Исследовательская работа по теме: «Симметрия вокруг нас»

Муниципальное Общеобразовательное Учреждение

«Средняя Общеобразовательная Школа №12»

Исследовательская работа по теме:

«Симметрия вокруг нас»

Подготовила: ученица 5 «Б» класса

Соловьёва Дарья.

Руководитель: учитель математики

Вараксина Е.В.

Ржев -2010 год

Оглавление

Стр.

1. Актуальность проблемы………………………………..3

2. Исторические сведения………………………………….4

3. Симметрия в природе…………………………………….6

4. Симметрия в русском языке…………………………..8

5. Симметрия в математике……………………………….10

6. «Золотое» сечение………………………………………….13

7. Симметрия в архитектуре……………………………….15

8. Симметрия в жизни…………………………………………17

9. Заключение……………………………………………………..19

10. Литература……………………………………………………...21

Глава 1.

Актуальность проблемы.

Ежедневно каждый ученик, идущий в школу, любуется красотой ёлки на стене здания нашей родной школы. И однажды я услышала такую фразу: «…она почти симметрична…». Что такое симметрия? Когда она появилась? И где её используют? Я решила найти ответы на эти вопросы самостоятельно. И вот что из этого получилось.

Я в листочке, я в кристалле,

Я в живописи, архитектуре,

Я в геометрии, я в человеке,

Одним я нравлюсь, другие

Находят меня скучной.

Но все признают, что

Я - элемент красоты.

Глава 2.

Исторические сведения.

С глубокой древности, начиная, по-видимому, с неолита, человек постепенно осознал и пытался выразить в художественных образах тот факт, что в природе, кроме хаотического расположения одинаковых предметов или их частей, существуют некоторые пространственные закономерности. Они могут быть совсем простыми - последовательное повторение одного предмета, более сложными - повороты или отражения в зеркале. Для того, чтобы точно выразить эти закономерности, нужны были специальные термины. По преданию, их придумал Пифагор Регийский.

В древности слово «симметрия» употреблялось как «красота», «гармония». Слово "симметрия" греческое, оно означает "соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей".

Во времена Пифагора (5 век до н.э.) и пифагорейцев понятие симметрии было оформлено достаточно четко. Исходя из учения о числе пифагорейцы дали первую математическую трактовку гармонии, симметрии, которая не потеряла своего значения и в наши дни. Взгляды Пифагора и его школы получили дальнейшее развитие в платоновском учении о познании. Особый интерес представляют взгляды Платона на строение мира, который, по его утверждению, состоит из правильных многоугольников, обладающих идеальной симметрией. Для Платона характерно соединение учения об идеях с пифагорейским учением о числе. Среди более поздних естествоиспытателей и философов, занимавшихся разработкой категории симметрии, следует назвать Р. Декарта и Г. Спенсера. Так, по Декарту, бог, создав асимметричные тела, придал им "естественное" круговое движение, в результате которого они совершенствовались в тела симметричные.

Об этой закономерности задумывались многие великие люди. Например, Л. Н. Толстой говорил: "Стоя перед черной доской и рисуя на ней мелом разные фигуры, я вдруг был поражен мыслью: почему симметрия понятна глазу? Что такое симметрия? Это врожденное чувство, отвечал я сам себе. На чем же оно основано?". Действительно симметричность приятна глазу. Кто не любовался симметричностью творений природы: листьями, цветами, птицами, животными; или творениями человека: зданиями, техникой, - всем тем, что нас с детства окружает, тем, что стремится к красоте и гармонии. Герман Вейль сказал: "Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство". Герман Вейль - это немецкий математик. Его деятельность приходится на первую половину ХХ века. Именно он сформулировал определение симметрии, установил по каким признакам усмотреть наличие или, наоборот, отсутствие симметрии в том или ином случае. Таким образом, математически строгое представление сформировалось сравнительно недавно - в начале ХХ века. Оно достаточно сложное.

Глава 3.

Симметрия в природе.

