Справочный материал по математике 1-4 класс

Геометрический материал

Точка. Прямая. Кривая. Отрезок. Луч.

·1

2

3

4

Это точка (1) и прямая линия (2).

Прямая не имеет ни начала, ни конца. Через две различные точки можно провести одну прямую линию (3). Через одну точку можно провести много прямых линий (4).

Это кривые линии (5, 6). Кривые линии бывают замкнутыми (а, б) и незамкнутыми (в, г).

Как через одну, так и через две точки можно провести много кривых линий (6).

7 8

Это отрезок (7) и луч (8).

Отрезком называют часть прямой, которая ограничена двумя точками. Точки, ограничивающие отрезок, называют концами отрезка.

Лучом называют часть прямой, которая ограничена одной точкой. Точка, ограничивающая луч, называется началом луча. Луч имеет начало, но не имеет конца.

Угол.

Два луча, исходящие из одной точки, образуют угол (9). Угол имеет вершину и две стороны.

Углы бывают прямые (10) и непрямые (11, 12).

стороны угла

прямой угол непрямой угол непрямой угол

9

вершина угла 10 11 12

Непрямые углы бывают острые (11) и тупые (12).

Острый угол меньше прямого угла. Тупой угол больше прямого угла.

Прямоугольник. Квадрат.

Прямоугольником называют четырёхугольник,

у которого все углы прямые.

Свойство сторон прямоугольника.

Противоположные стоны прямоугольника равны.

Квадратом называется прямоугольник,

у которого все стороны равны.

Ломаная.

1 3 4 5

2

Это ломаные. Они бывают замкнутыми (1, 2, 3) и незамкнутыми (4, 5).

Ломаная состоит из отрезков, которые не лежат на одной прямой. Каждый отрезок - это звено ломаной. Концы каждого звена - вершины ломаной.

Многоугольники.

2 3 5 7

1 4 6

Это многоугольники: треугольники (1, 2), четырёхугольники (3, 4, 5) и пятиугольники (6, 7).

Треугольником называется замкнутая ломаная, состоящая из трёх звеньев. В треугольнике 3 стороны (отрезка), 3 вершины (точки), 3 угла.

Четырёхугольником называется замкнутая ломаная, состоящая из четырёх звеньев. В четырёхугольнике 4 стороны, 4 вершины, 4 угла.

В пятиугольнике 5 вершин, 5 сторон, 5 углов.

Геометрические фигуры.

Геометрические фигуры бывают плоскими (1) и объёмными (2).

а б в г

1: а - треугольник, б - круг, в - квадрат, г - прямоугольник.

а б в г

2: а - пирамида, б - цилиндр, в - куб, г - конус.

Текстовые задачи.

В 1 классе решают простые задачи (в одно действие) и составные задачи (в два действия). Задача имеет условие и вопрос.

Чтобы решить простую задачу, нужно:

1. прочитать условие задачи и понять, о чём говориться в задаче, что показывает каждое число;

2. прочитать вопрос задачи;

3. записать краткое условие задачи (схему);

4. выбрать действие, с помощью которого решается задача, и обосновать этот выбор;

5. записать решение задачи;

6. записать ответ задачи.

Простые задачи на нахождение целого.

Задачи на нахождение суммы.

Пример: На тарелке лежали 3 яблока и 2 груши. Сколько всего фруктов лежало на тарелке?

Краткое условие задачи можно записать с помощью главных слов или оформить чертежом:

Яблок - 3 шт.

Груш - 2 шт. ? фр. или

Основание выбора действия. Ответ на вопрос «Сколько всего?» находят действием сложения, так как для нахождения целого нужно сложить его части.

Решение:

3 + 2 = 5 (шт.)

Ответ: всего 5 фруктов.

Задачи на нахождение неизвестного уменьшаемого.

Пример: На полке стояло несколько книг. Когда с полки взяли 2 книги, там осталось ещё 4 книги. Сколько книг было на полке сначала?

Было - ? кн.

Взяли - 2 кн. или

Осталось - 4 кн.

Решение:

4 + 2 = 6 (кн.)

Ответ: 6 книг было на полке.

Простые задачи на нахождение части.

Задачи на нахождение остатка.

Пример: В пруду плавало 5 уток. Потом 2 утки улетели. Сколько уток осталось в пруду?

Было - 5 ут.

Улетели - 2 ут. или

Осталось - ? ут.

Основание выбора действия. Чтобы найти часть целого, нужно из целого вычесть известную часть.

Решение:

5 - 2 = 3 (ут.)

Ответ: 3 утки осталось.

Задачи на нахождение неизвестного слагаемого.

Пример: Около школы посадили 16 берёз и лип. Лип было 6 деревьев. Сколько посадили берёз?

Берёз - ? д.

Лип - 6 д. 16 д. или

Решение:

16 - 6 = 10 (д.)

Ответ: 10 берёз посадили.

Задачи на нахождение неизвестного вычитаемого.

