МОУ Алтайская средняя общеобразовательная школа.

Калманского района Алтайского края.

Тема: «Развитие математической зоркости школьников»

Учитель Миллер Галина Васильевна.

2003г.

C введением ЕГЭ резко возросла интенсивность учебного труда школьников в процессе овладения ими программного материала по математике. В связи с этим проблема гуманизации математического образования в школе становится наиважнейшей.

Под гуманизацией математического образования следует понимать применение таких современных образовательных технологий, которые, во-первых, сохраняли бы психическое и физическое здоровье детей; во-вторых, обеспечивали бы каждому ученику приемлемый темп продвижения в изучении нового материала, способствующий уяснению оптимального для него объёма знаний; в-третьих, гарантировали бы оптимизирующий контроль усвоения знаний.

К сожалению, за последние годы число детей, страдающих невротическими и психотическими расстройствами значительно увеличилось. На Алтае психическая патология десять лет назад встречалась у двух из ста подростков; в 2001 году уже у пяти из каждой сотни. Только за две последние пятилетки у нас в крае возросло число детей-инвалидов по психическим заболеваниям почти в четыре раза. Практически у любого школьника может произойти ослабление психического здоровья вызванное тревожными мыслями, неприятными воспоминаниями, эмоциональным напряжением и т.п., что пагубно влияет на него, ослабляет его волю, подрывает душевные силы. Неслучайно Международной ассоциацией гуманистической психологии принята «Декларация моей самоценности», рекомендуемая детям подросткового и юношеского возраста для укрепления своего психического здоровья. Вот небольшая выдержка из неё: «Я принадлежу себе и поэтому я могу строить себя, я - это я и я - это замечательно».

Задача учителя в школе - организовать процесс обучения таким образом, чтобы он не вступал в противоречие с основными положениями этой декларации, чтобы он способствовал формированию у каждого ученика доброжелательного отношения к самому себе, создавал условия для успешной самореализации личности. Потому что нарушение психического здоровья вызывается не только психическим заболеванием, но и отсутствием условия для развития личности и полноценного её включения в социальную среду.

Учение - это процесс приобретения и закрепление знаний и способов деятельности. В процессе учения активизируются все виды деятельности, в том числе и умственная. Главным результатом умственной деятельности является образование функциональных систем, то есть ансамбля нейронов «специализирующихся» на решении сходных в чем-либо познавательных задач. Функциональные системы обретают способность непосредственного «схватывания» пространственных, количественных и логических отношений. При существующей практике обучения математике, в которой преобладают аналитические методы, функциональные системы для целостного овладения знаниями вовсе не возникают или возникают с большим трудом, с запозданием.

Одним из приемов их формирования является целенаправленная работа по развитию математической зоркости школьников.

Подавляющее большинство учеников, решая предложенные упражнения, действуют «вслепую», следуя определённым алгоритмам, не уделяя должного внимания анализу задания, работая по принципу «что получится».

Потребность анализа задания , умение видеть его «тонкие места» и в ходе решения их учитывать, находить и реализовать рациональные пути решения - это и есть математическая зоркость ученика, формируемая на отработке таких приемов мышления, которые учат детей догадываться, рассуждать (дедуктивный аспект мышления), находить идею решения (индуктивный аспект мышления), учитывать связи между задачами (ассоциативный аспект мышления), приучают к разумности, логичности, дисциплинированности мышления (культура мышления).

Размышляя над тем, как ученики начинают находить ответы на вопросы, требующие смекалки, приходишь к выводу, что знание ответа на вопрос помогает им установить необходимые ассоциативные связи и далее, в похожих ситуациях, эти связи «включать».

Например. Ещё в младших классах задаем вопрос: «На какое дерево садится ворона во время дождя?». Большинство детей затрудняются ответить на этот вопрос, но после того, как они получают ответ и его пояснение, можно быть уверенным, что на следующие вопросы ответ будет получен.

Например:

«Каким станет зеленый утес, если он упадет в Красное море?».

«Какие камни лежат на дне моря?».

«В 12 часов ночи лил дождь. Можно ли быть уверенным, что через 24 часа будет солнечная погода?».

Последний вопрос несколько отличается от предыдущих, но важность анализа каждого слова уже заложено в сознание учеников и обычно они на него отвечают верно. Именно ответ является для ученика тем маяком, двигаясь к которому он стремится правильно выстроить мыслительный процесс, учесть все имеющиеся условия, установить необходимые ассоциативные связи.

