Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Раздел Математика
Класс 10 класс
Тип Другие методич. материалы
Автор
Дата
Формат doc
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Г.А. Лихачёва







Школьнику о

композиции движений

плоскости





Элективный курс по математике




2011г



УДК 514(075.8)

ББК 22.151я 721

Л 65

Рецензенты:

Долженков Виктор Анатольевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры геометрии Курского государственного университета.

Журавлёва Елена Вадимовна, кандидат технических наук, доцент кафедры высшей математики Юго-западного государственного университета.

Лихачёва, Г.А. Школьнику о композиции движений плоскости: Элективный курс по математике / Г.А. Лихачева - Старый Оскол: «МЕЧТА» 2011. - 74с.

Настоящий элективный курс регламентирует учебную деятельность учащихся III ступени школьного обучения и поступающих во ВТУЗы по отдельным разделам геометрии «Движениям плоскости». В пособии дано содержание курса с разбивкой по темам, подборка теоретического и практического материала, учебно-тематический план, задания для самостоятельной работы, перечень учебной литературы для самостоятельного изучения тем, а также образцы решения задач.

Выбор тем и содержания заданий обусловлен стремлением автора объединить усвоение теоретических знаний с практическими умениями и навыками, раскрыть творческие способности обучающихся.

Текст печатается в авторской редакции

ISBN

типография

© Лихачёва Г.А., 2011

Содержание

  1. Введение

  2. Учебно-тематический план элективного курса.

3. Применение движений плоскости к решению геометрических задач.

4. Список рекомендуемых задач.

5. Разработки занятий.

6. Итоговое занятие.

7. Список литературы.






1.Введение

Настоящее пособие предназначено для учащихся 10-11 классов средних школ, абитуриентов, а также преподавателей и методистов.

В пособии дано содержание курса с разбивкой по темам, подборка теоретического и практического материала, учебно-тематический план, задания для самостоятельной работы, перечень учебной литературы для самостоятельного изучения тем, а также образцы решения задач.

Тема: «Движения плоскости. Разложение движений плоскости произведение осевых симметрий», также важна, как и другие, изучаемые в курсе геометрии 10 - 11 классов. Она проста и доступна для усвоения учащимися, что подтвердил эксперимент, проведённый на базе средних школ города Старого Оскола. Тема эта имеет в большей степени практическое применение для решения различных задач на построение и доказательство. Мной подобран материал по темам, включающим в себя различные преобразования плоскости: поворот, параллельный перенос, центральную симметрию, осевую симметрию, скользящую симметрию. На двух занятиях учебный материал дан в виде уроков-лекций, после которых краткое обобщение и уточнение моментов, которые учащиеся для себя хотели уяснить. Затем проводят практические занятия по применению изученного материала для решения задач, учат правильно и точно выполнять чертежи к задачам, строить логическую цепочку умозаключений в ходе доказательства. Проделанная работа показала, что данная тема «Движения плоскости» может быть предложена для изучения в школе, как одна из интересных и посильных для изучения учащимися. Её можно рассматривать на элективном курсе (17ч) или частями вводить на уроках при изучении соответствующих тем, как дополнение и расширение их.

Цель данного пособия - дать возможность учащимся 10-11 классов и абитуриентам потренироваться в выполнении таких видов заданий, которые помогут подготовиться к предстоящим экзаменам.

2. Элективный курс как одна из вспомогательных форм обучения в современной школе.

Наиболее массовой формой углубленного изучения школьных дисциплин являются элективные курсы. Они прочно вошли в практику школы. Элективный курс - это творческая лаборатория учителя: можно решать олимпиадные задачи, исследовать теоретические и практические задания различного уровня сложности.

Математика в наши дни пронизывает все сферы общественной жизни. Овладение практически любой современной профессией требует тех или иных знаний по математике. Эти знания, представления о роли математики в мире стали необходимыми компонентами общей культуры. В современной школе математика является неотъемлемым федеральным компонентом содержания общего образования.

Смысл обучения в школе состоит не только в том, чтобы сделать каждого ребенка немного математиком, но и развивать способность точно и доказательно мыслить. От уровня математического образования зависит очень многое. Оно нужно не только тем, кто впоследствии будет заниматься математикой профессионально. А в связи с тем, этот предмет обеспечивает изучение на современном уровне ряда других дисциплин, как естественных, так и гуманитарных, а также трудового обучения.

Современная математика с большим успехом применяется почти в каждой области высокоорганизованной человеческой деятельности, в то же время потребности техники, экономики, военного дела и др. вызвали к жизни совершенно новые математические дисциплины, такие как кибернетика, теория информации, теория линейного программирования и т.д. Таким образом, без знания математических фактов, усвоения математических навыков невозможно изучать другие науки, учиться многим профессиям.

Необходимо отметить, что математика является и профилирующим предметом для поступления в ВУЗы по широкому спектру специальностей. При подготовке к экзаменам необходимы более глубокие познания.

Цель курса состоит в том, чтобы исходя из теоретических положений и обобщения опыта работы по теме «Движения плоскости» дополнить и расширить школьное образование, раскрыть содержание, организационные формы проведения работы в области изучения учащимися дополнительных разделов геометрии.

Основной задачей изучения элективного курса является приобретение обучающимися теоретических и практических навыков по данному разделу «Композиция движений плоскости».

В результате изучения курса обучающийся должен знать теоретические основы курса и уметь применить их в практической деятельности для доказательства теорем и решения задач.

Освоение учебного материала базируется на знаниях, полученных учениками в процессе изучения геометрии и алгебры школьного курса.

Полученные знания позволят более углубленно и осмысленно изучить данное направление в геометрии, помогут развитию логического мышления, а также умений исследовать, анализировать, обобщать.


  1. Учебно-тематический план элективного курса.

№ п/п

Тема

Количество часов

Формы проведения

Образовательный продукт

Всего

Лекций

Практикум

1

Центральная и осевая симметрии.

3ч.

0,5ч.

2,5ч.

Мини-лекция,

урок практикум,

тестирование

Актуализация знаний, умений и навыков. Развитие навыков тождественных преобразований.

2

Параллельный перенос.

2ч.

0,5ч.

1,5ч.

Комбинированный урок,

групповая работа

Овладение

умениями решать

задачи

различных видов,

различными способами.

3

Поворот.

3ч.

0,5ч.

2,5ч.

Мини-лекция,

работа в парах

Овладение

разными

способами

решения задач по теме «Поворот»

4

Композиция поворотов.

3ч.

0,5ч.

2,5ч.

Комбинированный урок, урок-практикум, тестирование

Овладение умениями и навыками выполнять композиции поворотов

5

Композиция симметрий.

3ч.

0,5ч.

2,5ч.

Мини-лекция, лабораторная работа

Обобщение и систематизация знаний по различным темам курса.

6

Композиция движений.

3ч.

0,5ч.

2,5ч.

Семинар, групповая работа, тестирование или к/р

4.Содержание и методические аспекты элективного курса «Школьнику о композиции движений плоскости»

  1. Центральная и осевая симметрии (3 ч). Задачи предназначены для формирования умения строить образы различных фигур при центральной и осевой симметрии. Знакомство с координатной записью осевой симметрии и дальнейшим развитием представлений о свойствах оси симметрии, а также обратными задачами на построение образов фигур.

  2. Параллельный перенос (2 ч). Понятие поворота. Знакомство со скользящей симметрией, её осью и направлением. Привлечение координатного метода в использовании параллельного переноса при построении графиков различных функций. Параллельный перенос и другие перемещения.

  3. Поворот (3 ч). Построение образов фигур. Знакомство с элементами, определяющими поворот: центром поворота, углом поворота. Свойства поворота. Решение комбинированных задач. Знакомство с координатной записью поворота на 900 по часовой и против часовой стрелки и её использованием.

  4. Композиция поворотов (3 ч). Знакомство с композицией поворотов и других преобразований. Построение образов фигур. Знакомство с элементами, определяющими композицию поворотов. Свойства композиции поворотов. Решение комбинированных задач.

  5. Композиция симметрий (3 ч). Классификация движений. Понятие «прямая инвариантных точек». Движения первого и второго рода.

  6. Композиция движений (3 ч). Группа движений плоскости и её подгруппы. Решение комбинированных задач.


5.Содержание теоретической части элективного курса

Осевая симметрия.

ПЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиусть имеем прямую d на плоскости. Точки Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости и Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости называются симметричными относительно прямой d если отрезокЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости⊥ d, а его середина Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиd. Если точка М Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиd, то она называется симметричной сама себе относительно прямой d.

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиМ

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

d Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

ПЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиреобразование плоскости, которое каждой точке ставит в соответствие симметричную ей точку относительно прямой d, называется осевой симметрией с осью d. Осевую симметрию обозначим Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Выберем прямоугольную декартову систему координат, для которой ось d является осью абсцисс. Тогда зададим формулы осевой симметрии в этой системе координат:Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиy

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости0 x

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Аналогично выполняется для произвольной прямой. То есть формулы обратного преобразования одни и те жеЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

А следовательно это есть одно и то же преобразование Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости.

То есть осевая симметрия является инвалютивным преобразованием.

Из уравнения осевой симметрии следует, что неподвижными точками будут только точки, у которых ордината равна нулю. Значит, все точки оси симметрии неподвижны. Очевидно, что ось - неподвижная прямая. Она отображается сама в себя.

Рассмотрим симметрию относительно других прямых.

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости.

Прямая Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости будет отображаться в себя при Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости Это будут прямые, перпендикулярные оси симметрии d. Каждая точка этой прямой неподвижна.

Центральная симметрия

Точки М и Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости называются симметричными относительно точки О, если О - середина отрезка МЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Точка О симметрична сама себе.

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиМ О Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Преобразование плоскости, которое каждую точку отображает в симметричную ей точку относительно центра О называется центральной симметрией с центром в точке О и обозначается Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости.

Центральная симметрия есть поворот вокруг точки О на угол 180°. Поэтому формулы центральной симметрии получим из формул:

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости:Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

В центральной симметрии неподвижная точка только одна. Это центр симметрии. А неподвижными прямыми являются прямые, проходящие через центр симметрии.

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости:Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

То есть преобразования прямой и обратной центральных симметрий имеют одни и те же формулы. Следовательно, центральная симметрия также является инвалютивным преобразованием.

Скользящая симметрия

Пусть имеем на плоскости прямую Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости и векторЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Преобразование плоскости f = Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости называют скользящей симметрией. М →Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Выберем прямоугольную систему координат:

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости: Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости: Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости .

Если векторЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, то неподвижных точек нет.

Скользящая симметрия будет обладать свойствами, общими для параллельного переноса и для осевой симметрии, например:

  1. Неподвижных точек нет.

  2. Неподвижная прямая одна - Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

  3. Всякая прямая, параллельная прямойЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, имеет образ, параллельный Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости.

  4. Середина отрезка Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости.

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости МЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

0 О Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости d

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Композиция симметрий

Отношению перпендикулярности прямых Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости соответствует равенство композиций относительно этих прямых, т.е. Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости.

Доказательство.

Пусть Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости.

Если О точка пересечения прямых Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, то композицияЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

представляет собой центральную симметрию относительно точки О, т.е.Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости Аналогично композицияЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости Следовательно Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости.

Пусть теперь имеет место равенство композицийЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, тогда Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Докажем это методом от противного: предположим прямыеЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости не перпендикулярны, тогда они или пересекаются под углом α≠90°, или параллельны.

Если Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости пересекаются под углом α≠90°, то Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости есть поворот вокруг точки пересечения прямых на угол 2α, а композицияЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - поворот вокруг той же точки, но на угол Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости т.е.Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Если Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, тоЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - параллельные переносы на одинаковое расстояние, но в противоположных направлениях.

Следовательно Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости.

Полученное противоречит условию. Следовательно имеет место равенство Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, а значит прямые, определяющие это равенство взаимно перпендикулярны.

Отношению принадлежности прямых а,b,c - одному пучку , соответствует равенство композиций симметрий относительно этих прямых: сЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Где d - осевая симметрия относительно некоторой четвертой прямой, принадлежащей тому же пучку.

Докажем это.

Пусть а,b,c принадлежат одному пучку.

  1. Пусть а∩b∩c = О.

ТогдаЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости есть поворот вокруг точки О на угол 2α (α - угол между прямыми а и b). Поворот вокруг точки О на угол 2α может быть представлен через композицию двух других осевых симметрий, оси которых также пересекаются в точке О под углом α. Пусть осью одной из таких симметрий является прямая с, а другой некоторая прямая d. Так как композиции Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости и сЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости представляют собой один и тот же поворот, то имеет место равенство композиций Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости = сЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. На основании свойства композиции преобразований «умножим» обе части этого равенства на с, слева получим сЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, а справа сЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостисЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Имеем: сЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости сЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостисЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости (Множитель с записан слева.) Композиция сЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостис есть тождественное преобразование, поэтому сЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Таким образом, прямые пересекаются в одной точке и угол между прямыми а и b равен углу между d и с, тогда для композиции симметрий относительно этих прямых имеет место равенство сЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, т.е. композиция сЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости в этом случае есть осевая симметрия.

  1. Пусть а∥b∥c.

Тогда композицияЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости есть параллельный перенос от прямой а к прямой b в направлении, перпендикулярном к данным прямым, на расстояние, равное удвоенному расстоянию между прямыми а и b.

Параллельный переносЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости может быть представлен через композицию двух других симметрий относительно прямых, параллельных прямым а и b и расстояние между которыми равно расстоянию между прямыми а и b.

Пусть осью одной из этих симметрий является данная прямая с, а другой - некоторая прямая d.

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостис

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиd

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиa

Так как Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости и сЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости есть один и тот же параллельный перенос, то имеет место равенство композиций Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости = сЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, которое как и ранее приводит к равенству сЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Итак, если прямые Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости с параллельны и расстояние между прямымиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости равно расстоянию между прямыми сЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, то имеет место равенство композиций сЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости то есть композиция сЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости и в этом случае представляет собой осевую симметрию.

Обобщим эти случаи и сделаем вывод, что если прямые Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости с имеют общую точку и параллельны, значит, прямыеЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости с принадлежат одному пучку, тогда можно найти такую четвертую прямуюЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, что для всех композиций соответствующих симметрий выполняется равенство сЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости то есть композиция трех осевых симметрий в случае принадлежности соответствующих прямых одному пучку является осевой симметрией.

Докажем обратное.

Пусть прямыеЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости с не принадлежат одному пучку. Рассмотрим самый общий случай к которому можно привести все остальные: прямые Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости с пересекаются попарно. Композицию Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости можно заменить композицией Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, гдеЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости прямые, проходящие через точку пересечения прямых Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостис и образующие тот же угол.

Проведем прямую Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости перпендикулярную прямой Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости и пересекающую её в точке L.Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - прямая, проходящая через точку L и Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости тогдаЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости = L и Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости или Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Найдем композицию сЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости L .

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостис

P

L a

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости d

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости b

КомпозицияЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости L есть параллельный перенос, за которым следует симметрияЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости Следовательно композиция Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости L - скользящая симметрия.

Итак, если прямыеЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости с не принадлежат одному пучку, то композиция сЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости является скользящей симметрией, а не осевой симметрией, и равенство сЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости не имеет места, то есть доказано, что равенство композиций сЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости выполняется в том и только в том случае, когда прямыеЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости с принадлежат одному пучку.

Теорема. Отношение «Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - ось симметрии прямых Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости и Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости выражается отношениеммежду соответствующими симметриями в виде равенства композиций Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости.

Доказательство.

Согласно ранее доказанномуЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости есть симметрия относительно прямой Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, принадлежащей тому же пучку, и угол между прямыми Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости равен углу между прямыми Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, если прямые имеют общую точку, и расстояние междуЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости равно расстоянию между прямымиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, если прямые параллельны.Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - ось симметрии прямых Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости и Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиa

a b

b c

c

Отношению «Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - ось симметрии точек Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости и Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости» отвечает равенство композиций соответствующих симметрийЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Пусть точки А и В симметричны относительно прямой Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Докажем, что для соответствующих симметрий в этом случае имеет место равенствоЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. При доказательстве воспользуемся теоремой: « симметрия с центром в точке О есть композиция осевых симметрий относительно перпендикулярных прямых, которые пересекаются в точке О, причем одна из этих прямых может быть выбрана произвольно.

Проведем через точки А и В прямую Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости и представимкаждую из центральных симметрий через композицию осевых симметрий, используя каждый раз прямуюЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости Тогда А = Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, В = Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, гдеЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - осевые симметрии относительно прямых, которые параллельны Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, и расстояние между прямыми Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости равно расстоянию между прямымиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости и Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости А В

В этом случае композиция Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости гдеЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - параллельный перенос, который можно заменить композициейЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости , тогда Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Докажем обратное. Если имеет место равенство композицийЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости то точки, определяющие центральные симметрии, симметричны относительно прямой, которая определяет осевую симметрию. Доказательство проведем методом от противного.

Пусть точка В не симметрична точке А, тогда найдем точку С, которая будет симметрична точке А относительно прямой Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости Так как точки А и С симметричны относительно прямой Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, то для соответствующих симметрий имеет место равенствоЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Учитывая данное равенство получим Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости или «умножив» обе части его наЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости слева, будем иметьЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Получили, что точка, несимметричная данной относительно прямой, совпадает с точкой, которая ей симметрична, что невозможно. Таким образом, равенство композиций видаЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости выполняется только в том случае, когда А и В точки, симметричные относительно прямойЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

ОЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскоститношение «точка А принадлежит прямой Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости» выражается отношением между соответствующими симметриями и имеет вид равенства композицийЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости т.е. композиция осевой и центральной симметрий коммуникативна.

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Пусть точка АЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Докажем, что в этом случаеЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости Центральную симметрию А представим через композицию осевых симметрий, использовав в качестве одной из осей прямую Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости Тогда Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости где c - осевая симметрия относительно прямой, перпендикулярной прямой Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости В композиции Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости центральную симметрию А представим через ту же композицию осевых симметрий, тогда получимЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости = Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости.

То есть композиции Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиодну и ту же осевую симметрию, поэтому Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Докажем обратное.

Если для соответствующих симметрий выполняется равенство композицийЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, то точка АЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Предположим, что АЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, тогда найдется точка В, симметричная точке А относительно прямой Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости такая, что для соответствующих симметрий выполняется равенство композицийЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости Учитывая данное равенство, получимЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости или «умножив» обе части этого равенства наЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости слева, будем иметьЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, т.е. точка, не принадлежащая прямойЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, совпадает с точкой, ей симметричной, что невозможно.

Таким образом, равенство композиций видаЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости выполняется только в том случае, когда точка АЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости.

Отношение «В - центр симметрии точек А и С» выражается отношением между соответствующими симметриями в виде такого равенства композицийЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости Точки А, В, В, С - являются вершинами вырожденного параллелограмма. Так как Лучи ВА и СВ сонаправлены, принадлежат одной прямой и Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, то выполняется равенство композиций Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Теорема. Поворот плоскости есть произведение двух осевых симметрий, оси которых пересекаются. Центром поворота будет точка пересечения осей, а угол поворота равен двойному углу от первой оси до второй.

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиДоказательство.

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Необходимо выяснить, что движение Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - поворот. Действительно, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - движение первого рода (т.е. либо параллельный перенос, либо поворот, либо центральная симметрия, либо тождественное преобразование), так как ориентация репера меняется дваждыи возвращается к исходному.

При осевой симметрии Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости неподвижными точками будут точки прямой Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, а при осевой симметрии Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости точки прямой Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости но точка Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости останется неподвижной как в первом так и во втором случаях. Следовательно, движение Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости имеет одну неподвижную точку Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, а значит, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - поворот вокруг точки Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Найдем угол поворота.

Возьмем произвольную точку Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости(Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости) =Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - поворот на угол Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости вокруг точки Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Докажем обратное.

Пусть мы имеем поворот на уголЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости вокруг точки Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости (уголЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости).

Проведем через точку Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости пару прямыхЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости и Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости так, чтобы угол от прямой Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости прямой Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости составлял Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости Рассмотрим произведение Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости = Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

О Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Замечание. Если бы мы взяли еще пару прямых и рассмотрели бы произведение Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости , то это был бы один и тот же поворот.

Теорема. Параллельный переносЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости плоскости есть произведение двух осевых симметрий, оси которых параллельны и удовлетворяют условию:

  1. Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости.

  2. Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости.

  3. Расстояние между прямыми равно Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости и направление вектора Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости совпадает от первой прямой до второй. То есть, надо доказать, что Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Доказательство.

Произведение Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - есть движение первого рода (т.к. не меняет ориентации).

НЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиеподвижных точек здесь нет. Следовательно это движение есть параллельный перенос. Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Найти векторы этого параллельного переноса можно так: возьмем точку МЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости и найдем её образЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Длина вектора в два раза больше расстояния между прямыми. Эти прямые параллельны и Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости.

Докажем обратное.

Покажем, что параллельный перенос есть произведениедвух осевых симметрий с параллельными осями.

Вектор Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - определен.

Проведем две параллельные прямые, перпендикулярные векторуЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, так чтобы расстояние между ними было равно Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости и направление от первой прямой до второй совпадало с вектором Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости.

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости=Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Доказано.

Замечание. Мы можем пару параллельных прямых, определяющих параллельный перенос, смещать параллельно плоскости и при этом параллельный перенос остается прежним.

Общее понятие движения, и его свойства

1. Отображение и преобразование множеств.

Пусть Х и У - непустые множества. Допустим, что каждому элементу Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости поставлен в соответствие единственный элемент из множества У. Тогда говорят, что дано отображение множества Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостив множество У или дана функция.Функцию обозначают одной буквой, например Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостии пишут так:Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости Элемент Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости называется значением функции Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости для элемента Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости и обозначают через Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Множество Х назовём областью определения функции Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, а множество всех значений - областью значений функции. Вместо термина «функция» в геометрии принято говорить «отображение». Пусть дано отображениеЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости Элемент Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиназовём образом элемента Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, а х - прообразом элемента Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости Говорят также, что элемент х переходит в элемент у в отображении fи пишут Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Область определения и область значений являются множествами точек плоскости.

Например: Пусть Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - окружность, а АВ - её диаметр. Каждой точке М окружности поставим в соответствие ортогональную проекцию М1 на прямую АВ. Получим отображение окружности Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостив прямую
Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости
M

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиВ P

A М1

N

Если в отображении Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостимножество Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостито говорят, что дано отображение множества Х на себя. Преобразованием непустого множества Х называется любое биективное отображение множества Х на себя.

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиМ/

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиφ

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиO• M

Например: Пусть Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - окружность заданная на ориентированной плоскости, а φ - ориентированный угол, причём Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Отображение Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостипри котором каждой точке М окружность Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиставится в соответствие М/ той же окружности, чтоЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - преобразование окружностиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

2. Движения плоскости.

Говорят, что преобразование плоскости сохраняет расстояния, если расстояние между любыми двумя точками А и В плоскости равно расстоянию между их образами А/и В/, т.е. АВ= А/В/.

Преобразование плоскости, сохраняющее расстояние, называется движением (или перемещением).Наиболее простым примером движения является тождественное преобразование плоскости, т.е. преобразование, при котором каждая точка плоскости переходит в себя.

Пример 1.

Возьмём вектор Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости параллельный плоскости Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Каждой точке Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости поставим в соответствие точку Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости/ так, чтобы Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Мы получаем некоторое отображение Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, которое является преобразованием плоскости Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Оно называется параллельным переносом на вектор Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Вектор Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости называется вектором переноса.

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиМ1 / М2 /

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиМ1 М2

Если Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости , то параллельный перенос, есть тождественное преобразование. Докажем, что параллельный перенос является движением.

Пусть Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - две точки плоскости, а Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - их образы.ТогдаЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости=Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости,Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости= Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, поэтому Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости=Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости по лемме о равенстве векторов имеем Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости.

Таким образом при параллельном переносе сохраняются расстояния, т.е.

параллельный перенос - движение.

Пример 2.

Рассмотрим симметриюЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости плоскости относительно некоторой точки О. Симметрия , очевидно, является преобразованием и сохраняет расстояния, так как если Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - две точки плоскости, а Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости- их образы, тоЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостии Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, поэтому Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости.Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, т.е. Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости движение.

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости М

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости OЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Упорядоченную тройку точек А, В, С плоскости, не лежащих на одной прямой, называют репером и обозначают так: Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Точки А, В, С называют вершинами репера, причем точка А называется его началом. Репер называется аффинным, если Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости АВС произвольный, и ортонормированным, если Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиА - прямой, а АВ = АС = 1.

