Разработка. Исторический материал рекомендованный к использованию на уроках математики

Исторический материал, рекомендуемый к использованию на уроках математики.

В этом разделе будут рассмотрены фрагменты исторических материалов, предлагаемых для использования на уроках математики в пятых, шестых и седьмых классах.

Элементы истории на уроках математики в пятом классе.

1. Чтение и запись натуральных чисел.

Начав урок по теме: «Обозначение натуральных чисел» учителю непременно понадобится следующий материал из истории.

Прежде всего, необходимо упомянуть о том, как люди учились считать. Как с течением времени менялись изображения цифр. Трудно предположить, что этот материал можно дать без привлечения наглядности. Поэтому необходимо заранее приготовить плакаты с изображением цифр у различных народов. Материал для данных плакатов может быть взят из следующих книг: «За страницами учебника математики» Депмана И.Я. и Виленкина Н.Я. (стр. 37-41), «История математики в школе IV-VI классы» Глейзера Г.И. (стр. 15-18, 31, 33-34, 49-50).

Одним из древнейших, дошедших до нас трудов по арифметике является учебник «Вопросы и решения» армянского философа и математика Анании Ширакаци, жившего в VII веке. В его книге применяется алфавитная нумерация. Десятичная алфавитная нумерация была распространена и в Киевской Руси. В древности на Руси писали числа при помощи букв славянского алфавита, над которыми ставили особый значок - титло.

И только после того, как дети на практике убедятся, на сколько сложно и не совершенно было использование данных нумераций, будет целесообразно обратится к истории привычных для них цифр.

Для счета предметов используют натуральные числа. Любое натуральное число можно записать с помощью десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Эти цифры иногда ошибочно называют «арабскими». Хотя впервые они появились в Индии, и правильнее было бы называть их индийскими. Эти цифры прошли долгий путь, прежде чем появились в России и попали они к нам в трудах арабских ученых. Именно из-за этого и появилось ошибочное название цифр - «арабские».

Десятичная система письменного счисления возникла в Индии около 2000 лет назад, в Европе она распространилась благодаря труду по арифметике среднеазиатского ученого Мухаммеда ал-Хорезми (787-850 гг.). По возможности необходимо показать портрет этого ученого.

Цифра «0» появилась в Индии самой последней, только в IX веке.

А теперь имеет смысл посмотреть какие сведения из выше приведенных можно найти в школьных учебниках математики.

Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин «Математика, 5 класс», - М. Просвещение, 1994 - 272 с. (стр. 37-39)

1) Описание египетских цифр от 1 до 9.

2)Изображение римских цифр.

3)Арабские цифры, но индийское происхождение этих цифр не упоминается.

4)Изображение цифры ноль

Все сведения включены в объяснение нового материала.

Э.Р. Нурк «Математика, 5 класс», - М. Просвещение, 1990 - 304 с. (стр. 7-8). Все сведения даны после теоретического материала в разделе «Исторические сведения»

Упоминается, что современные цифры появились в Индии, а через арабов попали в Европу. Первая позиционная система счета появилась в Древнем Вавилоне (шестидесятиричная). Принцип построения не дан. Но говорится, что частично эта система счисления используется до сих пор. Например, при делении часа на 60 минут, минуты на 60 секунд и так далее. Даны римские цифры.

Л.Н. Шеврин, А.Г. Гейн «Математика: Учебник - собеседник для 5 класса», - М. Просвещение, 1994 - 319 с. (стр. 144-1457). Сведения даются в разделе «Большая перемена», достаточно далеко от темы, с которой связаны. Основное внимание уделяется римским цифрам. И лишь вскользь упоминается, что арабские цифры были изобретены в Индии.

С.М. Никольский «Арифметика, 5 класс», - М. Издат. Отдел УНЦ ДО МГУ, 1996 - 304 с. (стр. 80-82). Раздел «Исторические сведения» в конце Главы 1. Натуральные числа и нуль. Рассказывается об обозначениях для чисел у многих племен Австралии и Полинезии. Обозначение чисел в Древнем Египте и Киевской Руси. Римские цифры и вавилонская система счисления. Рассказывается, что современные цифры зародились в Индии в V веке. В IX веке ими уже владели арабы, в X веке они дошли до Италии, а в XII веке появились в других странах Европы, но широкое распространение получили лишь в XVI веке. В России распространение десятичной системы счисления началось лишь в XVII веке.

Н.Я. Виленкин «Математика, 5 класс», - М. Мнемозина, 1998 - 384 с. (стр. 43-45). Материал дан в конце первого параграфа: «Натуральные числа и шкалы». Основное внимание уделяется русскому алфавитному счету и римской нумерации.

И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович «Математика, 5 класс», - М. Мнемозина, 2002 - 293 с. (стр. 7-10). Материал дается при объяснении первого параграфа «Десятичная система счисления». Много внимания уделено римским цифрам и значимости цифры «0».

Если внимательно присмотреться к историческому материалу, который дан в учебниках, то легко заметить, что математика на этом этапе не имеет ни «имени» ни «лица». Не упоминается имя человека благодаря которому Европа познакомилась с индийскими цифрами. Нет имени человека, который распространил эти цифры в России. Нет ни одного портрета. Почти нет начертания цифр у других народов. Напрашивается вывод, что материал учебников не достаточно проиллюстрирован.

Что касается задач к этой теме, то их можно предложить много:

1. Используя римскую систему нумерации, прочитайте числа: I, II, IV, VII, IX, XI, XVII, MCMXCV.

2. Используя римскую систему нумерации, запишите числа: 6, 8, 12, 18, 19, 20, 23, 24.

3. На одной из старых улиц Москвы стоят два дома, на фасадах которых обозначены даты их постройки: MDCCCCV и MDCCCLXXXXIX. В каком году построен каждый дом?

4. В предыдущем задании упростите запись чисел, учитывая, что четыре одинаковые цифры подряд обычно не пишут.

Эти задачи взяты из книги С.М. Никольского и др. «Арифметика» (стр. 61-62)

5. Выполните действия:

MMCCCXXV:(LVI+LIII) - CCCLXIX ;

VI(VVCCCLII:LVI+CLXVII);

(MMMCCCXLIX - XVIII*CVIII):V;

(MMMCV:XXVII+LXXV)LXXXVII.

Данная задача взята из сборника «Дидактические материалы по математике. 5 класс», Чулков П.В. (стр. 137-138)

2. Арифметические действия над натуральными числами (сложение, вычитание, умножение и деление).

Для облегчения работы вычислителя в Древнем Вавилоне были созданы различные таблицы, в том числе и таблица умножения. Ребятам хорошо известно как выглядит таблица умножения на обложках их тетрадей, но ведь не менее интересно посмотреть, а как она выглядела раньше. Например, в «Истории арифметики» И.Я. Депмана можно найти как выглядела таблица умножения у Шюке (1484).

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

2 2 3 4 5 6 7 8 9 0

4 6 8 10 12 14 16 18 0

3 3 4 5 6 7 8 9 0

9 12 15 18 21 24 27 0

4 4 5 6 7 8 9 0

16 20 24 28 32 36 0

5 5 6 7 8 9 0

25 30 35 40 45 0

6 6 7 8 9 0

36 42 48 54 0

7 7 8 9 0

49 56 63 0

8 8 9 0

64 72 0

9 9 0

81 0

0 0

0

У Видмана (1489).

1

2

2

4

3

3

6

9

4

4

8

12

16

5

5

10

15

20

25

6

6

12

18

24

30

36

7

7

14

21

28

35

42

49

8

8

16

24

32

40

48

56

64

9

9

18

27

36

45

54

63

72

81

Греки и римляне считали с помощью счетной доски - абака. Доска абака была разделена на полоски. Каждая полоска предназначалась для откладывания тех или иных разрядов чисел; в первую полоску ставили столько камешков или бобов, сколько в числе единиц, во вторую полоску - сколько в нем десятков, в третью - сколько в нем сотен и так далее. Здесь удачен будет показ на доске рисунка абака, схематически он может быть выполнен до урока мелом. На этом рисунке можно попытаться набрать с ребятами какое-либо число. Или, нарисовав камушки (жирными точками) в соответствующих полосках, спросить у учеников - что это за число. Можно также дать возможность ребятам самостоятельно набрать какие-нибудь числа с помощью нарисованного на доске абака.

Дополнительную информацию об этом древнем приборе учитель может получить из книги И.Я. Депмана «История арифметики», страницы 79-83.

Любопытно ребятам будет узнать, что современное слово калькуляция (калькулятор) произошло от римского калькулюс - камешек в абаке.

Русский аналог абака - счеты. Аналогичный прибор употребляли для счета многие народы. Индийские брахманы употребляли косточки на шнурке, которые они перебирали, перечисляя имена богов. От них произошли четки христианских монахов, у которых такие же косточки на шнурке служили для счета повторяемых молитв. Необходимо показать счеты и проиллюстрировать принцип работы с ними.

В средневековой Европе повсеместно использовались римские цифры, но, поскольку работать с ними трудно, непосредственно вычисления производились на абаке. В XII веке была переведена на латинский язык книга аль- Хорезми, с этого времени в Европе начался постепенный переход на арабские цифры и новую систему счета. Однако поклонники абака не спешили сдавать позиций. Новое укоренялось с трудом. Борьба между абацистами и алгоритмиками закончилась только в XVII веке победой новой системы счета.

Интересным для ребят может стать разговор о знаках арифметических действий, которыми они пользуются, не зная их истории.

Многие века знаки действий люди писали словами; сначала полностью, а затем сокращая. Потребовались тысячи лет, прежде чем люди условились обозначать действия так, как обозначаем мы.

Для такого урока понадобится следующая таблица:

Знаки арифметических

действий

Когда введен

В математику

Кто ввел в обиход

«+» и «- »

«х»

«.»

«:»

«=»

«( )»

«<» и «>»

Конец XV века

1631 год

1693 год

1684 год

1557 год

XVI век

1631 год

Итальянский ученый

Леонардо да Винчи.

Английский ученый

У. Аутрид.

Немецкий математик

Г. Лейбниц.

Английский математик

Р. Рикорд.

Итальянские математики.

Английский математик

Т. Гарриот.

Знаки + и - появляются как бы случайно у Видмана(1489), Штифеля (1545), Риза (1550). Производя впечатление, что они не «аборигены» (уроженцы) математики, а «пришельцы» из других областей. В частности из торговой практики.

Первой печатной книгой, содержащей изложение приемов вычислений с применением знаков «+» и «-», является руководство Грамматеуса (1518). Для избежания путаницы в XVII веке знак минус стали обозначать . Эту форму знака вычитания мы видим в алгебраической части «Арифметики» Магницкого.

Точка в качестве знака умножения появилась у Региомонтана (1436-1476), затем у Гарриота (1631).

Горизонтальная черта в качестве знака деления имеется у Леонардо Пизанского (XIII век) и позаимствована им от арабов. Знак деления «:» впервые встречается у Джонсона (1633). Пелль (1610-1685) вводит знак деления «», употребляемый до сих пор в Англии и Америке.

Приемы сложения чисел в современном виде возникли в Индии. Индийцы складывали многозначные числа слева направо, «стирая» без труда в числе, написанном в качестве суммы, цифру, если нужно было ее увеличить. Результат сложения в Индии писали не под колонками слагаемых, а над ними - прием, который встречается у греков и римлян. Индийский прием сложения усвоил Мухаммед ал-Хорезми в начале IX века и передал его арабам и через них Европе. Сакробоско (середина XIII века), профессор математики и астрономии в Париже, внедрил в Европе через свое руководство правило сложения чисел справа налево. С XV века способ сложения уже не отличается от современного.

При выполнении действия вычитания применялись в различные времена два приема: 1) отсчитывание от уменьшаемого единиц вычитаемого, 2) прибавление к вычитаемому такого числа, чтобы в сумме получилось уменьшаемое. Второй прием получил в новое время название австрийского способа.

Первый способ берет свое начало из Индии, где он выполнялся слева направо, что было практически не трудно при легкости «стирания» подлежащей изменению цифры при индийском способе письма. Все записи делались на дощечках, посыпанных песком. При выполнении действия не на дощечках с песком пришлось ввести неудобный способ перечеркивания и надписывания цифр. Вот как выглядит вычитание по раннему переводу книги ал-Хорезми (по-видимому, сделанному Иоанном Севильским,XII век).

1) 9 2) 8 3) 8

12025 94 94 1

3604 12025 12025

3604 3604

Смысл записей следующий:

1. 12-3=9; результат записывается сверху, использованные цифры зачеркиваются (или подчеркиваются, как у меня).

2. 6 (сотен) из 0 (сотен) вычесть нельзя, берется от полученного числа 9 (тысяч) одна; 10 (сотен) минус 6 (сотен), получаем 4 (сотни). Перечеркивается 9, равно как и использованные цифры, 0 и 6, надписываются 8 и 4.

3. 2 десятка - 0 = 2 десяткам, перечеркивается лишь 0.

4. 5 - 4=1, перечеркиваются 5 и 4 и надписывается 1. Получается в виде числа из неперечеркнутых цифр 8421. Вычислитель, знакомый с методом, писал только третий этап записи.

Западные арабы ввели правило начинать вычитание от правой руки, однако, в Европе еще Рамус (конец XVI века) рекомендует начинать вычитание слева.

Немецкий автор Петценштейнер (XV век) советует выполнять умножение (456х97) следующим образом:

456

3192 7

4104 9

44232

В «Арифметике» Магницкого приведен такой способ умножения:

481

399

1443

4329

4329

191919

4

5

6

4

3

6

4

5

5

4

9

4

2

8

3

5

4

2

7

2

3

2

Очень распространенным в старину был способ умножения «решеткой», называвшийся в Италии Gelosia (джелозия, жалюзи - решетчатые ставни). Умножение чисел 456 и 97 по этому способу располагается так:

Множимое стоит над решеткой (в верхней строке), множитель справа, написанный сверху вниз. От умножения каждой цифры множимого на каждую цифру множителя получаются однозначные или двузначные числа, десятки этих чисел пишутся в соответствующей клетке над наклонной чертой, единицы - под ней. Цифры произведения получаются сложением чисел по наклонным полоскам решетки, начиная справа. Самая правая полоса дает 2, именно, эта цифра записана под ней. Затем 4+4+5=13, под полосой записывается цифра 3, а число десятков перекидывается в следующую полоску. Далее 1+5+5+3+8=22, 2 пишем и 2 запоминаем. Потом 2+4+6+2=14, 4 пишем - 1 запоминаем. Последнее 1+3=4, записываем 4. Итак, результат выполнения умножения следующий - 44232.

У некоторых авторов встречается и такой способ записи действия умножения:

456х97

36

45

54

42

35

28

44232

Наш современный способ умножения стал единственным, применяемым на практике со времен учебников Адама Риза (XVI век).

Проиллюстрировать способы выполнения действия деления достаточно сложно, поэтому их можно либо опустить, либо обратиться к ним на занятиях математического кружка.

К вышеприведенному материалу хорошо подойдут следующие задачи:

1) Задача Рачинского С.А. Летом у меня целые сутки было открыто окно. В первый час влетел один комар, во второй - 2, в третий - 3 и так далее. Сколько комаров налетело за сутки?

2) С завода отправили 9 подвод с посудой, на каждой по 2 ящика, и в каждом ящике по 45 дюжин тарелок. Сколько тарелок отправлено с завода.

3. Квадрат и куб чисел.

Необходимо рассказать, что первые таблицы квадратов и кубов натуральных чисел появились еще в Древнем Вавилоне и примером тому служат первая и вторая таблицы Сенкере.

Первая таблица Сенкере.

На этой таблице помещены квадраты чисел от 1 до 60, выраженные по шестидесятиричной системе счисления. Вот пример записи:

1х21 есть квадрат 9

2х1 есть квадрат 11

2х49 есть квадрат 13

3х45 есть квадрат 15

4х16 есть квадрат 16

-//-//-//-//-

25х21 есть квадрат 39

-//-//-//-//-

56х4 есть квадрат 58.

Проверьте справедливость этой записи.

и так далее.

Вторая таблица Сенкере.

На этой таблице помещены кубы чисел от 1 до 32, выраженные в шестидесятиричной системе счисления. Вот пример записи:

2х5 есть куб 5

3х36 есть куб 6

5х43 есть куб 7

8х32 есть куб 8

-//-//-//-//-//-//-//-//-

1х8х16 есть куб 16

-//-//-//-//-//-//-//-//-

9х6х8 есть куб 32

Проверить справедливость этой записи.

.

Тяжело не согласиться с тем, что эти задания являются более интересными, чем те, что предложены в наших учебниках.

4. Буквенные выражения и уравнения.

Несмотря на то, что эта тема изучается в начале 5 класса, она слишком сложна для изучения. Опыт показывает, что большинство учащихся не имеют навыков арифметического решения задач. А это говорит о том, что и алгебраическое решение задач будет достаточно сложным для них. Ведь именно учась решать задачи арифметически, мы учимся анализировать условие задачи. Мы разбираем, что известно и что необходимо найти. Мы выясняем, каким путем, двигаясь от известного, можно получить то, что необходимо найти. Для этого мы составляем краткую запись. Но что же мы имеем на данный момент в школе. Учителя начальных классов жалуются на нехватку времени, и чтобы ее как-то компенсировать учат решать задачу без составления краткой записи и экономя время на проведении анализа условия задачи. Учителя 5 классов сталкиваются с тем, что ребенок не может по условию задачи составить краткой записи, а, следовательно, не может проанализировать условие. Из этого можно сделать пугающий и настораживающий вывод - большинство детей не умеют решать задачи. Поэтому основной задачей 5 класса можно считать преодоление недостатков образования, полученного в начальной школе. Поэтому исторический материал по теме «Уравнения» целесообразно давать в шестом классе.

5.Обыкновенные дроби.

Первая дробь, с которой познакомились люди, была, наверное, половина или . За ней последовали , , …, затем , и так далее, то есть самые простые дроби, доли целого, называемые единичными или основными дробями. У этих дробей числитель всегда 1. Некоторые народы древности, например, египтяне, выражали любую дробь в виде суммы только основных дробей, исключение составляла лишь дробь , для которой было свое обозначение. Для иллюстрации хорошо взять таблицу, помещенную в книге Глейзера на странице 28.

Задание ученикам. Проверить следующие представления дробей, приведенные в папирусе Ахмеса.

; ; ;

.

Казалось бы, не умея складывать дроби с разными знаменателями, невозможно выполнить задание. Но это совсем не так. Можно провести следующие рассуждения:

1. Разделим квадрат на 66 равных частей, одна из них составляет квадрата.

2. Сколько таких частей составляют от первоначального квадрата? 11. Тогда .

3. А сколько частей составляют ? 12, тогда .

4. А сложить две дроби с одинаковыми знаменателями очень просто.

Эти задания можно дать при изучении темы «Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями». А затем вернуться к ним же при объяснении темы «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями» в шестом классе.

В том же папирусе Ахмеса есть и такая задача: Разделить 7 хлебов между 8 людьми. Правда, знакомая задача? С некоторыми изменениями в условии эта задача нередко встречается в сборниках занимательных задач.

Первое, что сделают дети, приступив к решению задачи, они попытаются разделить 7 на 8. Поняв, что это невозможно, они начнут «резать» эти хлеба. И первое предложение будет разрезать каждых хлеб на восемь частей, и каждому человеку раздать по семь таких частей, то есть каждый должен будет получить по хлеба. Тогда необходимо будет дополнить условие задачи требованием наименьшего количества разрезов. А вот это уже не так и просто. Но как убеждает практика, долго ждать правильного ответа не придется. Можно проиллюстрировать.

4 хлеба разрежем пополам, 2 - на 4 части и 1 - на 8 частей, и каждый получит: половину, четверть и восьмую часть хлеба, по-другому это можно записать так:

.

Старейшим арифметическим памятником Киевской Руси является сочинение о календаре, написанное на славянском языке в 1136 году и названное «Учение им же ведати человеку числа всех лет», то есть «Наставление, как человеку познать счисление лет».

Автор сочинения - ученый монах Кирик Новгородец, о жизни которого известно немного. В календарном счете Кирик пользуется конкретными дробями, «дробными числами»: и так далее. По мнению В.П. Зубова, счет по и так далее оригинальное русское явление, не имеющее аналогов в календарных вычислениях других народов.

В Индии дроби записывались так же, как мы это делаем сейчас, но дробную черту не писали. Например, дробь писали так: 1, а под ней 2, а смешанное число писали так: сверху 3, под ней 2 и самое нижнее число 5. Иногда целую часть представляли в виде дроби со знаменателем 1, и тогда смешанное число записывалось в два столбика. В первом столбике 3, а под ним 1, во втором 2, а под ним 5.

Чертой для отделения числителя от знаменателя пользовались еще Герон Александрийский (I век), Диофант (III век). Затем она встречается у арабского ученого Хасеара (XII век) и у Леонардо Фибоначчи (XII-XIII века), после Леонардо Фибоначчи дробная черта стала использоваться повсеместно.

В русском языке слово «дробь» появилось в VIII веке, оно происходит от глагола «дробить» - разбивать, ломать на части. В первых учебниках математики (в VII веке) дроби так и назывались - «ломаные числа». Названия «числитель» и «знаменатель» ввел в XIII веке Максим Плануд - греческий монах, ученый - математик.

Подбирая задачи к этой теме нельзя обойти вниманием задачи на нахождение части от числа и числа по его части.

1. Купивши комод за 36 рублей, я потом вынужден был продать его за цены. Сколько рублей я потерял при этой продаже? (15 рублей).

2. Франция XVII-XVIII века. Трое хотят купить дом за 24000 ливров. Они условились, что первый даст половину, второй - , а третий оставшуюся часть. Сколько даст каждый? (12000, 8000 и 4000).

3. Из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого (1703 год). Некто оставил в наследство жене, дочери и трем сыновьям 48000 рублей и завещал жене всей суммы, а каждому из сыновей вдвое больше, чем дочери. Сколько досталось каждому из наследников? ( 6000 жене, 6000 дочери и по 12000 каждому сыну).

В книге А.В. Шевкина «Обучение решению текстовых задач в 5-6 классах» на странице 67 приведено решение этой задачи из «Арифметики» Магницкого.

4. Из папируса Ахмеса (Египет, около 2000 года до нашей эры). Приходи пастух с 70 быками. Его спрашивают:

- Сколько приводишь ты из своего многочисленного стада?

Пастух отвечает:

- Я привожу от скота. Сочти! Сколько быков в стаде? (Всего в стаде 315 быков).

5. Из книги Иоганна Хемелинга «Арифметико- поэтические и исторические часы развлечения» (1600 год). Пятая задача.

Когда Гераклом Герион

Был в жаркой битве сокрушен,

То победителю в награду

Быков отличных было стадо;

Быков на луг отправил он

И погрузился в крепкий сон.

Но сын Вулкана Какус смелый

К быкам, как вор, подполз умело

И сделал все, что он хотел:

Он отобрать себе успел

Одну шестнадцатую стада;

Теперь добычу спрятать надо.

В пещеру он быков загнал,

Куда свет дня не проникал,

И вход туда прикрыл надежно:

Найти быков здесь невозможно!

Когда Геракл пришел на луг,

Он насчитал сто двадцать штук

И не осталось в нем сомненья,

Что состоялось похищенье.

