Курсовой проект Эстетическое воспитание учащихся в процессе обучения математике

Сатышева Людмила Вячеславовна,

учитель математики и информатики

первой квалификационной категории

МОУ «Средняя общеобразовательная школа с

углубленным изучением отдельных предметов №36»

КУРСОВАЯ РАБОТА

ЭСТЕТИЧЕСКОЕ ВОСПИТАНИЕ УЧАЩИХСЯ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

^{Содержание}

^{Введение……………………………………………………………………………….3}

1 Теоретические основы эстетического воспитания школьников в процессе обучения математике…………………………………………………………………….5

1.1 Проблема эстетического воспитания учащихся в методической литературе..5

1.2 Эстетический потенциал школьного курса математики…………….............10

2 Методические аспекты эстетического воспитания школьников в процессе обучения математике………………………………………………………………18

2.1 Развитие эстетического воспитания школьников в процессе формирования понятий и изучения теорем………………………………………………………..18

Заключение………………………………………………………………………….29

Список использованных источников……………………………………………...30

^{Введение}

Для математического образования в основной школе характерно воспитание личности в процессе освоения математики и математической деятельности, интеллектуального и эстетического развития учащихся, формирования у них качеств, необходимых человеку для полноценной жизни в современном обществе.

Эстетическое воспитание - это есть воспитание у учащихся эстетического отношения к окружающему нас миру. Эффективное раскрытие эстетического потенциала школьной математики предполагает полноценное восприятие учащимися математической красоты, развитие эстетических чувств, эстетического вкуса и идеала, образного мышления, то есть формирование элементов эстетической культуры. Воспитание красотой и через красоту в процессе обучения математике не только определяет эстетико-ценностную ориентацию личности, но и вырабатывает стремление к созданию прекрасного средствами математики, что развивает творческие способности детей.

Проблеме воспитания учащихся красотой математического содержания посвящено немало работ психологов (Р. Х. Шакуров) и педагогов. Имеются и специальные исследования как по дидактике, так и по методике преподавания математики в средней школе. Большинство из них касается отдельных вопросов проблемы эстетического воспитания учащихся в процессе обучения математике. Так, И. Г. Зенкевич основное внимание уделяет эстетическому воспитанию учащихся на внеклассных занятиях по математике, B. C. Ковешников разработал методические рекомендации, в которых делается упор на создание особой эмоциональной атмосферы учебных занятий посредством показа, демонстрирования многочисленных проявлений прекрасного в школьной математике. О. А. Кобалия развивает активно-действенный. Е. В. Ликсина в свою очередь определила принципы реализации эстетического потенциала в обучении геометрии, О. В. Черник выделила этапы реализации эстетического потенциала математики в процессе обучения.

На сегодняшний день ярко выражается противоречие между необходимостью всестороннего развития учащихся, формирования их мировоззрения, мышления, интеллектуальных и морально-эстетических качеств личности - с одной стороны, и недостаточным вниманием к эстетическим аспектам математической деятельности в практике обучения - с другой.

Все вышесказанное свидетельствует об актуальности данной темы.

Объектом курсовой работы является обучение математике учащихся основной школы.

Предмет исследования - эстетическое воспитание в обучении математике учащихся основной школы.

Цель курсовой работы - изучить теоретические основы и выявить методические аспекты эстетического воспитания учащихся в процессе обучения математике .

Исходя из цели, сформулированы следующие задачи исследования:

1) провести анализ методической и учебной литературы по теме исследования;

2) исследовать эстетический потенциал школьного курса математики;

3) выявить методические аспекты эстетического воспитания учащихся в процессе формирования понятий в школьном курсе геометрии;

4) выявить методические аспекты эстетического воспитания учащихся в процессе изучения теорем.

1 Теоретические основы эстетического воспитания школьников в процессе обучения математике

1.1 Проблема эстетического воспитания учащихся в методической литературе

В методике преподавания математике вопросам, связанным с реализацией ее эстетического потенциала в процессе обучения, посвящено немало высказываний, статей и книг. Диапазон мнений их авторов весьма широк: от предложения рассматривать эстетический потенциал математики в качестве эмоционального фона процесса обучения до утверждения необходимости использовать красоту в качестве отправного понятия процесса обучения. Большинство исследований по проблеме эстетического потенциала математики связаны с разработкой методики эстетического воспитания учащихся в процессе обучения математике.

