• Преподавателю
  • Математика
  • Занятие по математике (2 курс) Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений

Занятие по математике (2 курс) Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений

Раздел Математика
Класс -
Тип Конспекты
Автор
Дата
Формат doc
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений.

Преподаватель математики Елена Геннадьевна Шерстнева

ЗАНЯТИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ (2 КУРС)

Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений.

Вид занятия: Применение знаний, умений и навыков полученных при изучении дифференциальных уравнений.

Цели занятия:

Учебные: показать алгоритм решения задач на составление дифференциальных уравнений, познакомить с математическими моделями в физике, биологии, экономике. Учащиеся должны понимать сущность приложения математики к решению технических задач, которая заключается в том, что задачу переводят на язык математики, решают ее, как принято в математике, и интерпретируют на языке исходных данных.

Воспитательные. Формировать научное мировоззрение. Продолжить знакомить учащихся с понятием математического моделирования, рассказать о том, что одними и теми же дифференциальными уравнениями можно описывать совершенно разные реальные процессы, например электротехнические, механические и другие, т.е. дифференциальные уравнения как математические модели обладают большой общностью и в этом их важное философское и познавательное значение.

Межпредметные связи. Рассматриваемые на занятии математические модели в физике, биологии, экономике помогут увидеть силу межпредметных связей, важную роль математики, дающей мощный аппарат для решения многих задач, которые выдвигаются и успешно решаются в различных областях науки и практики.

Мотивация познавательной деятельности учащихся. Показать практическую значимость изучаемого материала, его широкое применение в общетехнических и специальных дисциплинах. Многие производственные процессы описываются дифференциальными уравнениями. Поэтому важно не только уметь решать сами дифференциальные уравнения, но и уметь составлять эти уравнения исходя из практической потребности.

Основные знания и умения: иметь понятие о решении несложных задач на составление дифференциальных уравнений по физике, электротехнике, экономике.

Обеспечение занятия:

Раздаточный материал: Опорный конспект с планом занятия и набором задач для решения.

Технические средства обучения: использование фрагментов из компьютерной программы обучения «Функции и графики», компьютерная презентация конструкторской задачи.

Литература: 1. Валуцэ И.И. Математика для техникумов

2. Соловейчик И.Л. Сборник задач по математике для техникумов

3. Баврин И.И. Начала анализа и математические модели в естествознании и

экономике.

4. Филимонова Е.В. Математика (среднее профессиональное образование).


Вопросы и упражнения для выполнения на занятии


  1. Какое уравнение называется дифференциальным?

  2. Назовите виды дифференциальных уравнений.

  3. Решите уравнение: dx = (1+x)dy. Найти уравнение интегральной кривой, проходящей через точку (1; 4). Задача Коши.

  4. Скорость размножения некоторых бактерий пропорциональна их количеству М в рассматриваемый момент времени t. Найти зависимость количества бактерий от времени. Начальные условия М Занятие по математике (2 курс) Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений при t =0

  5. Скорость распада радия пропорциональна его начальному количеству R в данный момент времени t. Найти закон радиоактивного распада. Начальные условия R = R0 при t =0.

  6. Скорость изменения количества населения прямо пропорциональна этому количеству А на данный период времени. Построить математическую модель прироста (убыли) населения. Начальные условия А = А при t =0.

  7. Решить уравнение: ху'+ у = хЗанятие по математике (2 курс) Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений (х ≠ 0).

  8. Инженерно-конструкторская задача. Найти форму автомобильной фары так, чтобы все лучи от зеркала фары шли цилиндрическим световым пучком.

  9. Задача «Истощение ресурсов» В 1980 году для обеспечения пищей одного человека требовалась площадь 0,1 га и на земном шаре было 4000 млн га пахотной земли. Предположим, что с 1980 г эти условия по настоящее время не изменились и не изменятся в будущем, а также не появились и не появятся новые источники пищи. Тогда население Земли должно быть ограничено количеством 40 000 млн человек. Когда будет достигнут этот предел насыщения, если в 1980 году оно составляло 3600 млн человек и непрерывно растет со скоростью 1,7 % в год.

