- Преподавателю
- Математика
- Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости
Элективный курс Школьнику о композиции движений плоскости
Раздел | Математика |
Класс | 10 класс |
Тип | Другие методич. материалы |
Автор | Лихачева Г.А. |
Дата | 16.11.2015 |
Формат | doc |
Изображения | Есть |
Г.А. Лихачёва
Школьнику о
композиции движений
плоскости
Элективный курс по математике
2011г
УДК 514(075.8)
ББК 22.151я 721
Л 65
Рецензенты:
Долженков Виктор Анатольевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры геометрии Курского государственного университета.
Журавлёва Елена Вадимовна, кандидат технических наук, доцент кафедры высшей математики Юго-западного государственного университета.
Лихачёва, Г.А. Школьнику о композиции движений плоскости: Элективный курс по математике / Г.А. Лихачева - Старый Оскол: «МЕЧТА» 2011. - 74с.
Настоящий элективный курс регламентирует учебную деятельность учащихся III ступени школьного обучения и поступающих во ВТУЗы по отдельным разделам геометрии «Движениям плоскости». В пособии дано содержание курса с разбивкой по темам, подборка теоретического и практического материала, учебно-тематический план, задания для самостоятельной работы, перечень учебной литературы для самостоятельного изучения тем, а также образцы решения задач.
Выбор тем и содержания заданий обусловлен стремлением автора объединить усвоение теоретических знаний с практическими умениями и навыками, раскрыть творческие способности обучающихся.
Текст печатается в авторской редакции
ISBN
типография
© Лихачёва Г.А., 2011
Содержание
-
Введение
-
Учебно-тематический план элективного курса.
3. Применение движений плоскости к решению геометрических задач.
4. Список рекомендуемых задач.
5. Разработки занятий.
6. Итоговое занятие.
7. Список литературы.
1.Введение
Настоящее пособие предназначено для учащихся 10-11 классов средних школ, абитуриентов, а также преподавателей и методистов.
В пособии дано содержание курса с разбивкой по темам, подборка теоретического и практического материала, учебно-тематический план, задания для самостоятельной работы, перечень учебной литературы для самостоятельного изучения тем, а также образцы решения задач.
Тема: «Движения плоскости. Разложение движений плоскости произведение осевых симметрий», также важна, как и другие, изучаемые в курсе геометрии 10 - 11 классов. Она проста и доступна для усвоения учащимися, что подтвердил эксперимент, проведённый на базе средних школ города Старого Оскола. Тема эта имеет в большей степени практическое применение для решения различных задач на построение и доказательство. Мной подобран материал по темам, включающим в себя различные преобразования плоскости: поворот, параллельный перенос, центральную симметрию, осевую симметрию, скользящую симметрию. На двух занятиях учебный материал дан в виде уроков-лекций, после которых краткое обобщение и уточнение моментов, которые учащиеся для себя хотели уяснить. Затем проводят практические занятия по применению изученного материала для решения задач, учат правильно и точно выполнять чертежи к задачам, строить логическую цепочку умозаключений в ходе доказательства. Проделанная работа показала, что данная тема «Движения плоскости» может быть предложена для изучения в школе, как одна из интересных и посильных для изучения учащимися. Её можно рассматривать на элективном курсе (17ч) или частями вводить на уроках при изучении соответствующих тем, как дополнение и расширение их.
Цель данного пособия - дать возможность учащимся 10-11 классов и абитуриентам потренироваться в выполнении таких видов заданий, которые помогут подготовиться к предстоящим экзаменам.
2. Элективный курс как одна из вспомогательных форм обучения в современной школе.
Наиболее массовой формой углубленного изучения школьных дисциплин являются элективные курсы. Они прочно вошли в практику школы. Элективный курс - это творческая лаборатория учителя: можно решать олимпиадные задачи, исследовать теоретические и практические задания различного уровня сложности.
Математика в наши дни пронизывает все сферы общественной жизни. Овладение практически любой современной профессией требует тех или иных знаний по математике. Эти знания, представления о роли математики в мире стали необходимыми компонентами общей культуры. В современной школе математика является неотъемлемым федеральным компонентом содержания общего образования.
Смысл обучения в школе состоит не только в том, чтобы сделать каждого ребенка немного математиком, но и развивать способность точно и доказательно мыслить. От уровня математического образования зависит очень многое. Оно нужно не только тем, кто впоследствии будет заниматься математикой профессионально. А в связи с тем, этот предмет обеспечивает изучение на современном уровне ряда других дисциплин, как естественных, так и гуманитарных, а также трудового обучения.
Современная математика с большим успехом применяется почти в каждой области высокоорганизованной человеческой деятельности, в то же время потребности техники, экономики, военного дела и др. вызвали к жизни совершенно новые математические дисциплины, такие как кибернетика, теория информации, теория линейного программирования и т.д. Таким образом, без знания математических фактов, усвоения математических навыков невозможно изучать другие науки, учиться многим профессиям.
Необходимо отметить, что математика является и профилирующим предметом для поступления в ВУЗы по широкому спектру специальностей. При подготовке к экзаменам необходимы более глубокие познания.
Цель курса состоит в том, чтобы исходя из теоретических положений и обобщения опыта работы по теме «Движения плоскости» дополнить и расширить школьное образование, раскрыть содержание, организационные формы проведения работы в области изучения учащимися дополнительных разделов геометрии.
Основной задачей изучения элективного курса является приобретение обучающимися теоретических и практических навыков по данному разделу «Композиция движений плоскости».
В результате изучения курса обучающийся должен знать теоретические основы курса и уметь применить их в практической деятельности для доказательства теорем и решения задач.
Освоение учебного материала базируется на знаниях, полученных учениками в процессе изучения геометрии и алгебры школьного курса.
Полученные знания позволят более углубленно и осмысленно изучить данное направление в геометрии, помогут развитию логического мышления, а также умений исследовать, анализировать, обобщать.
-
Учебно-тематический план элективного курса.
№ п/п
Тема
Количество часов
Формы проведения
Образовательный продукт
Всего
Лекций
Практикум
1
Центральная и осевая симметрии.
3ч.
0,5ч.
2,5ч.
Мини-лекция,
урок практикум,
тестирование
Актуализация знаний, умений и навыков. Развитие навыков тождественных преобразований.
2
Параллельный перенос.
2ч.
0,5ч.
1,5ч.
Комбинированный урок,
групповая работа
Овладение
умениями решать
задачи
различных видов,
различными способами.
3
Поворот.
3ч.
0,5ч.
2,5ч.
Мини-лекция,
работа в парах
Овладение
разными
способами
решения задач по теме «Поворот»
4
Композиция поворотов.
3ч.
0,5ч.
2,5ч.
Комбинированный урок, урок-практикум, тестирование
Овладение умениями и навыками выполнять композиции поворотов
5
Композиция симметрий.
3ч.
0,5ч.
2,5ч.
Мини-лекция, лабораторная работа
Обобщение и систематизация знаний по различным темам курса.
6
Композиция движений.
3ч.
0,5ч.
2,5ч.
Семинар, групповая работа, тестирование или к/р
4.Содержание и методические аспекты элективного курса «Школьнику о композиции движений плоскости»
-
Центральная и осевая симметрии (3 ч). Задачи предназначены для формирования умения строить образы различных фигур при центральной и осевой симметрии. Знакомство с координатной записью осевой симметрии и дальнейшим развитием представлений о свойствах оси симметрии, а также обратными задачами на построение образов фигур.
-
Параллельный перенос (2 ч). Понятие поворота. Знакомство со скользящей симметрией, её осью и направлением. Привлечение координатного метода в использовании параллельного переноса при построении графиков различных функций. Параллельный перенос и другие перемещения.
-
Поворот (3 ч). Построение образов фигур. Знакомство с элементами, определяющими поворот: центром поворота, углом поворота. Свойства поворота. Решение комбинированных задач. Знакомство с координатной записью поворота на 900 по часовой и против часовой стрелки и её использованием.
-
Композиция поворотов (3 ч). Знакомство с композицией поворотов и других преобразований. Построение образов фигур. Знакомство с элементами, определяющими композицию поворотов. Свойства композиции поворотов. Решение комбинированных задач.
-
Композиция симметрий (3 ч). Классификация движений. Понятие «прямая инвариантных точек». Движения первого и второго рода.
-
Композиция движений (3 ч). Группа движений плоскости и её подгруппы. Решение комбинированных задач.
5.Содержание теоретической части элективного курса
Осевая симметрия.
Пусть имеем прямую d на плоскости. Точки и называются симметричными относительно прямой d если отрезок⊥ d, а его середина d. Если точка М d, то она называется симметричной сама себе относительно прямой d.
М
d
Преобразование плоскости, которое каждой точке ставит в соответствие симметричную ей точку относительно прямой d, называется осевой симметрией с осью d. Осевую симметрию обозначим . Выберем прямоугольную декартову систему координат, для которой ось d является осью абсцисс. Тогда зададим формулы осевой симметрии в этой системе координат:y
∙
0 x
∙
Аналогично выполняется для произвольной прямой. То есть формулы обратного преобразования одни и те же
А следовательно это есть одно и то же преобразование .
То есть осевая симметрия является инвалютивным преобразованием.
Из уравнения осевой симметрии следует, что неподвижными точками будут только точки, у которых ордината равна нулю. Значит, все точки оси симметрии неподвижны. Очевидно, что ось - неподвижная прямая. Она отображается сама в себя.
Рассмотрим симметрию относительно других прямых.
.
Прямая будет отображаться в себя при Это будут прямые, перпендикулярные оси симметрии d. Каждая точка этой прямой неподвижна.
Центральная симметрия
Точки М и называются симметричными относительно точки О, если О - середина отрезка М. Точка О симметрична сама себе.
М О
Преобразование плоскости, которое каждую точку отображает в симметричную ей точку относительно центра О называется центральной симметрией с центром в точке О и обозначается .
Центральная симметрия есть поворот вокруг точки О на угол 180°. Поэтому формулы центральной симметрии получим из формул:
:
В центральной симметрии неподвижная точка только одна. Это центр симметрии. А неподвижными прямыми являются прямые, проходящие через центр симметрии.
:
То есть преобразования прямой и обратной центральных симметрий имеют одни и те же формулы. Следовательно, центральная симметрия также является инвалютивным преобразованием.
Скользящая симметрия
Пусть имеем на плоскости прямую и вектор. Преобразование плоскости f = ∙ называют скользящей симметрией. М →. Выберем прямоугольную систему координат:
,
: :
.
Если вектор, то неподвижных точек нет.
Скользящая симметрия будет обладать свойствами, общими для параллельного переноса и для осевой симметрии, например:
-
Неподвижных точек нет.
-
Неподвижная прямая одна -
-
Всякая прямая, параллельная прямой, имеет образ, параллельный .
-
Середина отрезка ∈.
М
0 О d
Композиция симметрий
Отношению перпендикулярности прямых соответствует равенство композиций относительно этих прямых, т.е. .
Доказательство.
Пусть .
Если О точка пересечения прямых , то композиция
представляет собой центральную симметрию относительно точки О, т.е. Аналогично композиция Следовательно .
Пусть теперь имеет место равенство композиций, тогда . Докажем это методом от противного: предположим прямые не перпендикулярны, тогда они или пересекаются под углом α≠90°, или параллельны.
Если пересекаются под углом α≠90°, то есть поворот вокруг точки пересечения прямых на угол 2α, а композиция - поворот вокруг той же точки, но на угол т.е.