Пример: На горке катались 8 детей. Когда несколько детей ушли домой, на горке осталось 5 детей. Сколько детей ушли домой?

Было - 8 д.

Ушли - ? д. или

Осталось - 5 д.

Решение:

8 - 5 = 3 (р.)

Ответ:3 ребёнка ушли домой.

Задачи на увеличение числа на несколько единиц

(в прямой форме).

Пример: У Саши было 3 шарика, а у Ани - на 2 шарика больше. Сколько шариков было у Ани?

У Саши - 3 ш.

У Ани - ? ш., на 2 ш. б или

Основание выбора действия. У Ани столько же шариков, сколько у Саши, и ещё 2

шарика, то есть 3 и 2 (3 + 2) шарика. Это задача на нахождение целого. Для

нахождения целого нужно сложить его части.

Решение:

3 + 2 = 5 (ш.)

Ответ: у Ани 5 шариков.

Задачи на уменьшение числа на несколько единиц

(в прямой форме).

Пример: В первой тарелке лежало 6 вафель, а во второй - на 2 вафли меньше. Сколько

вафель лежало во второй тарелке?

I т. - 6 в.

II т. - ? в., на 2 в. м. или

Основание выбора действия. Во второй тарелке лежало столько же вафель, сколько в первой, но без двух вафель. Значит, во второй тарелке лежало (6 - 2) вафли. 6 вафель - целое число, 2 вафли - часть целого, количество вафель во второй тарелке - неизвестная часть целого. Чтобы найти неизвестную часть целого, нужно из целого вычесть известную часть.

Решение:

6 - 2 = 4 (в.)

Ответ: 4 вафли во второй тарелке.

Задачи на разностное сравнение.

Пример: Оле 7 лет, а Тане 6 лет. На сколько лет Оля старше Тани?

Оле - 7 л.

на ? л. б. или

Тане - 6 л.

Основание выбора действия. Чтобы узнать, на сколько одно число больше или меньше другого, нужно из большего числа вычесть меньшее.

Решение:

7 - 6 = 1 (г.)

Ответ: на 1 год.

Обратные задачи.

Чтобы составить задачу, обратную данной, нужно неизвестное сделать известным, а одно из известных сделать неизвестным, не меняя при этом сюжета задачи.

Было

8 ябл.

? ябл.

8 ябл.

Съели

5 ябл.

5 ябл.

? ябл.

Осталось

? ябл.

3 ябл.

3 ябл.

Решение:

8 - 5 = 3 (ябл.)

3 + 5 = 8 (ябл.)

8 - 3 = 5 (ябл.)

Ответ:

3 яблока осталось.

8 яблок было.

5 яблок съели.

Получили три взаимно обратные задачи.

Задачи в косвенной форме.

При решении задачи в косвенной форме её нужно переформулировать в задачу в прямой форме.

Чтобы решить задачу в косвенной форме, нужно:

1. прочитать условие задачи и понять, о чём говориться в задаче, что показывает каждое число;

2. прочитать вопрос задачи;

3. записать краткое условие задачи;

4. выделить искомое число;

5. установить, какое получится число в ответе (больше или меньше, чем известное) и выбрать необходимое для решения задачи арифметическое действие;

6. выбрать действие, с помощью которого решается задача, и обосновать этот выбор;

7. записать решение задачи;

8. записать ответ задачи.

Пример: В соседнем доме 12 этажей. Это на 3 этажа больше, чем в нашем. Сколько этажей в нашем доме?

В соседнем - 12 эт., на 3 эт. б или В с.

В нашем - ? эт. В н.

Обоснование выбора действия. Если в соседнем доме на 3 этажа больше, чем в нашем, то в нашем на 3 этажа меньше, чем в соседнем. Значит, задача решается вычитанием.

Решение:

12 - 3 = 9 (эт.)

Ответ: в нашем доме 9 этажей.

Составные задачи.

Задачи, в которых сразу нельзя ответить на главный вопрос, называют составными. Такие задачи решаются в два и более действий.

Чтобы решить составную задачу, нужно:

1. прочитать условие задачи и понять, о чём говорится в задаче, что показывает каждое число;

2. прочитать вопрос задачи;

3. записать краткое условие задачи;

4. составить план решения: что найдём сначала, что потом;

5. записать решение задачи;

6. записать ответ задачи.

Пример: На первой полке стояло 4 книги, а на второй на 3 книги больше. Сколько книг

стояло на двух полках?

На I полке - 4 кн. ? кн. или I п. ? кн.

На II полке - ? кн., на 3 кн. б. II п.

Решение задачи можно записать по действиям:

1. 4 + 3 = 7 (кн.) - на второй полке.

2. 4 + 7 = 11 (кн.) - на двух полках.

или выражением:

4 + (4 + 3) = 11 (кн.)

Ответ записывают полностью, если в последнем действии не было пояснения, и кратко, если во всех действиях были пояснения.

Ответ: 11 книг.

Решение задач действием деления.