Пусть на плоскости дана система координат Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Отложив от точки О векторы Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости = Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости = Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, получим реперЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, о котором говорят, что он соответствует системе координатЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости.

Если данная система координат аффинная, то R- аффинный репер, а если данная система координат прямоугольная, то реперR-ортонормированный. Обратно, если данный реперЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, то можно построить систему координат Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, гдеЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, которой соответствует репер R.

В дальнейшем будем говорить, что точка М в репере R имеет координаты Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостикоординаты точки М в соответствующей системе координатЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Вообще, в геометрии не делают различия между репером и системой координат.

Докажем, что в любом движении репер переходит в репер, в частности ортонормированный репер - в ортонормированный репер. В самом деле, пустьЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, а Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости образы точек А, В и С, соответственно. Так как точки А, В и С не лежат на одной прямой, то Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Движение сохраняет расстояния, поэтому Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости точки Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости не лежат на одной прямой, т.е.Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости- репер. Если Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - ортонормированный репер, то по теореме ПифагораЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, поэтому Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости+Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости=Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости.

По теореме, обратной теореме Пифагора,Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости прямоугольный. Далее, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости Таким образом,Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости-ортонормированный репер.

Докажем основную теорему.

Пусть R = Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости и Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости = Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости- произвольные ортонормированные реперы плоскости Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Тогда существует одно и только одно движение, которое репер R переводит в Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости При этом движении любая точка М с данными координатами в репере R переходит в точку Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости с теми же координатами в репере Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Докажем сначала, что существует движение, которое репер R переводит в репер Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости Построим отображение g:Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости следующим образом, произвольной точке МЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостив репере R поставим в соответствие точку Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости с теми же координатами в репере Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости Ясно, что АЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, ВЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости и СЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости.

Отображениеg:Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости является взаимно однозначным отображением плоскости на себя, т.е. является преобразованием плоскости Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Докажем, что g сохраняет расстояние.

Пусть Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости произвольные точки плоскости, которые в репереR имеют координаты Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостииЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиТогда Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости = Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Образы Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости точек Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости и Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости в репере Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиимеют те же координатыЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостииЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиТогда Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости = Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости и следовательно Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости = Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Таким образом g- движение, которое переводит реперR в репер Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости.

Докажем, что g - единственное движение, которое переводит репер R в репер Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Допустим, что это не так, то есть существует другое движениеЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, такое, что Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости = Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Тогда на плоскости существует такая точка М, что образ Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости этой точки в движении g не совпадает с образом Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости той же точки в движении Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Т.к. А Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости и А Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, то АМ = Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости и АМ = Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, поэтому Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости = Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости т.е. точка Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости равноудалена от концов отрезка Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Точно также можно доказать, что точки Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости равноудалены от концов отрезка Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости.

Таким образом, точки Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости лежат на серединном перпендикуляре отрезкаЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости т.е. на одной прямой, что противоречит определению репера. Итак,g - единственное движение, которое переводит репер R в репер Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиПри этом движении точка МЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости переходит в точку Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости.

Используя эту теорему, выясним, в какие фигуры переходят в движении прямая, полуплоскость, отрезок, луч и угол.

Движение переводит прямую в прямую, а параллельные прямые - в параллельные прямые.

Выберем ортонормированный репер R и рассмотрим его образЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости в данном движении. ТогдаЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости такжеортонормированный репер. Пусть прямая Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостив репере R определяется уравнением Аx + Вy + С = 0. Образ Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостипрямой (т.е. множество образов всех точек прямойЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости) в репере Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости определяется тем же уравнением, поэтому является прямой.

Рассмотрим теперь параллельные прямые Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостии их образы Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Если предположить, что прямые Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости имеют хотя бы одну общую точкуЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостито прообраз М этой точки лежит как на прямойЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Таким образом, прямые Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости имеютобщую точку М; это противоречит условию.Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Движение переводит полуплоскость с границей Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости в полуплоскость с границей Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, где Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - образ прямой а.

Пусть Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиданная полуплоскость с границей а, а Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - образ плоскости Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости в движенииg.

Если прямая в репере R имеет уравнение Аx + Вy + С = 0, то полуплоскость Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиопределяется неравенством Аx + Вy + С Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости0 (или Аx+ Вy + С Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости 0). (1)

Множество Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости в репереЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, где Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости=g(R), определяется тем же неравенством Аx + Вy + С Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости0 (или Аx+ Вy + С Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости 0). Следовательно, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - полуплоскость с границей Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, где Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости = g(а).Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Отношение Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, в котором точка С делит отрезок АВ называется простым отношением трех точек А, В, С и обозначается так Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости = (А,В,С).

Движение сохраняет простое отношение трех точек на прямой.

Пусть в репере R три произвольные точки одной прямой имеют координаты А(Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости), В(Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости), СЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Если Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости = (А,В,С), то по формулам координат середины отрезка имеем:

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости .(2)

Если Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости образ репера R, то образы Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости точек Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости в репереЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости имеют координатыЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости(Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости), Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости(Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости), Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости Равенства (2) показывают, что точкаЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости делит отрезок Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости в отношении Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости т.е.Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости) =Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Таким образом, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости).Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Точка С лежит между точками А и В тогда и только тогда, когда Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости и отсюда следует свойство 4.

Движение сохраняет отношение «лежать между».

ЕслиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, то точка С лежит на отрезке АВ, а еслиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости то точка С лежит на прямой АВ, но вне отрезка АВ.

Движение переводит отрезок АВ в отрезокЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, где Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - образы точек А и В. При этом середина отрезка АВ переходит в середину отрезкаЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости.

Движение переводит луч в луч, а угол в угол.

Движение переводит угол в равный ему угол.

Пусть Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости -данный угол, аЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - его образ, причем Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - образы точек А, О, В. Если Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости развернутый, то утверждение теоремы очевидно, поэтому рассмотрим случай, когда этот угол неразвернутый, т.е. Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - репер. Тогда Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости) - также репер. Треугольники Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости равны по третьему признаку равенства треугольников (ОА = Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости), поэтому Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости = Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости.Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Движение переводит взаимно перпендикулярные прямые во взаимно перпендикулярные прямые.

Пусть О - некоторая точка плоскости, h - луч, исходящий из этой точки, а Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - полуплоскость, границе которой принадлежит луч h. Тройка О, h, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости называется флагом и обозначается так: (О, h, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. При движении флаг переходит в флаг.

Теорема 2.

Пусть (О, h, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости и Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - произвольные флаги.

Тогда существует одно и только одно движение, которое флаг (О, h, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости переводит в флагЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Введем рассмотренные ортонормированные реперы (О, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости такие, что Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости ,Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости.

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

О Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Рассмотрим движение g, которое репер (О, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости переводит в репер

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости Т.к. Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости = g(О), Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости = g(Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости), то Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости = g(h). НоЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости = g(Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости), поэтому

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости = g(Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости).

Таким образом, движение gпереводит флаг (О, h, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости в флагЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Пусть Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - произвольное движение, которое переводит флаг (О, h, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости в флагЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости Т.к.Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости = Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости (h), тоЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости = Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости (Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости). Далее углы Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости прямые, поэтому движение Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости луч Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости переводит в лучЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, а, следовательно,Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости = Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости (Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости).

Таким образом, движениеЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостипереводитрепер (О, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости в репер Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости поэтому Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости совпадает с g.

Два вида движений. Аналитическое выражение движений.

РеперыR = Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости и Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости = Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости одинаково ориентированы, если базисы Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости иЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиодинаково ориентированы. РеперыR = Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости и Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости = Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости противоположно ориентированы, если базисы Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости иЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостипротивоположно ориентированы.Таким образом, реперыR иЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиодинаково ориентированы, еслиRЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости0, и противоположно ориентированы, если RЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости0. ЗдесьRЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости = Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости)Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости.

Говорят, что преобразование точек плоскости сохраняет ориентацию плоскости, если любой репер и его образ одинаково ориентированы.Преобразование точек плоскости меняет ориентацию плоскости, если любой репер и его образ противоположно ориентированы.

Теорема 1.

Пусть g- произвольное движение, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости- некоторый ортонормированный репер, а Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - его образ, который также является ортонормированным репером. Возьмём произвольный реперR= Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости и рассмотрим его образ

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости =Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости По основной теореме точки О, А, В в репереЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости имеют те же координаты, что и соответствующие точкиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости в репереЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости Следовательно, векторы Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости в репереЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости имеют те же координаты, что и векторыЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости в репере Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости соответственно. ПоэтомуЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости = Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиили

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости =Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Для любых трех базисов А = ( Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости), В = Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, С =Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостисправедливо равенство Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости =Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости Получаем: Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости =Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости = =Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости = Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости = Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости.

Отсюда следует утверждение теоремы. Действительно, если Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости0, то Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости 0, т.е.произвольный реперR и его образ Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиодинаково ориентированы, а еслиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости0, то Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости 0, т.е.произвольный реперR и его образ Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостипротивоположно ориентированы.Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Итак, возможны два вида движений: движения, не меняющие ориентацию плоскости, и движения, меняющие ориентацию плоскости. В первом случае движение называется движением первого рода, а во втором случае -движением второго рода.

Пусть g- данное движение. Возьмем на плоскости ортонормированный репер R = (О, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости), обозначим Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостикоординаты произвольной точки М плоскости, а Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - координаты её образа Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости в этом репере.

Выразим Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости черезЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости найдем аналитическое выражение движения g в репере R.

Для решения этой задачи рассмотрим образ Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости= Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостирепера R в движении g. Так как движение g дано, то полагаем, что репер R задан, т.е. даны координаты точки Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости(Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости) в репере R и известен направленный угол Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости = Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости).

По основной теореме точка Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости в репере Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости имеет координатыЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Наша задача сводится к обычной задаче преобразования прямоугольной системы координат: точкаЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости в старомрепере R имеет координатыЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости а в новом репере Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - координатыЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиВыразим Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости черезЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Рассмотрим два случая.

А.Движение g- является движением первого рода. Тогда реперы Rи Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиодинаково ориентированы, поэтому искомые формулы имеют вид:

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости=Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости,Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости=Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости(1)

Б.Движение g- является движением второго рода. Тогда реперы R и Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостипротивоположно ориентированы, поэтому искомые формулы имеют вид:

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости=Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости,Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости=Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости(2)

Эти формулы можно объединить в одной записи:

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости=Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости,

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости=Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости(3)

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости =1, еслиg- является движением первого рода.

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости = - 1, если g- является движением второго рода.

Матрица Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиназывается ортогональной, если её элементы удовлетворяют условиям: Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. (4)

Докажем, что определитель ортогональной матрицы равен Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости Для этого введем ортонормированный базисЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостии в этом базисе рассмотрим векторы

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостии Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Условия (4) показывают, что векторыЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости иЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости образуют ортонормированный базис, поэтому получаем: Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости=Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостигдеЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости = Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости.

Если базис Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости правый, то Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости = Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, поэтомуЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости =1, а если этот базис левый, то Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости = - Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, поэтому Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости = -1. Заметим, что в формулах (1) и (2) коэффициенты при Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости иЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиобразуют ортогональные матрицы:

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости(5).

Теорема 2.

Если аналитическое выражение отображения Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиортонормированном репере R= (О, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости) имеет вид:

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости = Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости + Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости + Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости = Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости + Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости + Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости (6)

где Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости-ортогональная матрица, то Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - движение.

При этом, если Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости =1, тоЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - движениепервого рода, а еслиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости = -1, тоЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - движение второго рода. Здесь Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - = Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости.

Так как Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости 0, то отображение Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиДокажем, чтоЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - движение. Пусть Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостииЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - две произвольные точки, аЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости и Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - их образы.Используя формулу (6) и равенства (4), найдём:Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости +Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости = Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости +Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиилиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости= Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Таким образом, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости- сохраняет расстояние, поэтому является движением.

При движении Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостирепер R= (О, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости) переходит в репер Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости гдеЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, поэтому векторы Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостии Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости имеют координатыЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостии Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиОтсюда следует, чтоRЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости=Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости=Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЕсли Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости =1, то реперы RиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиориентированы одинаково, поэтомуЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - движениепервого рода, а еслиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости = -1, тото реперы RиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиориентированы противоположно, поэтомуЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - движение второго рода.Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Виды движений.

Пример 1.

Пусть на ориентированной плоскости Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости дана точка О и направленный угол Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости.Определим отображение g: Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости следующим образом: точке М, отличной от точки О, поставим в соответствие точку Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости так, чтобы ОМ=ОЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости и Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости=Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, а точке О поставим в соответствие эту же точку О. Это отображение называется поворотом (или вращением) плоскости вокруг точки О на угол Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости Точка О называется центром поворота, а величина Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - углом поворота. Легко заметить, что поворот на угол Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости является центральной симметрией.

