Материал по математике Золотое сечение

Доклад

На протяжении многих веков, для построения гармоничных композиций художники пользуются понятием "золотое сечение", т.е. делением отрезка в среднем и крайнем отношении.

Принцип золотого сечения - высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе. В дошедшей до нас античной литературе деление отрезка в крайнем и среднем отношении впервые встречается в «Началах» Евклида (ок. 300 лет до н. э.), где оно применяется для построения правильного пятиугольника.

Лука Пачоли, современник и друг Леонардо да Винчи, называл это отношение «божественной пропорцией».

Золотое сечение имеет множество замечательных свойств. Все выше сказанное и определило актуальность квалификационной работы.Методологический аппарат работы представлен на слайде.

Понятие золотого сечения основывается на последовательности Фибоначчи, которая ведет свою историю со знаменитой задачи о кроликах. Она была найдена в «Книге об абаке», написанной знаменитым итальянским математиком Леонардо из Пизы, который известен больше по своему прозвищу Фибоначчи в 1202году.

Схему решения этой задачи можно проследить на слайде. А само решение задачи приводит к последовательности Фибоначчи (1), которая обладает свойством (2).

В нашей работе получена: формула Бине, с помощью которой можно определить любой член последовательности Фибоначчи по его номеру (1). Используя эту формулу можно получить и остальные свойства, представленные на слайде.

В практической части работы с помощью формулы Бине показана справедливость некоторых свойств, на слайде представлено доказательство 6 свойства. Так же рассмотрели свойства делимости чисел Фибоначчи и доказали их методом математической индукции и используя теорему о делении чисел Фибоначчи. Одно из этих доказательств представлено на слайде.

Вторая часть работы посвящается понятию золотого сечения.

Золотое сечение - это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей (1).

Если весь отрезок принять за 1, а длину большей части за х, то из(1), получим пропорцию (2). Решая ее мы находим Ф и (3) (4).

Золотое сечение очень широко используется в геометрии. Существует понятие золотых многоугольников.

Возьмем золотой прямоугольник, у которого стороны относятся, как соседние числа Фибоначчи и будем вписывать в него наибольшие возможные квадраты, то получим, что все квадраты, кроме двух маленьких будут различны.

Тогда площадь этого прямоугольника, с одной стороны будет равна сумме площадей этих квадратов (1), с другой стороны произведению его сторон (2).

Таким образом, при любом n мы получили геометрическое доказательство формулы (4).

Рассмотрим золотой пятиугольник - это правильный пятиугольник, все диагонали которого делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.

При изучении свойств золотого пятиугольника была обнаружена геометрическая прогрессия , со знаменателем Ф (1). Она обладает замечательным свойством - аддитивности (2).

Иногда ряд (1) можно разбить на ряд (3) -возрастающую геометрическую прогрессию, и ряд (4) убывающую геометрическую прогрессию.

Пользуясь аддитивным свойством ряда (4), можно увидеть, что коэффициенты при Ф, образуют последовательность Фибоначчи. И предел отношения последующего члена ряда Фибоначчи к предыдущему равен коэффициенту золотого сечения Ф (1). И наоборот, (2).

Феномен золотого сечения - одно из ярких, давно уже замеченных человеком проявлений гармонии природы. Он рассматривается в общей картине исторического становления архитектуры, обнаруживается в формах живой природы, в области музыкальной гармонии.

Например, одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V век до н.э.).

Отношение длины здания Парфенона к его высоте равно Ф, т.е. КВ: АВ = СВ :АС= АВ:ВС = Ф.

В биологии так же проявляется закон золотого сечения.

При строении человеческого тела. В расположении листьев на ветках деревьев, семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения.

Из всего выше изложенного ясно, что золотая пропорция "представляет" симметрию во многих явлениях окружающего нас мира.

3