Урок по теме Геометрическая прогрессия

Алгебра 9"б" класс.

Учитель - Калинина Нина Ивановна

Тема урока: Решение задач с практическим содержанием по теме "Геометрическая прогрессия".

Цели урока:

1.Познакомить учениц с задачами с практическим содержанием по данной теме.

2.Закрепить знания обучающихся о геометрической прогрессии.

3.Способствовать выработке навыков решения задач.

Подготовка к уроку: Класс разделили на 7 команд. Каждая команда дома должна была решить свою задачу. Решение представить на уроке.

Ход урока:

«Предмет математики настолько серьезен,

что полезно не упускать случаев, делать его немного занимательным».

Б.Паскаль XVII век.

Начнем с истории. Первые представления об арифметической и геометрической прогрессиях были еще у древних народов. В клинописных вавилонских табличках и египетских папирусах встречаются задачи на прогрессии указания, как их решать.

1. В одном древнегреческом папирусе приводится задача: Имеется 7 домов,в каждом по 7 кошек,каждая кошка съедает 7 мышей,каждая мышь съедает 7 колосков,каждый из которых,если посеять зерно, дает 7 мер зерна. Нужно подсчитать сумму числа домов, кошек, мышей, колосьев и мер зерна.

Решение. Задача приводит к нахождению суммы пяти членов геометрической прогрессии:

Пусть b₁ =7;

b₂=7²= 49, тогда q = b₂ :b₁;

q = 49 : 7 = 7

Ответ: 19607

2. Теперь рассмотрим, как быстро размножается всем известная комнатная муха. Пусть муха откладывает 120 яичек и в течение лета успевает появиться 7 поколений мух, половина которых - самки. Муха самка за 20 дней вырастает настолько, что начинает сама откладывать яйца. За начало первой кладки примем 15 апреля. Самка отложила 120 яиц, из которых 60 самки. Тогда 5 мая:

Используя формулы нахождения n-го члена прогрессии, получим количество самок к 1 сентября: b₁ = 60; b₂ = 60·60 = 3600…, q = 60

b₈ = b₁*q⁷; b₈ = 60*60⁷ = 60⁸ = 60²*60²*60²*60² = 3600*3600*3600**3600 = 3600⁴ =

= 167961600000000 (самок)

167961600000000*2 = 355 923 200 000 000 мух всего за лето

3. После взрыва атомной бомбы появляется очень много радиоактивных элементов, которые очень опасны для здоровья человека. Пусть появятся 1280 атомов радиоактивного вещества, например йода. Период полураспада - 2 часа, т.е. через два часа половина атомов исчезнет. Через какое время человеку можно будет находиться на этой территории?

То есть, когда останется очень маленькое число атомов?

Решение.

Пусть b₁ = 1280; n = 9,q = .

Так как время полураспада 2 часа, то 9*2=18 ч.

Через 18 часов останется 5 атомов.

На самом деле атомов намного больше, чем мы взяли.

4. Городские слухи. Удивительно, как быстро разбегаются по городу слухи! Пусть в 8ч. утра в гимназию пришла девочка с очень интересной всем новостью. Через 1 минут эту новость уже узнали ее две подруги. Через 2 минуты уже они поделились этой новостью с 2 подругами и т.д. Через какое время об этом будет знать вся гимназия?

Решение:

Пусть b₁ = 2, q = 2

В гимназии 126 девочек

S_n = 127,

Через 6 минут эту новость уже будут знать за пределами гимназии.

5. Платок толщиной 1мм. сворачиваем каждый раз пополам 20 раз. Сможем ли мы его поместить в сумочку?

Решение:

b₁ = 1мм, q = 2, n = 20.

b₂₀ = b₁*q^20-1 = b₁*q¹⁹;

b₂₀ = 1*2¹⁹ = 2¹⁰*2⁹ = 1024*512 = 524288мм = 52428 см = 524 м

Ответ: Платок в сумочку положить не можем, т.к. его толщина велика для сумочки.

6.Дело в суде 1914 года г. Новочеркасске.

Владелец продает коня за 156 рублей. Покупатель утверждает, что конь недостоин такой цены и тогда продавец предлагает другой вариант оплаты: покупатель платит только за гвозди в подковах, а коня берет себе в дар. За один гвоздь - 1 полушка, а за каждый последующий в 2 раза больше. Покупатель обрадовался, думая, что заплатит не дороже 10 рублей. У лошади 4 ноги,6 гвоздей на каждой. Всего 24 гвоздя. ПОЛУШКА-0,25 копейки.

Решение:

Ответ: 41943,04 рублей.

Такой суммы у покупателя, конечно, не было, поэтому обратился в суд.

7. "Выгодная сделка"

Богач-миллионер возвратился из отлучки необычайно радостный: у него была в дороге счастливая встреча, сулившая большие выгоды.

"Бывают же такие удачи,- рассказывал он домашним.- Неспроста, видно, говорят, что деньга на деньгу набегает.

Вот и на мою деньгу денежка бежит. И как неожиданно! Повстречался мне в пути незнакомец, из себя невидный.

Мне бы и разговаривать с ним не пристало, да он сам начал, как проведал, что у меня достаток есть. И такое к концу разговора предложил выгодное дельце, что у меня дух захватило.

-Сделаем, - говорит, - с тобой такой уговор. Я буду целый месяц приносить тебе ежедневно по сотне тысяч рублей. Не даром, разумеется, но плата пустяшная. В первый день я должен по уговору заплатить - смешно вымолвить - всего только одну копейку.

Я ушам не верил:

-Одну копейку? - переспрашиваю.

-Одну копейку, - говорит. - За вторую сотню тысяч заплатишь 2 копейки.

-Ну,- не терпится мне. - А дальше?

-А дальше: за третью сотню тысяч 4 копейки, за четвертую 8,за пятую 16. И так целый месяц, каждый день вдвое больше против предыдущего.

-И потом что? - спрашиваю.

-Все, - говорит, - больше ничего не потребую. Только крепко держать уговор: каждое утро буду носить по сотне тысяч рублей, а ты плати, что сговорено. Раньше месяца кончать не смей.

Сотни тысяч рублей за копейки отдает! Если деньги не фальшивые, то не в полном уме человек. Однако же дело выгодное, упускать не надо.

-Ладно, - говорю .- Неси деньги.

-Я-то свои уплачу аккуратно. Сам, смотри, не обмани: правильные деньги приноси.

-Будь покоен, - говорит;- завтра с утра жди.

Одного только боюсь: придет ли? Как бы не спохватился, что слишком невыгодное дело затеял! Ну, да завтра недолго ждать".

Решение:

Пусть b₁ = 1; в месяце 30 дней

q = 2 n = 30.

Без малого 11 миллионов получил.

А отдал 100000*30 = 3000000 рублей

А ведь началось с одной копейки.

Итоги урока.

Все команды решили сами свои задачи, правильно объясняли ход решения, отвечали на вопросы класса.