  10. Дополнительные задачи: Скорость прямолинейного движения точки выражается формулой V = 3 + 4 t . Найдите уравнение движения точки, если S = 10 м при t =1 c

  11. Подумайте, какая функция может являться решением уравнения: у'' = - k2 у (уравнение гармонических колебаний). Вторая производная функции равна самой функции с точностью до постоянного множителя.

  12. Запишите домашнее задание №10, 107 учебник И.И. Валуцэ стр.351

«Скорость обесценивания оборудования вследствие его износа в данный момент времени пропорциональна его фактической стоимости ……»

  1. Подведение итогов урока

Информация.

Математическая модель, основанная на некотором упрощении, никогда не бывает тождественна рассматриваемому объекту, не передает всех его свойств и особенностей, а является его приближенным отражением. Однако, благодаря замене реального объекта соответствующей ему моделью появляется возможность математически сформулировать задачу его изучения и воспользоваться для анализа его свойств математическим аппаратом, который не зависит от конкретной природы данного объекта. Этот аппарат позволяет единообразно описать широкий круг фактов и наблюдений, провести их детальный количественный анализ, предсказать, как поведет себя объект в различных условиях, т.е. прогнозировать результаты будущих наблюдений.

В 1917 году Эйнштейн сделал первую попытку применить общую теорию относительности для описания пространственно временной структуры Вселенной. А основные уравнения теории относительности - это дифференциальные уравнения, имеющие множество решений. Отсюда множество моделей Вселенной.

Дифференциальные уравнения показательного роста (убывания).

Дифференциальные уравнения имеют большое прикладное значение, являясь мощным орудием исследования задач естествознания и техники, они широко используются в механике, астрономии, физике, во многих задачах химии, биологии. Это объясняется тем, что весьма часто объективные законы, которым подчиняются те или иные явления (процессы), записываются в форме дифференциальных уравнений, а сами эти уравнения являются средством для количественного выражения этих законов. Например, законы механики Ньютона позволяют механическую задачу описания движения системы материальных точек или твердого тела свести к математической задаче нахождения решений дифференциальных уравнений. Расчет радиотехнических схем и вычисление траектории спутников, исследование устойчивости самолета в полете и выяснение течения химических реакций - все это производится путем изучения и решения дифференциальных уравнений.

Мы будем рассматривать дифференциальное уравнение вида:

f'(x) = k f(x)

где k - const , причем k может быть: k > 0 или k < 0.

Зная формулу производной показательной функции, легко догадаться, что решением этого уравнения, является любая функция вида:

f(x) = C e kx,

где C- const.

т.к. C - произвольная постоянная, то уравнение имеет бесконечно много решений.

Смысл дифференциального уравнения заключается в том, что скорость изменения функции в точке x пропорциональна значению самой функции в этой точке.

Приведем примеры, в которых величины изменяются по указанному закону.

Если r' (t) скорость радиоактивного распада в момент времени t, то скорость уменьшения массы пропорциональна его количеству.

r'(t) = - k x(t)

Значит, решением уравнения, является функция r'(t) = С e-kt. Найдем из условия, что в начальный момент времени масса радиоактивного вещества была равна:

r(0) = rо ,

r(0) = С*e-k*0 ,

где r (0) = С. Отсюда r(t) = ro · e-kt

Промежуток времени T, через который масса радиоактивного вещества уменьшится в 2 раза называют "периодом полураспада", зная Т, можно найти k:

Занятие по математике (2 курс) Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравненийЗанятие по математике (2 курс) Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений

Занятие по математике (2 курс) Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений

Занятие по математике (2 курс) Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений

Логарифмируя по основанию е, получаем -k T = - ln 2 ,

Занятие по математике (2 курс) Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений

Например, для радия период полураспада Занятие по математике (2 курс) Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений . Поэтому, Занятие по математике (2 курс) Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений , следовательно, через 1 млн. лет от начальной массы ro останется.

