Разработка занятия по математике на тему Обратная функция

Обратная функция.

Цели урока:

Образовательная:

• формировать знания по новой теме в соответствии с программным материалом;

• изучить свойство обратимости функции и научить находить функцию, обратную данной;

Развивающая:

• развивать навыки самоконтроля, предметную речь;

• овладеть понятием обратная функция и усвоить методы нахождения обратной функции;

Воспитательная: формировать коммуникативную компетентность.

Оборудование: компьютер, проектор, экран, интерактивная доска SMART Board, раздаточный материал (самостоятельная работа) для работы в группе.

Ход урока.

1. Организационный момент.

Цель - подготовка учащихся к работе на уроке:

-определение отсутствующих,

- настрой учащихся на работу, организация внимания;

- сообщение темы и цели урока.

2. Актуализация опорных знаний учащихся. Фронтальный опрос.

Цель - установить правильность и осознанность изученного теоретического материала, повторение пройденного материала.

Для учащихся на интерактивной доске демонстрируется график функции. Учителем формулируется задание - рассмотреть график функции и перечислить изученные свойства функции. Учащиеся перечисляют свойства функции в соответствии со схемой исследования. Учитель справа от графика функции маркером на интерактивной доске записывает названные свойства.

Свойства функции:

1. D(f) = [-4;),E(y) = [0;),

2. ни четная, ни нечетная, непериодическая, непрерывная, ограничена снизу;

3. y=0, при х=0

4. y>0 при на [-4;0) и на [0;)

5. возрастает на [-2;-1] и на [0;)
   убывает на [-4;-2] и на [-1;0]

6. y_наиб- не существует
   y_наим=0 при х=0

7. x_max= -1 ,y_max = 2
   x_min = -2, y_min = 1
   x_min = 0, y_min = 0

8. Выпукла вниз на [4;-1], выпукла вверх на [1;), невыпуклая на [-1;1].

По окончании исследования учитель сообщает, что сегодня на уроке они познакомятся еще с одним свойством функции - обратимостью. Для осмысленного изучения нового материала учитель предлагает ребятам познакомиться с основными вопросами, на которые учащиеся должны дать ответ по окончании урока. Вопросы записаны на обыкновенной доске и в виде раздаточного материала есть у каждого ученика (раздается до урока)

Вопросы:

1. Какая функция называется обратимой?

2. Любая ли функция обратима?

3. Какая функция называется обратной данной?

4. Как связаны область определения и множество значений функции и обратной ей функции?

5. Если функция задана аналитически, как задать формулой обратную функцию?

6. Если функция задана графически, как построить график обратной ей функции?

3. Объяснение нового материала.

Цель - формировать знания по новой теме в соответствии с программным материалом; изучить свойство обратимости функции и научить находить функцию, обратную данной; развивать предметную речь.

Учитель проводит изложение материала в соответствии с материалом параграфа. На интерактивной доске учитель проводит сравнение графиков двух функций, у которых области определения и множества значений одинаковы, но одна из функций монотонна, а другая нет, тем самым подводит учащихся под понятия обратимой функции.

Затем учитель формулирует определение обратимой функции и проводит доказательство теоремы об обратимой функции, используя график монотонной функции на интерактивной доске.

Определение 1: Функцию y=f(x), называют обратимой, если любое свое значение она принимает только в одной точке множества X.

Смотрим Задачу1. Стр 47 (Алимов)

Определение 2: Из определения обратной функции следует, что область определения обратной функции совпадает со множеством значений исходной функции, а множество значений обратной функции совпадает с областью определения исходной функции.

Смотрим Задачу2. Стр 47 (Алимов)

Теорема1: Монотонная функция является обратимой.

Теорема2: Если функция имеет обратную, то график обратной функции симметричен графику данной функции относительно прямой у=х.

Теорема: Если функция y=f(x) монотонна на множестве X , то она обратима.

Перед тем как сформулировать определение обратной функции учитель просит учащихся определить, какая из предложенных функций обратима? На интерактивной доске показаны графики функций и записаны несколько аналитически заданных функций:

А)

Б)

Г) y = 2x + 5

Д) y = -x₂ + 7

Учитель вводит определение обратной функции.

Определение 3: Пусть обратимая функция y=f(x) определена на множестве Х и Е(f)=Y. Поставим в соответствие каждому y из Y то единственное значение х, при котором f(x)=y. Тогда получим функцию, которая определена на Y, а Х - область значений функции

Эту функцию обозначают x=f ^-1(y) и называют обратной по отношению к функции y=f(x).

Пример 1: Показать, что для функции y=5x-3 существует обратная функция, и найти ее аналитическое выражение.

Решение. Линейная функция y=5x-3 определена на R, возрастает на R и область ее значений есть R. Значит, обратная функция существует на R. Чтобы найти ее аналитическое выражение, решим уравнение y=5x-3 относительно х; получим Это и есть искомая обратная функция. Она определена и возрастает на R.

Пример 2: Показать, что для функции y=x², х≤0 существует обратная функция, и найти ее аналитическое выражение.

Функция непрерывна, монотонна в своей области определения, следовательно, она обратима. Проанализировав области определения и множества значений функции, делается соответствующий вывод об аналитическом выражении для обратной функции.

Ответ:

Чтобы получить график функции y=f ^-1(x), обратной по отношению к функции y=f(x), надо график функции y=f(x)преобразовать симметрично относительно прямой y=x.

4. Первичное закрепление нового материала.

Цель - установить правильность и осознанность понимания изученного материала, выявить пробелы первичного осмысления материала, провести их коррекцию.

Учащиеся делятся на пары. Им раздаются листы с заданиями, в которых они и выполняют работу в парах. Время на выполнение работы ограничено (5-7 мин). Одна пара учащихся работает на компьютере, проектор на это время выключается и остальным ребятам не видно, как работают учащиеся на компьютере.

Самостоятельная работа в парах.

5. Итог урока. По вопросам, которые были заданы перед началом лекции. Объявление оценок за урок.

Домашнее задание §7 стр 46-50. № 135

Самостоятельная работа в парах

1. Отметьте график той функции, которая обратима в своей области определения.

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4 Рис. 5

2. Найдите функцию, обратную данной:

а) ; б) .

3. Для функции, заданной графически укажите область и выясните, имеет эта функция в своей области определения обратную функцию или нет; В случае положительного ответа постройте эскиз графика обратной функции.