По мнению Г. И. Саранцева [13], процесс обучения, являясь объектом методики математики, должен обладать рядом новых функций, среди которых одной из важных является эстетическая функция. Суть данной функции заключается в раскрытии в содержании математического образования и при организации обучения математике «эстетического компонента» математической деятельности. Этот компонент автор, ссылаясь на таких выдающихся математиков, как Ж. Адамар, К. Гаусс, Г. Вейль, Р. Курант и др., видит «в склонности к обобщению» и абстракции; направленности на визуализацию аналитических объектов; стремлении к унификации или преломлению тех или иных математических фактов и закономерностей в других математических разделах и дисциплинах; склонности к минимально возможной субъективной сложности, требуемой для достижения того или иного результата; потребности в полной логической обоснованности и доказательности».

Проблема эстетического воспитания школьников посредством математики решается в контексте двух подходов: созерцательного (И. Г. Зенкевич, В. Т. Ковешиков. В. Л. Минковский и др.) действенного (В. Т. Болтянский, О. А. Кобалия, Н. Л. Рошина и др.). Сторонники первого из них содержание понятия эстетического потенциала сводят к разнородному перечню элементов математического содержания, которые, по их мнению, эстетически значимы, при этом даже не пытаются обосновывать свои суждения. Математическая красота, ощущаемая с первого взгляда, представлена ими такими примерами, как красота геометрических форм, красивые задачи, устный счет, пропорция, компактность формул, изящность методов решения задач, красота математической логики. Большое значение придается практической деятельности, в которой раскрывается эстетическая значимость понятий пропорциональности, симметрии, порядка, соразмерности, гармонии, формы. Некоторыми авторами практическая полезность математических объектов возводится даже в ранг признака эстетической значимости. В работах И. Г.Зенкевича, В. Т. Ковешникова и др. красивые задачи и поиск изящных методов их решения отмечаются как факторы способствующие воспитанию эстетического вкуса учащихся [17].

При этом содержание понятий красивой задачи и изящного решения авторами не раскрывается. В работах данного направления основное внимание уделяется созерцанию субъективно понимаемой красоты математики, хотя созерцание не может «вытянуть ее весь эстетический потенциал на поверхность». Для этого необходима активная математическая деятельность, которая, как уже не раз было отмечено, направляется во многом эстетическими мотивами.

Авторы работ, выполненных в рамках второго подхода, предпринимают попытки раскрыть содержания понятий «эстетическая значимость», «эстетическая ценность», «эстетическая привлекательность» и «эстетический потенциал» математики. Так, О. А. Кобалия характеризует эстетическую ценность геометрии совокупностью параметров. Первую их группу составляют общенаучные методы и способы деятельности (абстрагирование, дедукция, индукция, анализ, синтез, обобщение, конкретизация). Вторую группу параметров составляют способы деятельности, осуществляемой в изучении геометрии: формулировка определений понятий, математических утверждений, составление задач: выполнение рисунков и моделей; решение задач; выполнение числовых и алгебраических преобразований; использование правил логического вывода в геометрических доказательствах. Иллюстрируя примерами различные случаи проявления прекрасного в процессе осуществления каждого из указанных видов деятельности, О. А. Кобалия приходит к выводу о том, что каждый элемент курса геометрии - будь то рисунок, теорема, доказательство, метод или идея - может служить примером проявления прекрасного. Данный вывод представляется достаточно банальным и мало что раскрывающим в содержании понятия эстетически значимого материала. Если мы согласимся с тем, что каждый элемент курса геометрии несет какие-либо признаки красоты, то остается неясным, каким способом ученик воспринимает это прекрасное.

В других работах предпринимаются попытки построения модели эстетического потенциала математики. Так, например, одна из предлагаемых моделей отражает взаимосвязь видов прекрасного, сфер их проявления и признаков красоты. Среди видов прекрасного выделяют внешнюю эстетику, доступную органам чувств, и внутреннюю, воспринимаемую в результате творческой деятельности. Внешняя составляется эстетикой геометрической формы и эстетикой аналитической записи, а внутренняя - эстетикой математического содержания, эстетикой математического рассуждения и эстетикой математического познания. Однако в работах и этого направления отсутствует определение понятия красоты, не выделены его признаки, не разработаны условии я формирования эстетического чувства школьников и методика использования красоты в обучении математике. Поэтому творческий и практический потенциал выводов и рекомендации, содержащихся в работах и этого профиля, незначителен. Сомнительно, что ученик, не понимая смысла аналитической записи, будет наслаждаться ее красотой.

