Решение различных уравнений с параметрами

Задачам  с   параметром  в   программах   по  математике  для неспециализированных школ отводится незначительное место. Может быть, обучать этому массового школьника вряд ли целесообразно, но сильных учащихся знакомить с такими примерами необходимо, ведь задачи с параметрами дают прекрасный материал для развития математической культуры, для настоящей исследовательской работы. Перед началом учебного года на методическом объединении учителей математики нашего района проводится анкетирование и одни...
Раздел Математика
Класс -
Тип Конспекты
Автор
Дата
Формат doc
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Оглавление

стр.

Введение…………………………………………………………….2

  1. Основные определения…………………………………….3

  2. Решение уравнений

    1. 2.1 Линейные уравнения и уравнения

приводимые к линейным.........................................................5

  1. 2.2. Квадратные уравнения и уравнения

приводимые к квадратным………………………………….11

  1. 2.3. Иррациональные уравнения………….……………….23

  2. 2.4. Показательные и логарифмические

  3. уравнения……………………………………………………...27

  4. 2.5. Тригонометрические уравнения…………….………..32

Заключение…………………………………………….…………...36

Литература…………………………………………………………37





Введение.


Задачам с параметром в программах по математике для неспециализированных школ отводится незначительное место. Может быть, обучать этому массового школьника вряд ли целесообразно, но сильных учащихся знакомить с такими примерами необходимо, ведь задачи с параметрами дают прекрасный материал для развития математической культуры, для настоящей исследовательской работы.

Перед началом учебного года на методическом объединении учителей математики нашего района проводится анкетирование и одним из вопросов является такой: «Какую тему, какой раздел школьного курса математики Вы хотели бы услышать на заседании методического объединения?». Подавляющее большинство учителей хотели бы услышать о задачах с параметрами. Это действительно один из труднейших разделов школьного курса математики. Здесь, кроме использования определенных алгоритмов решения уравнений или неравенств, приходится обдумывать, по какому признаку нужно разбить множество значений параметра на подмножества, следить за тем, чтобы не пропустить какие-либо тонкости. Здесь проверяется не «натасканность» ученика, а подлинное понимание им материала. При этом в части «с» ЕГЭ зачастую включает задания с параметрами, вызывающие определенные сложности, с повышенными требованиями к математической подготовке абитуриентов, уравнения и неравенства с параметрами часто включают в варианты письменных работ. На мой взгляд, чтобы «встреча» с параметром у учащегося произошла впервые не на выпускных или вступительных экзаменах, надо проводить линию параметров в школьном курсе математики параллельно соответствующим разделам. Она может быть где-то слегка намечена, где-то прорисована более явно, где-то углублена в зависимости от состояния класса, от методических взглядов учителя.

Знакомить учащихся с параметром я начинаю с 7-го класса. Первой ступенькой являются «Уравнения первой степени с одним неизвестным». В 8-м классе - «Линейные уравнения и неравенства с параметром, содержащие модуль».

В школьном курсе математики, квадратичная функция, будучи центральной, формирует обширный класс задач с параметрами, разнообразных по форме и содержанию, но объединенных общей идеей - в основе их решения лежат свойства квадратичной функции. Поэтому следующей ступенькой являются «Уравнения с параметрами не выше второй степени». А затем задачи с параметрами, сводящиеся к квадратным уравнениям».

Интерес к этим темам объясняется тем, что уравнения с параметром предлагаются на школьных экзаменах за курс основной средней школы. Поэтому более близкое знакомство с параметром, чем это принято в обычной школе, становится не только желательным, но и необходимым.

В своей работе я хочу показать некоторые методы решения различных уравнения с параметрами.






1. Основные определения.

Рассмотрим уравнение Решение различных уравнений с параметрами., где Решение различных уравнений с параметрами. - переменные величины.

Любая система значений переменных Решение различных уравнений с параметрами.Решение различных уравнений с параметрами., Решение различных уравнений с параметрами., … , Решение различных уравнений с параметрами., Решение различных уравнений с параметрами. при которой и левая и правая части этого уравнения принимают действительные значения, называется системой допустимых значений переменных Решение различных уравнений с параметрами.. Пусть Решение различных уравнений с параметрами.- множество всех допустимых значений Решение различных уравнений с параметрами., Решение различных уравнений с параметрами.- множество всех допустимых значений Решение различных уравнений с параметрами., и т.д., Решение различных уравнений с параметрами.- множество всех допустимых значений Решение различных уравнений с параметрами., т.е. Решение различных уравнений с параметрами., Решение различных уравнений с параметрами., …, Решение различных уравнений с параметрами.. Если из каждого из множеств Решение различных уравнений с параметрами.Решение различных уравнений с параметрами.Решение различных уравнений с параметрами., …, Решение различных уравнений с параметрами. выбрать и зафиксировать по одному значению Решение различных уравнений с параметрами.и подставить их в исходное уравнение, то получим уравнение относительно Решение различных уравнений с параметрами., т.е. уравнение с одним неизвестным.

