- Преподавателю
- Начальные классы
- Творческая работа Математика без формул
Творческая работа Математика без формул
| Раздел | Начальные классы |
| Класс | - |
| Тип | Другие методич. материалы |
| Автор | Федоренко И.В. |
| Дата | 14.02.2015 |
| Формат | doc |
| Изображения | Нет |
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1. ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1 МЕТОД ТАБЛИЦ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 ЗАДАЧИ НА ПЕРЕЛИВАНИЕ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 ЗАДАЧИ НА ВЗВЕШИВАНИЕ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2. САМЫЕ ПОПУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 ВЫВОДЫ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 ЛИТЕРАТУРА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
ВВЕДЕНИЕ Есть в математике задачи, для решения которых не нужны ни числа, ни правила, ни формулы. Это логические задачи. Логика - это искусство рассуждать, умение делать правильные выводы. Логическая задача похожа на детектив, а ее решение - на распутывание остросюжетного детектива. Ведь для того, чтобы решить логическую задачу, необходимо как следует разобраться в условии, распутать все связи между участвующими объектами. С логическими задачами я сталкивался при подготовке к математическим конкурсам. Можно ли научиться решать логические задачи? Существуют ли методы (способы) решения логических задач? Цель работы: определить наиболее популярные логические задачи и способы их решения Задачи:
- изучить и апробировать основные способы решения логических задач
- выяснить, какие методы решения логических задач более эффективные
- создать подборку наиболее интересных задач
-
ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
Логические задачи составляют отдельный класс нестандартных математических задач. К логическим задачам относятся задачи в которых необходимо распознать объекты или указать соответствие между объектами; распознать истину и ложь. К логическим задачам также относятся задачи на переливание и взвешивание (нахождение фальшивой монеты). Для решения логических задач используют различные методы:
- Метод таблиц
- Метод графов
- Метод блок-схем
- Метод бильярда
- Метод кругов Эйлера
-
МЕТОД ТАБЛИЦ
Метод таблиц - самый распространенный способ решения логических задач. Он состоит в составлении таблиц, которые часто называют логическими квадратами. Таблицы позволяют наглядно представить условие задачи, помогают делать правильные выводы в ходе решения задачи, наглядно иллюстрируют ответ. Как они строятся? Объясним на несложном примере. Задача 1.1.1 В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что вода и молоко не в бутылке, сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом, в банке - не лимонад и не вода. Стакан стоит около банки и сосуда с молоком. Куда налита каждая жидкость? Для решения задачи составим логический квадрат. В клети по горизонтали впишем название сосудов, а в клети по вертикали - название жидкости.
лимонад
квас
вода
Проводим рассуждения, используя все условия задачи: вода и молоко не в бутылке, значит на пересечении строк вода, молоко и столбца бутылка ставим прочерки; сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом, значит лимонад и квас не в кувшине (прочерки);банке - не лимонад и не вода (прочерки); стакан стоит около банки и сосуда с молоком, значит молоко не в стакане и не в банке (прочерки). Получаем следующую таблицу
-
-
- лимонад
-
- квас
-
вода
-
-
-
-
+
- Лимонад
+
-
-
- Квас
-
-
-
+ вода
-
+
-
-
Еще одна задача из книги "Занимательная логика" Э.Кольмана и О.Зиха. Задача 1.1.2. В кафе встретились три друга: скульптор Белов, скрипач Чернов и художник Рыжов. "Замечательно, что один из нас имеет белые, один черные и один рыжие волосы, но ни у одного из нас нет волос того цвета, на который указывает его фамилия", - заметил черноволосый. "Ты прав", - сказал Белов. Какой цвет волос у художника? Для решения составим таблицу.
Используя условие задачи отметим, что Белов не блондин, Чернов не брюнет, Рыжов не рыжий и Белов не черноволосый.
