Применение рациональных приёмов вычислений - путь к развитию логического мышления

«Мозг хорошо устроенный ценится больше,

чем мозг хорошо наполненный!»

Развитие логического мышления младших школьников - одна из главных целей уроков математики. Эту цель учитель ставит не только при обучении решению задач, но и при формировании вычислительных навыков. Владение навыками устных вычислений в пределах 100 является культурой математики и в некоторой степени показателем сформированности логического мышления. Правильно организованная деятельность учащихся, приведёт к формированию у них логического мышления. Что же понимается под «логическим мышлением»? Оно понимается как способность и умение ребёнка младшего школьного возраста самостоятельно производить простые логические действия (анализ, синтез, сравнение, обобщение и др.), а также составные логические операции (построение отрицания, утверждение и опровержение как построение рассуждения с использованием различных логических схем - индуктивной или дедуктивной). Практика показывает, что простые логические действия в определённой мере формируются у каждого человека стихийно, хотя следует отметить, что специально организованная работа в этом направлении резко повышает уровень их сформированности. Составные логические операции, имеющие более сложный и комплексный характер, у большинства людей сами по себе не формируются, их развитие требует специальной методической работы. Период дошкольного и младшего школьного возраста является наиболее благоприятным для того, чтобы стимулировать и развивать простые логические действия. В дальнейшем эта база поможет организовать специальную работу по формированию составных логических операций: обучению рассуждениям и способам доказательства в среднем звене обучения. При этом, умениям, на практике часто возникает интересный психологический резонанс: специальная работа с ребёнком приводит к активному проявлению у него интеллектуальных способностей, он легко начинает схватывать общую суть вопроса или приёма действия. Очевидна необходимость целенаправленной работы по формированию логического мышления школьников в начальном звене обучения именно на уроках математики, являющейся одним из основных предметов обучения, в котором формируется логическое мышление ребёнка. Как же определены приоритеты по данному вопросу в разных образовательных системах? Сравним две программы образовательного компонента «Математика» в начальной школе: 1. «Школа России». Программа «Математика» (М.И.Моро, М.А.Бантова, Г.В.Бельтюкова, С.И.Волкова, С.В.Степанова. Под редакцией Ю.М.Колягина): «В курсе математики заложен механизм формирования у детей сознательных и прочных навыков устных и письменных вычислений, доведения до автоматизма знания табличных случаев действий. Усилена линия развивающих и занимательных упражнений». Одна из важнейших задач обучения младших школьников математике в «Школе России»- формирование у них вычислительных навыков, основой которых является осознанное и прочное усвоение приёмов устных и письменных вычислений. Современный комплект математики для начальной школы («Школа России») содержит упражнения для развития логических приёмов умственных действий (сравнение, обобщение, синтез, анализ, классификация и др.). Однако эти упражнения часто воспринимаются учителями как упражнения тренировочного характера с целью прочного усвоения учениками вычислительных навыков. Выполнение большого количества однотипных упражнений способствует усвоению вычислительного приёма, но и вместе с тем снижает познавательную активность детей, интерес к процессу, рассеивает внимание, что приводит к увеличению ошибок и никоим образом не формирует логическое мышление. Значит, есть необходимость использования системы упражнений с определённой целью, а именно: развитие логических приёмов умственных действий. 2. «Школа 2100». Программа «Математика» (Г.В.Дорофеев, Г.К.Муравин, Л.Г.