Решение его зависит от выбранной нами системы значений Решение различных уравнений с параметрами.и будет иметь определенное числовое значение при каждом таком выборе, следовательно, решение исходного уравнения относительно Решение различных уравнений с параметрами. является функцией от Решение различных уравнений с параметрами.. Если обозначить это решение через Решение различных уравнений с параметрами., то получим Решение различных уравнений с параметрами.. Переменные Решение различных уравнений с параметрами., которые при решении исходного уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само исходное уравнение уравнением, содержащим параметры.

В дальнейшем параметры будут обозначаться буквами латинского алфавита: Решение различных уравнений с параметрами. а неизвестные буквами Решение различных уравнений с параметрами..

Решить исходное уравнение - значит, указать, при каких значениях параметра существуют решения, и каковы они. В процессе решения уравнений существенную роль играют теоремы о равносильности.

Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными если:

а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;

б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.



























2. Решение уравнений.

2.1. Линейные уравнения и уравнения приводимые к линейным.

Уравнения вида ax=b, где a,b Решение различных уравнений с параметрами.R называется линейным относительно неизвестного Решение различных уравнений с параметрами..

Возможны три случая:

  • Решение различных уравнений с параметрами.а≠0, b - любое действительное число. Уравнение имеет единственное решение х=Решение различных уравнений с параметрами..

  • а=0, b=0. Уравнение принимает вид: 0*х=0, решениями являются все хРешение различных уравнений с параметрами.R.

  • а=0, b≠0. Уравнение 0·х= b решений не имеет.

Ответ: х = Решение различных уравнений с параметрами. при а≠0, b Решение различных уравнений с параметрами.R;

хРешение различных уравнений с параметрами.R при а=0, b=0;

Ǿ при а=0, b≠0.

Основа правильного решения задач с параметрами состоит в грамотном разбиении области изменения параметра, к этому надо пручать путем подробного описания хода решения.

1. Решить уравнение Решение различных уравнений с параметрами..

Решение: Решение различных уравнений с параметрами.,

Решение различных уравнений с параметрами.,

Коэффициент при х равен а. Возникают два возможных случая:

  1. Коэффициент при х равен нулю уравнение примет вид 0· х=а-8,

то полученное уравнение не имеет корней.

если Решение различных уравнений с параметрами., то корней нет;

  1. Коэффициент при х неравен нулю, и мы имеем право разделить обе части уравнения на этот коэффициент

а≠0

ах =а-8

х= Решение различных уравнений с параметрами.

если Решение различных уравнений с параметрами., то уравнение имеет единственный корень Решение различных уравнений с параметрами..

Ответ: при Решение различных уравнений с параметрами., Решение различных уравнений с параметрами. - единственное решение;

при Решение различных уравнений с параметрами. корней нет.

Замечание: важно зафиксировать внимание учащихся на случае, когда коэффициент при х равен нулю, и рассматривать этот случай всегда первым, чтобы помочь учащимся избежать наиболее распространенной ошибки, когда этот случай теряют.

2.Решить уравнение Решение различных уравнений с параметрами.

Решение: Решение различных уравнений с параметрами.Решение различных уравнений с параметрами.Решение различных уравнений с параметрами.. Получили линейное уравнение. Прежде, чем делить обе части уравнения на Решение различных уравнений с параметрами., надо рассмотреть те значения а, при которых Решение различных уравнений с параметрами. обращается в нуль.

1).Решение различных уравнений с параметрами. Решения уравнения 0 ·х=0 - все действительные числа.

2). Решение различных уравнений с параметрами. Уравнение 0 ·х=4 решений не имеет.

3).Решение различных уравнений с параметрами. Уравнение имеет единственное решение

Решение различных уравнений с параметрами.х=Решение различных уравнений с параметрами.Решение различных уравнений с параметрами.

Ответ: х=Решение различных уравнений с параметрами. при Решение различных уравнений с параметрами.;

Решение различных уравнений с параметрами.при Решение различных уравнений с параметрами.;

Решение различных уравнений с параметрами.Ǿ при а=2

3. Решить уравнение Решение различных уравнений с параметрами..

Решение: Решение различных уравнений с параметрами.,

Решение различных уравнений с параметрами., при Решение различных уравнений с параметрами. или Решение различных уравнений с параметрами.,

при Решение различных уравнений с параметрами.Решение различных уравнений с параметрами., значит, уравнение имеет бесчисленное множество корней (Решение различных уравнений с параметрами.- любое);

при Решение различных уравнений с параметрами.Решение различных уравнений с параметрами., значит, корней нет;

при Решение различных уравнений с параметрами.Решение различных уравнений с параметрами., Решение различных уравнений с параметрами.Решение различных уравнений с параметрами.,

Решение различных уравнений с параметрами.,

Решение различных уравнений с параметрами.- единственный корень.