Если в условии задачи говорится «разложили», «разделили поровну», то задача решается с помощью действия деления.

Пример 1: В вазе лежало 8 конфет. Их разделили по 4 конфеты между детьми. Сколько детей получили конфеты?

Решение:

8 : 4 = 2 (р.)

Ответ: 2 ребёнка.

Пример 2: В вазе лежало 8 конфет. Их разделили поровну между 4 девочками. По сколько конфет получила каждая девочка?

Решение:

8 : 4 = 2 (к.)

Ответ: по 2 конфеты.

Простые задачи.

Задачи на нахождение суммы одинаковых слагаемых (на умножение).

Пример: В одном букете 3 цветка. Сколько цветов в четырёх таких букетах?

? цв.

Обоснование выбора действия. Так как по 3 цветка взяли 4 раза, то задача решается действием умножения.

Решение:

3 · 4 = 12 (цв.)

Ответ: 12 цветов всего.

Задачи на деление по содержанию.

Пример: 10 орехов разделили по 2 между белочками. Сколько белочек получили орехи?

Обоснование выбора действия. Так как в задаче сказано «разделили», то задача решается действием деления.

Решение:

10 : 2 = 5 (б.)

Ответ: 5 белочек.

Задачи на деление на равные части.

Пример: Восемь тарелок разложили на 2 полки поровну. Сколько тарелок положили на каждую полку?

Решение:

8 : 2 = 4 (т.)

Ответ: по 4 тарелки.

Задачи на увеличение в несколько раз.

Если в задаче сказано «в … раз больше», то задача решатся умножением.

Пример: На одной полке стояло 5 книг, а на другой - в 2 раза больше. Сколько книг стояло на второй полке?

На I полке - 5 кн. или I п.

На II полке - ? кн., в 2 р. б. II п.

Решение:

5 · 2 = 10 (кн.)

Ответ: 10 книг стояло на второй полке.

Задачи на уменьшение в несколько раз

Если в задаче сказано «в … раз(-а) меньше», то задача решается действием деления.

Пример: Саша нашла в лесу 12 маслят, а Маша - в 2 раза меньше. Сколько маслят нашла Маша?

Саша - 12 м. или С.

Маша - ? м., в 2 р. м. М.

Решение:

12 : 2 = 6 (м.)

Ответ: 6 маслят нашла Маша.

Задачи на краткое сравнение.

Чтобы узнать, во сколько раз одно число больше или меньше другого, нужно большее число разделить на меньшее.

Пример: На тарелке лежало 6 яблок и 3 груши. Во сколько раз яблок больше, чем груш?

Яблок - 6 шт. Ябл.

Груш - 3 шт. в ? раз б. или Гр. в ? раз б.

Решение:

6 : 3 = 2 (раза)

Ответ: в 2 раза яблок больше, чем груш.

Задачи в косвенной форме

При решении задач в косвенной форме их нужно переформулировать в прямую форму.

Пример: У Тани 3 конфеты. У Тани в 2 раза меньше конфет, чем у Лены. Сколько конфет у Лены?

Т.

Л.

Обоснование выбора действия. У Тани в 2 раза меньше конфет, чем у Лены. Значит, у Лены в 2 раза больше конфет, чем у Тани.

Решение:

3 · 2 = 6 (к.)

Ответ: у Лены 6 конфет.

Взаимно обратные задачи.

Задачи на зависимость между ценой, количеством и стоимостью.

Цена - это стоимость одного предмета.

Стоимость - это количество денег, которые заплатили за всю покупку.

Чтобы найти стоимость, нужно цену умножить на количество.

Стоимость = цена · количество

Чтобы найти цену, нужно стоимость разделить на количество.

Цена = стоимость : количество

Чтобы найти количество, нужно стоимость разделить на цену.

Количество = стоимость : цена

Пример: За 5 тетрадей заплатили 15 рублей. Чему равна цена тетради?

Запишем краткое условие задачи в виде таблицы.

Решение:

15 : 5 = 3 (р.)

Ответ: цена тетради 3 рубля.

Задачи на зависимость между массой одного предмета,

количеством предметов и массой всех предметов (общей массой).

Чтобы найти общую массу, нужно массу одного предмета умножить на количество предметов.

Общая масса = масса 1 предмета · количество

Чтобы найти массу одного предмета, нужно общую массу разделить на количество предметов.

Масса 1 предмета = общая масса : количество

Чтобы найти количество предметов, нужно общую массу разделить на массу одного предмета.

Количество = общая масса : масса 1 предмета

Пример: Масса арбуза 4 кг. Чему равна масса трёх таких арбузов?

Запишем краткое условие задачи в виде таблицы.

Масса одного предмета

Количество

Общая масса

4 кг

3 шт.

? кг

Решение:

4 · 3 = 12 (кг)

Ответ: масса трёх арбузов 12 кг.

Задачи на зависимость между расходом ткани на 1 вещь,

количеством вещей и общим расходом ткани.

