- Преподавателю
- Математика
- Решение различных уравнений с параметрами
Решение различных уравнений с параметрами
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Конспекты |
Автор | Шошина О.М. |
Дата | 06.02.2015 |
Формат | doc |
Изображения | Есть |
Оглавление
стр.
Введение…………………………………………………………….2
-
Основные определения…………………………………….3
-
Решение уравнений
-
2.1 Линейные уравнения и уравнения
-
приводимые к линейным.........................................................5
-
2.2. Квадратные уравнения и уравнения
приводимые к квадратным………………………………….11
-
2.3. Иррациональные уравнения………….……………….23
-
2.4. Показательные и логарифмические
-
уравнения……………………………………………………...27
-
2.5. Тригонометрические уравнения…………….………..32
Заключение…………………………………………….…………...36
Литература…………………………………………………………37
Введение.
Задачам с параметром в программах по математике для неспециализированных школ отводится незначительное место. Может быть, обучать этому массового школьника вряд ли целесообразно, но сильных учащихся знакомить с такими примерами необходимо, ведь задачи с параметрами дают прекрасный материал для развития математической культуры, для настоящей исследовательской работы.
Перед началом учебного года на методическом объединении учителей математики нашего района проводится анкетирование и одним из вопросов является такой: «Какую тему, какой раздел школьного курса математики Вы хотели бы услышать на заседании методического объединения?». Подавляющее большинство учителей хотели бы услышать о задачах с параметрами. Это действительно один из труднейших разделов школьного курса математики. Здесь, кроме использования определенных алгоритмов решения уравнений или неравенств, приходится обдумывать, по какому признаку нужно разбить множество значений параметра на подмножества, следить за тем, чтобы не пропустить какие-либо тонкости. Здесь проверяется не «натасканность» ученика, а подлинное понимание им материала. При этом в части «с» ЕГЭ зачастую включает задания с параметрами, вызывающие определенные сложности, с повышенными требованиями к математической подготовке абитуриентов, уравнения и неравенства с параметрами часто включают в варианты письменных работ. На мой взгляд, чтобы «встреча» с параметром у учащегося произошла впервые не на выпускных или вступительных экзаменах, надо проводить линию параметров в школьном курсе математики параллельно соответствующим разделам. Она может быть где-то слегка намечена, где-то прорисована более явно, где-то углублена в зависимости от состояния класса, от методических взглядов учителя.
Знакомить учащихся с параметром я начинаю с 7-го класса. Первой ступенькой являются «Уравнения первой степени с одним неизвестным». В 8-м классе - «Линейные уравнения и неравенства с параметром, содержащие модуль».
В школьном курсе математики, квадратичная функция, будучи центральной, формирует обширный класс задач с параметрами, разнообразных по форме и содержанию, но объединенных общей идеей - в основе их решения лежат свойства квадратичной функции. Поэтому следующей ступенькой являются «Уравнения с параметрами не выше второй степени». А затем задачи с параметрами, сводящиеся к квадратным уравнениям».
Интерес к этим темам объясняется тем, что уравнения с параметром предлагаются на школьных экзаменах за курс основной средней школы. Поэтому более близкое знакомство с параметром, чем это принято в обычной школе, становится не только желательным, но и необходимым.
В своей работе я хочу показать некоторые методы решения различных уравнения с параметрами.
1. Основные определения.
Рассмотрим уравнение , где - переменные величины.
Любая система значений переменных , , … , , при которой и левая и правая части этого уравнения принимают действительные значения, называется системой допустимых значений переменных . Пусть - множество всех допустимых значений , - множество всех допустимых значений , и т.д., - множество всех допустимых значений , т.е. , , …, . Если из каждого из множеств , …, выбрать и зафиксировать по одному значению и подставить их в исходное уравнение, то получим уравнение относительно , т.е. уравнение с одним неизвестным.
Решение его зависит от выбранной нами системы значений и будет иметь определенное числовое значение при каждом таком выборе, следовательно, решение исходного уравнения относительно является функцией от . Если обозначить это решение через , то получим . Переменные , которые при решении исходного уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само исходное уравнение уравнением, содержащим параметры.
В дальнейшем параметры будут обозначаться буквами латинского алфавита: а неизвестные буквами .