Ответ: при Решение различных уравнений с параметрами., Решение различных уравнений с параметрами.- любое;

при Решение различных уравнений с параметрами., корней нет;

при Решение различных уравнений с параметрами., Решение различных уравнений с параметрами., Решение различных уравнений с параметрами. - единственное решение.


Но задания на уравнения с параметрами могут звучать по-другому, например:

4. При каких значениях параметра а уравнение Решение различных уравнений с параметрами. имеет:

1) один корень;

2) ни одного корня;

3) бесконечно много корней.

Решение: Решение различных уравнений с параметрами.,

Решение различных уравнений с параметрами.при Решение различных уравнений с параметрами. или Решение различных уравнений с параметрами.,

при Решение различных уравнений с параметрами.Решение различных уравнений с параметрами., значит, корней нет;

при Решение различных уравнений с параметрами.Решение различных уравнений с параметрами., значит, уравнение имеет бесчисленное множество корней, Решение различных уравнений с параметрами.- любое;

при Решение различных уравнений с параметрами., Решение различных уравнений с параметрами.Решение различных уравнений с параметрами.,

Решение различных уравнений с параметрами.,

Решение различных уравнений с параметрами.- единственный корень.


Ответ: уравнение имеет один корень

Решение различных уравнений с параметрами.при Решение различных уравнений с параметрами. и Решение различных уравнений с параметрами.;

уравнение не имеет корней при Решение различных уравнений с параметрами.;

уравнение имеет бесконечно много корней при Решение различных уравнений с параметрами..

Теперь рассмотрим уравнения приводимые к линейным.

5. Решить уравнение Решение различных уравнений с параметрами..

Решение: Решение различных уравнений с параметрами.,

Решение различных уравнений с параметрами., Решение различных уравнений с параметрами., Решение различных уравнений с параметрами.,

Решение различных уравнений с параметрами.; Решение различных уравнений с параметрами.; Решение различных уравнений с параметрами. или Решение различных уравнений с параметрами.;

значит, при Решение различных уравнений с параметрами., Решение различных уравнений с параметрами. уравнение не имеет смысла, следовательно, не имеет корней;

если Решение различных уравнений с параметрами., Решение различных уравнений с параметрами., то Решение различных уравнений с параметрами.,

Решение различных уравнений с параметрами.,

Решение различных уравнений с параметрами.,

Решение различных уравнений с параметрами.,

Решение различных уравнений с параметрами.,

если Решение различных уравнений с параметрами., то Решение различных уравнений с параметрами., т.е. уравнение не имеет решений (корней нет),

если Решение различных уравнений с параметрами., то Решение различных уравнений с параметрами. - единственный корень.

Этот корень будет только тогда, когда существует уравнение, то есть, надо проверить при каких Решение различных уравнений с параметрами.Решение различных уравнений с параметрами. и Решение различных уравнений с параметрами., при этих значениях Решение различных уравнений с параметрами. уравнение тоже не будет иметь корней.

Решение различных уравнений с параметрами., Решение различных уравнений с параметрами.,

Решение различных уравнений с параметрами., Решение различных уравнений с параметрами., Решение различных уравнений с параметрами.

Решение различных уравнений с параметрами.; Решение различных уравнений с параметрами.,

Решение различных уравнений с параметрами.;

следовательно, при Решение различных уравнений с параметрами., Решение различных уравнений с параметрами. уравнение не имеет корней.

Ответ: при Решение различных уравнений с параметрами., Решение различных уравнений с параметрами., Решение различных уравнений с параметрами. уравнение не имеет корней;

при Решение различных уравнений с параметрами., Решение различных уравнений с параметрами., Решение различных уравнений с параметрами. уравнение имеет единственный корень Решение различных уравнений с параметрами..

Уравнения могут содержать два параметра.

6. Решить уравнение Решение различных уравнений с параметрами.

Решение: Решение различных уравнений с параметрами.,

Решение различных уравнений с параметрами.,

если Решение различных уравнений с параметрами., Решение различных уравнений с параметрами., то Решение различных уравнений с параметрами.,

0=0, значит, Решение различных уравнений с параметрами. - любое, кроме 0;

если Решение различных уравнений с параметрами. и Решение различных уравнений с параметрами., то есть Решение различных уравнений с параметрами., Решение различных уравнений с параметрами.,

то Решение различных уравнений с параметрами.,

Решение различных уравнений с параметрами.,

Решение различных уравнений с параметрами.- единственное решение;

если Решение различных уравнений с параметрами., то корней нет.

Ответ: при Решение различных уравнений с параметрами. корней нет;

при Решение различных уравнений с параметрами., Решение различных уравнений с параметрами. уравнение имеет единственное решение Решение различных уравнений с параметрами.;

при Решение различных уравнений с параметрами., Решение различных уравнений с параметрами., то Решение различных уравнений с параметрами.- любое, кроме 0.

Уравнения с параметрами могут содержать модули

7. Решить уравнение Решение различных уравнений с параметрами.