Некоторые исследователи выделяют уровни эстетической сформированности. Их обобщение приводит к следующей иерархии уровней: 1) чувственные, яркие переживания; 2) избирательное отношение к изучаемому математическому содержанию, самостоятельное и осознанное выделение в нем элементов, отличающихся своей выразительностью; 3) осознанное стремление школьника к максимально простым, упорядоченным, естественным, выразительным и одновременно неожиданным формам представления материала и связанным с ними способами математической деятельности. Данный набор характеристик эстетического чувства кладется авторами в основу методической работы по эстетическому воспитанию школьников: 1) целенаправленное подключение эстетически критериального аппарата к механизму выбора поисковой работы школьников; 2) представление математических идей в наглядной форме, подбор контрастных сравнений делающих эти идеи более запоминающимися; 3) осознание необычных ситуаций применения известных методов и их комбинаций; выделение системы отношений, открывающий путь к разнообразным неочевидным заключениям и неожиданным аналогиям [17].

Проблема эстетики в обучении математике затрагивается в ряде работ, посвященных гуманитаризации математического образования (А. И. Азевич, Т. А. Иванова и др.). Так, Т. А. Иванова, рассматривая эстетику математики, как одну из важных составляющих гуманитарно-ориентированного содержания, считает, что эстетическая направленность тематического образования может быть представлена в содержании как в явном виде - в красоте математических доказательств, в свернутости и богатом содержании формул, в обычных закономерностях, выраженных в теоремах, в отражении математикой красоты природы, в математических основах законов красоты в искусстве, так и в неявном. В неявном виде эстетическая направленность обучения математике связана с процессом получения субъективно нового для ученика математического знания. Ребенок, увлеченный поиском решения задачи, которая требует интеллектуальных усилий и в то же время доступна ему … и получивший нужный результат, испытывает удовлетворение от успешной интеллектуальной деятельности, связанной с эстетическим переживанием от озарения, «инсайта» [6].

Разрабатывая гуманитарно-интегративный курс математики, А. И Азевич, выделяет в нем три содержательные линии: историко-философская, естественно-культорологическая и математическая. Эстетическую направленность данного курса автор связывает естественно-культурологической составляющей, важнейшая цель которой - показать красоту как главную категорию эстетики и математики, при этом, основным средством достижения данной цели являются методы познания математикой некоторых важных эстетических закономерностей природы и искусства, реализованные в обучении через соответствующий набор задач [1].

Красота математического объекта обусловлена взаимодействием его обобщенного образа, созданного нашей психикой, оригинальностью, выделяющей этот объект из других объектов. В качестве источников эстетической привлекательности математических объектов (понятия, теоремы, задачи, способа рассуждения) выступает категория порядка, проявляющаяся в гармонии отдельных частей, их симметрии, логической строгости, и категория простоты, раскрывающаяся в неожиданности, обусловленной контрастом меду трудностью проблемы и простой методов решения средств. Эффективное раскрытие эстетического потенциала математики возможно лишь в творческой деятельности учащихся [16].

Восприятие красоты математики характеризуется рядом уровней. Иерархия этих уровней наполняет эстетическую привлекательность математического объекта от обусловленности соответствия объекта его образу до потребности ученика заглянуть внутрь объекта, выявить связи между его компонентами отыскать наиболее оригинальное решение задачи, составить новые задачи т.д. на данном уровне красивое ассоциируется с неожиданностью, оригинальностью, строгим обоснованием, поиском различных приложений. Эстетичность мотивов от желания ликвидировать замеченное несоответствие между объектом и его образом (достроить объект до симметричного, дополнить часть до целого, рассмотреть частный случай и т.п.) постепенно смещается в сторону активной исследовательской деятельности, ведущая роль в которой принадлежит задаче.

1.2 Эстетический потенциал школьного курса математики

Математика - это не только стройная система знаков, теорем и задач, но и уникальное средство познания эстетики красоты окружающего мира: красота многогранна и многолика. Она выражает важную целесообразность устройства мира, подтверждает универсальность математических закономерностей, которые действуют одинаково эффективно в кристаллах и живых организмах, в атоме и во Вселенной, в произведениях искусства и в научных открытиях [1].

Определение эстетики как науки о прекрасном делает ясным и понятие эстетического элемента математики как всего того в ней, что красиво и что может нравиться человеку. «Едва ли кто-нибудь из не математиков в состоянии освоиться с мыслью, что цифры могут представлять собой культурную или эстетическую ценность или иметь какое-нибудь отношение к таким понятиям, как красота, сила, вдохновение. Я решительно протестую против этого костного представления о математике», - пишет Н. Винер.

