Открытый урок по теме Свойства определителей. Обратная матрица

План

открытого урока по дисциплине «Высшая математика»

Тема: «Свойства определителей. Вычисление обратной матрицы»

Тип урока: урок ознакомления с новым материалом

Форма: комбинированная

Цели:

Образовательные:

научиться пользоваться свойствами определителей при решении практических задач; вычислять обратную матрицу.

Развивающие: формирование умения выделять главное, развивать логическое мышление, внимание, память.

Воспитательные: развитие интереса к высшей математики, воспитание ответственности за выполненную работу, трудолюбия и усидчивости.

Средства обучения: раздаточный и наглядный материал.

Ход урока

1. Вводная часть.

   1. Организационный момент: приветствие, проверка готовности группы к занятию;

   2. Целевая установка: объявление темы и цели занятия.

2. Основная часть.

   1. Повторение темы «Матрицы. Определители».

   2. Изучение новой темы «свойства определителей. Обратная матрица».

   3. Закрепление нового материала.

3. Заключительная часть.

   1. Подведение итогов.

   2. Домашнее задание.

1. Вводная часть.

1.1. Организационный момент.

Здравствуйте, присаживайтесь! Сегодня у нас урок на тему «Вычисление обратной матрицы».

1.2. Целевая установка.

Целью занятия является обобщение ваших знаний по теме «Матрицы и определители», изучение свойств определителя матрицы и изучение алгоритма вычисления обратной матрицы.

2. Основная часть

2.1. Повторение темы «Матрицы и определители».

Для начала давайте повторим некоторые понятия матричной алгебры.

1) Что называется матрицей? (Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов)

2) Что называется определителем первого порядка? (Число, характеризующее квадратную матрицу первого порядка, и равное элементу матрицы а₁₁)

3) Что называется определителем второго порядка? (Число, характеризующее квадратную матрицу второго порядка, и равное значению выражения )

4) Что называется определителем третьего порядка? (Число, характеризующее квадратную матрицу третьего порядка, и равное значению выражения

)

5) Как обозначается определитель матрицы А? (Δ - дельта, -модуль А)

Существует еще одно обозначения определителя det A - детерминант А.

6) Что называется минором элемента матрицы а_ij? (определитель матрицы порядка (n-1), полученной из матрицы А вычеркивание I строки и j столбца)

7) Что называется алгебраическим дополнением элемента матрицы а_ij? (минор, взятый со знаком (-1)^i+j)

8) Для матриц какого вида возможно нахождение миноров ее элементов? (для квадратной матрицы)

9) Какой знак будет иметь алгебраическое дополнение элемента а₂₃? Почему? (минус)

10) Какой знак будет иметь алгебраическое дополнение элемента а₃₃? Почему? (плюс)

11) Сколько миноров имеет матрица третьего порядка? (9)

Итак, мы повторили некоторые определения и свойства матричной алгебры.

2.2. Изучение новой темы «Свойства определителей. Обратная матрица».

Теперь переходим к изучению новой темы. Запишите название первого вопроса «Свойства определителей».

Рассмотрим 8 основных свойств определителей. Эти свойства мы будем выводить с вами вместе.

Найдите определители следующих матриц:

1)

2)

3)

Определители всех трех матриц равны нулю. Значит, в этих матрицах есть что-то схожее. Что именно? (столбцы или строки состоят из нулей)

1. Если какая-либо строка или столбец матрицы состоит из нулей, то ее определитель равен 0.

Найдем определитель матрицы А и матрицы В, первая строка которой умножена на число 3.

Обратите внимание, во сколько раз увеличился определитель матрицы В по отношению к матрице А. Какой можно сделать вывод?

2. Если все элементы какой-либо строки или столбца матрицы умножить на число λ, то ее определитель увеличится в λ раз.

Как следствие из этого свойства можно сделать следующее замечание: за знак определителя можно выносить общий множитель любой строки или столбца.