Если , то - параллельные переносы на одинаковое расстояние, но в противоположных направлениях.
Следовательно .
Полученное противоречит условию. Следовательно имеет место равенство , а значит прямые, определяющие это равенство взаимно перпендикулярны.
Отношению принадлежности прямых а,b,c - одному пучку , соответствует равенство композиций симметрий относительно этих прямых: с
Где d - осевая симметрия относительно некоторой четвертой прямой, принадлежащей тому же пучку.
Докажем это.
Пусть а,b,c принадлежат одному пучку.
-
Пусть а∩b∩c = О.
Тогда есть поворот вокруг точки О на угол 2α (α - угол между прямыми а и b). Поворот вокруг точки О на угол 2α может быть представлен через композицию двух других осевых симметрий, оси которых также пересекаются в точке О под углом α. Пусть осью одной из таких симметрий является прямая с, а другой некоторая прямая d. Так как композиции и с представляют собой один и тот же поворот, то имеет место равенство композиций = с. На основании свойства композиции преобразований «умножим» обе части этого равенства на с, слева получим с, а справа сс. Имеем: с сс (Множитель с записан слева.) Композиция сс есть тождественное преобразование, поэтому с. Таким образом, прямые пересекаются в одной точке и угол между прямыми а и b равен углу между d и с, тогда для композиции симметрий относительно этих прямых имеет место равенство с, т.е. композиция с в этом случае есть осевая симметрия.
-
Пусть а∥b∥c.
Тогда композиция есть параллельный перенос от прямой а к прямой b в направлении, перпендикулярном к данным прямым, на расстояние, равное удвоенному расстоянию между прямыми а и b.
Параллельный перенос может быть представлен через композицию двух других симметрий относительно прямых, параллельных прямым а и b и расстояние между которыми равно расстоянию между прямыми а и b.
Пусть осью одной из этих симметрий является данная прямая с, а другой - некоторая прямая d.
с
d
a
Так как и с есть один и тот же параллельный перенос, то имеет место равенство композиций = с, которое как и ранее приводит к равенству с. Итак, если прямые с параллельны и расстояние между прямыми равно расстоянию между прямыми с, то имеет место равенство композиций с то есть композиция с и в этом случае представляет собой осевую симметрию.
Обобщим эти случаи и сделаем вывод, что если прямые с имеют общую точку и параллельны, значит, прямые с принадлежат одному пучку, тогда можно найти такую четвертую прямую, что для всех композиций соответствующих симметрий выполняется равенство с то есть композиция трех осевых симметрий в случае принадлежности соответствующих прямых одному пучку является осевой симметрией.
Докажем обратное.
Пусть прямые с не принадлежат одному пучку. Рассмотрим самый общий случай к которому можно привести все остальные: прямые с пересекаются попарно. Композицию можно заменить композицией , где прямые, проходящие через точку пересечения прямых с и образующие тот же угол.
Проведем прямую перпендикулярную прямой и пересекающую её в точке L. - прямая, проходящая через точку L и тогда = L и или
Найдем композицию с L .
с
P
L a
d
b
Композиция L есть параллельный перенос, за которым следует симметрия Следовательно композиция L - скользящая симметрия.
Итак, если прямые с не принадлежат одному пучку, то композиция с является скользящей симметрией, а не осевой симметрией, и равенство с не имеет места, то есть доказано, что равенство композиций с выполняется в том и только в том случае, когда прямые с принадлежат одному пучку.
Теорема. Отношение « - ось симметрии прямых и выражается отношениеммежду соответствующими симметриями в виде равенства композиций , .
Доказательство.
Согласно ранее доказанному есть симметрия относительно прямой , принадлежащей тому же пучку, и угол между прямыми равен углу между прямыми , если прямые имеют общую точку, и расстояние между равно расстоянию между прямыми, если прямые параллельны. - ось симметрии прямых и
a
a b
b c
c
Отношению « - ось симметрии точек и » отвечает равенство композиций соответствующих симметрий. Пусть точки А и В симметричны относительно прямой . Докажем, что для соответствующих симметрий в этом случае имеет место равенство. При доказательстве воспользуемся теоремой: « симметрия с центром в точке О есть композиция осевых симметрий относительно перпендикулярных прямых, которые пересекаются в точке О, причем одна из этих прямых может быть выбрана произвольно.
Проведем через точки А и В прямую и представимкаждую из центральных симметрий через композицию осевых симметрий, используя каждый раз прямую Тогда А = , В = , где - осевые симметрии относительно прямых, которые параллельны , и расстояние между прямыми равно расстоянию между прямыми и
А В
В этом случае композиция где - параллельный перенос, который можно заменить композицией , тогда
Докажем обратное. Если имеет место равенство композиций то точки, определяющие центральные симметрии, симметричны относительно прямой, которая определяет осевую симметрию. Доказательство проведем методом от противного.
Пусть точка В не симметрична точке А, тогда найдем точку С, которая будет симметрична точке А относительно прямой Так как точки А и С симметричны относительно прямой , то для соответствующих симметрий имеет место равенство
Учитывая данное равенство получим или «умножив» обе части его на слева, будем иметь. Получили, что точка, несимметричная данной относительно прямой, совпадает с точкой, которая ей симметрична, что невозможно. Таким образом, равенство композиций вида выполняется только в том случае, когда А и В точки, симметричные относительно прямой
Отношение «точка А принадлежит прямой » выражается отношением между соответствующими симметриями и имеет вид равенства композиций т.е. композиция осевой и центральной симметрий коммуникативна.
Пусть точка А. Докажем, что в этом случае Центральную симметрию А представим через композицию осевых симметрий, использовав в качестве одной из осей прямую Тогда где c - осевая симметрия относительно прямой, перпендикулярной прямой В композиции центральную симметрию А представим через ту же композицию осевых симметрий, тогда получим = .
То есть композиции одну и ту же осевую симметрию, поэтому
Докажем обратное.
Если для соответствующих симметрий выполняется равенство композиций, то точка А. Предположим, что А, тогда найдется точка В, симметричная точке А относительно прямой такая, что для соответствующих симметрий выполняется равенство композиций Учитывая данное равенство, получим или «умножив» обе части этого равенства на слева, будем иметь, т.е. точка, не принадлежащая прямой, совпадает с точкой, ей симметричной, что невозможно.
Таким образом, равенство композиций вида выполняется только в том случае, когда точка А.
Отношение «В - центр симметрии точек А и С» выражается отношением между соответствующими симметриями в виде такого равенства композиций Точки А, В, В, С - являются вершинами вырожденного параллелограмма. Так как Лучи ВА и СВ сонаправлены, принадлежат одной прямой и , то выполняется равенство композиций
Теорема. Поворот плоскости есть произведение двух осевых симметрий, оси которых пересекаются. Центром поворота будет точка пересечения осей, а угол поворота равен двойному углу от первой оси до второй.
Доказательство.
Необходимо выяснить, что движение - поворот. Действительно, - движение первого рода (т.е. либо параллельный перенос, либо поворот, либо центральная симметрия, либо тождественное преобразование), так как ориентация репера меняется дваждыи возвращается к исходному.
При осевой симметрии неподвижными точками будут точки прямой , а при осевой симметрии точки прямой но точка останется неподвижной как в первом так и во втором случаях. Следовательно, движение имеет одну неподвижную точку , а значит, - поворот вокруг точки
Найдем угол поворота.
Возьмем произвольную точку , () = - поворот на угол вокруг точки
Докажем обратное.
Пусть мы имеем поворот на угол вокруг точки (угол).
Проведем через точку пару прямых и так, чтобы угол от прямой прямой составлял Рассмотрим произведение =
О
Замечание. Если бы мы взяли еще пару прямых и рассмотрели бы произведение , то это был бы один и тот же поворот.
Теорема. Параллельный перенос плоскости есть произведение двух осевых симметрий, оси которых параллельны и удовлетворяют условию:
-
.
-
.
-
Расстояние между прямыми равно и направление вектора совпадает от первой прямой до второй. То есть, надо доказать, что
Доказательство.
Произведение - есть движение первого рода (т.к. не меняет ориентации).
Неподвижных точек здесь нет. Следовательно это движение есть параллельный перенос.
Найти векторы этого параллельного переноса можно так: возьмем точку М и найдем её образ. Длина вектора в два раза больше расстояния между прямыми. Эти прямые параллельны и .
Докажем обратное.
Покажем, что параллельный перенос есть произведениедвух осевых симметрий с параллельными осями.
Вектор - определен.
Проведем две параллельные прямые, перпендикулярные вектору, так чтобы расстояние между ними было равно и направление от первой прямой до второй совпадало с вектором .
=. Доказано.
Замечание. Мы можем пару параллельных прямых, определяющих параллельный перенос, смещать параллельно плоскости и при этом параллельный перенос остается прежним.
Общее понятие движения, и его свойства
1. Отображение и преобразование множеств.
Пусть Х и У - непустые множества. Допустим, что каждому элементу поставлен в соответствие единственный элемент из множества У. Тогда говорят, что дано отображение множества в множество У или дана функция.Функцию обозначают одной буквой, например и пишут так: Элемент называется значением функции для элемента и обозначают через . Множество Х назовём областью определения функции , а множество всех значений - областью значений функции. Вместо термина «функция» в геометрии принято говорить «отображение». Пусть дано отображение Элемент назовём образом элемента , а х - прообразом элемента Говорят также, что элемент х переходит в элемент у в отображении fи пишут
Область определения и область значений являются множествами точек плоскости.
Например: Пусть - окружность, а АВ - её диаметр. Каждой точке М окружности поставим в соответствие ортогональную проекцию М1 на прямую АВ. Получим отображение окружности в прямую
M
В P
A М1
N
Если в отображении множество то говорят, что дано отображение множества Х на себя. Преобразованием непустого множества Х называется любое биективное отображение множества Х на себя.
М/
φ
O• M
Например: Пусть - окружность заданная на ориентированной плоскости, а φ - ориентированный угол, причём . Отображение при котором каждой точке М окружность ставится в соответствие М/ той же окружности, что - преобразование окружности
2. Движения плоскости.
Говорят, что преобразование плоскости сохраняет расстояния, если расстояние между любыми двумя точками А и В плоскости равно расстоянию между их образами А/и В/, т.е. АВ= А/В/.
Преобразование плоскости, сохраняющее расстояние, называется движением (или перемещением).Наиболее простым примером движения является тождественное преобразование плоскости, т.е. преобразование, при котором каждая точка плоскости переходит в себя.
Пример 1.
Возьмём вектор параллельный плоскости . Каждой точке поставим в соответствие точку / так, чтобы . Мы получаем некоторое отображение , которое является преобразованием плоскости . Оно называется параллельным переносом на вектор . Вектор называется вектором переноса.
М1 / М2 /
М1 М2
Если , то параллельный перенос, есть тождественное преобразование. Докажем, что параллельный перенос является движением.
Пусть - две точки плоскости, а - их образы.Тогда=,= , поэтому =. по лемме о равенстве векторов имеем .
Таким образом при параллельном переносе сохраняются расстояния, т.е.
параллельный перенос - движение.
Пример 2.
Рассмотрим симметрию плоскости относительно некоторой точки О. Симметрия , очевидно, является преобразованием и сохраняет расстояния, так как если - две точки плоскости, а - их образы, тои , поэтому ., т.е. движение.
М
O
Упорядоченную тройку точек А, В, С плоскости, не лежащих на одной прямой, называют репером и обозначают так: . Точки А, В, С называют вершинами репера, причем точка А называется его началом. Репер называется аффинным, если АВС произвольный, и ортонормированным, если А - прямой, а АВ = АС = 1.