На первый взгляд, трудно найти математические закономерности в прекрасном. Однако попытки хотя бы приблизиться к объективным «законам красоты» предпринимались человечеством в древности: это математические законы Пифагора в музыке, и геометрическая модель Вселенной Кеплера - трепетная песнь красоте в науке, это и система пропорций в архитектуре и пропорции человека, и геометрические законы в живописи [18].

Взаимосвязь эстетики и математики подтверждают, прежде всего, сами ее творцы. С. Д. Пуассону казалось, например, что жизнь красна двумя визами: возможностью преподавать ее. К. Якоби утверждал: «Математика принадлежит к числу тех наук, которые ясны сами по себе». Знаменитый афоризм Б. Паскаля гласит: «То, что может превышать геометрии, превышает нас», Г. Х. Харди в своем замечательном очерке о доминирующих побуждениях к научному творчеству вообще и математическому в частности, указывает на интеллектуальную любознательность, профессиональную гордость и честолюбие исследователя. Чисто математическим стимулом он полагает тот, который является плодом способности к эстетической оценке математики.

Совершенно прав Харди, замечая, что, может быть, очень трудно определить красоту так же, как и всякую красоту другую - мы не можем полностью знать, что мы подразумеваем под прекрасной поэмой, но это не мешает нам признать ее красоту, когда мы ее прочитаем, должно быть трудно найти теперь образованного человека, совсем нечувствительного к эстетической привлекательности математики.

Итак, попытки охарактеризовать эстетический потенциал школьного курса математики предпринимались различными авторами (И. Г. Зенкевич, Т. А. Иванова, О. А. Кобалия, В. Т. Ковешников, Г. И. Саранцев и др,). Чаще всего они осуществились в связи с постановкой эстетического воспитания учащихся на уроках или во внеклассной работе. Существуют различные мнения на этот счет. Одни считают математику наукой сухой, черствой, трудной, доступной лишь для избранных, привлекательность ее для большинства людей невелика, а поэтому эстетический потенциал ее велик. Другие же напротив, полагают, что, если внимательно присмотреться к таким особенностям математики, как абстрактность и дедуктивный характер построения, компактность формул, совершенность, лаконичность и недвусмысленность математического языка, неопровержимость выводов и полезность этой науки, проследить историю развития математики, ознакомиться с полной романтики жизнью ее творцов, то не останется никаких сомнений в том, что прекрасное в математике также бесконечно, гак бесконечна и она сама. Такие характеристики, безусловно, должны приниматься в расчет, но они не могут претендовать на решение проблемы даже в самом первом приближении.

Эстетический потенциал школьного курса математики необходимо раскрывать не столько через конкретные проявления прекрасного в том или ином математическом сознании с последующим их упорядочиванием на основе общих признаков, т.е. идя индуктивным путем, сколько совсем наоборот - через выделения разновидностей прекрасного в математике вообще, определяемых природой (признаками) математической красоты, которые затем объективируются конкретными проявлениями этого прекрасного в школьном обучении, т.е. идя дедуктивным путем.

Прекрасное в математике прежде всего целесообразно дифференцировать на то, что вскрывается человеком непосредственно его органами чувств при пассивном участии мышления, и на то, что становится явным лишь при активном, деятельностном участии аналитико-синтетических процессов головного мозга в изучении, анализе и идентификации воспринимаемой или воспроизводимой информации. Тогда можно различать в математике эстетику внешнюю, доступную органам чувств, и эстетику внутреннюю, скрытую от них. Внешнюю эстетику можно отождествлять с эстетикой внешнего вида математических объектов. Если учесть, что математические объекты имеют двоякую природу внешнего выражения: геометрическую (графически-иллюстративную) и аналитическую (языковую), то естественно внешнюю эстетику математики подразделить на эстетику геометрических форм и эстетику аналитической записи.

Обратимся к математическим жемчужинам - к некоторым конкретным примерам математической красоты, ощущаемой с первого взгляда. Правильные многогранники, правильные системы фигур, многие фигуры и построения, служащие доказательству теорем, представляют вещи красивые сами по себе, даже независимо от их математического содержания. Но как всегда форма содержательна и красота ее тем более чем более богатое содержание она формирует и выражает, так непосредственная красота геометрических форм неизмеримо обогащается, когда раскрывается ее математическое содержание и значение. Хорошо сделанные модели геометрических тел, таблицы правильных систем фигур и орнаментов должны составлять необходимый реквизит учителя математики, чтобы он мог показывать все это учениками, пусть ничего не доказывая и не формируя строго, наглядно продемонстрировать свойства этих тел и фигур, рассказывать о них и их значении в науке и природе. Алмаз становится бриллиантом, когда он огранен должным образом, т.е. превращен в определенный многогранник.