Занятие по математике (2 курс) Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений

Задача: Скорость размножения бактерий m'(t) связана с массой m(t) бактерий в момент времени t уравнением:

m' (t) = km(t),

где k > 0, зависящее от вида бактерий и внешних условий.

Решениями этого уравнения являются функции m(t) = C · e kt.

Постоянную C можно найти из условия, что в момент t = 0 масса mo бактерий известна, тогда

m(t) = mo · e kt.

Задача. Два тела имеют одинаковую температуру - 1000. Они вынесены на воздух, его температура 00. Через 10 мин. температура одного тела стала 800, а второго - 640. Через сколько минут после начала остывания разность их температур будет равна 250.

Дано:

To = 1000

T1 = 00

t = 10 мин.

T1 = 800

T2 =640

T1(t2) - T2(t2) = 250

Найти: t2

Решение:

Имеем уравнение: T'(t) = -k (To - T1) … (1)

T1 - температура окружающей среды To - T1 = C · e-kt

Рассмотрим функцию: f(t) = To(t) - T1.

Из уравнения … (1) имеем f'(t) = -k*f(t),

f(t) = C · e-kt, при t = 0 f(0) = C · e-kt = C

1000 = C

Значит, 800= 1000 · e-10k, e-10k = 0,8

-10k = ln 0,8, Занятие по математике (2 курс) Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений

k = 0,022

2) 640 = 1000 · 1000 · e-10k, тогда e-10k = 0,64, следовательно -10 k = ln 0,64, Занятие по математике (2 курс) Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений

Следовательно Занятие по математике (2 курс) Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений

T2(t) = 100 e-0,045,

T1(t) - T2(t) = 25

Ответ: t = 31,06 мин.

Задача. Задача о гармонических колебаниях.

В практике часто встречаются процессы, которые периодически повторяются например, колебательные движения маятника, струны, пружины, процессы связанные с переменным электрическим током, магнитным полем и т.д. Решение многих таких задач сводится к решению дифференциальных уравнений

y '' = - k 2y

где k - заданное положительное число

Решением является функция вида y= c1 sin kx + c2 cos kx

Инженерно-конструкторская задача. Найти форму автомобильной фары так, чтобы все лучи от зеркала фары шли цилиндрическим световым пучком. (Демонстрация презентации).

1. Занятие по математике (2 курс) Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений

2. Занятие по математике (2 курс) Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений

3. Занятие по математике (2 курс) Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений

4. Занятие по математике (2 курс) Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений

5. Занятие по математике (2 курс) Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений

Решаем квадратное уравнение относительно y':

Занятие по математике (2 курс) Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений

Занятие по математике (2 курс) Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений следовательно Занятие по математике (2 курс) Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений Занятие по математике (2 курс) Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений

Решим это уравнение, взяв +Занятие по математике (2 курс) Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений Занятие по математике (2 курс) Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений Занятие по математике (2 курс) Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений, заменяем Занятие по математике (2 курс) Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений на Занятие по математике (2 курс) Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений получаем

Занятие по математике (2 курс) Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравненийЗанятие по математике (2 курс) Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений ,умножаем обе части на dx, отсюда Занятие по математике (2 курс) Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений Занятие по математике (2 курс) Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений это однородное уравнение.