Решить исходное уравнение - значит, указать, при каких значениях параметра существуют решения, и каковы они. В процессе решения уравнений существенную роль играют теоремы о равносильности.
Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными если:
а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;
б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.
2. Решение уравнений.
2.1. Линейные уравнения и уравнения приводимые к линейным.
Уравнения вида ax=b, где a,b R называется линейным относительно неизвестного .
Возможны три случая:
-
а≠0, b - любое действительное число. Уравнение имеет единственное решение х=.
-
а=0, b=0. Уравнение принимает вид: 0*х=0, решениями являются все хR.
-
а=0, b≠0. Уравнение 0·х= b решений не имеет.
Ответ: х = при а≠0, b R;
хR при а=0, b=0;
Ǿ при а=0, b≠0.
Основа правильного решения задач с параметрами состоит в грамотном разбиении области изменения параметра, к этому надо пручать путем подробного описания хода решения.
1. Решить уравнение .
Решение: ,
,
Коэффициент при х равен а. Возникают два возможных случая:
-
Коэффициент при х равен нулю уравнение примет вид 0· х=а-8,
то полученное уравнение не имеет корней.
если , то корней нет;
-
Коэффициент при х неравен нулю, и мы имеем право разделить обе части уравнения на этот коэффициент
а≠0
ах =а-8
х=
если , то уравнение имеет единственный корень .
Ответ: при , - единственное решение;
при корней нет.
Замечание: важно зафиксировать внимание учащихся на случае, когда коэффициент при х равен нулю, и рассматривать этот случай всегда первым, чтобы помочь учащимся избежать наиболее распространенной ошибки, когда этот случай теряют.
2.Решить уравнение
Решение: . Получили линейное уравнение. Прежде, чем делить обе части уравнения на , надо рассмотреть те значения а, при которых обращается в нуль.
1). Решения уравнения 0 ·х=0 - все действительные числа.
2). Уравнение 0 ·х=4 решений не имеет.
3). Уравнение имеет единственное решение
х=
Ответ: х= при ;
при ;
Ǿ при а=2
3. Решить уравнение .
Решение: ,
, при или ,
при , значит, уравнение имеет бесчисленное множество корней (- любое);
при , значит, корней нет;
при , ,
,
- единственный корень.
Ответ: при , - любое;
при , корней нет;
при , , - единственное решение.
Но задания на уравнения с параметрами могут звучать по-другому, например:
4. При каких значениях параметра а уравнение имеет:
1) один корень;
2) ни одного корня;
3) бесконечно много корней.
Решение: ,
при или ,
при , значит, корней нет;
при , значит, уравнение имеет бесчисленное множество корней, - любое;
при , ,
,
- единственный корень.
Ответ: уравнение имеет один корень
при и ;
уравнение не имеет корней при ;
уравнение имеет бесконечно много корней при .
Теперь рассмотрим уравнения приводимые к линейным.
5. Решить уравнение .
Решение: ,
, , ,
; ; или ;
значит, при , уравнение не имеет смысла, следовательно, не имеет корней;
если , , то ,
,
,
,
,
если , то , т.е. уравнение не имеет решений (корней нет),
если , то - единственный корень.
Этот корень будет только тогда, когда существует уравнение, то есть, надо проверить при каких и , при этих значениях уравнение тоже не будет иметь корней.
, ,
, ,
; ,
;
следовательно, при , уравнение не имеет корней.
Ответ: при , , уравнение не имеет корней;
при , , уравнение имеет единственный корень .
Уравнения могут содержать два параметра.
6. Решить уравнение
Решение: ,
,
если , , то ,
0=0, значит, - любое, кроме 0;
если и , то есть , ,
то ,
,
- единственное решение;
если , то корней нет.
Ответ: при корней нет;
при , уравнение имеет единственное решение ;
при , , то - любое, кроме 0.
Уравнения с параметрами могут содержать модули
7. Решить уравнение
Решение:
1) 2)
если , то есть , если , то есть ,
уравнение корней не имеет; уравнение корней не имеет;
если то если , то
,
+ - + + - +
0 1 -1 0
при при уравнение имеет
уравнение имеет один один корень
корень ;
Ответ: при , , уравнение имеет один корень ;
при уравнение имеет два корня , ;
при , уравнение корней не имеет.
