Конспект урока в 9 классе Решение рациональных уравнений в ходе подготовки к ОГЭ

Конспект урока математики в 9 классе

Тема урока: Решение рациональных уравнений в ходе подготовки к ОГЭ.

Цели урока:

Образовательные • Обобщение и систематизация знаний учащихся;

• Формирование практических умений и навыков по осознанному применению полученных знаний.

Развивающие • Развитие математической речи;

• Развитие познавательной активности, умения анализировать и делать выводы;

• Развивать логическое мышление, сообразительность;

Воспитательные: • Воспитание культуры слушать своего одноклассника;

•Формирование аккуратности и внимания в письменной математической речи.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, тесты.

Ход урока:

1. Организационный момент (1 мин)

Сообщение темы и целей урока.

Слайд 1. Эпиграф урока "Ничего не делается само собой, без усилий и воли, без труда". А.И. Герцен

2. Систематизация знаний. (Фронтальный опрос, решение тестов)

Ребята, предлагаю вам перечень уравнений (Слайд 2) :

1. = +

2. 3х² - 5х + 2 = 0

3. 0,7∙(2х-5) = 17 - 2∙ (0,3 + 7,25)

4. 9х² - 1 = 0

5. х² + 7х + 12 = 0

6. 2х - 3 ∙ (х + 5) = -12

7. х² + 4х - 5 = 0

8. х² - 5х = 0

9. 7х² + 13х + 6 = 0

10. х⁴ - 26 х² + 25 = 0

11. 3х² + 8х + 5 = 0

Все эти уравнения рациональные.

Какие уравнения называются рациональными ?

( уравнения, левая и правая часть которых явл. рациональными выражениями, называются рациональными.)

Мы рассмотрели три вида рациональных уравнений: линейные, квадратные и дробно-рациональные.

1. Линейные уравнения.

Какие из приведенных уравнений являются линейными ? (3 и 6)

Вспомним алгоритм решения линейного уравнения.

Слайд 3. Алгоритм решения линейного уравнения.

Алгоритм решения линейного уравнения

2х - 3(х + 5)=-12

1.Раскрыть скобки.

2. Перенести слагаемые с неизвестными в левую часть уравнения, а известные слагаемые в правую часть уравнения. Переносят слагаемые из одной части уравнения в другую с противоположным знаком.

3.Привести подобные слагаемые.

4.Найти неизвестный множитель.

5. Записать ответ.

2х - 3х - 15 = -12

2х - 3х = -12 + 15

-х = 3

х = 3 : (- 1)

х = -3

Ответ: -3

Решите уравнение №3 (на доске) b карточки на решение линейных уравнений

= 17 - 2∙(0,3 + 7,25) 1) 5х - 3 =4х - (2х + 1) Ответ: 2/3

1,4х - 3,5 = 17 - 0,6х - 14,5 2) 9х + 2 = 3∙(7 - 2х) - 4 Ответ: 1

1,4х + 0,6х = 17 - 14,5 + 3,5 3) 3х - 1 = 5∙(х - 2) - х Ответ: 3

2 х = 6

х=6 : 2

х=3 Ответ: 3

Найдем корни уравнения №6 (устно)

2.Квадратные уравнения.

1. Какие из предложенных уравнений являются квадратными ?

2.Общий вид квадратного уравнения. ах² + вх + с = 0

3.Назовите полные квадратные уравнения.

4. Назовите коэффициенты в уравнении №11.

5.Какие квадратные уравнения называются приведенными ? (а = 1)

Назовите эти уравнения. (5, 7, 10)

6. От чего зависит количество корней квадратного уравнения. (от D = b²- 4ac)

Слайд 4. Алгоритм решения квадратного уравнения.

ax²+bx+c = 0

1. Вычислить дискриминант D = b²- 4ac.

2. Сравнить D с нулем: если D>0, то уравнение имеет два корня

x₁ = и x₂ = .

если D=0, то уравнение имеет единственный корень х =

если D<0, то уравнение не имеет корней.

Применяя алгоритм решения квадратного уравнения по вариантам выполнить тесты

№9 и №2.

к доске вызвать 2 учеников для контроля, решают молча и самостоятельно.

А) № 9 Найдите сумму корней уравнения 7х² + 13х + 6 = 0.

