Мастер-класс (разработка) по математике Построение магических квадратов

8

Учитель начальных классов

2 класс

Таникеева В.Д.

Мастер - класс по математике по теме

«Построение магических квадратов»

Ход урока

Орг. Момент.

-Ребята, проверили свои рабочие места. Что вы заметили необычного? (много гостей, парты расставлены дугообразно…). Чтобы не отвлекаться, посмотрите на гостей и подарите им свои улыбки. А сейчас тихо занимаем свои места.

1. Сообщение темы и целей занятия

«Составление магических квадратов

представляет собой превосходную

умственную гимнастику,

развивающую способность

понимать идеи

размещения,

сочетания

и симметрии».

Леонард Эйлер

Цели занятия:

• развитие процессов индукции и дедукции на основе выработки навыка построения латинского и магического квадрата методом террас, методом Эйлера и методом Делаира;
• выражаю надежду, что вы увидите красоту геометрической фигуры на основе взаимодействия науки и искусства.

Оборудование:

• работаем мы на основе раздаточного дидактического материала и презентаций учителя и школьников.

Методы работы:

• основные методы работы - объяснение принципов построения магических квадратов, упражнение в их построении, а также иллюстрирование объяснения. Прошу проявлять активность в работе.

2. Актуализация знаний, постановка проблемы и осознание познавательных задач. 2.1. Подготовительная работа. - Ребята, а что вы видите на сладе? -Где вы видели такие квадраты? (в книжке, у Наташи) - Кто решал такие удивительные задачи? На математических олимпиадах, в досуговых журналах и познавательных книгах очень часто встречаются задачи, когда необходимо в квадрат так вставить цифры от 1 до 9 , чтобы сумма этих цифр по строкам, столбцам и диагоналям была одной и той же, постоянной. Конечно для этого нужно иметь время и терпение. При решении таких задач используем метод подбора. - Итак, посмотрите внимательно на доску.

-Мы должны подобрать цифры т.о., чтобы сумма в строках, столбцах, диагоналях была равна 15. 2.2. Введение нового понятия. У нас получился квадрат, в котором сумма цифр в строках, столбцах и диагоналях равна 15 ( проверка). Такую фигуру называют магическим квадратом порядка 3. В математике под магическим квадратом обычно понимают квадратную таблицу, так заполненную различными натуральными числами, что их сумма в строках, столбцах и двух диагоналях таблицы одинакова. Значение этой суммы принято называть "магической постоянной". - Давайте вспомним правило о натуральных числах! - А в этом нам поможет наш справочник. Итак, вписать числа от 1 до 9 в квадрат, чтобы он стал магическим, не составляет особого труда. Как же быть, если нужно вписать в квадрат числа от 1 до 25 или от 1 до 49, или от 2 до 50 так, чтобы квадрат получился магическим? 7 сл. - Ребята, сложно было решить магический квадрат? Тема…… Предположение …. - Что должны составить для дальнейшей работы?

9 сл.

3.Изучение нового материала

Рассмотрим один способ построения магического квадрата нечетного порядка. Итак, первый способ - метод террас.

- Ребята, сможете объяснить слово терраса?

- Давайте обратимся к словарю.

( у нас в школе тоже есть терраса, только без крыши)

-А в магическом квадрате, как вы думаете, где терраса?

3.1. Объяснение. Построение магического квадрата методом террас. Если магический квадрат третьего порядка не трудно построить простым перебором всевозможных комбинаций, то, уже начиная с квадрата четвёртого порядка, дело осложняется. Математики изобрели несколько методов построения магических квадратов. Начнём с метода террас, который применяется для построения магических квадратов нечётного порядка: пятого, седьмого и т. д. Рассмотрим его на примере магического квадрата порядка 3. С четырёх сторон к исходному квадрату 3х3 добавляются террасы. В полученной фигуре располагают числа от 1 до 9 в естественном порядке косыми рядами снизу вверх. Числа в террасах, не попавшие в квадрат, перемещаются как бы вместе с террасами внутрь него так, чтобы они примкнули к противоположным сторонам квадрата (числа, не попавшие в заштрихованный квадрат, сдвигаем на n=3 единицы: 1 - вниз, 3 - влево, 9 - вверх, 7 - вправо).