Пользуясь предыдущей теоремой, докажем, что поворот является движением первого рода. Выберем на плоскости прямоугольную систему координат ОЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, приняв за начало координат центр О поворота, и установим связь между координатами произвольной точки МЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости отличной от точки О и её образа Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости По определению поворота Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости)=Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости ОМ=ОЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости.

Имеем: Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости =Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости = Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, где Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости = Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости = Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости = Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости = Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Отсюда получаем:

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости,

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости.

Эту систему можно рассматривать как систему двух уравнений с двумя неизвестнымиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Решая её, находим:

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости=Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости,

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости=Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости(7)

Данные формулы пригодны и в том случае, когда точка М совпадает с точкой О.

Мы получили аналитическое выражение поворота вокруг начала координат.

Так как матрица, образованная из коэффициентов при Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости ортогональная и определитель этой матрицы равен +1, то g-движение первого рода.

При Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости или Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости формулы (7) принимают вид Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости=Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости= Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. (8)

Эти формулы представляют собой аналитическое выражение центральной симметрии с центром в начале координат.

Пример 2.

На плоскости Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости возьмем прямую Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости и каждой точке М Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости поставим в соответствие точку Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, симметричную точке М относительно прямой Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Каждая точка прямой Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости симметрична самой себе относительно этой прямой. Мы получаем преобразование плоскости Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, которое называется осевой симметрией или отражением от прямой Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Прямая Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиназывается осью симметрии.

МЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

О Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Докажем, что осевая симметрия является движением.

Для этого выберем на плоскости прямоугольную систему координат ОЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, как показано на рисунке, и запишем аналитическое выражение осевой симметрии.

Пусть МЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости- произвольная точка плоскости, а Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - её образ. Так как точки М и Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости симметричны относительно оси абсцисс, то Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости=Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости= Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости По теореме 2 осевая симметрия является движением второго рода.

Классификация движений.

Точку плоскости назовем инвариантной (неподвижной) точкой преобразования, если она переходит в себя в этом преобразовании. Прямую назовем инвариантной прямой преобразования, если любая её точка переходит в точку этой же прямой. В частности, прямая является инвариантной, если каждая её точка инвариантна в данном преобразовании.

(Такую прямую будем называть прямой инвариантных точек). Если, например, g - осевая симметрия, то ось этого преобразования и любая прямая перпендикулярная к ней являются инвариантными прямыми, причём ось симметрии - прямая инвариантных точек.

Лемма 1.

Если движение g не имеет ни одной инвариантной точки, то оно имеет хотя бы одну инвариантную прямую.

Пусть А - произвольная точка плоскости, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости= g(А), Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости= g(Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости). По условию леммы точка А не совпадает с точкой Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, а точка Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости не совпадает с точкой Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Если точки А, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости лежат на одной прямой, то эта прямая является инвариантной, поэтому рассмотрим случай, когда эти точки не лежат на одной прямой. Рассмотрим середины Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости и Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости отрезков Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости и Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости и докажем, что Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости-инвариантная прямая.

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

АЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

С

Для этого проведём серединные перпендикуляры Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости и Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиотрезков Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости и Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости и обозначим через С их точку пересечения. Очевидно, что Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости= g(Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости), поэтому Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости=g(Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости). Так как Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости=Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, то точка С прямойЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостипереходит либо в ту же точку С прямойЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, либо в точку Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости симметричную точке С относительно точки Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Первый случай не может иметь места, т.к. g не имеет неподвижных точек, поэтому Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости=g(Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости).

Таким образом, прямая Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостипереходит в параллельную ей прямуюЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости (четырехугольник Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости).

Пусть Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - образ прямой Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Так как Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, то Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости или Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости Мы видим, что прямая Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости проходит через точку Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости и перпендикулярна прямойЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, поэтому Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости совпадает с прямой Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости.

Лемма 2.

Если движение g луч Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости переводит в себя, то g-либо тождественное преобразование, либо отражение от прямой Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, содержащей луч Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Обозначим через Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости начало луча Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, а через Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости две полуплоскости с общей границей, содержащей луч Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Возможны только два случая.

  1. Движение g переводит флаг (Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости,Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости) в флаг (Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости,Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости), т.е. выполняется тождественное преобразование.

  2. Движение g переводит флаг (Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости,Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости) в флаг (Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости,Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости). Движение g совпадает с осевой симметрией относительно прямой Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости.Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Проведем классификацию движений в зависимости от наличия неподвижных точек и инвариантных прямых.

Классификация движений первого рода

1.Движение имеет более чем одну неподвижную точку. Пусть А и В - две неподвижные точки движения g. Тогда луч АВ переходит в себя, поэтому по лемме 2 имеем: g - тождественное преобразование, либо осевая симметрия. Но осевая симметрия является движением второго рода, поэтому g - тождественное преобразование.

2.Движение имеет только одну неподвижную точку. Выберем ортонормированный репер (Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости) так, чтобы точка Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости была неподвижной точкой и запишем аналитическое выражение этого движения. В данном случае формулы (1) имеют вид:

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости=Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости,

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости=Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости(1)

Т.к. gне является тождественным преобразованием, то Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиФормулы (1) в точности совпадают с формулами (7), поэтому g - вращение вокруг точки Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости и на угол Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости.

При Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостилибоЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостипреобразование g- центральная симметрия с центром Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Заметим, что если Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, то g не имеет инвариантных прямых, а в случаеЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостилибо Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - бесконечное множество инвариантных прямых. Инвариантными прямыми будут те и только те прямые, которые проходят через точку Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости.

3.Движение g не имеет неподвижных точек.

Согласно лемме 1 существует хотя бы одна инвариантная прямая Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости Пусть Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - некоторая точка этой прямой, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиg(Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости), Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиg(Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости). Точки Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости лежат на прямой Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости и попарно различны, т.к. g - не имеет неподвижных точек (если предположить, что точки Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости и Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостисовпадают, тогда середина отрезка Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости была бы неподвижной точкой, что невозможно).

Выберем ортонормированный репер (Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости) так, чтобы Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Пусть в этом репере точка Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости имеет координаты Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости(Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости). Т.к. Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости=Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, то Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости имеет координаты (Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости).

Допустим, что аналитическое выражение движенияg в репере (Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости) имеет вид (1). Так как Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости=g(Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости), Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиg(Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости), то Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости=Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости= 0, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости,Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, поэтому формулы (1) принимают вид:

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости= Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости=Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости (2)

Отсюда следует, что g - параллельный перенос на ненулевой векторЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости(Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости).

Действительно, если МЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости- произвольная точка, а Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - её образ, то из формул (2) получаем Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости=Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости.

Любая прямая, параллельная вектору Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, является инвариантной прямой параллельного переноса. Других инвариантных прямых нет.

Классификация движений второго рода.

Из формул (2) получаем следующие уравнения для получения координат неподвижных точек второго рода:

(Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости= 0,

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости= 0.

Определитель этой системы при любомЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости равен нулю, и не все коэффициенты при Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости равны нулю, поэтому любое движение второго рода либо имеет прямую инвариантных точек, либо не имеет ни одной инвариантной точки. Рассмотрим каждый из этих случаев в отдельности.

1.Движение g - имеет прямую инвариантных точек. Пусть h - какой- нибудь луч этой прямой. Так как h = g(h), то по лемме 2 имеем: g - либо тождественное преобразование, либо осевая симметрия. Но тождественное преобразование является движением первого рода, поэтому g - осевая симметрия.

2.Движение g не имеет инвариантных точек. Этот случай аналогичен случаю параллельного переноса.

Выберем ортонормированный репер (Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости) так, чтобы точки Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости лежали на инвариантной прямой Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости Пусть Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиg(Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости), Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиg(Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости).

Выберем ортонормированный репер (Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости) так, чтобы Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Если точка Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости имеет координаты (Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости), то Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости имеет координаты (Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости). Предположим, что аналитическое выражение движения g в репере (Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости) имеет вид (2).

Из условий Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости получаем:

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости=Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости= 0, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости,Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, поэтому формулы (1) принимают вид:

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости= Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости=Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости (3)

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостикажем, чтоg =Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, где Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - параллельный перенос на ненулевой векторЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости(Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости), а Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - отражение от прямой Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. В самом деле, преобразование Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостив репере (Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости) определяются формулами:

S:Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости= Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости,

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости=Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости = Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости = Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости,

Поэтому отображение Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости определяется формулами (3), т.е. совпадает с g. В этом случае движение g- называется скользящей симметрией. Ясно, что скользящая симметрия не имеет инвариантных точек и имеет только одну инвариантную прямую.

Итак, существуют четыре типа движений, которые представим в виде таблицы.

Название движения

Инвариантные точки

Инвариантные прямые

Движения первого рода

1. Поворот на уголЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

а) поворот на угол Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Центр поворота

нет

б)тождественное преобразование (Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости)

Любая точка плоскости

Любая прямая плоскости

в)центральная симметрия (Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости )

Центр симметрии

Любая прямая, проходящая через центр симметрии

2. Параллельный перенос на вектор Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

а) Параллельный перенос на вектор Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

нет

Любая прямая, параллельная векторуЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

б) тождественное преобразованиеЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Любая точка плоскости

Любая прямая плоскости

Движения второго рода

3. Осевая симметрия

Все точки оси

Ось симметрии и любая прямая, перпендикулярная к ней

4.Скользящая симметрия

нет

Одна прямая

Композиция движений.

Группа движений плоскости и её подгруппы

Можно доказать, что произведение двух движений есть движение. Действительно, пусть Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - так как они являются преобразованиями плоскости, то Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости также преобразование плоскости. Но каждое из движенийЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости сохраняет расстояние, поэтому и Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостисохраняет расстояние, т.к. при последовательном выполнении двух движений расстояния сохраняются. Таким образом, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - движение.

Любое движение первого рода сохраняет ориентацию плоскости. Отсюда заключаем, что еслиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостидвижения первого рода, то Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - движение первого рода. С другой стороны, еслиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости движения второго рода, то каждое из них меняет ориентацию плоскости, поэтому Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - движениепервого рода. Отметим, что еслиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостидвижение первого рода, а Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостидвижение второго рода, тоЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостидвижение второго рода. Эти утверждения дают возможность легко определить, к какому типу относится произведение двух данных движений.

Рассмотрим примеры.

Пример 1.

Доказать, что произведение двух центральных симметрий есть параллельный перенос.

Решение.

Пусть Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - отражение от точки Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости иЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Так как Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, тоЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости Рассмотрим два возможных случая.

1.Точки Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости совпадают. В этом случае, очевидно,Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости тождественное преобразование, т.е. параллельный перенос на вектор Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости.

2.Точки Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости не совпадают. В этом случае, при движении Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости образы Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости точекЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости лежат на прямой Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости и кроме того, точка Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости является серединой отрезка Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Поэтому прямая Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости является инвариантной прямой преобразования Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. На этой прямой нет ни одной неподвижной точки.

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Если, например, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости неподвижная точка, то Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостит.е. Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости совпадает с точкой Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, что невозможно, т.к. точкаЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости не является неподвижной точкой. Итак,Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости которое имеет инвариантную прямую, на которой нет неподвижных точек. Отсюда следует, что Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости- параллельный перенос на ненулевой вектор вектор.

Пример 2.

Выяснить тип преобразования, которое является произведением отражений Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости от двух прямых Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостисоответственно.

Решение.

Т.к. Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости движение второго рода, то Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Рассмотрим два возможных случая.

1) Прямые Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости параллельны. Очевидно, любая прямая, перпендикулярная прямым Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, является инвариантной прямой преобразования Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости Таким образом, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостипараллельный перенос на вектор Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, т.к. только параллельный перенос имеет параллельные инвариантные прямые, но потому чтоЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости является тождественным преобразованием, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости.

Прямые Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости пересекаются в точке Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Точка Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости является неподвижной точкой движения Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, поэтомуЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости поворот вокруг точки Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости на уголЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости Так как Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости не является тождественным преобразованием, то Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости Если Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, то Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиинвариантные прямые, поэтому Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостицентральная симметрия, а если Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостине перпендикулярна к Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, тоЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости поворот на уголЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости где Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Пример 3.

Выяснить тип преобразования, которое является произведением отражения Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиот точкиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости и отображения Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости от прямой Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Решение.

Т.к. Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, аЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, то Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости т.е. либо осевая симметрия, либо скользящая симметрия.

