- Преподавателю
- Математика
- Занятие по математике (2 курс) Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений
Занятие по математике (2 курс) Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Конспекты |
Автор | Шерстнева Е.Г. |
Дата | 11.11.2015 |
Формат | doc |
Изображения | Есть |
Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений.
Преподаватель математики Елена Геннадьевна Шерстнева
ЗАНЯТИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ (2 КУРС)
Решение задач прикладного характера на составление дифференциальных уравнений.
Вид занятия: Применение знаний, умений и навыков полученных при изучении дифференциальных уравнений.
Цели занятия:
Учебные: показать алгоритм решения задач на составление дифференциальных уравнений, познакомить с математическими моделями в физике, биологии, экономике. Учащиеся должны понимать сущность приложения математики к решению технических задач, которая заключается в том, что задачу переводят на язык математики, решают ее, как принято в математике, и интерпретируют на языке исходных данных.
Воспитательные. Формировать научное мировоззрение. Продолжить знакомить учащихся с понятием математического моделирования, рассказать о том, что одними и теми же дифференциальными уравнениями можно описывать совершенно разные реальные процессы, например электротехнические, механические и другие, т.е. дифференциальные уравнения как математические модели обладают большой общностью и в этом их важное философское и познавательное значение.
Межпредметные связи. Рассматриваемые на занятии математические модели в физике, биологии, экономике помогут увидеть силу межпредметных связей, важную роль математики, дающей мощный аппарат для решения многих задач, которые выдвигаются и успешно решаются в различных областях науки и практики.
Мотивация познавательной деятельности учащихся. Показать практическую значимость изучаемого материала, его широкое применение в общетехнических и специальных дисциплинах. Многие производственные процессы описываются дифференциальными уравнениями. Поэтому важно не только уметь решать сами дифференциальные уравнения, но и уметь составлять эти уравнения исходя из практической потребности.
Основные знания и умения: иметь понятие о решении несложных задач на составление дифференциальных уравнений по физике, электротехнике, экономике.
Обеспечение занятия:
Раздаточный материал: Опорный конспект с планом занятия и набором задач для решения.
Технические средства обучения: использование фрагментов из компьютерной программы обучения «Функции и графики», компьютерная презентация конструкторской задачи.
Литература: 1. Валуцэ И.И. Математика для техникумов
2. Соловейчик И.Л. Сборник задач по математике для техникумов
3. Баврин И.И. Начала анализа и математические модели в естествознании и
экономике.
4. Филимонова Е.В. Математика (среднее профессиональное образование).
Вопросы и упражнения для выполнения на занятии
-
Какое уравнение называется дифференциальным?
-
Назовите виды дифференциальных уравнений.
-
Решите уравнение: 2уdx = (1+x)dy. Найти уравнение интегральной кривой, проходящей через точку (1; 4). Задача Коши.
-
Скорость размножения некоторых бактерий пропорциональна их количеству М в рассматриваемый момент времени t. Найти зависимость количества бактерий от времени. Начальные условия М =М при t =0
-
Скорость распада радия пропорциональна его начальному количеству R в данный момент времени t. Найти закон радиоактивного распада. Начальные условия R = R0 при t =0.
-
Скорость изменения количества населения прямо пропорциональна этому количеству А на данный период времени. Построить математическую модель прироста (убыли) населения. Начальные условия А = А при t =0.
-
Решить уравнение: ху'+ у = х (х ≠ 0).
-
Инженерно-конструкторская задача. Найти форму автомобильной фары так, чтобы все лучи от зеркала фары шли цилиндрическим световым пучком.
-
Задача «Истощение ресурсов» В 1980 году для обеспечения пищей одного человека требовалась площадь 0,1 га и на земном шаре было 4000 млн га пахотной земли. Предположим, что с 1980 г эти условия по настоящее время не изменились и не изменятся в будущем, а также не появились и не появятся новые источники пищи. Тогда население Земли должно быть ограничено количеством 40 000 млн человек. Когда будет достигнут этот предел насыщения, если в 1980 году оно составляло 3600 млн человек и непрерывно растет со скоростью 1,7 % в год.
-
Дополнительные задачи: Скорость прямолинейного движения точки выражается формулой V = 3 + 4 t . Найдите уравнение движения точки, если S = 10 м при t =1 c
-
Подумайте, какая функция может являться решением уравнения: у'' = - k2 у (уравнение гармонических колебаний). Вторая производная функции равна самой функции с точностью до постоянного множителя.