Задачи для самостоятельной работы:
Локоть стр8,12.
2.2. Квадратные уравнения и уравнения, приводимые к квадратным.
Уравнения с параметром не выше второй степени являются самыми распространенными в практике итоговых и конкурсных заданий. Их общий вид определяется многочленом с параметром и не выше второй степени.
Контрольные значения параметра определяются уравнением и уравнением D=0. На выделенных контрольными значениями промежутках допустимых значений параметра дискриминант D имеет определенный знак. Тогда решение всякого уравнения с параметром не выше второй степени осуществляется по следующим этапам:
-
На числовой прямой отмечаются все контрольные значения параметра, для которых соответствующие частные уравнения не определены.
-
На области допустимых значений параметра исходное уравнение при помощи равносильных преобразований приводятся к виду .
-
Выделяется множество контрольных значений параметра, для которых . Если уравнение имеет конечное множество решений, то для каждого найденного контрольного значения параметра существующее частное уравнение решается отдельно. Проводится классификация частных уравнений. На бесконечном множестве решений уравнения проводится решение уравнения , выделяются типы и ø особых частных уравнений. Множеству соответствует тип не особых частных уравнений.
-
Выделяются контрольные значения параметра, для которых обращается в нуль. Соответствующие не особые частные уравнения имеют двукратный корень
-
Найденные контрольные значения параметра разбивают область допустимых значений параметра на промежутки. На каждом из промежутков определяется знак D. Множеству соответствует тип не особых частных уравнений, не имеющих решений, для значения параметра частные уравнения имеют два действительных корня.
Отметим, что наиболее важным в практике являются следующие задачи:
1). Нахождение корней квадратных уравнений.
2). Исследование количества корней в зависимости от значений параметров.
3). Установление равносильности уравнений.
1. Решить уравнение:
Решение. При а=-1 и а=0 уравнение будет линейным.
-
а=-1 Уравнение принимает вид х-2=0, откуда х=2.
-
а=0. Решение уравнения х=0.
-
а≠-1,а≠0. Корни уравнения
,
откуда , .
Если D=0, т.е. , уравнение имеет единственное решение ( при , при ).
Ответ: х=2 при а=-1;
х=0 при а=0;
при ;
при ;
, при а≠-1, а≠0,
Пример 2. При каких значениях а уравнение
ах2 + 2х + 1 = О
имеет два различных корня.
Решение. Данное уравнение является квадратным относительно переменной х при а ≠ 0 и имеет различные корни, когда его дискриминант , т. е.при а < 1.
Кроме того, при а = 0 получается уравнение 2х + 1 =0, имеющее один корень. Таким образом, .
Правило1. Если коэффициент при х2 многочлена второй степени содержит параметр, необходимо разбирать случай, когда он обращается в нуль.
Пример 3. Уравнение ах2 + 8х + с = 0 имеет единственный корень, равный 1. Чему равны а я с?
Решение. Начнем решение задачи с особого случая а = 0, уравнение имеет вид
8х + с = 0. Это линейное уравнение имеет решение при с=-8.
При а≠0 квадратное уравнение имеет единственный корень, если
= 16 - ас = 0. Кроме того, подставив корень в уравнение, получим
а + 8 + с= 0.
Решая систему двух линейных уравнений, найдем
Пример4. Найти все пары (а;b), для которых уравнения
х2 - ах + а = 0 и х2 + b2х - 2b = 0 равносильны.
Решение. Первое уравнение не имеет решений, если а2 - 4а < О, т.е. при
0 < а < 4. Второе уравнение не имеет решений, если b4'+ 8b < О , т.е. при -2 < 6 < 0. Таким образом, при а (О;4), b(-2;0) уравнения равносильны, так как не имеют решений.
Если же уравнения имеют решения и корни уравнений совпадают, то должны совпадать коэффициенты при х и свободные члены.
Имеем систему
Складывая, левые и правые части уравнений, получаем b2 - 2b = 0, откуда b = 0 и b = 2.
Если b = 0, то а = 0 и уравнения принимают вид х2 = 0, если b = 2, то
а = -4 и уравнения принимают вид х2 + 4х - 4 = О, следовательно пары (0;0) и (-4; 2) удовлетворяют условиям примера.
Ответ; а = b = 0; а =-4, b = 2; а € (0;4), b(-2;0).