А потом уже можно, двигаясь без маяка самому находить ответ, не забывая о рациональности выбранного пути. То есть ученик «плывет» не по воли волн, а с использованием имеющегося опыта движения, раз за разом от простого к сложному , оттачивая своё мастерство.

Учебная деятельность учащихся по развитию математической зоркости можно организовать в различных формах, но лучшие результаты, как показывает опыт, дает именно такая их последовательность:

1. ФРОНТАЛЬНАЯ.

2. КОЛЛЕКТИВНАЯ.

3. ИНДИВИДУАЛЬНАЯ.

В процессе фронтальной работы учитель обращается к классу с заданием, имеющим ответ, предлагая учащимся попытаться его объяснить. Обговариваются все предложенные варианты рассуждений, выбирается наиболее рациональный прием решения, учитель, постоянно поощряя поиск объяснения ответа, создает атмосферу радости познания. Это этап «мозговой атаки», когда ученики набирают опыт логического анализа, озарения, устанавливают первичные ассоциативные связи.

Далее следует переход к коллективной форме работы, когда цель деятельности требует объединения усилий коллектива. Возможна работа в парах или группах. Здесь происходит дальнейшее углубление в изучаемый материал. Реализуется возможность каждому ученику ещё раз пройти по пути решения аналогичного задания, получив при необходимости помощь одноклассника. Происходит дальнейшее взращивание древа «ассоциаций» знаний.

Далее следует индивидуальная работа, которая дает возможность ученику проверить уровень усвоения им изученного материала. Здесь отдаю предпочтение работе по листам индивидуального продвижения, которые составляются для трёх уровней усвоения материала:

I уровень - базовый.

II уровень - продвинутый.

III уровень - уровень абитуриента.

Ученики вправе сами выбирать для себя лист индивидуального продвижения, задача учителя помочь правильно выбрать начальный лист. Часто ученики берут сразу три листа, двигаясь от простого к сложному, в этом случае, они могут выполнять не все задания. Если материал уже отработан, можно переходить к более интересным заданиям. Работать по листам индивидуального продвижения можно и на уроке, и дома, получая консультацию одноклассника или учителя.

В этом случае достигается состояние душевного равновесия так как ученик знает что у него есть время научиться, а возможность получения консультации вселяет уверенность в то, что все зависит от собственного упорства и что он сам - "достославный ваятель самого себя" (Пика делла Мирандолла). Для того, чтобы знания учащихся были результатом их собственного труда, поисков необходимо организовать эти поиски управлять ими, развивать познавательную деятельность.

Развитию математической зоркости способствуют решения заданий типа:

1. Найди объяснение ответа.

2. Выбери верное решение.

3. Найди ошибку.

4. Выбери рациональное решение.

5. Урок одного задания (рассмотрение нескольких приемов решения одного упражнения).

6. Тренинги по отработке приемов решения упражнений.

7. Математический спринт.

8. Зашифрованные оценки.

9. Использование «сквозных» тем.

В заключение хотелось бы сказать, что основная задача современной школы состоит в том, чтобы добиваться замечательных результатов обучения гуманными методами в гуманных формах.

Это является достойной характеристикой профессионального уровня учителя.

Приведу конкретные примеры организации работы по развитию математической зоркости. Данные задания могут быть использованы либо при изучении нового материала, либо при обобщающем повторении.

Тема: Нахождение области определения функции.

Фронтальная работа.

1. Почему для данных функций D(Y)=R?

1. y=x³+2x²+5;

2. y=;

3. y=;

4. y=;

5. y=;

6. y=;

7. y=;

8. y=;

9. y=;

10. y=;

11. y=;

12. y=;

2. Какие из указанных функций имеют D(Y)=R?

1. y=x⁷+3x⁶+5;

2. y=;

3. y=;

4. y=;

5. y=;

6. y=;

7. y=;

8. y=;

9. y=;

10. y=;

3. Почему данные функции имеют D(Y)=?

1. y=;

2. y=;

3. y=;

4. y=;

5. y=;

6. y=;

Коллективная работа в группах.

Написать условия, позволяющие найти область определения функций.

1. y=;

2. y=;

3. y=;

4. y=;

5. y=;

6. y=;

7. y=;

8. y=;

9. y=;

Проверка работы может быть осуществлена либо самими учениками по предложенному листу контроля, либо коллективное решение просматривается учителем, ошибки анализируются на следующем уроке.

Лист контроля.

Листы индивидуального продвижения должны содержать ответы, чтобы ученик мог контролировать правильность выполненного упражнения. При этом полезно несколько заданий давать без ответа. Тогда ученик может оценить уровень своего усвоения данной темы.