Итак, рассмотрим метод террас, заполнения магического квадрата нечётного порядка на примере квадратов порядка 3 . Записываем числа следующим образом:

-Вот для чего нужен нам метод террас!

Числа, не попавшие в заштрихованный квадрат, сдвигаем на n=3 единицы: 1 - вниз, 3 - влево, 9 - вверх, 7 - вправо. Получаем:

Магический квадрат 3*3. Сумма = 15.

3.2. Практическая работа.

У вас на столах лежит таб. №3. Сейчас построим с вами магический квадрат пятого порядка, используя метод террас.

Будем заполнять квадрат по шагам, по алгоритму.

1. С четырёх сторон к исходному квадрату 5х5 добавлены террасы. В полученной фигуре расположим числа от 1 до 25 в естественном порядке косыми рядами снизу вверх, как в примере с квадратом третьего порядка.

1

6

2

11

7

3

16

12

8

4

21

17

13

9

5

22

18

14

10

23

19

15

24

20

25

Числа, не попавшие в выделенный квадрат, сдвигаем на n=5 единиц: 1,2,6 - вниз, 4,5,10- влево, 24,25,20 - вверх, 16,21,20 - вправо. Получаем:

Важное наблюдение: заметим, что методом террас можно построить не только традиционный магический квадрат нечётного порядка, но и квадрат, заполненный любыми другими числами, лишь бы разность между каждым последующим и предыдущим числом была постоянной. Так, на рисунке вы видите нетрадиционный магический квадрат пятого порядка, заполненный чётными числами от 2 до 50, построенный методом террас.

4. Объяснение на основе иллюстраций.

Построение магического квадрата методом Делаира, или методом латинских квадратов.

Переходим ко второму способу составления магических квадратов и рассмотрим его на примере построения магического квадрата порядка 5.

1. Из целых чисел от 0 до 4 строят два латинских квадрата размером 5 *5.

Первый строят следующим образом:

• произвольно заполняют нижний горизонтальный ряд квадратной таблицы

5*5 целыми числами от 0 до 4, следя лишь за тем, чтобы последняя клетка горизонтального ряда была заполнена числом 2=[5-1/2]; (k=[n-1/2], n- количество различных цифр в квадрате);

• остальные горизонтальные ряды таблицы заполняют снизу вверх так, чтобы каждый следующий ряд получался из предыдущего перестановкой - первое число переносится в конец строки.

На этой иллюстрации приведён такой первый латинский квадрат

Построение второго латинского квадрата.

• произвольно заполняют верхний горизонтальный ряд квадратной таблицы 5*5 целыми числами от 0 до 4, следя лишь за тем, чтобы последняя клетка горизонтального ряда была заполнена числом 2=[5-1/2]; (k=[n-1/2], n- количество различных цифр в квадрате);

• остальные горизонтальные ряды таблицы заполняют сверху вниз так, чтобы каждый следующий ряд получался из предыдущего перестановкой - первое число переносится в конец строки.

На этой иллюстрации приведён второй латинский квадрат

2. Преобразовываю полученные два латинских квадрата путём умножения каждого числа первого квадрата на 5 и увеличения на 1 каждого числа другого квадрата.
3. Произвожу поклеточное суммирование двух преобразованных на втором этапе квадратов. Итак, построим магический квадрат, используя два выше построенных латинских квадрата:

5. Итог занятия

- Итак, мы научились строить магические квадраты тремя способами. Назовите их.

- Какой квадрат называется магическим?

- Какие операции мышления мы использовали? Да, проведенная умственная гимнастика , надеюсь, помогла понять Вам идеи размещения, сочетания и симметрии. Эти идеи расположены рядом с нами, надо только их увидеть. Предлагаю увидеть их в искусстве, в быту, в науке на основе школьных презентаций.

Коллеги, наша совместная работа была не так проста, как умножение на десять, но и не так трудна, чтобы не познать основных принципов построения совершенной, по мнению В.Малевича, геометрической фигуры - квадрата. А сделать его магическим нам под силу.