Чтобы найти общий расход ткани, нужно расход ткани на 1 вещь умножить на количество вещей.

Общий расход = расход на 1 вещь · количество

Чтобы найти расход ткани на 1 вещь, нужно общий расход ткани разделить на количество вещей.

Расход на 1 вещь = общий расход : количество

Чтобы найти количество вещей, нужно общий расход ткани разделить на расход ткани на 1 вещь.

Количество = общий расход : расход на 1 вещь

Пример: На платье требуется 3 м ткани. Сколько метров ткани потребуется на 4 таких платья?

Расход на одну вещь

Количество

Общий расход

3 м

4 шт.

? м

Решение:

3 · 4 = 12 (м.)

Ответ: на 4 платья потребуется 12 метров ткани.

Составные задачи.

Задачи на вычитание числа из суммы.

Пример 1: Вова нарисовал 5 рисунков, а Оля - 4 рисунка. На выставку взяли 3 рисунка. Сколько рисунков осталось у детей?

Было - 5р. и 4р.

Взяли - 3 р. или

Осталось - ? р.

Решение

Анализ решения

I способ

1. 5 + 4 = 9 (р.) - было у Вовы и Оли.

2. 9 - 3 = 6 (р.) - осталось у Вовы и Оли.

или (5 + 4) - 3 = 6 (р.)

На главный вопрос сразу ответить нельзя, т. к. неизвестно, сколько рисунков было всего. Поэтому сначала узнаем действием сложения, сколько рисунков было у Вовы и у Оли. Затем действием вычитания узнаем, сколько рисунков осталось. Решение задачи можно записать по действиям и выражением.

II способ

1. 5 - 3 = 2 (р.) - осталось у Вовы.

2. 2 + 4 = 6 (р.) - осталось у Вовы и Оли.

или (5 - 3) + 4 = 6 (р.)

Предположим, что на выставку взяли рисунки Вовы. Сначала узнаем, сколько осталось рисунков у Вовы, а затем, сколько рисунков осталось у Вовы и Оли.

III способ

1. 4 - 3 = 1 (р.) - осталось у Оли.

2. 5 + 1 = 6 (р.) - осталось у Вовы и Оли.

или 5 + (4 - 3) = 6 (р.)

Предположим, что на выставку взяли рисунки Оли. Сначала узнаем, сколько рисунков осталось у Оли, а затем - у Вовы и Оли вместе.

Ответ: 6 рисунков осталось.

Пример 2: В автобусе было 6 пассажиров. На остановке вошли ещё 4 пассажира, а 1 пассажир вышел. Сколько пассажиров стало в автобусе?

Было - 6 п.

Вошли - 4п. или

Вышел - 1 п.

Стало - ? п.

Решение:

I способ

II способ

1. 6 + 4 = 10 (п.) - стало сначала.

2. 10 - 1 = 9 (п.) - стало в автобусе.

или 6 + 4 - 1 = 9 (п.)

1. 6 - 1 = 5 (п.) - стало, когда вошел.

2. 5 + 4 = 9 (п.) - стало в автобусе.

или 6 - 1 + 4 = 9 (п.)

Ответ: 9 пассажиров стало.

Задачи на прибавление числа к сумме.

Пример. В гараже стояло 4 грузовые машины и 5 легковых. Поставили ещё 3 легковые машины. Сколько машин стало в гараже?

Было - 4 гр. и 5 л.

Поставили - 3 л. или

Стало - ? м.

Решение:

I способ

II способ

1. 4 + 5 = 9 (м.) - было в гараже.

2. 9 + 3 = 12 (м.) - стало.

или (4 + 5) + 3 = 12 (м.)

1. 5 + 3 = 8 (м.) - легковых машин стало.

2. 4 + 8 = 12 (м.) - стало грузовых и легковых машин.

или 4 + (5 + 3) = 12 (м.)

Ответ: 12 машин стало.

Задачи на вычитание суммы из числа.

Пример. В парк привезли 50 лип и берёз. Посадили 20 лип и 15 берёз. Сколько деревьев осталось посадить?

Привезли - 50 д.

Посадили - 20 л. и 15 б. или

Осталось - ? д.

Решение:

I способ

1. 20 + 15 = 35 (д.) - посадили лип и берёз.

2. 50 - 35 = 15 (д.)

или 50 - (20 + 15) = 15 (д.)

II способ

1. 50 - 20 = 30 (д.) - осталось после того, как посадили 20 лип.

2. 30 - 15 = 15 (д.)

или (50 - 20) - 15 = 15 (д.)

III способ

1. 50 - 15 = 35 (д.) - осталось после того, как посадили 15 берёз.

2. 35 - 20 = 15 (д.)

или (50 - 15) - 20 = 15 (д.)

Ответ: 15 деревьев осталось посадить.

Задачи на движение.

При решении задач на движение условие задачи лучше оформлять чертежом.