Листы индивидуального продвижения.

Базовый уровень

Найти область определения функции.

Задание Ответ.

1. y=

2. y=

3. y=

4. y=

5. y=

6. y=

7. y=

8. y=

9. y=

10. f(x)=

11. f(x)=

12. h(x)=

13. y=

14. m(x)=

15. g(x)=

16. y=

Продвинутый уровень.

1. f(x)=

2. y=

3. f(x)=

4. f(x)=

5. f(x)=

6. y=

7. y=

8. m(x)=

9. y=

10. y=

11. y=

12. f(x)=

13. y=

14. y=

15. y=

16. y=

Уровень абитуриента.

Найти область определения функции.

1. y=

2. y=

3. y=

4. y=

5. y=

6. f(x)=

7. f(x)=

8. f(x)=

9. f(x)=

10. y=

11. y=

12. Найти целые решения в области определения функции

y=

13. y=

14. y=

15. y=

Tема: Решение неравенств методом интервалов.

Фронтальная работа.

1. Почему данные неравенства не имеют решений?

   1. 

   2. 

   3. 

   4. 

   5. 

2. Какие из перечисленных неравенств не имеют решений?

3. Какие из данных неравенств имеют решением множество R?

4. Решение данного неравенства

является

Попытайтесь, не прибегая к помощи авторучки и листа бумаги, получить данный ответ.

5. Найти ошибки в решение неравенств.

   1. 

(-7;1)

Коллективная работа.

1. Решить неравенства:

1. 2. Все решения неравенства составляют множество:

1. 

2. [2;3]

3. [0;1]

4. 

5. [1;2]

   3. Количество целочисленных решений неравенства

равно:

1. 7;

2. 15;

3. 9;

4. другому числу;

5. бесконечно.

Лист контроля.

1. 1. 1.

2.

3.

4.

5.

1. 2. 4.

   3. 1.

Листы индивидуального продвижения.

Базовый уровень.

Решить неравенство: Ответ:

Продвинутый уровень.

Решить неравенство: Ответ:

Уровень абитуриента.

Решить неравенство: Ответ:

Тема: Решение иррациональных уравнений.

Фронтальная работа.

1. Почему данные иррациональные уравнения не имеют корней?

2. Какое иррациональное уравнение не требует проверки решений?

Коллективная работа.

Какие иррациональные уравнения не имеют корней?

Лист контроля.

2,5,6,7,8

Индивидуальная работа.

Листы индивидуального продвижения.

Базовый уровень.

Решить уравнения: Ответы:

1. 3x+1=

2. 8-2x=

3. 8-3x=

4. 

5. 2

6. x+2=

7. 

8. 

9. 

10. 2

Продвинутый уровень.

1. 4

2. Корней нет.

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 1+

10. (x+1)

11. Указание :Левую и правую части уравнения разделить на х (x)

Уровень абитуриента.

14. Указание :Левую и правую части уравнения разделить на х (х).

15. 

Тренировка «чтения» графиков функций.

Фронтальная работа.

Почему изображенный на рисунке график функции y=3 не является графиком следующих функций:

1. 

2. 

3. 

4. ;

Коллективная работа.

Построить графики следующих функций:

Лист контроля.

Листы индивидуального продвижения.

Базовый уровень.

Построить графики функций:

1. y=

2. y=;

3. y=;

4. y=

5. y=;

Продвинутый уровень.

Построить графики функций:

1. y=;

2. ;

3. y=;

4. 

5. 

Уровень абитуриента.

Графики каких функций совпадают?

Ответы:

1. 1. Графики всех функций одинаковы.

   2. и

   3. и

   4. и

   5. Графики всех функций различны.

2. Построить графики функций:

1. 1. 

   2. ;

   3. 

   4. ;

   5. 6. ;

7. ;

Ответы. Базовый уровень.

Продвинутый уровень.

4.

5.

Уровень абитуриента.

1. 5.

2. 5.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Листы индивидуального продвижения по теме «Решение показательных

неравенств.»

Базовый уровень

Продвинутый уровень.

Уровень абитуриента.

Листы индивидуального продвижения по теме «Решение логарифмических

неравенств.»

Базовый уровень.

Продвинутый уровень.

Уровень абитуриента.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. решений нет

11. 

12. 

Задание «Найди ошибку!»

При решение этих заданий используется фронтальная или коллективная формы работы. В случае фронтальной работы правильные решения следует записывать на доске, закрыть их, открыть после обсуждения.

1. Решить неравенство

Решение:

Ответ:

Лист контроля.

