Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»

урок-семинар «Решение уравнения sin x + cos x = 1».В работерассмотрены различные способы решения уравненияsin x + cos x = 1:Такие как: Метод дополнительного угла, универсальная тригонометрическая подстановка,, сведение уравнения к однородному тригонометрическому уравнению, Преобразование суммы в произведение,возведение обеих частей уравнения в квадрат, применение основного тригонометрического тождества,графический способ.
Раздел Математика
Класс 11 класс
Тип Конспекты
Автор
Дата
Формат docx
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

средняя образовательная школа №1

имени генерал - лейтенанта Б.П. Юркова

г.Зверева Ростовской области.








Урок - семинар на тему


«Решение уравнения sin x + cos x = 1»










учитель математики МБОУ СОШ №1

им. Б.П. Юркова


Куц Фёдор Иванович














г. Зверево

2015 г.

Перед человеком к разуму три пути: путь размышления - это самый благородный; путь подражания - это самый легкий; путь личного опыта - самый тяжелый путь.

Конфуций

Цели урока:

Главная дидактическая цель: рассмотреть все возможные способы решения данного уравнения.

Обучающие: изучение новых приемов решения тригонометрических уравнений на примере данного в творческой ситуации урока-семинара.

Развивающие: формирование общих приемов решения тригонометрических уравнений; совершенствование мыслительных операций учащихся; развитие умений и навыков устной монологической математической речи при изложении решения тригонометрического уравнения.

Воспитывающие: развивать самостоятельность и творчество; способствовать выработке у школьников желания и потребности обобщения изучаемых фактов.

Вопросы для подготовки и дальнейшего обсуждения на семинаре.

1) Введение вспомогательного угла.

2) Использование универсальной тригонометрической подстановки:

3) Сведение к однородному уравнению.

4) Применением формул сложения тригонометрических функций

5) Возведение обеих частей уравнения в квадрат.

6) Применение формул двойного и половинного аргумента.

7) Применение основного тригонометрического тождества.

8) Приведение к квадратному уравнению относительно одной из функций.

9)Графическое решение уравнения.

Все учащиеся разбиваются на группы (по 2-3 человека) в зависимости их индивидуальных способностей и желания. Каждой группе определяется задание для подготовки и выступления на уроке-семинаре. Выступает один человек от группы, а остальные учащиеся принимают участие в дополнениях и исправлениях ошибок, если в этом возникнет необходимость.

Организационный момент.

Учащимся сообщаются:

Тема урока: «Различные способы решения тригонометрического уравнения sin x + cos x = 1».

Форма проведения: урок - семинар.

Задачи урока:

а) рассмотреть возможность решения одного и того же уравнения различными способами;

б) познакомиться с различными общими приемами решения тригонометрических уравнений;

в) изучение нового материала (введение вспомогательного угла, универсальная подстановка).

План семинара:

1) Введение вспомогательного угла.

2) Использование универсальной тригонометрической подстановки:

3) Сведение к однородному уравнению.

4) Применением формул сложения тригонометрических функций

5) Возведение обеих частей уравнения в квадрат.

6) Применение формул двойного и половинного аргумента.

7) Применение основного тригонометрического тождества.

8) Приведение к квадратному уравнению относительно одной из функций.

9)Графическое решение уравнения.


  1. Решение первой группы.

Решение уравнения sin x + cos x = 1 методом «Введения вспомогательного угла».

Если дано уравнение a sin x + b cos x = с, то разделив обе части уравнения на выражение

Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»и вводя дополнительный угол Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1», получим уравнение cos Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» sin x + sin Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» cos x = Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1».

Откуда sin (x + Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1») = Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1».

(Или sin Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» sin x + cos Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» cos x = Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1». Откуда cos (x + Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1») = Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»).

Для уравнения sin x + cos x = 1 имеем: a = 1, b = 1: Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» = Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»= Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1».

Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»sin x + Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» cos x = Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»; Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» sin x + Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» cos x = Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1».

Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»cosУрок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»sinx + sinУрок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»cosx = Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1», sin(x + Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1») = Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»; x +Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» = (- 1)n arcsin Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» + π n, n Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» Z;

x +Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» = (- 1)n Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»+ π n, n Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» Z; x = -Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» + (- 1)n Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»+ π n, n Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» Z.

Эта серия корней распадается на две серии:

при четном n: n = 2m x = -Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» + Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»+ 2πm = 2πm, m Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» Z;

при нечетном n: n= 2k + 1 x = -Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» - Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»+ π (2k + 1) = - Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» + π + 2πk= = Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» + 2πk, k Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» Z.

Ответ. x = 2πn, n Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» Z; x = Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» + 2πk, k Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» Z.

Или 2)Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» sinУрок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»sinx + cosУрок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»cosx = Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»; cos(x - Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1») = Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»; x -Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» = ± arccos Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» + 2π n, n Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» Z;

x -Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» = ± Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»+ 2π n, n Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» Z; x =Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» ± Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»+ 2π n, n Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» Z.

Эта серия корней распадается на две серии: x = 2πn, n Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» Z; x = Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» + 2πk, k Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» Z.