Сделаем замену y= z x и продифференцируем ее по x, получим dy=x dz + z dx, подставляем Занятие по математике (2 курс) Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений

Обе части делим на x получаем Занятие по математике (2 курс) Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений , раскрываем скобки и приводим подобные Занятие по математике (2 курс) Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений , разделяем переменные Занятие по математике (2 курс) Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений , интегрируем Занятие по математике (2 курс) Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений , решением будет функция Занятие по математике (2 курс) Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений далее Занятие по математике (2 курс) Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений , т.к Занятие по математике (2 курс) Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений , то Занятие по математике (2 курс) Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений раскрываем скобки Занятие по математике (2 курс) Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений в итоге получаем Занятие по математике (2 курс) Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений - это каноническое уравнение параболы с вершиной (Занятие по математике (2 курс) Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений; 0) и фокусом в точке (0;0).


Задача «Истощение ресурсов» В 1980 году для обеспечения пищей одного человека требовалась площадь 0,1 га и на земном шаре было 4000 млн га пахотной земли. Предположим, что с 1980 г эти условия по настоящее время не изменились и не изменятся в будущем, а так же не появились и не появятся новые источники пищи. Тогда население Земли должно быть ограничено количеством 40 000 млн человек. Когда будет достигнут этот предел насыщения, если в 1980 году оно составляло 3600 млн человек и непрерывно растет со скоростью 1,7 % в год.

Решение. А = А0 e кt

А0 = 3,6 · 109, А = 40 · 109, k = 0,017

40 · 109 = 3,6 · 109 · e 0,017t , t = (2 ln 10/3) /0,017 ≈ 142 г.

Ответ: В 2122 году наступит предел насыщения

Беседа о бережном отношении к природе и ее богатствам.






ХРОНОМЕТРАЖ ОТКРЫТОГО ЗАНЯТИЯ


Вопросы и упражнения для выполнения на занятии


  1. Какое уравнение называется дифференциальным?

  2. Назовите виды дифференциальных уравнений.

3 мин

  1. Решите уравнение: dx = (1+x) dy. Найти уравнение интегральной кривой, проходящей через точку (1; 4). Задача Коши.

7 мин

  1. Скорость размножения некоторых бактерий пропорциональна их количеству М в рассматриваемый момент времени t. Найти зависимость количества бактерий от времени. Начальные условия М =МЗанятие по математике (2 курс) Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений при t =0

  2. Скорость распада радия пропорциональна его начальному количеству R в данный момент времени t. Найти закон радиоактивного распада. Начальные условия R = R0 при t =0.

  3. Скорость изменения количества населения прямо пропорциональна этому количеству А на данный период времени. Построить математическую модель прироста (убыли) населения. Начальные условия А = АЗанятие по математике (2 курс) Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений при t =0.

15 мин

  1. Решить уравнение: ху'+ у = хЗанятие по математике (2 курс) Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений (х ≠ 0 ).

10 мин

  1. Инженерно-конструкторская задача. Найти форму автомобильной фары так, чтобы все лучи от зеркала фары шли цилиндрическим световым пучком.

25 мин

  1. Задача «Истощение ресурсов» В 1980 году для обеспечения пищей одного человека требовалась площадь 0,1 га и на земном шаре было 4000 млн га пахотной земли. Предположим, что с 1980 г эти условия по настоящее время не изменились и не изменятся в будущем, а так же не появились и не появятся новые источники пищи. Тогда население Земли должно быть ограничено количеством 40 000 млн человек. Когда будет достигнут этот предел насыщения, если в 1980 году оно составляло 3600 млн человек и непрерывно растет со скоростью 1,7 % в год.

15 мин

  1. Дополнительные задачи: Скорость прямолинейного движения точки выражается формулой V = 3 + 4 t . Найдите уравнение движения точки, если S = 10 м при t =1 c

  2. Подумайте, какая функция может являться решением уравнения: у'' = - k2 у (уравнение гармонических колебаний). Вторая производная функции равна самой функции с точностью до постоянного множителя.

Резервное время 10 мин

  1. Запишите домашнее задание №10, 107 учебник И.И. Валуцэ стр.351

«Скорость обесценивания оборудования вследствие его износа в данный момент времени пропорциональна его фактической стоимости ……»

  1. Подведение итогов урока 5 мин

7

© 2010-2020