Если Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, то Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиосевая симметрия, а если Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, то Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостискользящая симметрия.

Из четырех типов движения - осевая симметрия играет особую роль, о чем свидетельствует следующая теорема.

Теорема 1.

Любое движение Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости плоскости является либо осевой симметрией, либо представляет собой произведение не более трех осевых симметрий.

Докажем это.

Возьмем некоторый флаг (Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости,Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости) и рассмотрим его образ (Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости,Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости). Возможны два случая.

1.Точки Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости совпадают, т.е. лучи Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости имеют общее начало. В этом случае существует прямая Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости относительно которой лучиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости симметричны (если лучи Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, содержащая луч Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости).

Рассмотрим движение Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, определяемое формулой Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости гдеЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиотражение от прямой Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Т.кЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостито движение Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости является либо тождественным преобразованием Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, либо осевой симметрией. Из равенства (1) получаем: Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости(2)

Итак, движение Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости- либо осевая симметрия ( Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости), либо произведение двух осевых симметрий.

2.Точки Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости не совпадают. Пусть Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - серединный перпендикуляр отрезка Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Рассмотрим движение Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости заданное формулой Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Движение Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости переводит Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости в некоторый луч Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, причём Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости и Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости имеют общее начало. Движение Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости либо осевая симметрия, либо произведение двух осевых симметрий. Поэтому Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиследует, что любое движение плоскости является либо осевой симметрией, либо представляет произведение не более трёх осевых симметрий.

3. Обозначим через D множество всех движений плоскости. Из основной теоремы следует, что D - бесконечное множество. В п. 1 показано, что если Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Далее, если Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Т.о множество Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости является группой преобразований. Эта группа называется группой движений плоскости.

Пусть Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости- некоторая фигура. Те свойства фигуры Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, которые сохраняются при всех движениях, называются инвариантными свойствами этой фигуры относительно группы Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, или, короче, инвариантами группы Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Так, расстояние между двумя точками Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - инвариантное свойство фигуры {А, B} относительно группы Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Это основной инвариант группы движений. Свойства фигуры быть отрезком, лучом, прямой являются примерами инвариантных свойств фигур относительно группы Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Простое отношение трёх точек прямой, мера угла, площадь фигуры также является инвариантами группы Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости.

Рассмотрим важнейшие подгруппы группы Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости и укажем некоторые инварианты этих подгрупп, которые не являются инвариантами группы Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости.

1) Обозначим через Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости множество всех движений первого рода. Любое движение первого рода сохраняет ориентацию плоскости. Отсюда заключаем, что если Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, то Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости и Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Значит Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - подгруппа группы Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Она называется группой движений первого рода. Любое движение первого рода сохраняет ориентацию плоскости, т.е. переводит любой репер в репер той же ориентации. Поэтому ориентация репера - инвариант группыЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости.

Замечание. Множество Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости движений II рода не является группой. Если Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости- движения второго рода, тоЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости- движение первого рода, поэтому Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостине принадлежат Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости.

2) Пусть Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - множество всех движений первого рода, для которыхЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости- неподвижная точка.

Очевидно, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Если Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, то ясно, что Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости(Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости), и Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Значит, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - подгруппа группы Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Эта группа состоит из всех вращений вокруг точкиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Она называется группой вращений плоскости вокруг точки Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Расстояние от произвольной точки Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостидо центра Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости вращения является инвариантом группы Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости.

3) Рассмотрим множество Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, состоящее из всех параллельных переносов. Очевидно, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости Пусть Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - параллельные переносы векторами переносовЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Нетрудно видеть, что если Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости = Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости), то Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости Т.о, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости- параллельный перенос, на вектор Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Далее, т.к. преобразование Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости параллельный перенос, то Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Но тогда Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, т.е. Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - параллельный перенос на вектор - Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Т.о., если Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости то Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Этим доказано, что Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости- подгруппа группы Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости; она называется группой переносов плоскости.

Две фигуры Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости называются равными (или конгруэнтными), если они Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - эквивалентны, т.е. если существует такое движение Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиПишут: Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости (или Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости). Т.к. Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости- эквивалентность фигур является отношением эквивалентности на множестве всех фигур плоскости, то справедливы утверждения:

  1. Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

  2. Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

  3. Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Для того, чтобы установить равенство двух фигур, не обязательно доказывать существование движения, которое одну фигуру переводит в другую. В ряде случаев удается установить равенство фигур, сравнивая только некоторые их элементы.

Пользуясь основной теоремой нетрудно доказать, что две фигуры равны. В частности, две окружности равны тогда и только тогда, когда их радиусы равны.

6. Применение движений плоскости к решению геометрических задач

1. Примеры решения задач.

Задача № 1.

Докажите, что композиция двух центральных симметрий является параллельным переносом.

Доказательство:

Пусть точка А при центральной симметрии относительно точки О1

Переходит в точку А1; точка А1 переходит в точку А2 при симметрии относительно О2.

Тогда О1 О2 - средняя линия треугольника АА1 А2, Поэтому: Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

А

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиСледовательно, композиция двух центральных

Симметрий является параллельным переносом.

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиО1

А1 О2 А2

Задача № 2.

Докажите, что композиция параллельного переноса и центральной симметрии (в обоих порядках) является центральной симметрией.

Доказательство:

Пусть О2 - образ точки О1 при переносе на вектор Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости·

Зная, что So2 · So1 = Zа,

умножим это равенство на So1 справа или на So2 слева и, учитывая, что Sx ° Sx - тождественное преобразование, получаем:

So1 = So2 ° Zа и So2 = Zа ° So1.

Задача № 3.

Докажите, что если точку отразить симметрично относительно точек О1, О2 и О3, а затем ещё раз отразить симметрично относительно этих же точек, то она вернётся на место.

Согласно предыдущей задачи: Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Поэтому: So3 ° So2 ° So1 ° So3 ° So2 ° So1 = Z2Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - тождественное преобразование.

Задача № 4.

На плоскости даны три прямые а, в, с.

Пусть Т = Sa ° Sв ° Sc. Докажите, что Т ° Т - параллельный перенос (или тождественное отображение).

Доказательство:

Представим Т ° Т в виде композиции трёх преобразований:

Т ° Т = (Sа ° Sв ° Sс) ° (Sа ° Sв ° Sс) = (Sа ° Sв) ° (Sс ° Sа) ° (Sв ° Sс).

При этом Sа ° Sв, Sс ° Sа и Sв ° Sс - повороты на углы Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

соответственно.

Сумма углов поворотов равна:

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

причём эта величина определена с точностью до 2 · 180° = 360°.

следовательно, эта композиция поворотов является параллельным переносом.

Задача № 5.

Пусть Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Докажите, что Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Доказательство:

Если точки Х и У симметричны относительно прямой l3, то точки Sl1 (X) и Sl1 (У) симметричны относительно прямой l2, т.е. Sl1 (X) = Sl2 ° Sl1 (У).

Поэтому Sl1 ° Sl3 = Sl2 ° Sl1 и Sl3 = Sl1 ° Sl2 ° Sl1.

Задача № 6.

Вписанная окружность касается сторон треугольника АВС в точках А1, В1, С1; точки А2, В2, С2 симметричны этим точкам относительно биссектрис соответствующих углов треугольника.

Докажите, что А2 В2 ║ АВ и прямые АА2 , ВВ2 и СС2 пересекаются в одной точке.

Доказательство:

Пусть О - центр вписанной окружности; а и в прямые ОА и ОВ. Тогда

Sa ° Sв (S1) = Sa(A1) = A2 и Sв °Sa1) = Sв1) = В2.

Точки А2 и В2 получаются из точки С1 поворотами с центром О на противоположные углы, поэтому A2 В2 ║ АВ. Аналогично рассуждая показываем, что стороны треугольников АВС и A2В2С2 параллельны, а значит, эти треугольники гомотетичны, переводящей Δ АВС в Δ A2В2С2. Заметим, что при этой гомотетии описанная окружность Δ АВС переходит в его вписанную окружность, то есть центр гомотетии лежит на прямой, соединяющей центры этих окружностей.

Задача № 7.

Доказать, что композиция поворотов вокруг вершин углов треугольника АВС соответственно на углы А, В, С этого треугольника есть центральная симметрия.

Решение:

Для нахождения композиции трёх поворотов, сначала найдём композицию двух поворотов, а затем композицию полученного поворота и поворота вокруг третьей вершины.

Каждый раз, вычисляя композицию двух поворотов, следует выбрать оси симметрии так, чтобы одна из них была общей.

Пусть при вычислении первой композиции Rв ° Rа общей осью будет ось С, тогда Rв = m ° c, Rа = c ° n, Rв ° Rа = m ° c ° c ° n = m ° Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости° n = m ° n (Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - тождественное преобразование). Получаем поворот вокруг точки О - точки пересечение n ° m на угол Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостит.к. оси n и m образуют угол Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости то RВ ° RА = RO.

В

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиР сےв n

2 О а

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиےa

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости2

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиА 2 С

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиВ

s m

q

Вычисляем композицию двух поворотов Rc° Ro, общей осью симметрии служит

прямая р. Композицию m °n заменим композицией р °q, где q - прямая

проходящая через точку О и образующая с р угол равный углу между прямыми

n ° m. Запишем каждый из поворотов через композицию симметрий,

а затем вычислим композицию Rc ° Ro: Rc= в ° р

Ro = р ° q, Rc ° Ro= в ° р ° р ° q = в ° q Угол между прямыми р и q

Равен Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости а между прямыми р и в равен, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости тогда угол между прямыми

q и в равен Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, т. е. Rc ° Ro есть поворот на угол Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

или центральная симметрия.



























7. Список рекомендуемых задач


I. Композиция поворотов.

1.Каким одним поворотом на угол а, где - 180° ≤ а ≤ 180° можно заменить два последовательных поворота:

а) на 25° и - 60°; б) на - 35° и 180°; в) на 70° и 20°; г) на 245° и 135°; д) на - 170° и

- 20°?

Запишите результаты в принятых обозначениях.

2. Найдите значение а) R70° · Rа = R30°; б) R70° · R = Rа;

в) R70° · Rа = R70°; в) R70° · Rа = Е;

3. а) Композиция каких трёх поворотов на один и тот же угол даёт поворот на 90°

б) Композиция каких двух поворотов на один и тот же угол даёт поворот на 180°?

4. Как с помощью поворотов на 19° получить поворот на 20°?

5. Внутри выпуклого четырёхугольника ABCD построены равнобедренные прямоугольные треугольники ABO1, BCO2, CDO3 и DAO4.

Докажите, что если О1 = О3, то О2 = О4.

6. На сторонах произвольного треугольника АВС вне его построены равнобедренные треугольники А´ ВС, АВ´ С и АВС´ с вершинами А´, В´ и С´ и углами α + β + γ = 2π. Докажите, что углы треугольника А´В´С´ равны α/2, β/2, γ/2.

7. Пусть AKL и AMN - подобные равнобедренные треугольники с вершиной А и углом α при вершине; GNK и G ´LM - подобные равнобедренные треугольники с углом π - α при вершине.

Докажите, что G = G ´. (Треугольники ориентированные).

II. Композиция симметрий.

1. Центральная симметрия.

8. а) Докажите, что композиция двух центральных симметрий является параллельным переносом.

б) Докажите, что композиция параллельного переноса и центральной симметрии (в обоих порядках) является центральной симметрией.

9. Докажите, что если точку отразить симметрично относительно точек О1, О2, и О3, а затем ещё раз отразить симметрично относительно этих же точек, то она вернётся на место.

10. а) Прямые l1 и l2 параллельны. Докажите, что Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости где Та - параллельный перенос, переводящий l1 в l2, причём а l1.

б) прямые l1 и l2 пересекаются в точке О. Докажите, что Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости где Roa - поворот, переводящий l1 и l2.

11. На плоскости даны три прямые а, в, с. Пусть Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Докажите, что Т ° Т - параллельный перенос (или тождественное преобразование)

12. Пусть Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости.Докажите, что Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

13. Докажите, что любое движение плоскости является композицией не более чем трёх симметрий относительно прямых.

14. Докажите, что любое движение второго рода является скользящей симметрией.


Параллельный перенос.

15. В трапеции ABCD стороны ВС и AD параллельны, М - точка пересечения биссектрис углов A и B, N - точка пересечения биссектрис углов C и D. Докажите, что 2MN = |AB + CD - BC - AD|.

16. Из вершины В паралеллограмма ABCD проведены его высоты ВК и ВН. Известно, что КН = а и BD = в. Найдите расстояние от точки В до точки пересечения высот треугольника ВКН.



