D = b²- 4ac = 13² - 4∙7∙6 = 169 - 168 = 1, D>0, 2к., = 1

x₁ = = = x₂ = = =-1

x₁ + x_{2 =} - 1 Ответ: - 1

Проверить № 9,

Каким свойством обладают коэффициенты этого уравнения?

b = a + c, x₁ = -1, x₂ = -c/a.

Какое еще уравнение обладает этим свойством? ( № 11)

Слайд 5. Если b = a + c , то уравнение ax² + bx + c = 0 имеет корни x₁ = -1, x₂ = -c/a.

Используя свойство коэффициентов квадратного уравнения,

найдите наибольший корень уравнения № 11

3х² + 8х + 5 = 0

устно по компьютеру рассказать решение.

b = a + c, 8 = 3 + 5 значит x₁ = -1, x₂ = = = - 1 x₁ ∙ x₂ = -1 ∙ (- 1 ) = 1

б) № 2. Найдите наибольший корень уравнения 3х² - 5х + 2 = 0.

D = b²- 4ac = (-5)² - 4∙3∙2 = 25 - 24 = 1, D>0, 2к., = 1

x₁ = = = = 1 x₂ = = = =

Ответ: 1

Проверить № 2, Обратите внимание на коэффициенты этого квадратного уравнения.

a + b + c = 0, x₁ = 1, x₂ = c/a.

Какое еще уравнение обладает этим свойством? ( № 7)

Слайд 6. Если a +b + c = 0, то уравнение ax² + bx + c = 0 имеет корни x₁ = 1, x₂ = c/a

Используя свойство коэффициентов квадратного уравнения,

Найдите наименьший корень уравнения х² + 4х - 5 = 0

устно по компьютеру рассказать решение. a +b + c = 0, 1 + 4 - 5 = 0 значит x₁ = 1, x₂ = = = -5 Ответ: -5

в) Большой вклад в науку внес французский математик Франсуа Виет.

Сформулируйте теорему Виета: (Если приведенное квадратное уравнение имеет неотрицательный дискриминант, то сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.)

x² + рх + q = 0 x₁+ x₂ = -p x₁∙ x₂ =q

При решении квадратных уравнений применяется теорема, обратная теореме Виета.

Слайд 7.

Тест №5 Найдите наибольший корень уравнения х² + 7х + 12 = 0.

По теореме, обратная теореме Виета, x₁+ x₂ = -p= -7 и x₁∙ x₂ =q = 12.

Подбором найдем, что x₁ = -4 x₂ =- 3. Ответ: -3.

г) Назовите неполные квадратные уравнения. (№4 и №8)

Почему они так называются ? (b=о или c=0) №4 и №8 на доске самостоятельно 2 ученика.

№4 Найдите сумму корней уравнения 9х² - 1 = 0.

Решение: 9х² - 1 = 0, 9х² = 1, х² = 1/9, x₁ = x₂ = - , их сумма равна 0. Ответ: 0

Слайд 8 Если в уравнении ax² + bx + c = 0 коэффициент b = 0, то уравнение ax² + c = 0 имеет корни противоположные корни x=± (-c/a>0).

Определите при каком значении параметра n корни уравнения 2х² - ( 5n -2)х - 1 =0 равны по модулю ? (отвечает устно) Решение: Корни уравнения 2х² - ( 5n -2) - 1 = 0 равны по модулю, если b = 0.

5n -2 = 0, n = 0,4 Ответ: Корни уравнения 2х² - ( 5n -2) - 1 = 0 равны по модулю при n = 0,4.

№8 Найдите произведение корней уравнения х² - 5х = 0 .

Решение: х² - 5х =0 , х∙( х - 5) = 0, х = 0 и х = 5. 0 ∙ 5 = 0 Ответ: 0

Слайд 9. Если в уравнении ax² + bx + c = 0 коэффициент с = 0, то уравнение ax² + bx = 0 имеет 2 корня x₁ = 0 и x₂ = - .

Определите при каком значении параметра n один из корней уравнения х² + 8х + n² - 6n + 5 = 0 равен нулю ?

(отвечает устно)

Решение: один из корней уравнения х² + 8х + n² - 6n + 5 = 0 равен нулю, когда с = 0

n² - 6n + 5 = 0, a +b + c = 0, 1 + (-6) + 5 = 0, значит n = 1 и n = - = 5.

Ответ: Один из корней уравнения х² + 8х + n² - 6n + 5 = 0 равен нулю при n = 1 и n = 5.

д) Как называется уравнение №10 ? (биквадратное).

№ 10. Найдите наибольший корень уравнения х⁴ - 26 х² + 25 = 0.