Пример 1. Из двух домов навстречу друг другу вышли 2 товарища. Один прошёл до встречи 34 метра, а другой - на 7 метров больше. Чему равно расстояние между домами?

Направление движения покажем стрелками, расстояние, пройденное каждым товарищем до встречи - отрезками, место встречи отметим флажком.

34 м ? м, на 7 м больше

? м

На главный вопрос задачи сразу ответить нельзя. Чтобы узнать, чему равно расстояние между домами, нужно узнать, какое расстояние прошёл до встречи каждый товарищ. Один товарищ прошёл до встречи 34 метра, а второй - на 7 метров. Узнаем сначала, сколько метров прошёл до встречи второй товарищ, а затем - расстояние между домами.

Решение:

1. 34 + 7 = 41 (м) - прошёл до встречи второй товарищ.

2. 34 + 41 = 75 (м)

Ответ: расстояние между домами 75 метров.

Задачи на нахождение суммы,

если одно из слагаемых выражено произведением или частным.

Пример 1. На одной тарелке лежало 5 яблок, а на другой - в 2 раза больше. Сколько яблок лежало на 2 тарелках?

На I тарелке - 5 ябл. ? ябл. или ? ябл

На II тарелке - ? ябл., в 2 р. м.

Решение:

1 способ

1. 5 · 2 = 10 (ябл.) - на второй тарелке.

2. 5 + 10 = 15 (ябл.)

2 способ

5 · 3 = 15 (ябл.)

Ответ: 15 яблок всего.

Пример 2. В одном букете 21 гвоздика, а в другом - в 3 раза меньше. Сколько всего цветов в двух букетах?

В I букете - 21 гв. ? гв. или I б.

Во II букете - ? гв., в 3 р. м. II б. ? гв.

Решение:

1 способ

1. 21 : 3 = 7 (гв.)- во втором букете.

2. 21 + 7 = 28 (гв.)

2 способ

1. 21 : 3 = 7 (гв.) - во втором букете.

2. 7 · 4 = 28 (гв.)

Ответ: 28 гвоздик всего.

Задачи на разностное сравнение

Пример. В школьном саду 5 груш, а яблонь в 3 раза больше. На сколько в саду больше яблонь , чем груш?

Груш - 5 д. на ? д. б.

Яблонь - ? д., в 3 р. б.

Решение:

1. 5 · 3 = 15 (д.) - яблонь.

2. 15 - 5 = 10 (д.)

Ответ: яблонь на 10 деревьев больше, чем груш.

Задачи на краткое сравнение.

Пример. У Саши 6 кубиков, а у Ани на 12 кубиков больше. Во сколько раз у Ани больше кубиков, чем у Саши?

У Саши - 6 к. во ? р. б.

У Ани - ? к., на 1 к. б.

Решение:

1. 6 + 12 = 18 (к.) - у Ани.

2. 18 : 6 = 3 (р.)

Ответ: в 3 раза у Ани больше кубиков, чем у Саши.

Задачи на нахождение суммы двух произведений.

Пример. В магазин привезли 6 ящиков апельсинов, по 7 кг в каждом, и 5 ящиков лимонов, по 6 кг в каждом. Сколько всего килограммов фруктов привезли в магазин?

Норма

Кол-во

Всего

7 кг

6 ящ.

? кг

6 кг

5 ящ.

? кг

Апельсинов - 6 ящ. по 7 кг ? кг или

Лимонов - 5 ящ. по 6 кг

Решение: или 7 · 6 + 6 · 5 = 72 (кг)

1. 7 · 6 = 42 (кг) - апельсинов.

2. 6 · 5 = 30 (кг) - лимонов.

3. 42 + 30 = 72 (кг)

Ответ: 72 кг фруктов привезли в магазин.

Задачи на нахождение остатка

Пример. У мамы было 10 кг малины. Она сварила варенье - 2 банки по 3 кг в каждой. Сколько килограммов малины осталось?

Было - 10 кг

Сварила - 2 б. по 3 кг или

Осталось - ? кг

Решение:

1. 3 · 2 = 6 (кг) - сварила. или 10 - 3 · 2 = 4 (кг)

2. 10 - 6 = 4 (кг) - осталось.

Ответ: 4 кг малины осталось.

Задачи на нахождение уменьшаемого

Пример. Ученики сажали в парке деревья. Четыре дня по 5 деревьев каждый день. После этого у них осталось ещё 10 деревьев. Сколько деревьев было приготовлено для посадки?

Было - ? д.

Посадили - 4 дн. по 5 д. или

Осталось - 10 д.

Решение:

1. 5 · 4 = 20 (д.) - посадили. или 5 · 4 + 10 = 30 (д.)

2. 20 + 10 = 30 (д.)

Ответ: 30 деревьев было приготовлено.

Задачи на нахождение вычитаемого

Пример. С грядки собрали 10 кг клубники. Несколько килограммов ягод съели, а остальное разложили в 4 банки по 2 кг в каждую. Сколько килограммов ягод съели?