-
брюнет
-
-
рыжий
-
-
+
- брюнет
-
-
+ рыжий
+
-
-
Рассмотрим более сложную задачу. Задача 1.1.3. В течение последних четырех лет Алексеев, Фомин, Дементьев и Иванов получали очередной отпуск в мае, июне, июле или в августе. Причем, если один из них отдыхал в мае, то другой - в июне, третий - в июле, а четвертый - в августе. Каждый из них получал отпуск в эти четыре года в разные месяцы. Так в первый год Дементьев отдыхал в июле, во второй год - в августе. Алексеев во второй год отдыхал в мае, Иванов в третий год - в июне, а Фомин в четвертый год - в июле. Кто в каком месяце отдыхал в каждом из этих четырех лет? Для решения задачи составим таблицу в клетки которой будем вписывать название месяца, в котором каждый из них отдыхал в течении четырех лет.
май
Фомин
июль Дементьев июль август
Иванов
июнь
май
Фомин
июнь
июль Дементьев июль август
Иванов
июль июнь
Для решения некоторых задач приходится составлять не одну, а две таблицы. Задача 1.1.4. Три подруги вышли в белом, зеленом и синем платьях. Их туфли тоже были белого, зеленого и синего цветов. Известно, что только у Ани цвет платья и туфель совпадали. Ни платье, ни туфли Вали не были белыми, Наташа была в зеленых туфлях. Определить цвет платья и туфель каждой из подруг. Для решения составим две таблицы
Белое платье
Зеленые туфли
Зеленое платье
Синие туфли
Синее платье
-
ЗАДАЧИ НА ПЕРЕЛИВАНИЕ
Рассмотрим еще один тип логических задач. Это так называемые задачи на «переливание». В задачах требуется отмерить некоторое количество жидкости с помощью сосудов известных емкостей. Данный вид задач решается с использование блок-схем. Вначале выделяют команды, которые позволяют точно отмерить жидкость. Эти команды оформляются последовательно в виде схемы. Следуя указанным командам, приходим к решению поставленной задачи. При составлении блок-схемы так же заполняют специальную таблицу, в которую заносят количество жидкости в каждом сосуде. Рассмотрим решение таких задач на примерах. Задача 1.2.1. С помощью банок емкостью 3л и 5л отмерить 1л; 2л; 4л. В нашем распоряжении водопроводный кран и раковина, куда можно выливать воду. Перечислим все возможные команды, которые могут быть использованы, и введем для них следующие сокращенные обозначения: НБ - наполнить 5л банку водой из-под крана; НМ - наполнить 3л банку водой из-под крана; ОБ - опорожнить 5л банку, вылив воду в раковину; ОМ - опорожнить 3л банку, вылив воду в раковину; Б→М - перелить из 5л банки в 3л, пока 5л банка не опустеет или 3л не наполнится; М→Б - перелить из 3л банки в 5л, пока 3л банка не опустеет или 5л банка не наполнится. Будем фиксировать количество воды в банках в таблице. Вначале покажем, как из чисел 3 и 5 получить числа 1; 2; 4. а)1 = 3 + 3 - 5 б) 2 = 5 - 3 в) 4 = 3 + 3 - 5 + 3. Из этих равенств получаем следующий алгоритм решения задач: шаг
1
2
3
4 5л банка
0
3
3
5 3л банка
3
0
3
1а) 1.НМ 2. М→Б 3. НМ 4. М→Б В результате в 3-х литровой банке останется 1л воды.
б) 1. НБ 2. Б→М шаг
1
2 5л банка
5
2 3л банка
0
3 В результате в 5л банке останется 2л воды.
в) 1. НМ 2. М→Б 3. НМ 4. М→Б 5. ОБ 6. М→Б 7. НМ 8. М→Б шаг
1
2
3
4
5
6
7
8 5л банка
0
3
3
5
0
1
1
4 3л банка
3
0
3
1
1
0
3
0 В результате в 5л банке окажется 4л воды.