Пусть на плоскости дана система координат . Отложив от точки О векторы = , = , получим репер, о котором говорят, что он соответствует системе координат.
Если данная система координат аффинная, то R- аффинный репер, а если данная система координат прямоугольная, то реперR-ортонормированный. Обратно, если данный репер, то можно построить систему координат , где, , которой соответствует репер R.
В дальнейшем будем говорить, что точка М в репере R имеет координаты координаты точки М в соответствующей системе координат. Вообще, в геометрии не делают различия между репером и системой координат.
Докажем, что в любом движении репер переходит в репер, в частности ортонормированный репер - в ортонормированный репер. В самом деле, пусть, а образы точек А, В и С, соответственно. Так как точки А, В и С не лежат на одной прямой, то . Движение сохраняет расстояния, поэтому точки не лежат на одной прямой, т.е.- репер. Если - ортонормированный репер, то по теореме Пифагора, поэтому +=.
По теореме, обратной теореме Пифагора, прямоугольный. Далее, Таким образом,-ортонормированный репер.
Докажем основную теорему.
Пусть R = и = - произвольные ортонормированные реперы плоскости . Тогда существует одно и только одно движение, которое репер R переводит в При этом движении любая точка М с данными координатами в репере R переходит в точку с теми же координатами в репере
Докажем сначала, что существует движение, которое репер R переводит в репер Построим отображение g: следующим образом, произвольной точке Мв репере R поставим в соответствие точку с теми же координатами в репере Ясно, что А, В и С.
Отображениеg: является взаимно однозначным отображением плоскости на себя, т.е. является преобразованием плоскости
Докажем, что g сохраняет расстояние.
Пусть произвольные точки плоскости, которые в репереR имеют координаты иТогда = . Образы точек и в репере имеют те же координатыиТогда = и следовательно = . Таким образом g- движение, которое переводит реперR в репер .
Докажем, что g - единственное движение, которое переводит репер R в репер
Допустим, что это не так, то есть существует другое движение, такое, что = . Тогда на плоскости существует такая точка М, что образ этой точки в движении g не совпадает с образом той же точки в движении . Т.к. А и А , то АМ = и АМ = , поэтому = т.е. точка равноудалена от концов отрезка . Точно также можно доказать, что точки равноудалены от концов отрезка .
Таким образом, точки лежат на серединном перпендикуляре отрезка т.е. на одной прямой, что противоречит определению репера. Итак,g - единственное движение, которое переводит репер R в репер При этом движении точка М переходит в точку .
Используя эту теорему, выясним, в какие фигуры переходят в движении прямая, полуплоскость, отрезок, луч и угол.
Движение переводит прямую в прямую, а параллельные прямые - в параллельные прямые.
Выберем ортонормированный репер R и рассмотрим его образ в данном движении. Тогда такжеортонормированный репер. Пусть прямая в репере R определяется уравнением Аx + Вy + С = 0. Образ прямой (т.е. множество образов всех точек прямой) в репере определяется тем же уравнением, поэтому является прямой.
Рассмотрим теперь параллельные прямые и их образы . Если предположить, что прямые имеют хотя бы одну общую точкуто прообраз М этой точки лежит как на прямой
Таким образом, прямые имеютобщую точку М; это противоречит условию.
Движение переводит полуплоскость с границей в полуплоскость с границей , где - образ прямой а.
Пусть данная полуплоскость с границей а, а - образ плоскости в движенииg.
Если прямая в репере R имеет уравнение Аx + Вy + С = 0, то полуплоскость определяется неравенством Аx + Вy + С 0 (или Аx+ Вy + С 0). (1)
Множество в репере, где =g(R), определяется тем же неравенством Аx + Вy + С 0 (или Аx+ Вy + С 0). Следовательно, - полуплоскость с границей , где = g(а).
Отношение , в котором точка С делит отрезок АВ называется простым отношением трех точек А, В, С и обозначается так = (А,В,С).
Движение сохраняет простое отношение трех точек на прямой.
Пусть в репере R три произвольные точки одной прямой имеют координаты А(), В(), С
Если = (А,В,С), то по формулам координат середины отрезка имеем:
, .(2)
Если образ репера R, то образы точек в репере имеют координаты(), (), Равенства (2) показывают, что точка делит отрезок в отношении т.е.) =
Таким образом, ).
Точка С лежит между точками А и В тогда и только тогда, когда и отсюда следует свойство 4.
Движение сохраняет отношение «лежать между».
Если, то точка С лежит на отрезке АВ, а если то точка С лежит на прямой АВ, но вне отрезка АВ.
Движение переводит отрезок АВ в отрезок, где - образы точек А и В. При этом середина отрезка АВ переходит в середину отрезка.
Движение переводит луч в луч, а угол в угол.
Движение переводит угол в равный ему угол.
Пусть -данный угол, а - его образ, причем - образы точек А, О, В. Если развернутый, то утверждение теоремы очевидно, поэтому рассмотрим случай, когда этот угол неразвернутый, т.е. - репер. Тогда ) - также репер. Треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников (ОА = ), поэтому = .
Движение переводит взаимно перпендикулярные прямые во взаимно перпендикулярные прямые.
Пусть О - некоторая точка плоскости, h - луч, исходящий из этой точки, а - полуплоскость, границе которой принадлежит луч h. Тройка О, h, называется флагом и обозначается так: (О, h, . При движении флаг переходит в флаг.
Теорема 2.
Пусть (О, h, и - произвольные флаги.
Тогда существует одно и только одно движение, которое флаг (О, h, переводит в флаг
Введем рассмотренные ортонормированные реперы (О, такие, что ,.
О
Рассмотрим движение g, которое репер (О, переводит в репер
Т.к. = g(О), = g(), то = g(h). Но = g(), поэтому
= g().
Таким образом, движение gпереводит флаг (О, h, в флаг
Пусть - произвольное движение, которое переводит флаг (О, h, в флаг Т.к. = (h), то = (). Далее углы прямые, поэтому движение луч переводит в луч, а, следовательно, = ().
Таким образом, движениепереводитрепер (О, в репер поэтому совпадает с g.
Два вида движений. Аналитическое выражение движений.
РеперыR = и = одинаково ориентированы, если базисы , и, одинаково ориентированы. РеперыR = и = противоположно ориентированы, если базисы , и, противоположно ориентированы.Таким образом, реперыR иодинаково ориентированы, еслиR0, и противоположно ориентированы, если R0. ЗдесьR = , ), .
Говорят, что преобразование точек плоскости сохраняет ориентацию плоскости, если любой репер и его образ одинаково ориентированы.Преобразование точек плоскости меняет ориентацию плоскости, если любой репер и его образ противоположно ориентированы.
Теорема 1.
Пусть g- произвольное движение, - некоторый ортонормированный репер, а - его образ, который также является ортонормированным репером. Возьмём произвольный реперR= и рассмотрим его образ
= По основной теореме точки О, А, В в репере имеют те же координаты, что и соответствующие точки в репере Следовательно, векторы , в репере имеют те же координаты, что и векторы, в репере соответственно. Поэтому = или
=
Для любых трех базисов А = ( ), В = , С =справедливо равенство = Получаем: = = = = = .
Отсюда следует утверждение теоремы. Действительно, если 0, то 0, т.е.произвольный реперR и его образ одинаково ориентированы, а если0, то 0, т.е.произвольный реперR и его образ противоположно ориентированы.
Итак, возможны два вида движений: движения, не меняющие ориентацию плоскости, и движения, меняющие ориентацию плоскости. В первом случае движение называется движением первого рода, а во втором случае -движением второго рода.
Пусть g- данное движение. Возьмем на плоскости ортонормированный репер R = (О, ), обозначим координаты произвольной точки М плоскости, а - координаты её образа в этом репере.
Выразим через найдем аналитическое выражение движения g в репере R.
Для решения этой задачи рассмотрим образ = репера R в движении g. Так как движение g дано, то полагаем, что репер R задан, т.е. даны координаты точки () в репере R и известен направленный угол = ).
По основной теореме точка в репере имеет координаты. Наша задача сводится к обычной задаче преобразования прямоугольной системы координат: точка в старомрепере R имеет координаты а в новом репере - координатыВыразим через
Рассмотрим два случая.
А.Движение g- является движением первого рода. Тогда реперы Rи одинаково ориентированы, поэтому искомые формулы имеют вид:
=,=(1)
Б.Движение g- является движением второго рода. Тогда реперы R и противоположно ориентированы, поэтому искомые формулы имеют вид:
=,=(2)
Эти формулы можно объединить в одной записи:
=,
=(3)
=1, еслиg- является движением первого рода.
= - 1, если g- является движением второго рода.
Матрица называется ортогональной, если её элементы удовлетворяют условиям: , . (4)
Докажем, что определитель ортогональной матрицы равен Для этого введем ортонормированный базиси в этом базисе рассмотрим векторы
и . Условия (4) показывают, что векторы и образуют ортонормированный базис, поэтому получаем: =где = .
Если базис правый, то = , поэтому =1, а если этот базис левый, то = - , поэтому = -1. Заметим, что в формулах (1) и (2) коэффициенты при иобразуют ортогональные матрицы:
(5).
Теорема 2.
Если аналитическое выражение отображения ортонормированном репере R= (О, ) имеет вид:
= + + , = + + (6)
где -ортогональная матрица, то - движение.
При этом, если =1, то - движениепервого рода, а если = -1, то - движение второго рода. Здесь - = .
Так как 0, то отображение Докажем, что - движение. Пусть и - две произвольные точки, а и - их образы.Используя формулу (6) и равенства (4), найдём: + = +или= . Таким образом, - сохраняет расстояние, поэтому является движением.
При движении репер R= (О, ) переходит в репер где, , , поэтому векторы и имеют координатыи Отсюда следует, чтоR==Если =1, то реперы Rиориентированы одинаково, поэтому - движениепервого рода, а если = -1, тото реперы Rиориентированы противоположно, поэтому - движение второго рода.
Виды движений.
Пример 1.
Пусть на ориентированной плоскости дана точка О и направленный угол .Определим отображение g: следующим образом: точке М, отличной от точки О, поставим в соответствие точку так, чтобы ОМ=О и =, а точке О поставим в соответствие эту же точку О. Это отображение называется поворотом (или вращением) плоскости вокруг точки О на угол Точка О называется центром поворота, а величина - углом поворота. Легко заметить, что поворот на угол является центральной симметрией.
Пользуясь предыдущей теоремой, докажем, что поворот является движением первого рода. Выберем на плоскости прямоугольную систему координат О, приняв за начало координат центр О поворота, и установим связь между координатами произвольной точки М отличной от точки О и её образа По определению поворота )= ОМ=О.
Имеем: =, = , где = = = = . Отсюда получаем:
,
.
Эту систему можно рассматривать как систему двух уравнений с двумя неизвестными. Решая её, находим:
=,
=(7)
Данные формулы пригодны и в том случае, когда точка М совпадает с точкой О.
Мы получили аналитическое выражение поворота вокруг начала координат.
Так как матрица, образованная из коэффициентов при ортогональная и определитель этой матрицы равен +1, то g-движение первого рода.
При или формулы (7) принимают вид =, = . (8)
Эти формулы представляют собой аналитическое выражение центральной симметрии с центром в начале координат.
Пример 2.