Задачи для самостоятельной работы
1. Решите уравнения: а) ; б);
в)
2. При каких а уравнение: а) б) имеет единственное решение?
3. При каких а уравнение:
а) (а - 3)х2 - 2ах + (За - 6) = 0; 6) ах2 - 4х + 3 = 0;
в) (а+ 2) х2 +
имеет: 1) единственное решение; 2) два различных корня?
4. При каких а уравнение а(а+3) х2+(2а + 6)х - За - 9 = 0
имеет: 1) более одного корня; 2) более двух корней?
5. При каких а уравнения х2-(а2+а-6)х=0 и х2 - 2(a + 3)х + (а2 - а- 12) = 0 равносильны?
Задачи на применение теоремы Виета.
ТЕОРЕМА . Для приведенного квадратного трехчлена
(при условии ) сумма корней , произведение корней , разность корней равна
,
а сумма квадратов корней .
Пример5. В уравнении определить а таким образом, чтобы разность корней уравнения равнялась единице.
Решение. Разность корней , откуда
Пример6. При каких а сумма квадратов корней уравнения равна 6?
Решение. Запишем уравнение в виде , откуда и а=-2
Пример 7. При каких а сумма квадратов корней уравнения
равна нулю?
Решение. Если и - корни уравнения, то По условию , откуда , . Найденные значения а надо обязательно проверить.
1. . Уравнение решений не имеет.
2. а=5. Уравнение имеет два корня , сумма которых равна 0.
Ответ: а=5
Задания для самостоятельной работы
-
При каких а сумма корней уравнения х2+(2-а-а2) х - а2 + 3 = 0 равна 0?
-
При каких а сумма квадратов корней уравнения х2 + 3х + 2а = 0 равна 1?
-
При каких а разность корней уравнения х2 - ах + 2 = 0 равна 1?
-
При каких а разность, квадратов корней уравнения Зх2 - 5х + а = 0 равна 1?
-
При каких а один из корней уравнения х2 - х + а = 0 равен квадрату другого?
-
При каких а отношение корней уравнения х2-(а+2)х + а2-1 = 0 равно 3?
-
При каких а отношение корней уравнения х2 - (За + 2)х + а2 = 0 равно 9?
-
При каких а отношение корней уравнения ах2-(а + 3)x+3 = 0 равно ?
-
При каких а корни уравнения х2 + (а + 1)х + 2а - 4 = 0 удовлетворяют соотношению 2?
-
При каких а сумма квадратов двух различных корней уравнения
ах2-7х + 5 = 0 меньше 39 ?
-
При каких а сумма кубов двух различных корней уравнения
х2 - 6х + 2а - 1 = 0 меньше 72? -
При каких а уравнения:
а) 2х2 - (За + 2)х + 12 = 0 и 4х2 - (9а - 2)х + 36 = 0;
6) 3ax2 - 5х + 2а = 0 и 2х2 + ах - 3 = 0 имеют общий корень?
13. При каких а корни уравнения 4х2 + (За2 -5+2)х -3= 0 равны по модулю ?
14. При каких а разность корней уравнения 2х2 - (а + 2)х+ (2а - 1) = 0 равна их произведению?
Задачи, связанные с расположением корней квадратного уравнения.
Расположение корней квадратного трехчлена
Графиком квадратного уравнения является парабола, а решениями квадратного уравнения - абсциссы точек пересечения этой параболы с осью Ох. Основой решения всех задач этого параграфа является изучение особенностей расположения парабол с заданными свойствами на координатной плоскости.
Пример. При каких а корни уравнения
имеют разные знаки?
Рисунок 1
Квадратное уравнение либо не имеет решений (график - парабола вида D), либо имеет один или два положительных корня (парабола С), либо имеет один иди два отрицательных корня (парабола А), либо имеет корни разных знаков (парабола В).
Легко сообразить, что последний тип парабол, в отличие от прочих, характеризуется тем, что f(0) < 0. Таким образом, f(0) = а2 -а - 6 < 0, откуда
0 < а <.
Данное решение допускает обобщение, которое мы сформулируем как следующие правило.
Правило 2. Для того чтобы уравнение
ах2 + bх + с = 0
имело два разных корня и таких, что < М < , необходимо и достаточно, чтобы а ·f(M) < 0.