Красота всегда притягательна, в образовательном процессе она не оставляет равнодушным никого: ни учителя, ни учащихся, ни их родителей [5].

Математика и зрительная, наглядная красота дружат давно. Поэтому она так важна в учебном познании, с ее помощью можно усилить интерес детей к математической деятельности, стимулировать их поиск, создать условия для единения эмоционального и рационального и тем самым усилить развивающий эффект обучения.

Другой математической жемчужиной являются красивые задачи. В предисловии своей книги «Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями» Ф. Мостеллер говорит о том, что делает задачу занимательной: «Задача может быть занимательной по многим причинам: потому, что, она иллюстрирует важный принцип, потому, что задача обладает большой степенью общности, потому, что она трудна, потому, что в решении спрятана «изюминка», или просто потому, что ответ элегантен и прост».

Теми же причинами, вероятно, можно объяснить и красоту задачи. Все согласны с тем, что есть красивые задачи, однако в нашем отношении к этой красоте неизбежен элемент субъективности, зависящей, в частности, от склада нашего ума - геометрического или аналитического.

Устный счет также можно отнести к математическим жемчужинам. Кроме неоспоримого математического знания, искусство устного счета на определенной ступени своего совершенства становится эстетическим явлением. Именно эту идею передает известная картина Н. П. Богданова-Бельского «Устный счет». Народ, создавший «Махабхарату» и «Рамаяну», эти шедевры художественной фантазии, обладая чрезвычайно высокой вычислительной культурой, точнее, культурой устного счета, известного у древних индейцев под поэтическим названием «воздушного счета». И сегодня еще опытный учитель нет-нет да и посвятит неискушенных первоклассников в индийскую тайну быстрого умножения и покажет ее красоту на простом примере. Допустим, надо умножить 96 и 92. Дополнение до ста - соответственно 4 и 8. Отнимем от первого сомножители дополнение второго (96-8=88) или от второго сомножителя дополнение первого (92-4=88), И в том и другом случае получим 88. Это первые цифры искомого произведения. Перемножая дополнения (4*8=32). 32 - это последние циф­ры произведения. Итак, 96*92=8832. По схеме это выглядит так:

96. 4

92. 8

88. 32

Если же сам учитель постарается делать то же и впредь, то он воспитает таких приверженцев устного счета, которые в X классе будут ради собственного удовольствия легко брать в уме определенные интегралы. А по уже подходит под человеческое определение грации - «когда на какое-нибудь определенное действие человек затрачивает наименьшее количество движений, то это грация».

Одним из ярких примеров математической красоты также являются пропорции. О природе пропорций хорошо сказано у Платона: «…. Однако два члена сами по себе не могут быть хорошо сопряжены без третьего, ибо необходимо, чтобы между одним и другим родилась некая объединяющая их связь. Прекраснейшая же из связей такая, которая в наибольшей степени единит себя и сказуемое, и задачу эту наилучшим образом выполняет пропорция…».

Один частный случай деления отрезка на 2 части вошел в историю искусства , и потому представляет собой интерес. Это - знаменитое «золотое сечение», т. е. случай, когда большая из частей (х) есть средняя пропорциональная между меньшей частью (а-х) и всем отрезком (а):

а : х = х(а-х)

Как видно из последнего равенства, этому случаю соответствует:

Еще Евклид в своих «Началах» применили «золотое сечение» для построения правильных пятиугольников и десятиугольников, и правильных двенадцатигранников (додекаэдров) и двадцатигранников (икосаэдров).

На греческой почве классическим представителем учения о целочисленных пропорциях был Пифагор. Дальнейшая разработка теории пропорций принадлежит итальянцам. Пропорциям посвящена огромная литература [5].

Особенно большое значение принципу «золотое сечение» придает Лука Пачоли в своем знаменитом трактате «О божественной пропорции» (под которой и понимает данное сечение). На этом принципе автор стремится сделать основание всех наук, выводит из него принципы архитектуры и пропорции размеров как человеческой фигуры, так и букв алфавита. Он утверждает, что пропорции существуют всюду; в математике и в механике, в медицине, географии и во всех науках и ремеслах. Особую роль «божественная пропорция» играет в искусстве. Здесь она «мать-царица». Без нее невозможно ни построение перспективы, ни ваяние скульптуры, ни создание архитектурного проекта.