В нем сердце закипело злобой,

Быков он ищет, смотрит в оба,

И вдруг как бы из-под земли

Услышал, что ревут они.

К пещере бросился он в гневе,

Все разметал он в этом хлеве

И Какуса убил в мгновенье;

Быков добыл из заточенья.

И стадо он угнал скорей, -

Все получил царь Эвристей.

Теперь скажи мне, вычислитель,

Скольких быков злой похититель

Из стада увести сумел,

И сколько всех быков имел

Геракл могучий и отважный, -

Все это знать нам очень важно.

Как не скрывай проделок след,

А правда все ж увидит свет. (Всего было 128 быков, похитили 8).

Старинные задачи по теме «Обыкновенные дроби» можно найти лишь в единственном школьном учебнике, а именно «Арифметике» Никольского С.Н.

6. Десятичные дроби.

В этой теме интересным для учеников материалом станут сведения, посвященные ответу на два вопроса: «Кто изобрел десятичные дроби?» и «Как появилась запятая в десятичных дробях?»

Итак, кто же изобрел десятичные дроби? Десятичные дроби впервые были употреблены знаменитым узбекским ученым ал-Каши. В начале XV века в Средней Азии вблизи города Самарканда была создана большая обсерватория. В ней производились наблюдения за движением звезд, планет и Солнца, вычислялись дни праздников и так далее. В обсерватории работали лучшие ученые того времени. Этим учреждение и руководил ал-Каши.

Такого рода исторический материал может быть использован для приобщения учащихся пятого класса к самостоятельным выступлениям перед большой аудиторией. Учитель должен раздать заранее подготовленный им текст короткого выступления, на 3-4 минуты, тем ученикам, на которых он может положиться. Хотя сам учитель должен быть готов к любой неожиданности и мог бы продолжить рассказ.

Итак, в марте 1427 года ал-Каши закончил книгу «Ключ к арифметике». В первой главе второй книги автор пишет: «Астрономы применяют дроби, последовательными знаменателями которых являются число 60 и его степени; они называют их (доли) минутами, секундами, терциями, квартами и так далее. Мы ввели, по аналогии с правилом астрономов, дроби, в которых последовательными знаменателями являются число 10 и его степени. Мы называем степени (доли) десятыми, десятичными секундами, десятичными терциями, десятичными квартами и так далее».¹

В последующих главах ал-Каши подробно излагает правила действий над десятичными дробями. Для отделения дробной части в десятичной дроби ал-Каши употребляет различные приемы: 1) пользуется чернилами разного цвета; 2) отделяет целую часть от дробной вертикальной чертой; 3) заключает ту и другую части числа в отдельные прямоугольники; 4) надписывал над каждой цифрой название разряда.

Труды ал-Каши долго не были известны европейским ученым. А потребность в упрощении записи и действий с дробями была большая. В Европе впервые подробно описал десятичные дроби талантливый фламандский инженер и ученый Симон Стевин (1548 - 1620).

Дроби 0,3752 и 8,937 он писал так: 3 1 7 2 5 3 2 4, 8 0 9 1 3 2 7 3, или 0,54 - 54 2. При выполнении действий с десятичными дробями Стевин применяет более разумный способ письма:

1 2 3 4

_ 2 3 7 5 7 5

5 9 7 3 9

1 7 7 8 3 6.

Особенно громоздкой оказывается запись умножения, например :

4 5 6

3 7 8

5 4 2

1 5 1 2

1 8 9 0

2 0 4 1 2

4 5 6 7 8

Хорошо было бы проиллюстрировать материал, показав копию страницы из книги Стевина. Такую копию можно найти в книге Депмана «История арифметики» на странице 245.

Одновременно со Стевином к идеи десятичных дробей пришел самоучка Иост Бюрги (1552-1632), идею которого воспринял Кеплер (1571-1640), изображавший в своих таблицах десятичные дроби уже проще. Например, дробь 0,567 он записывал следующим образом 0/576.

Запятую для отделения целой части числа от дробной ввел Непер (1550-1617) в 1617 году; он же предложил для этой цели точку, хотя ее употреблял уже Клавий в 1593 году. Позднее систематически точкой стал пользоваться Райт (1618).

Периодические десятичные дроби появились в научных трактатах с XVII века, а в учебниках - с XIX века.

Примеры простейших случаев обращения обыкновенной дроби в десятичную и обратно были уже у Апина (1527). Излагает впервые теорию вопроса Кавальери (1598? - 1647) в 1643 году, не рассматривая периодичности.

Большой трактат по алгебре Валлиса (1616-1703), изданный в 1676 году, содержит ряд предложений о периодических дробях. Валлис знает от обращения каких обыкновенных дробей получается периодическая чистая или смешанная дробь, сколько цифр содержит период, как превратить периодическую дробь в обыкновенную.

Школьное правило обращения чистых и смешанных периодических дробей в обыкновенные впервые излагается в руководстве Августа (1822). Термины «чистая» и «смешанная» периодическая дробь впервые встречаются в руководстве Копе(1836).

Большое количество задач с историческим содержанием по теме «Десятичные дроби» можно найти в книге братьев Перли «Москва и ее жители».

1) Московский Кремль XI века занимал 1,5 га. Площадь Кремля, построенного при Юрии Долгоруком, - на 7,5 га больше. Вычислите площадь нового Кремля.

2) Южная стена Кремля имеет длину 0,685 км, восточная - на 0,045 км длиннее. Вычислите длину восточного и западного участка стен, если известно, что протяженность стен Кремля 2,235 км.

3) Вычислите с точностью до 1 т массу грунта, который вынули землекопы при строительстве оборонительного рва на Красной площади, если известно, что ров был длиной 539,8м, глубиной - 12,8 м, шириной - 36,3 м, а масса 1 кубического метра грунта - 2,5 т.

Примечание. Сечение рва представляет собой трапецию, так как для прочности стен их делали с небольшим наклоном. Но для простоты вычислений примем, что стены рва были отвесными, а ров являлся прямоугольным параллелепипедом.

4) На шитье кафтанов для 4 статуй выдали 12 аршин сукна. Сколько метров сукна пошло на один кафтан, если известно, что 1 аршин =0,71 м?

5) «У поставца стояли в золотах» дьяки и ключники, число которых составляло 0,2 от числа стольников и чашников, прислуживавших царю. Сколько человек стояло у поставцов, если царю прислуживало 80 человек?

6) В XI веке на Руси было в 3,56 раза больше городов, чем в IX-X веках. В XII веке их было на 135 больше, чем в XI веке. В середине XIII века - на 47 больше, чем в XII веке. Сколько городов имелось на Руси в середине XIII века, если известно, что их в то время было больше, чем в IX-X веках на 246?

7) В середине XV века Русь платила Орде 7 тысяч рублей в год. После победы под Алексином дань сократили на 0,4 от этого количества. Вычислите величины дани после 1472 года.

В России теория десятичных дробей была впервые изложена в книге Леонтия Магницкого «Арифметика», изданной в 1703 году.

7. Проценты.

В этом разделе необходимо рассказать об истории возникновения процентов, а также об истории появления на свет знака для обозначения процентов.

Слово процент происходит от латинских слов pro centum, что буквально означает «за сотню» или « со ста». Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. От римлян проценты перешли к другим народам Европы.

Процентные операции широко практиковались в Вавилоне, о чем свидетельствуют дошедшие до нас таблицы процентов. Законодательство различных народов стремилось установить верхнюю границу допустимой процентной таксы. Банк Делосского храма (V-IV века до нашей эры) устанавливает норму в 10%, которая снижается до 6-8% с сумм, выдаваемых при обеспечении недвижимостями, и повышается до 20-33% с займов на торговые предприятия, связанные с морскими перевозками. Во II веке нормальная процентная такса была снижена до 7-8%. В 347 году до нашей эры в Риме нормальна процентная такса была определена в 5%, а в 341 году до нашей эры вовсе запрещено было брать проценты. Но это запрещение осталось только на бумаге. В первом веке до нашей эры являются нормальной таксой 4-6%, но и тогда она доходила иногда до 12%. Эта такса и была постановлением римского сената в 50 году до нашей эры признана максимально допустимой. Христианская церковь на словах осуждала отдачу капитала под проценты, но все же допускала «умеренный» процент в пользу заимодавца.

В период с XIII по XVI век все учебники уделяют процентным вычислениям большое внимание, так как торговые круги составляли очень большую часть потребителей этих учебников. Первые печатные процентные таблицы издал Симон Стевин (1584) и включил их в свою «Арифметику» (1585).

Формула , где - процентные деньги (интерес), - капитал, - процентная такса, - время, имеется уже в руководстве 1732 года; в школьном учебнике она впервые появляется в 1821 году.

Знак % возник в итальянских рукописях XV века.

Задач на проценты почти нет у Магницкого. Лишь в нескольких задачах упоминается о том, что «на 2 рубля за 8 лет взял росту 4 гривны» или «на 100 рублей притяжал в 12 месяцев 5 рублев». Объясняется это тем, что векселя в частном обиходе купцов были разрешены только в 1729 году при Петре II. Можно предложить следующие задачи:

1) Из «Арифметики» А.П. Киселева. Найти процентные деньги с капитала 7285 рублей, отданного в рост по 8% на 3,5 года.

2) В Верхних и Средних торговых рядах размещалось 1600 лавок. 25% из них находилось в Средних рядах. Сколько лавок находилось в Верхних торговых рядах?

3) В середине XVI века в столице жило 100 тысяч человек, что составляло 1% от числа всех подданных России. Причем число горожан составляло 2% населения страны. Сколько было горожан?

4) В середине XVI века в Москве проживало 100 тысяч жителей. В Пскове - 20% от этого количества. Сколько людей проживало в эти годы в Великом Новгороде, если известно, что число жителей Пскова составляло 80% от числа жителей Новгорода?

Можно и самим придумать задачи на основе исторического материала.

5) Один небогатый римлянин взял в долг у заимодавца 50 сестерциев. Заимодавец поставил условия: «Ты вернешь мне в установленный срок 50 сестерциев и еще 20% от этой суммы». Сколько сестерциев должен отдать небогатый римлянин заимодавцу, возвращая долг?

6) Некий человек взял в долг у ростовщика 100 рублей. Между ними было заключено соглашение о том, что человек должен отдать деньги ровно через год, доплатив еще 80% от суммы долга. Но через 6 месяцев должник решил вернуть свой долг. Сколько рублей он вернет ростовщику?

8. Измерения величин.

Эта тема дает огромнейшие возможности для подачи исторических сведений. История возникновения единиц длины, площади, массы может стать прекрасным дополнением урока, оживляющим его, делающим более интересным и ценным в познавательном плане.

Человек в своей жизни не может обойтись без измерений. Без них он не смог бы сшить одежду, построить дом, сделать машину, сконструировать космический корабль. Человек научился измерять многие величины, такие как время, площадь, объем, масса, температура, длина.

Многие единицы длины, которыми пользовались наши предки, представляют собой измерения различных частей человеческого тела. Человек как бы всегда носит их с собой и может пользоваться ими в любых условиях. Рассмотрим наиболее распространенные старые меры, упоминания о которых часто встречаются в нашей речи.

ПЕРСТ- старинное название пальца, причем сначала так называли именно указательный палец, его ширина около 2 см. Отсюда происходит анатомический термин «двенадцатиперстная кишка». Длина этого органа 24-25 см.

ДЮЙМ- от голландского «большой палец»- равен ширине большого пальца или длине трех сухих зерен ячменя, взятых из средней части колоса. Это примерно 2,54 см. В настоящее время используется для измерения внутреннего диаметра труб, автомобильных шин, толщины досок и т.д.

ВЕРШОК- ширина двух пальцев руки, указательного и среднего, около 4,4 см.

ПЯДЬ, ПЯДЕНЬ- одна из самых старинных мер длины. Название происходит от древнерусского слова «пясть», т.е. кулак или кисть руки. Различают пядь малую- расстояние между концами вытянутых большого и указательного пальцев, что составляет около 18 см, и пядь великую- расстояние от конца вытянутого мизинца до конца большого пальца, 22-23 см.

ЛОКОТЬ- древнейшая мера длины, которой пользовались многие народы мира. Это расстояние от конца вытянутого среднего пальца или сжатого кулака до локтевого сгиба. Оно колебалось от 38 до 46 см. Как мера длины на Руси встречается с XI века. Измеряемая ткань удобно наматывалась на такой эталон длины; полный оборот ткани около него составлял двойной локоть. Локтями же египтяне измеряли подъем Нила.

ЛАДОНЬ- ширина кисти руки. Английский крестьянин и любитель лошадей определяет до сих пор высоту лошади обязательно в ладонях. Древняя книга- талмуд определяет: «То, что имеет три ладони в окружности, имеет одну ладонь ширины». Это значит, что во время составления этой книги считали, что длина окружности в 3 раза больше диаметра ее. В одном локте насчитывается не более семи ладоней.

АРШИН- одна из главных русских мер длины, использовалась с XVI в. Название происходит от персидского слова «арш»- локоть. Это длина всей вытянутой руки от плечевого сустава до концевой фаланги среднего пальца. В аршине 71 см. Но в разных губерниях России были свои единицы измерения длины, поэтому купцы, продавая свой товар, как правило, мерили его своим аршином, обманывая при этом своего покупателя. Чтобы исключить путаницу, был введен казенный аршин, т.е. эталон аршина, представлявший собой деревянную линейку, на концах которой клепались металлические наконечники с государственным клеймом.

ШАГ- средняя длина человеческого шага 71 см. Сохранились сведения об использовании шага для определения расстояния между городами в Древней Греции, Древнем Риме, Египте, Персии. Шаг как мера длины используется и в настоящее время. Существует даже специальный прибор шагомер, похожий на карманные часы, который автоматически отсчитывает число пройденных человеком шагов. Шагами отмерялось расстояние, на которое должны были сходиться противники во время дуэли. Так, с расстояния в 10 шагов на Черной речке под Петербургом 27 января 1837 года на дуэли Дантес стрелял в А.С. Пушкина и ранил его смертельно. В 1841 году 15 июля недалеко от Пятигорска Мартынов произвел свой роковой выстрел с расстояния 15 шагов и убил М.Ю. Лермонтова.

САЖЕНЬ- встречается с XI века. Название происходит от слова «сягать», т.е. доставать до чего-либо. Отсюда слово «недосягаемый»- о месте, куда невозможно добраться, о человеке, достоинства которого невозможно повторить. Различали два вида сажени: маховая и косая. Маховая сажень- расстояние между концами пальцев распростертых рук, это 3 аршина, или 213 см. Косая сажень- расстояние от первого пальца левой стопы до концевой фаланги среднего пальца поднятой вверх правой руки, т.е. около 248 см.

ВЕРСТА- от слова «вертеть». Первоначально расстояние от одного поворота плуга до другого во время пахоты, 1067 м. До XVIII века на Руси существовала и межевая верста в1000 саженей, или 2,13 км, для определения расстояния между населенными пунктами и для межевания (межа- граница земельных владений в виде узкой полосы). При Петре I была введена верста длиной в 500 саженей. На таком расстоянии друг от друга вдоль наиболее важных дорог ставили столбы, окрашенные в три цвета. Отсюда название «столбовая дорога» для хорошо известного наезженного пути. В начале XIX века вдоль основных дорог государства Российского появились черно- белые полосатые столбы, на которых отмечались расстояния в верстах. (У Пушкина: «Только версты полосаты попадаются одне.»)

ФУТ, СТУПНЯ- это средняя длина ступни человека (английское слово «фут»- ступня). Употребляется с древнейших времен многими народами. Длина фута была уточнена через установление длины меры шток, которая определена как «длина ступней 16 человек, выходящих от заутрени в воскресенье». По-видимому, имелось в виду при обмере ступней случайно взятых шестнадцати лиц разного роста получить более постоянную величину- среднюю длину ступни. В XVI веке математик Клавий определяет геометрический фут как ширину 64 ячменных зерен. Такое определение длины фута представляет большее уточнение этой меры, так как ширина зерна гораздо более постоянна и определена, чем длина ступни.

ЯРД- указом короля Генрихом I (1101 год) было определено расстояние от носа короля до конца среднего пальца вытянутой его руки. Длина ярда в настоящее время равна примерно 0,91 метра. Впрочем нужно отметить, что документальных свидетельств об упомянутом здесь происхождении ярда не сохранилось. По другому преданию, прообразом длины ярда явилась длина меча Генриха I.

Нельзя обойти вниманием другие старинные единицы измерения длины, веса, объема, площади.

МИЛЯ- 7 верст, или 7,468 км. Название происходит от латинского слова «милия», т.е. тысяча (шагов). Использовалась для измерения больших расстояний.

ДЕСЯТИНА- мера земельной площади. Введена в обиход с XVI века. В старину десятую часть доходов отдавали церкви. В России существовали различные виды десятины: казенная 80х30=2400 (квадратных саженей) или 60х40, круглая 60х60=3600 (квадратных саженей), сотенная 100х100=10000 (квадратных саженей).

ЛИНИЯ- ширина пшеничного зерна, примерно 2,54 мм. Эта мера использовалась для измерения диаметра горловины в стеклянной части керосиновой лампы, Этой единицей обозначают и калибр, т.е. диаметр канала в стволе огнестрельного оружия. Наибольший диаметр пули, снаряда тоже выражается в линиях или миллиметрах. Отсюда название «трехлинейная винтовка» для винтовки калибра 7,62 мм (2,54х3=7,62). Эта винтовка системы Мосина с конца XIX века была на вооружении русской армии. После некоторой модернизации она использовалась и в Советской Армии (наряду с автоматическим оружием) во время Великой Отечественной войны.

ФУНТ- от немецкого слова «пфунд» или от латинского «пондус», что означает вес, тяжесть, гиря; равен 409,5 грамма.

ПУД- мера массы, равная 40 фунтам, примерно 16 кг.

ГРАН- от латинского «гранум», т.е. зерно, крупинка, составляет 62,209 мг. Мера массы для лекарств и драгоценных камней. В обиходе слово «гран» употребляется для обозначения ничтожно малой величины.

КАРАТ- единица массы для драгоценных камней, а также золота в ювелирном деле. Родоначальниками нынешнего карата, которым пользуются ювелиры всех стран, были спелые засушенные зерна циратония- бобового растения влажных субтропиков. Арабы называли эти зерна киратами. Они сохраняют постоянную массу на долгие годы. С начала XX века установлен метрический карат, масса которого 0,2 грамма.

ЗОЛОТНИК- около 4,3 грамма. В X веке во времена киевского князя Владимира Святославича существовала монета, которую называли «златник». С конца XVI века золотник служит единицей массы драгоценных металлов и камней. До 1927 года в России была принята золотниковая система определения содержания драгоценных металлов (золота, серебра, платины) в сплаве, так называемая проба. Например, вещь 84-й пробы изготовленная из серебра, содержит 84 золотника, или 84х4,3=361,2 грамма чистого серебра в фунте сплава. В настоящее время проба выражается в метрической системе.

ДЮЖИНА- 12 штук. Некоторые однородные товары: столовые ножи, вилки, перья, ручки, карандаши и т.д. продавались дюжинами. С тех пор словом «дюжина» обозначают собрание неприметных, малозначительных личностей, похожих друг на друга. Наоборот, о необыкновенном, выдающемся человеке часто говорят «недюжинный».

ПОСЛОВИЦЫ И ПОГОВОРКИ.

1. Один как перст.

2. Не указывай на людей перстом! Не указал бы на тебя шестом!

3. От горшка два вершка, а уже указчик.

4. У нее суббота через пятницу на два вершка вылезла.

5. Не уступить ни пядь.

6. Семь пядей во лбу.

7. Сам с ноготок, а борода с локоток.

8. Каждый купец на свой аршин меряет.

9. Сидит, ходит, словно аршин проглотил.

10. На аршин борода, да ума на пядь.

11. Косая сажень в плечах.

12. На три аршина в землю видит.

13. Полено к полену - сажень.

14. Москва верстой далека, а сердцу рядом.

15. Любовь не верстами меряется. Сто верст молодцу не крюк.

16. От слова до дела - целая верста.

17. Верстой ближе - пятаком дешевле.

18. На версту отстанешь - на десять догоняешь.

19. Мал золотник, да дорог.

20. Свой золотник чужого пуда дороже.

21. Худое валит пудами, а хорошее каплет золотниками.

22. Пудовое горе с плеч свалишь, а золотником подавишься.

23. Сено на пуды, а золото - на золотники.

24. Человека узнаешь, когда с ним пуд соли съешь.

25. Вашего брата по тринадцать на дюжину кладут, да и то не берут.

Материал достаточно обширный, но и формы его представления могут быть различными. Совсем не обязательно рассказывать обо всех единицах измерения. Можно составить математический альбом, в который войдут все эти единицы, а также иллюстрации к ним. К подготовке альбома должны быть приобщены и учащиеся.

О введении метрической системы мер необходимо лишь сказать то, что ее создали французы (1795 год). В России первым применил метр как единицу длины Н.И. Лобачевский (1792-1856).

Инициаторами ведения метрической системы мер как международной были русские ученые и главным образом Б.С. Якоби (1801-1874). Разрешения на введение метрической системы мер с большим трудом добился в 1889 году Д.И. Менделеев. Обязательной в нашей стране эта система стала только после 1918 года.

По этому материалу могут быть приведены следующие задачи. Нижеприведенная задача взята из учебника Виленкина «Математика, 5 класс»:

1) Выразите в метрах и сантиметрах:

- высоту терема, равную 3 косым саженям;

- длину отреза полотна, равную 15 локтям;

-ширину горницы, равную 2 маховым саженям и 3 локтям.

(Косая сажень=248 см, маховая сажень=176 см, локоть=45 см.)

2) Некто купил аршина сукна и заплатил за них 3 алтына. Сколько надо заплатить за 100 аршин такого же сукна? (1 алтын составляет 3 копейки.)

3) Из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого. Идет один человек в другой город и проходит в день по 40 верст, а другой человек идет навстречу ему из другого города и в день проходит 30 верст. Расстояние между городами 700 верст. Через сколько дней путники встретятся?

Дополнительным к этой задаче вопросом может служить следующий: «А сколько километров составляет расстояние между городами в этой задаче, если 1 верста приближенно равна 1км и 100м?»

Большое количество задач к этой теме можно найти в книге И.И. Баврина «Сельский учитель С.А. Рачинский и его задачи для умственного счета», - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 112 с.

4) Между двумя городами 600 верст. Двое вышли из них одновременно друг другу навстречу и встретились через 15 дней в 240 верстах от одного из городов. Сколько верст в день проходил каждый?

5) Из пуда меди медник сделал подсвечник, чайник, кастрюлю и самовар. Каждая вещь втрое тяжелее предыдущей. Найдите вес каждой вещи, если известно, что пуд равен 40 фунтам и приближенно равен 16,38 кг.

9. Измерение углов.

«Градус» слово латинского происхождения, означающее «шаг», «ступень». Измерение углов в градусах появилось более 3 тысяч лет назад в Вавилоне. Отсюда деление окружности на 360 частей - градусов, каждый градус делится на 60 минут, а каждая минута на 60 секунд.

В конце XVIII века при разработке метрической системы мер, французские ученые предложили делить прямой угол не на 90, а на 100 частей. Такой угол в прямого называют «град», град. Грады используются в геодезии и строительстве.

