: все методы применимы для использования в повседневной жизни, но самым оптимальным является метод нахождения высоты предмета с помощью зеркала.

Заключение. Изучение темы «Подобие» и практические работы на местности обогатили меня новыми знаниями, расширили кругозор по геометрии. Мною были изучены различные способы измерения высоты предмета. Полученные знания достаточно легко применяются на практике. Высоту столба, дерева можно измерить разными способами: с помощью лужи, зеркала, используя шест, и специальные приспособления. Исследованные мною методы дают результаты с минимальной погрешностью. В результате исследовательской деятельности мною сделан буклет, в которм описываются все методы измерения высоты предмета. Эта информация будет полезна участникам турслётов, альпинистам, горнолыжникам, туристам. В дальнейшем я продолжу работу над этой темой, рассматривая следующие задачи: измерение глубины и ширины реки, озера, оврага. Геометрические знания и умения, геометрическая культура и развитие являются сегодня профессионально значимыми для многих современных специальностей, для дизайнеров и конструкторов, для рабочих и ученых. В начале прошлого столетия великий французский архитектор Корбюзье как-то воскликнул: «Все вокруг геометрия!». Сегодня уже в начале 21-го столетия мы можем повторить это восклицание с еще большим изумлением. В самом деле, посмотрите вокруг - всюду геометрия! Современные здания и космические станции, авиалайнеры и подводные лодки, интерьеры квартир и бытовая техника, микросхемы и даже рекламные ролики. Воистину, современная цивилизация - это Цивилизация Геометрии.

Литература. 1.В.Г.Болтянский «Элементарная геометрия», Москва, «Просвещение», 1985г, 320с. 2.В.Н.Ганьшин «Простейшие измерения на местности», Москва, «Недра», 1983г, 110с. 3.Г.И.Глейзер «История математики в школе», Москва, «Просвещение», 1982г, 240с. 4.Детская энциклопедия. Том 1. Земля.. Москва, «Просвещение», 1964г, 470с. 5.Энциклопедия «Математика», Москва, «Аванта+» 6.Энциклопедический словарь юного математика, Москва, «Педагогика», 1983г, 365 с.

Приложение

Приложение 1 Задача. Неприятельская вышка. Открытый участок дороги находится на полосе АВ шириной в 50м; неприятельский наблюдательный пункт находится на верху колокольни высотой MN = 22м. Какой высоты следует сделать вертикальную маску КВ на расстоянии 500м от колокольни, чтобы закрыть дорогу от наблюдателя противника? Рис. 11 Дано: AMN, АВ = 50м, MN = 22м, BN = 500м. Найти: КВ. Решение: АКВ ~ АМN (по 2-м углам: А - общий, АВК и AMN - прямые, а если треугольники подобны, то все его элементы тоже подобны. То есть, , а . Следовательно, м. Ответ: 2 м.

Приложение 2 Задача. Определение расстояния до кораблей в море. Найти расстояние от точки А, находящейся на берегу до корабля Дано: А = 1; В = 2; АВ = а. Найти: АК. Решение: 1-й способ. Пусть корабль находится в точке К, а наблюдатель в точке А. Требуется определить расстоянияКА. Построив в точке А прямой угол, необходимо отложить на берегудва равных отрезка АВ = ВС. В точке С вновь построить прямой угол, причем наблюдатель должен идти по перпендикуляру до тех пор, пока не дойдет до точки D, из которой корабль К и точка В были бы видны лежащими на одной прямой. Прямоугольный треугольники ВСD и ВАК равны, следовательно, CD = AК, а отрезокCD можно непосредственно измерить.




Второй способ, получивший название метода триангуляции, нашел применение в астрономии. С его помощью измерялись расстояния до небесных тел. Этот метод состоит из 3-х этапов: 1. Измерение углов 1 и 2 и расстояния АВ. 2. Построение А'В'К' с углами 1 и 2 при вершинах А' и В' соответственно. 3. Учитывая подобие треугольников АВК, А'В'К' и равенство , по известным длинам отрезковАВ, А'К' и А'В' нетрудно найти длину отрезка АК.

Приложение 3

Определение высоты пирамиды Фалесом. Самый легкий и самый древний способ - без сомнения, тот, которым греческий мудрец Фалес за шесть веков до нашей эры определил в Египте высоту пирамиды. Он воспользовался ее тенью. Фалес, - говорит предание, - избрал день и час, когда длина собственной его тени равнялась его росту; в этот момент высота пирамиды должна также равняться длине отбрасываемой ею тени. Конечно, длину тени надо было считать от средней точки квадратного основания пирамиды; ширину этого основания Фалес мог измерить непосредственно. Фалес жил задолго до Евклида, автора замечательной книги, по которой обучались геометрии в течение двух тысячелетий после его смерти. Заключенные в ней истины не были открыты в эпоху Фалеса. А чтобы воспользоваться тенью для решения задачи о высоте пирамиды, надо было знать уже некоторые геометрические свойства треугольника, - именно следующие два: 1) что углы при основании равнобедренного треугольника равны, и обратно - что стороны, лежащие против равных углов треугольника, равны между собою; 2) что сумма углов всякого треугольника (или по крайней мере прямоугольного) равна двум прямым углам. Только вооруженный этим знанием Фалес вправе был заключить, что, когда его собственная тень равна его росту, солнечные лучи встречают ровную почву под углом в половину прямого, и, следовательно, вершина пирамиды, середина ее основания и конец ее тени должны обозначать равнобедренный треугольник. Однако способ Фалеса в указанном виде применим не всегда.