Петерсон): «Учебный комплект по математике сориентирован на развитие мышления и творческих способностей ребёнка, его интереса к математике, обеспечивает возможность разноуровневого обучения, реализует концепцию современной массовой школы….» В условиях развивающего обучения («Школа 2100») система упражнений направлена на усвоение вычислительных умений и навыков. Она ставит цель: формировать обобщённые способы действий, побуждать учащихся к самостоятельному поиску новых способов действий, рассмотрению нескольких способов решения задания и оцениванию их с точки зрения рациональности. Использование рациональных приёмов помогает значительно облегчить процесс вычислений, способствует формированию положительных мотивов к этому виду деятельности. Поэтому работа по поиску рациональных приёмов вычислений должна проводиться постоянно, систематически и в тесной связи с программным материалом. Методика преподавания математики в начальных классах раскрывает теоретические основы рациональных приёмов вычислений, связанных с выполнением разных математических действий с натуральными числами. Рациональные приёмы сложения основываются на коммуникативном и ассоциативном законах сложения, а также на свойствах изменения суммы. Рассмотрим подробнее введение этих приёмов, при изучении действий сложения и вычитания: 1. Рациональные приёмы сложения основываются на законах и свойствах действия сложения. Коммуникативный закон сложения. Сумма не изменяется от перемены мест слагаемых. а + в = в + а 4 + 18 = 18 + 4 Ассоциативный закон сложения. Сумма не изменится, если заменить какую-либо группу рядом стоящих слагаемых их суммой. (а + в) + с = а + (в + с) 26 + 3 + 17 = 26 + (3 + 17) = 46 Свойство 1.1. Если одно из слагаемых увеличить или уменьшить на некоторое число, то сумма, соответственно, увеличится или уменьшится на это число. Если а + в + с = S , то (а + к) + в + с = S + к Если 38 + 24 + 15 = 87, то 40 + 24 + 15 = ? Если а + в + с = S , то (а - к) + в + с = S - к Если 38 + 24 + 15 = 87, то 36 + 24 + 15 = ? Свойство 1.2. Если одно из слагаемых увеличить, а другое уменьшить на одно и то же число, то сумма не изменится и, наоборот, если одно из слагаемых уменьшить, а другое увеличить на одно и то же число, то сумма не изменится. Если а + в = S, то (а + к) + (в - к) = S Если 56 + 27 = 83, то 59 + 24 = ? Если а + в = S, то (а - к) + (в + к) = S Если 56 + 27 = 83, то 54 + 29 = ? Приём 1.1. Округление одного или нескольких слагаемых. Одно (или несколько слагаемых) заменяют ближайшим к нему «круглым» числом и находят сумму «круглых» чисел. Затем соответствующее дополнение (дополнения) до «круглого» числа прибавляют к полученной сумме или вычитают из неё. Например: 14 + 28 = (14 + (28 + 2)) - 2 = (14 + 30) - 2 = 44 - 2 = 42 57 + 32 = (57 + (32 - 2)) + 2 = (57 + 30) + 2 = 87 + 2 = 89 48 + 39 = ((48 + 2) - 2) +((39 + 1) - 1) = (50 + 40) - 3 = 87 63 + 28 =((63 - 3) + 3) + ((28 + 2) - 2) = (60 + 30) + 3 - 2 = 90 + 3 - 2 = 91 Приём 1.2. Поразрядное сложение. При сложении нескольких многозначных чисел сначала находят суммы соответствующих разрядных единиц всех чисел, а затем складывают полученные суммы. Например: 26 + 17 +35 + 23 = (20 + 10 + 30 + 20) + (6 + 7 + 5 + 3) = 80 + 21 = 101 Приём 1.3. Группировка вокруг одного и того же «корневого» числа. Например: Пусть требуется найти сумму чисел: 26 + 24 + 23 + 25 + 24
Легко заметить, что все эти числа близки к повторяющемуся дважды числу 24, поэтому его можно считать «корневым» числом, а искомую сумму вычисляют следующим образом:

1. Находят сумму «корневых» чисел: 24 + 24 + 24 + 24 + 24 = 24 5 = 120
2. Находят сумму отклонений (выясняют, как каждое число отличается от «корневого»): 2 + 0 - 1 + 1 + 0 = 2
3. Получившуюся сумму прибавляют к первому результату: 120 + 2 = 122

1. 23 + 23 + 23 + 23 + 23 = 23 5 = 115
2. 3 + 1 + 0 + 2 + 1 = 7
3. 115 + 7 = 122

1. 26 + 26 + 26 + 26 + 26 = 26 5 = 130
2. 0 - 2 - 3 - 1 - 2 = - 8
3. Прибавим алгебраически результаты: 130 + (- 8) = 122