Задача. Дозорная башенка башни Дуло в плане является восьмиугольником, внешний угол которого составляет . Вычислите внутренний угол этого многоугольника.

Необходимо помнить, что рассказы по истории математики не должны оставаться обезличенными. Необходимо рассказывать о людях, которые двигали эту науку. И не только как о математиках, но и просто людях со своими причудами. Необходимо вносить в рассказы частичку смеха и радости. Я, например часто использую следующие миниатюры.

«Вода есть начало всего».

Так считал Фалес Милетский. Фалес предсказал солнечное затмение 585 года до нашей эры. Он считался одним из «семи мудрецов». Фалесу принадлежит знаменитый тезис: «Познай самого себя».

Рассказывают, что однажды Фалес, наблюдая звезды, упал в колодец, и красивая фракийская рабыня посмеялась над ним: «Хочет знать, что делается на небе, а что у него под ногами, не видит».

Когда Фалеса спросили, какую награду он хотел бы получить за свое открытие в астрономии, мудрец ответил: «Для меня достаточно, если рассказывая о моем открытии другим, вы будете говорить, что это мое открытие, а не ваше.»

Образец истинной дружбы.

У неоплатоника Ямвлиха (ок. 250 - 325) рассказывается о необыкновенной дружбе пифагорейцев из Сиракуз Дамона и Финития. Когда Финитий был приговорен к смертной казни за покушение на жизнь Дионисия II, он для устройства своих семейных дел отпросился на короткий срок, оставив вместо себя в качестве заложника своего друга Дамона. Но непредвиденные обстоятельства помешали Финитию вернуться вовремя, Дамон уже готов был принести себя в жертву вместо друга и тут в последний момент появился запыхавшийся Финитий, Дионисий простил Финития.

Невероятно, но факт.

Однажды римский математик и астроном Асклетарион (I век) предсказал императору Доминициану насильственную смерть и не менее печальную участь себе - быть съеденным собаками.

Желая доказать на деле ложность предсказания ученого, император приказал немедленно умертвить предсказателя судеб и сжечь его на костре. Однако проливной дождь погасил уже пылавший костер и труп Асклетариона был действительно съеден собаками. Впоследствии сбылось предсказание Асклетариона и относительно Доминициана.

Доказательство виновности.

Шотландский математик Джон Непер (1550-1617) был известен не только как изобретатель логарифмов, но имел еще репутацию мага и колдуна.

Однажды у него дома в Гартнесе случилась пропажа. Все подозрения пали на слуг, но у хозяина не было никаких данных, чтобы обвинить кого-нибудь наверняка. И тогда Непер заявил, что его черный петух обладает способностью раскрыть своему хозяину тайные мысли людей. По указанию Непера каждый слуга должен был войти в темную комнату и дотронуться рукой до сидящего там черного петуха. При этом всем слугам было сказано, что петух закричит, если до него дотронется вор. Однако петух во время этой своеобразной «тестовой» проверки так и не закричал и тем не менее Непер легко определил вора, так как он предварительно обсыпал петуха золой и чистые пальцы одного из слуг явились убедительным доказательством его виновности.

Обед Ньютона.

Исаак Ньютон отличался исключительной рассеянностью. Погруженный в научные размышления, он часто мог ничего не замечать вокруг себя. Утром, вставая с постели, и, задумавшись о чем-нибудь, он мог, как зачарованный, просидеть до тех пор, пока кто-нибудь не выводил его из этого состояния. Увлекшись какой-нибудь работой, Ньютон мог совершенно забыть о пищи.

Однажды к Ньютону на обед пришел его близкий друг. В самый последний момент, когда жаренная курица уже была подана на стол, Ньютон поспешил в свой рабочий кабинет и там застрял, забыв о друге и предстоящем обеде. Так как Ньютон довольно долгое время не появлялся, то друг поел один и обглоданные кости сложил на блюде, а сверху накрыл серебряным колпаком. Вскоре явился Ньютон и громко объявил, что он очень проголодался. Однако обнаружив на блюде с изумлением одни обглоданные кости, ученый ничего не подозревая, воскликнул: «Интересно, оказывается, я уже пообедал. Вот ведь как можно ошибаться!»

Рассеянность Ньютона.

Из-за своей рассеянности Ньютон частенько попадал в смешные ситуации.

Однажды, задумав сварить яйцо, он все тщательно продумал, но ошибся лишь в одном: взял в руки яйцо, а часы положил в кастрюлю с водой.

Оригинальное решение бытовой проблемы.

Ньютон очень не любил отвлекаться от своих любимых занятий, особенно по бытовым мелочам. Чтобы выпускать и впускать свою кошку, не подходя каждый раз к двери, он прорезал в ней специальную дыру. Когда же у кошки родились котята, Ньютон для каждого котенка проделал в двери еще по одному отверстию.

«Ну, честное слово, сударь, эта теорема верна!»

С именем ДАламбера связан забавный случай. Рассказывают, что, обучая математике очень тупого и очень знатного ученика и не добившись понимания доказательства, ДАламбер в отчаянии воскликнул: «Ну, честное слово, сударь, эта теорема верна!» На что ученик ответил: «Сударь, почему Вы мне сразу так не сказали? Вы - дворянин и я - дворянин; Вашего слова для меня вполне достаточно».

Записка Ампера.

Однажды, уходя из дома, Ампер написал на двери: «Господа! Ампера нет дома, приходите сегодня вечером». Придя через некоторое время и увидев эту надпись на двери, Ампер ушел. Домой ученый появился только вечером.

Остроумный ответ.

Из биографии Гаусса известно, что еще в народной школе он поражал учителя Бюттнера своим умом и остроумием. Однажды учитель спросил ученика: «Карл, я сейчас задам тебе два вопроса. Если на первый ты ответишь правильно, то на второй можешь не отвечать. Итак, скажи мне, сколько иголок на рождественской елке?» Карл без промедления ответил: «67534». «Как ты так быстро сосчитал иголки?» - изумился учитель. «А это уже второй вопрос, господин учитель», - улыбнулся ученик.

Не оправдавшееся пророчество.

Гениальный русский математик Николай Иванович Лобачевский (1792-1856) за годы учения в гимназии был аттестован «весьма прилежным и благонравным», а в конце курса занимался «с особенным прилежание математикой и латинским языком». Однако сам Николай Иванович впоследствии иначе характеризовал свое учение в гимназии. Однажды он прибил гвоздем к учительскому столу кондуитный журнал перед задремавшим латинистом. Разгневанный учитель латинского языка Гилярий Яковлевич в позе римского патриция изрек: «Ты, Лобачевский, будешь разбойником!»

Студенческие шалости.

В студенческие годы Лобачевский отличался неистощимой изобретательностью на шалости. Однажды на спор на виду у всей публики он прокатился верхом на корове! Перепуганная корова неслась во всю прыть по университетскому двору. Лобачевский, сидя верхом, держался за рога. А веселая ватага студентов с улюлюканьем бежала за коровой и подгоняла ее хворостиной. В другой раз Лобачевский как-то ночью запустил в небо ракету собственного изготовления. Дежурный на пожарной каланче, не разобравшись, в чем дело, забил тревогу и поднял на ноги жителей Казани.

Вместо «что и требовалось доказать».

Во времена Лобачевского профессор математики Казанского университета Г.Б. Никольский (1785-1844), доказав на лекции соответствующую теорему, неизменно добавлял: «Итак, с божьей помощью треугольники равны…»

Модные брюки.

Остроградский не любил модной одежды. Один из его учеников по артиллерийской академии Н.Н. Фирсов так описывал ученого: «…Вся внешность его была массивна, крупна и нескладна. Платье на нем сидело мешком…»

Однажды портной все же уговорил ученого сшить костюм по последней моде. Остроградскому на примерке брюки показались излишне узкими и он отказался взять костюм. «Но я сделал все, как нужно, - уверял портной ученого. - Вы не должны отставать от века». «Помилуйте, - возразил академик, - где же мне угнаться за веком в таких узких штанах!»

Данные материалы взяты из книги: Баврин И.И., Фрибус Е.А. «Зан6имательные задачи по математике». - М.: Гуманит. Изд. Центр ВЛАДОС, 2003. - 208 с.

При изучении нового материала часто пользуюсь справочником Александровой Н.В. «Математические термины». - М.: Высшая школа, 1978. - 190 с. Используемые мною материалы будут приведены в приложении.

Словарь математических терминов.

АКСИОМА. Термин встречается впервые у Аристотеля и перешел в математику от философов древней Греции. Греческое означает «достоинство», «уважение», «авторитет». Первоначально термин имел смысл «самоочевидная истина». В XIX в. аксиомы геометрии рассматривались как выражение свойств пространства. После работ Гильберта (на рубеже XIX-XX вв.) устанавливается взгляд, согласно которому аксиомы математической теории представляют собой определения элементарных понятий этой теории и одновременно дают точное и полное описание тех соотношений, которые существуют между этими понятиями.

АЛГЕБРА. Первый учебник алгебры- «Краткая книга об исчислении ал- Джабра и ал- Мукабалы»- был написан в 825 г. арабским ученым ал- Хорезми. Слово «алджабр» при этом означало операцию переноса вычитаемых из одной части в другую и его буквальный смысл- «восполнение». Этот термин стал названием науки. В Европе такое название употреблялось уже в самом начале XIII в., но еще Ньютон называл алгебру «Общей арифметикой» (1770). Книга ал- Хорезми имеет особое значение в истории математики как руководство, по которому долгое время обучалась вся Европа. Именно под влиянием арабской математики алгебра оформилась как учение о решении уравнений. В современной математике алгебра- это наука, предметом которой являются операции, записанные в символической форме.

АЛГОРИТМ. В IX в. ал- Хорезми изложил позиционную систему в сочинении «Об индийском числе». Латинский перевод этого труда, сделанный в середине XII в. Бонкомпаньи, начинался словами: «Dixit Algorithmi», - «сказал ал- Хорезми». Отсюда и произошел термин «алгоритм». В средневековой Европе слово означало всю систему десятичной позиционной арифметики. После работ Лейбница по дифференциальному исчислению (с 1684 г.) этим словом стали называть всякий порядок действий или правила для получения того или иного результата.

АНАЛИЗ. Греческое означает «решение», «разрешение». Первоначально анализ представлял собой переход от данной единицы к низшей. Например, приведение дробей к общему знаменателю представляет по отношению к каждой дроби анализ. Историки древней Греции приписывали создание метода анализа Платону. В «Началах» Евклида уже встречаются слова «анализ» и «синтез». Но, возможно, они заимствованы у Евдокса. В новую математику термин настойчиво вводит Виет (ок. 1591).

АРГУМЕНТ. Термин произошел от латинского argumentum- «знак», «признак», «содержание», «довод». Лейбниц разделил величины на постоянные и переменные и ввел термины «переменная величина», «переменное количество». Эти выражения означали аргумент функции (Бернулли, Эйлер, Лагранж, Гаусс, Коши). Редкие попытки ввести особое название для этого понятия не смогли преодолеть традиции. Например, португальский ученый да Кунья употреблял «корень функции» как название аргумента. По- видимому, самое раннее появление в печати выражения «аргумент функции» относится к 1862 г. (статья К. Неймана). В русской литературе термин встречается впервые в лекциях Сохоцкого (1898), но становится общепринятым только через два- три десятилетия.

АРИФМЕТИКА. Название науки происходит от греческого - «число». Так как греки считали числом только целые числа, большие единицы, то их арифметика была наукой о целых числах, о свойствах чисел. Искусство счета и правила операций с числами относились к «логистике»- науке низшего порядка. В русский язык слово вошло в XVI в. Математические рукописи того времени, за редкими исключениями, озаглавлены одинаково: «Книга, рекома по-гречески арифметика, а по-немецки алгоризма, а по-русски цифирная счетная мудрость». Первая печатная книга по арифметике была издана анонимно в Италии в 1478 г.

АСИМПТОТА. Термин состоит из отрицания и прилагательного - «совпадающий», «сливающийся». Таким образом, он означает «несовпадающий», «несливающийся». Слово отсутствовало у Архимеда, который чертил асимптоты гиперболы, однако оно уже появилось у Аполлония, ему и приписывают этот термин. Прокл относил этот термин также и к параллельным прямым. «Современный» прием отыскания асимптот алгебраической кривой изобретен Коши.

БЕСКОНЕЧНОСТЬ. Слово «бесконечный» в математическом смысле стало употребляться по почину художника Дюрера с 1525 г. Слово «конечный» появилось впервые гораздо позднее: у Райера, профессора математики в Киле (1699). Знак для указания неограниченного возрастания числа был введен Валлисом (1655). Предполагают, что Валлис использовал римский символ , означавший 1000. Знак стал общепринятым уже с XVIII в.

ВЕРОЯТНОСТЬ. Теория вероятностей зародилась в XVI в. как попытка создать теорию азартных игр. Первыми исследованиями по теории вероятностей являются сочинения Гюйгенса «О расчете в азартных играх», 1657 г. и посмертное произведение Я. Бернулли «Искусство предложений», 1713 г. Вычисления вероятностей производили уже Тарталья и Кардано, позднее Галилей, Паскаль, Ферма. Первое определение дал Я, Бернулли: вероятность есть «степень уверенности и относится к достоверности, как часть к целому». Так называемое классическое определение вероятности было сформулировано в курсе лекций, которые Лаплас читал в 1795 г. Статистическое определение связывают с именем Фишера, хотя, вообще говоря, его можно усмотреть в работах Гиббса по статистической механики. Геометрическая интерпретация вероятностей предложена английским логиком и математиком Венном в 1866 г. И, наконец, определение вероятности при аксиоматическом построении теории дано А.Н. Колмогоровым. Термин «вероятность» употреблялся наряду и наравне с другими. Лаплас в своей классической «Аналитической теории вероятностей» привел в систему многочисленные факты, накопленные за два столетия, усовершенствовал методы доказательств и изложил собственные результаты. Он писал: «Теория вероятностей есть, собственно говоря, только переложение здравого смысла на формулы, она доставляет средства для точной оценки того, что постигает ум верный, хотя часто бессознательно». Из работ Лапласа, Лежандра и особенно Гаусса выросла теория ошибок. С именами Чебышева, Ляпунова, Маркова связаны исследования Петербургской школы теории вероятностей: доказательство предельных теорем, введение метода характеристических функций, создание нового раздела теории- Марковских цепей. Новым этапом явился пересмотр логических основ теории.

ВЕРТИКАЛЬНЫЙ. Термин происходит от латинского слова vtrticalis- «вертикальный», которое , в свою очередь, образовано от vertex- «вершина». Еще в середине XIX в. (например, в сочинениях Лобачевского) вертикальные углы называются «вершинными».

ВЫЧИТАЕМОЕ. Термины «уменьшаемое», «вычитаемое» (число) появляются впервые в «Математическом лексиконе» Вольфа (1716). Термин «разность» (differentia) как результат вычитания употребляет впервые Видман (1489).

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МЕСТО ТОЧЕК. Греки считали, что определение этого понятия дал Платон. В IV в. до н. э. Древнегреческие математики построили знаменитую теорию геометрических мест и разработали также ее приложения.

ГЕОМЕТРИЯ. Буквально это греческое слово означает «землемерие»: - «земля» и - «измерять». Если верить свидетельству Геродота, началом египетской геометрии послужило измерение земельных участков, к которым египтяне должны были прибегать постоянно вследствие разливов Нила. Однако уже Аристотель ввел для «измерения Земли» другое название- «геодезия».

ГЕОМЕТРИЯ НЕЕВКЛИДОВА. В тысячелетних поисках доказательства пятого постулата были и попытки доказать его от противного. Следующим шагом был вывод, что справедлива не только евклидова, но и «звездная», «астральная» геометрия. К нему пришли Гаусс, Швейкарт и Тауринус. Гаусс размышлял над этим с 1792 г., т.е. с 15-16 лет; он ничего не публиковал по этим вопросам, чтобы «не растревожить ос». Так получилось, что Гаусс внес в теорию только термин- «неевклидова геометрия». Швейкарт и его племянник Тауринус были юристами. В период с 1808 по 1826 г. они издали три книги по «теории параллельных». В период с 1823 по 1826 г. профессор Казанского университета Лобачевский создал свою неевклидову геометрию, которую позднее он называл Пангеометрия (т.е. «Всеобщая геометрия»; греческое означает «весь»). 11 февраля 1826 г. он прочел доклад «Рассуждение о принципах геометрии» перед ученым советом, а в 1829 г. опубликовал его. Началась тридцатилетняя борьба одинокого гения с косностью, непониманием, травлей. В 1841 г. с его книгой «Геометрические исследования по теории параллельных линий» (изданной на немецком языке) познакомился Гаусс и высоко оценил ее… в дружеской переписке. Публично же он предложил избрать Лобачевского в члены- корреспонденты Геттингенского учебного королевского общества «как одного из превосходнейших математиков русского государства» и ректора Казанского университета. В это же время подобные идеи рождались в Венгрии: первое письмо молодого артиллерийского офицера Я. Бойяи о новой геометрии к своему отцу датировано ноябрем 1823 г. Сочинение Я. Бойяи опубликовано в 1833 г. в виде приложения к труду его отца Ф. Бойяи; оно озаглавлено «Приложение, содержащее абсолютно истинное учение о пространстве». Суровый отзыв Гаусса был настоящим потрясением для молодого ученого, искалечившим его психику и жизнь. Признание и торжество геометрии Лобачевского пришло в 1868 г.

ГЕОМЕТРИЯ ЭЛЕМЕНТАРНАЯ. Гиппократу Хиосскому (450 г. до н. э.) приписывают составление первого систематического курса геометрии, основанного на определениях и аксиомах. Этот курс и его последующие обработки назывались - «элементы», «стихии». В III в. до н.э. появилась знаменитая книга Евклида с тем же названием ( в русском переводе-«Начала»), вытеснившая книгу Гиппократа. От латинского названия «Начал» Евклида- «Elementa»- и происходит термин «элементарная геометрия».

ГИПОТЕЗА. В древнегреческой математике (у Евклида, Архимеда, Платона) употреблялось понятие , под которым подразумевался геометрический факт, принимаемый в начале доказательства, но обоснование его становится видным в дальнейшем в ходе доказательства.

ГИПОТЕНУЗА. Термин образован от греческого -«натягивать». Это название происходит, конечно, от способа построения прямоугольных египетских треугольников с помощью натягивания веревки. Евклид вместо термина «гипотенуза» так и писал: «сторона, которая стягивает прямой угол».

ГРАДУС. Латинское слово gradus означает «шаг». Как заметили вавилонские жрецы, солнечный диск укладывается по дневному пути Солнца 180 раз, т.е. «Солнце делает 180 шагов». Тогда путь за сутки равен «360 шагам». Круг стали делить на 360 частей. Обозначения, напоминающие современные, использовались Птолемеем. Он называл градусы «частями»- (сокращенно ⁰) и обозначал минуты штрихом, а секунды- двумя штрихами. Современные знаки ввел медик и математик Пелетье (1558). Эти обозначения распространились очень быстро и к 1600 г. стали общепринятыми.

ГРАФИК. Термин происходит от греческого и означает «относящийся к письму или живописи».

ДЕЛЕНИЕ. В математике древности не было деления- его производили последовательным вычитанием. Определения деления, основанные на этом методе, просуществовали до XIV-XV в. Как производили деление греки- неизвестно. До распространения современного способа деления эта операция была трудной и громоздкой, и методов было чуть ли не столько же, сколько учителей арифметики. Современный способ описан впервые в итальянской рукописи неизвестного автора (1460). Последний учебник, в котором деление излагается «не по-нашему», вышел в 1800 г. Термины «деление», «делимое», «делитель» появились сравнительно поздно: у Герберта (будущего папы Сильвестра II, т.е. в конце X в.). Результат деления долгое время называли «суммой деления». Впервые слово «частное» появилось у Леонардо Пизанского (1202). Соответствующие русские термины ввел Магницкий (1703). Из современных знаков деления старейший- горизонтальная черта, она встречается у Леонардо Пизанского. Двоеточие введено в «Арифметике» Джонса (1633).

ДИАГОНАЛЬ. Термин составлен из греческих слов -«через» и -«угол». Буквальное значение слова-«проходящий через угол». Термин встречается у Евклида; он отсутствует у Архимеда, Аполлония. В большинстве случаев греческие геометры употребляли другое слово- «диаметр». Этот термин был естественным для четырехугольников, вписанных в круг, а затем был распространен на произвольные многоугольники. В средние века в ходу были оба термина. Лишь в XVIII в. понятия «диагональ» и «диаметр» были строго разграничены.

ДИАМЕТР. Греческое слово означает «поперечник». У древнегреческих математиков слово употреблялось и в значении «диагональ»; им были известны диаметры конических сечений, эллипсоида вращения.

ДРОБЬ. На всех языках дробь называется «ломаным (раздробленным) числом». Латинское fractura, например, произведено от frango- «разбивать», «ломать». Этот термин ведет свое начало от арабов и через Леонардо Пизанского (1202) вошел в европейскую математику. Названия «числитель» и «знаменатель» имеются у Максима Плануда (конец XIII в.). Термин «обыкновенная дробь» появляется у Траншана (1558). У Венгра Зегнера появляются термины «правильная» и «неправильная» дробь (1747). Операции сокращения и расширения систематически применялись уже с XII в., но термин «сокращение» входит в употребление с XV в., а «расширение»- только в XIX в. Приведение дробей к общему знаменателю проводится с XII в., название операции встречается у Региомонтана (1464). Наименьший общий знаменатель стали находить только во второй половине XVI в., после работ Тартальи (1556) и Клавиуса (1583). Широкое распространение десятичных дробей началось после выхода в свет книги «Десятая» (1585) фламандского инженера Стевина. Название «десятичные дроби» ввел Эленд (1724), до тех пор они именовались «десятичные числа». Обращение обыкновенных дробей в десятичные и обратно рассматривал Кавальери (1643), в связи с этим он впервые в Европе стал заниматься периодическими дробями. Периодические дроби в шестидесятиричной системе счисления встречаются в XV в. у Сибта ал Миринди. Несколько позднее их существование было замечено и европейскими учеными. Слово «период» встречается у Бейера в книге «Десятичный счет» (1603). Валлис установил, что иррациональные числа не выражаются периодическими дробями. В эпоху Архимеда знаменатель дроби писали над числителем, без черточки (до этого дроби записывали словами). Современная запись ведет начало от индусов, у которых ее переняли арабы: числитель пишется над знаменателем. Черту для разделения впервые применил Леонардо Пизанский (1202); предполагают, что это он тоже заимствовал у арабов. Потом такая запись исчезла и появилась вновь только у Видмана (1489). Но еще до середины XVII в. встречается запись без черты (Мерсенн, 1644). Запятую для отделения целой части от десятичных знаков ввели итальянский астроном Маджини (1529) и Непер (1617)- до них вместо запятой писался нуль в скобках, или отделяли целую часть вертикальной чертой, или употребляли разные чернила, например, целую часть писали черными, а дробную- красными.