Решает у доски, отдельные учащиеся получают карточку

Ученик у доски объясняет решение уравнения х⁴ - 26 х² + 25 = 0.

х²=t, t² - 26t + 25 =0

D =b²-4ac=(-5)² -4∙3∙2=25-24=1, D>0,2к.,

t₁ =1, t₂ =25

1) х²=1 x = ±1 2) х²=25 x = ±5 Ответ:5.

Решить уравнение самостоятельно:

1) х⁴ - 7 х² - 18=0 Ответ: -3;3

2) х⁴ + 3 х² - 4 = 0 Ответ: √7; -√7.

3) х⁴ - 7 х² - 18 = 0 Ответ: -1; 1.

4) х⁴ - 14 х² + 24 = 0 Ответ: √2; -√2,√12;-√12

Выполните тест №2. (3мин)

3.Дробно-рациональные уравнения

Среди предложенных уравнений мы не коснулись только № 1.

Как оно называется ? (дробно-рациональное)

Вспомним алгоритм его решения.

Слайд 10. Алгоритм решения дробно-рационального уравнения.

1.Привести уравнение к виду =0.

2.Найти О.Д.З., исключив значения х, при которых знаменатель дроби равен нулю.

3. Решить уравнение Р(х) = 0.

4.Определить корни уравнения, удовлетворяющие О.Д.З., записать ответ.

№1. Решаем на доске 18/(х²-9) = х/(х+3) + 4/(х-3)

18/(х²-9) - х/(х+3) - 4/(х-3) = 0

О.Д.З. (х+3)(х-3)≠0, х≠ -3, х≠3

18 - х(х-3) - 4(х+3) =0

-х₂ -х + 6 =0

х₂ + х- 6 =0 по т. Виета x₁+ x₂ = -p= -1 и x₁∙ x₂ =q = -6,

Подбором найдем, что x₁ = 2 x₂ =- 3 (не удовл) Ответ: 2.

С помощью дробно-рациональных уравнений решают задачи.

Слайд 10. (Устно) Катер, собственная скорость которого 18 км/ч прошел 50 км по течению реки и 8 км против течения за 3 часа. Найдите скорость течения реки.

Пусть скорость течения реки равна х км/ч.

Выберите уравнение для решения задачи 1) 50(х-3) - 8(Х+3) =18

2) 50/(18+х) +8/(18-х) =3

3) 50/(х+18) +8/(х-18)=3

3.Тест

Вариант 1

Вариант 2

1.Решите уравнение 3х+16=120-х Ответ:________

1.Решите уравнение 4-х=3х+96

Ответ:________

2.Соотнесите каждое квадратное уравнение А)х²-9=0 Б)2х -х²=0 В) х²-3х-4=0 и его корни

1)0 и 2 2)-3 и3 3)-1 и 4 4) -4 и 1

А

Б

В

2.Соотнесите каждое квадратное уравнение А)х²-4=0 Б)2х +х²=0 В) х²+9=0 и его корни

1)0 и -2 2)-2 и 2 3)-3 и 3 4) нет корней

А

Б

В

3. Катер, собственная скорость которого 15 км/ч прошел 40 км по течению реки и 18 км против течения за 4 часа. Найдите скорость течения реки.

Пусть скорость течения реки равна х км/ч.

1. 15(х-4) - 18(х+4) =40

2. + = 4

3) + = 4

3. Катер, собственная скорость которого 20 км/ч прошел 18 км по течению реки и 20 км против течения за 2 часа. Найдите скорость течения реки.

Пусть скорость течения реки равна х км/ч.

1. 20(20+х) - 18(20-х) =2

2. + = 2

3. + = 2

4. Домашнее задание. № 272, № 285.

5. Подведение итогов урока. Рефлексия.

Объявить оценки за урок. Выслушать мнения учащихся о прошедшем уроке.

Слайд 11.

Продолжите предложения

"Сегодня на уроке

Я повторил … Мне понравилось… Я затруднялся… У меня получилось… Я могу… Я попробую… Меня удивило…

Используемая литература

1.Учебник «Алгебра 9 класс», Никольский С.М.

2.Учебник «Алгебра 8 класс», Никольский С.М.

3.ГИА9. Типовые тестовые задания, Ященко И.В.

4.ГИА. Математика, практикум. Лаппо Л.Д.

5.ГИА.Математика ( тренировочные тесты), Гришина И.В.