8. РАЗРАБОТКИ ЗАНЯТИЙ

Занятие I, II

Тема: Движение плоскости.

Композиция движений.

Цели: 1) познакомить с движениями плоскости, как произведением преобразований плоскости;

2) ввести необходимые обозначения;

3) расширить кругозор учащихся, прививать интерес к математике как науке.

Ход занятия.

  1. Оргмомент.

II. Вступительное слово учителя.

- Сегодня мы начинаем с вами изучать новый раздел, связанный с преобразованием плоскости. Называется он - «Движения плоскости. Разложение движений в произведение осевых симметрий».

Преобразования плоскости - движения и подобия - во многих случаях позволяют экономно и изящно решать геометрические задачи. Однако овладеть методом геометрических преобразований нелегко: не любая задача может быть решена этим методом и нужен определённый опыт, чтобы выбрать подходящий вид преобразования.

При решении различных задач на доказательство, построение и вычисление широко применяются движения: осевая симметрия, параллельный перенос, поворот вокруг точки. Вспомним, что движение - это преобразование плоскости, при котором расстояние между образами двух любых точек равно расстоянию между этими точками.

При движении точки, лежащие на одной прямой, переходят в точки, лежащие на одной прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения. Отсюда следует, что движение переводит прямую в прямую, луч в луч, отрезок в отрезок. Угол при движении переходит в равный ему угол, сонаправленные лучи - в сонаправленные лучи.

В дальнейшем мы будем пользоваться следующими обозначениями движений:

Sk - осевая симметрия с осью k;

ТЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости- параллельный перенос на вектор Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости;

RaO- поворот вокруг точки О на угол α;

Е - тождественное преобразование (при котором все точки плоскости переходят в себя).

1. Осевая симметрия.

Осевой симметрией называется такое преобразование плоскости, при котором любая точка некоторой прямой k, переходит в себя, а точка А, не принадлежащая k, переходит в такую точку А´, что отрезок А А´ перпендикулярен прямой k называется осью симметрии.

При осевой симметрии расстояния между любыми двумя точками сохраняются, т. е. осевая симметрия есть движение. Отметим её важнейшие особенности.

CЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости А В

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости k

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости А´ В´

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

С´

Пусть АВС - произвольный треугольник и А´ В´ С´ - симметричный ему треугольник относительно прямой k. На рисунке треугольник АВС ориентирован положительно (обход его вершин в порядке А,В,С, происходит против часовой стрелки), а треугольник А´, В´, С´ ориентирован отрицательно (обход его вершин А´ В´ С´ происходит по часовой стрелке). Треугольники АВС и А´ В´ С´ равны, но ориентированы противоположно. Осевая симметрия меняет ориентацию любого треугольника на противоположную. Если выполнить две симметрии относительно одной оси последовательно, то каждая точка плоскости вернётся в исходное положение, т.е. композиция двух осевых симметрий с одной осью есть тождественное преобразование.

Рассмотрим применение осевой симметрии к решению задач.

Пример 1. Даны прямая k и две точки А и В по одну сторону от неё. Найти на прямой k точку С, делящую прямую k на два луча CM и CN так, чтобы Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Решение.

Построим точку В´, симметричную точке В относительно прямой k.

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиAB

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиk

MЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиC N

В´

В таком случае Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости для любой точки прямой k (эти углы симметричны прямой k). Углы B/CN и АСМ равны тогда и только тогда, когда точки А, B/, С лежат на одной прямой (в силу теоремы о вертикальных углах). Значит искомая точка С есть точка пересечения отрезка А B/ и прямой k.

Итак, заменив одну из точек симметричной ей относительно данной прямой, мы упростили ситуацию, что и позволило быстро найти решение задачи.

2. Параллельный перенос.

выполним последовательно две симметрии относительно параллельных прямых k и m. Пусть при симметрии с осью k произвольная точка А плоскости переходит в точку А/, а при симметрии с осью m точка А/ переходит в точку А//. Точки А, А/ и А// располагаются на одной прямой, перпендикулярной осям. Обозначим через L и М точки пересечения прямой АА// с прямыми k и m.

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиk m

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости A L A´ M A´´

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

B B´ B´´

C C´ C´´

с осью m точка А´ переходит в точку А´´. Точки А, А´ и А´´ располагаются на одной прямой, перпендикулярной осям. Обозначенным через L и M точки пересечения прямой АА´´ с прямыми k и m.

В силу свойства осевой симметрии имеем:

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Следовательно,

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Итак, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости В результате мы получили преобразование плоскости, называемое параллельным переносом.

Параллельный перенос на вектор Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - это преобразование плоскости при котором произвольная точка А переходит в такую точку А´, что Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Таким образом, композиция двух осевых симметрий с параллельными осями k и m есть параллельный перенос на удвоенный вектор Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости.

Обратно, всякий параллельный перенос можно представить в виде композиций двух осевых симметрий с параллельными осями, перпендикулярными направлению переноса. Отсюда следует, что параллельный перенос есть движение, не меняющее ориентацию треугольников.

Тождественное преобразование можно считать переносом на нулевой вектор. Параллельный перенос на нулевой вектор не имеет неподвижных точек.

При параллельном переносе каждый луч переходит в сонаправленный с ним луч.

Если при параллельном переносе точки А и В переходят в точки А´ и В´ и эти четыре точки не лежат на одной прямой, то АВВ´А´ - параллелограмм. Это свойство используется при решении задач.

Метод параллельного переноса часто применяется для решения задач на построение четырёхугольников. При этом обычно переносят один или несколько отрезков так, чтобы получился треугольник, с которого можно начать построение. Аналогично поступают при решении задач на доказательство и вычисление: с помощью параллельного переноса образуют новую фигуру, содержащую достаточное количество известных элементов.

Покажем это на следующем примере.

Пример 2. Основания трапеции равны 4 см и 9 см, а диагонали равны 5 см и 12 см. Найти площадь трапеции и угол между её диагоналями.

Решение:

Пусть ABCD - данная трапеция, CD = 4 см, АВ = 9 см, ВD = 5 см и АС = 12 см. Чтобы известные элементы включить в один треугольник, перенесём диагональ ВD на вектор Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости в положение СВ´. Рассмотрим треугольник АСВ´. Так как ВВ´ - параллелограмм, то В´С = ВD =5см, АВ´ = АВ + ВВ´ = АВ + CD = 13 см. стороны треугольника АВ´С, значит можно найти его высоту, а затем и площадь трапеции.

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиD C

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

A B B1

Если же заметить, что площадь трапеции как раз и равна площади треугольника АВ´С (треугольника ВВ´С и АCD равновелики), то решение задачи можно ещё упростить.

Так как 52 + 122 = 132, то треугольник АВ´С прямоугольный.

Найдём его площадь: Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиּЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиּЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Итак, площадь трапеции равна 30 см2. Угол между диагоналями трапеции равен углу АСВ´, значит диагонали - перпендикулярны.

Аналогично решается задача на построение трапеции по основаниям и диагоналями: сначала строится вспомогательный треугольник, две стороны которого равны диагоналям, а третья - сумме оснований.

Заметим, что для вычисления площади трапеции и угла между диагоналями условие задачи можно было бы ослабить: вместо оснований трапеции задать только их сумму.

3. Центральная симметрия.

Симметрия с центром О - это преобразование плоскости, при котором точка О неподвижна, а любая другая точка А переходит в такую точку А´, что О - середина отрезка АА´. Преобразование, обратное центральной симметрии, есть та же центральная симметрия.

Центральная симметрия переводит прямую, проходящую через центр, в себя; прямую, не проходящую через центр, в параллельную ей прямую; каждый луч в противоположно направленный с ним луч. Если при центральной симметрии точки А и В переходят в точки А´ и В´ и центр О не лежит на прямой АВ, то АВА´В´ - параллелограмм.

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости А´

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиВ

С

В´

А

Центральная симметрия, как и параллельный перенос, обычно применяется с целью более удобно расположить данные и искомые элементы фигуры и таким образом найти связь между ними.

Пример 3.

Доказать, что медиана треугольника меньше полусуммы заключающих её сторон.

Решение: Пусть СМ - медиана треугольника АВС. Построим точку D, симметричную С относительно точки М. Так как М - середина отрезка АВ, то отрезок АD симметричен отрезку ВС. Мы получили треугольник АСD, в котором СD = 2СМ, АD = ВС. Следовательно, 2СМ < АС + ВС, или mс < Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, где mс = СМ, а ВС, b = AC.

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиC

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиА М

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости В

D

С помощью такого же приёма решается задача на построение треугольника АВС по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей стороне, и некоторые другие задачи, в которых речь идёт о медиане треугольника.

Заметим, что АСВD - параллелограмм, поэтому указанный приём часто называют достраиванием треугольника до параллелограмма.

Центральная симметрия обычно помогает решить задачу, когда фигура или часть фигуры имеет центр симметрии.

4. Поворот.

Поворот вокруг точки О на угол α в заданном направлении - это преобразование плоскости, при котором точка О остаётся неподвижной, а любая другая точка А переходит в такую точку А´, что ОА´ = ОА и угол АОА´, отсчитываемый от луча ОА в заданном направлении равен α.

Поворот на 360° возвращает все точки в исходное положение, поэтому

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостии углы поворота можно задавать с точностью до 360°. В дальнейшем будем считать, что 0° ≤ α < 360° и поворот всегда осуществляется в направлении против часовой стрелки. Композиция двух осевых симметрий с осями, непересекающимися в точке О, есть поворот вокруг точки О на удвоенный угол между осями.

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиА´ k

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиm L

М

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиА

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

А´´ О

Если Sk (A) = А´ и Sm (А´) = А´´, то ОА´´ = ОА´ = ОА и Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости (точки L и М принадлежат осям k и m).Обратно, всякий поворот вокруг точки можно представить в виде композиции двух осевых симметрий, оси которых пересекаются в центре поворота. Следовательно, поворот есть движение, не меняющее ориентацию треугольников.

Чтобы построить образ прямой при повороте вокруг точки О на угол α (0°< α < 180°), можно поступить так: провести к прямой k перпендикуляр ОР, повернуть точку Р на угол α и через полученную точку Р´ провести k´, перпендикулярную ОР´. Легко убедиться, что угол между прямой k и её образом k´ равен α или 180° - α. Угол же между лучом и его образом всегда равен углу поворота.

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиk´

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости Р´ Р

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости α

k

О

Центральная симметрия есть поворот вокруг точки на 180°.

Поворот обычно применяется при решении задач, когда данной или искомой фигурой является правильный многоугольник. Иногда с помощью поворота удаётся доказать равенство отрезков, найти величину угла между прямыми.

Пример 4. На сторонах АС и ВС произвольного треугольника АВС вне него построены квадраты АСА1А2 и ВСВ1В2. Доказать, что отрезки АВ1 и А1В равны и перпендикулярны.

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости А1

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиВ1

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиА2 О • С Р

В2

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

А М В

Решение: Применим поворот вокруг точки С на 90°. Треугольники А1СА и ВСВ1 равнобедренные прямоугольные, поэтому при таком повороте А1 перейдёт в точку А, точка В - в точку В1, отрезок А1В - в отрезок АВ1. Значит, эти отрезки равны и угол между ними равен углу поворота, т.е. 90°.

Примечание. Используя полученный результат, нетрудно доказать, что центры О и Р квадратов и середины М и М1 отрезков АВ и А1В1 являются вершинами нового квадрата.


5. Композиция движений.

Композиция двух преобразований есть преобразование, которое получится, если сначала выполнить первое преобразование, а потом второе. Композиция преобразований f и g обозначается так: g ° ƒ, при этом сначала выполняется преобразование f, а затем g. Такой порядок записи оправдывается тем, что согласно определению.

(g ° ƒ)(А) = g(ƒ(А)).

Композиция любых преобразований обладает рядом свойств, похожих на свойства умножения чисел. Композиция преобразований ассоциативна: для любых преобразований f, g, h выполняется равенство h ° (g ° ƒ) = (h °g) ° ƒ.

Тождественное преобразование в композиции играет ту же роль, какую единица играет при умножении чисел: для любого преобразования f имеют место равенства ƒ ° Е = Е ° ƒ = ƒ.