Пример 2. При каких а уравнение
имеет два разных корня одного знака?
Решение. Нас интересуют параболы типа А и С (см. рис. 1). Они характеризуются тем, что
или
откуда а (-6; -2) (3; ).
Пример 3. При каких а уравнение
х2 - 2ах + а2 - а - 6 = О имеет два разных положительных корня?
Решение. Нас интересуют параболы типа С на рис. 1. Чтобы уравнение имело корни, потребуем:
Так как оба корня уравнения по условию должны быть положительными, то и абсцисса вершины параболы, лежащая между корнями, положительна: х0 =а > 0.
Ордината вершины f(x0) < 0 в силу того, что мы потребовали существование корней, поэтому если, кроме того, потребовать выполнение условия f (0) > 0, то в силу непрерывности исследуемой функции найдется точка такая, что
f(x1) = 0. Очевидно, что это меньший корень уравнения.
Итак, f (0) = а2 - а - 6 > 0, и, собирая все условия вместе, получим систему
или
с решением а .
Пример 9. При каких а уравнение
х2 - 2ах + а2 - а-6
имеет два разных отрицательных корня?
Решение. Изучив параболы типа А на рис. 1, получим систему
или
откуда а € (- 6; - 2).
Обобщим решение предыдущих задач в виде следующего правила.
Правило 3. Для того чтобы уравнение
ах2 + bх + с = 0
имело два разных корня х1 и х2, каждый из которых больше (меньше) М, необходимо и достаточно, чтобы
Пример 10. Функция f(x) задается формулой
f(x)=
Найдите все значения параметра а, при которых уравнение f(x) = 0 имеет хотя бы одно решение.
Решение. Все возможные решения данного уравнения получаются как решения квадратного уравнения
х2 - (4а + 14)х + 4а2 + 33а + 59 = 0
с дополнительным условием, что хотя бы один (очевидно, больший) корень
х2 ≥а.
Естественно, чтобы уравнение имело корни, должно быть , откуда а ≤ - 2.
Графиком левой части выделенного уравнения является парабола, абсцисса вершины которой равна х0 = 2+7. Решение задачи дают два типа парабол (рис. 2).
сделать рисунок в пайне
А: х0 ≥ а, откуда а ≥ - 7. В этом случае больший корень многочлена
В: , f(a)≤0, откуда а. В этом случае больший корень многочлена
.
Окончательно
Задачи для самостоятельной работы:
1. При каких b и c уравнение имеет один положительный и один отрицательный корень?
2. Найти все значения параметра а, при которых один корень уравнения больше а, а другой меньше а.
3. Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет два разных корня одного знака.
4. При каких значениях, а все получающиеся корни уравнения (а-3)х2-2ах+6а=0 положительны?
5. При каких а все получающиеся корни уравнения (1+а)х2-3ах+4а=0 больше 1?
6. Найти все значения параметра а, для которых оба разных корня уравнения х2+х+а=0 будут больше, чем а?
Решение уравнений с параметром и модулем.
Необходимо напомнить учащимся, что решить уравнение с параметром, это значит указать:
-
значения параметра, при которых уравнение не имеет решений;
-
значения параметра, при которых уравнение имеет решение, и
найти решения в виде выражений, зависящих от параметра. Лучше
всего начать объяснение с самого простого примера;
1. |х|=а
-
при а>0 уравнение имеет два решения х = ± а
-
при а=0 уравнение имеет одно решение х = 0
-
при а<0 уравнение решений не имеет.
2. ах=|х|
1)х>0
ах=х
х·(а-1)=0
а) х = 0, причем, а≠1
б)а=1 x
2) х≤0
ах = -х
х·(а-1)=0
а)а≠-1 х=0
б)а = -1 x
3. |х-а| = Зх-1
1) х-а≥0 2) х-а<0 3) а=1/3
х≥а х<а х=1/3
х=(1-а)/2 х=(1+а)/4
(1-а)/2>1/3 1+a>4/3
1-a>2/3 a.1/3
a<1/3
Ответ: а < 1/3, то х = (1-а)2
а> 1/3,то х = (1+а)/4
а=1/3,то х=1/3
4. Для каждого значения параметра а решить уравнение:
|х+3|-а|х-1| = 4
Рассмотрим три промежутка: (-;-3); [-3;1]; (1; ) и решим исходное уравнение на каждом промежутке.