Собрали - 10 кг

Съели - ? кг или

Осталось - 4 б. по 2 кг

Решение:

1. 2 · 4 = 8 (кг) - осталось. или 10 - 2 · 4 = 2 (кг)

2. 10 - 8 = 2 (кг)

Ответ: 2 кг ягод съели.

Задачи на нахождение четвёртого

пропорционального способом приведения к единице.

Пример. За 2 карандаша заплатили 6 рублей. Сколько заплатили за 3 таких карандаша?

Условие задачи можно оформить таблицей, чертежом или краткой записью.

Цена

Количество

Стоимость

одинаковое

2 шт.

6 руб.

3 шт.

? руб.

2 к. - 6 руб. или

3 к. - ? руб.

Решение:

1. 6 : 2 = 3 (руб.) - цена. или 6 : 2 · 3 = 9 (руб.)

2. 3 · 3 = 9 (руб.)

Ответ: 3 карандаша стоят 9 рублей.

Задачи на нахождение четвёртого

пропорционального способом отношений.

Пример. В 10 одинаковых банках 16 кг мёда. Сколько килограммов мёда в 20 таких банках?

10 б. - 16 кг

20 б. - ? кг

Решение:

1. Узнаем, во сколько раз 20 банок больше, чем 10 банок.

20 : 10 = 2 (р.)

2. Если банок с мёдом в 2 раза больше, а банки одинаковые, то и мёда в них будет в 2 раза больше.

16 · 2 = 32 (кг)

Ответ: 32 кг мёда в 20 банках.

Доли.

Правило нахождения доли числа.

Чтобы найти долю числа, нужно число разделить на количество равных частей.

Пример 1. На тарелке лежало 10 слив. Одну восьмую часть слив съели. Столько штук слив съели?

Основание выбора действия. Поскольку в задаче сказано, что съели одну вторую часть слив, то для нахождения этой части нужно количество всех слив разделить на 2.

Решение:

10 : 2 = 5 (с.)

Ответ: 5 слив съели.

Пример 2. Чему равна седьмая часть числа 14?

Основание выбора действия. Чтобы найти седьмую часть числа, нужно число разделить на 7.

Решение:

14 : 7 = 2

Ответ: 2.

Правило нахождения числа по доле.

Чтобы найти число по доле, нужно одну его долю умножить на количество долей.

Пример 1. Турист прошёл 3 км, что составило четвёртую часть всего пути. Чему равна длина всего пути?

Основание выбора действия. часть пути равна 3 км. Для нахождения всего пути умножим одну долю на количество долей.

Решение:

3 · 4 = 12 (км)

Ответ: 12 км - длина всего пути.

Пример 2. Чему равно число, если его третья часть равна 5?

Основание выбора действия. Для нахождения числа умножим одну долю на количество долей.

Решение:

5 · 3 = 15

Ответ: число равно 15.

Задачи на умножение суммы на число.

Пример. В двух букетах было по 5 красных и по 2 белых розы в каждом. Сколько всего роз в букетах?

Норма

Кол-во

Всего

5 шт.

2 шт.

? шт.

2 шт.

? шт.

Красных - 2 б. по 5 шт. или

Белых - 2 б. по 2 шт. ? шт.

Решение:

I способ (на нахождение суммы двух произведений)

5 · 2 + 2 · 2 = 14 (шт.)

II способ (на умножение суммы на число)

1. 5 + 2 = 7 (шт.) - в одном букете. или (5 + 2) · 2 = 14 (шт.)

2. 7 · 2 = 14 (шт.)

Ответ: 14 роз в двух букетах.

Задачи на деление суммы на число

и на нахождение суммы двух частных

Норма

Кол-во

Всего

5 шт.

? б.

15 шт.

20 шт.

Пример: Из 15 красных и 20 белых роз сделали букеты, по 5 роз в каждом. Сколько получилось букетов?

Красных - 15 шт. ? б. по 5 шт. или

Белых - 20 шт.

Решение:

I способ (на деление суммы на число)

1. 15 + 20 = 35 (шт.) - всего роз. или (15 + 20) : 5 = 7 (б.)

2. 35 : 5 = 7 (б.)

II способ (на нахождение суммы двух частных)

1. 15 : 5 = 3 (б.) - с красными розами.

2. 20 : 5 = 4 (б.) - с белыми розами. или 15 : 5 + 20 : 5 = 7 (б.)

3. 3 + 4 = 7 (б.)

Ответ: 7 букетов всего.

Задачи на движение.

Скорость движения - это расстояние, пройденное в единицу времени.

Скорость

Время

Расстояние

Обозначение

ν

t

S

Формула

ν = S : t

t = S : ν

S = ν · t

Единицы измерения

м/с, м/мин, км/ч

с, мин, ч

м, км

Пример. Мотоциклист ехал 3 ч со средней скоростью 60 км/ч и 2 ч со средней скоростью 70 км/ч. какое расстояние он проехал за всё это время?