Симметрия - это не только математическое понятие. Его заимствовали из природы. А так как человек - это часть природы, то человеческое творчество во всех его проявлениях тяготеет к симметрии. С симметрией мы встречаемся везде - в природе, технике, искусстве, науке.

Существуют две группы симметрий.

К первой группе относится симметрия положений, форм, структур. Это та симметрия, которую можно непосредственно видеть. Она может быть названа геометрической симметрией.

Вторая группа характеризует симметрию физических явлений и законов природы. Эта симметрия лежит в самой основе естественнонаучной картины мира: ее можно назвать физической симметрией.

Посмотрите на кленовый лист, снежинку, бабочку. Их объединяет то, что они симметричны. Если поставить зеркальце вдоль прочерченной на каждом рисунке прямой, то отраженная на зеркале половинка фигуры дополнит ее до целой. Потому такая симметрия называется зеркальной (осевой). Прямая, вдоль которой поставлено зеркало, называется осью симметрии. Если симметричную фигуру сложить пополам вдоль оси симметрии, то ее части совпадут. Зеркальной симметрией обычно обладают листья растений, удивительно симметричны листья дуба, вербы, клёна, крапивы. Многие цветы обладают характерным свойством: цветок можно повернуть на некоторый угол так, что каждый лепесток займет положение соседнего, иными словами, цветок совместится сам с собой. Такой цветок обладает поворотной осью симметрии. Необходимый для совмещения угол поворота в разных случаях неодинаков. Для цветков колокольчика он равен 72 градуса, для нарцисса -60 градусов. Минимальный угол, на который нужно повернуть цветок вокруг оси симметрии, чтобы он совместился с самим собой, называют элементарным углом поворота оси.

У снежинки шесть осей симметрии. Наверное, она была бы другой, если бы молекулы воды не обладали определенной симметрией.

Глава 4.

Симметрия в русском языке.

В русском алфавите встречаются симметричные буквы.

Имеют вертикальную ось симметрии следующие буквы:

А, Д, Ж, Л, М, Н, О, П, Т, Ф, Х, Ш.

А буквы, приведенные ниже, симметричны относительно горизонтальной оси симметрии, проходящей через центр буквы.

В, Е,Ж, З, К,Н,О, С,Ф,Х, Э,Ю.

Есть буквы, которые имеют по две оси симметрии:

Ж, Н, О, Ф, Х.

Встречаются буквы с ярко выраженной центровой симметрией (имеется ввиду случаи, когда невозможно провести ось симметрии). Например:

И.

Все упомянутые буквы симметричны во многих гарнитурах.

Симметрию можно увидеть и в словах. Пример этому то, что в русском языке встречаются слова, произношение которых не меняется независимо от направления чтения:

шалаш

казак

дед

потоп

боб

поп

мадам

и другие.

Есть и целые фразы с таким свойством (если не учитывать пробелы между словами):

искать такси,

аргентина манит негра,

ценит негра аргентинец,

леша на палке клапана шел,

кинь лед зебре, бобер бездельник.

Такие слова называются палиндромами. Ими увлекались многие поэты. Некоторые композиторы, в том числе и великий Бах, писали музыкальные палиндромы. Но самые впечатляющие результаты дает симметрия в изобразительном искусстве.

Так же можно заметить, что некоторые поэты в своих стихах тоже стремятся установить симметрию и в начале и в конце стиха часто повторяют слова:

Ночь, улица, фонарь, аптека,

Бессмысленный и тусклый свет,

Живи ещё хоть четверть века,

всё будет так - исхода нет.

Умрешь, начнешь опять сначала…

И повторится всё как встарь:

Ночь, ледяная рябь канала,

Аптека, улица, фонарь.

А. Блок

Важно также то, что стихотворный размер почти всегда симметричен. В нем чередуются ударные и безударные слоги. Единый размер обязателен для всего стихотворения.

Глава 5.

Симметрия в математике.