Решение:

Решение различных уравнений с параметрами.

1) Решение различных уравнений с параметрами.2) Решение различных уравнений с параметрами.

Решение различных уравнений с параметрами.Решение различных уравнений с параметрами.

Решение различных уравнений с параметрами.Решение различных уравнений с параметрами.

если Решение различных уравнений с параметрами., то есть Решение различных уравнений с параметрами., если Решение различных уравнений с параметрами., то есть Решение различных уравнений с параметрами.,

уравнение корней не имеет; уравнение корней не имеет;

если Решение различных уравнений с параметрами. то если Решение различных уравнений с параметрами., то

Решение различных уравнений с параметрами.Решение различных уравнений с параметрами.

Решение различных уравнений с параметрами.Решение различных уравнений с параметрами.

Решение различных уравнений с параметрами., Решение различных уравнений с параметрами.

Решение различных уравнений с параметрами.Решение различных уравнений с параметрами.

Решение различных уравнений с параметрами.Решение различных уравнений с параметрами.Решение различных уравнений с параметрами.Решение различных уравнений с параметрами.Решение различных уравнений с параметрами. + - + + - +

Решение различных уравнений с параметрами.Решение различных уравнений с параметрами.Решение различных уравнений с параметрами.Решение различных уравнений с параметрами.

0 1 -1 0

при Решение различных уравнений с параметрами. при Решение различных уравнений с параметрами. уравнение имеет

уравнение имеет один один корень Решение различных уравнений с параметрами.

корень Решение различных уравнений с параметрами.;

Ответ: при Решение различных уравнений с параметрами., Решение различных уравнений с параметрами., Решение различных уравнений с параметрами. уравнение имеет один корень Решение различных уравнений с параметрами.;

при Решение различных уравнений с параметрами. уравнение имеет два корня Решение различных уравнений с параметрами., Решение различных уравнений с параметрами.;

при Решение различных уравнений с параметрами., Решение различных уравнений с параметрами. уравнение корней не имеет.

Задачи для самостоятельной работы:

Локоть стр8,12.

2.2. Квадратные уравнения и уравнения, приводимые к квадратным.

Уравнения с параметром не выше второй степени являются самыми распространенными в практике итоговых и конкурсных заданий. Их общий вид определяется многочленом Решение различных уравнений с параметрами. с параметром Решение различных уравнений с параметрами. и Решение различных уравнений с параметрами. не выше второй степени.

Контрольные значения параметра определяются уравнением Решение различных уравнений с параметрами. и уравнением D=0. На выделенных контрольными значениями промежутках допустимых значений параметра дискриминант D имеет определенный знак. Тогда решение всякого уравнения с параметром не выше второй степени осуществляется по следующим этапам:

  • На числовой прямой отмечаются все контрольные значения параметра, для которых соответствующие частные уравнения не определены.

  • На области допустимых значений параметра исходное уравнение при помощи равносильных преобразований приводятся к виду Решение различных уравнений с параметрами..

  • Выделяется множество контрольных значений параметра, для которых Решение различных уравнений с параметрами.. Если уравнение Решение различных уравнений с параметрами. имеет конечное множество решений, то для каждого найденного контрольного значения параметра существующее частное уравнение решается отдельно. Проводится классификация частных уравнений. На бесконечном множестве решений уравнения Решение различных уравнений с параметрами. проводится решение уравнения Решение различных уравнений с параметрами., выделяются типы Решение различных уравнений с параметрами. и ø особых частных уравнений. Множеству Решение различных уравнений с параметрами. соответствует тип не особых частных уравнений.

  • Выделяются контрольные значения параметра, для которых Решение различных уравнений с параметрами. обращается в нуль. Соответствующие не особые частные уравнения имеют двукратный корень Решение различных уравнений с параметрами.

  • Найденные контрольные значения параметра разбивают область допустимых значений параметра на промежутки. На каждом из промежутков определяется знак D. Множеству Решение различных уравнений с параметрами. соответствует тип не особых частных уравнений, не имеющих решений, для значения параметра Решение различных уравнений с параметрами. частные уравнения имеют два действительных корня.

Отметим, что наиболее важным в практике являются следующие задачи:

1). Нахождение корней квадратных уравнений.

2). Исследование количества корней в зависимости от значений параметров.

3). Установление равносильности уравнений.

1. Решить уравнение: Решение различных уравнений с параметрами.

Решение. При а=-1 и а=0 уравнение будет линейным.

  1. а=-1 Уравнение принимает вид х-2=0, откуда х=2.

  2. а=0. Решение уравнения х=0.

  3. а≠-1,а≠0. Корни уравнения

Решение различных уравнений с параметрами.,

откуда Решение различных уравнений с параметрами., Решение различных уравнений с параметрами..

Если D=0, т.е. Решение различных уравнений с параметрами., уравнениеРешение различных уравнений с параметрами. имеет единственное решение (Решение различных уравнений с параметрами. при Решение различных уравнений с параметрами. , Решение различных уравнений с параметрами. при Решение различных уравнений с параметрами.).