На плоскости возьмем прямую и каждой точке М поставим в соответствие точку , симметричную точке М относительно прямой . Каждая точка прямой симметрична самой себе относительно этой прямой. Мы получаем преобразование плоскости , которое называется осевой симметрией или отражением от прямой . Прямая называется осью симметрии.
М
О
Докажем, что осевая симметрия является движением.
Для этого выберем на плоскости прямоугольную систему координат О, как показано на рисунке, и запишем аналитическое выражение осевой симметрии.
Пусть М- произвольная точка плоскости, а - её образ. Так как точки М и симметричны относительно оси абсцисс, то =, = По теореме 2 осевая симметрия является движением второго рода.
Классификация движений.
Точку плоскости назовем инвариантной (неподвижной) точкой преобразования, если она переходит в себя в этом преобразовании. Прямую назовем инвариантной прямой преобразования, если любая её точка переходит в точку этой же прямой. В частности, прямая является инвариантной, если каждая её точка инвариантна в данном преобразовании.
(Такую прямую будем называть прямой инвариантных точек). Если, например, g - осевая симметрия, то ось этого преобразования и любая прямая перпендикулярная к ней являются инвариантными прямыми, причём ось симметрии - прямая инвариантных точек.
Лемма 1.
Если движение g не имеет ни одной инвариантной точки, то оно имеет хотя бы одну инвариантную прямую.
Пусть А - произвольная точка плоскости, = g(А), = g(). По условию леммы точка А не совпадает с точкой , а точка не совпадает с точкой . Если точки А, , лежат на одной прямой, то эта прямая является инвариантной, поэтому рассмотрим случай, когда эти точки не лежат на одной прямой. Рассмотрим середины и отрезков и и докажем, что -инвариантная прямая.
А
С
Для этого проведём серединные перпендикуляры и отрезков и и обозначим через С их точку пересечения. Очевидно, что = g(), поэтому =g(). Так как =, то точка С прямойпереходит либо в ту же точку С прямой, либо в точку симметричную точке С относительно точки . Первый случай не может иметь места, т.к. g не имеет неподвижных точек, поэтому =g().
Таким образом, прямая переходит в параллельную ей прямую (четырехугольник ).
Пусть - образ прямой . Так как , то или Мы видим, что прямая проходит через точку и перпендикулярна прямой, поэтому совпадает с прямой .
Лемма 2.
Если движение g луч переводит в себя, то g-либо тождественное преобразование, либо отражение от прямой , содержащей луч
Обозначим через начало луча , а через две полуплоскости с общей границей, содержащей луч . Возможны только два случая.
-
Движение g переводит флаг (,) в флаг (,), т.е. выполняется тождественное преобразование.
-
Движение g переводит флаг (,) в флаг (,). Движение g совпадает с осевой симметрией относительно прямой .
Проведем классификацию движений в зависимости от наличия неподвижных точек и инвариантных прямых.
Классификация движений первого рода
1.Движение имеет более чем одну неподвижную точку. Пусть А и В - две неподвижные точки движения g. Тогда луч АВ переходит в себя, поэтому по лемме 2 имеем: g - тождественное преобразование, либо осевая симметрия. Но осевая симметрия является движением второго рода, поэтому g - тождественное преобразование.
2.Движение имеет только одну неподвижную точку. Выберем ортонормированный репер () так, чтобы точка была неподвижной точкой и запишем аналитическое выражение этого движения. В данном случае формулы (1) имеют вид:
=,
=(1)
Т.к. gне является тождественным преобразованием, то Формулы (1) в точности совпадают с формулами (7), поэтому g - вращение вокруг точки и на угол .
При либопреобразование g- центральная симметрия с центром . Заметим, что если , то g не имеет инвариантных прямых, а в случаелибо - бесконечное множество инвариантных прямых. Инвариантными прямыми будут те и только те прямые, которые проходят через точку .
3.Движение g не имеет неподвижных точек.
Согласно лемме 1 существует хотя бы одна инвариантная прямая Пусть - некоторая точка этой прямой, g(), g(). Точки , лежат на прямой и попарно различны, т.к. g - не имеет неподвижных точек (если предположить, что точки и совпадают, тогда середина отрезка была бы неподвижной точкой, что невозможно).
Выберем ортонормированный репер () так, чтобы . Пусть в этом репере точка имеет координаты (). Т.к. =, то имеет координаты ().
Допустим, что аналитическое выражение движенияg в репере () имеет вид (1). Так как =g(), g(), то =, = 0, ,, поэтому формулы (1) принимают вид:
= , = (2)
Отсюда следует, что g - параллельный перенос на ненулевой вектор().
Действительно, если М- произвольная точка, а - её образ, то из формул (2) получаем =.
Любая прямая, параллельная вектору , является инвариантной прямой параллельного переноса. Других инвариантных прямых нет.
Классификация движений второго рода.
Из формул (2) получаем следующие уравнения для получения координат неподвижных точек второго рода:
(= 0,
= 0.
Определитель этой системы при любом равен нулю, и не все коэффициенты при равны нулю, поэтому любое движение второго рода либо имеет прямую инвариантных точек, либо не имеет ни одной инвариантной точки. Рассмотрим каждый из этих случаев в отдельности.
1.Движение g - имеет прямую инвариантных точек. Пусть h - какой- нибудь луч этой прямой. Так как h = g(h), то по лемме 2 имеем: g - либо тождественное преобразование, либо осевая симметрия. Но тождественное преобразование является движением первого рода, поэтому g - осевая симметрия.
2.Движение g не имеет инвариантных точек. Этот случай аналогичен случаю параллельного переноса.
Выберем ортонормированный репер () так, чтобы точки лежали на инвариантной прямой Пусть g(), g().
Выберем ортонормированный репер () так, чтобы . Если точка имеет координаты (), то имеет координаты (). Предположим, что аналитическое выражение движения g в репере () имеет вид (2).
Из условий получаем:
=, = 0, ,, поэтому формулы (1) принимают вид:
= , = (3)
кажем, чтоg =, где - параллельный перенос на ненулевой вектор(), а - отражение от прямой . В самом деле, преобразование в репере () определяются формулами:
S:= ,
=
=
= ,
Поэтому отображение определяется формулами (3), т.е. совпадает с g. В этом случае движение g- называется скользящей симметрией. Ясно, что скользящая симметрия не имеет инвариантных точек и имеет только одну инвариантную прямую.
Итак, существуют четыре типа движений, которые представим в виде таблицы.
Название движения
Инвариантные точки
Инвариантные прямые
Движения первого рода
1. Поворот на угол
а) поворот на угол
Центр поворота
нет
б)тождественное преобразование ()
Любая точка плоскости
Любая прямая плоскости
в)центральная симметрия ( )
Центр симметрии
Любая прямая, проходящая через центр симметрии
2. Параллельный перенос на вектор
а) Параллельный перенос на вектор
нет
Любая прямая, параллельная вектору
б) тождественное преобразование
Любая точка плоскости
Любая прямая плоскости
Движения второго рода
3. Осевая симметрия
Все точки оси
Ось симметрии и любая прямая, перпендикулярная к ней
4.Скользящая симметрия
нет
Одна прямая
Композиция движений.
Группа движений плоскости и её подгруппы
Можно доказать, что произведение двух движений есть движение. Действительно, пусть - так как они являются преобразованиями плоскости, то также преобразование плоскости. Но каждое из движений сохраняет расстояние, поэтому и сохраняет расстояние, т.к. при последовательном выполнении двух движений расстояния сохраняются. Таким образом, - движение.
Любое движение первого рода сохраняет ориентацию плоскости. Отсюда заключаем, что еслидвижения первого рода, то - движение первого рода. С другой стороны, если движения второго рода, то каждое из них меняет ориентацию плоскости, поэтому - движениепервого рода. Отметим, что еслидвижение первого рода, а движение второго рода, тодвижение второго рода. Эти утверждения дают возможность легко определить, к какому типу относится произведение двух данных движений.
Рассмотрим примеры.
Пример 1.
Доказать, что произведение двух центральных симметрий есть параллельный перенос.
Решение.
Пусть - отражение от точки и. Так как , то Рассмотрим два возможных случая.
1.Точки совпадают. В этом случае, очевидно, тождественное преобразование, т.е. параллельный перенос на вектор .
2.Точки не совпадают. В этом случае, при движении образы точек лежат на прямой и кроме того, точка является серединой отрезка . Поэтому прямая является инвариантной прямой преобразования . На этой прямой нет ни одной неподвижной точки.
Если, например, неподвижная точка, то т.е. совпадает с точкой , что невозможно, т.к. точка не является неподвижной точкой. Итак, которое имеет инвариантную прямую, на которой нет неподвижных точек. Отсюда следует, что - параллельный перенос на ненулевой вектор вектор.
Пример 2.
Выяснить тип преобразования, которое является произведением отражений от двух прямых соответственно.
Решение.
Т.к. движение второго рода, то . Рассмотрим два возможных случая.
1) Прямые параллельны. Очевидно, любая прямая, перпендикулярная прямым , является инвариантной прямой преобразования Таким образом, параллельный перенос на вектор , т.к. только параллельный перенос имеет параллельные инвариантные прямые, но потому что является тождественным преобразованием, .
Прямые пересекаются в точке . Точка является неподвижной точкой движения , поэтому поворот вокруг точки на угол Так как не является тождественным преобразованием, то Если , то инвариантные прямые, поэтому центральная симметрия, а если не перпендикулярна к , то поворот на угол где
Пример 3.
Выяснить тип преобразования, которое является произведением отражения от точки и отображения от прямой
Решение.
Т.к. , а, то т.е. либо осевая симметрия, либо скользящая симметрия.
Если , то осевая симметрия, а если , то скользящая симметрия.
Из четырех типов движения - осевая симметрия играет особую роль, о чем свидетельствует следующая теорема.
Теорема 1.
Любое движение плоскости является либо осевой симметрией, либо представляет собой произведение не более трех осевых симметрий.
Докажем это.
Возьмем некоторый флаг (,) и рассмотрим его образ (,). Возможны два случая.
1.Точки совпадают, т.е. лучи имеют общее начало. В этом случае существует прямая относительно которой лучи симметричны (если лучи , содержащая луч ).
Рассмотрим движение , определяемое формулой гдеотражение от прямой
Т.кто движение является либо тождественным преобразованием , либо осевой симметрией. Из равенства (1) получаем: (2)
Итак, движение - либо осевая симметрия ( ), либо произведение двух осевых симметрий.
2.Точки не совпадают. Пусть - серединный перпендикуляр отрезка . Рассмотрим движение заданное формулой . Движение переводит в некоторый луч , причём и имеют общее начало. Движение либо осевая симметрия, либо произведение двух осевых симметрий. Поэтому следует, что любое движение плоскости является либо осевой симметрией, либо представляет произведение не более трёх осевых симметрий.
3. Обозначим через D множество всех движений плоскости. Из основной теоремы следует, что D - бесконечное множество. В п. 1 показано, что если . Далее, если . Т.о множество является группой преобразований. Эта группа называется группой движений плоскости.
Пусть - некоторая фигура. Те свойства фигуры , которые сохраняются при всех движениях, называются инвариантными свойствами этой фигуры относительно группы , или, короче, инвариантами группы . Так, расстояние между двумя точками - инвариантное свойство фигуры {А, B} относительно группы . Это основной инвариант группы движений. Свойства фигуры быть отрезком, лучом, прямой являются примерами инвариантных свойств фигур относительно группы . Простое отношение трёх точек прямой, мера угла, площадь фигуры также является инвариантами группы .
Рассмотрим важнейшие подгруппы группы и укажем некоторые инварианты этих подгрупп, которые не являются инвариантами группы .