Найдем определитель следующих матриц.

Посмотрите внимательно на матрицы. В чем они похожи? (строки и столбцы совпадают) Как называется операция перехода от матрицы А к матрице В, в которой строки и столбцы меняются местами с сохранением порядка? (Транспонирование). Данным примером мы показали еще одно свойство определителя.

3. При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется, т. е. .

Найдем определители матриц С и С^/.

.

Чем отличаются матрицы? (Строки поменялись местами). А определители? (отличаются знаками) Найдем определители матриц В и В^/.

.

Чем отличаются матрицы? (Столбцы 1 и 3 поменялись местами). А определители? (отличаются знаками)

Какой можно сделать вывод?

4. При перестановке двух строк или столбцов матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.

Найдем определители матриц А, В, С.

Все определители равны нулю. Какой особенностью обладают матрицы? (каждая содержит одинаковый строки или столбцы). Какой можно сделать вывод?

5. Если квадратная матрица содержит 2 одинаковые строки или столбца, то ее определитель равен 0.

Найдем определители матриц D и F.

;

Какая особенность есть у строк 1, 3 матрицы D и столбцов 1, 2 матрицы F? (они пропорциональны соответственно 2 и 3). Сделаем вывод.

6. Если элементы двух строк или столбцов матрицы пропорциональны, то ее определитель равен 0.

Найдем произведение определителей матриц А и В и определитель матрицы

карточки

Что мы видим? (7. Определитель произведения двух матриц равен произведению их определителей).

Для того чтобы проверить правильность выполнения операции умножения матриц, можно воспользоваться этим свойством определителя.

Следующее свойство мы рассмотрим вместе с вами.

8. Теорема Лапласа о разложении определителя по строкам (столбцам): Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

-

разложение по элементам i-ой строки

-

разложение по элементам j-ого столбца.

Пример:

Найдем определитель матрицы А обычным способом и с помощью разложения по первой строке и по второму столбцу.

Разложение по элементам первой строки.

Разложение по элементам второго столбца.

Перечисленные свойства позволяют существенно упростить вычисления, особенно для определителей порядка больше третьего. Теперь вы сможете применять их при решении практических задач. Непосредственно определители используются при вычислении обратной матрицы.

Переходим к изучению способа вычисления обратной матрицы. Запишите название темы «Обратная матрица».

Для каждого числа существует обратное число такое, что произведение . Для квадратных матриц тоже вводится аналогичное понятие.

Матрица А^-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица:

.

Вспомните, следующее свойство умножения матриц. Но это свойство не выполняется, в том случае, если матрица В является обратной к матрице А.

Может ли быть матрица А отличной от квадратной? (нет, тогда не будет возможна операция умножения справа и слева) Могут ли быть исходная и обратная матрицы разного порядка? (нет).

Однако не каждая квадратная матрица имеет обратную. Условием существования обратной матрица является . В этом случае квадратная матрица называется невырожденной (неособенной), в противном случае - вырожденной (особенной).

Рассмотрим алгоритм вычисления обратной матрицы

1. Находим определитель матрицы. Если он не равен нулю, то матрица невырожденная и имеет обратную.

А - вырожденная (особенная),

нет обратной матрицы

А - невырожденная (неособенная), имеет обратную матрицу

2. Транспонируем матрицу А.

3. Находим алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы, составляем из них матрицу .

4. Вычисляем обратную матрицу по формуле . Из нее видно, почему определитель матрицы А не должен быть равен нулю.

5. Осуществляем проверку по определению обратной матрицы: .

Рассмотрим алгоритм вычисления обратной матрицы на примере. Пусть дана матрица .

1. Находим определитель исходной матрицы. Если , то матрица невырожденная, следовательно, существует и обратная матрица.

Следовательно, матрица А невырожденная и имеет обратную.

2. Находим матрицу А^Т, транспонированную к А.

.