Ответ: х=2 при а=-1;

х=0 при а=0;

Решение различных уравнений с параметрами.при Решение различных уравнений с параметрами.;

Решение различных уравнений с параметрами.при Решение различных уравнений с параметрами.;

Решение различных уравнений с параметрами.,Решение различных уравнений с параметрами. при а≠-1, а≠0, Решение различных уравнений с параметрами.

Пример 2. При каких значениях а уравнение

ах2 + 2х + 1 = О

имеет два различных корня.

Решение. Данное уравнение является квадратным от­носительно переменной х при а ≠ 0 и имеет различные корни, когда его дискриминант Решение различных уравнений с параметрами., т. е.при а < 1.

Кроме того, при а = 0 получается уравнение + 1 =0, имеющее один корень. Таким образом, Решение различных уравнений с параметрами..

Правило1. Если коэффициент при х2 многочлена вто­рой степени содержит параметр, необходимо разбирать случай, когда он обращается в нуль.

Пример 3. Уравнение ах2 + 8х + с = 0 имеет един­ственный корень, равный 1. Чему равны а я с?

Решение. Начнем решение задачи с особого случая а = 0, уравнение имеет вид

8х + с = 0. Это линейное уравнение имеет решение Решение различных уравнений с параметрами. при с=-8.

При а≠0 квадратное уравнение имеет единственный корень, если

Решение различных уравнений с параметрами.= 16 - ас = 0. Кроме того, подставив корень Решение различных уравнений с параметрами.в уравнение, получим

а + 8 + с= 0.

Решая систему двух линейных уравнений, найдем Решение различных уравнений с параметрами.

Пример4. Найти все пары (а;b), для которых уравнения

х2 - ах + а = 0 и х2 + b2х - 2b = 0 равносильны.

Решение. Первое уравнение не имеет решений, если а2 - 4а < О, т.е. при

0 < а < 4. Второе уравнение не имеет решений, если b4'+ 8b < О Решение различных уравнений с параметрами., т.е. при -2 < 6 < 0. Таким образом, при аРешение различных уравнений с параметрами. (О;4), bРешение различных уравнений с параметрами.(-2;0) уравнения равносильны, так как не имеют решений.

Если же уравнения имеют решения и корни уравнений совпада­ют, то должны совпадать коэффициенты при х и свободные члены.

Имеем систему

Решение различных уравнений с параметрами. Складывая, левые и правые части уравнений, получаем b2 - 2b = 0, откуда b = 0 и b = 2.

Если b = 0, то а = 0 и уравнения принимают вид х2 = 0, если b = 2, то

а = -4 и уравнения принимают вид х2 + 4х - 4 = О, следовательно пары (0;0) и (-4; 2) удовлетворяют условиям примера.

Ответ; а = b = 0; а =-4, b = 2; а € (0;4), bРешение различных уравнений с параметрами.(-2;0).

Задачи для самостоятельной работы

1. Решите уравнения: а) Решение различных уравнений с параметрами.; б)Решение различных уравнений с параметрами.;

в)Решение различных уравнений с параметрами.

2. При каких а уравнение: а) Решение различных уравнений с параметрами. б) Решение различных уравнений с параметрами. имеет единственное решение?

3. При каких а уравнение:

а) - 3)х2 - 2ах + (За - 6) = 0; 6) ах2 - 4х + 3 = 0;

в) (а+ 2) х2 + Решение различных уравнений с параметрами.

имеет: 1) единственное решение; 2) два различных корня?

4. При каких а уравнение а(а+3) х2+(2а + 6)х - За - 9 = 0

имеет: 1) более одного корня; 2) более двух корней?

5. При каких а уравнения х2-(а2+а-6)х=0 и х2 - 2(a + 3)х + (а2 - а- 12) = 0 равносильны?

Задачи на применение теоремы Виета.

ТЕОРЕМА . Для приведенного квадратного трехчлена

Решение различных уравнений с параметрами.

(при условии Решение различных уравнений с параметрами.) сумма корней Решение различных уравнений с параметрами., произведение корней Решение различных уравнений с параметрами., разность корней равна

Решение различных уравнений с параметрами.,

а сумма квадратов корней Решение различных уравнений с параметрами..

Пример5. В уравнении Решение различных уравнений с параметрами. определить а таким образом, чтобы разность корней уравнения равнялась единице.

Решение. Разность корней Решение различных уравнений с параметрами., откуда Решение различных уравнений с параметрами.

Пример6. При каких а сумма квадратов корней уравнения Решение различных уравнений с параметрами. равна 6?

Решение. Запишем уравнение в виде Решение различных уравнений с параметрами., откуда Решение различных уравнений с параметрами. и а=-2

Пример 7. При каких а сумма квадратов корней уравнения

Решение различных уравнений с параметрами.Решение различных уравнений с параметрами.равна нулю?