Средняя скорость

Время

Расстояние

60 км/ч

3 ч

? км

? км

70 км/ч

2 ч

Решение:

1. 60 · 3 = 180 (км) - за 3 ч.

2. 70 · 2 = 140 (км) - за 2 ч. или 60 · 3 + 70 · 2 = 320 (км)

3. 180 + 140 = 320 (км) - весь путь.

Ответ: 320 км проехал мотоциклист.

Решение задач с помощью уравнений

Чтобы решить задачу с помощью уравнения, нужно:

1. обозначить искомую величину буквой;

2. установить в задаче связи, необходимые для составления уравнения;

3. составить и решить получившееся уравнение.

Пример. За несколько тетрадей по 6 рублей и блокнот за 25 рублей заплатили 14 рублей. Сколько тетрадей купили?

х - количество тетрадей, которые купили;

6 · х (руб.) - заплатили за тетради;

6 · х + 25 (руб.) - заплатили за всю покупку.

6 · х + 25 = 145

6 · х = 145 - 25

6 · х = 120

х = 120 : 6

х = 20

Ответ: 20 тетрадей купили.

Задачи на пропорциональное деление.

Пример: На оклейку двух комнат пошло 108 м обоев. На одну комнату пошло 4 рулона обоев одинаковой длины, на другую - 5 таких же рулонов. Сколько метров обоев пошло на каждую комнату?

Длина 1 рулона

Количество рулонов

Общий расход (м)

I к.

Одинаковая

4 р.

? м

II к.

5 р.

? м

Решение:

1. 4 + 5 = 9 (р.) - общее количество рулонов.

2. 108 : 9 = 12 (м) - в одном рулоне.

3. 12 · 4 = 48 (м) - на одну комнату.

4. 12 · 5 = 60 (м) - на вторую комнату.

Проверка:

48 + 60 = 108 (м).

Ответ: 48 м обоев пошло на одну комнату, 60 м обоев - на другую.

Задачи на нахождение неизвестного по двум разностям

Пример. На двух участках вырастили картофель. Площадь первого участка 100 м², а второго - 200 м². С первого участка собрали на 500 кг меньше картофеля, чем со второго. Сколько килограммов картофеля собрали с каждого участка, если с каждого квадратного метра собирали поровну?

Урожайность

с 1 м²

Площадь

Общая урожайность

I уч.

Одинаковая

100 м²

? кг, на 500 кг м.

II уч.

200 м²

? кг

Решение:

1. 200 - 100 = 100 (м²) - с такой площади собрали 500 кг картофеля.

2. 500 : 100 = 5 (кг) - собирали с 1 м².

3. 5 · 100 = 500 (кг) - урожайность первого участка.

4. 5 · 200 = 1000 (кг) - урожайность второго участка.

Проверка:

1000 - 500 = 500 (кг)

Ответ: с первого участка собрали 500 кг, со второго - 1000 кг.

Задачи на совместную работу

Пример. Библиотеке нужно переплести 4500 книг. Одна мастерская может переплести эти книги за 30 дней, а другая - за 45 дней. За сколько дней могут выполнить заказ обе эти мастерские, работая одновременно?

I мастерская - 4500 кн. за 30 дн.

II мастерская - 4500 кн. за 45 дн.

I и II мастерские - 4500 кн. за ? дн.

Решение:

1. 4500 : 30 = 150 (кн.) - за 1 день может переплести I мастерская.

2. 4500 : 45 = 100 (кн.) - за 1 день может переплести II мастерская.

3. 150 + 100 = 250 (кн.) - за 1 день могут переплести I и II мастерские вместе.

4. 4500 : 250 = 18 (дн.)

Ответ: за 18 дней могут выполнить заказ обе мастерские, работая одновременно.

Задачи на нахождение нескольких долей целого.

Пример. На тарелке лежало 15 яблок. Съели четыре пятых всех яблок. Сколько штук яблок съели?

Решение:

1. Сначала узнаю, сколько яблок составляет . Чтобы найти числа, нужно это число разделить на 5.

15 : 5 = 3 (ябл.)

2. Теперь найду числа 15. - это 3 яблока, а - это 4 раза по 3 яблока.

3 · 4 = 12 (ябл.)

или 15 : 5 · 4 = 12 (ябл.)

Ответ: 12 яблок съели.

Задачи на нахождение среднего арифметического.

Среднее арифметическое чисел - это число, полученное при делении суммы чисел на число слагаемых.

Например:

среднее арифметическое чисел 26, 12 и 7 равно 15, так как (26 + 12 + 7) : 3 = 15

Пример. Какова средняя масса куриного яйца, если масса одного из них 63 г,

другого - 62 г, а третьего - 70 г ?

Решение:

(63 + 62 + 70) : 3 = 65 (г)

Ответ: средняя масса куриного яйца 65 г.

Задачи на встречное движение

Скорость сближения - это расстояние, на которое движущиеся тела приближаются друг к другу за единицу времени.