Ответ. x = 2πn, n Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» Z; x = Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» + 2πk, k Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» Z.

  1. Решение второй группы.

Решение уравнения sin x + cos x = 1 с помощью универсальной тригонометрической подстановки: sin x = Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1», cos x =Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1».

Перепишем данное уравнение с учетом приведенных формул:

Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»+Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» = 1. Умножим обе части уравнения на общий знаменательУрок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» (Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» ≠0).

Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»+ Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» = Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»; Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» - Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» = 0; Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» (Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» - 1) = 0.

Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»= 0 илиУрок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» - 1 = 0.

1) Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»= 0, Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» = πn, n Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» Z; x = 2πn, n Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» Z.

2)Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» = 1, Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» = Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» + πk, k Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» Z; x = Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» + 2πk, k Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» Z.

Ответ. x = 2πn, n Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» Z; x = Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» + 2πk, k Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» Z.

3. Решение третьей группы.

Решение уравнения sin x + cos x = 1 приведением к однородному уравнению относительно синуса и косинуса.

Используя формулы двойного аргумента sin x = 2sinУрок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»cosУрок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1», cosx = cos2 Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» - sin2Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» и записывая

правую часть уравнения в виде 1= cos2Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» + sin2Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1», получаем:

2sinУрок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»cosУрок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» + cos2Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» - sin2Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» = cos2Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» + sin2Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»; 2 sin2Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» - 2sinУрок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»cosУрок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» = 0.

Вынося 2sinУрок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»за скобки, получим равносильное уравнение

2 sinУрок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» (sinУрок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» - cos Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» = 0. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен

нулю, другие при этом имеют смысл. Следовательно, 2sinУрок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» = 0 или sinУрок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» - cosУрок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»

1) sinУрок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» = 0. Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» = Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»n, n Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» Z; x = 2πn, n Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» Z.

2) sinУрок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» - cosУрок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» = 0 - однородное уравнение первой степени. Делим обе части уравнения на cosУрок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»

(cosУрок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» ≠ 0, в противном случае, если cosУрок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» = 0, то и sinУрок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» = 0, что противоречит основному

тригонометрическому тождеству cos2Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» + sin2Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» = 1).

tg Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» - 1= 0; tg Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» = 1.

Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»= Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» +Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» х = Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» + 2πk, k Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» Z .

Ответ. x = 2πn, n Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» Z; x = Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» + 2πk, k Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» Z.

4. Решение четвертой группы.

Решение уравнения sin x + cos x = 1 с применением формул сложения тригонометрических

функций sinУрок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» + sinУрок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»= 2 sin Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» cos Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» .

Выразим cos x через sin x, используя формулы приведения: cos x = sin(Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» - x).

sin x + sin (Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» - x) = 1; 2 sinУрок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»cos Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» = 1; 2 sin Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» cos (x - Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1») = 1;

2∙Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» ∙ cos (x - Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1») = 1; cos (x - Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1») =Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» .

x - Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» = ± arccosУрок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» +2Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»n, n Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» Z; x = Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» ± Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» +2Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»n, n Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» Z.

x = 2Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»n, n Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» Z; х = Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» + 2Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»k, k Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» Z.

Ответ. x = 2πn, n Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» Z; x = Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» + 2πk, k Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» Z.

5. Решение пятой группы.

Решение уравнения sin x + cos x = 1 способом возведения обеих частей уравнения в квадрат.

(sin x + cos x )2 = 1; sin2 x + 2sin x cos x + cos x2 = 1.

Используя формулу синуса двойного аргумента sin 2x = 2sin x cos x и основное

тригонометрическое тождество cos2х + sin2х = 1, имеем:

sin 2x + 1 = 1; sin 2x = 0; 2x = πn, n Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» Z; x = Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» , n Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» Z.

При возведении уравнения в квадрат получаем уравнение - следствие, поэтому проведем

проверку.

Проверка.

1) При х = 2πn, n Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» Z, 0 + 1 = 1 верно, х = 2πn, n Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» Z - корни уравнения.

2) При х = Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» + 2πn, n Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» Z; 1+ 0 = 1 верно, х = Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» + 2πn, n Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» Z - корни уравнения.

3) При х = π + 2πn, n Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» Z, 0 - 1 = 1 неверно, х = π + 2πn, n Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» Z - не являются корнями

уравнения.

4) При х = Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» + 2πn, n Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» Z, -1+ 0 = 1 неверно, х = Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» + 2πn, n Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» Z - не являются корнями

уравнения.

Ответ. x = 2πn, x = Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» + 2πn, n Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» Z.

6. Решение шестой группы.

Решение уравнения sin x + cos x = 1 с применение формул двойного и половинного

аргумента.

Запишем уравнение в виде: sin x = 1 - cos x .

Сделаем замену: sin x = 2sinУрок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»cosУрок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1», 1 - cos x = 2sin2Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1».

2sinУрок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»cosУрок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» = 2sin2Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»; 2sinУрок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»cosУрок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» - 2sin2Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» = 0. Вынося 2sinУрок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»за скобки, получим равносильное

уравнение 2sinУрок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» (sinУрок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» - cos Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» = 0. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей

равен нулю, а другие при этом не теряют смысла.