Решение. Если Решение различных уравнений с параметрами. и Решение различных уравнений с параметрами. - корни уравнения, то Решение различных уравнений с параметрами. По условию Решение различных уравнений с параметрами., откуда Решение различных уравнений с параметрами., Решение различных уравнений с параметрами.. Найденные значения а надо обязательно проверить.

1. Решение различных уравнений с параметрами.. Уравнение Решение различных уравнений с параметрами. решений не имеет.

2. а=5. УравнениеРешение различных уравнений с параметрами. имеет два корня Решение различных уравнений с параметрами., сумма которых равна 0.

Ответ: а=5

Задания для самостоятельной работы

  1. При каких а сумма корней уравнения х2+(2-а-а2) х - а2 + 3 = 0 равна 0?

  2. При каких а сумма квадратов корней уравнения х2 + 3х + 2а = 0 равна 1?

  3. При каких а разность корней уравнения х2 - ах + 2 = 0 равна 1?

  4. При каких а разность, квадратов корней уравнения Зх2 - 5х + а = 0 равна 1?

  5. При каких а один из корней уравнения х2 - Решение различных уравнений с параметрами.х + а = 0 равен квадрату другого?

  1. При каких а отношение корней уравнения х2-(а+2)х + а2-1 = 0 равно 3?

  2. При каких а отношение корней уравнения х2 - (За + 2)х + а2 = 0 равно 9?

  3. При каких а отношение корней уравнения ах2-(а + 3)x+3 = 0 равно Решение различных уравнений с параметрами.?

  4. При каких а корни уравнения х2 + (а + 1)х + 2а - 4 = 0 удовлетворяют соотношению 2Решение различных уравнений с параметрами.?

  1. При каких а сумма квадратов двух различных корней уравнения

ах2-7х + 5 = 0 меньше 39 ?

  1. При каких а сумма кубов двух различных корней уравнения
    х2 - 6х + - 1 = 0 меньше 72?

  2. При каких а уравнения:

а) 2 - (За + 2)х + 12 = 0 и 2 - (9а - 2)х + 36 = 0;

6) 3ax2 - 5х + 2а = 0 и 2 + ах - 3 = 0 имеют общий корень?

13. При каких а корни уравнения 2 + (За2 -5Решение различных уравнений с параметрами.+2)х -3= 0 равны по модулю ?

14. При каких а разность корней уравнения 2 - (а + 2)х+ (2а - 1) = 0 равна их произведению?

Задачи, связанные с расположением корней квадратного уравнения.

Расположение корней квадратного трехчлена

Графиком квадратного уравнения является парабола, а решениями квадратного уравнения - абсциссы точек пересечения этой параболы с осью Ох. Основой решения всех задач этого параграфа является изучение особенностей расположения парабол с заданными свойствами на координатной плоскости.

Пример. При каких а корни уравнения

Решение различных уравнений с параметрами.Решение различных уравнений с параметрами.

имеют разные знаки?




Решение различных уравнений с параметрами.

Рисунок 1





Квадратное уравнение либо не имеет решений (график - парабола вида D), либо имеет один или два положитель­ных корня (парабола С), либо имеет один иди два отрица­тельных корня (парабола А), либо имеет корни разных знаков (парабола В).

Легко сообразить, что последний тип парабол, в отличие от прочих, характеризуется тем, что f(0) < 0. Таким образом, f(0) = а2 -а - 6 < 0, откуда

0 < а <Решение различных уравнений с параметрами..

Данное решение допускает обобщение, которое мы сформулируем как следующие правило.


Правило 2. Для того чтобы уравнение

ах2 + bх + с = 0

имело два разных корня Решение различных уравнений с параметрами. и Решение различных уравнений с параметрами. таких, что Решение различных уравнений с параметрами.< М < Решение различных уравнений с параметрами., необходимо и достаточно, чтобы а ·f(M) < 0.

Пример 2. При каких а уравнение

Решение различных уравнений с параметрами.

имеет два разных корня одного знака?

Решение. Нас интересуют параболы типа А и С (см. рис. 1). Они характеризуются тем, что

Решение различных уравнений с параметрами.или Решение различных уравнений с параметрами.

откуда а Решение различных уравнений с параметрами. (-6; -2) Решение различных уравнений с параметрами. (3; Решение различных уравнений с параметрами.).

Пример 3. При каких а уравнение

х2 - 2ах + а2 - а - 6 = О имеет два разных положительных корня?

Решение. Нас интересуют параболы типа С на рис. 1. Чтобы уравнение имело корни, потребуем:

Решение различных уравнений с параметрами.

Так как оба корня уравнения по условию должны быть положительными, то и абсцисса вершины параболы, ле­жащая между корнями, положительна: х0 =а > 0.