1)х<-3 -х-3 + ах-а = 4
х(а-1) = а+7 при а=1 0·х=8, решений нет
При а=1 х=(а+7)/(а-1)
Теперь надо выяснить, при каких значениях а, корень х попадает в промежуток х<-3. Т.е. (а+7)/(а-1) < -3
(а+7+За-3)/(а-1)<0
(4a+4)/(a-1)<0
(a+1)/(а-1) <0
-1<a<1
Следовательно, исходное уравнение на промежутке (-;-3) имеет один корень х при -1<а<1, на остальных а корней не имеет
2)-3<х<1 х+3+а(х-1) = 4
х+3+ах - а = 4
х(1+а) = 1-а
при а = -1 0·х = 0 х - любое число из [-3;1]
при а=-1 х=1
3) х > 1 х+3-ах+а = 4
х(1-а)=1-а при а=1 0х=0 х- любое число, из х>1
Т.е. xR, нo мы решаем на х(1; +)
При а=1 х = 1, но х (1;+ ).
Ответ: при -1 < а < 1 х = (а+7)/(а-1), х = 1
При а =-1 х [-3;1] (любое из промежутка)
При а = 1 х > 1
При а<-1, а> 1,х= 1.
Необходимо заметить, что аналитический способ решения уравнений часто приводит к достаточно длительным рассуждениям, так как имеет много ветвлений. Поэтому чаще применяют графический способ, он короче.
Пример: |х+2| = ах+1
у = |х+2|- графиком этой функции является ломаная, полученная путем сдвига вдоль оси абсцисс влево на 2 единицы графика у = |х|;
у =ах + 1 - графиком этой функции является прямая, проходящая через точку (0;1), и угловым коэффициентом равным а.
-
При х (-; -1) и (1; ) уравнение имеет одно решение, причем
а (-;-1]и(1; )
-
При х (-1; 1/2), а (-1;1/2) уравнение имеет 2 решения х=±1/(а+1)
-
При х (1/2; 1) уравнение решений не имеет
4) х = 1/2, а = 1/2 один корень
5.2
у=2
у = а
-
при а > 1 уравнение имеет два корня х =±loga
-
при а = 1 уравнение имеет один корень х =0
-
при а < 1 уравнение решений не имеет
Заключение.
Как уже говорилось, алгоритма решения уравнений с параметрами нет. Но в своей работе, рассматривая уравнения различных типов: линейные, квадратные, иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические - я показала некоторые способы решения подобных уравнений. И таким образом в данной работе указаны основные направления, по которым следует идти при решении уравнений с параметрами. Кроме того, при написании данной работы я сформировала собственные навыки решения уравнений с параметрами, которые пригодятся мне при дальнейшем обучении.
Л
итература.
-
Горбачев В.И. «Общие методы решения уравнений и неравенств с параметрами не выше второй степени». Ж. «Математика в школе», 2000г., №2, с.61-69.
-
Маргулис А.Я. «Внимание: в уравнении параметр». Ж. «Квант», 1970г., №2, с.19-26.
-
Мордкович А.Г. «Уравнение и неравенства с параметром» (часть первая). Газ. «Математика», 1994г., № 34, с.2-3.
-
Мордкович А.Г. «Уравнение и неравенства с параметром» (часть вторая). Газ. «Математика», 1994г., № 36, с.2-3.
-
Мордкович А.Г. «Уравнение и неравенства с параметром» (часть третья). Газ. «Математика», 1994г., № 38, с.2-3,8.
-
Пронина Е. «Линейные уравнения с параметром». Газ. «Математика», 2000г., № 12, с.3-4.
-
Романов П. «Решение задач с параметром». Газ. «Математика», 2001г., № 12, с.13-15.
-
Смолин А. «Задача с параметром: четыре способа решения». Газ. «Математика», 1995г., № 16, с.2-3.
-
Шарыгин И.Ф. «Решение задач: Учебное пособие для 10 кл. общеобразовательных учреждений»- М. : Просвещение, 1994г., с.111-120.
-
Ястребинецкий Г.А. «Уравнения и неравенства, содержащие параметры. Пособие для учителей». М.: Просвещение, 1972г., с.13-48.