ИНДУКЦИЯ. Латинское induction означает буквально «наведение». Термин «математическая индукция», впервые появился в 1838 г. в статье де Моргана «Индукция (математическая)» в Британской Энциклопедии. Его многократно употреблял Тодгентер в своем популярном учебнике алгебры, после чего термин стал общепринятым. Слово «индукция» было введено в математику Валлисом («Всеобщая Арифметика», 1656), который заимствовал термин из философии (Бэкон), где он означал переход от частного к общему. От Валлиса до де Моргана термин употреблялся случайно в обоих смыслах. Однако де Морган ввел название, которое четко отделяет математический смысл от философского. В неявном виде метод использовался уже в «Началах» Евклида, в современно отчетливой форме он впервые встречается в работе Паскаля о комбинаторике (ок. 1665). В дальнейшем выяснилось, что в 1321 г. принцип был сформулирован Леви бен Гершеном.

ИНТЕРВАЛ. Термин происходит от латинского intervallum- «промежуток», «расстояние». Современные обозначения появились впервые в 1909 г. в книге Ковалевского (немецкого профессора математики, работавшего в Лейпциге, затем в Праге) в виде (a,b) и, а также и. Затем Хан несколько изменил их (1921), заменив на прямые скобки, которые и вошли прочно в математику. Обозначения и введены по-видимому, Бурбаки (1956).

КАТЕТ. Греческое означает «опущенный перпендикулярно», «отвес». В средние века словом катет называли высоту прямоугольного треугольника, в то время как его стороны- гипотенузой и основанием. В XVII в. слово начинает употребляться в современном смысле и широко распространяется в XVIII в.

КВАДРАТ. Термин quadratus означает «четырехугольный» и получился как буквальный перевод соответствующего греческого названия.

КОНСТАНТА. Латинское constans означает «постоянный», «неизменный».

КОНУС. Греческое означает «кегля», «сосновая шишка», «верхушка шлема», «остроконечный предмет». Термин получил современный смысл у Евклида, Аристарха, Архимеда. По свидетельству Архимеда Демокрит открыл, что объем конуса или пирамиды составляет треть объема цилиндра или призмы с тем же основанием и высотой. Первое доказательство этого дал Евдокс.

КООРДИНАТЫ. Координаты появились независимо в географии, астрономии, математике в различных формах уже в науке Вавилона и Греции. Наши термины «абсцисса», «ордината», «аппликата» обязаны своим происхождением греческой терминологии в учении о конических сечениях. Слово «абсцисса» происходит от латинского abscindere- «отсекать», «отрезать». Термин abscissa широко употреблялся в латинских переводах с греческого. После работ Кавальери (с 1635 г.) слово стало употребляться только в смысле «отрезок, отсекаемый…». В современном смысле термин употреблен Лейбницем (1675). Аполлоний называл параллельные хорды «по порядку проведенными линиями». Латинский перевод этого выражения- ordinatum apllicatae- «по порядку приложенная» (Коммандино, 1566 г.). В «Геометрии» Декарта употребляется совершенно аналогичное appliqués par ordre. Отсюда и произошли термины «ордината» и «аппликата», когда позднее наряду с этим выражением стали употреблять его элементы в виде ordinatae и applicatae. Они означают соответственно- «расположенный в порядке» и «присоединенная», «приложенная». При этом первоначально под ординатой понимали либо всю хорду конического сечения, либо ее половину. Как одна из координат точки, слово «ордината» употреблено Лейбницем (1694). Приблизительно в это же время Лейбниц ввел термин «координаты», определенно подчеркнув этим равноправие абсциссы и ординаты. Выражение «ось абсцисс» было введено Барроу, учителем Ньютона (1670). Термин «ось ординат» появился гораздо позднее: лишь со второй половины XVIII в. постепенно входит в обычай указывать на плоскости обе оси. Формально ось ординат была введена Крамером (1750), хотя эпизодические ссылки на нее бывали и раньше- у Эйлера, Рабюэля, де Гюа де Мальва. Начало координат, если его вообще как-нибудь называли, именовали чаще всего «началом абсцисс». Но уже Лагир (1679) употребил слово начало. Он же впервые ввел пространственную систему координат.

КОЭФФИЦИЕНТ. Термин составлен из латинских co (con, cum)- «с», «вместе» и efficiens- «производящий», «составляющий причину чего-либо»; буквальное значение- «содействующий». Термин возник из выражения Виета lonqitudo coefficiens- «содействующая длина» (1591). Под этим подразумевался множитель при члене уравнения, придающий ему нужное для однородности число измерений; например, х²+х Виет записывал только в виде х²+х, чтобы выражение означало сумму площадей, а не представляло бы бессмысленное сложение площади и длины. В современном смысле слово «коэффициент» стали систематически употреблять английские математики Отред и Валлис, французские- Дешаль и Жирар.

КУБ. Термин происходит от греческого - «игральная кость». Так как она имела форму кубика, то название перешло на любое тело той же формы. Название введено пифагорейцами, затем термин встречается у Евклида.

ЛЕММА. Термин происходит от греческого - «допущение», «предыдущее положение». У Архимеда, Прокла термин имеет смысл «вспомогательная теорема».

ЛИНИЯ. Слово происходит от латинского linea, а в конечном счете- от латинского же слова linum - «лен», «льняная нить».

МАКСИМУМ. Термин представляет собой латинское слово maximum- «наибольшее», латинское minimum означает «наименьшее». Отдельные задачи на нахождение экстремума были решены древнегреческими математиками. Первый общий алгоритм решения таких задач изобрел Ферма (ок. 1629).

МАТЕМАТИКА. Это слово, конечно, греческого происхождения; - «наука», «учение»- в свою очередь, происходит от глагола , первоначальное значение которого- «учусь через размышление» Термин, таким образом, категорически отбрасывает учение путем опыта. Пифагорейцы знали четыре отрасли науки: учение о числах (арифметику), теорию музыки (гармонию), учение о фигурах и измерениях (геометрию) и, наконец, астрономию и астрологию. Учение Пифагора было тайным и предназначалось только для посвященных, своими открытиями нельзя было делиться с непифагорейцами. Так за нарушение тайны Гиппас был изгнан из школы. Последовательные пифагорейцы назывались «акузматиками» (- «священное изречение»), в противоположность им последователи Гиппаса стали называть себя «математиками»- приверженцами науки.

МЕДИАНА. Термин образован от латинского medius- «средний».

МИЛЛИОН. Слово «миллион» было впервые введено в Италии в XIV в. для обозначения «большой тысячи». Первоначально оно, по-видимому, явилось названием конкретной меры- 10 бочонков с золотом. Французский математик Шюке в 1484 г. ввел слова «биллион», «триллион», «квадриллион», «квинтиллион», «септиллион», «секстиллион», «нониллион» для обозначения второй, третьей,…, девятой степеней миллиона. Затем с 17 века слова приняли современное значение.

МИНУС. Термин образован от латинского minus- «меньше». Первоначально вместо привычного для нас знака использовали различные сокращения латинского слова.

МИНУТА. Этот термин так же, как и «секунда» и «терция», перенесен из латинского языка. Римляне говорили: minuta prima- «первая доля», minuta secunda- «вторая доля», minuta tertia- «третья доля». Для сокращения первую долю стали называть «минута» (доля), вторую- «секунда» (вторая), третью- «терция» (третья).

МОДУЛЬ. Термин происходит от латинского modulus- «мера».

НАЧАЛО КООРДИНАТ. Термин и обозначение для точки О ввел Лагир в 1679 году. Трудно придумать что-нибудь более парадоксальное, чем этот факт, так как в начале Лагир «восстал против аналитики Декарта» и вел безнадежный бой за воскрешение синтетической геометрии.

НЕПРЕРЫВНОСТЬ. Понятие непрерывности восходит к древнегреческой математике. Термины «непрерывность», «непрерывный», «разрывный» в их современном смысле ввел Коши. Эйлер, Лагранж, Фурье, Пуассон называли функцию непрерывной, если всюду в области определения она задана одним аналитическим выражением.

НЕРАВЕНСТВО. После введения знака равенства английский ученый Гарриот ввел употребляемые нами знаки неравенства. Он обосновал свое нововведение следующим образом: если две величины не равны, то отрезки, фигурирующие в соотношении, не параллельны, а пересекаются. Пересечение может быть справа (>) или слева (<). Несмотря на то, что знаки неравенств были предложены на 74 года позднее знака равенства, в употребление они вошли намного раньше. В 1670 году Валлисом были предложены знаки и .

НУЛЬ. Нуль систематически употреблялся только в двух системах: в десятичной и в системе исчисления майя. Некоторые ученые предполагают, что нуль заимствован у греков: Птолемей писал при отсутствии числа букву о («омикрон») от слова -«ничего». Другие предполагают, что нуль пришел из Индии. Действительно одним из достижений индийской арифметики является десятичный нуль. Древнейшая запись с нулем (в Индии) относится к 876 году, а в Камбодже и Индонезии обнаружены записи VII века (нуль изображался в виде точки и маленького кружка). Первоначально нуль именовался словом «цифра» (это обыкновение дожило до XIX века). Термин nulla figura- «никакой знак»- появился в рукописных латинских переводах и обработках арабских трудов в XII веке. Термин nulla встречается в рукописи Шюке (1484) и в первой печатной арифметике (1478). Еще в XV веке нуль не считался числом. По-видимому, Жирар в 1629 году первым признал нуль корнем уравнения и, следовательно, числом, хотя позднее в 1697 году Валлис заявляет: «нуль не есть число». К разряду натуральных чисел нуль был отнесен Эйлером в 1768 году.

ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ. Греческое означает «рядом идущая, друг против друга проведенная». Слово стало употребляться как математический термин 2500 лет назад в школе Пифагора. Евклид впервые употребил этот термин применительно к плоскостям, а Папп- к параллелям на сфере. Последний пользовался знаком = для обозначения параллельности; такое обозначение сохранялось до XVIII в. Лишь после того, как введенный Рекордом знак равенства вошел в употребление, стали пользоваться привычным для нас обозначением.

ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД. Термин образован аналогично от греческих и - «плоскость», «поверхность». Слово встречалось у Евклида и Герона, но его еще не было у Архимеда.

ПЕРИМЕТР. Слово образовано от греческих - «около» и - «измерять». Оно встречается у Архимеда, Герона, Папа. В русских учебниках геометрии еще в конце XIX в. (1896) одинаково часто употреблялись термины «периметр» и «обвод».

ПЕРИОД. Слово составлено из - «около», «вокруг» и - «дорога», «путь». Таким образом, означает «путь вокруг», «обход».

ПЕРПЕНДИКУЛЯР. Термин был образован в средние века от латинского perpendiculum- «отвес», которое в свою очередь произведено от perpendre- «взвешивать».

ПИ (). Специальный знак для числа 3,1415… появился сравнительно поздно. Вероятно, первым из них было обозначение Валлиса, который употреблял для этого квадрат или древнееврейскую букву «мэм», также напоминающую квадрат (1655). Ближайшим предшественником современного символа является обозначение , введенное Отредом в 1647 г. (вероятно, от греческого - «окружность» и - «диаметр»); такое же обозначение употребляет и Барроу. Обозначение встречается впервые у английского математика Джонса в 1706 г. Но навсегда это обозначение в математику ввел Эйлер, который с 1736 г. его постоянно использовал. От него символ заимствовали Стирлинг, Гольдбах, И. Бернулли. Иррациональность бала доказана Ламбертом в 1767 г. Первые попытки вычисления относится к IV в. до н.э. В библии упоминается, что отношение длины окружности к диаметру равно трем. Египтяне считали =; у индусов =; Архимед нашел, что ; Магницкий приводит значение =. Голландский математик Лудольф ван Цейлен вычислил с 34 десятичными знаками, это число иногда называют «лудольфовым». Наконец, английский математик Шенкс нашел в 1874 г. для 707 знаков (впоследствии оказалось, что все знаки, начиная с 528-го, неверны).

ПИРАМИДА. Происхождение этого термина не выяснено достоверно. По одному мнению, греческое происходит в свою очередь от египетского per me ous- «боковое ребро сооружения». Существует другое предположение: термин берет свое начало от формы хлебцев в Древней Греции (- «рожь»). Наконец, в связи с тем, что пламя иногда напоминает по форме пирамиду, средневековые ученые считали, что термин произошел от греческого - «огонь»; в некоторых учебниках геометрии XVI в. пирамиду называли «огнеформенное тело». До Евклида под термином подразумевали правильный тетраэдр, а впоследствии, приняв определение Евклида,- любую пирамиду. Формулу объема пирамиды Архимед приписывал Демокриту.

ПЛАНИМЕТРИЯ. Термин образован в средние века по образцу древнегреческого «стереометрия», поэтому в нем соединены латинское и греческое слова planum и .

ПЛОСКОСТЬ. Определения прямой, плоскости, поверхности, данные Евклидом, вызывали возражения уже в древности. В первом случае выход был найден быстро: понятие кратчайшей, соединяющей две точки,- удовлетворительно. С плоскостью дело обстояло сложнее. Лейбниц предложил определить плоскость как геометрическое место точек, равноотстоящих от двух данных точек. Уравнение плоскости встречается впервые у Клеро в исследовании о кривых двоякой кривизны (1731), затем у Петербургского математика Германа (1732, 1733), и наконец, у Эйлера (1748).

ПЛЮС. Термин произошел от слова plus- «больше». Первое употребление слова plus как обозначения действия сложения найдено историком математики Энестремом в итальянской алгебре XIV в. Сначала действие обозначали первой буквой слова. Современный знак + появился в Германии в последнее десятилетие XV в. в книге Видмана, которая была руководством по счету для купцов (1489). Возникновение знаков + и - не совсем ясно. Знак + происходит, возможно, от сокращенной записи et, т.е. «и». Впрочем, может быть, он возник из торговой практики: проданные меры вина отмечались на бочке черточкой - , а при восстановлении запаса их перечеркивали, откуда получился знак +. Однако в Дрезденской библиотеке найдена рукопись 1481 года, которая содержит символы + и - , и известно, что Видман изучал эту рукопись. Вместе с тем и после первого появления этих знаков на страницах математических книг еще более века в роли плюса и минуса выступали самые различные значки. Объединенные знаки впервые появляются у Жирара (1626). Вторично объединенные изобрел португалец да Кунья (1790).

ПОКАЗАТЕЛЬ. Слово Exponent, которое ввел для показателя степени Штифель (1553), означает «показатель», «истец». Показатели степени в настоящем виде (только целые положительные) ввел в науку Декарт (1637). Он порвал с греческой традицией допускать в математике только первые три степени («длину», «площадь», «объем»). Декартовы обозначения степеней распространились очень быстро: между 1660 и 1670 г. положительные целые показатели заняли свое бесспорное место в алгебре. Вычисления с отрицательными и дробными показателями встречались у бакалавра медицины и математики Шюке (1484), у Орема, епископа Нормандии. Переменная величина в показателе степени встречается впервые в 1679 г. в письмах Лейбница к Гюйгенсу. Выражение «возведение в степень» появилось впервые в 1716 году у Вольфа.

ПРОИЗВЕДЕНИЕ. Латинские productum, producere- встречались часто уже в XIII веке. Среди многочисленных обозначений умножения употреблялся и прямоугольник как символ того, что площадь его получается при перемножении двух измерений. В связи с этим вплоть до XVII века вместо «произведение» говорили «прямоугольник». Первое определение действия умножения восходит к грекам. Коммутативность умножения доказана Евклидом. Латинский глагол multiplicare со всеми производными от него терминами встречается у Витрувия (I век). Термин «множитель» имеется у Боэция (VI век), «множимое»- у Сакробоско (XIII век). Русские названия- «множитель» и «произведение»- впервые ввел Магницкий (1703). Точка в качестве знака умножения появилась впервые у Региомонтана, затем у Гариотта (1631). Это обозначение принял Лейбниц.

ПРОПОРЦИЯ. Теория пропорций была глубоко развита древнегреческими учеными. Стимулом для этого явилось требование математической строгости- изучать только отношения между целыми числами. В итоге в IV веке до нашей эры Евдоксом было завершено построение общей теории пропорций. Греческие термины для обозначения отношения и пропорций, будучи переведены на латинский язык, дали современные термины: переводится словом ratio- «отношение», а греческое Цицерон один раз перевел редким латинским словом proportion- «соразмерность», которое и подхватили Капелла (V век) и Боэций (VI век) для обозначения математического понятия. Современное определение впервые дал Цамберти, директор инженерной школы в Риме (XV век). Члены пропорции греческие математики называли - «границы»; буквальным переводом этого слова является латинское termini, откуда возник «член» (Клавиус, 1608). Выражение «средняя пропорциональная» ввел Иордан Неморарий (XIII век), «средняя арифметическая»- Кеплер, «средняя геометрическая»- Клюгель (1808). Современную запись A:B=C:D ввел Лейбниц (с 1708 года). В ней обнаруживается явное родство с принятыми в Англии обозначениями, где в это время была в употреблении запись A.B::C.D, предложенная Отредом, и обозначение A:B::C:D английского астронома Уинга (в его книгах 1649, 1651 годов). В течение первой половины XVIII века встречались различные обозначения, пока постепенно символика Лейбница не одержала победу всюду, кроме Америки, где к ней перешли только в XX веке.

ПРОЦЕНТ. Слово происходит от латинских pro centum- «со ста», «на сто»- и вошло в математику из купеческого и финансового обихода. Относительно происхождения обозначения % существует несколько мнений. Порядковые числительные писались так: - первое, - второе, так что С означало «сотое». В итальянских рукописях XV века слова per cento стали писать perC, pC, pC, затем р÷ и, наконец, ÷. Косая черточка % появляется в середине XIX века из типографских соображений. По другим источникам обозначение % произошло от искажения записи ct- сокращение слова cento. В «Коммерческой арифметике» 1685 года наборщик принял ct за дробь и напечатал его в виде %. Благодаря этому знак % стал употребляться для обозначения процентов и с середины XIX века получил всеобщее признание.

ПРЯМАЯ. Впервые Ферма (ок. 1636) высказал замечание, что любое уравнение первой степени с двумя переменными есть уравнение прямой. Дебон обратил внимание на то, что х=с, у=с- уравнения прямых, параллельных осям координат. Нормальное уравнение прямой встречается у Коши.

РАВЕНСТВО. До появления специального знака слово «равняется» писали на разных языках, затем «унифицировали» математический язык и в научный обиход вошли aequatur или сокращенное aequ. В 1557 году английский врач и математик Рекорд предложил знак =, «ибо,- писал он,- нет ничего более равного, чем две параллельные прямые. Знак равенства, который он писал, по крайней мере в пять раз «длиннее» современного и действительно подобен отрезкам параллельных прямых. Исследования недавнего времени показали, что одновременно с Рекордом или, может быть, несколько ранее его итальянский математик Бомбелли употреблял в рукописях такой же знак. Одни современники Рекорда приняли этот знак, другие пользовались своими собственными обозначениями, третьи предпочитали старое написание словами. Некоторые математики, например, Непер, употребляли это новшество в рукописях, а в печати - избегали. Такое положение возникло из-за того, что знак = иногда употреблялся в других смыслах.

РАДИУС. В древности этого термина не было. Евклид и другие математики говорили: «прямая из центра». Боэций, а за ним Фибоначчи, Региомонтан, Тарталья и другие употребляли термин «полудиаметр». Слово «радиус» встречается впервые в 1569 году у французского ученого Рамуса, погибшего в Варфоломеевскую ночь, затем у Виета и становится общепринятым лишь в конце XVII века.

РАЗНОСТЬ. Такое название для результата действия впервые употребил Видман (1489). Освященные вековыми традициями «остаток» и «избыток», со временем полностью перешли в купеческий обиход, а из математики были вытеснены благородным differentia.

СИСТЕМА. Слово греческого происхождения: - «составленное из частей», «соединение».

СКОБКИ. Название произошло от введенного Эйлером немецкого термина Klammer- «скобки». До появления специальных символов перед выражением, которое нужно заключить в скобки, ставилось слово Collect или буквы cs от communis, u от universal или b, означающее binominal, и др. Знаки выполняющие роль скобок, появились в XV веке. В сочинении Шюке (1484) выражение, которое нужно заключить в скобки, подчеркивается горизонтальной чертой. Такое же обозначение употреблял Бомбелли (1550), позднее он стал писать букву L перед таким выражением, а в конце выражения туже букву L, но перевернутую; от такой записи произошли квадратные скобки. Черта сверху употреблялась очень долго, это обозначение используют Декарт, Ньютон, Лопиталь. Круглые скобки встречаются у Тартальи (1556), а затем у Жирара (1629). Это почти единственное, что осталось в математике от символов, употребляемых Жираром: в некоторых странах еще используются его tan, cotan. В сочинениях Виета (1593) появляются фигурные скобки. Широкое применение скобки получили лишь в первой половине XVIII века. О расстановке скобок в арифметике впервые говорит Шредер (1873).

СТЕРЕОМЕТРИЯ. Термин состоит из греческих и - «измеряю». Буквальное значение- «измерение объемов». Термин встречается уже у Аристотеля.

СУММА. Латинское summa переводится как «главный пункт», «сущность», «итог», «сумма». В начале этот термин употреблялся не как название результата сложения чисел. Суммой называли основное число при всяких расчетах. Еще Леонардо Пизанский писал: «сумма умножения», «сумма деления». Термин «сумма действия» для обозначения любого результата арифметических действий встречается до конца XVII века. Оттенок такого значения слова сохранился до сих пор в нашем языке: мы говорим о «денежной сумме» и в тех случаях, когда никакого сложения нет. С XV века слово начинает употребляться в современном смысле, появляется глагол «суммировать» (1489). Наряду с этим термином употреблялись и другие: «агрегат», «коллект», «продукт».

ТАБЛИЦА. Латинское tabula означает «доска», «табличка для письма», «стол». От этого же корня произошло немецкое tabulieren и наши термины- «табулировать», «табулятор».

ТЕОРЕМА. Греческое означает «зрелище», «представление». В математике греков это слово стало употребляться в смысле «истина, доступная созерцанию». Слово как математический термин встречается у Архимеда.

ТЕРМИН. Латинское terminus означает «межа», «граница», «конец».

ТОЖДЕСТВО. Знак был впервые употреблен Риманом в статье 1857 года.

ТОЧКА. Слово происходит от глагола «ткнуть» и означает результат мгновенного прикосновения, укола. Тот же смысл имеет и латинское punctum, от которого произошли Punkt, point на западноевропейских языках и русское слово «пункт». Эти слова происходял от латинского глагола pungo- «укалываю».Такое толкование является сейчас общепринятым. Интересно, что Лобачевский придерживался другого взгляда. Он говорил, что «точка» происходит от прикосновения отточенного пера, так что «точка» означает острие гусиного пера, которым еще писали во времена Лобачевского и, следовательно, слово образовано от глагола «точить».

ТРЕУГОЛЬНИК ЕГИПЕТСКИЙ. С помощью натянутых веревок длиной 3, 4 и 5 единиц египетские жрецы получали прямые углы при возведении храмов и т.п. Можно установить время возникновения этого приема. В начале XXX века до нашей эры была построена пирамида фараона Хеопса, в ней еще нет такого треугольника, а в ансамбле пирамиды его брата фараона Хефрена он уже имеется.