Отметим, что не всегда g ° ƒ = ƒ ° g, в чём легко убедиться на конкретном примере (рассмотрите композицию двух центральных симметрий ZB ° ZA относительно различных центров А и В).

Пусть F - движение плоскости, которое три точки А, В, С не лежащие на одной прямой, переводит соответственно в точки А´, В´, С´. Тогда АВС и А´В´С´ - равные треугольники, но они могут быть ориентированы по-разному. Возможны два случая: 1) треугольник АВС и его образ А´В´С´ ориентированы одинаково;

2) эти треугольники ориентированы противоположно.

Движение плоскости, сохраняющее ориентацию треугольников, называют движением первого рода. Движение, изменяющее ориентацию треугольников на противоположную, называют движением второго рода. Параллельные переносы и повороты - движения первого рода. Примером движения второго рода может служить осевая симметрия.

Известно, что всякое движение плоскости можно представить в виде композиции не более трёх осевых симметрий. Композиция двух осевых симметрий не меняет ориентацию треугольников и является движением первого рода. Осевая симметрия и композиция трёх осевых симметрий - это движение второго рода.

На основании того, что сказано в предыдущих параграфах о композициях двух осевых симметрий, приходим к следующему выводу.

Теорема 1. Всякое движение первого рода есть либо поворот, либо параллельный перенос, либо тождественное преобразование.

Впрочем, тождественное преобразование можно рассматривать как перенос на нулевой вектор или как поворот Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Движения первого рода можно различать по числу неподвижных точек: при параллельном переносе на нулевой вектор все точки меняют своё положение, т.е. неподвижных точек нет; при нулевом повороте имеется только одна неподвижная точка - центр поворота. Тождественное преобразование оставляет все точки плоскости неподвижными.

Композиция движений первого рода сохраняет ориентацию треугольников и, следовательно, также является движением первого рода. Например композиция двух поворотов Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости и Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости с общим центром О есть поворот Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости (тождественное преобразование, если α + β = 360°).

Рассмотрим композицию двух поворотов с различными центрами.

Теорема 2. Композиция двух поворотов, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости где 0°< α < 360° и 0°< β < 360 °, есть поворот вокруг некоторой точки на угол α + β, если α + β ≠ 360 ° и параллельный перенос на нулевой вектор, если α + β =360 °.

Доказательство. Представим каждый поворот в виде композиции двух осевых симметрий: Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости,

где m - прямая АВ, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

пЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиолучим: Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

AЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости B m A B

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиm

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиc Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости c Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

n

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости n l m A B l l Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости n

a) б) в)

Здесь мы воспользовались свойством ассоциативности и тем, что Sm °Sm= E.

Итак, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Если α + β < 360°, то прямые l и n пересекаются в некоторой точке С (см. рисунок а)). Получим отрицательно ориентированный треугольник АВС, в котором

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостии по свойству внешнего угла треугольника Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости Следовательно, композиция симметрий. Sn ° Sl есть поворот вокруг точки С на угол α + β, т.е. Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Если α + β > 360°, то прямые l и n тоже пересекаются, но по другую сторону от прямой АВ (см. рисунок б)). Получим положительно ориентированный треугольник АВС, причём Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости Следовательно, и в этом случае Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Если же α + β = 360°, то прямые l и n параллельны и композиция симметрий есть параллельный перенос на удвоенное расстояние между осями l и n (см. рисунок в)).

Из приведённого доказательства вытекает простой способ построения центра результирующего поворота. Кроме того, получаем важное следствие: композиция поворотов Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости есть тождественное преобразование тогда и только тогда, когда центры поворотов совпадают и α + β = 360 °.

Что касается композиции трёх поворотов, то она может быть тождественным преобразованием и в том случае, когда центры поворотов различны. Если Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости-величины внутренних углов отрицательно ориентированного треугольника АВС, то Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Верно и обратное предложение.

Теорема 3. Если композиция трёх поворотов Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости относительно различных центров есть тождественное преобразование и α + β + γ = 360°, то АВС - отрицательно ориентированный треугольник, углы которого равны:

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Доказательство. В силу теоремы о двух поворотах, учитывая, что α + β = 360°, имеем Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, где D - вершина отрицательно ориентированного треугольника ABD, углы которого равны: Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости.Согласно условиям теоремы Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости и α + β + γ = 360 °, что возможно тогда и только тогда, когда центры поворотов C и D совпадают. Значит, АВС - отрицательно ориентированный треугольник, углы которого соответственно равны Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости.

Поскольку значения углов поворота α, β, γ заключены между 0° и 360°, то композиция Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости может быть тождественным преобразованием ещё при

α + β + γ =720°. Но при решении задач этот случай легко сводится к предыдущему: если центры поворотов взять в обратном порядке, то Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости где α´ = 360° - α, β´= 360°- β, γ´= 360°- γ, и следовательно, α´+ β´+ γ´= 360°.

Применим свойства композиции поворотов к решению задач.

Пример 5. На сторонах АС и ВС произвольного треугольника АВС вне его построены квадраты с центром О и Р. Точка М - середина стороны АВ. Найти углы треугольника МОР.

Решение. Для определённости, как и во всех последующих задачах, будем считать, что исходный треугольник АВС ориентирован положительно. Композиция Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости переводит точку А в точку С, точку С в В, затем точку В снова в А, т.е. F(A) = A. Сумма углов поворота равна 360°. Значит, F - параллельный перенос с неподвижной точкой, т.е. тождественное преобразование.

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости О С

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиР

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

А М В

Согласно теореме 3 углы треугольника ОРМ равны соответственно 45°, 45°, 90°.

Занятие III.

Тема: Решение задач по теме «Движения плоскости».

Цель: 1) Научить применять полученные знания на практике;

2) развивать мышление;

3)совершенствовать навыки построения фигур и выполнять их преобразования.

Ход занятия.

  1. Оргмомент.

II. Повторение.

1. Осевая симметрия.

  1. Центральная симметрия.

  2. Поворот.

4. Параллельный перенос.

(Ребята рассказывают, что запомнили из предыдущего занятия).

III. Решение задач.

№ 1. Даны три точки А, В, С и три точки А´, В´, С´, такие, что |АВ| = |А´В´|, |АС| = |А´С´| и |ВС| = |В´С´|. Существует ли перемещение, являющееся композицией осевых симметрий при котором А → А´ (прямая а - ось этой симметрии).

Пусть Sa (B) = Bl, Sa (C) = Cl. Может случиться, что Bl = В´ и Cl = С´, тогда симметрия относительно прямой а отобразит А→ А´, В→ В´, С→ С´. Если Bl ≠ В´, то рассмотрим симметрию относительно прямой b, при которой Bl → В´.

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиВ В2 В´ в

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиаВ1 С´

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости А А´

А2 А1

С С2

С´

С

Так как | А´ В´| = | А´Bl|, то прямая, b содержит точку А´: Sb(А´) = А´; Sb(Bl) = В´ и Sb(Sl) = C2. Если С2 = С´, то перемещение, являющееся композицией указанных осевых симметрий, отобразит точки А, В, С соответственно на точки А´, В´, С´.

Если С2 ≠ С´, то рассмотрим симметрию относительно прямой С, при которой С2→ С´. Так как | А´ С2 | = | А´ С´| и | В´ С2| = | В´ С´|, то прямая С содержит точки А´ и В´. Таким образом, перемещение, являющееся композицией трёх осевых симметрий с осями a, b, c, отобразит точки А, В, С соответственно на точки А´, В´, С´, т.е. Sc ° Sb ° Sa (A) = А´, Sc ° Sb ° Sa (B) = B´ Sc ° Sb ° Sa (C) = C´. [ 14 ]

№ 2. Точки Olи О2 являются (соответственно) серединами сторон АВ и ВС треугольника АВС.

  1. Постройте образы точки А при выполнении отображений

а) Zol ° Zo2;

б) Zo2 ° Zol.

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиA2B B(Al)

Ol ● Ol ●

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиAA

O2 C(Al) O2 C

A2

а) Zol ° Zo2 б)Zo2 ° Zol

Zo2 - центральная Zol - центральная симметрия около центра Ol. A→B, AOl = Ol, Zo2 - центральная симметрия около центра О2. А→С.

  1. Докажите, что: а) Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости б) Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

а) достроим треугольник АВС до параллелограмма и примем АВ за диагональ. Вторая диагональ А2 С. По свойствам параллелограмма СВ = АА2 и СВ|| АА2.

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости А2 В

О1

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости А О1 С(Аl)

Если на этих отрезках построить векторы, то выполняются следующие условия:

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиПо определению будет параллельный перенос на вектор, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости т.е. [A2B] является образом отрезка [AC], каждая точка последнего перемещается на вектор. Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

б). Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости В(А1)

О1

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

А О2 С

А2

Достроим треугольник АВС до параллелограмма АВСА2. По свойству параллелограмма Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости и.Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости По определению параллельного переноса образом данной точки является точка, полученная перемещением её на вектор, который задан и обозначается Тр. [A2 C] образ [AB] при параллельном переносе ТВС. [15]

№ 3. Докажите, что скользящую симметрию можно представить композицией центральной симметрии и осевой симметрии, ось которой не содержит центр симметрии.

Решение. Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Заменим параллельный перенос композицией двух осевых симметрий с осями l2 и l3, тогда скользящую симметрию с осью l1 можно представить, как композицию осевых симметрий Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, но Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости - центральная симметрия относительно точки О - пересечения прямых l1 и l2, тогда

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, причём 0 € l3.

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

M l3

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиО l1

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

М´ М1


Если скользящая симметрия представлена композицией центральной симметрии с центром О и осевой симметрией с осью l, то осью скользящей симметрии служит прямая, содержащая данную точку О и перпендикулярная данной прямой l. Расстояние переноса равно |OO1|, где O1 = Sl(O).

IV. Итог занятия.

V. Домашнее задание: повторить свойства движений плоскости.



Занятие IV.

Тема: Решение задач с использованием поворотов, симметрий, параллельного переноса.

Цели: 1) научить решать задачи;

2) развивать логическое мышление;

3) прививать любознательность, интерес к предмету.

Ход урока.

I. Оргмомент.

II. Повторение.

  1. Перечислите виды симметрий.

  2. В чём их отличие?

  3. Какие ещё виды движений вам известны?

  4. Дайте определение скользящей симметрии.

  5. Назовите её неподвижные точки и прямые.

III. Решение задач.

1. Докажите, что композиция трёх симметрий, оси которых определяют треугольник, не есть осевая симметрия.

Решение. Пусть a, b, c - оси заданных симметрий. Строим точку А1 = Sa(A). Композиция симметрий δ = Sc°Sb°Sa точку А1 отображает на точку А.

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиС A1


a

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиA B

C


Если δ есть осевая симметрия, то её ось совпадает с прямой а, значит, точки прямой а - неподвижные точки δ, в частности

δ (В) = В. Но Sc °Sb°Sa (B) = Sc° Sb (B) ≠ B, т.к. композиция симметрии Sc° Sbотображает на себя лишь точку А, которая не совпадает с В. Итак δ не есть осевая симметрия.

№ 2. Докажите, что композиция двух поворотов Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, где Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

0° ≤ α ≤ 360°, 0° ≤ β ≤ 360°, есть поворот Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости (или Rc(α + β = 360°), если α + β ≠ 360°, или же перенос, если α + β = 360°). [17]

Прежде чем перейдём к анализу задачи № 2, познакомимся с некоторыми новыми сведениями по теме «Движение плоскости». Напомню, что преобразование плоскости, сохраняющее расстояния, называется движением (или перемещением). Наиболее простой пример - тождественное преобразование плоскости, т.е. преобразование, при котором каждая точка плоскости переходит в себя.

Упорядоченную тройку точек А, В, С плоскости, не лежащих на одной прямой называют репером и обозначают так: R = (A, B, C). Точки А, В, и С называют вершинами репера, причём А называется началом репера. Репер называется аффинным, если треугольник АВС произвольный. Репер называется ортонормированным, если угол А прямой, а АВ = АС = l. В любом движении репер переходит в репер, ортонормированный репер - в ортонормированный репер.

Существует два вида движений.

Будем говорить, что реперы R = (A, B, C) и R´ = (O´, A´, B´) одинаково ориентированы, если векторы Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости одинаково ориентированы, (и наоборот). Говорят, что преобразование точек плоскости сохраняет ориентацию плоскости (меняет) если любой репер и его образ одинаково (противоположно) ориентированы.