-
Запишите домашнее задание №10, 107 учебник И.И. Валуцэ стр.351
«Скорость обесценивания оборудования вследствие его износа в данный момент времени пропорциональна его фактической стоимости ……»
-
Подведение итогов урока
Информация.
Математическая модель, основанная на некотором упрощении, никогда не бывает тождественна рассматриваемому объекту, не передает всех его свойств и особенностей, а является его приближенным отражением. Однако, благодаря замене реального объекта соответствующей ему моделью появляется возможность математически сформулировать задачу его изучения и воспользоваться для анализа его свойств математическим аппаратом, который не зависит от конкретной природы данного объекта. Этот аппарат позволяет единообразно описать широкий круг фактов и наблюдений, провести их детальный количественный анализ, предсказать, как поведет себя объект в различных условиях, т.е. прогнозировать результаты будущих наблюдений.
В 1917 году Эйнштейн сделал первую попытку применить общую теорию относительности для описания пространственно временной структуры Вселенной. А основные уравнения теории относительности - это дифференциальные уравнения, имеющие множество решений. Отсюда множество моделей Вселенной.
Дифференциальные уравнения показательного роста (убывания).
Дифференциальные уравнения имеют большое прикладное значение, являясь мощным орудием исследования задач естествознания и техники, они широко используются в механике, астрономии, физике, во многих задачах химии, биологии. Это объясняется тем, что весьма часто объективные законы, которым подчиняются те или иные явления (процессы), записываются в форме дифференциальных уравнений, а сами эти уравнения являются средством для количественного выражения этих законов. Например, законы механики Ньютона позволяют механическую задачу описания движения системы материальных точек или твердого тела свести к математической задаче нахождения решений дифференциальных уравнений. Расчет радиотехнических схем и вычисление траектории спутников, исследование устойчивости самолета в полете и выяснение течения химических реакций - все это производится путем изучения и решения дифференциальных уравнений.
Мы будем рассматривать дифференциальное уравнение вида:
f'(x) = k f(x)
где k - const , причем k может быть: k > 0 или k < 0.
Зная формулу производной показательной функции, легко догадаться, что решением этого уравнения, является любая функция вида:
f(x) = C e kx,
где C- const.
т.к. C - произвольная постоянная, то уравнение имеет бесконечно много решений.
Смысл дифференциального уравнения заключается в том, что скорость изменения функции в точке x пропорциональна значению самой функции в этой точке.
Приведем примеры, в которых величины изменяются по указанному закону.
Если r' (t) скорость радиоактивного распада в момент времени t, то скорость уменьшения массы пропорциональна его количеству.
r'(t) = - k x(t)
Значит, решением уравнения, является функция r'(t) = С e-kt. Найдем из условия, что в начальный момент времени масса радиоактивного вещества была равна:
r(0) = rо ,
r(0) = С*e-k*0 ,
где r (0) = С. Отсюда r(t) = ro · e-kt
Промежуток времени T, через который масса радиоактивного вещества уменьшится в 2 раза называют "периодом полураспада", зная Т, можно найти k:
Логарифмируя по основанию е, получаем -k T = - ln 2 ,
Например, для радия период полураспада . Поэтому, , следовательно, через 1 млн. лет от начальной массы ro останется.
Задача: Скорость размножения бактерий m'(t) связана с массой m(t) бактерий в момент времени t уравнением:
m' (t) = km(t),
где k > 0, зависящее от вида бактерий и внешних условий.
Решениями этого уравнения являются функции m(t) = C · e kt.
Постоянную C можно найти из условия, что в момент t = 0 масса mo бактерий известна, тогда
m(t) = mo · e kt.
Задача. Два тела имеют одинаковую температуру - 1000. Они вынесены на воздух, его температура 00. Через 10 мин. температура одного тела стала 800, а второго - 640. Через сколько минут после начала остывания разность их температур будет равна 250.
Дано:
To = 1000
T1 = 00
t = 10 мин.
T1 = 800
T2 =640
T1(t2) - T2(t2) = 250
Найти: t2
Решение:
Имеем уравнение: T'(t) = -k (To - T1) … (1)
T1 - температура окружающей среды To - T1 = C · e-kt
Рассмотрим функцию: f(t) = To(t) - T1.
Из уравнения … (1) имеем f'(t) = -k*f(t),
f(t) = C · e-kt, при t = 0 f(0) = C · e-kt = C
1000 = C
Значит, 800= 1000 · e-10k, e-10k = 0,8
-10k = ln 0,8,
k = 0,022
2) 640 = 1000 · 1000 · e-10k, тогда e-10k = 0,64, следовательно -10 k = ln 0,64,
Следовательно
T2(t) = 100 e-0,045,
T1(t) - T2(t) = 25
Ответ: t = 31,06 мин.