Ордината вершины f(x0) < 0 в силу того, что мы потре­бовали существование корней, поэтому если, кроме того, потребовать выполнение условия f (0) > 0, то в силу непре­рывности исследуемой функции найдется точка Решение различных уравнений с параметрами. такая, что

f(x1) = 0. Очевидно, что это меньший корень уравнения.

Итак, f (0) = а2 - а - 6 > 0, и, собирая все условия вместе, получим систему

Решение различных уравнений с параметрами.или Решение различных уравнений с параметрами.

с решением а Решение различных уравнений с параметрами..

Пример 9. При каких а уравнение

х2 - 2ах + а2 - а-6

имеет два разных отрицательных корня?

Решение. Изучив параболы типа А на рис. 1, получим систему

Решение различных уравнений с параметрами.илиРешение различных уравнений с параметрами.Решение различных уравнений с параметрами.

откуда а Решение различных уравнений с параметрами.€ (- 6; - 2).

Обобщим решение предыдущих задач в виде следующего правила.

Правило 3. Для того чтобы уравнение

ах2 + bх + с = 0

имело два разных корня х1 и х2, каждый из которых больше (меньше) М, необходимо и достаточно, чтобы

Решение различных уравнений с параметрами.Решение различных уравнений с параметрами.

Пример 10. Функция f(x) задается формулой

f(x)=Решение различных уравнений с параметрами.

Найдите все значения параметра а, при которых уравнение f(x) = 0 имеет хотя бы одно решение.

Решение. Все возможные решения данного уравнения получаются как решения квадратного уравнения

х2 - (4а + 14)х + 4а2 + 33а + 59 = 0

с дополнительным условием, что хотя бы один (очевидно, больший) корень

х2а.

Естественно, чтобы уравнение имело корни, должно быть Решение различных уравнений с параметрами., откуда а ≤ - 2.

Графиком левой части выделенного уравнения является парабола, абсцисса вершины которой равна х0 = 2+7. Решение задачи дают два типа парабол (рис. 2).

Решение различных уравнений с параметрами.

сделать рисунок в пайне




А: х0а, откуда а ≥ - 7. В этом случае больший корень многочлена Решение различных уравнений с параметрами.

В: Решение различных уравнений с параметрами., f(a)≤0, откуда аРешение различных уравнений с параметрами.. В этом случае больший корень многочлена

Решение различных уравнений с параметрами..

Окончательно Решение различных уравнений с параметрами.

Задачи для самостоятельной работы:

1. При каких b и c уравнение Решение различных уравнений с параметрами. имеет один положительный и один отрицательный корень?

2. Найти все значения параметра а, при которых один корень уравнения Решение различных уравнений с параметрами.Решение различных уравнений с параметрами. больше а, а другой меньше а.

3. Найти все значения параметра а, при которых уравнение Решение различных уравнений с параметрами. имеет два разных корня одного знака.

4. При каких значениях, а все получающиеся корни уравнения (а-3)х2-2ах+6а=0 положительны?

5. При каких а все получающиеся корни уравнения (1+а)х2-3ах+4а=0 больше 1?

6. Найти все значения параметра а, для которых оба разных корня уравнения х2+х+а=0 будут больше, чем а?

Решение уравнений с параметром и модулем.

Необходимо напомнить учащимся, что решить уравнение с параметром, это значит указать:

  1. значения параметра, при которых уравнение не имеет решений;

  2. значения параметра, при которых уравнение имеет решение, и
    найти решения в виде выражений, зависящих от параметра. Лучше
    всего начать объяснение с самого простого примера;

1. |х|=а

  1. при а>0 уравнение имеет два решения х = ± а

  2. при а=0 уравнение имеет одно решение х = 0

  3. при а<0 уравнение решений не имеет.

2. ах=|х|
1)х>0

ах=х

х·(а-1)=0

а) х = 0, причем, а≠1

б)а=1 xРешение различных уравнений с параметрами.

2) х≤0

ах = -х

х·(а-1)=0

а)а≠-1 х=0

б)а = -1 xРешение различных уравнений с параметрами.

3. |х-а| = Зх-1

1) х-а≥0 2) х-а<0 3) а=1/3

х≥а х<а х=1/3

Решение различных уравнений с параметрами.Решение различных уравнений с параметрами.

Решение различных уравнений с параметрами.Решение различных уравнений с параметрами.

