Коснпект урока по теме: «Производная и её применение»

Урок по алгебре и началам анализа для 11 класса

Учитель математики МБОУ СОШ №20

ст. Брюховецкой Краснодарского края

С.Н.Резникова

Тема: «Производная и ее применение».

Цель: более глубокое усвоение знаний, высокий уровень обобщения, систематизация знаний учащихся.

Задачи урока:1. Закрепить материал по теме «Производная», решение задач по теме, научить применять полученные знания на практике, показать межпредметную связь на примере математического моделирования

2. Расширить кругозор учащихся, привить интерес к предметам, способствовать формированию у учащихся целостного восприятие мира, формировать навыки работы с литературой и дополнительными источниками информации, работе с компьютером.

3. способствовать воспитанию чувства коллективизма, взаимопомощи, совершенствовать навыки общения, обучить навыкам планирования деятельности, работы в оптимальном темпе.

Урок рассчитан на 2 занятия по 40 мин.

Предварительная работа

Класс разбит на 3 группы, в зависимости от планируемого поступления в вузы: с углубленной математической подготовкой (математика, физика, информатика) - «Математики», с основной математической подготовкой (математика используется, как прикладная дисциплина - медицина, экономика, химия и т.д.) - «Прикладники», математика используется на базовом уровне (гуманитарные специальности) - «Гуманитарии»

Задания предлагаются учащимся за 2 недели до проведения урока. Учитель организует работу групп: распределяет функции внутри группы - историки, теоретики, мозговой центр - практики, специалисты ИКТ или редактор и иллюстраторы, определяет руководителя, и обязанности каждого члена группы и утверждает план работы группы, консультирует, помогает организовать взаимодействие с учителями предметниками.

Предварительное задание: каждая группа должна подготовить:

1.историческую справку о дифференциально- интегральном исчислении

2. теоретические сведения о дифференцировании.

3. примеры применение производной в своей сфере

4.выполнение практической работы (решение задач, предложенных учителем, некоторые из них (по указанию учителя) учащиеся презентуют на уроке)

Предварительное домашнее задание ( практическая работа).

Для группы «Математиков»

1.Точка движется по закону S(t)=. Доказать, что ускорение обратно пропорционально квадрату пройденного расстояния. ( a(t)= - 2/9*1/S²(t),

R=-2/9)

2. Составить уравнения касательных к кривой у=х²-4х+2, проходящих через точку А(4,1). Ответ: у=2х-7, точка касания (3,-1), у=6х-23, точка касания (5,7)

3. Построить график функции у=

4. Туристическая база А расположена в лесу на расстоянии 20км от города В. На расстоянии 10км от базы через лес проходит прямолинейный участок дороги, ведущий в город, Скорость передвижения туриста по лесу - 3км/ч, а вдоль дороги - 5 км/ч. Под каким углом α должен выйти на дорогу турист, чтобы попасть в город за кратчайшее время. ()

Для группы «Прикладников»

1. Вращение тела вокруг оси совершается по закону t) = 2t²-4t+3. Найти угловую скорость W(t) рад/с вращения тела в момент времени t=4c.

2. Определите угол, который составляет с осью х касательная к графику у=2х², в точках с абсциссами х₀ =1/4, х₀=1

3. Построить график функции у=.

4. Завод А расположен от города В на расстоянии 100км. Через город В по намеченной прямой проводится железная дорога, кратчайшее расстояние от завода А до которой составляет 50км. Под каким углом α к этой железной дороге нужно провести шоссе от завода А, чтобы доставка грузов из А в В была наиболее дешёвой, если стоимость 1 тонно-километра при перевозке по шоссе в 3 раза дороже, чем по железной дороге . ()

Для группы «Гуманитариев»

1. Закон прямолинейного движения материальной точки задан зависимостью S(t)=5t³-8t+2. Где S и t измеряются соответственно в метрах и секундах. Найти скорость и ускорение в момент времени 2с. (ответ 52м/с, 60 м/с²)

2. В каких точках касательная к графику функции у = образует с осью х угол равный 135⁰. (ответ (0,-1), (4,3))

3. Построить график функции у=4х²-х³.

4. В некоторой стране необходимо за год произвести утилизацию 10тыс. тонн токсических отходов химического производства. Для этого имеется 3 завода, мощности которых позволяют утилизировать до 2, 4, 6 тыс.тонн на первом, втором, третье заводах соответственно. При утилизации х тыс. тонн отходов в год на первом заводе выбросы токсических отходов в окружающую среду составляют kх³ тонн, а на втором и третье выбросы составляют 5kх², 10kх тонн соответственно, где k- некоторый постоянный коэффициент. Определите, на каком заводе, сколько тонн отходов надо утилизировать, чтобы общее количество токсических отходов было минимальным. (Ответ 1 завод- 2 тыс.тонн, 2 завод- 2 тыс.тонн, 3 завод - 2 тыс.тонн)

На уроке используется презентации, брощюры и плакаты, подготовленные учащимися.