Задача. Задача о гармонических колебаниях.
В практике часто встречаются процессы, которые периодически повторяются например, колебательные движения маятника, струны, пружины, процессы связанные с переменным электрическим током, магнитным полем и т.д. Решение многих таких задач сводится к решению дифференциальных уравнений
y '' = - k 2y
где k - заданное положительное число
Решением является функция вида y= c1 sin kx + c2 cos kx
Инженерно-конструкторская задача. Найти форму автомобильной фары так, чтобы все лучи от зеркала фары шли цилиндрическим световым пучком. (Демонстрация презентации).
1.
2.
3.
4.
5.
Решаем квадратное уравнение относительно y':
следовательно
Решим это уравнение, взяв + , заменяем на получаем
,умножаем обе части на dx, отсюда это однородное уравнение.
Сделаем замену y= z x и продифференцируем ее по x, получим dy=x dz + z dx, подставляем
Обе части делим на x получаем , раскрываем скобки и приводим подобные , разделяем переменные , интегрируем , решением будет функция далее , т.к , то раскрываем скобки в итоге получаем - это каноническое уравнение параболы с вершиной (; 0) и фокусом в точке (0;0).
Задача «Истощение ресурсов» В 1980 году для обеспечения пищей одного человека требовалась площадь 0,1 га и на земном шаре было 4000 млн га пахотной земли. Предположим, что с 1980 г эти условия по настоящее время не изменились и не изменятся в будущем, а так же не появились и не появятся новые источники пищи. Тогда население Земли должно быть ограничено количеством 40 000 млн человек. Когда будет достигнут этот предел насыщения, если в 1980 году оно составляло 3600 млн человек и непрерывно растет со скоростью 1,7 % в год.
Решение. А = А0 e кt
А0 = 3,6 · 109, А = 40 · 109, k = 0,017
40 · 109 = 3,6 · 109 · e 0,017t , t = (2 ln 10/3) /0,017 ≈ 142 г.
Ответ: В 2122 году наступит предел насыщения
Беседа о бережном отношении к природе и ее богатствам.
ХРОНОМЕТРАЖ ОТКРЫТОГО ЗАНЯТИЯ
Вопросы и упражнения для выполнения на занятии
-
Какое уравнение называется дифференциальным?
-
Назовите виды дифференциальных уравнений.
3 мин
-
Решите уравнение: 2у dx = (1+x) dy. Найти уравнение интегральной кривой, проходящей через точку (1; 4). Задача Коши.
7 мин
-
Скорость размножения некоторых бактерий пропорциональна их количеству М в рассматриваемый момент времени t. Найти зависимость количества бактерий от времени. Начальные условия М =М при t =0
-
Скорость распада радия пропорциональна его начальному количеству R в данный момент времени t. Найти закон радиоактивного распада. Начальные условия R = R0 при t =0.
-
Скорость изменения количества населения прямо пропорциональна этому количеству А на данный период времени. Построить математическую модель прироста (убыли) населения. Начальные условия А = А при t =0.
15 мин
-
Решить уравнение: ху'+ у = х (х ≠ 0 ).
10 мин
-
Инженерно-конструкторская задача. Найти форму автомобильной фары так, чтобы все лучи от зеркала фары шли цилиндрическим световым пучком.
25 мин
-
Задача «Истощение ресурсов» В 1980 году для обеспечения пищей одного человека требовалась площадь 0,1 га и на земном шаре было 4000 млн га пахотной земли. Предположим, что с 1980 г эти условия по настоящее время не изменились и не изменятся в будущем, а так же не появились и не появятся новые источники пищи. Тогда население Земли должно быть ограничено количеством 40 000 млн человек. Когда будет достигнут этот предел насыщения, если в 1980 году оно составляло 3600 млн человек и непрерывно растет со скоростью 1,7 % в год.
15 мин
-
Дополнительные задачи: Скорость прямолинейного движения точки выражается формулой V = 3 + 4 t . Найдите уравнение движения точки, если S = 10 м при t =1 c
-
Подумайте, какая функция может являться решением уравнения: у'' = - k2 у (уравнение гармонических колебаний). Вторая производная функции равна самой функции с точностью до постоянного множителя.
Резервное время 10 мин
-
Запишите домашнее задание №10, 107 учебник И.И. Валуцэ стр.351
«Скорость обесценивания оборудования вследствие его износа в данный момент времени пропорциональна его фактической стоимости ……»
-
Подведение итогов урока 5 мин
7