Идея симметрии часто является отправным пунктом в гипотезах и теориях учёных прошлых веков, веривших в математическую гармонию мироздания и видевших в этой гармонии проявление божественного начала. Древние греки считали, что Вселенная симметрична просто потому, что симметрия прекрасна. В своих размышлениях над картиной мироздания человек с давних времен активно использовал идею симметрии. Исходя из соображений симметрии, они высказали ряд догадок.

Так, Пифагор (5 век до н.э.), считая сферу наиболее симметричной и совершенной формой, делал вывод о сферичности Земли и о ее движении по сфере. При этом он полагал, что Земля движется по сфере некоего «центрального огня». Вокруг того же «огня», согласно Пифагору, должны были обращаться известные в те времена шесть планет, а также Луна, Солнце, звезды.

Широко используя идею симметрии, ученые любили обращаться не только к сферической форме, но также к правильным выпуклым многогранникам. Еще во времена древних греков был установлен поразительный факт - существует всего пять правильных выпуклых многогранников разной формы. Симметрии геометрических тел большое значение придавали греческие мыслители эпохи Пифагора. Они считали, что для того, чтобы тело было "совершенно симметричным", оно должно иметь равное число граней, встречающихся в углах, и эти грани должны быть правильными многоугольниками, то есть фигурами с равными сторонами и углами. Впервые исследованные пифагорейцами, эти пять правильных многогранников были впоследствии подробно описаны Платоном. Древнегреческий философ Платон придавал особое значение правильным многогранникам, считая их олицетворением четырёх природных стихий: огонь-тетраэдр (вершина всегда обращена вверх), земля-куб (наиболее устойчивое тело), воздух-октаэдр, вода-икосаэдр (наиболее "катучее" тело). Додекаэдр представлялся как образ всей Вселенной. Именно поэтому правильные многогранники называются также телами Платона.

Простейшими видами пространственной симметрии являются центральная, осевая, зеркально- поворотная и симметрия переноса.

1. Звездчатый правильный многоугольник, обладающий симметрией восьмого порядка относительно своего центра.

2. Куб, имеющий прямую AB осью симметрии третьего порядка, прямую CD - осью симметрии четвёртого порядка, точку О - центром симметрии. Точки М и M' куба симметричны как относительно осей AB и CD, так и относительно центра О.

3. Фигуры, обладающие симметрией переноса: верхняя фигура имеет также бесконечное множество вертикальных осей симметрии (второго порядка), т. е. плоскостей отражения

4. Орнамент; осью переноса является любая прямая, соединяющая центры двух каких-либо завитков.

5. Многогранник, обладающий зеркально-осевой симметрией; прямая AB - зеркально-поворотная ось четвёртого порядка.

6. Бордюр, накладывающийся на себя или переносом на некоторый отрезок вдоль горизонтальной оси, или отражением (зеркальным) относительно той же оси и переносом вдоль неё на отрезок, вдвое меньший.

Посмотрите и на элементы цифр, чисел и геометрических фигур, у многих из них имеется симметричность.

Глава 6.

"Золотое сечение» в геометрии и природе

Пристальное, глубокое изучение природы

есть источник самых плодотворных

открытий математики

Ш. Фурье

Иоганн Кеплер говорил, что геометрия владеет двумя сокровищами - теоремой Пифагора и «золотым сечением» и, если первое можно сравнить с мерой золота, то второе - с драгоценным камнем.

«Золотым сечением» (делением) и даже "божественной пропорцией" называли математики древности и средневековья деление отрезка, при котором длина всего отрезка так относится к длине его большей части, как длина большей части к меньшей. Это отношение приближенно равно 0,618 или 5/8.

В геометрии "золотым сечением" называется также деление отрезка в среднем и крайнем отношениях, при котором длина большего отрезка есть среднее геометрическое, или, как часто говорят, среднее пропорциональное длин всего отрезка и его меньшей части. "Золотое сечение" отрезка можно определить, достроив его до прямоугольного треугольника, в котором данный отрезок будет гипотенузой. Доказательство можно провести с помощью теоремы Пифагора. Эта задача очень древняя, она присутствует в "Началах" Евклида, который решил ее геометрически.