Задача 1.2. 2. В походе группа туристов разбила лагерь у реки. У группы есть два пустых ведра емкостью 4 и 9 литров. Как с их помощью принести из реки 6 литров воды? Перечислим все возможные команды и введем для них следующие сокращенные обозначения: НБ - наполнить 9л ведро водой из реки; НМ - наполнить 4л ведро водой из реки; ОБ - опорожнить 9л ведро, вылив воду в реку; ОМ - опорожнить 4л ведро, вылив воду в реку; Б→М - перелить из 9л ведра в 4л, пока 9л ведро не опустеет или 4л не наполнится; М→Б - перелить из 4л ведра в 9л, пока 4л ведро не опустеет или 9л ведро не наполнится. Б →К - вылить из 9л ведра в котел М→К - вылить из 4л ведра в котел Будем фиксировать количество воды в ведрах и в котле с помощью таблицы. Вначале покажем, как из чисел 4 и 9 получить число 6 9 - 4 + 9 - 4 - 4 1. НБ 2. Б→М 3. Б→К 4. ОМ 5. НБ 6. Б→М 7. ОМ 8. Б→М 9. ОМ 10. Б→К шаг
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 9л ведро
9
5
0
0
9
5
5
1
1
0 4л ведро
0
4
4
0
0
4
0
4
0
0 котел
0
0
5
5
5
5
5
5
5
6
1.3 ЗАДАЧИ НА ВЗВЕШИВАНИЕ
Еще один распространенный вид задач - задачи на взвешивание. В таких задачах требуется с помощью чашечных весов за ограниченное число взвешиваний найти отличающейся по весу предмет. Как правило, это фальшивая монета. В таких задачах поиск решения осуществляется путем сравнения не только одиночных предметов, но и групп предметов между собой. Вначале предметы делят на две равных кучки или на три кучки. Причем при делении на три кучки могут быть неравные. Рассмотрим решение таких задач на примерах.
Задача 1.3.1. У Буратино было 27 золотых монет. Кот Базилио и лиса Алиса заменили 1 золотую монету на фальшивую, которая по весу тяжелее настоящих. Как за три взвешивания на чашечных весах определить какая из монет фальшивая? Решение. Разделим монеты на 3 кучки по 9 монет в каждой. Положим на чаши весов две из них. По результату взвешивания определим, в какой из кучек фальшивая монета. ( Если вес 1-й кучки больше, то монета в 1-й кучке, если вес 1-й кучки меньше, то фальшивая монета во второй кучке, если вес 1-й и 2-й кучек равны, то фальшивая монета в 3-й кучке). Далее делим на 3 части по 3 монеты кучку, в которой находится фальшивая монета. Аналогичным образом определяем, в какой кучке фальшивая монета. И вновь делим на 3 теперь по 1 монете и определяем фальшивую.
Задача 1.3.2. Мачеха дала Золушке 7 настоящих и 1 фальшивую монету. Как за 2 взвешивания определить какая из монет фальшивая, если известно, что фальшивая монета легче настоящей? Решение. Разделим монеты на три кучки. Две кучки по 3 монеты и одна кучка - две монеты. Положим на весы первые две кучки. Если вес 1-й кучки больше, то фальшивая монета во 2-й кучке, если вес 1-й кучки меньше, то фальшивая монета в 1-й кучке, если вес 1-й и 2-й кучек равны, то фальшивая монета в 3-й кучке. Остается из трех (или из двух) монет определить более легкую (фальшивую). Кладем на весы две монеты (по 1-й на каждую чашку) и определяем, какая из монет легче. Если вес монет равный, то фальшивая - третья.
-
САМЫЕ ПОПУЛЯРНЫЕ ЗАДАЧИ
Для исследования популярности логических задач у моих одноклассников, выяснения наиболее интересных, мною была сделана подборка задач разного уровня сложности. Я предложил решить их своим одноклассникам, оценить их сложность (от 1 до 4), выбрать 3 наиболее понравившиеся задачи. По результатам исследования был составлен рейтинг логических задач (от 1 до 5). Результаты моего исследования:
Задача 1. Сложность - 1. Рейтинг - 4. Друзья Андрей, Борис и Виталий учатся в одном классе. Один из них едет домой из школы на автобусе, другой на троллейбусе и третий ходит пешком. Однажды после уроков Андрей пошел провожать своего друга до остановки автобуса. Когда мимо них проезжал троллейбус, третий друг крикнул из окна: «Боря, ты забыл в школе тетрадку!» Кто на чем ездит домой?
Задача 2. Сложность - 2. Рейтинг - 5. Друзья - Арен, Бекир, Мурат и Сейран - собрались в доме у Мурата. Мальчики оживленно беседовали о том, как они провели лето. - Асанов, ты, наконец, научился плавать? - спросил Бекир. - Еще как, - ответил Асанов, - могу теперь соревноваться в плавании с тобой и Арсеном. - Посмотрите, какой я гербарий собрал, - сказал Велиев, прерывая разговор друзей, и достал из шкафа большую папку. Всем, особенно Юсупову и Арсену, гербарий очень понравился. А Ганиев обещал показать товарищам собранную им коллекцию минералов. Назовите имя и фамилию каждого мальчика.