I система решается аналогично записанному решению, а решение второй системы будет (убедитесь в этом!)

Решением исходного неравенства будет

2. Решить уравнение

Решение:

Ответ: корней нет.

Лист контроля.

и (Можно не находить ОДЗ уравнения, а сделать проверку.)

Ответ: x=3.

3. При каких значениях параметра р уравнение имеет хотя бы один корень?

Решение.

Оценим значение выражения

Итак,

Лист контроля I (Содержит ошибку!)

Решением будет

Учитель задает вопрос: «Все ли согласны с таким решением?», «Я предлагаю вам внимательно проанализировать исходное уравнение, его левую и правую части.»

«Какой знак имеет левая часть уравнения?» (+) «А множитель ?», «Так может ли параметр р принимать отрицательные значения?», «Нет.» «А мы получили Где мы допустили ошибку?»

«А почему » «Здесь нарушено свойство числовых неравенств. Сформулируйте его»

Лист контроля II.

имеет хотя бы один корень, если число р принадлежит множеству значений выражения

Найдем множество значений функции

значит,

3). Покажем, что функция y принимает все значения от 0 до 9 включительно. При sin x=0, функция принимает значения 0, при sin x=1 - значение равное 13. Поэтому 0 - её наименьшее, а 13 - её наибольшее значение. Т.к. синус - непрерывная функция, то и функция - непрерывная функция и, значит, принимает все значения от 0 до 13. поэтому,

4). Т.к. по условию , то значение р - любое число из (0;13].

Ответ: (0;13]

4. Найти число целых решений неравенства

Решение:

При любых значениях x

Ответ: число целых решений неравенства бесконечно.

Лист контроля.

первый множитель принимает только положительные значения, следовательно, второй множитель должен принимать только неположительные значения.

Целыми решениями неравенства будут числа -1;0;1;…;6;7, число которых 9.

Ответ: 9.

5. Решить уравнение:

Решение:

Ответ:

Лист контроля.

При деление левой и правой частей уравнения на происходит потеря корня, т.к. cos x может быть равен 0: 0-2sin x*0=0; 0=0(верное равенство).

Ответ:

6. Решить уравнение:

Решение:

Произведение двух множителей равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0.

Ответ:

Лист контроля.

Произведение двух множителей равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0, а другой при этом не теряет смысл.

Ответ:

7. Найди ошибку в решении уравнения

Решение:

Лист контроля

Т.к. у исходного уравнения то при переходе к уравнению область определения уравнения сужается, что может привести к потере корня. Действительно, проверкой убеждаешься, что x=1 - корень уравнения.

Ответ:

8. Решить уравнение:

Решение:

Проверка: lg(-30) не определен.

Лист контроля.

I способ:

Ответ: x=5.

II способ при переходе от уравнения к уравнению

lg 2x=lg (x-15) происходит сужение области определения уравнения, что ведет к потере корня.

Как правило, в старших классах ученики владеют достаточными умениями осуществлять тождественные и равносильные преобразования. Первостепенной задачей для них становится выбор приема решения задания. Быстроте определения приемов решения способствуют тренинги. Их постоянное включение в урок, как показывает опыт, значительно повышает результативность обучения. Количество упражнений и частоту их повторения в тренингах выбирает учитель в зависимости от уровня усвоения учениками изучаемого материала.

Тренинги по формированию умения решать тригонометрические уравнения.

Поясни прием решения уравнения.

Объяснить: почему данные тригонометрические уравнения не имеют корней?

Тренинги по формированию умения решать показательные уравнения.

Каким методом будем решать данное уравнение?

Тренинги по формированию умения решать логарифмические уравнения или уравнения содержащие логарифмы.

Данный вид тренингов может выполняться либо при фронтальной работе с классом, либо коллективно в группах, либо индивидуально каждым учеником в форме самостоятельной работы.

Задание. Из перечисленных логарифмических уравнений выберите те, при решении которых область определения уравнения

I не расширяется,

II расширяется,

III сужается.

1. l

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

Лист контроля.

1. 1. 1,3,6,7,8,9,10

   2. 2,5

   3. 4

Задание:

Из перечисленных логарифмических уравнений выберите те, которые не требуют проверки решения.

Задание:

Почему данные уравнения не имеют корней?

Задание: При каких значениях х справедливы равенства?

Лист контроля.

1. x>7;

2. x>8;

3. x>3;

4. x<2;

5. x>0;

6. x>0;

Из перечисленных логарифмических уравнений выберите те, которые не требуют проверки решения.