ТРЕУГОЛЬНИК РАВНОБЕДРЕННЫЙ. Произнося эти слова, мы не спрашиваем себя: а есть ли «бедра» у треугольника? И как давно они были? И когда о них забыли? Оказывается, сравнительно недавно. В русских учебниках геометрии конца XIX века привычными и обычными являются «треугольники о равных бедрах» (1876). В издании трудов Лобачевского 1895 года наравне с «бедрами» употребляются «бока». Только в последнее десятилетие XIX века устанавливается знакомая нам терминология, исчезают «бок угла», «бок квадрата», «бок или пола плоскости», «вершиной» становится любая вершина треугольника, а не только та, которая действительно вверху.

УГОЛ. Понятие угла было уже с древних времен введено в греческую математику, оно, несомненно перешло от вавилонян, искушенных в употреблении углов благодаря своему большому астрономическому опыту. Но определение угла (у Евклида, например) было тавтологией: «угол- это наклон между двумя пересекающимися прямыми». У греческих и у всех европейских геометров до XVII века рассматривались только углы, меньшие двух прямых. Только Эйлер ввел современное понятие угла (измеренного в радианах), принимающего произвольные значения- положительные и отрицательные. Прямой угол обозначается буквой d от французского droit. Знак < для обозначения угла ввел Эригон (1634). В «Тригонометрии» (1657) Отреда, а затем и у многих других авторов знак превратился в современный . Эригон же отметил перпендикулярность прямых знаком.

ФОРМУЛА. Вначале термин имел геометрическое содержание, он имеет корень forma и означает «норма», «масштаб», «схема», «образец», «правило, по которому что-либо делают».

ФУНКЦИЯ. Термин появляется впервые у Лейбница: в рукописях- с 1673 года, в публикациях- с 1692 года. Латинское function означает «свершение», «исполнение». Функциями в то время Лейбниц называл абсциссы, ординаты и другие отрезки, связанные с точкой, описывающей некоторую линию. Знаменательно, что Ньютон в это же время (1676) употребляет для функции название «ордината». На рубеже XVI-XVII веков функции в основном задавались словесно, графически, или таблично (логарифмическая функция впервые введена не аналитически). Только Ферма и Декарт показали, как представлять зависимости между переменными посредством уравнений (ок. 1637).

ХОРДА. Термин происходит от греческого - «струна», «тетива».

ЦЕНТР. Слово греческого происхождения: обозначал палку с заостренным концом, которой подгоняли быков, а позднее- ножку циркуля, помещенную в центр описываемой окружности. Этим термином Евклид называл центр окружности и центр сферы, а Архимед- центр эллипса и эллипсоида. До Евклида это слово не было еще термином чистой геометрии, у Тимея оно употреблялось в теории атома как обозначение точки, важной по каким-то соображениям.

ЦИФРА. Индийские математики называли знак, обозначавший отсутствие некоторого разряда, словом «сунья»- пустой. Арабы перевели этот термин по смыслу и получили слово «сифр». Отсюда произошло слово «цифра», вошедшее в европейскую литературу, оно означало первоначально нуль, затем (уже в XV веке) этим словом начали называть уже все числовые знаки. Установившееся название «арабские цифры» исторически неверно, так как наша система исчисления ведет свое начало в действительности из Индии. Предполагают, что в европейскую математику эти цифры ввел французский ученый Герберт (ставший впоследствии папой Сильвестром II), который для пополнения образования ездил в Испанию, где он и ознакомился с достижениями арабских ученых и в том числе с «арабскими цифрами». Леонардо Пизанский первым из видных европейских математиков принял арабские цифры. Однако еще в 1299 году флорентийское правительство запрещало купцам использовать арабские цифры. Форма цифр почти не изменилась с тех пор, как они появились в печати (1482-1489): 0 и1 всегда сохраняли свою форму, 2 в западно- арабских цифрах писалось «головой вниз», 3 яснее всех остальных цифр сохранила форму санскритской буквы, относящейся ко II веку; цифра 4 появилась впервые в XIII веке. Судьба цифры 5 такова же, как и 2. Цифра 6 почти современной формы встречается уже в 500 году; 7- самая молодая цифра: ее нельзя найти ранее XV и XVI веков; 8 и 9 встречается так же, как и 6, уже в 500 году.

ЧИСЛА НАТУРАЛЬНЫЕ. О «естественном ряде» чисел говорится во «Введении в арифметику» греческого математика Никомаха (I век). «Арифметика» была переведена на латинский язык и переработана римским автором Боэцием в VI веке, впервые употребившим при этом термин «натуральное число» (numeri naturalis). Затем термин встречается в некоторых средневековых рукописях.

ЧИСЛА ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ. Операции с положительными и отрицательными числами содержатся в «Математике в девяти книгах»- китайском трактате V века до нашей эры. Затем, толкуемые как «имущество» и «долг», они появляются у индусов вместе с правилами действий (Ариабхата, Брахмагупта). В европейской математике отрицательные числа впервые появились в «Книге Абака» Леонардо Пизанского, где он интерпретирует их таким же образом. Термины «положительный» и «отрицательный» появились в Европе в XV веке в анонимной рукописи «Initius Algebra»- переводе с арабского языка на греческий, а затем- на латынь. Видимо, они явились переводом арабских терминов «мусбат» и «манфи» самаркандского математика ал-Кушчи. Термины ал-Кушчи применяются и ныне в Турции, Иране, Азербайджане и Средней Азии. Кролме этих терминов употреблялись также affirmatives- «утвердительный» и privativus- «лишательный». Современное обозначение положительных и отрицательных чисел знаками + и - введено в конце XV века Видманом. Штифель называл числа, меньшие нуля, «абсурдными» и в то же время объяснял, что эти числа «ниже, чем ничто», следовательно, он мысленно, изображал положительные и отрицательные числа на вертикали.

ЧИСЛА ПРОСТЫЕ. Выражение «простое число» взято из латинского языка, где употреблялось словосочетание numeri primi, которое, в свою очередь, перешло к римлянам от греческих математиков. Неизвестно, когда возникло понятие простого числа. Евклид доказал, что последовательность простых чисел не обрывается.

ЧЛЕН. Впервые слово стало употребляться в теории пропорций, затем в теории уравнений. Название terminus ввел Клавиус, преподаватель математики в иезуитском колледже, в Риме (1608). В 1637 году у Декарта название terme означало, кроме понятия «член уравнения», уже и «член алгебраического выражения».

ШАР. Слово, как и «сфера», происходит от греческого - «мяч».

Элементы истории математики на уроках в 6 классе.

1.Делимость чисел.

Это интереснейший раздел программы по математике шестого класса, дающий широкие возможности для исторических отступлений на уроках, ведь весь изучаемый материал пришел к нам из прошлого.

Понятие простого числа дается по учебнику, а вот способов получения простых чисел в учебнике нет. Вообще говоря, они, конечно, есть в учебнике, но в разделе дополнительных сведений. Эти сведения учитель давать не обязан и по задумке авторов, дети должны самостоятельно ознакомится с ними, чего на практике никогда не происходит. На форзаце учебника дается таблица простых чисел в пределах тысячи, но я считаю, что необходимо дать возможность ребятам познакомиться с одним из методов получения этой таблицы - «Решетом Эратосфена». Работая руками над незнакомыми объектами, мы лучше понимаем смысл этих объектов.

Выпишем все натуральные числа от 2 до 50 (или до любого другого числа, в зависимости от имеющегося времени), и вычеркнем или подчеркнем все составные числа, подписывая под каждым из этих чисел его наименьший простой делитель. Первое простое число 2, следовательно, необходимо выделить каждое второе число и подписать под ним число 2. Таким образом, мы получим все составные числа, наименьший простой делитель, которых равен 2. После завершения данной процедуры первое, не выделенное число 3 - это следующее простое число, поэтому теперь будем выделять каждое третье число и так далее. На уроке можно лишь рассказать о Решете Эратосфен, а тогда домашним заданием может стать «просеивание» первых ста и более натуральных чисел. Проиллюстрируем приведенный выше материал.

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22,

2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2

23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41,

2 5 2 3 2 2 2 3 2 5 2 2 3 2

42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60,

2 2 3 2 2 7 2 3 2 2 5 2 3 2 2

61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79,

2 3 2 5 2 2 3 2 2 2 3 2 7 2

80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98,

2 3 2 2 5 2 3 2 2 2 3 2 5 2 2

99, 100.

3 2

Тем самым мы получили таблицу, в которой приведены все простые числа в пределах первой сотни. И для каждого составного числа указали наименьший простой делитель.

Впервые таблицу простых чисел составил древнегреческий математик Эратосфен более 2000 лет назад. Эратосфен писал на папирусе, натянутом на рамку, или на восковой дощечке и прокалывал составные числа. Получилось нечто вроде решета, через которое «просеивались» составные числа. Поэтому этот способ нахождения простых чисел носит название «решето Эратосфена».

Далее, при объяснении этой темы можно сказать следующее. Большие заслуги в области изучения простых чисел принадлежат русским и советским математикам. П.Л. Чебышев (1821-1894) доказал, что между любым натуральным числом, большим 1, и числом, вдвое большим данного (например, 2 и 4, 3 и 6, 10 и 20 и так далее), всегда имеется хотя бы одно простое число.

И.М. Виноградов (1891-1983) установил, что любое достаточно большое нечетное число можно представить в виде суммы трех простых чисел, например:

7=2+2+3, 9=3+3+3=2+2+5, 15=3+5+7=5+5+5.

Интересной для учащихся покажется следующая задача исторического содержания, которую предлагают в своем учебнике для шестого класса Э.Р. Нурк и А.Э. Тельгмаа:

Эратосфен родился примерно в 276 году до нашей эры и умер примерно в 194 году до нашей эры. Какие годы, выраженные простыми числами, приходятся на период жизни Эратосфена?

При изучении темы: «Наибольший общий делитель» желательно дать учащимся небольшую историческую справку об алгоритме Евклида, его первоначальном и современном значении.

В шестом классе школьники узнают способ нахождения наибольшего общего делителя двух чисел с помощью следующего приема:

Для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел:

1) разложим данные числа на простые множители;

2) найдем (подчеркнем) все общие простые множители в полученных разложениях;

3) найдем произведение общих простых множителей.

Однако не всегда разложение на простые множители легко выполнять, так как числа могут быть большими и слишком велика вероятность ошибки. Поэтому удобней пользоваться алгоритмом Евклида или, как говорят, «способом последовательного деления». Этот способ основывается на следующих свойствах наибольшего общего делителя:

1. Если a делится на b без остатка, то НОД (a, b)=b.

2. Если a делится на b с остатком, то есть a=b+r, то НОД (a, b)=НОД (b, r).

Приведем пример отыскания наибольшего общего делителя двух чисел с помощью алгоритма Евклида.

Пример: НОД (437, 713)=?

то есть деление 46 на 23 выполняется нацело. Это значит, что НОД (23, 46) является число 23, а тогда таков же наибольший общий делитель заданных чисел 713 и 437.

Впоследствии при изучении наименьшего общего кратного чисел может возникнуть вопрос, а как же найти наименьшее общее кратное тех же чисел 713 и 437? Нет ли для этого какого-нибудь способа, не требующего предварительного разложения этих чисел на простые множители? Оказывается, есть, и притом очень простой. Нужно перемножить эти числа и разделить произведение на найденный наибольший общий делитель 23.

, то есть НОК (713, 437)=13547.

При изучении делимости чисел нельзя обойти вниманием совершенные и дружественные числа. Их история и красота завораживает, вызывает интерес, способствует проявлению любви к числам и уважения к ученым, изучавшим эти числа.

Несмотря на то, что в учебнике Виленкина Н.Я. есть две задачи: одна посвященная совершенным числам (№ 11), а другая - дружественным числам (№ 12), в дополнительной статье к разделу есть только краткая информация о совершенных числах.

Нумерология была распространенным увлечением у древних греков. Естественным объяснением этому является то, что числа в Древней Греции изображались буквами греческого алфавита, и поэтому каждому написанному слову, каждому имени соответствовало некоторое число. Совершенными числами являлись такие числа, которые составлялись из своих делителей, исключая само число. Наименьшим совершенным числом является число 6: 6=1+2+3. За ним следует 28: 28=1+2+4+7+14. Интересно отношение древних к совершенным числам. По мнению Платона у жителей Атлантиды пользовалось популярностью число 6. А на пирах у римлян самым почетным местом было шестое. Но еще более интересный факт связан с числом 28. В наши дни в Риме при постройке метро была обнаружена неопифагорейская академия, которая существовала в первые века нашей эры. Она представляла собой круглый зал, в который выходило 28 келий. В этой академии было 28 членов.

Греческий математик I века нашей эры Никомах Геразский пишет: «Совершенные числа красивы. Но известно, что красивые вещи редки и немногочисленны, безобразные же встречаются в изобилии. Избыточными и недостаточными (избыточное - это числа, для которых сумма их делителей превосходит само число, а недостаточные - это числа, для которых сумма собственных делителей меньше самого числа) являются подавляющее большинство чисел, в то время как совершенных чисел немного. Среди единиц (однозначных чисел) их только одно - 6, среди десятков (двузначных чисел), сотен (трехзначных) и тысяч (четырехзначных) их тоже по одному: 28, 496 и 8128. Характерно для них, что они попеременно оканчиваются на 6 и 8.»

Точно не известно, когда и где впервые обратили внимание на совершенные числа. Предполагают, что они были известны уже в Древнем Вавилоне и Древнем Египте. Во всяком случае, вплоть до V века нашей эры в Египте сохранялся пальцевый счет, при котором рука с загнутым безымянным пальцем и выпрямленными остальными изображала число 6 - первое совершенное число. Тем самым этот палец как бы сам стал причастен к совершенству и потому получил привилегию нести на себе кольцо. Таково одно из объяснений того отмечаемого специалистами по истории культуры факта, что почти у всех цивилизованных народов существует обычай носить кольцо именно на безымянном пальце. Примером тому служит рука статуи Афродиты из бронзы, которая была создана в Греции в III - II веках до нашей эры. Сама статуя Афродиты не найдена. Сейчас рука находится в музее «Уренмузеум» в Вуппертале (Германия).

Как получить совершенное число? В IX книге своих «Начал» Евклид (примерно 300 год до нашей эры) утверждал, что если число - простое, то число будет совершенным. А Леонард Эйлер доказал, что всякое четное совершенное число имеет именно такой вид. Если пойти немного дальше, то легко определить, что любое простое число Мерсена порождает совершенное число. Учитывая, что известно 23 простых числа Мерсена, следовательно, мы знаем также 23 совершенных числа. Существуют ли другие виды совершенных чисел? Существуют ли нечетные совершенные числа? В настоящее время мы не знаем ни одного такого числа, и вопрос о существовании нечетных совершенных чисел является одной из самых знаменитых проблем теории чисел. В 1968 году Брайен Такжерман из IBM сообщил, что нечетное совершенное число должно иметь, по крайней мере, 36 знаков.

В разное время совершенными числами занимались Пьер Ферма (1601-1665), Рене Декарт (1596-1650), Марен Мерсен (1588-1649), Леонард Эйлер (1707-1783), Сильвестр II (Герберт, 940-1003). В настоящее время фактически известны 18 совершенных чисел.

1)

2)

3)

4) .

Эти четыре совершенных числа были известны еще древним.

5)

6) .

Эти числа известны, как совершенные Региомонтану (Иоганн Мюллер, 1436-1476), доказательство осуществил Леонард Эйлер.

7) .

Шестое и седьмое числа указал Катальди в XVI веке, привел доказательство Леонард Эйлер.

8) .

Это число получил Леонард Эйлер.

9) .

Это число вывел Первушин в 1883 году, число имеет 37 цифр.

10) .

Тарри, Поуэрс в 1911, 54 цифры.

11) .

Фокамберг, Поуэрс в 1914, 65 цифр.

12) .

Люка в 1876 году, Фокамберг в 1914 году. Число записывается с помощью 77 цифр.

В 1952 году с помощью электронных вычислительных машин были найдены следующие пять чисел.

13) , число имеет 314 цифр.

14) , 366 цифр.

15) , 770 цифр.

16) , 1327 цифр.

17) , 1373 цифры.

В сентябре 1957 года Ризелем было найдено совершенное число

18) , в котором 2000 цифр.

Если вернуться к пятому и шестому числам, то будет видно, что Никомах ошибся утверждая, что совершенные числа попеременно оканчиваются на 6 и8, так как оба числа оканчиваются на 6.

Дружественные числа. Двухтысячелетняя история одной арифметической задачи.

Это история двух чисел:

А= 90 2364653062 3313066515 5201592687 0786444130 4548569003

8961540360 5363719932 5828701918 5759580345 2747004992

7532312907 0333233826 7840675607 3892061566 6452384945 и

В= 86 2593766501 4359638769 0953818787 1666597148 4088835777

4281383581 6831022646 6591332953 3162256868 3649647747

2706738497 3129580885 3683841099 1321499127 6380031055.

В каждом из них 152 цифры. У первого 800 различных делителей, у второго - 3200. Числа А и В обладают следующим замечательным свойством: сумма 799 собственных делителей числа А равна числу В, сложив же 3199 собственных делителей В, мы получим число А. Эту пару нашел в 1972 году амстердамский математик Херман те Риле. Его открытию предшествовала долгая история, начало которой теряется в глубине веков.

Дружественные числа также входят в наследство, доставшееся нам от греческой нумерологии. Если у двух людей имена были таковы, что их числовые значения удовлетворяли следующему условию: сумма частей (делителей) одного из них равнялась второму числу, и наоборот, то считалось, что это свидетельствует об их духовной близости. В действительности греки знали всего одну пару таких чисел, а именно: , . Суммами их делителей соответственно являются 1+2+4+5+10+20+11+22+44+55+110=284, 1+2+4+71+142=220. Числа 220 и 284 были названы дружественными. Весьма вероятно, что первым обратил на них внимание Пифагор. Впрочем, некоторые ссылаются на то более древнее место в библии, где говорится, что Иаков в знак примирения подарил Исаву ровно 220 овец и 220 коз. Средневековые комментаторы библии объясняли своим читателям «тайну», заключенную в числе 220, и считали непреложным фактом, что на магическую силу этого числа и рассчитывал хитроумный Иаков. С помощью аналогичных уловок наши предки будто бы завоевывали симпатии королей и сановников. Первым, не допускающим двусмысленного толкования документом, содержащим упоминание о дружественных числах, является «Изложение пифагорейского учения» - трактат, написанный в третьем веке нашей эры Ямвлихом из Хальциса. Пифагорейская школа получила широкую известность не только благодаря пристрастию ее членов к мистике, но и благодаря тому, что они высоко ценили дружбу. Ямвлих рассказывает, как однажды великий Пифагор на вопрос, кого следует считать другом, ответил: «Того, кто является моим вторым я, как числа 220 и 284».

Указать какой-нибудь общий способ получения дружественных чисел (что для совершенных чисел удалось сделать Евклиду) - задача, представляющая значительную трудность и в наши дни. Правда, один способ такого рода указал еще в IX веке арабский математик Сабит ибн Кора. Сабит был врачом и астрономом и в то же время одним из самых выдающихся мусульманских математиков. Он жил с 836 по 901 год, последнюю часть жизни в Багдаде, где был доверенным лицом и советником халифа аль-Мутадида. Найденный Сабитом способ получения дружественных чисел звучит на современном языке так:

Если все три числа - простые, то числа А и В- дружественные.

При числа - простые, и получается пара чисел, найденная Пифагором. Однако способ Сабита дает дружественные числа и при других значениях , например при и : 17296 и 18416, 9363584 и 9437056.

В настоящее время известно, что этими тремя случаями исчерпываются все значения , при которых указанный способ дает дружественные числа. Открытие второй и третьей пары дружественных чисел приписывалось ранее Ферма и Декарту соответственно. Однако недавно в одном из трактатов марокканского ученого ибн аль-Банны (1256-1321), сына архитектора, были обнаружены следующие строки: «Числа 17296 и 18416 являются дружественными; одно из них избыточно, другое недостаточно. Аллах всеведущ».

Многие авторы настаивают на возможности практического использования дружественных чисел. Например, ибн Хальдуи прилагает к своему трактату руководство по изготовлению талисмана дружбы, а мадридский ученый аль-Маджрити (умер в 1007 году) приводит рецепт, позволяющий добиться взаимности в любви: надо записать на чем-либо числа 220 и284 меньшее дать съесть предмету страсти, а большее съесть самому. Ученый добавляет, что действенность этого способа он проверял на себе.

В начале XVII века два французских математика - Пьер Ферма (1601-1665) в 1636 году и Рене Декарт (1596-1650) в 1638 году - независимо друг от друга и от Сабита получили те же самые формулы.

После периода малозначащих работ, последовавшего за работами Ферма и Декарта, существенного продвижения в решении проблемы дружественных чисел добился Леонард Эйлер (1707-1783). С присущей ему основательностью и энергией начал он штурм этой задачи. В своих работах Эйлер излагает пять различных методов для отыскания дружественных чисел; демонстрируя виртуозность в вычислениях и терпение, показывает на большом количестве примеров, как применять эти методы. И в заключении дарит изумленным современникам (занимавшимся той же проблемой примерно с таким же увлечением, но почти безрезультатно) почти 60 новых пар.

Математики, открывшие пары дружественных чисел.

Пифагор 1 пара 500 год до нашей эры,

ибн аль Банна 1 пара около 1300 года,

Декарт 1 пара 1638 год,

Эйлер 59 пар 1747-1750 годы,

Лежандр/ Чебышев 1 пара 1830/ 1851 года,

Паганини 1 пара 1866 год,

Зеельхофф 2 пары 1884 год,

Диксон 2 пары 1911 год,

Мейсон 14 пар 1921 год,

Пуле 108 пар 1929-1948 года,

Шерардэн 9 пар,

Браун 1 пара 1939 год,

Эскот 219 пар 1946 год,

Вульф 4 пары 1950 год,

Гарена 153 пары 1957 год,

Рольф 1 пара 1965 год,

Оре, Аланен, Стемпл 9 пар 1967 год,

Боро 41 пара 1967-1974 года,

Ли 390 пар 1968-1972 года,

Брэтли, Мак-Кей 14 пар 1968 год,

Коэн 62 пары 1970 год,

Дэвид 12 пар 1971-1972 года,

те Риле 4 пары 1974 год,

Боро, Хоффманн, Небген, Рекков 25 пар 1979 год.

Вообще, как видно из таблицы, в которой указано число найденных каждым математиком пар дружественных чисел, Эйлер оставался непревзойденным вплоть до XX столетия. Первым побил рекорд Эйлера бельгийский математик Поль Пуле. Его двухтомная монография по теории чисел была издана в 1929 году в Брюсселе под многозначительным названием «La chasse aux nombres» («Охота за числами»). Кроме всего прочего в ней приведены 62 новые пары дружественных чисел.

2. Действия с обыкновенными дробями.

Я неслучайно объединила такие важные и объемные темы программы шестого класса как «Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями», «Умножение и деление обыкновенных дробей» под общим заголовком «Действия с обыкновенными дробями». Дело в том, что эти темы благоприятствуют введению исторического материала по математике в курсе шестого класса через задачи исторического содержания, позволяющие в свою очередь также закреплять полученные знания. Поэтому здесь я приведу некоторые старинные задачи, дающие возможность:

во-первых, дать представление учащимся о тех задачах, которые решали наши предки;

во-вторых, предоставить учащимся возможность закрепить приобретенные ими знания по вышеуказанным темам на задачах более интересного и привлекательного содержания, нежели в учебнике;

в-третьих, через старинные задачи дать более широкий спектр возможных нестандартных задач.