Теорема: Любое движение либо сохраняет, либо меняет ориентацию плоскости.

Доказательство: Пусть g - произвольное движение, R0 - некоторый ортонормированный репер, а R0´ - его образ, который тоже является ортонормированным репером. Возьмём произвольный репер R = (O, A, B) и рассмотрим его образ R´= (O´, A´, B´).

По основной теореме (Пусть R = (A, B, C) и R´= (A´, B´, C´) - произвольный ортонормированный репер плоскости z. Тогда существует одно и только одно движение, которое репер R переводит в репер R´. При этом движении любая точка М с данными координатами в репере R переходит в точку М´ с теми же координатами в репере R´. Имеем точки О, А, В в репере R0 имеют те же координаты, что и соответствующие точки О´, А´, В´, в репере R0´. Следовательно, векторы Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости в репере R0 имеют те же координаты, что и соответственно векторы Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости в репере R0´. Поэтому R0 | R = R0´|R´ или R|R0 = R´|R0´.

R|R´ = (R|R0) (R0|R´) = (R´|R0´) (R0|R´) = (R0|R´) (R´|R0´) = R0|R0´ следовательно, если R0|R0´ > 0, то R| R´ > 0, т.е. произвольный репер R и его образ R´ ориентированы одинаково.

Если R0| R0´ < 0, то R|R´ > 0, т.е. R и R´ориентированы противоположно.

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиA w B

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

c C

Решение.

Существует теорема, что композиция двух симметрий есть поворот. Рассматриваем поворот как композицию двух осевых симметрий, оси которых проходят через центр поворота и образуют угол, равный половине угла поворота. Запишем Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости тогда Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости.

При α + β < 360° углы треугольника АВС таковы Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости и треугольник ориентирован отрицательно, если α + β > 360°, то

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости- Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости-Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостии ∆ АВС ориентирован положительно.

3. Докажите, что композиция параллельного переноса и центральной симметрии (в обоих порядках) является центральной симметрией.

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиX X´

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиY´´

O1 O

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Y Y´

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиa

Дано: [XY] → [X´Y´] So Ta

Доказать: О1 - центральная симметрия Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Доказательство. Соединим Yи Y´´; X c X´´. XX´´∩YY´´= O1. Докажем, что О1- центр симметрии. Рассмотрим треугольник X´´O1Y´´. Угол X O1Y как вертикальные. X Y= X´´ Y´´ по свойству движения (при движении расстояние между точками сохраняется).

Выполним перенос отрезка X Y на вектор Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости [X Y] → [X´Y´]. Соединим точки X´ с X´´ и Y´ с Y´´. [X´X´´]∩[Y´Y´´] = 0. Рассмотрим треугольники X´Y´O и X´´Y´´O, они равны по свойству симметрии. Следовательно, соответствующие углы и соответствующие стороны равны:

X´O = OX´´, Y´O = OY´´, X´Y´ = X´´Y´´. Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Эти углы являются внутренними накрестлежащими при (X´Y´) и (X´´Y´´) и секущей X´Y´´. Следовательно, (X´Y´)|| (X´´Y´´). Следовательно, XY || X´´Y´´ (т.к. X´Y´ || XY совмещается Та) Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости (как внутренние накрестлежащие углы).

Треугольник XO1Y равен треугольнику X´´O1Y´´, следовательно, O1X = O1X´´ и O1Y = O1X´´, следовательно, O1- середина XX´´ и середина YY´´. Таким образом O1 - центр симметрии. [13]

IV. Итог урока.

V. Домашнее задание: повторить свойства движения.

Занятие V.

Тема: Решение задач на геометрические преобразования на плоскости.

Цель: 1) научить решать задачи;

2) развивать мыщление;

3) уделять внимание развитию математической речи учащихся;

4) совершенствовать графические навыки.

Ход занятия.

I. Оргмомент.

II. Решение задач с подробным обсуждением.

18. 33. Докажите, что композиция двух поворотов на углы в сумме не кратные 360°, является поворотом. В какой точке находится его центр и чему равен угол поворота? Исследуйте также случай, когда сумма углов поворотов кратна 360°.

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиМ´

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости • • •

М0





Решение. Пусть D(M0) множество всех движений I рода, для которых М0 неподвижная точка, т.е. D(M0) множество всех поворотов вокруг точки M0. Рассмотрим произвольную композицию g ° f, где f, g принадлежат D(M0). α1 угол поворота для преобразования f, α2 - для g, причём α1 + α2 =2nπ + m, где 2 π не делит m, а m € Z. В частности, данную композицию можно представить как композицию некоторых поворотов, где α1 = 2nπ, α2 = m.

Преобразование f является тождественным, т.к. при а = 2πn точка М перейдёт в саму себя. Отсюда следует: f = Е (Е - тождественное преобразование). Тогда композицию можно записать следующим образом: g ° Е = g. Значит указанная композиция поворотов является поворотом при соблюдении условия, что сумма не кратна 360°. А для случая, когда кратна 360° М переходит в себя. [13]

18. 34. На сторонах произвольного выпуклого четырёхугольника внешним образом построены квадраты. Докажите, что отрезки, соединяющие центры противоположных квадратов, равны по длине и перпендикулярны.

Решение в конструктивной форме: синтетическое доказательство.


Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиW3

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиV3

M

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиA B

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиQ R

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиV1 V

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиK S

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиW1 T L

W

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

D N C


Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

V2 W2

Рассмотрим произвольный квадрат ABCD и произвольным образом проведём перпендикуляры MN и KS к противоположным сторонам. Точки M, N, K, S - неподвижные точки некоторых множеств поворотов. Относительно этих поворотов рассмотрим вращающиеся прямые. Каковы бы ни были в сумме углы поворотов (кратны 360° или не кратны 360°) в любом случае это будут повороты. При вращении прямые вращающиеся будут пересекаться. Очевидно, что точки вращения определят некоторый четырёхугольник, (таких многоугольников может быть много). Внутри выбранного нами квадрата зафиксируем некоторое «устойчивое» положение пересечения вращающихся прямых. (Чтобы обозначить четырёхугольник QRLT). Лучи Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости.

Мы вправе потребовать, не нарушая общности доказательства, чтобы угол поворота был равен 90°. На продолжении лучей [LS) и [RS), (аналогично и для других) построим отрезки, длина которых равна соответственно отрезкам [LS] и [RS]. Отрезки [LV] и [WR] определяют некоторый квадрат в силу указанных выше свойств. Данный квадрат, как и другие аналогичные ему, будет удовлетворять требованиям задачи, а именно квадраты построены на сторонах некоторого четырёхугольника и их центры соединены равными отрезками MN и KS, которые взаимно перпендикулярны.




Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости18. 35. (Для самостоятельного решения в классе по аналогии с 18. 34). На сторонах параллелограмма внешним образом построены квадраты. Докажите, что их центры образуют квадрат.

А1 В1


Р О3 R

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиA2


A

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиO1 В

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиD2

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиO2 B2

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

D C

О4

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиS Q C 2


Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиD1 C1


Решение: В предыдущей задаче уже было доказано, что центры этих квадратов лежат на некотором квадрате. Находим точки пересечения О1, О2, О3, О4 диагоналей квадратов. Через точки О2 и О4 и точки О1 и О3 проводим параллельные прямые. Получаем квадрат PRQS.


Занятие VI.

Контрольная работа.

Задача 1. докажите, что Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости.

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости М´´ l3

M´´

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиL2

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиβ Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

O l1

M

Решение: Справедливость утверждения Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости следует из определения поворота, а также из представления поворота в виде двух осевых симметрий. Пусть Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, где угол Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, где угол Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости. Тогда Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости.

Задача 2. Докажите, что композиция двух центральных симметрий является параллельным переносом.

Доказать: XY → X´Y´, X´Y´→ X´´Y´´, Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, т.е. XY= X´´Y´´; XX´´ = YY´´.

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости Х´´

ХЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

YЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости

Доказательство: Покажем, что существует вектор YY´, Который переводит Y в Y´. Тогда посредством композиции двух центральных симметрий мы можем получить отображение прямой в прямую, отрезка в отрезок (т.к. отрезок часть прямой). Т. к. для каждой точки существует вектор, который переводит его при отображении в другую точку. Покажем теперь, что эти векторы, которые переводят точки прямой в точки прямой параллельной данной данной и отрезки в равные отрезки.

Рассмотрим треугольник Y Y´Y´´: О О1 - средняя линия ОО1 || YY´´ и О О1 = 0,5 Y Y´´. В треугольнике X X´X´´: О О1 || X X´´ и О О1 = 0,5 X X´´. Следовательно, X X´´ = Y Y´´ и X X´´ || YY´´.Т.к. для двух любых точек выполняется равенство указанных векторов, то оно выполняется для всех точек данного отрезка или прямой. Отсюда, заключение: для любой фигуры на плоскости, которая представляет собой комбинацию точек, отрезков, прямых это утверждение справедливо, Комбинация двух центральных симметрий является параллельным переносом.

Задача 3. Прямые l1 и l2 параллельны. Докажите, что Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости, где Та - параллельный перенос переводящий l1 в l2, причём а l1.

Дано: l1 || l2, а l1.

Доказать: Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости.

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости В1

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиl1

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскостиЭлективный курс Школьнику о композиции движений плоскости l2

А l´

а

l´´ В


Доказательство: При симметрии относительно l2l1 → l´;

Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости: l1 || l´ и |АВ| = 2|а| Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости: l´ относительно l1 переходит в l´´ (l´→ l´´) l´ || l´´. |АВ1| = 2|а| в силу свойств симметрии, т.е. l1 отобразилась в l´´ посредством параллельного переноса на вектор 2а.





10. Список литературы

  1. Атанасян Л.С. Геометрия 7 - 9 кл. - М., Просвещение, 1991. С-335.

  2. Базылев В.Т., Атанасян Л.С. Геометрия. - М., Просвещение, 1986. С -336.

  3. Бахман Ф. Построение геометрии на основе понятия симметрии.- Просвещение, 1994. С-220.

  4. Березин В.Н., Березина Л.Ю. Сборник задач для факультативных и внеклассных занятий по математике. - М., Просвещение, 1990. С -175.

  5. Березина Л.Ю. Геометрия в 7 - 9 классах. - М., Просвещение, 1990. С -141.

  6. Гамезо М.В. Возрастная и педагогическая психология. - М., Просвещение, 1976. С -360.

  7. Готман Э.Г. Задачи по планиметрии и методы их решения.- М., Просвещение, 1996. С -340.

  8. Гусев В.А., Маслова Г.Г., Скопец З.А.., Черкасов Р.С. Сборник задач по геометрии 7 -9. -М., Просвещение, 1979, С -221.

  9. Епишева О. Приложение к газете «1 сентября» - «математика». № 4/97 «Обучение и развитие учеников в процессе преподавания математики». С -1,16.

  10. Земляков А.Н. Геометрия в 11 классе. - М., Просвещение, 1991. С -255.

  11. Земляков А.Н., Березина Л.Ю. Методическое пособие для учителя. Геометрия 10 кл. - М., -М., Просвещение, 1991. С -208.

  12. Колмогоров А.Н. Геометрия 8. -М., Просвещение, 1980. С -110.

  13. Крутецкий В.А. Психология обучения и воспитания школьников. - М., Просвещение, 1976. С -303.

  14. Лоповок Л.М. Факультативные занятия по геометрии для 7 -11 классов. Киев, 1990. С -96.

  15. Погорелов А.В. Геометрия 7 -11 кл. - М., Просвещение, 1996. С -383.

  16. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии II часть. - М., Просвещение, 1991. С -240.

  17. Саранцев Г.И. Сборник задач на геометрические преобразования. - М., Просвещение, 1984. С -110.

  18. Тарасов В. «Математика» -№ 40/97 «Факультативная работа в 7 классе». С -2 - 4.

  19. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике - решение задач. - М., Просвещение, 1995. С -384.



Элективный курс по математике















ШКОЛЬНИКУ О КОМПОЗИЦИИ ДВИЖЕНИЙ ПЛОСКОСТИ













Подписано в печать 10.08.2010г.

Формат 60х841/16.

Гарнитура «Times New Roman».

Бумага офсетная.

Компьютерный набор и верстка.

Усл. п.л.

Заказ № .

Тираж 20 экз.

Цена договорная.


Отпечатано с оригинал макета в ООО «Мечта»,

309530, г. Старый Оскол,……


© 2010-2022