Ответ: 1,5

Каким способом будешь решать следующие логарифмические уравнения и уравнения, содержащие логарифмы?

Мои ученики очень редко получают оценки "5", "4", "3", "2" и "1". Начиная с 5 класса, они свои оценки должны вычислять. Выставляя оценку таким образом, учитель получает возможность дополнительно тренировать учащихся в устном счете, закреплять изученную тему, повторять пройденный материал, подготавливать восприятие и быстрое закрепление нового (если задолго до изучения темы «логарифмы», ученикам выставлять оценки и т.д. они очень быстро начинают находить логарифмы), производить нестандартные вычисления, развивать математическую зоркость школьников. Такую оценку надо обвести, чтобы ученик не подумал, что записано исправление к его работе.

"5" -

"4" -

Такая каждодневная работа помогает довести до автоматизма использование очень важных свойств, в данном случае, логарифмической функции.

Математический спринт также направлен на оттачивание математической зоркости в выполнении вычислительных упражнений. Каждый ученик получает карточку вырезанную по контуру

Образец карточки, на которой записаны задания, выполнить которые ученики должны устно, не прибегая к помощи черновика. Эта карточка накладывается на чистый лист бумаги, ученики пишут на этом листе только ответы, далее учитель прикладывает лист контроля, проверяет ответы и выставляет оценки. Также возможны самопроверки и взаимопроверка по листам контроля. Такие задания могут содержать большое количество упражнений, но выполняются они всеми, времени для «отдыха» нет.

Тема: «Логарифмы».

Задания вычислить:

Лист контроля.

4 12

-2

5 2

36 -2 25

2 2

1 2 2

7 1 49

27 3 841 12

5 3 1

4 45

20

5

Идея использования «сквозных» тем.

«Процесс учения - это прежде всего работа нервной ткани, деятельность живого мозга…

Укрупненная дидактическая единица - это клетка учебного процесса, состоящая из логически различных элементов, обладающих в тоже время информационной общностью. Укрупненная дидактическая единица обладает качествами системности и целостности, устойчивостью к сохранению во времени и быстрым проявлением в памяти»

Эрдниев П.М.

Идея использования «сквозных» тем позволяет от эпизодических решений неравенств вида не дающих прочного усвоения приема решения, перейти к его концентрированному применению, гарантирующему глубокое и прочное усвоение.

Фронтальная работа.

1. Почему данные неравенства имеют решением R?

1. 1. 

   2. 

   3. 

   4. cos x-7<0;

   5. 

   6. 

   7. 

2. Решить неравенства.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. sin 2x >-3;

6. sin 2x <-3;

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

III. Найти ошибку в решении неравенства

Решение. (Записано на доске)

После проведения анализа решения ученики приступают к его коллективному решению

Пусть осуществив постановку, получим неравенство второй степени

1 случай. t<1. возрастающая функция, то х<0.

2 случай.
Ответ:

Коллективная работа в парах.

Работа по листам индивидуального продвижения.

Базовый уровень.

Решить неравенство.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. .

6. 

Продвинутый уровень.

Уровень абитуриента.

Решить неравенство.

Тема: Решение уравнений вида

Фронтальная работа.

1. Найди ошибку в решении уравнения.

Открывается таблица, предварительно записывается правило «условие равенства произведения двух множителей нулю.»

Таблица

Неправильно Правильно

Коллективная работа.

Не находя корни уравнения, запишите условия позволяющие их определить.

На первых порах отработка навыков решения уравнения данного вида надо выработать потребность анализировать D(f) и D(g) каждого множителя, поэтому если D(f)=R или D(g)=R, то нестрашно, если ученик запишет систему

В дальнейшем он сможет прийти к пониманию более рациональной записи.

Лист контроля.

Рациональная запись.

Листы индивидуального продвижения.

Базовый уровень.

Решить уравнение.

Сколько корней имеет уравнение?

Продвинутый уровень.

Решить уравнение.

Сколько корней имеет уравнение?

Уровень абитуриента.

Решить уравнение.

Сколько корней имеет уравнение:

Решить уравнение:

Список литературы.

1. Кривоногов В.В. Нестандартные задания по математике: 5-11 классы, Первое сентября, 2003 г., 224 с.

2. Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе, М.:Просвещение, 1983г., 163 с.

3. Эрдниев П.М. Преподавание математики в школе, Москва, Просвещение, 1978 г.;304 с.

4. Единый государственный экзамен 2002.: Контрольные измерительные материалы:Математика /Л.О. Денищева, Е.М. Бойченко, Ю.А. Глазков и др. - М.:Просвещение, 2003 г.-123 с.