Итак, начну с задач из русских рукописей и книг.

Задача 1. Купили полторажды полтора аршина, дали полтретьежды полтретьи гривны. Сколько нужно дать за полдевятажды полдевята аршина?

В этой задаче «полторажды полтора» означает

«полтретьежды полтретьи» означает

«полдевятажды полдевята» означает .

Текст задачи следует понимать так: Куплено аршина сукна и за них уплачено гривны. Сколько надо уплатить за аршина сукна?

РЕШЕНИЕ: 1) Поскольку за аршина уплатили гривны, то 9 аршин стоят 25 гривен;

2) Значит один аршин стоит гривны;

3) Поэтому аршина сукна стоят: гривны.

Задача 2. Прохожий, догнавший другого спросил: «Как далеко до деревни, которая у нас впереди?» Ответил другой прохожий: «Расстояние от той деревни, от которой ты идешь, равно третьей части всего расстояния между деревнями, а если еще пройдешь две версты, тогда будешь ровно посередине между деревнями». Сколько верст осталось еще пройти первому прохожему?

РЕШЕНИЕ: До середины расстояния между деревнями первому прохожему нужно идти еще 2 версты, и это составляет часть всего расстояния между деревнями. Поэтому это расстояние составляет 12 верст. К моменту встречи первый прохожий прошел версты, а осталось ему идти 12-4=8 верст.

Но нельзя обойти вниманием и задачи зарубежных авторов.

Задача 3. Сохранилась «Греческая антология» в форме сборника задач, условие которых составлено в стихах, главным образом гекзаметром. Которым, как известно, написаны знаменитые поэмы Гомера (X-IX века до нашей эры) «Илиада» и «Одиссея». «Греческая антология» была написана в VI веке нашей эры грамматиком Метродором. В «Греческой антологии» содержится задача о статуе богини мудрости, покровительнице наук, искусств и ремесел Минерве.

Я - изваяние из злата. Поэты то злато

В дар принесли. Хоризий принес половину всей жертвы,

Фесния часть восьмую дала; десятую - Солон.

Часть двадцатая - жертва певца Фемисона, а девять

Все завершивших талантов - обет, Аристоником данный.

Сколько же злата поэты все вместе в дар принесли?

РЕШЕНИЕ: Эта задача может быть решена как алгебраически, так и арифметически. Приведем арифметическое решение данной задачи.

от общего количества составляют 9 талантов. талантов злата пошло на создание статуи Минервы.

Задача 4. Папирус Ахмеса (XVIII - XVII века до нашей эры). Найти число, если известно, что от прибавления к нему его и вычитании от полученной суммы ее трети, получается 10.

РЕШЕНИЕ: Эта задача также может быть решена и арифметически и алгебраически. Но если составить уравнение для решения данной задачи достаточно легко, то получить арифметическое решение совсем непросто. Приведем возможные рассуждения, которые помогут решить данную задачу. Из условия задачи следует, что суммы составляют 10, тогда сама сумма будет равна . Таким образом, 15 составляет самого числа, тогда число равно . Итак, искомое число - 9.

Задача 5. Михаэль Штифель (1486-1567), немецкий математик. Разделить на .

РЕШЕНИЕ: .

Задача 6. Бхаскара Ачариа (родился в 1114 году). Из пучка цветов чистых лотосов взяты , и части, соответственно принесенные в жертву богам: Шиве, Вишну и Солнцу. Одна четверть досталась Бавани. Оставшиеся 6 лотосов даны глубокочтимому учителю. Сосчитай мне быстро число всех цветов.

РЕШЕНИЕ: Способ решения аналогичен решению задачи 3. Число всех цветов 120.

Несмотря на то, что в пятом классе уже говорилось о дробях, необходимо более подробно остановится на понятии дроби именно в шестом классе.

Понятие о дроби как о части числа и как о некотором количестве долей единицы можно найти уже в папирусах Древнего Египта и в глиняных табличках вавилонян.

Понятие дроби, как и понятие целого числа, с течением веков развивалось и расширялось. Греки - Евклид (III век до нашей эры) в «Началах» и Никомах (I век) в «Введении в арифметику» избегали обращаться к дробям, так как они не принимали их за числа. Архимед (287-212 года до нашей эры) хотя и пользовался дробями, за числа их не признавал.

Позже в продолжении нескольких веков дроби или ломанные числа рассматривали как собрание равных долей единицы, но не считали их числами. Название «ломанное число», существовавшее у многих народов, ведет свое начало от арабов и через Леонардо Пизанского (Фибоначчи) вошло в большинство европейских руководств по арифметики. В нашей стране это название существовало до XIX века.

Различают три типа дробей: 1) единичные дроби (аликвоты) или доли, например и так далее; 2) дроби систематические, то есть дроби, у которых знаменатель выражается степенью числа, принятого для данного вида дробей, например степенью 10 - десятичные или 60 - шестидесятиричные; 3) дроби общего вида, у которых числителем и знаменателем может быть любое целое число.

Дроби, у которых числитель больше знаменателя, в средние века называли «ложными» в противовес правильным дробям, которые называли «реальными». Лишь во второй половине XVIII века распределение дробей на ложные и реальные исчезло.

В VII веке жил известный армянский ученый Анания Ширакаца (из Ширака), который прославился также как борец за освобождение своей родины от иностранных захватчиков. Анания писал книги по математике, географии и астрономии. Он составил, помимо обширных таблиц сложения, вычитания и умножения, специальные таблицы пар сомножителей, произведение которых равно 6000. Этот труд, названный «Шеститысячником», мог применяться при делении чисел. Среди книг Анания имеются также книга по арифметики и сборник задач, названный «Вопросы и решения».

1300 лет назад Анания решал задачи на дроби, которые даже для многих ученых из Европы в то время казались трудными. Вот содержание одной из них: «Один купец прошел через три города, и взыскивали с него в первом городе пошлины половину и треть имущества и во втором городе половину и треть (с того, что осталось), в третьем городе снова половину и треть (с того, что у него было), и, когда он прибыл домой, у него осталось 11 денежков(денежных единиц). Итак, узнай , сколько всего денежков было вначале у купца».

Разбирая проблему решения задач на дроби интересно привести случай описанный в книге А.В. Шевкина «Обучение решению текстовых задач в 5-6 классах». Этот случай связан с задачей, взятой из раздела «Задачи повышенной трудности» учебника Н.Я Виленкина и других (1984 год): Колхозница продавала на рынке яйца. Первая покупательница купила у нее половину яиц и еще пол-яйца, вторая покупательница - половину остатка и еще пол-яйца, а третья - последние 10 яиц. Сколько яиц принесла колхозница на рынок? С этой задачей связана история, которую стоит вкратце рассказать. Газета «Московский комсомолец» опубликовала (26.04.1987 года) в разделе «Сатира & юмор» реплику В. Сумина, которую приведем с сокращениями: «Встречали вы в магазине, чтобы продавали по половине яйца? Нет? Я то же. А на рынке - пожалуйста! Мы-то, взрослые, знаем, почему. Там целое яйцо не каждому и по карману. И дети пусть об этом знают, пусть!... А все-таки умный народец эти продавцы!... И как они умудряются? Я целый день потратил, сотню яиц извел, а пополам ни одного не разделил. Может, мне кто поможет, а?...»

Такой вот грустный получается юмор. Особенно, если учесть, что автор реплики окончил Московскую физико-математическую школу №2, славную своими победителями математических олимпиад различного уровня, и сам написал учебник для металлургических техникумов. Ну, - скажет читатель, - с кем не бывает! И мы бы согласились, да вот беда! После получения одиннадцати писем читателей газета еще раз вернулась к обсуждению «Дела о яйце», напомнив содержание предыдущей публикации следующим образом: «Теперь - о реплике. В ней высказывается нехитрая и, в общем-то, на наш взгляд, справедливая мысль, что учебник должен учить не только математике, но и отражать реальные отношения между людьми и предметами. В задаче №1513 математическая логика вступила в противоречие с обыкновенным здравым смыслом. Математика утверждает, что пол-яйца и пол-яйца будет одно целое яйцо. Здравый смысл говорит, что ни одного…»

В завершение развернутой дискуссии газета опять предоставила слово В. Сумину, который, прочитав письмо Н.Я. Виленкина, содержащее ответ «43 яйца», пишет: «…Это что же получается? Били- били яйцо, разбили пополам, вручили в таком виде покупателям (и где таких смирных сыскали-то?), а оно опять оказалось целым!» И так далее в том же духе. Вас не настораживают эти строки, не наталкивают на определенные мысли? Достаточно ли мы уделяем в школе внимание дробям?

Но мы несколько отвлеклись от темы. Названия «числитель» и «знаменатель» дроби имеются уже у Максима Плануда в конце XIII века. Термин «обыкновенные», или «вульгарные», дроби появляется у Транигана (1558). У венгра Сегнера, почетного члена Петербургской Академии Наук, появляются термины «правильные» и «неправильные» дроби (1747 год). Расширение дроби (умножение числителя и знаменателя дроби на одно и то же число) и сокращение ее встречаются с XII века, но первый термин входит в употребление лишь в XIX веке, второй уже в XV веке. Приведение дробей к общему знаменателю встречается с XII века, наш термин встречается у Региомонтана (1464 год).

Для нахождения общего знаменателя Ризе и Грамматеус (XVI век) предлагают умножать меньший знаменатель 2, 3, 5 и так далее, пока не получится число, делящееся на другой знаменатель. При этом только Штифель и Клавий (XVI век) формулируют предложение, что величина дроби не меняется от умножения числителя и знаменателя на одно и то же число.

Индийские математики (Брамагупта, VII век, Махавира, IX век) умножают дроби по нашему правилу. Леонардо Пизанский рекомендует, перемножив числители делить произведение сначала на один знаменатель, а полученное частное на другой знаменатель. Иордан Неморарий дает индийское правило деления произведения числителей на произведение знаменателей.

Что деление дроби на целое число сводится к умножению знаменателя дроби на это число, знали уже египтяне. Авторы XIII века (Иордан Неморарий) для деления дроби на дробь делят числитель и знаменатель делимого на числитель и знаменатель делителя соответственно: .

Что деление дроби на дробь сводится к «перекрестному» умножению числителей и знаменателей, отмечает уже Бамбергская арифметика 1482 года и многие более поздние учебники. Но до XVI века учебники арифметики содержат правила, что при делении дробей нужно делимое и делитель сначала привести к общему знаменателю, после чего действие сводится к делению числителей. Только Штифель (1544) и потом Клавий (1585) формулируют четко индийское правило деления дробей, состоящее в том, что для деления дроби на дробь нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю. Термин «обратная» (reziprok, recus-procus - взад - вперед) дробь встречается уже у Видмана (1489).

3. Пропорции.

Пропорция имеет довольно интересную историю своего появления. Прежде чем начать объяснение понятий пропорции и прямой и обратной пропорциональных величин, учитель может рассказать своим ученикам краткую историю этого важного математического объекта. А когда уже ребята освоят основные понятия темы, учитель может разнообразить материал уроков, предложив более глубокое рассмотрение истории пропорции - в том числе различных форм ее записи в прошлом. Это расширит кругозор учащихся и повысит образовательную ценность рассматриваемой темы.

Слово «пропорция» происходит от латинского proportio, означающего вообще соразмерность, определенное соотношение частей между собой. В древности учение о пропорциях было в большом почете у пифагорейцев. С пропорциями они связывали мысли о порядке и красоте в природе, о созвучных аккордах в музыке и гармонии во вселенной. Некоторые виды пропорций они, поэтому называли «музыкальными» и «гармоническими».

В IV веке до нашей эры общая теория пропорций для любых величин (соизмеримых и несоизмеримых) была создана трудами древнегреческих ученых, среди которых выдающееся место занимали Теэтет и Евдокс. Эта теория подробно изложена в пятой главе «Начал» Евклида.

В VII книге «Начал» изложена теория отношений и пропорций для целых чисел (и соизмеримых величин). Из пропорции a:b=c:d Евклид выводит следующие производные пропорции (естественно, такую современную запись пропорции Евклид тогда не использовал):

B:a=d:c; (a+b):b=(c+d):d; a:c=b:d; (a-b):b=(c-d):d; a:(a-b)=c:(c-d)/

Перед началом же рассмотрения темы «Основное свойство пропорции», вступлением к ней может стать следующее предложение: произведение крайних членов равно произведению средних членов, которое было 19-м предложением VII книги «Начал» Евклида.

Какое значение авторы старого времени придавали пропорциям, видно из слов Г. Витали («Математический лексикон», 1668): «Пропорция является основанием, на котором строится вся математика, а также целью, к которой стремятся все ее предложения».

Цамберти в XV веке впервые дает определение: «Пропорция есть равенство двух отношений». В русских математических рукописях и в «Арифметике» Магницкого отдельной главы о пропорциях нет. Само слово «пропорция» правда, употребляется, но в житейском смысле, означая соразмерность, соотношение. Ученик Магницкого Курганов (1757) вводит при решении задач на тройное правило пропорции, замечая, что этот прием есть то, «что геометры называют пропорцией». Конечно, и Магницкий знал, что такое пропорция, но не считал возможным в арифметике пользоваться этим геометрическим методом. Наше понятие «пропорциональность величин» Магницкий передает словами «подобие», «подобность».

До XVI века пропорции записывали большей частью словесно, полностью или сокращенно. Были сделаны разные попытки введения специального обозначения для пропорций. Так в одной индийской рукописи XII века пропорция записана следующим образом:

10

1

163

60

4

1

163

150

Средневековые математики стран ислама, писавшие на арабском языке справа налево, применяли для записи пропорции троеточие. Выдающийся французский математик XVII века Рене Декарт записывал пропорцию 7:12=84:144 таким образом: 7/12/84/144. Некоторые английские математики поныне пользуются одной старой записью, введенной еще в 1631 году Оутредом: .

Современная запись с помощью двоеточия и знака равенства была введена Г.В. Лейбницем в 1693 году.

Не лишним будет упоминание на уроках по теме: «Пропорция» учителем «Золотой пропорции», которая является великим мостом, соединяющим математику и искусство (гармонию и красоту). На уроках невозможно рассказать все, что известно об этой замечательной пропорции (этому нужно посвятить целый факультатив), но она поистине достойна некоторого краткого упоминания о себе.

Эту пропорцию называли по-разному - «золотой», «божественной», «золотым сечением», «золотым числом». Математически она отвечает некоему делению целого на две части, при котором отношение большей части к меньшей равно отношению целого к большей части.

Древнейшие сведения о «золотой пропорции» относятся ко времени расцвета античной культуры. О ней упоминается в трудах великих философов Греции - Пифагора, Платона, Евклида. Античные скульпторы и архитекторы широко использовали ее при создании своих произведений.

В 1528 году появилась книга великого живописца Альбрехта Дюрера «О человеческой пропорции». Дюрер известен нам не только как художник, но и как человек, не чуждый математике. В своем трактате он, систематизируя накопленные к тому времени знания, попытался свести красоту человеческого тела к строгим пропорциям. Каноны, по которым оно сложено, по мнению живописца-математика, таковы: высота лица составляет от роста, высота головы - , ширина плеч - , ширина груди - и так далее. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил «золотому сечению». Именно в этой «золотой пропорции» рост человека делится линией пояса, а также линией проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица ртом и так далее.

Так сошлись совершенство человеческого тела и красота математического соотношения. Сошлись и дополнили друг друга: формула обрела обаятельный образ, телесная красота подтвердилась абстрактной формулой.

Представляется бесспорным фактом то, что в современных учебниках математики содержится не достаточное количество задач, решаемых с помощью пропорций. На небольшом числе несложных однотипных задач не всегда удается научить школьников хорошо различать прямую и обратную пропорциональные зависимости. А без нарастания сложности задачи на прямую и обратную пропорциональности не оказывают желаемого влияния на развитие школьников. Поэтому представляется необходимым расширить задачный материал старинными задачами.

Задача 1. Из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого. Некий господин позвал плотника и велел двор построить. Дал ему 20 человек работников и спросил, в сколько дней построят они его двор. Плотник ответил: в 30 дней. А господину надобно в 5 дней и ради того спросил он плотника: сколько человек тебе надо иметь, дабы с ними ты построил двор в 5 дней; и плотник, недоумевая, спрашивает тебя, арифметик: сколько человек ему надо иметь, чтобы построить тот двор в 5 дней? (Ответ: 120 человек).

Задача 2. Из «Книги абака» Леонардо Пизанского (Фибоначчи). 100 ротулов (пизанская мера) стоят 40 мер. Что стоят 5 ротулов? (Ответ: 2 меры).

Задача 3. С.А. Рачинского (1833-1902). Родник в 24 минуты дает бочку воды. Сколько бочек воды дает родник в сутки?

Задача 4. Десять работников должны закончить работу в 8 дней. Когда они проработали 2 дня, то оказалось необходимым закончить работу через 3 дня. Сколько еще нужно нанять работников? (Ответ: еще необходимо 10 работников).

4. Положительные и отрицательные числа.

Итак, сначала люди научились считать целыми единицами, потом потребности жизни заставили их разделить единицу на части. Появились числа дробные. В течении сотен лет люди пользовались только двумя видами чисел: натуральными и дробными, так же как каждый из вас пользуется ими в первые пять лет обучения в школе.

Но вот, среди различных задач, которые приходилось решать, стали находится такие, ответы в которых нельзя было выразить ни известными тогда натуральными, ни дробными числами. Решение таких задач приводило ученых к необходимости введения новых чисел. Числа эти назывались по-разному: неправильными, абсурдными, фиктивными и так далее. Задачи, решение которых приводило к таким числам, считались невозможными. Древние греки старались изменить условие невозможных задач так, чтобы в результате получались привычные числа.

Первыми, кто дал некоторые правила действий с отрицательными числами, были китайские математики.

Во II веке до нашей эры китайский ученый Чжан Цань написал труд «Математика в девяти книгах». Из содержания книги видно, что это не вполне самостоятельный труд, а переработка других книг, написанных задолго до Чжан Цаня. В этой книге впервые в науки встречаются отрицательные количества. Они понимаются автором не так, как нами. Полного и ясного понимания природы отрицательных величин и правил действий над ними у автора нет. Каждое отрицательное число он понимает как долг, а положительное - как имущество. Действия с отрицательными числами он производил, пользуясь рассуждениями о долге. Например, если к одному долгу прибавить другой долг, то в результате получится долг, а не имущество.

Знак минус тогда еще не знали, поэтому, чтобы отметить числа, выражавшие долг, Чжан Цань писал их другими чернилами, чем числа, выражавшие имущество.

Хотя китайские ученые и объяснили отрицательные количества как долг, все же они избегали широкого употребления их, так как числа казались им непонятными, действия с ними были неясны.

Еще в III веке древнегреческий математик Диофант фактически уже пользовался правилом умножения отрицательных чисел. Однако -3 для Диофанта не самостоятельное отрицательное число, а всего лишь «вычитаемое», любое же положительное число «прибавляемое». Правило умножения он записывает так: «Вычитаемое, умноженное на прибавляемое, дает в результате вычитаемое; вычитаемое на вычитаемое, дает в результате прибавляемое». Отдельно взятые отрицательные числа Диофант не признавал, и если при решении уравнения получался отрицательный корень, то он отбрасывал его как «недопустимый». Диофант старался так формулировать задачи и составлять уравнения, чтобы избегать отрицательных корней.

Совершенно по-иному относились к отрицательным числам индийские математики. Они признавали существование отрицательных корней уравнений, толковали положительные числа как представляющие имущество, а отрицательные - долги, применяя к ним все правила четырех действий, однако без должного теоретического обоснования.

Вот правила сложения и вычитания, изложенные индийским математиком Брахмагуптой в VII веке.

Современная

запись

Правила Брахмагупты

a+b=c

(-a)+(-b)=(-c)

a+(-b)=a-b

a+(-a)=0

0+(-a)=(-a)

0+a=a

0-(-a)=a

0-a=(-a)

Сумма двух имуществ, есть имущество

Сумма двух долгов, есть долг

Сумма имущества и долга равна их разности

Сумма имущества и равного ему долга равна нулю

Сумма нуля и долга равна долгу

Сумма нуля и имущества, есть имущество

Долг, вычитаемый из нуля, становится имуществом

Имущество, вычитаемое из нуля, становится долгом

Индийский математик Бхаскара (XII век) выразил правила умножения и деления следующим образом: «Произведение двух имуществ или двух долгов есть имущество; произведение имущества и долга есть убыток. Те же правила имеют место и при делении».

Однако, несмотря на широкое использование отрицательных чисел при решении задач с помощью уравнений, в Индии относились к отрицательным числам с некоторым недоверием, считая их своеобразными, не совсем реальными. Бхаскара прямо писал: «Люди не одобряют отвлеченных отрицательных чисел…» Не одобряли их долго и европейские математики.

Независимо от индийцев итальянский ученый - математик Леонардо Фибоначчи (XIII век) также пришел к мысли, что отрицательные количества надо понимать в смысле, противоположном положительным. В те годы были распространены так называемые математические поединки. На состязании в решении задач с придворными математиками Фридриха II Леонарду Пизанскому было предложено решить задачу: требовалось найти капитал нескольких лиц. Фибоначчи получил отрицательное значение. «Этот случай невозможен, - сказал Фибоначчи,- разве только принять, что один имел не капитал, а долг».

Немецкий математик Михаэль Штифель (1486-1567) в книге «Полная арифметика» (1544) впервые вводит понятие об отрицательных числах как о числах, меньших нуля (меньших, чем ничто). Это был очень большой шаг вперед в деле обоснования отрицательных чисел. Но и Штифель называл отрицательные числа абсурдными; действия с ними, по его словам, «тоже идут абсурдно, навыворот».

В XVII веке математика, механика, астрономия получили широкое развитие. Отрицательные числа, применение которых значительно облегчило математические вычисления, все более прочно входили в математику. Уже в двадцатых годах XVII века ученик Стевина, фламандский математик А.Жирар, решая уравнения, систематически учитывает и отрицательные корни и пользуется отрицательными числами наравне с положительными.

В знаменитом произведении французского математика, физика и философа Декарта «Геометрия», изданном в 1637 году, описывается геометрическое истолкование положительных и отрицательных чисел. Положительные числа изображаются на числовой оси точками, лежащими справа от нуля, а отрицательные - слева.

Геометрическое истолкование положительных и отрицательных чисел привело к более ясному пониманию природы отрицательных чисел, способствовало их признанию. Представляя положительные и отрицательные корни уравнений противоположно направленными отрезками, Декарт тем самым доказывал, что эти корни равноправны, одинаково реальны, хотя и продолжал, по традиции, называть одни истинными, другие - ложными.

Однако, ввиду того что правила умножения и деления отрицательных чисел по-прежнему оставались необоснованными, даже в XVIII веке все еще продолжался спор между учеными о том, можно ли признавать отрицательные числа действительно существующими самостоятельно, как и числа положительные. Такое признание отстаивали, в частности, Ньютон, Эйлер и почти все русские математики того времени. Всеобщее признание отрицательные числа получили в первой половине XIX века.

5. О координатах.