Приложение 4

Определение высоты вяза в рассказе

Артура Конана Дойля «Обряд дома Месгрейвов» Всемирно известный писатель Артур Конан Дойль был врачом. Но он очень хорошо, видимо, знал геометрию. В рассказе "Обряд дома Месгрейвов" он описал, как Шерлоку Холмсу нужно было определить, где будет конец тени от вяза, который срубили. Он знал высоту этого дерева ранее. Шерлок Холмс так объяснил свои действия: "… я связал вместе два удилища, что дало мне шесть футов, и мы с моим клиентом отправились к тому месту, где когда-то рос вяз. Я воткнул свой шест в землю, отметил направление тени и измерил ее. В ней было девять футов. Дальнейшие мои вычисления были уж совсем несложны. Если палка высотой в шесть футов отбрасывает тень в девять футов, то дерево высотой в шестьдесят четыре фута отбросит тень в девяносто шесть футов, и направление той и другой, разумеется, будет совпадать".

Определение высоты гранитной стены

в романе Жюля Верна «Таинственный остров» «- Сегодня нам надо измерить высоту площадки Дальнего вида, - сказал инженер. -Вам понадобится для этого инструмент? - спросил Герберт.
- Нет, не понадобится. Мы будем действовать несколько иначе, обратившись к не менее простому и точному способу. Юноша, стараясь научиться, возможно, большему, последовал за инженером, который спустился с гранитной стены до окраины берега.
Взяв прямой шест, длиной 12 футов, инженер измерил его возможно точнее, сравнивая со своим ростом, который был хорошо ему известен. Герберт нёс за ним отвес, врученный ему инженером: просто камень, привязанный к концу верёвки.
Не доходя футов 500 до гранитной стены, поднимавшейся отвесно, инженер воткнул шест фута на два в песок и, прочно укрепив его, поставил вертикально с помощью отвеса. Затем он отошёл от шеста на такое расстояние, чтобы лёжа на песке, можно было на одной прямой линии видеть и конец шеста, и край гребня. Эту точку он тщательно отметил колышком. Оба расстояния были измерены. Расстояние от колышка до палки равнялось 15 футам, а от палки до скалы 485 футам. По окончании измерений составили следующую запись…» «- Тебе знакомы зачатки геометрии? - спросил он Герберта, поднимаясь с земли.
- Да. -Помнишь свойства подобных треугольников?
-Их сходственные стороны пропорциональны.
- Правильно. Так вот: сейчас я построю 2 подобных прямоугольных треугольника. У меньшего одним катетом, будет отвесный шест, другим - расстояние от колышка до основания шеста; гипотенуза же - мой луч зрения. У другого треугольника катетами будут: отвесная стена, высоту которой мы хотим определить, и расстояние от колышка до основания этой стены; гипотенуза же - мой луч зрения, совпадающий с направлением гипотенузы первого треугольника.
- Понял! - воскликнул юноша. - Расстояние от колышка до шеста так относится к расстоянию от колышка до основания стены, как высота шеста к высоте стены.
- Да, и следовательно, если мы измерим два расстояния, то зная высоту шеста, сможем вычислить четвёртый неизвестный член пропорции, т.е. высоту стены. Мы обойдёмся, таким образом, без непосредственного измерения этой высоты. По окончании измерений инженер составил следующую запись:

10 : Н = 15 : 500
15Н = 5000
Н = 5000 : 15
Н ≈ 333,33 Значит, высота гранитной стены равнялась приблизительно 333 футам».

Приложение 5

Определение высоты предмета с помощью планшета

Приложение 6

Определение высоты предмета с помощью книжки и карандаша

Приложение 7

Определение высоты предмета с помощью зеркала

Приложение 8

Определение высоты предмета с помощью высотомера охотника

Рецензия

на исследовательскую работу

«Практическое применение подобия треугольников»

Аюшеевой Юлии, ученицы 9 класса. Исследовательская работа посвящена изучению практического применения подобия треугольников. Автор находит данную тему актуальной. Актуальность заключается в том, что без каких либо приспособлений можно достаточно точно узнать высоту предмета и автор это доказывает. Проявлено умение разбираться в научной литературе, информация систематизирована и отражена в буклете, хотя список изучаемой литературы мог бы быть и больше. Автор применяет метод сравнения при анализе результатов измерений, даёт оценку, делает обоснованные выводы. Углубляет наше представление в применении геометрии для решения конкретных задач. Стиль и оформление соответствуют предъявленным требованиям. Выводы и предложения: автором проделана достаточно большая поисковая и практическая работа, тема раскрыта, приведено достаточно примеров. Автору следует рассмотреть практическое применение подобия для нахождений линейных размеров других объектов.





02.02.2012. Учитель математики________/И.Г.Сороковикова/