1) Обозначим через множество всех движений первого рода. Любое движение первого рода сохраняет ориентацию плоскости. Отсюда заключаем, что если , то и . Значит - подгруппа группы . Она называется группой движений первого рода. Любое движение первого рода сохраняет ориентацию плоскости, т.е. переводит любой репер в репер той же ориентации. Поэтому ориентация репера - инвариант группы.
Замечание. Множество движений II рода не является группой. Если - движения второго рода, то- движение первого рода, поэтому не принадлежат .
2) Пусть - множество всех движений первого рода, для которых- неподвижная точка.
Очевидно, . Если , то ясно, что (), и . Значит, - подгруппа группы . Эта группа состоит из всех вращений вокруг точки. Она называется группой вращений плоскости вокруг точки . Расстояние от произвольной точки до центра вращения является инвариантом группы .
3) Рассмотрим множество , состоящее из всех параллельных переносов. Очевидно, Пусть - параллельные переносы векторами переносов. Нетрудно видеть, что если = ), то Т.о, - параллельный перенос, на вектор . Далее, т.к. преобразование параллельный перенос, то . Но тогда , т.е. - параллельный перенос на вектор - . Т.о., если то
Этим доказано, что - подгруппа группы ; она называется группой переносов плоскости.
Две фигуры называются равными (или конгруэнтными), если они - эквивалентны, т.е. если существует такое движение Пишут: (или ). Т.к. - эквивалентность фигур является отношением эквивалентности на множестве всех фигур плоскости, то справедливы утверждения:
Для того, чтобы установить равенство двух фигур, не обязательно доказывать существование движения, которое одну фигуру переводит в другую. В ряде случаев удается установить равенство фигур, сравнивая только некоторые их элементы.
Пользуясь основной теоремой нетрудно доказать, что две фигуры равны. В частности, две окружности равны тогда и только тогда, когда их радиусы равны.
6. Применение движений плоскости к решению геометрических задач
1. Примеры решения задач.
Задача № 1.
Докажите, что композиция двух центральных симметрий является параллельным переносом.
Доказательство:
Пусть точка А при центральной симметрии относительно точки О1
Переходит в точку А1; точка А1 переходит в точку А2 при симметрии относительно О2.
Тогда О1 О2 - средняя линия треугольника АА1 А2, Поэтому:
А
Следовательно, композиция двух центральных
Симметрий является параллельным переносом.
О1
А1 О2 А2
Задача № 2.
Докажите, что композиция параллельного переноса и центральной симметрии (в обоих порядках) является центральной симметрией.
Доказательство:
Пусть О2 - образ точки О1 при переносе на вектор ·
Зная, что So2 · So1 = Zа,
умножим это равенство на So1 справа или на So2 слева и, учитывая, что Sx ° Sx - тождественное преобразование, получаем:
So1 = So2 ° Zа и So2 = Zа ° So1.
Задача № 3.
Докажите, что если точку отразить симметрично относительно точек О1, О2 и О3, а затем ещё раз отразить симметрично относительно этих же точек, то она вернётся на место.
Согласно предыдущей задачи:
Поэтому: So3 ° So2 ° So1 ° So3 ° So2 ° So1 = Z2 - тождественное преобразование.
Задача № 4.
На плоскости даны три прямые а, в, с.
Пусть Т = Sa ° Sв ° Sc. Докажите, что Т ° Т - параллельный перенос (или тождественное отображение).
Доказательство:
Представим Т ° Т в виде композиции трёх преобразований:
Т ° Т = (Sа ° Sв ° Sс) ° (Sа ° Sв ° Sс) = (Sа ° Sв) ° (Sс ° Sа) ° (Sв ° Sс).
При этом Sа ° Sв, Sс ° Sа и Sв ° Sс - повороты на углы
соответственно.
Сумма углов поворотов равна:
причём эта величина определена с точностью до 2 · 180° = 360°.
следовательно, эта композиция поворотов является параллельным переносом.
Задача № 5.
Пусть
Докажите, что
Доказательство:
Если точки Х и У симметричны относительно прямой l3, то точки Sl1 (X) и Sl1 (У) симметричны относительно прямой l2, т.е. Sl1 (X) = Sl2 ° Sl1 (У).
Поэтому Sl1 ° Sl3 = Sl2 ° Sl1 и Sl3 = Sl1 ° Sl2 ° Sl1.
Задача № 6.
Вписанная окружность касается сторон треугольника АВС в точках А1, В1, С1; точки А2, В2, С2 симметричны этим точкам относительно биссектрис соответствующих углов треугольника.
Докажите, что А2 В2 ║ АВ и прямые АА2 , ВВ2 и СС2 пересекаются в одной точке.
Доказательство:
Пусть О - центр вписанной окружности; а и в прямые ОА и ОВ. Тогда
Sa ° Sв (S1) = Sa(A1) = A2 и Sв °Sa (С1) = Sв (В1) = В2.
Точки А2 и В2 получаются из точки С1 поворотами с центром О на противоположные углы, поэтому A2 В2 ║ АВ. Аналогично рассуждая показываем, что стороны треугольников АВС и A2В2С2 параллельны, а значит, эти треугольники гомотетичны, переводящей Δ АВС в Δ A2В2С2. Заметим, что при этой гомотетии описанная окружность Δ АВС переходит в его вписанную окружность, то есть центр гомотетии лежит на прямой, соединяющей центры этих окружностей.
Задача № 7.
Доказать, что композиция поворотов вокруг вершин углов треугольника АВС соответственно на углы А, В, С этого треугольника есть центральная симметрия.
Решение:
Для нахождения композиции трёх поворотов, сначала найдём композицию двух поворотов, а затем композицию полученного поворота и поворота вокруг третьей вершины.
Каждый раз, вычисляя композицию двух поворотов, следует выбрать оси симметрии так, чтобы одна из них была общей.
Пусть при вычислении первой композиции Rв ° Rа общей осью будет ось С, тогда Rв = m ° c, Rа = c ° n, Rв ° Rа = m ° c ° c ° n = m ° ° n = m ° n ( - тождественное преобразование). Получаем поворот вокруг точки О - точки пересечение n ° m на угол т.к. оси n и m образуют угол то RВ ° RА = RO.
В
Р сےв n
2 О а
ےa
2
cے
А 2 С
В
s m
q
Вычисляем композицию двух поворотов Rc° Ro, общей осью симметрии служит
прямая р. Композицию m °n заменим композицией р °q, где q - прямая
проходящая через точку О и образующая с р угол равный углу между прямыми
n ° m. Запишем каждый из поворотов через композицию симметрий,
а затем вычислим композицию Rc ° Ro: Rc= в ° р
Ro = р ° q, Rc ° Ro= в ° р ° р ° q = в ° q Угол между прямыми р и q
Равен а между прямыми р и в равен, тогда угол между прямыми
q и в равен , т. е. Rc ° Ro есть поворот на угол
или центральная симметрия.
7. Список рекомендуемых задач
I. Композиция поворотов.
1.Каким одним поворотом на угол а, где - 180° ≤ а ≤ 180° можно заменить два последовательных поворота:
а) на 25° и - 60°; б) на - 35° и 180°; в) на 70° и 20°; г) на 245° и 135°; д) на - 170° и
- 20°?
Запишите результаты в принятых обозначениях.
2. Найдите значение а) R70° · Rа = R30°; б) R70° · R-а = Rа;
в) R70° · Rа = R70°; в) R70° · Rа = Е;
3. а) Композиция каких трёх поворотов на один и тот же угол даёт поворот на 90°
б) Композиция каких двух поворотов на один и тот же угол даёт поворот на 180°?
4. Как с помощью поворотов на 19° получить поворот на 20°?
5. Внутри выпуклого четырёхугольника ABCD построены равнобедренные прямоугольные треугольники ABO1, BCO2, CDO3 и DAO4.
Докажите, что если О1 = О3, то О2 = О4.
6. На сторонах произвольного треугольника АВС вне его построены равнобедренные треугольники А´ ВС, АВ´ С и АВС´ с вершинами А´, В´ и С´ и углами α + β + γ = 2π. Докажите, что углы треугольника А´В´С´ равны α/2, β/2, γ/2.
7. Пусть AKL и AMN - подобные равнобедренные треугольники с вершиной А и углом α при вершине; GNK и G ´LM - подобные равнобедренные треугольники с углом π - α при вершине.
Докажите, что G = G ´. (Треугольники ориентированные).
II. Композиция симметрий.
1. Центральная симметрия.
8. а) Докажите, что композиция двух центральных симметрий является параллельным переносом.
б) Докажите, что композиция параллельного переноса и центральной симметрии (в обоих порядках) является центральной симметрией.
9. Докажите, что если точку отразить симметрично относительно точек О1, О2, и О3, а затем ещё раз отразить симметрично относительно этих же точек, то она вернётся на место.
10. а) Прямые l1 и l2 параллельны. Докажите, что где Та - параллельный перенос, переводящий l1 в l2, причём а ┴l1.
б) прямые l1 и l2 пересекаются в точке О. Докажите, что где Roa - поворот, переводящий l1 и l2.
11. На плоскости даны три прямые а, в, с. Пусть . Докажите, что Т ° Т - параллельный перенос (или тождественное преобразование)
12. Пусть .Докажите, что
13. Докажите, что любое движение плоскости является композицией не более чем трёх симметрий относительно прямых.
14. Докажите, что любое движение второго рода является скользящей симметрией.
Параллельный перенос.
15. В трапеции ABCD стороны ВС и AD параллельны, М - точка пересечения биссектрис углов A и B, N - точка пересечения биссектрис углов C и D. Докажите, что 2MN = |AB + CD - BC - AD|.
16. Из вершины В паралеллограмма ABCD проведены его высоты ВК и ВН. Известно, что КН = а и BD = в. Найдите расстояние от точки В до точки пересечения высот треугольника ВКН.
8. РАЗРАБОТКИ ЗАНЯТИЙ
Занятие I, II
Тема: Движение плоскости.
Композиция движений.
Цели: 1) познакомить с движениями плоскости, как произведением преобразований плоскости;
2) ввести необходимые обозначения;
3) расширить кругозор учащихся, прививать интерес к математике как науке.
Ход занятия.
-
Оргмомент.
II. Вступительное слово учителя.
- Сегодня мы начинаем с вами изучать новый раздел, связанный с преобразованием плоскости. Называется он - «Движения плоскости. Разложение движений в произведение осевых симметрий».
Преобразования плоскости - движения и подобия - во многих случаях позволяют экономно и изящно решать геометрические задачи. Однако овладеть методом геометрических преобразований нелегко: не любая задача может быть решена этим методом и нужен определённый опыт, чтобы выбрать подходящий вид преобразования.
При решении различных задач на доказательство, построение и вычисление широко применяются движения: осевая симметрия, параллельный перенос, поворот вокруг точки. Вспомним, что движение - это преобразование плоскости, при котором расстояние между образами двух любых точек равно расстоянию между этими точками.
При движении точки, лежащие на одной прямой, переходят в точки, лежащие на одной прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения. Отсюда следует, что движение переводит прямую в прямую, луч в луч, отрезок в отрезок. Угол при движении переходит в равный ему угол, сонаправленные лучи - в сонаправленные лучи.
В дальнейшем мы будем пользоваться следующими обозначениями движений:
Sk - осевая симметрия с осью k;
Т- параллельный перенос на вектор ;
RaO- поворот вокруг точки О на угол α;
Е - тождественное преобразование (при котором все точки плоскости переходят в себя).