Ход урока

1.Организационный момент:

Подготовка рабочего места группы, руководитель каждой группы знакомит с распределением ролей в своей группе (теоретики - подготавливали разработку темы, практики - решали задачи, редактор, иллюстратор, специалисты по ИКТ - готовили презентацию, брошюру и руководитель группы организовывал работу всех учащихся)

На доске высказывания Н.Винера

«Высшее назначение математики состоит в том, чтобы находить скрытый порядок в хаосе, который нас окружает»

«Математика - это наука молодых. Иначе и быть не может. Занятия математикой - это такая гимнастика ума, для которой требуется вся гибкость и выносливость молодости»

1.Актуализация знаний

Учащимся каждой группы предлагается карточка. Задание - подчеркнуть правильный ответ. 2 минуты на выполнение работы

Выполняется взаимопроверка работы: группы меняются карточками и выставляют оценку друг другу.

2. Подготовка одной, указанной учителем, задачи из домашней работы (1 человек из группы у доски ), например, группа М -№4, группа П -№2, группа Г- №1

В это время учащиеся рассказывают об истории возникновения дифференциально- интегрального исчисления

Группы во время рассказа дополняют друг друга. Все сведения должны иметь ссылки на достоверные источники информации. Рассказ должен быть оформлен в виде доклада. Оценка выставляется руководителями групп своим соперникам согласно критериям (достоверность, информативность, важность, эстетичность оформления)

3. Группы проводят презентацию предложенной домашней задачи.

4.Музыкальная пауза.(подготовила группа «Гуманитариев»)

5.В это время учащиеся записывают еще по 1 задаче из домашней работы.

Проводится обсуждение и решение подготовленных задач.

6. Закрепление материала.

- Задание разгадать кроссворд. Время 3 минуты (оценивается количество разгаданных слов за указанное время)

1. Расстояние между двумя точками, измеренное вдоль траектории движущегося тела (путь)

2. Физическая величина, характеризирующая быстроту изменения скорости (ускорение)

3. Одна из основных характеристик движения (скорость)

4. Немецкий философ, математик, физик, один из создателей математического анализа (Лейбниц)

5. Наука, изучающая наиболее общие закономерности явлений природы, состав и строение материи, законы ее движения (физика)

6. Изменение положения тела в пространстве относительно некоторой системы отсчета с течением времени (движение)

7. Выдающийся английский физик, именем которого названы основные законы механики (Ньютон)

8. Какие величины определяют положение тела в выбранной системе отсчета (координаты)

9. Физическая теория, устанавливающая закономерности взаимных перемещений тел в пространстве, и происходящих при этом взаимодействий (механика)

10. Наука, изучающая применение производных в физике (алгебра)

11. То, чего не достает в этом определении: «производная от координаты по … есть скорость» (время)

7.Решение группой задач.

Учитель предварительно знакомит с условием всех задач, оговаривая уровень сложности каждой из них. Учащиеся самостоятельно выбирают, из предложенных задач , одну для решения. Время на выполнение работы - 10мин.

Условия задач:

• Дождевая капля, начальная масса которой m₀, падает под действием силы тяжести, равномерно испаряясь, так что убыль массы пропорциональна времени. Через сколько секунд после начала падения кинетическая энергия будет наибольшей? (4балла)

Решение. Кинетическая энергия W_k= ,через искомое время масса станет равной m₀-kt, тогда

W_k=

W´_k(t)=

=0, t=2mₒ/3k.

• Период эпидемии гриппа длится 24 дня. В случае, если не проводить профилактических мер, количество заболевших растет пропорционально квадрату количества заболевших в день п от начала болезни и равна 20 человек через 2 дня. Найти количество заболевших в течение всего времени и больных на 24-й день.(3 балла)

Решение. Количество заболевших N=kx², где k=20:4=5. N=5*24²=2880 человек за весь период болезни.

N´(x)=2kx, N´(24)=2*5*24=240человек в последний день.

• Известно, что освещенность предмета обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника света и прямо пропорциональна косинуса угла падения луча на освещаемый объект. Пользуясь этим, определите, на какой высоте над центром круглого стола радиуса √2 нужно подвесить лампу, чтобы край стола имел наибольшую освещенность.(5 баллов)

Ответ 1м.