Идея координат зародилась в древности. Первоначальное их применение связано с астрономией и географией, с потребностью определять положение светил на небе и определенных объектов на поверхности Земли. Знаменитый древнегреческий астроном Клавдий Птолемей (II век) уже пользовался долготой и широтой в качестве географических координат. Следы применения идеи прямоугольных координат в виде квадратной сетки (палетки) обнаружены на стене одной из погребальных камер Древнего Египта. В погребальной камере пирамиды отца Рамсеса II на стене имеется сеть квадратиков. С их помощью перенесено изображение в увеличенном виде. Прямоугольной сеткой пользовались и художники эпохи Возрождения.

Общематематическое значение метода координат открыли и впервые выявили французские математики XVII века П.Ферма и Р.Декарт. Изложение метода координат было впервые опубликовано в «Геометрии» Декарта в 1637 году. Отсюда и название «Декартова система координат», «Декартовы координаты».

Из словаря математических терминов необходимо взять такие понятия как абсцисса и ордината.

6. Решение уравнений.

Здесь важной задачей, стоящей перед учителем является проблема показа ученикам постепенного и поэтапного развития и совершенствования математической символики.

Итак, современная буквенная символика явилась результатом длительного исторического развития записи уравнения. Можно выделить три этапа:

1) словесная запись уравнения (риторическая запись).

Например, еще в XVI веке уравнения, которые ныне записываются в виде х+ах=b, записывалось так: «Куб р некоторое количество вещей равно числу». Здесь буква р стоит вместо нашего знака «+»; «некоторое количество» - вместо а; «вещь» - вместо х; «число» - вместо b.

2) запись, в которой употреблялись отдельные буквы, обозначения и сокращения слов.

Такие громоздкие записи затрудняли алгебраические действия, тормозили развитие науки. Между тем не только необходимость, но и возможность введения и потребления кратких записей и буквенной символики стали особенно очевидными после изобретения книгопечатания в XV веке.

3) символическая запись.

В конце XVI века Виет, основываясь на частично разработанной до него символики, стал обозначать буквами не только неизвестные, но и коэффициенты при них, ввел общую буквенную символику. Однако записи уравнений Виета содержали еще много слов вместо символов. Например, вместо знака равенства он писал слово «равно» и так далее.

Алгебраическая символика совершенствовалась и продолжала развиваться в трудах Рене Декарта, Исаака Ньютона, Леонарда Эйлера и других ученых XVII-XVIII веков. Алгебраическая символика значительно облегчила изучение математики и способствовала ее полному расцвету.

Что касается старинных задач по теме «Решение уравнений», то таковых можно найти огромное количество, во многих сборниках.

Задача 1. Китай (I век). Сообща покупают вещь. Если каждый человек внесет по 8 (денежных единиц), то избыток равен 3. Если каждый человек внесет по 7, то недостаток равен 4. Спрашивается количество людей и стоимость вещи. (7 человек и стоимость вещи 53 денежные единицы).

Задача 2. Задача ал-Каши (умер около 1530 года). Плата работнику за 30 дней- 10 динаров и платье. Он работал три дня и заработал платье. Сколько динаров стоит платье? ( динара).

Подобрав еще 2-3 группы похожих задач можно провести самостоятельную работу.

Элементы истории на уроках алгебры в 7 классе.

1. Первый урок алгебры.

Разумеется, лимит урочного времени не дает учителю возможность дать исчерпывающий обзор истории возникновения и развития алгебры как науки. Но краткое вступление просто необходимо.

Еще древние египтяне, вавилоняне и индийцы владели первоначальными элементами алгебры. Большую роль в создании и развитии алгебры сыграли среднеазиатские ученые. Вот какое первое определение алгебры дал Омар Хайям (XI век): «Алгебра есть научный метод. Ее предмет есть числа и величины, которые, будучи неизвестными, поставлены в такое соотношение с чем-нибудь известным, что их можно определить; алгебра определяет соотношения, соединяющие данные величины задачи с неизвестными. Алгебраическое решение получается не иначе, как при помощи уравнений».

Итак, чем же отличается алгебра от арифметики? Это очень важный вопрос с методической точки зрения, его рассмотрение сразу введет учеников в курс дела. С помощью приводимого учителем примера, ученики должны разобраться в задачах, стоящих перед алгеброй. В арифметических задачах по известным или данным числам находят неизвестное число. Прежде чем дать ответ на вопрос задачи, мы получаем ряд промежуточных чисел, которые не имеют самостоятельного значения. В алгебре же мы неизвестную величину обозначаем буквой, и это одно из главных отличий алгебры от арифметики. Эта неизвестная и данные в условии задачи числа связываются между собой определенными соотношениями. Получается так называемое уравнение, из решения которого и находится неизвестное.

Алгебра как искусство решения уравнений зародилась очень давно в связи с потребностями практики, в результате поиска общих приемов решения однотипных задач. Самые ранние дошедшие до нас рукописи свидетельствуют о том, что в Древнем Вавилоне и Древнем Египте были известны приемы решения линейных уравнений.

Слово «алгебра» возникло после появления трактата «Китаб аль-джебр Валь-мукабала» хорезмского математика и астронома Мухаммеда Бен Мусса аль-Хорезми (787- около 850).

Родиной этого замечательного ученого, как это видно по его имени, был Хорезм - одно из древнейших и культурнейших государств Средней Азии. Ныне его территория входит в состав Узбекистана и Туркмении.

В 20-х годах IX века аль-Хорезми жил и работал в столице арабского халифата городе Багдаде при дворе знаменитого халифа - покровителя наук аль-Мамуна.

Буквально арабские слова «ал-джабр», «ва-л-мукабала» обозначают два алгебраического действия. «Алгебра» или «алджебр» означает «восполнение части уравнения, в которой имеются вычитаемые члены, в результате чего эта часть «восполняется», а сами эти члены прибавляются к другой части уравнения.

При решении уравненья,

Если в части одной,

Безразлично какой,

Встретится член вычитаемый,

Мы к обеим частям,

С этим членом сличив,

Равный член придадим,

Только с знаком другим,

И найдем результат нам желательный.

«Ва-л-мукабала» - это противопоставление, то есть взаимное уничтожение равных членов уравнения в обеих его частях.

Дальше смотри, в уравненье

Можно ль сделать приведенье:

Если члены есть подобны,

Соединить их удобно.

Алгебраические уравнения, которые мы в настоящее время записываем с помощью буквенных обозначений, аль-Хорезми записывал словами.

До XVI века изложение алгебры велось в основном словесно. Решительный шаг в использовании алгебраической символики был сделан в XVI веке, когда французский математик Франсуа Виет (1540-1603) и его современники стали применять буквы для обозначения не только неизвестных, (что делалось и ранее), но и любых чисел. Однако эта символика еще отличалась от современной. Так, Виет для обозначения неизвестного числа применял букву N (Numerus - число), для квадрата неизвестного числа букву Q (Quadratus - квадрат) и для обозначения куба неизвестного числа букву C (Cubus - куб).

2. Выражения, тождества, уравнения.

К теме «Числовые выражения» можно предложить следующие старинные задачи из сборника задач для гимназий XIX века.

1. Вычислите:

а)

б) ;

в) ;

г) .

2. Умножьте на

.

3. Сложите:

.

4. Разделите:

на частное от деления на .

Решение задач методом составления уравнения зародилось давно. Еще 4000 лет назад в Древнем Египте решали задачи способом, который очень напоминает составление уравнения.

Впервые в Египте мы сталкиваемся с таким методом решения уравнений как метод ложного положения. Этот метод легко проиллюстрировать на примере решения задачи из папируса Ринда: «Количество и его четверть дают 15.»

Решение: Считай с 4: от них ты должен взять четверть, а именно 1, вместе 5. Затем 15 делится на 5, получается 3, которое в свою очередь, умножается на 4, давая искомый результат 12.

В «геометрической алгебре» древних греков решение уравнений сводилось к построению отрезков, представляющих положительные корни уравнений. Зачатки новой, арифметической алгебры, встречаются лишь у Диофанта.

Вот, например, задача из «Арифметики» Диофанта: «Если прибавить к 20 и отнять от 100 одно и то же число, то полученная сумма будет в 4 раза больше полученной разности. Найти неизвестное».

Эта задача сводится к решению уравнения:

20+х=4(100-х), х=76.

В 1881 году была найдена зарытой в землю близ Бахшали (Северо-западная Индия) рукопись неизвестного автора, которая как полагают, относится к VI-VIII векам. В этом памятнике, написанном на березовой коре и известном в настоящее время под названием «Бахшалийская рукопись», содержится такая задача: «Из четырех жертвователей второй дал вдвое больше первого, третий - втрое больше второго, четвертый - вчетверо больше третьего, а все вместе дали 132. Сколько дал первый?»

Условие задачи легко перевести на алгебраический язык:

Х+2х+6х+24х=132, х=4. Итак, первый дал 4.

Первым, кто дал наиболее полное изложение способов решения уравнений, был аль-Хорезми. Ранее мы уже говорили о нем, но здесь уместно привести две его задачи:

1) Найдите два числа, зная, что их сумма равна 10, а их отношение-4.

2) Разность двух чисел равна двум, а их отношение - числу, обратному двум. Найдите эти числа.

Обе эти задачи могут быть решены с помощью уравнений. Условие первой задачи приводит к уравнению: х+4х=10. Тогда искомые числа 2 и 8. Вторая задача решается с помощью уравнения: 2х-х=2. Искомые числа 2 и 4.

Вообще говоря, старинных задач по теме «Уравнения» можно подобрать очень и очень много. И я в своей практике отвожу несколько уроков именно на решение таких задач. При этом легко заметить, что изучая тему уравнения и решая старинные задачи, ребята теряются и затрудняются при решении. Но если те же самые задачи дать в конце года на уроках, посвященных повторению, то ребята уже не будут испытывать таких затруднений. И решая их не будут паниковать, а будут испытывать удовольствие от процесса решения, даже если полученный ответ не будет соответствовать действительности. На таких уроках очень сложно приходится учителю. Много нужно проверить. Многим нужно помочь прийти к верному решению. Но эти уроки приносят свои плоды. Ребятам нравятся такие уроки, и они с нетерпением ждут, когда в следующий раз им будут предложены старинные задачи. Положительная же сторона неудач в том, что обычно после этого ребята разыскивают подобные задачи и рассматривают их решение. Часто после этих уроков ребята предлагают найденные ими старинные или занимательные задачи. И так как при этом необходимо знать решение данных задач, это приносит, несомненно, положительные результаты. При этом ребята знакомятся с дополнительной литературой, с новыми для себя методами решения. Это очень стимулирует интерес к предмету.

3. Степень с натуральным показателем.

Итак, понятие степени, возникшее свыше 4000 лет назад и первоначально означавшее произведение конечного числа равных сомножителей (степень с натуральным показателем), на протяжении веков неоднократно обобщалось и обогащалось по содержанию. Понятие второй и третьей степени числа появились, возможно, в связи с определением площади квадрата и объема куба. Вавилоняне составляли и пользовались таблицами квадратов и кубов чисел. Как иллюстрацию можно привести две задачи, взятые из книги В.Д. Чистякова «Старинные задачи». А именно: 1-я таблица Сенкере.

В этой таблице помещены квадраты чисел от 1 до 60, выраженные по шестидесятиричной системе. Вот примеры записей:

есть квадрат 9

есть квадрат 11

есть квадрат 13

есть квадрат 15

есть квадрат 16

- // - // - // - // - // - // -

есть квадрат 39

- // - // - // - // - // - // -

есть квадрат 58

- // - // - // - // - // - // -

Проверьте справедливость этой записи.

2-я таблица Сенгкере. В этой таблице помещены кубы чисел от 1 до 32, выраженные по шестидесятиричной системе счисления. Вот примеры записи.

есть куб 5

есть куб 6

есть куб 7

есть куб 8

- // - // - // - // - // - // -

есть куб 16

- // - // - // - // - // - // -

есть куб 32

Проверьте справедливость этой записи.

Многие преподаватели математики не согласятся использовать подобные задачи. Это связано с тем, что в школьной программе по математике не уделяется большого внимания различным системам счисления. Задача перевода числа из одной системы счисления в другую больше относится к информатике. Но с другой стороны эти задачи сильно отличаются от тех, к каким привыкли наши школьники. Нова даже сама запись. Ведь точка между числами для нас - знак умножения, но здесь она играет роль знака сложения. А объяснить правила вычисления совсем не сложно.

Названия квадрат и куб для второй и третьей степеней числа древнегреческого происхождения. У Диофанта имеются специальные названия для первых шести степеней неизвестного. Первая степень - «аритмос» (число), вторая - «динамис» (сила), третья - «кубос», четвертая - «динамо - динамис», пятая - «динамо - кубос», шестая - «кубо - кубос». - у Диофанта - отвлеченная единица.

Обозначения у Диофанта:

S; ; ; ; ; .

Подобно Диофанту европейские математики XVI века и частично XVII века вторую степень называли силой (по-латыни Census), а так же «квадрат» (Quadratus). Первым переводом греческого слова «динамис» (сила) был термин potential. Термин census появился, вероятно, как перевод арабского «мал» (имущество). Третью степень они называли кубом (Cubus). Виет применял сокращения: N (Numerus, число) для первой степени, Q - для второй, С - для третьей. QQ - для четвертой и так далее. Например: 1С-8Q=16N aequatur 40 означает в современной записи . Современная запись степеней была введена Декартом и систематически применялась им в его «Геометрии».

Индийские ученые оперировали степенями с натуральными показателями до 9 включительно, называя их с помощью комбинаций трех слов: «ва» (вторая степень, от слова «Варга» - квадрат), «гха» (третья степень, от «гхана» - тело, куб) и «гхата» (слово, указывающее на сложение показателей). Применялся мультипликативный принцип как основной: «ва-гха», например, означало шестую степень, а «ва-гха-гхата» - пятую степень. Следует отметить, что до XVI века понятие степени относилось обычно не к числу вообще, а лишь к неизвестному в уравнениях.

То, что нулевую степень любого числа (не равного нулю) можно принять за единицу, было долгое время неясным для всех. Первым, кто сознательно принимает, а=1, был узбекский ученый XV века Джемшид ал-Каши. Но и после него в этом вопросе еще долгое время была путаница.

4. Формулы сокращенного умножения.

Найденные древневавилонские клинописные тексты свидетельствуют, что некоторые формулы сокращенного умножения (квадрат суммы, квадрат разности, произведение суммы и разности) были известны еще около 4000 лет назад. Их знали, кроме вавилонян, и другие народы древности, конечно, не в нашем, символическом виде. А словесно, или - как, например, у древних греков - в геометрической форме.

Ученые Древней Греции представляли величины не числами или буквами, а отрезками прямых, которые обозначали буквами или концы которых отмечали с помощью двух букв. Вместо «произведения ab» говорилось (и рассматривался) «прямоугольник, содержащийся между отрезками a и b», вместо а - «квадрат на отрезке а» и так далее. Эта алгебра, оперировавшая не числами, а отрезками, площадями и объемами тел, была названа в XIX веке «геометрической алгеброй».

Во всех учебниках алгебры для седьмого класса хотя бы одна формула доказана геометрически. В учебниках Алимова Ш.А., Макарычева Ю.Н. и Муравиных К.С. и Г.К. все формулы доказываются алгебраически и только в задачах приведено геометрическое доказательство одной формулы, а именно квадрата суммы. В учебнике же Мордковича А.Г. формулы квадрата суммы, квадрата разности и произведения суммы на разность двух чисел выводятся как алгебраически, так и геометрически. Именно такой способ изучения данного материала в наибольшей степени удовлетворяет гуманному подходу к обучению.

5. Из истории скобок.

При разложении многочленов на множители и других преобразованиях часто применяются скобки.

Знаки для объединения составных величин выражения и для обозначения порядка выполнения действий появились в XV веке. В своем арифметико-алгебраическом сочинении «Наука о числах в трех частях», написанном в 1484 году, французский математик Никола Шюке подчеркивал многочлены горизонтальной чертой. Круглые скобки появляются в XV веке в трудах Штифеля, Тартальи и других. В конце того же века появляются и фигурные скобки, в книгах Виета. Однако в течение почти всего XVII века употреблялись не скобки, а горизонтальная черта, проводимая над выражением, подлежащим включению в скобки. Так поступают Декарт, Гарриот и другие. Широкое применение скобки получили лишь в первой половине XVIII века благодаря Лейбницу и еще больше Эйлеру.

Приведем несколько старинных задач к теме «Многочлены».

1) Проверьте тождество Диофанта.

(а+b)(c+d)=(ac+bd)+(ad-bc).

2) Проверьте тождество Л.Эйлера.

(p+cq)(r+cs)=(pr+cqs)+c(ps-qr).

3) Докажите тождество из «Начал» Евклида.

аb+((a+b)-b)=(a+b).

4) Задача Софии Жермен: Доказать, что каждое число вида а+4 есть составное (если а не равно 1).

5) Задача Ибн Сины: Если число, будучи разделено на 9, дает в остатке 1 или 8, то квадрат этого числа, деленный на 9, дает в остатке 1. Докажите.

6) Задача Пифагора: Докажите, что всякое нечетное число, кроме 1, есть разность двух квадратов.

7) Леонардо Пизанский (1180-1240). Докажите: a+(a+b)=2(a+b)a+b.

8) Г. Шрейбер (Грамматеус) (умер в 1525 году). Перемножить 6х-8 и 5х-6.

9) Петр Рамус (1515-1572). Выполните действия: 1)9х(7х-4х);

2) (8х+9)(7х+4).

10) Симон Стевин (1548-1620). Перемножить 2х-4х+3х и 2х+3х.

11) Эразмус Бартолинус (1625-1698). Перемножить 4а+3а-2а+1 и а-5а+6.

12) Ал-Кархи (XI век). Перемножить: (3х+2х+4)(2х+3х+5).

6. Функции.

В математике идея функции родилась вместе с понятием переменной величины. На первых ступенях своего развития понятие функции, как и понятие переменной величины, было тесно связано с геометрическими и механическими представлениями.

Термин «функция» (от латинского function - исполнение, совершение) ввел впервые Лейбниц в 1694 году. В 1718 году известный швейцарский математик Иоганн Бернулли писал: «Функцией переменной величины называется количество, составленное каким угодно способом из этой переменной и постоянных». Аналогичное определение дал и ученик Иоганна Бернулли, академик Леонард Эйлер.

Таким образом, согласно точки зрения Бернулли и Эйлера каждая функция должна быть выражена аналитически, то есть некоторой формулой. Такая точка зрения на функцию сохранилась на протяжении всего XVIII века.

Открытие метода координат сыграло огромную роль в развитии математики. С помощью метода координат стало возможным строить графики (от греческого «графикос» - чертежный) уравнений, изображать геометрически (посредством точек и линий) различные зависимости, выраженные алгебраически.

Излагая метод координат, Декарт рассматривает изменение ординаты точки, описывающей некоторую линию, в зависимости от изменения абсциссы той же точки.

Более привычное для нас определение функции дал Н.И. Лобачевский в 1834 году и немецкий математик Лежен Дирихле в 1837 году. Для них функция могла быть задана и аналитически и графически и словесно.

7. Система уравнений первой степени с двумя неизвестными.

Известно, что уравнение с двумя неизвестными выражает зависимость между двумя величинами и является, вообще говоря, неопределенным, то есть имеет бесчисленное множество решений.

Решением неопределенных уравнений занимались в древности китайцы, греки и индийцы. В «Арифметике» Диофанта приведено много задач, решаемых им с помощью неопределенных уравнений разных степеней, при этом он допускает в качестве решений любые положительные дробные или целые числа. Решением неопределенных уравнений в целых числах, называемых диофантовыми, много занимались ученые Индии. Они разработали общий метод для решения линейных диофантовых уравнений и для некоторых уравнений второй степени, в связи с решением некоторых астрономических задач. Этот метод не так уж прост для восприятия, поэтому он может быть изложен на дополнительных занятиях для учащихся, интересующихся математикой.

Изучением неопределенных уравнений, теория которых известна в настоящее время под названием «Неопределенный анализ» или «Диофантов анализ», занимались знаменитые математики разных времен, в том числе Ферма, Эйлер, Лагранж, Гаусс, Чебышев, Золотарев и многие другие.

Здесь просто необходимо привести несколько задач, решаемых при помощи неопределенных уравнений. При изучении темы «Линейное уравнение с двумя переменными» я всегда рассматриваю две подобные задачи. Одну, имеющую лишь одно решение и еще одну, имеющую несколько решений. При этом по опыту работы, я заметила, что старинные задачи вызывают больший интерес, нежели современные. При этом показывается метод, который облегчает решение исходного уравнения. Этот метод не рассматривается в современных учебниках, но он нравится ребятам, и они стараются его использовать и при решении задач из учебника.

1) Задача из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого. Купил некто на 80 алтын гусей, утят и чирков. Гуся по 2 алтына, утку по 1 алтыну, чирка же по 3 деньги, а всего куплено 80 птиц. Сколько каких птиц купил?

В книге Д.Д. Галанина «Леонтий Филиппович Магницкий и его арифметика» (М., 1914 - Вып. II и III) сказано, что эта задача имеет 27 решений, но у Магницкого приведено лишь одно: 15 гусей, 35 уток и 30 чирков.

Алтын - 3 копейки, деньга - копейки.

Пусть х - количество гусей, у - количество уток и (80-х-у) - количество чирков. 80 алтын - 240 копеек, 2 алтына - 6 копеек.

6х+3у+(80-х-у)=240

12х+6у+3(80-х-у)=480

3х+у=80

Приведем решения этого уравнения, удовлетворяющие условию этой задачи. При у=1, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 19, 21, 22, 24, 25, 27, 28, 30, 31, 33, 34, 36, 37, 39, 40, 42, 43, 45, 46, 48, 49, 51, 52, 54, 55, 57, 58, 60, 61, 63, 64, 66, 67, 69, 70, 72, 73, 75, 76, 78, 79 получаются дробные значения для переменной х.

х 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11

у 2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47

80-х-у 52 50 48 46 44 42 40 38 36 34 32 30 28 26 24 22

х 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

у 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77

80-х-у 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2.

Здесь только 26 решений, но существует еще одно: у=80 и х=0, но подобные решения, как правило, не берутся, учитывая, что были куплены птицы трех видов.

2) Задача Леонардо Пизанского (Фибоначчи). Некто купил 30 птиц за 30 монет, из числа этих птиц за каждых трех воробьев заплачена 1 монета, за каждые две горлицы - 1 монета и, наконец, за каждого голубя - по 2 монеты. Сколько было куплено птиц каждой породы?

Пусть х - количество воробьев, у - количество горлиц, тогда (30- -х-у) - количество голубей.

х+у+2(30-х-у)=30

10х+9у=180.

Так как 10х делится на 10 и 180 делится на 10, то и 9у должно делиться на 10, тогда у=10с.

10х+90с=180, разделив обе части уравнения на 10, получаем

х+9с=18. Это уравнение так же можно упростить. 9с делится на 9 и 18 делится на 9, тогда и х должен делиться на 9, пусть х=9а.

9а+9с=18, разделив обе части уравнения на 9, получаем уравнение

а+с=2. Среди натуральных чисел имеется лишь единственное решение, а именно, а=1 и с=1, тогда х=9 и у=10. Итак, купили 9 воробьев, 10 горлиц и 11 голубей.