х=(1-а)/2 х=(1+а)/4

(1-а)/2>1/3 1+a>4/3

1-a>2/3 a.1/3

a<1/3

Ответ: а < 1/3, то х = (1-а)2

а> 1/3,то х = (1+а)/4

а=1/3,то х=1/3

4. Для каждого значения параметра а решить уравнение:

|х+3|-а|х-1| = 4

Рассмотрим три промежутка: (-Решение различных уравнений с параметрами.;-3); [-3;1]; (1; Решение различных уравнений с параметрами.) и решим исходное уравнение на каждом промежутке.
1)х<-3 -х-3 + ах-а = 4
х(а-1) = а+7 при а=1 0·х=8, решений нет

При а=1 х=(а+7)/(а-1)

Теперь надо выяснить, при каких значениях а, корень х попадает в промежуток х<-3. Т.е. (а+7)/(а-1) < -3

(а+7+За-3)/(а-1)<0

(4a+4)/(a-1)<0

(a+1)/(а-1) <0

-1<a<1

Следовательно, исходное уравнение на промежутке (-Решение различных уравнений с параметрами.;-3) имеет один корень х при -1<а<1, на остальных а корней не имеет

2)-3<х<1 х+3+а(х-1) = 4

х+3+ах - а = 4

х(1+а) = 1-а

при а = -1 0·х = 0 х - любое число из [-3;1]

при а=-1 х=1

3) х > 1 х+3-ах+а = 4

х(1-а)=1-а при а=1 0х=0 х- любое число, из х>1

Т.е. xРешение различных уравнений с параметрами.R, нo мы решаем на хРешение различных уравнений с параметрами.(1; +Решение различных уравнений с параметрами.)

При а=1 х = 1, но хРешение различных уравнений с параметрами. (1;+ Решение различных уравнений с параметрами.).

Ответ: при -1 < а < 1 х = (а+7)/(а-1), х = 1

При а =-1 хРешение различных уравнений с параметрами. [-3;1] (любое из промежутка)

При а = 1 х > 1

При а<-1, а> 1,х= 1.

Необходимо заметить, что аналитический способ решения уравнений часто приводит к достаточно длительным рассуждениям, так как имеет много ветвлений. Поэтому чаще применяют графический способ, он короче.

Пример: |х+2| = ах+1

у = |х+2|- графиком этой функции является ломаная, полученная путем сдвига вдоль оси абсцисс влево на 2 единицы графика у = |х|;

у =ах + 1 - графиком этой функции является прямая, проходящая через точку (0;1), и угловым коэффициентом равным а.

Решение различных уравнений с параметрами.

  1. При х Решение различных уравнений с параметрами.(-Решение различных уравнений с параметрами.; -1) и (1; Решение различных уравнений с параметрами.) уравнение имеет одно решение, причем

а Решение различных уравнений с параметрами. (-Решение различных уравнений с параметрами.;-1]Решение различных уравнений с параметрами.и(1; Решение различных уравнений с параметрами.)

  1. При х Решение различных уравнений с параметрами. (-1; 1/2), а Решение различных уравнений с параметрами. (-1;1/2) уравнение имеет 2 решения х=±1/(а+1)

  2. При х Решение различных уравнений с параметрами. (1/2; 1) уравнение решений не имеет

4) х = 1/2, а = 1/2 один корень
5.2Решение различных уравнений с параметрами.

у=2Решение различных уравнений с параметрами.

у = а

  1. при а > 1 уравнение имеет два корня х =±logРешение различных уравнений с параметрами.a

  2. при а = 1 уравнение имеет один корень х =0

  3. при а < 1 уравнение решений не имеет

Решение различных уравнений с параметрами.

















Заключение.


Как уже говорилось, алгоритма решения уравнений с параметрами нет. Но в своей работе, рассматривая уравнения различных типов: линейные, квадратные, иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические - я показала некоторые способы решения подобных уравнений. И таким образом в данной работе указаны основные направления, по которым следует идти при решении уравнений с параметрами. Кроме того, при написании данной работы я сформировала собственные навыки решения уравнений с параметрами, которые пригодятся мне при дальнейшем обучении.






Л


итература.



  1. Горбачев В.И. «Общие методы решения уравнений и неравенств с параметрами не выше второй степени». Ж. «Математика в школе», 2000г., №2, с.61-69.

  2. Маргулис А.Я. «Внимание: в уравнении параметр». Ж. «Квант», 1970г., №2, с.19-26.

  3. Мордкович А.Г. «Уравнение и неравенства с параметром» (часть первая). Газ. «Математика», 1994г., № 34, с.2-3.

  4. Мордкович А.Г. «Уравнение и неравенства с параметром» (часть вторая). Газ. «Математика», 1994г., № 36, с.2-3.

  5. Мордкович А.Г. «Уравнение и неравенства с параметром» (часть третья). Газ. «Математика», 1994г., № 38, с.2-3,8.

  6. Пронина Е. «Линейные уравнения с параметром». Газ. «Математика», 2000г., № 12, с.3-4.

  7. Романов П. «Решение задач с параметром». Газ. «Математика», 2001г., № 12, с.13-15.

  8. Смолин А. «Задача с параметром: четыре способа решения». Газ. «Математика», 1995г., № 16, с.2-3.

  9. Шарыгин И.Ф. «Решение задач: Учебное пособие для 10 кл. общеобразовательных учреждений»- М. : Просвещение, 1994г., с.111-120.

  10. Ястребинецкий Г.А. «Уравнения и неравенства, содержащие параметры. Пособие для учителей». М.: Просвещение, 1972г., с.13-48.


© 2010-2020