8.Рассказ групп о применении производной

В результате рассказа на доске и в тетрадях заполняется таблица

8. Закрепление материала. Тестовое задание выполняется индивидуально каждым. Время работы - 6мин.

Тест с записью ответа:

1.Точка движется по закону Х(t)=1,5 t²+7 t - 11. В какой момент времени скорость будет равна 13?

2.Точка движется по закону S(t)=8 t + t². Найти его скорость в момент времени t=2c.

3.Уравнение зависимости пройденной точкой М пути У от времени х имеет вид У(х)=5. Найти максимальное ускорение точки М.

4.Масса неоднородного стержня определяется по формуле М(р)=- 4р³+3р. Какова наименьшая плотность стержня.

5.Найти производную функции у = в точке х=1

Ответы: 2; 12; 10; 3; 1,4.

Самопроверка. Оценка выставляется каждому.

6.Подведение итогов. Объявление оценок.

При выставлении отметок используются оценочные листы, которые в ходе работы заполняют сами ребята.

Групп

па

Зна

ние формул

Историческая справка

Решение домашних задач

кроссворд

Решение задач в классе

Рассказ о применении

производной

Ит

ог

М

П

Г

Из выступлений учащихся:

Исторические сведения

Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия на основе двух задач:

1) о разыскании касательной к произвольной линии

2) о разыскании скорости при произвольном законе движения

Еще раньше понятие производной встречалось в работах итальянского

математика Тартальи (около 1500 - 1557 гг.) - здесь появилась касательная в

ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается

наибольшая дальность полета снаряда. В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться в работах у Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Л. Грегори. Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс.

В трактате Архимеда возникали предположения об исчислении бесконечно малых величин.

В Архимедовом трактате кроется смысл Вселенной

Нет еще производной, но все говорит о ней.

Лейбниц с Ньютоном спорили о первенстве сотворения.

Скорость с касательной сплелись в ракетостроении.

Применение производной

Физика.

Мгновенная скорость материальной точки

Мгновенное ускорение материальной точки в момент времени t Теплоемкость вещества при данной температуре

Мощность (изменение механического движения тела вызывается силами, действующими на него со стороны других тел. Чтобы количественно характеризовать процесс обмена энергией между взаимодействующими телами, в механике вводится понятие работы силы. Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят понятие мощности)

Дифференциальное исчисление в экономике

Дифференциальное исчисление - широко применяемый для экономического анализа математический аппарат. Базовой задачей экономического анализа является изучение связей экономических величин, записанных в виде функций. В каком направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при введении импортных пошлин? Увеличится или уменьшится выручка фирмы при повышении цены на ее продукцию? В какой пропорции дополнительное оборудование может заменить выбывающих работников? Для решения подобных задач должны быть построены функции связи входящих в них переменных, которые затем изучаются с помощью методов дифференциального исчисления. В экономике очень часто требуется найти наилучшее или оптимальное значение показателя: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск, минимальные издержки и т. д. Каждый показатель представляет собой функцию от одного или нескольких аргументов. Таким образом, нахождение оптимального значения показателя сводится к нахождению экстремума функции.

Эластичность спроса

Спрос - это количество товара, востребованное покупателем. Ценовая эластичность спроса это величина, характеризующая то, как спрос реагирует на изменение цены. В зависимости от текущей эластичности спроса, предприниматель принимает решения о снижении или повышении цен на продукцию.

Предельный анализ

Важный раздел методов дифференциального исчисления, используемых в экономике - методы предельного анализа, т. е. совокупность приемов исследования изменяющихся величин затрат или результатов при изменениях объемов производства, потребления и т. п. на основе анализа их предельных значений. Предельный показатель (показатели) функции - это ее производная.

В экономике часто используются средние величины: средняя производительность труда, средние издержки, средний доход, средняя прибыль и т. д. Но часто требуется узнать, на какую величину вырастет результат, если будут увеличены затраты или наоборот, насколько уменьшится результат, если затраты сократятся. С помощью средних величин ответ на этот вопрос получить невозможно. В подобных задачах требуется определить предел отношения приростов результата и затрат, т. е. найти предельный эффект. Следовательно, для их решения необходимо применение методов дифференциального исчисления.

Интерполяция

Интерполяцией называется приближенное вычисление значений функции по нескольким данным ее значениям. Интерполяция широко используется в картографии, геологии, экономике и других науках. Самым простым вариантом интерполяции является формула Лагранжа.

Применение производной довольно широко и его сложно полностью охватить. В наше время, в связи с научно-техническим прогрессом, в частности с быстрой эволюцией вычислительных систем, дифференциальное исчисление становится все более актуальным в решении как простых, так и сверхсложных задач.