2sinУрок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» = 0 или cos Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» - sinУрок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» = 0.

1) 2sinУрок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» = 0; Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» = πn, n Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» Z; x = 2πn, n Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» Z.

2) cosУрок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» = sinУрок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» ; Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» = 1; Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» = Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» + πk; x = Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» + 2πk, k Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» Z.

Ответ. x = 2πn, n Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»Z; x = Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» + 2πk, k Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»Z.

7. Решение седьмой группы.

Решение уравнения sin x + cos x = 1 с применение основного тригонометрического

тождества.

Из тождества sin2 x + cos2 x = 1 имеем cos2 x = 1 - sin2 x, откуда cos x = ±Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1».


sin x ±Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» = 1; ±Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» = 1 - sin x; 1 - sin2 x = (1 - sin x)2;

(1- sin x) (1 + sin x) - (1 - sin x)2 = 0; (1- sin x) (1 + sin x - 1 + sin x) = 0; (1 - sin x) ∙ 2sin x = 0.

1 - sin x = 0 или 2 sin x = 0.

1) sin x = 1; x = Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» + 2πk, k Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»Z.

2) sin x = 0; x = πn, n Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» Z.

В процессе решения обе части уравнения возводились в квадрат, что могло

привести к появлению посторонних решений, поэтому необходима проверка.

Выполним ее.

При х = Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» + 2πk, k Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»Z, 1+ 0 = 1 верно, х = Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» + 2πk, k Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»Z.- корни уравнения.

При х = 2πn, n Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» Z, 0 + 1 = 1 верно, х = 2πn, n Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»Z - корни уравнения.

При х = π + 2πn, n Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» Z, 0 - 1 = 1 неверно, х = π + 2πn, n Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» Z - не являются корнями уравнения.

Ответ. x = 2πn, n Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» Z; x = Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» + 2πk, kУрок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»Z.

8. Решение восьмой группы.

Решение уравнения sin x + cos x = 1 способом приведения к квадратному уравнению

относительно одной из функций.

Рассмотрим основное тригонометрическое тождество sin2 x + cos2 x = 1, откуда следует sin x =

±Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1», подставим полученное выражение в данное уравнение.

±Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» + cos x = 1; ±Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» = 1 - cos x.

Возведем обе части полученного уравнения в квадрат: 1 - cos2x = 1 - 2cos x + cos2x;

2cos2x - 2cos x = 0; cos x (cos x - 1) = 0.

cos x = 0 или cos x - 1 = 0.

1) cos x = 0. x = Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» + πk, k Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»Z.

2) cos x - 1 = 0; cos x =1. х = 2πn, n Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» Z.

Корни необходимо проверить.

При х = Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» + 2πk, k Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»Z, 1+ 0 = 1 верно, х = Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» + 2πk, k Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»Z - корни уравнения.

При х = - Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» + 2πk, k Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»Z, - 1 + 0 = 1 неверно, х = - Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» + 2πk, k Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»Z - не являются корнями

уравнения.

При х = 2πn, n Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» Z, 0 + 1 = 1 верно, х = 2πn, n Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»Z - корни уравнения.

Ответ. x = 2πn, n Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» Z; x = Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» + 2πk, kУрок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»Z.

9. Решение девятой группы.

Решение уравнения sin x + cos x = 1 графическим способом

Перепишем уравнение в виде: sin x = 1 - cos x.

Построим в одной системе координат графики функций: у = sin x , y =1 - cos x.

Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1»

Абсциссы точек пересечения являются решениями данного уравнения.

Из графика видно, что уравнение имеет 2 решения: x = 2πn, n Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» Z; x = Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» + 2πk, k Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» Z. (Необходимо обязательно проверять это вычислениями).

Ответ. x = 2πn, n Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» Z; x = Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» + 2πk, k Урок - семинар на тему «Решение уравнения sin x + cos x = 1» Z.


Итог урока.

Учащиеся научились решать тригонометрические уравнения вида a sin x + b cos x = c, освоили новый материал.

На примере одного уравнения рассмотрели несколько способов решения.

Учащиеся были непосредственными участниками урока, была задействована обратная связь в системе ученик-учитель.

Учащиеся получили навыки самостоятельной работы с дополнительной литературой.

Литература.

1. Материалы курса «Тригонометрия в школе». /Н.Н. Решетников, М. Педагогический университет «Первое сентября», 2010 г.

2. Математика. Большой справочник школьников и поступающих в вузы. М.»дрофа»,1999 г.

3. Математика. Учебное пособие для слушателей подготовительных курсов. Новочеркасск, НГМА,2003 г.

4.Алгебра и начала анализа. 10 -11 классы: учебник для общеобразовательных учреждений: базовый уровень/ Ш.А. Алимов и др./ - М, Просвещение, 2010 г.

Интернет- ресурсы

1.studyport.ru›tochnyie-nauki…grafikov-v…uravneniy

2.festival.1september.ru/articles/515874/


© 2010-2022