Задача 3. Сложность - 3. Рейтинг -5. Три подруги Ирина, Марина и Галина преподают математику, физику и химию в школах Симферополя, Евпатории и Керчи. Ирина работает не в Евпатории, Марина не в Симферополе. Одна из подруг в Симферополе преподает литературу, другая в Евпатории - не преподает физику. Марина - не математик. Какой предмет и в каком городе преподает каждая из них?
Задача 4. Сложность - 4. Рейтинг- 4. Среди офицеров Александрова, Борисова, Васильева и Григорьева - майор, капитан и два лейтенанта. Александров и один из лейтенантов - танкисты, Борисов и капитан - артиллеристы, Александров младше по званию, чем Васильев. Определите род войск и воинское звание каждого из них.
Задача 5. (Задача Пуассона) Сложность - 2. Рейтинг - 4. Некто имеет 12пинт вина и хочет подарить его половину. Однако у него нет сосуда емкостью 6пинт, а есть два сосуда: 8-пинтовый и 5-пинтовый. Спрашивается, каким образом отлить 6пинт вина в 8-пинтовый сосуд?
Задача 6. Сложность - 4. Рейтинг - 3. Имеется три бочонка вместимостью 6 ведер, 3 ведра и 7 ведер. В первом и третьем содержится соответственно 4 и 6 ведер кваса. Требуется, пользуясь только этими тремя бочонками, разделить квас поровну на две части.
Задача 7. Сложность - 3. Рейтинг - 2. Имеется 13 монет, из них ровно одна фальшивая, причем неизвестно, легче она настоящих или тяжелее. Требуется найти эту монету за три взвешивания.
ВЫВОДЫ
Логические задачи - это неотъемлемая часть сегодняшнего дня. Умение логически мыслить необходимо любому специалисту, будь он математик, медик или географ. Логика - это необходимый инструмент, освобождающий от лишних, ненужных запоминаний, помогающий найти в массе информации то ценное, что нужно человеку. Познакомившись с разными видами логических задач и методами их решения, я выяснил, что популярностью у учащихся пользуются логические задачи среднего и высокого уровней сложности (2-3). Считаю, что полученные знания смогу применить в своей учебной деятельности. Самостоятельно выбрать метод решения задачи, применить изученные методы к решению проблемы в реальной ситуации. Предложенную работу «Математика без формул» можно использовать как на уроках математики, так и на внеклассных занятиях при подготовке учащихся к олимпиадам и интеллектуальным конкурсам. Для этого можно использовать задачи из приложения. Применяя только изученные методы решения логических задач, невозможно решить все математические и жизненные задачи. В дальнейшем предполагаю продолжить работу над изучением видов логических задач и методов их решения. Для решения этих проблем ставлю следующие задачи: - более глубокое изучение литературы по методам решения логических задач - изучить метод кругов Эйлера - создать подборку задач, решаемых данным методом.
ЛИТЕРАТУРА
- Н.П.Кострикин. Задачи повышенной трудности. М.,«Просвещение», 1986г.
- Н.В.Горбачев. Сборник олимпиадных задач по математике. М. «МЦНМО», 2004г.
- С.И.Шварцбурд. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах. - М., «Просвещение», 1984г.
- И.Я.Виленкин. За страницами учебника математики. Москва «Просвещение» 1989 г.
- Е.И.Игнатьев. Математическая смекалка. Занимательные задачи, игры, фокусы, парадоксы. - М., «Омега», 1994г.
- Э.Н.Балаян. Готовимся к олимпиадам по математике 5-11 классы. - Ростов-на-Дону, «Феникс», 2009 г.
- Э. Кольмана, О. Зих. Занимательная логика. Перевод с чешского. «Наука», 1966г.
- uchportal.ru/load/0-10-177-0-17turboreferat.ru/logic/vidy-logicheskih-zadach/131356-671992-page1.html
- wiki.syktsu.ru/index.php/Способы_решения_логических_задач