1. Осевая симметрия.
Осевой симметрией называется такое преобразование плоскости, при котором любая точка некоторой прямой k, переходит в себя, а точка А, не принадлежащая k, переходит в такую точку А´, что отрезок А А´ перпендикулярен прямой k называется осью симметрии.
При осевой симметрии расстояния между любыми двумя точками сохраняются, т. е. осевая симметрия есть движение. Отметим её важнейшие особенности.
C
А В
k
А´ В´
С´
Пусть АВС - произвольный треугольник и А´ В´ С´ - симметричный ему треугольник относительно прямой k. На рисунке треугольник АВС ориентирован положительно (обход его вершин в порядке А,В,С, происходит против часовой стрелки), а треугольник А´, В´, С´ ориентирован отрицательно (обход его вершин А´ В´ С´ происходит по часовой стрелке). Треугольники АВС и А´ В´ С´ равны, но ориентированы противоположно. Осевая симметрия меняет ориентацию любого треугольника на противоположную. Если выполнить две симметрии относительно одной оси последовательно, то каждая точка плоскости вернётся в исходное положение, т.е. композиция двух осевых симметрий с одной осью есть тождественное преобразование.
Рассмотрим применение осевой симметрии к решению задач.
Пример 1. Даны прямая k и две точки А и В по одну сторону от неё. Найти на прямой k точку С, делящую прямую k на два луча CM и CN так, чтобы
Решение.
Построим точку В´, симметричную точке В относительно прямой k.
A●●B
k
MC N
В´
В таком случае для любой точки прямой k (эти углы симметричны прямой k). Углы B/CN и АСМ равны тогда и только тогда, когда точки А, B/, С лежат на одной прямой (в силу теоремы о вертикальных углах). Значит искомая точка С есть точка пересечения отрезка А B/ и прямой k.
Итак, заменив одну из точек симметричной ей относительно данной прямой, мы упростили ситуацию, что и позволило быстро найти решение задачи.
2. Параллельный перенос.
выполним последовательно две симметрии относительно параллельных прямых k и m. Пусть при симметрии с осью k произвольная точка А плоскости переходит в точку А/, а при симметрии с осью m точка А/ переходит в точку А//. Точки А, А/ и А// располагаются на одной прямой, перпендикулярной осям. Обозначим через L и М точки пересечения прямой АА// с прямыми k и m.
k m
A L A´ M A´´
B B´ B´´
C C´ C´´
с осью m точка А´ переходит в точку А´´. Точки А, А´ и А´´ располагаются на одной прямой, перпендикулярной осям. Обозначенным через L и M точки пересечения прямой АА´´ с прямыми k и m.
В силу свойства осевой симметрии имеем:
Следовательно,
Итак, В результате мы получили преобразование плоскости, называемое параллельным переносом.
Параллельный перенос на вектор - это преобразование плоскости при котором произвольная точка А переходит в такую точку А´, что
Таким образом, композиция двух осевых симметрий с параллельными осями k и m есть параллельный перенос на удвоенный вектор .
Обратно, всякий параллельный перенос можно представить в виде композиций двух осевых симметрий с параллельными осями, перпендикулярными направлению переноса. Отсюда следует, что параллельный перенос есть движение, не меняющее ориентацию треугольников.
Тождественное преобразование можно считать переносом на нулевой вектор. Параллельный перенос на нулевой вектор не имеет неподвижных точек.
При параллельном переносе каждый луч переходит в сонаправленный с ним луч.
Если при параллельном переносе точки А и В переходят в точки А´ и В´ и эти четыре точки не лежат на одной прямой, то АВВ´А´ - параллелограмм. Это свойство используется при решении задач.
Метод параллельного переноса часто применяется для решения задач на построение четырёхугольников. При этом обычно переносят один или несколько отрезков так, чтобы получился треугольник, с которого можно начать построение. Аналогично поступают при решении задач на доказательство и вычисление: с помощью параллельного переноса образуют новую фигуру, содержащую достаточное количество известных элементов.
Покажем это на следующем примере.
Пример 2. Основания трапеции равны 4 см и 9 см, а диагонали равны 5 см и 12 см. Найти площадь трапеции и угол между её диагоналями.
Решение:
Пусть ABCD - данная трапеция, CD = 4 см, АВ = 9 см, ВD = 5 см и АС = 12 см. Чтобы известные элементы включить в один треугольник, перенесём диагональ ВD на вектор в положение СВ´. Рассмотрим треугольник АСВ´. Так как ВВ´ - параллелограмм, то В´С = ВD =5см, АВ´ = АВ + ВВ´ = АВ + CD = 13 см. стороны треугольника АВ´С, значит можно найти его высоту, а затем и площадь трапеции.
D C
A B B1
Если же заметить, что площадь трапеции как раз и равна площади треугольника АВ´С (треугольника ВВ´С и АCD равновелики), то решение задачи можно ещё упростить.
Так как 52 + 122 = 132, то треугольник АВ´С прямоугольный.
Найдём его площадь: ּּ
Итак, площадь трапеции равна 30 см2. Угол между диагоналями трапеции равен углу АСВ´, значит диагонали - перпендикулярны.
Аналогично решается задача на построение трапеции по основаниям и диагоналями: сначала строится вспомогательный треугольник, две стороны которого равны диагоналям, а третья - сумме оснований.
Заметим, что для вычисления площади трапеции и угла между диагоналями условие задачи можно было бы ослабить: вместо оснований трапеции задать только их сумму.
3. Центральная симметрия.
Симметрия с центром О - это преобразование плоскости, при котором точка О неподвижна, а любая другая точка А переходит в такую точку А´, что О - середина отрезка АА´. Преобразование, обратное центральной симметрии, есть та же центральная симметрия.
Центральная симметрия переводит прямую, проходящую через центр, в себя; прямую, не проходящую через центр, в параллельную ей прямую; каждый луч в противоположно направленный с ним луч. Если при центральной симметрии точки А и В переходят в точки А´ и В´ и центр О не лежит на прямой АВ, то АВА´В´ - параллелограмм.
А´
В
С
В´
А
Центральная симметрия, как и параллельный перенос, обычно применяется с целью более удобно расположить данные и искомые элементы фигуры и таким образом найти связь между ними.
Пример 3.
Доказать, что медиана треугольника меньше полусуммы заключающих её сторон.
Решение: Пусть СМ - медиана треугольника АВС. Построим точку D, симметричную С относительно точки М. Так как М - середина отрезка АВ, то отрезок АD симметричен отрезку ВС. Мы получили треугольник АСD, в котором СD = 2СМ, АD = ВС. Следовательно, 2СМ < АС + ВС, или mс < , где mс = СМ, а ВС, b = AC.
C
А М
В
D
С помощью такого же приёма решается задача на построение треугольника АВС по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей стороне, и некоторые другие задачи, в которых речь идёт о медиане треугольника.
Заметим, что АСВD - параллелограмм, поэтому указанный приём часто называют достраиванием треугольника до параллелограмма.
Центральная симметрия обычно помогает решить задачу, когда фигура или часть фигуры имеет центр симметрии.
4. Поворот.
Поворот вокруг точки О на угол α в заданном направлении - это преобразование плоскости, при котором точка О остаётся неподвижной, а любая другая точка А переходит в такую точку А´, что ОА´ = ОА и угол АОА´, отсчитываемый от луча ОА в заданном направлении равен α.
Поворот на 360° возвращает все точки в исходное положение, поэтому
и углы поворота можно задавать с точностью до 360°. В дальнейшем будем считать, что 0° ≤ α < 360° и поворот всегда осуществляется в направлении против часовой стрелки. Композиция двух осевых симметрий с осями, непересекающимися в точке О, есть поворот вокруг точки О на удвоенный угол между осями.
А´ k
m L
М
А
А´´ О
Если Sk (A) = А´ и Sm (А´) = А´´, то ОА´´ = ОА´ = ОА и (точки L и М принадлежат осям k и m).Обратно, всякий поворот вокруг точки можно представить в виде композиции двух осевых симметрий, оси которых пересекаются в центре поворота. Следовательно, поворот есть движение, не меняющее ориентацию треугольников.
Чтобы построить образ прямой при повороте вокруг точки О на угол α (0°< α < 180°), можно поступить так: провести к прямой k перпендикуляр ОР, повернуть точку Р на угол α и через полученную точку Р´ провести k´, перпендикулярную ОР´. Легко убедиться, что угол между прямой k и её образом k´ равен α или 180° - α. Угол же между лучом и его образом всегда равен углу поворота.
k´
Р´ Р
α
k
О
Центральная симметрия есть поворот вокруг точки на 180°.
Поворот обычно применяется при решении задач, когда данной или искомой фигурой является правильный многоугольник. Иногда с помощью поворота удаётся доказать равенство отрезков, найти величину угла между прямыми.
Пример 4. На сторонах АС и ВС произвольного треугольника АВС вне него построены квадраты АСА1А2 и ВСВ1В2. Доказать, что отрезки АВ1 и А1В равны и перпендикулярны.
А1
В1
А2 О • С • Р
В2
А М В
Решение: Применим поворот вокруг точки С на 90°. Треугольники А1СА и ВСВ1 равнобедренные прямоугольные, поэтому при таком повороте А1 перейдёт в точку А, точка В - в точку В1, отрезок А1В - в отрезок АВ1. Значит, эти отрезки равны и угол между ними равен углу поворота, т.е. 90°.
Примечание. Используя полученный результат, нетрудно доказать, что центры О и Р квадратов и середины М и М1 отрезков АВ и А1В1 являются вершинами нового квадрата.
5. Композиция движений.
Композиция двух преобразований есть преобразование, которое получится, если сначала выполнить первое преобразование, а потом второе. Композиция преобразований f и g обозначается так: g ° ƒ, при этом сначала выполняется преобразование f, а затем g. Такой порядок записи оправдывается тем, что согласно определению.
(g ° ƒ)(А) = g(ƒ(А)).
Композиция любых преобразований обладает рядом свойств, похожих на свойства умножения чисел. Композиция преобразований ассоциативна: для любых преобразований f, g, h выполняется равенство h ° (g ° ƒ) = (h °g) ° ƒ.
Тождественное преобразование в композиции играет ту же роль, какую единица играет при умножении чисел: для любого преобразования f имеют место равенства ƒ ° Е = Е ° ƒ = ƒ.
Отметим, что не всегда g ° ƒ = ƒ ° g, в чём легко убедиться на конкретном примере (рассмотрите композицию двух центральных симметрий ZB ° ZA относительно различных центров А и В).
Пусть F - движение плоскости, которое три точки А, В, С не лежащие на одной прямой, переводит соответственно в точки А´, В´, С´. Тогда АВС и А´В´С´ - равные треугольники, но они могут быть ориентированы по-разному. Возможны два случая: 1) треугольник АВС и его образ А´В´С´ ориентированы одинаково;
2) эти треугольники ориентированы противоположно.
Движение плоскости, сохраняющее ориентацию треугольников, называют движением первого рода. Движение, изменяющее ориентацию треугольников на противоположную, называют движением второго рода. Параллельные переносы и повороты - движения первого рода. Примером движения второго рода может служить осевая симметрия.
Известно, что всякое движение плоскости можно представить в виде композиции не более трёх осевых симметрий. Композиция двух осевых симметрий не меняет ориентацию треугольников и является движением первого рода. Осевая симметрия и композиция трёх осевых симметрий - это движение второго рода.
На основании того, что сказано в предыдущих параграфах о композициях двух осевых симметрий, приходим к следующему выводу.