Замечательный пример "золотого сечения" представляет собой правильный пятиугольник - выпуклый и звездчатый, который называется пентаграммой. Пифагорейцы выбрали пятиконечную звезду в качестве талисмана, она считалась символом здоровья и опознавательным знаком. Пентаграмма была хорошо известна в Древнем Египте. Но непосредственно как эмблема здоровья она была принята в Древней Греции. Существует гипотеза, что пентаграмма - первичное понятие, а "золотое сечение" вторично. Пентаграмму никто не изобретал, ее лишь скопировали с натуры. Вид пятиконечной звезды имеют пятилепестковые цветы плодовых деревьев и кустарников, морские звезды. (В своей работе я рассматривала цветки картофеля, шиповника, яблони). Те и другие создания природы. Человек наблюдает за этими природными творениями тысячи лет. Поэтому естественно предположить, что геометрический образ этих объектов - пентаграмма - стала известна раньше, чем "золотая" пропорция.

Глава 7.

Симметрия в архитектуре.

От композиции здания в первую очередь зависит впечатление, которое производит архитектурное сооружение. Сочетание различных объемов - высоких и низких, прямолинейных и криволинейных, чередование пространств - открытых и закрытых - вот основные приемы, которые использует зодчий, создавая архитектурные композиции.

Наиболее ясны и уравновешены здания с симметричной композицией. Такие здания были характерны для архитектуры эпохи классицизма.

Впечатление от здания во многом зависит от ритма, т.е. от четкого распределения и повторения в определенном порядке объемов зданий или отдельных архитектурных форм на здании (колонн, окон, рельефов и т.д.). Преобладание элементов вертикального ритма - колонн, арок, проемов, пилястр - создает впечатление облегченности, устремленности вверх. Наоборот, горизонтальный ритм - карнизы, фризы, пояса и тяги - придает зданию впечатление приземистости, устойчивости.

Можно вспомнить великолепные памятники архитектуры глубокой древности, где пространственные закономерности проявляются особенно ярко. Это храмы древнего Вавилона и пирамиды Гизы, дворец в Ашшуре.

Симметрия часто встречается в природе, в предметах созданных человеком. Например, здание Большого театра в Москве. Именно с симметрией связана красота этого здания. Симметричны практически все транспортные средства, предметы домашнего обихода (мебель, посуда), некоторые музыкальные инструменты.

Весь мир можно рассмотреть как проявление единства симметрии и асимметрии. Асимметричное в целом сооружение может являть собой гармоничную композицию из симметричных элементов. Примером может служить собор Василия Блаженного на Красной площади в Москве. Это композиция из десяти различных храмов, каждый храм геометрически симметричен. Однако собор как целое не обладает ни зеркальной, ни поворотной симметрией. Архитектурные формы собора как бы накладываются друг на друга, пересекаются, поднимаются, и завершаются центральным шатром. И все это настолько гармонично, что вызывает ощущение праздника.

Глава 8.

Симметрия в жизни

Согласно современной точке зрения, наиболее фундаментальные законы природы носят характер запретов. Они определяют, что может, а что не может происходить в природе. Так, законы сохранения в физике элементарных частиц являются законами запрета. Они запрещают любое явление, при котором изменялась бы "сохраняющаяся величина", являющаяся собственной «абсолютной» константой (собственным значением) соответствующего объекта и характеризующая его «вес» в системе других объектов. И эти значения являются абсолютными до тех пор, пока такой объект существует.

В современной науке все законы сохранения рассматриваются именно как законы запрета. Так, в мире элементарных частиц многие законы сохранения получены как правила, запрещающие те явления, которые никогда не наблюдаются в экспериментах.

Видный советский ученый академик В. И. Вернадский писал в 1927 году: "Новым в науке явилось не выявление принципа симметрии, а выявление его всеобщности". Действительно, всеобщность симметрии поразительна. Симметрия устанавливает внутренние связи между объектами и явлениями, которые внешне никак не связаны.