Скорость сближения вычисляют по формуле:

ν_сближ. = ν₁ + ν₂

где ν₁ и ν₂ - скорости движущихся тел.

Пример 1. Из двух посёлков вышли одновременно навстречу друг другу два лыжника. Первый лыжник шёл со средней скоростью 12 км/ч, а второй - 14 км/ч. Чему равно расстояние между посёлками, если лыжники встретились через 3 ч?

Оформим условие задачи чертежом: направление движения покажем стрелками, место встречи - флажком, время движения - равными отрезками.

Решение:

I способ

1. 12 · 3 = 36 (км) - расстояние, которое прошёл до встречи первый лыжник.

2. 14 · 3 = 42 (км) - расстояние, которое прошёл до встречи второй лыжник.

3. 36 + 42 = 78 (км) - расстояние между посёлками.

или

12 · 3 + 14 · 4 = 78 (км)

II способ

1. 12 + 14 = 26 (км/ч) - скорость сближения.

2. 26 · 3 = 78 (км) - расстояние между посёлками.

или

(12 + 14) · 3 = 78 (км)

Ответ: расстояние между посёлками 78 км.

Пример 2. Из двух посёлков, расстояние между которыми равно 78 км, вышли одновременно навстречу друг другу два лыжника. Первый лыжник шёл со скоростью 12 км/ч, а второй - 14 км/ч. через сколько часов лыжники встретились?

Решение:

1. 12 + 14 = 26 (км/ч) - скорость сближения.

2. 78 : 26 = 3 (ч) - время движения до встречи.

или

78 : (12 + 14) = 3 (ч)

Ответ: лыжники встретились через 3 ч.

Пример 3. Из двух посёлков, находящихся на расстоянии 78 км, вышли одновременно навстречу друг другу два лыжника и встретились через 3 ч. первый лыжник шёл со средней скоростью 12 км/ч. с какой скоростью шёл второй лыжник?

Решение:

I способ

1. 12 · 3 = 36 (км) - прошёл до встречи первый лыжник.

2. 78 - 36 = 42 (км) - прошёл до встречи второй лыжник.

3. 42 : 3 = 14 (км/ч) - скорость второго лыжника.

или

(78 - 12 · 3) : 3 = 14 (км/ч)

II способ

1. 78 : 3 = 26 (км/ч) - скорость сближения.

2. 26 - 12 = 14 (км/ч) - скорость второго лыжника.

или

78 : 3 - 12 = 14 (км/ч)

Ответ: скорость второго лыжника 14 км/ч.

Задачи на движение двух тел в противоположных направлениях.

Скорость удаления - расстояние, на которое движущиеся тела удаляются друг от друга за единицу времени.

Скорость удаления вычисляют по формуле:

ν_удал. = ν₁ + ν₂

где ν₁ и ν₂ - скорости движущихся тел.

Пример 1. Из одного посёлка вышли одновременно в противоположных направлениях два пешехода. Средняя скорость одного пешехода 5 км/ч, а другого - 4 км/ч. На каком расстоянии друг от друга будут пешеходы через 3 ч?

Решение:

I способ

1. 5 · 3 = 15 (км) - прошёл первый пешеход.

2. 4 · 3 = 12 (км) - прошёл второй пешеход.

3. 15 + 12 = 27 (км) - расстояние между пешеходами.

или

5 · 3 + 4 · 3 = 27 (км)

II способ

1. 5 + 4 = 9 (км/ч) - скорость удаления.

2. 9 · 3 = 27 (км) - расстояние между пешеходами.

или

(5 + 4) · 3 = 27 (км)

Ответ: расстояние между пешеходами через 3 ч будет равно 27 км.

Пример 2. Из одного посёлка вышли одновременно в противоположных направлениях два пешехода. Средняя скорость одного пешехода 5 км/ч,

а другого - 4 км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет

27 км?

Решение:

1. 5 + 4 = 9 (км/ч) - скорость удаления.

2. 27 : 9 = 3 (ч) - время движения.

или

27 : (5 + 4) = 3 (ч)

Ответ: через 3 ч.

Пример 3. Из одного посёлка вышли одновременно в противоположных направлениях два пешехода. Через 3 ч расстояние между ними было

27 км. Первый пешеход шёл со средней скоростью 5 км/ч. С какой средней скоростью шёл второй пешеход?

Решение:

I способ

1. 5 · 3 = 15 (км) - расстояние, пройденное первым пешеходом.

2. 27 - 15 = 12 (км) - расстояние, пройденное вторым пешеходом.

3. 12 : 3 = 4 (км/ч) - скорость второго пешехода.

или

(27 - 5 · 3) : 3 = 4 (км/ч)

II способ

1. 27 : 3 = 9 (км/ч) - скорость удаления.

2. 9 - 5 = 4 (км/ч) - скорость второго пешехода.

или

27 : 3 - 5 = 4 (км/ч)

Ответ: скорость второго пешехода 4 км/ч.