Теорема 1. Всякое движение первого рода есть либо поворот, либо параллельный перенос, либо тождественное преобразование.
Впрочем, тождественное преобразование можно рассматривать как перенос на нулевой вектор или как поворот . Движения первого рода можно различать по числу неподвижных точек: при параллельном переносе на нулевой вектор все точки меняют своё положение, т.е. неподвижных точек нет; при нулевом повороте имеется только одна неподвижная точка - центр поворота. Тождественное преобразование оставляет все точки плоскости неподвижными.
Композиция движений первого рода сохраняет ориентацию треугольников и, следовательно, также является движением первого рода. Например композиция двух поворотов и с общим центром О есть поворот (тождественное преобразование, если α + β = 360°).
Рассмотрим композицию двух поворотов с различными центрами.
Теорема 2. Композиция двух поворотов, где 0°< α < 360° и 0°< β < 360 °, есть поворот вокруг некоторой точки на угол α + β, если α + β ≠ 360 ° и параллельный перенос на нулевой вектор, если α + β =360 °.
Доказательство. Представим каждый поворот в виде композиции двух осевых симметрий: ,
где m - прямая АВ,
получим:
A B m A B
m
c c
n
n l m A B l l n
a) б) в)
Здесь мы воспользовались свойством ассоциативности и тем, что Sm °Sm= E.
Итак,
Если α + β < 360°, то прямые l и n пересекаются в некоторой точке С (см. рисунок а)). Получим отрицательно ориентированный треугольник АВС, в котором
и по свойству внешнего угла треугольника Следовательно, композиция симметрий. Sn ° Sl есть поворот вокруг точки С на угол α + β, т.е.
Если α + β > 360°, то прямые l и n тоже пересекаются, но по другую сторону от прямой АВ (см. рисунок б)). Получим положительно ориентированный треугольник АВС, причём Следовательно, и в этом случае
Если же α + β = 360°, то прямые l и n параллельны и композиция симметрий есть параллельный перенос на удвоенное расстояние между осями l и n (см. рисунок в)).
Из приведённого доказательства вытекает простой способ построения центра результирующего поворота. Кроме того, получаем важное следствие: композиция поворотов есть тождественное преобразование тогда и только тогда, когда центры поворотов совпадают и α + β = 360 °.
Что касается композиции трёх поворотов, то она может быть тождественным преобразованием и в том случае, когда центры поворотов различны. Если -величины внутренних углов отрицательно ориентированного треугольника АВС, то
Верно и обратное предложение.
Теорема 3. Если композиция трёх поворотов относительно различных центров есть тождественное преобразование и α + β + γ = 360°, то АВС - отрицательно ориентированный треугольник, углы которого равны:
Доказательство. В силу теоремы о двух поворотах, учитывая, что α + β = 360°, имеем , где D - вершина отрицательно ориентированного треугольника ABD, углы которого равны: .Согласно условиям теоремы и α + β + γ = 360 °, что возможно тогда и только тогда, когда центры поворотов C и D совпадают. Значит, АВС - отрицательно ориентированный треугольник, углы которого соответственно равны .
Поскольку значения углов поворота α, β, γ заключены между 0° и 360°, то композиция может быть тождественным преобразованием ещё при
α + β + γ =720°. Но при решении задач этот случай легко сводится к предыдущему: если центры поворотов взять в обратном порядке, то где α´ = 360° - α, β´= 360°- β, γ´= 360°- γ, и следовательно, α´+ β´+ γ´= 360°.
Применим свойства композиции поворотов к решению задач.
Пример 5. На сторонах АС и ВС произвольного треугольника АВС вне его построены квадраты с центром О и Р. Точка М - середина стороны АВ. Найти углы треугольника МОР.
Решение. Для определённости, как и во всех последующих задачах, будем считать, что исходный треугольник АВС ориентирован положительно. Композиция переводит точку А в точку С, точку С в В, затем точку В снова в А, т.е. F(A) = A. Сумма углов поворота равна 360°. Значит, F - параллельный перенос с неподвижной точкой, т.е. тождественное преобразование.
О С
Р
А М В
Согласно теореме 3 углы треугольника ОРМ равны соответственно 45°, 45°, 90°.
Занятие III.
Тема: Решение задач по теме «Движения плоскости».
Цель: 1) Научить применять полученные знания на практике;
2) развивать мышление;
3)совершенствовать навыки построения фигур и выполнять их преобразования.
Ход занятия.
-
Оргмомент.
II. Повторение.
1. Осевая симметрия.
-
Центральная симметрия.
-
Поворот.
4. Параллельный перенос.
(Ребята рассказывают, что запомнили из предыдущего занятия).
III. Решение задач.
№ 1. Даны три точки А, В, С и три точки А´, В´, С´, такие, что |АВ| = |А´В´|, |АС| = |А´С´| и |ВС| = |В´С´|. Существует ли перемещение, являющееся композицией осевых симметрий при котором А → А´ (прямая а - ось этой симметрии).
Пусть Sa (B) = Bl, Sa (C) = Cl. Может случиться, что Bl = В´ и Cl = С´, тогда симметрия относительно прямой а отобразит А→ А´, В→ В´, С→ С´. Если Bl ≠ В´, то рассмотрим симметрию относительно прямой b, при которой Bl → В´.
В В2 В´ в
аВ1 С´
А А´
А2 А1
С С2
С´
С
Так как | А´ В´| = | А´Bl|, то прямая, b содержит точку А´: Sb(А´) = А´; Sb(Bl) = В´ и Sb(Sl) = C2. Если С2 = С´, то перемещение, являющееся композицией указанных осевых симметрий, отобразит точки А, В, С соответственно на точки А´, В´, С´.
Если С2 ≠ С´, то рассмотрим симметрию относительно прямой С, при которой С2→ С´. Так как | А´ С2 | = | А´ С´| и | В´ С2| = | В´ С´|, то прямая С содержит точки А´ и В´. Таким образом, перемещение, являющееся композицией трёх осевых симметрий с осями a, b, c, отобразит точки А, В, С соответственно на точки А´, В´, С´, т.е. Sc ° Sb ° Sa (A) = А´, Sc ° Sb ° Sa (B) = B´ Sc ° Sb ° Sa (C) = C´. [ 14 ]
№ 2. Точки Olи О2 являются (соответственно) серединами сторон АВ и ВС треугольника АВС.
-
Постройте образы точки А при выполнении отображений
а) Zol ° Zo2;
б) Zo2 ° Zol.
A2B B(Al)
Ol ● Ol ●
AA
O2 C(Al) O2 C
A2
а) Zol ° Zo2 б)Zo2 ° Zol
Zo2 - центральная Zol - центральная симметрия около центра Ol. A→B, AOl = Ol, Zo2 - центральная симметрия около центра О2. А→С.
-
Докажите, что: а) б)
а) достроим треугольник АВС до параллелограмма и примем АВ за диагональ. Вторая диагональ А2 С. По свойствам параллелограмма СВ = АА2 и СВ|| АА2.
А2 В
О1
А О1 С(Аl)
Если на этих отрезках построить векторы, то выполняются следующие условия:
По определению будет параллельный перенос на вектор, т.е. [A2B] является образом отрезка [AC], каждая точка последнего перемещается на вектор.
б).
В(А1)
О1
А О2 С
А2
Достроим треугольник АВС до параллелограмма АВСА2. По свойству параллелограмма и. По определению параллельного переноса образом данной точки является точка, полученная перемещением её на вектор, который задан и обозначается Тр. [A2 C] образ [AB] при параллельном переносе ТВС. [15]
№ 3. Докажите, что скользящую симметрию можно представить композицией центральной симметрии и осевой симметрии, ось которой не содержит центр симметрии.
Решение. . Заменим параллельный перенос композицией двух осевых симметрий с осями l2 и l3, тогда скользящую симметрию с осью l1 можно представить, как композицию осевых симметрий , но - центральная симметрия относительно точки О - пересечения прямых l1 и l2, тогда
, причём 0 € l3.
M l3
О l1
М´ М1
Если скользящая симметрия представлена композицией центральной симметрии с центром О и осевой симметрией с осью l, то осью скользящей симметрии служит прямая, содержащая данную точку О и перпендикулярная данной прямой l. Расстояние переноса равно |OO1|, где O1 = Sl(O).
IV. Итог занятия.
V. Домашнее задание: повторить свойства движений плоскости.
Занятие IV.
Тема: Решение задач с использованием поворотов, симметрий, параллельного переноса.
Цели: 1) научить решать задачи;
2) развивать логическое мышление;
3) прививать любознательность, интерес к предмету.
Ход урока.
I. Оргмомент.
II. Повторение.
-
Перечислите виды симметрий.
-
В чём их отличие?
-
Какие ещё виды движений вам известны?
-
Дайте определение скользящей симметрии.
-
Назовите её неподвижные точки и прямые.
III. Решение задач.
№ 1. Докажите, что композиция трёх симметрий, оси которых определяют треугольник, не есть осевая симметрия.
Решение. Пусть a, b, c - оси заданных симметрий. Строим точку А1 = Sa(A). Композиция симметрий δ = Sc°Sb°Sa точку А1 отображает на точку А.
С A1
a
A B
C
Если δ есть осевая симметрия, то её ось совпадает с прямой а, значит, точки прямой а - неподвижные точки δ, в частности
δ (В) = В. Но Sc °Sb°Sa (B) = Sc° Sb (B) ≠ B, т.к. композиция симметрии Sc° Sbотображает на себя лишь точку А, которая не совпадает с В. Итак δ не есть осевая симметрия.
№ 2. Докажите, что композиция двух поворотов , где
0° ≤ α ≤ 360°, 0° ≤ β ≤ 360°, есть поворот (или Rc(α + β = 360°), если α + β ≠ 360°, или же перенос, если α + β = 360°). [17]
Прежде чем перейдём к анализу задачи № 2, познакомимся с некоторыми новыми сведениями по теме «Движение плоскости». Напомню, что преобразование плоскости, сохраняющее расстояния, называется движением (или перемещением). Наиболее простой пример - тождественное преобразование плоскости, т.е. преобразование, при котором каждая точка плоскости переходит в себя.
Упорядоченную тройку точек А, В, С плоскости, не лежащих на одной прямой называют репером и обозначают так: R = (A, B, C). Точки А, В, и С называют вершинами репера, причём А называется началом репера. Репер называется аффинным, если треугольник АВС произвольный. Репер называется ортонормированным, если угол А прямой, а АВ = АС = l. В любом движении репер переходит в репер, ортонормированный репер - в ортонормированный репер.
Существует два вида движений.
Будем говорить, что реперы R = (A, B, C) и R´ = (O´, A´, B´) одинаково ориентированы, если векторы одинаково ориентированы, (и наоборот). Говорят, что преобразование точек плоскости сохраняет ориентацию плоскости (меняет) если любой репер и его образ одинаково (противоположно) ориентированы.
Теорема: Любое движение либо сохраняет, либо меняет ориентацию плоскости.
Доказательство: Пусть g - произвольное движение, R0 - некоторый ортонормированный репер, а R0´ - его образ, который тоже является ортонормированным репером. Возьмём произвольный репер R = (O, A, B) и рассмотрим его образ R´= (O´, A´, B´).