Всеобщность симметрии не только в том, что она обнаруживается в разнообразных объектах и явлениях. Всеобщим является сам принцип симметрии, без которого по сути дела нельзя рассмотреть ни одной фундаментальной проблемы, будь то проблема жизни или проблема контактов с внеземными цивилизациями.

Принципы симметрии лежат в основе теории относительности, квантовой механики, физики твердого тела, атомной и ядерной физики, физики элементарных частиц. Эти принципы наиболее ярко выражаются в свойствах инвариантности законов природы. Речь при этом идет не только о физических законах, но и других, например, биологических.

Примером биологического закона сохранения может служить закон наследования. В основе его лежат инвариантность биологических свойств по отношению к переходу от одного поколения к другому. Вполне очевидно, что без законов сохранения (физических, биологических и прочих) наш мир попросту не смог бы существовать.

Говоря о роли симметрии в процессе научного познания, следует особо выделить применение метода аналогий. По словам французского математика Д. Пойа, "не существует, возможно, открытий ни в элементарной, ни в высшей математике, ни, пожалуй, в любой другой области, которые могли быть сделаны без аналогий". В основе большинства этих аналогий лежат общие корни, общие закономерности, которые проявляются одинаковым образом на разных уровнях иерархии.

Глава 9.

Заключение

Симметрия многообразна, вездесуща. Она создает красоту и гармонию.

О, симметрия! Гимн тебе пою!

Тебя повсюду в мире узнаю.

Ты в Эйфелевой башне, в малой мошке,

Ты в елочке, что у лесной дорожки.

С тобою в дружбе и тюльпан, и роза,

И снежный рай - творение мороза.

На протяжении тысячелетий в ходе общественной практики и познания законов объективной действительности человечество накопило многочисленные данные, свидетельствующие о наличии в окружающем мире двух тенденций: с одной стороны, к строгой упорядоченности, гармонии, а с другой - к их нарушению. Люди давно обратили внимание на правильность формы кристаллов, цветов, пчелиных сот и других естественных объектов и воспроизводили эту пропорциональность в произведениях искусства, в создаваемых ими предметах, через понятие симметрии.

«Симметрия, - пишет известный ученый Дж. Ньюмен, - устанавливает забавное и удивительное родство между предметами, явлениями и теориями, внешне, казалось бы, ничем не связанными: земным магнетизмом, женской вуалью, поляризованным светом, естественным отбором, теорией групп, инвариантами и преобразованиями, рабочими привычками пчел в улье, строением пространства, рисунками ваз, квантовой физикой, лепестками цветов, интерференционной картиной рентгеновских лучей, делением клеток морских ежей, равновесными конфигурациями кристаллов, романскими соборами, снежинками, музыкой, теорией относительности...".

В настоящее время в естествознании преобладают определения категорий симметрии и асимметрии на основании перечисления определенных признаков. Например, симметрия определяется как совокупность свойств: порядка, однородности, соразмерности, гармоничности. Все признаки симметрии во многих ее определениях рассматриваются равноправными, одинаково существенными, и в отдельных конкретных случаях, при установлении симметрии какого-то явления, можно пользоваться любым из них. Так, в одних случаях симметрия - это однородность, в других - соразмерность и т. д. То же самое можно сказать и о существующих в частных науках определениях асимметрии.

Действительно симметричные объекты окружают нас буквально со всех сторон, мы имеем дело с симметрией везде, где наблюдается какая-либо упорядоченность. Симметрия противостоит хаосу, беспорядку. Получается, что симметрия - это уравновешенность, упорядоченность, красота, совершенство.

Список литературы.

1.Иванова О. Этот симметричный мир. - Математика, №6, 2006.

2.Муравин Г. Элементы геометрии. - Математика, №15, 2004.

3. Минковский В. За страницами учебника математики. - «Просвещение», М.,1966.

4.Нестеренко Е. Симметрия вокруг нас. - Математика, №2,2004.

5. Перельман Я. Живая математика. - М.,1978.

6. Сергеев И. Примени математику. - «Наука», М., 1989.

7.Математический энциклопедический словарь. - «Наука», М., 1989.