3. Находим алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы и составляем из них матрицу , где i = 1, 2,…, n; j = 1, 2,…, n.

;

;

;

;

;

;

;

;

.

Составим из алгебраических дополнений матрицу .

4. Вычисляем обратную матрицу по формуле .

5. Проверяем правильность вычисления обратной матрицы, исходя из ее определения .

Тем самым мы проверили правильность вычисления обратной матрицы.

Этот алгоритм вычисления обратной матрицы часто используют при решении экономических задач, сводящихся к решению систем линейных уравнений, с которыми мы познакомимся на дальнейших занятиях.

2.3. Закрепление нового материала.

Сейчас мы переходим к закреплению алгоритма вычисления обратной матрицы.

Пример 1. Выяснить, является ли матрица обратной к матрице .

Решение.

Воспользуемся определением обратной матрицы . Найдем оба произведения.

Пример 2. Найти матрицу, обратную к матрице .

Решение.

1. Найдем определитель матрицы.

Определитель не равен нулю, следовательно, матрицы является невырожденной и имеет обратную.

2. Находим матрицу А^Т, транспонированную к А.

3. Находим алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы.

;

;;

;

;

;

;

;

.

Составляем из них матрицу Ã.

4. Воспользуемся формулой .

5. Осуществим проверку по определению обратной матрицы.

Проверка показала, что обратная матрица вычислена верно.

Пример 3. Найти обратную матрицу для матрицы .

Решение.

1. . Матрица В невырожденная и имеет обратную.

2.

3. Находим алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы.

; ; ;

;;

;;

Составляем из них матрицу .

4. Воспользуемся формулой . Так как , то .

5. Проверка.

Есть ли у вас вопросы по схеме вычисления обратной матрицы или применению свойств определителя?

Давайте повторим алгоритм вычисления обратной матрицы. (Определитель, транспонирование исходной матрицы, присоединенная матрица из алгебраических дополнений элементов транспонированной матрицы, формула; проверка)

3. Заключительный этап.

3.1. Подведение итогов

Сегодня на занятии мы повторили определения матрицы, определителя, изучили свойства определителей, позволяющие упростить их вычисление, а также научились вычислять обратную матрицу.

3.2. Домашнее задание.

Я раздаю вам 2 варианта домашнего задания к следующему уроку, выполните их в отдельных тетрадях.

Урок закончен. До свидания!

Приложение 1

Алгоритм вычисления обратной матрицы

1. Находим определитель матрицы. Если он не равен нулю, то матрица невырожденная и имеет обратную.

А - вырожденная (особенная),

нет обратной матрицы

А - невырожденная (неособенная), имеет обратную матрицу

2. Транспонируем матрицу А.

3. Находим алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы, составляем з них матрицу .

4. Вычисляем обратную матрицу по формуле . Из нее видно, почему определитель матрицы А не должен быть равен нулю.

Осуществляем проверку по определению обратной матрицы: .

Приложение 2

Домашняя работа

Вариант 1

1. Даны матрицы А и В. а) Найдите произведение С матриц А и В. Вычислите определитель матрицы С и алгебраические дополнения ее элементов. б) Найдите матрицу Н = -2А+3В. Вычислите определитель матрицы Н, ее алгебраические дополнения.

; .

2. Вычислите обратную матрицу для матрицы

3. Найдите определитель четвертого порядка путем разложения элементов матрицы по а) 1 строке; б) 3 столбцу.

.

Вариант 2

1. Даны матрицы А и В. а) Найдите произведение С матриц А и В. Вычислите определитель матрицы С и алгебраические дополнения ее элементов. б) Найдите матрицу Н = 2А-3В. Вычислите определитель матрицы Н, ее алгебраические дополнения.

; .

2. Вычислите обратную матрицу для матрицы

3. Найдите определитель четвертого порядка путем разложения элементов матрицы по а) 1 строке; б) 3 столбцу.

.