В приложении будет дан список задач с решением, которые приводят к неопределенным уравнениям. Этот список может быть предложен учащимся в качестве дополнительного задания по теме или может быть использован на уроке, проводимом в форме соревнования.

Задачи, решение которых соответствует современным задачам на составление системы уравнений с несколькими неизвестными, встречаются как в вавилонских и египетских текстах второго тысячелетия до нашей эры, так и в трудах древнегреческих, китайских и индийских ученых.

В VII-VIII книгах китайского трактата «Математика в девяти книгах» рассматриваются системы уравнений и даются краткие правила их решения, при этом все изложение ведется словесно.

Вот пример из седьмой книги вышеназванного трактата, озаглавленной «Избыток - недостаток»: Покупают сообща буйвола. Если каждые семь семей внесут по 190, то недостаток равен 330. Если же каждые 9 семей внесут по 270, то избыток равен 30. Сколько было семей и сколько стоит буйвол?».

В трактате коротко излагается прием решения задачи, который в современной символике сводится к следующему:

Если имеется система: ах-у=с,

ax-e=с, то надо составить из коэффициентов таблицу вида , из которой находятся неизвестные величины, взяв х=, у=. Обозначая через х количество семей, а через у - стоимость буйвола, составим систему уравнений:

х-у=-330,

30х-у=30; а, а=30, с=-330, с=30.

Тогда х=, а у=.

На тему: «Решение системы двух уравнений с двумя переменными методом подстановки» может быть дана следующая задача:

Задача Ал-Хорезми. Найти два числа, зная, что сумма их равна 10, а отношение 4. (Числа 8 и 2).

На тему: «Решение систем уравнений методом алгебраического сложения» можно предложить такую задачу:

Старинная китайская задача. В клетке находятся неизвестное число фазанов и неизвестное число кроликов. Известно, что вся клетка содержит 35 голов и 94 ноги. Узнать число фазанов и число кроликов. (23 фазана и 12 кроликов).

Элементы истории математики на уроках геометрии в 7 классе.

В этом разделе я хотела бы коснуться наиболее интересных и важных тем в геометрии за курс седьмого класса.

1. О происхождении геометрии.

Слово «геометрия» греческого происхождения («гео» - земля, «метрео» - мерю) и означает «землемерие».

О зарождении геометрии в Древнем Египте около 2000 лет до нашей эры крупнейший древнегреческий историк Геродот (V век до нашей эры) пишет следующее: «Сезоострис, египетский фараон, разделил землю, дав каждому египтянину, участок по жребию и взимал соответствующим образом налог с каждого участка. Случалось, что Нил заливал тот или иной участок, тогда пострадавший обращался к царю, а царь посылал землемеров, чтобы установить, на сколько уменьшился участок и соответствующим образом уменьшить налог. Так возникла геометрия в Египте, а оттуда перешла в Грецию».

Об этом пишет и другой греческий ученый - историк математики Евдем Родосский (IV век до нашей эры): «Геометрия была открыта египтянами и возникла при измерении земли. Это измерение было им необходимо вследствие разлития реки Нила, постоянно смывающего границы. Нет ничего удивительного в том, что эта наука, как и другие, возникла из потребностей человека». (БСЭ, издание 2, том 10, страница 533).

Развитие земледелия, строительства, ремесел и торговли требовало умения измерять и вычислять площади, объемы различных фигур и тел, а также знания свойств тех или иных фигур. Решение задач на отыскание площадей и объемов содержится в вавилонских клинописных табличках, в египетских папирусах, в древнекитайских трактатах: «Математика в девяти книгах» и «Чжо-би» (чжо-би - шест для измерения солнечной тени). Считают, что трактат относится к XII-XI векам до нашей эры. Также подобные задачи встречаются в индийских религиозно - философских книгах, «ведах» и «сутрах»*, а также других памятниках древности.^*

В Древней Греции, начиная с VII века до нашей эры, происходит постепенный переход от практической к теоретической геометрии. Разрозненные геометрические сведения, позаимствованные у египтян и вавилонян, ученые Древней Греции дополняли, уточняли, обобщали и развивали. Отрывочные эмпирические факты постепенно сводились в систему, в цепь связанных между собой понятий, правил и положений, каждое из которых логически вытекало из пердыдущих.

Первое дошедшее до нас полное научное изложение геометрии содержится в труде, названном «Начала» и составленном древнегреческим ученым Евклидом, жившим в III веке до нашей эры в городе Александрии.

Эта книга вытеснила все существовавшие до этого руководства по геометрии. В течение двух тысячелетий люди изучали геометрию по «Началам» Евклида. В Древней Греции, Египте, Индии, Италии, Средней Азии и в других странах эта книга тысячи раз переписывалась, а после изобретения книгопечатания, сотни раз переиздавалась на языках многих народов мира. Став одной из наиболее распространенных книг в мире после Библии. Наши школьные учебники тоже содержат в основном геометрический материал и научную систему, изложенные в труде Евклида. Вот почему геометрию, которую изучают в школе, часто называют Евклидовой.

2. О признаках равенства треугольников.

Понятие равенства в геометрии, введенное Евклидом, несколько отлично от равенства в арифметике или алгебре. Определение «равенства» фигур содержится в первой книге «Начал»: «Совмещающиеся друг с другом равны между собой». Итак, под равенством фигур Евклид, а вслед за ним многие геометры понимали возможность совмещения фигур наложением.

Признаки равенства треугольников имели издавна важнейшее значение в геометрии, так как доказательство многочисленных теорем сводится к доказательству равенства тех или иных треугольников. Доказательством признаков равенства треугольников занимались еще пифагорейцы. По словам Прокла, Евдем Родосский приписывает Фалесу Милетскому доказательство теоремы о «равенстве двух треугольников, имеющих равными сторону и два прилегающих к ней угла» (второй признак равенства треугольников). Эту теорему Фалес использовал для определения расстояния от берега до кораблей в море.

3. О прямоугольном треугольнике.

В папирусе Ахмеса, наряду с равнобедренным, часто встречается прямоугольный треугольник. Последний занимает почетное место и в вавилонской геометрии. Землемеры и поныне прибегают к прямоугольному треугольнику для определения расстояний и тому подобное.

Термин «гипотенуза» происходит от греческого слова «ипотейнуза», означающего «тянущаяся под чем-либо», «стягивающая». Слово берет начало от образа древнеегипетских арф, на которых струны натягивались на концах двух взаимно-перпендикулярных подставок.

Термин «катет» происходит от греческого слова «катетос», которое означало вначале «отвес», «перпендикуляр». В средние века словом катет называли высоты прямоугольного треугольника, в то время как гипотенузу называли основанием, а две другие стороны - гипотенузой. В XVII веке название «катет» начинает применяться в современном смысле и широко распространяется, начиная с XVIII века.

Евклид употребляет выражение: «стороны, заключающие прямой угол» - для катетов и «сторона, стягивающая прямой угол» - для гипотенузы.

4. Аксиомы.

В переводе на русский язык означает предложение, достойное уважения, бесспорное (второе значение - почет, уважение, авторитет). Впервые аксиомы были введены древнегреческими учеными. Процесс отбора аксиом, положенных в основу построения геометрии как науки, проходил в продолжении нескольких столетий. Известно, что еще до Евклида ряд геометрических положений доказывали Фалес, Пифагор и другие. По-видимому, при обосновании доказательств они явно или в скрытом виде опирались на некоторые положения, принятые ими без доказательств, то есть аксиомы.

Первую попытку привести в систему накопленные сведения по геометрии сделал Гиппократ из Хеоса - ученик Пифагора. Им была написана книга «Начала». К сожалению, эта работа до нас не дошла. Вероятно, были попытки упорядочить сведения по геометрии и другими учеными, но до нас не дошедшие.

В «Началах» Евклида каждое утверждение обосновывается ссылкой на предшествующие положения, а эти последние в свою очередь, вытекают как следствие из более ранних «истин» и так далее. Таким образом, доказательство всех положений построено как на фундаменте на небольшом числе первоначальных утверждений, принятых без доказательств. Эти утверждения, названные автором аксиомами и постулатами, описывали свойства основных понятий - точки, прямой и плоскости.

Некоторое время существовал взгляд, что аксиома это очевидная, установленная на практике «истина», не требующая доказательств. Этот взгляд далек от научного понимания аксиомы. Аксиомы принимают без доказательств не потому, что они очевидны, а потому, что для их доказательств еще нет никакого исходного материала. Они выступают как основные исходные положения.

Анализ системы аксиом, предложенных Евклидом, продолжался столетиями. Эта работа многих геометров была завершена Д. Гильбертом (1862-1943), который создал полную и непротиворечивую систему аксиом геометрии Евклида. Однако и эту систему аксиом нельзя считать законченной и совершенной. С развитием геометрии отдельные аксиомы и сама система совершенствуются и изменяются.

5. Аксиома параллельности.

В первой книге «Начал» Евклид ставит и решает следующую задачу: «Пусть дана некоторая прямая ВС и точка А вне ее; требуется через точку А провести прямую, параллельную прямой ВС».

Это достаточно простая задача, которую способен выполнить любой школьник. Но при ее решении неминуемо возникает вопрос, а будет ли проведенная прямая единственной или их может быть несколько? На этот вопрос дает ответ следующее предложение (утверждение): через точку, взятую вне данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Это так называемое основное свойство параллельных прямых, которое мы, однако, принимаем без доказательства.

Математические утверждения, которые основываются на доказательствах, называются теоремами. Термин «теорема» греческого происхождения («теорео» - рассматриваю, обдумываю).

Аксиома параллельности Евклида имеет особый характер, она не может быть подтверждена или опровергнута опытом. Поэтому в течение двух тысячелетий после Евклида многие математики пытались доказать это свойство, однако все их усилия оказались безуспешными.

Лишь в 1826 году великий русский геометр Н.И. Лобачевский, профессор Казанского университета, доказал, что это предложение нельзя логически вывести из других евклидовых аксиом. Положив в основу геометрии иную аксиому, он создал новую научную геометрическую систему, которая была названа неевклидовой геометрией Лобачевского. Основное отличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида в том, что через точку не лежащую на данной прямой можно провести не единственную прямую параллельную данной.

В конце года, когда идет повторение всего материала, я вновь возвращаюсь к геометрии Лобачевского, чтобы рассказать еще об отличиях этой геометрии от геометрии Евклида. Рассказ строю таким образом, чтобы шло также повторение ранее изученного материала. Естественно, сначала мы вспоминаем о пятом постулате, а затем говорим о сумме углов треугольника. Вот тогда я говорю о том, что в геометрии Лобачевского сумма углов треугольника никогда не равна 180 градусам.

Мой рассказ о Лобачевском не ограничивается только лишь его геометрией. Ведь необходимо показать не только научного деятеля, но так же и просто человека.

В студенческие годы Лобачевский отличался неистощимой изобретательностью на шалости. Однажды на спор на виду у всей публики он прокатился верхом на корове! Перепуганная корова неслась во всю прыть по университетскому двору. Лобачевский, сидя верхом, держался за рога. А веселая ватага студентов с улюлюканьем бежала за коровой и подгоняла ее хворостиной. В другой раз Лобачевский как-то ночью запустил в небо ракету собственного изготовления. Дежурный на пожарной каланче, не разобравшись, в чем дело, забил тревогу и поднял на ноги жителей Казани. А однажды он прибил гвоздем к учительскому столу журнал перед задремавшим латинистом. Не приходится сомневаться, что после этого рассказа и сам Николай Иванович и наука, которой он занимался, станут ближе ребятам. Наука станет для них более очеловеченной.

Но рассказ о Николае Ивановиче Лобачевском (1792-1856) был бы неполным, если не сказать, что помимо своих научных трудов и школьных шалостей, он также писал стихи и посещал литературные вечера. Ниже будет приведено стихотворение, написанное Н.И. Лобачевским.

Разлив Волги при Казани.

Царица рек в торжественном теченье

К далеким Каспия обширного водам,

Ты уклоняешься к Казани на свиданье

С ней древней матерью татарским городам!..

Ее со всех сторон, как друга, обнимаешь,

И трепетной струей приветствуешь луга

И тихо с голубых рамен дары слагаешь

На оживленные Булака берега.

Вот шумный пир!.. Но что таинственным и важным

Вещаешь ей глаголом воль твоих?

Свои ли радости, ея ли войн отважных

И славы древние напоминаешь дни?

Ах! прежде и Казань надменная гуляла

При полноводии раздольная весны

И ратью бурного широкого залива

Покорные поля окрестные страны.

Прошла ея пора: воителей потомки,

Как грязный ил иссохшия реки,

Как славного меча ничтожные обломки,

Теперь умолкшего лишь славою громки.

Так исчезает все!.. Но Ангел запустенья

Ужели некогда вспарит и над тобой?

Ужели и твоих иссякнет воль стремленье -

И Волга зарастет болотною травой?

И где суда твои крылатые скользили,

Увязнет странника усталая нога?

Куда они с собой веселье привозили -

Осиротелые умолкнут берега!..

Нет!.. бытие твое до вечности продлится

Как память ясная великих дел.

Великое в веках бессмертием хранится

И не ему ничтожество - удел.

Ты поражаешь ли поля опустошеньем?

Ты похищаешь ли надежды поселян?

Нет! на водах твоих всегда благословенье

Почиет благодарных стран,

Тобой питаемых, тобой обогащаемых!

Ты и земли безвредная краса,

И светлые в струях твоих невозмущенных,

Как в чистой совести, сияют небеса.

Вот образ мирного могущества России!

Ее разлив не страшен никому.

Великодушие обуздывает силы,

Всегда, везде покорные ему.

Стремится ль смелая на гордые Балканы,

Иль с Араратских гор прольется на Иран?

Ломаются одни несчастных цепи льдяны, -

И усмиряется неистовый тиран.

За то, когда и прах коварных истребится,

России не придет конец;

Могущество не скоро сокрушится

Увековеченный добротою венец.

Считается, что это стихотворение было написано под влиянием встречи с А.С. Пушкиным, произошедшей в Казани в 1833 году.

6. О сумме углов треугольника.

Свойство суммы углов треугольника было эмпирически установлено, вероятно еще в Древнем Египте, однако дошедшие до нас сведения о различных его доказательствах относятся к более позднему времени. Доказательство, изложенное в современных учебниках, содержится в комментарии Прокла к «Началам» Евклида. Прокл утверждает, что согласно Евдему Родосскому это доказательство было открыто еще пифагорейцами (V век до нашей эры). Прокл пишет: «Пифагор впервые разработал принципы геометрии». Пифагорейцы содействовали формированию геометрии как науки, основанной на аксиомах и доказательствах.

7. Геометрия в Греции.

1. В середине VII века до нашей эры западное побережье Малой Азии принадлежало Греции, Средняя часть этого побережья называлась Ионией. В Ионии были большие города, ведшие оживленную торговлю со многими странами. В одном из этих городов, в Милеете, жил Фалес (около 640 - 548 годов до нашей эры), которого считают родоначальником греческой математики. Торговые дела привели Фалеса в Египет. Геометрия заинтересовала его больше всего. Остаток жизни он посвятил не только усвоению созданного египтянами в области геометрии, но и ее разработке. Полагают, что Фалесу принадлежит первое доказательство теоремы о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника. Ему также приписывается доказательство равенства вертикальных углов и некоторых других теорем начальной геометрии. Древние греки приписывали Фалесу первое в истории науки предсказание солнечного затмения, которое произошло якобы точно в срок, предсказанный Фалесом (28 мая 585 года до нашей эры). Фалес считается основателем ионийской школы, которая дала толчок к систематизации математических знаний, заимствованных у египтян и вавилонян.

2. Ионийская школа дала толчок не только систематизации знаний, но и к самостоятельному математическому творчеству в Древней Греции. В VI веке до нашей эры центром математического творчества становится пифагорейская школа в Южной Италии. Здесь были открыты несоизмеримые отрезки, создано учение о подобии, найдены способы построения некоторых правильных многоугольников, доказана теорема Пифагора и многое другое.

В V веке до нашей эры Гиппократ Хиосский сделал попытку изложить все знания по геометрии в одном сочинении. Сочинение Гиппократа до нас не дошло. О том, что оно существовало, мы знаем из сочинений других ученых древней Греции. В дальнейшем геометрия развивалась трудами многих ученых - греков. Назовем имена некоторых из них: Архит Таренский, Платон, Евдокс, Менехм.

К трехсотым годам до нашей эры геометрия становится самостоятельной математической наукой. К этому времени Евклид написал свою книгу «Начала», создание которой относится к 325-300 годам до нашей эры.

Евклид собрал почти все, что было создано до него по геометрии, и привел в единую стройную систему. Он взял за основу некоторые положения, так называемые аксиомы, и из них путем последовательных рассуждений сумел вывести все теоремы своих «Начал». Ученые древности, жившие после Евклида, добавили к «Началам» несколько новых теорем, но основная масса материала и методы изложения остались прежними.

8. Задачи на построение.

Задачи на построение всегда вызывали особый интерес у учащихся. Назначением этой темы является необходимость дать представление о новом классе задач - построение геометрических фигур с помощью циркуля и линейки без масштабных делений, и рассмотреть основные (простейшие) задачи этого типа:

1. На данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному.

2. Отложить от данного луча угол, равный данному.

3. Построить биссектрису данного неразвернутого угла.

4. Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную к прямой, на которой лежит данная точка.

5. Построить середину данного отрезка.

6. Даны прямая и точка, не лежащая на ней. Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную к данной прямой.

Первые задачи на построение появились в глубокой древности. Возникли они из хозяйственных потребностей человека. Уже древним архитекторам и землемерам приходилось решать простейшие задачи на построение, связанные с их профессией.

Самые первые задачи на построение решались непосредственно на местности и заключались в проведении прямых линий и построении прямого угла. Для построения прямого угла использовался так называемый «египетский треугольник» со сторонами 3, 4 и 5.

К задачам на построение прибегали древние инженеры, когда составляли рабочий чертеж того или иного сооружения и решали вопросы, связанные с отысканием красивых геометрических форм.

Решения простейших геометрических задач на построение, которые помогали людям в их хозяйственной жизни, формулировались в виде «практических правил», исходя из наглядных соображений. Именно эти задачи и были основой возникновения наглядной геометрии, получившей довольно широкое распространение у древних народов Египта, Вавилона, Индии и других стран.

Первым ученым, который занимался решением задач на построение, был греческий ученый Фалес Милетский. Это он, пользуясь построением треугольников, определил расстояние, недоступное для непосредственного измерения - от берега до корабля в море. Это он вычислил высоту египетской пирамиды по отбрасываемой ею тени.

Особенно большое внимание задачам на построение уделял Платон (427-347 года до нашей эры), основатель «Академии» в Афинах, где преподавал философию более 20 лет. Недаром, как говорит предание при входе в свою академия, которая размещалась в роскошном саду, Платон сделал надпись: «Пусть не входит сюда тот, кто не знает геометрии».

Только в школе Платона задачи на построение получили надлежащее обоснование. Всякая сложная задача, по Платону, должна решаться путем проведения «анализа» и «синтеза».

Платон и его ученики считали построение геометрическим, если оно выполнено при помощи циркуля и линейки. Если же в процессе построения были использованы другие чертежные инструменты, то построение не считалось геометрическим.

Задачу на построение перпендикулярных прямых можно интересно обыграть, например:

Давайте мысленно перенесемся на 4 тысячи лет назад и представим себе, что мы с вами египетские мастера, которые собираются строить пирамиду. Сделать это надо так, чтобы пирамида имела основание стороны, которого смотрели бы на север, юг, запад и восток.

Поступим так, как это делали все египетские строители. Воткнем в землю отвесный шест. В полдень, когда тень от шеста будет короче всего, она покажет нам направление на север. Наметим на земле линию север - юг. Теперь надо провести линию восток - запад. Мы знаем, что линии север - юг и запад - восток пересекаются под прямым углом. Поэтому мы должны построить перпендикуляр к уже имеющейся прямой в произвольной ее точке. Это занятие можно провести и на улице в зависимости от дисциплинированности класса. В любом случае от подобного занятия ребята будут в восторге.

После рассмотрения простейших задач на построение, данных в школьном учебнике, ребятам можно предложить древнюю вавилонскую задачу: Разделить прямой угол на три равные части.

Оказывается, древние вавилоняне умели с помощью циркуля и линейки строить равносторонний треугольник, а с его помощью делить прямой угол на три равные части (значит уже тогда, были известны свойства равностороннего треугольника).

На уроках закрепления данной темы, когда ребята освоят простейшие принципы построения, интересно будет отметить, что существуют задачи, в которых для построения используют только один циркуль или только одну линейку.

Также на одном из заключительных уроков по этой теме ребятам можно рассказать, что уже в древности греческие математики встретились с тремя задачами на построение, которые не поддавались решению. Это «знаменитые геометрические задачи древности».

1. Задача об удвоении куба. Требуется построить ребро куба, который по объемы был бы в два раза больше данного.

2. Задача о трисекции угла. Требуется произвольный угол разделить на три равные части.

3. Задача о квадратуре круга. Требуется построить квадрат, площадь которого равнялась бы площади данного круга.

Мне кажется, и в этом я полностью разделяю мнение Л.С. Атанасяна, который только кратко упоминает о существовании задачи «о трисекции угла» в своем учебнике, что не стоит в седьмом классе знакомить учащихся с решением этих задач при помощи вспомогательных средств. Да и на доказательстве невозможности решения «знаменитых геометрических задач древности» при помощи циркуля и линейки подробно останавливаться не следует. А вот с историей возникновения этих задач и попытками решить их с помощью циркуля и линейки ребят познакомить можно. Объем же информации, конечно, зависит от учителя и конкретного класса.

Одна из трех знаменитых задач древности о трисекции угла возникла в Греции в V веке до нашей эры. В древнегреческой математике употреблялось слово - «операция деления какого-нибудь угла на три части» (у Папа, а вслед за ним и у других). Термин трисекция составлен из латинских tri, что в сложных словах означает «три», и seco - «разрезание», «рассечение». Строгое доказательство неразрешимости задачи с помощью циркуля и линейки дал в 1837 году французский инженер и математик Ванцель. При составлении рабочих чертежей, орнаментов, разного рода украшений, при строительстве, внешней и внутренней отделки храмов древние инженеры, художники и архитекторы встретились с необходимостью уметь делить окружность на любое конечное число равных частей, а это в некоторых случаях приводило к рассмотрению трисекции угла. Существует такая версия появления задачи об удвоение куба. Жители греческого города Делоса страдали от эпидемии болезни, и для избавления от нее оракул повелел им удвоить алтарь в храме, сохранив форму куба. Рабочие построили новый алтарь, стороны которого были вдвое больше прежних, но такая необдуманная работа не удовлетворила богов. Тогда жители обратились к знаменитому философу Платону, который и сформулировал эту задачу, получившую название «Делийской задачи». Неразрешимость этой задачи с помощью только циркуля и линейки также доказал П. Ванцель. Неразрешимость задачи о квадратуре круга доказал в 1882 году немецкий математик Ф. Линдеман.

1 Цитируется по книге Депмана И.Я. «История арифметики»- М. Просвещение, 1965-415с. (страница 242).

* «Веда» - знание на языке санскрита. «Сульва - Сутра» - «Правила веревки». Эти книги относятся, по мнению многих историков, кVII-V векам до нашей эры.