По основной теореме (Пусть R = (A, B, C) и R´= (A´, B´, C´) - произвольный ортонормированный репер плоскости z. Тогда существует одно и только одно движение, которое репер R переводит в репер R´. При этом движении любая точка М с данными координатами в репере R переходит в точку М´ с теми же координатами в репере R´. Имеем точки О, А, В в репере R0 имеют те же координаты, что и соответствующие точки О´, А´, В´, в репере R0´. Следовательно, векторы в репере R0 имеют те же координаты, что и соответственно векторы в репере R0´. Поэтому R0 | R = R0´|R´ или R|R0 = R´|R0´.
R|R´ = (R|R0) (R0|R´) = (R´|R0´) (R0|R´) = (R0|R´) (R´|R0´) = R0|R0´ следовательно, если R0|R0´ > 0, то R| R´ > 0, т.е. произвольный репер R и его образ R´ ориентированы одинаково.
Если R0| R0´ < 0, то R|R´ > 0, т.е. R и R´ориентированы противоположно.
A w B
c C
Решение.
Существует теорема, что композиция двух симметрий есть поворот. Рассматриваем поворот как композицию двух осевых симметрий, оси которых проходят через центр поворота и образуют угол, равный половине угла поворота. Запишем тогда .
При α + β < 360° углы треугольника АВС таковы и треугольник ориентирован отрицательно, если α + β > 360°, то
∆- ∆-и ∆ АВС ориентирован положительно.
№ 3. Докажите, что композиция параллельного переноса и центральной симметрии (в обоих порядках) является центральной симметрией.
X X´
Y´´
O1 O
Y Y´
Y´
a
Дано: [XY] → [X´Y´] So Ta
Доказать: О1 - центральная симметрия
Доказательство. Соединим Yи Y´´; X c X´´. XX´´∩YY´´= O1. Докажем, что О1- центр симметрии. Рассмотрим треугольник X´´O1Y´´. Угол X O1Y как вертикальные. X Y= X´´ Y´´ по свойству движения (при движении расстояние между точками сохраняется).
Выполним перенос отрезка X Y на вектор [X Y] → [X´Y´]. Соединим точки X´ с X´´ и Y´ с Y´´. [X´X´´]∩[Y´Y´´] = 0. Рассмотрим треугольники X´Y´O и X´´Y´´O, они равны по свойству симметрии. Следовательно, соответствующие углы и соответствующие стороны равны:
X´O = OX´´, Y´O = OY´´, X´Y´ = X´´Y´´. . Эти углы являются внутренними накрестлежащими при (X´Y´) и (X´´Y´´) и секущей X´Y´´. Следовательно, (X´Y´)|| (X´´Y´´). Следовательно, XY || X´´Y´´ (т.к. X´Y´ || XY совмещается Та) (как внутренние накрестлежащие углы).
Треугольник XO1Y равен треугольнику X´´O1Y´´, следовательно, O1X = O1X´´ и O1Y = O1X´´, следовательно, O1- середина XX´´ и середина YY´´. Таким образом O1 - центр симметрии. [13]
IV. Итог урока.
V. Домашнее задание: повторить свойства движения.
Занятие V.
Тема: Решение задач на геометрические преобразования на плоскости.
Цель: 1) научить решать задачи;
2) развивать мыщление;
3) уделять внимание развитию математической речи учащихся;
4) совершенствовать графические навыки.
Ход занятия.
I. Оргмомент.
II. Решение задач с подробным обсуждением.
№ 18. 33. Докажите, что композиция двух поворотов на углы в сумме не кратные 360°, является поворотом. В какой точке находится его центр и чему равен угол поворота? Исследуйте также случай, когда сумма углов поворотов кратна 360°.
М´
•
• • •
М0
Решение. Пусть D(M0) множество всех движений I рода, для которых М0 неподвижная точка, т.е. D(M0) множество всех поворотов вокруг точки M0. Рассмотрим произвольную композицию g ° f, где f, g принадлежат D(M0). α1 угол поворота для преобразования f, α2 - для g, причём α1 + α2 =2nπ + m, где 2 π не делит m, а m € Z. В частности, данную композицию можно представить как композицию некоторых поворотов, где α1 = 2nπ, α2 = m.
Преобразование f является тождественным, т.к. при а = 2πn точка М перейдёт в саму себя. Отсюда следует: f = Е (Е - тождественное преобразование). Тогда композицию можно записать следующим образом: g ° Е = g. Значит указанная композиция поворотов является поворотом при соблюдении условия, что сумма не кратна 360°. А для случая, когда кратна 360° М переходит в себя. [13]
№ 18. 34. На сторонах произвольного выпуклого четырёхугольника внешним образом построены квадраты. Докажите, что отрезки, соединяющие центры противоположных квадратов, равны по длине и перпендикулярны.
Решение в конструктивной форме: синтетическое доказательство.
W3
V3
M
A B
Q R
V1 V
K S
W1 T L
W
D N C
V2 W2
Рассмотрим произвольный квадрат ABCD и произвольным образом проведём перпендикуляры MN и KS к противоположным сторонам. Точки M, N, K, S - неподвижные точки некоторых множеств поворотов. Относительно этих поворотов рассмотрим вращающиеся прямые. Каковы бы ни были в сумме углы поворотов (кратны 360° или не кратны 360°) в любом случае это будут повороты. При вращении прямые вращающиеся будут пересекаться. Очевидно, что точки вращения определят некоторый четырёхугольник, (таких многоугольников может быть много). Внутри выбранного нами квадрата зафиксируем некоторое «устойчивое» положение пересечения вращающихся прямых. (Чтобы обозначить четырёхугольник QRLT). Лучи .
Мы вправе потребовать, не нарушая общности доказательства, чтобы угол поворота был равен 90°. На продолжении лучей [LS) и [RS), (аналогично и для других) построим отрезки, длина которых равна соответственно отрезкам [LS] и [RS]. Отрезки [LV] и [WR] определяют некоторый квадрат в силу указанных выше свойств. Данный квадрат, как и другие аналогичные ему, будет удовлетворять требованиям задачи, а именно квадраты построены на сторонах некоторого четырёхугольника и их центры соединены равными отрезками MN и KS, которые взаимно перпендикулярны.
№18. 35. (Для самостоятельного решения в классе по аналогии с 18. 34). На сторонах параллелограмма внешним образом построены квадраты. Докажите, что их центры образуют квадрат.
А1 В1
Р О3 R
A2
A
O1 В
D2
O2 B2
D C
О4
S Q C 2
D1 C1
Решение: В предыдущей задаче уже было доказано, что центры этих квадратов лежат на некотором квадрате. Находим точки пересечения О1, О2, О3, О4 диагоналей квадратов. Через точки О2 и О4 и точки О1 и О3 проводим параллельные прямые. Получаем квадрат PRQS.
Занятие VI.
Контрольная работа.
Задача 1. докажите, что .
М´´ l3
M´´
L2
β
O l1
M
Решение: Справедливость утверждения следует из определения поворота, а также из представления поворота в виде двух осевых симметрий. Пусть , где угол , где угол . Тогда .
Задача 2. Докажите, что композиция двух центральных симметрий является параллельным переносом.
Доказать: XY → X´Y´, X´Y´→ X´´Y´´, , т.е. XY= X´´Y´´; XX´´ = YY´´.
Х´´
Х
Y´
YY´
X´
Доказательство: Покажем, что существует вектор YY´, Который переводит Y в Y´. Тогда посредством композиции двух центральных симметрий мы можем получить отображение прямой в прямую, отрезка в отрезок (т.к. отрезок часть прямой). Т. к. для каждой точки существует вектор, который переводит его при отображении в другую точку. Покажем теперь, что эти векторы, которые переводят точки прямой в точки прямой параллельной данной данной и отрезки в равные отрезки.
Рассмотрим треугольник Y Y´Y´´: О О1 - средняя линия ОО1 || YY´´ и О О1 = 0,5 Y Y´´. В треугольнике X X´X´´: О О1 || X X´´ и О О1 = 0,5 X X´´. Следовательно, X X´´ = Y Y´´ и X X´´ || YY´´.Т.к. для двух любых точек выполняется равенство указанных векторов, то оно выполняется для всех точек данного отрезка или прямой. Отсюда, заключение: для любой фигуры на плоскости, которая представляет собой комбинацию точек, отрезков, прямых это утверждение справедливо, Комбинация двух центральных симметрий является параллельным переносом.
Задача 3. Прямые l1 и l2 параллельны. Докажите, что , где Та - параллельный перенос переводящий l1 в l2, причём а ┴ l1.
Дано: l1 || l2, а ┴l1.
Доказать: .
В1
l1
l2
А l´
а
l´´ В
Доказательство: При симметрии относительно l2l1 → l´;
: l1 || l´ и |АВ| = 2|а| : l´ относительно l1 переходит в l´´ (l´→ l´´) l´ || l´´. |АВ1| = 2|а| в силу свойств симметрии, т.е. l1 отобразилась в l´´ посредством параллельного переноса на вектор 2а.
10. Список литературы
-
Атанасян Л.С. Геометрия 7 - 9 кл. - М., Просвещение, 1991. С-335.
-
Базылев В.Т., Атанасян Л.С. Геометрия. - М., Просвещение, 1986. С -336.
-
Бахман Ф. Построение геометрии на основе понятия симметрии.- Просвещение, 1994. С-220.
-
Березин В.Н., Березина Л.Ю. Сборник задач для факультативных и внеклассных занятий по математике. - М., Просвещение, 1990. С -175.
-
Березина Л.Ю. Геометрия в 7 - 9 классах. - М., Просвещение, 1990. С -141.
-
Гамезо М.В. Возрастная и педагогическая психология. - М., Просвещение, 1976. С -360.
-
Готман Э.Г. Задачи по планиметрии и методы их решения.- М., Просвещение, 1996. С -340.
-
Гусев В.А., Маслова Г.Г., Скопец З.А.., Черкасов Р.С. Сборник задач по геометрии 7 -9. -М., Просвещение, 1979, С -221.
-
Епишева О. Приложение к газете «1 сентября» - «математика». № 4/97 «Обучение и развитие учеников в процессе преподавания математики». С -1,16.
-
Земляков А.Н. Геометрия в 11 классе. - М., Просвещение, 1991. С -255.
-
Земляков А.Н., Березина Л.Ю. Методическое пособие для учителя. Геометрия 10 кл. - М., -М., Просвещение, 1991. С -208.
-
Колмогоров А.Н. Геометрия 8. -М., Просвещение, 1980. С -110.
-
Крутецкий В.А. Психология обучения и воспитания школьников. - М., Просвещение, 1976. С -303.
-
Лоповок Л.М. Факультативные занятия по геометрии для 7 -11 классов. Киев, 1990. С -96.
-
Погорелов А.В. Геометрия 7 -11 кл. - М., Просвещение, 1996. С -383.
-
Прасолов В.В. Задачи по планиметрии II часть. - М., Просвещение, 1991. С -240.
-
Саранцев Г.И. Сборник задач на геометрические преобразования. - М., Просвещение, 1984. С -110.
-
Тарасов В. «Математика» -№ 40/97 «Факультативная работа в 7 классе». С -2 - 4.
-
Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике - решение задач. - М., Просвещение, 1995. С -384.
Элективный курс по математике
ШКОЛЬНИКУ О КОМПОЗИЦИИ ДВИЖЕНИЙ ПЛОСКОСТИ
Подписано в печать 10.08.2010г.
Формат 60х841/16.
Гарнитура «Times New Roman».
Бумага офсетная.
Компьютерный набор и верстка.
Усл. п.л.
Заказ № .
Тираж 20 экз.
Цена договорная.
Отпечатано с оригинал макета в ООО «Мечта»,
309530, г. Старый Оскол,……