Лука Пачоли писал, что без помощи «золотого сечения» (или по его терминологии «божественной пропорции») «не может образоваться пятиугольник, и без пятиугольника невозможно ни образовать, ни представить себе тело, благороднейшее из всех правильных тел, называемое додекаэдром, создание которого божественный Платон приписывает высшей сущности, или небу».

Кроме геометрии «золотое сечение» встречается в теории и практике искусства ваяния и, наряду с другими пропорциями, в архитектуре. Относительно геометрии не менее важна роль эстетики математики вне математики, например, в архитектуре. Только неотступно следуя законам геометрии, архитекторы древности могли создавать свои шедевры. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса - немой трактат по геометрии, а греческая архитектура - внешнее выражение геометрии Евклида.

Прошли века, но роль геометрии не изменилась. Она по-прежнему остается «грамматикой архитектора». Только сегодня, с появлением новых строительных материалов (бетон, металл, стекло, пластик) и новой технологии строительства, архитектор может опираться на более широкий круг геометрических законов. Это расширяет творческие возможности архитектора и порождает новые конструкции, новые архитектурные формы, новую эстетику.

Пирамида это как бы норма тектоники, внутреннего устройства каменных зданий прошлого. Силуэт церквей и соборов, почти, как правило, вписываются в форму пирамиды, которая выступает как эстетическое явление: пирамида, обращенная вершиной вверх. Совершенно иной характер носит связь математики с красотой в природе, где с помощью математики красота не создается, как в технике или в искусстве, лишь фиксируется, выражается. Возможность такого выражения обусловлена тем, что составляющие основу красоты природы явления симметрии и периодичности хорошо изучены и описаны математически.

В математике есть формулы, по содержанию необъятные, как «Божественная комедия», и по форме краткие и выразительные, как японские трехстишия, «хокку».

Одним из таких шедевров компактности является соотношение

Представляющее собой следствие формулы Эйлера:

Эстетический эффект этого соотношения объясняется его сжатостью и глубиной смысла, который оно выражает и который трудно передать в нескольких словах. В этот удивительной красоты минимум знаков, как цветы в прекрасный венок, вплелись пять «господствующих» в математике чисел: 0, 1, е, , i [5].

Итак, в понятии «красота» в математике условно можно выделить два направления:

1) эстетика геометрических форм, образов - это многие фигуры, построения, всевозможные орнаменты и узоры, различные виды симметрии и др;

2) эстетика аналитической записи, рассуждений, т. е. красота доказательств, красота задач и изящество решений, совершенство математического языка, эстетическое оформление записей и в тетрадях и т. п.

При этом литературе выделяются и основные черты, признаки эстетически привлекательного математического объекта:

- соответствие математического объекта его стандартному, стереотипному образу;

- порядок, логическая строгость;

- красота;

- универсальность использования этого объекта в различных объектах математики;

- оригинальность, неожиданность;

Формирование учащимися эмоционального восприятия различных форм проявления эстетики математики составляют основу эстетического воспитания учащихся средствами математики. К таким средствам относятся: решение эстетически красивых задач, применение наглядных пособий, использование специальных задач, оперирование моделями фигур, использование различных эвристик и т.

Рассмотрим развитие эстетического воспитания школьников в процессе формирования понятий и изучения теорем.

2 Методические аспекты эстетического воспитания школьников в процессе обучения математике

2.1 Развитие эстетического воспитания школьников в процессе формирования понятий и изучения теорем

Важным аспектом обучения математике, является процесс формирования математических понятий, а значит необходимо выяснить то, как должен быть организован этот процесс, чтобы он мог способствовать эстетическому развитию учащихся.

В учебной литературе освещен достаточно широкий спектр вопросов, связанных с формированием математических понятий. Это логические и психологические аспекты данного процесса, пути введения понятий, определения и их виды, классификация понятий практические рекомендации, этапы формирования понятий и действия, адекватные им и т.п.

В качестве этапов формирования понятия возьмем этапы, предложенные Г.И. Саранцевым [13]:

- этап мотивации введения понятия;

- этап выделения существенных свойств понятия;

- этап усвоения логической структуры определения понятия;

- этап применения понятия;

- этап установления связей изучаемого понятия с другими понятиями .

Этап мотивации является наиболее плодотворным в плане развития эстетического воспитания учащихся, т. к. главная цель: данного этапа состоит в возбуждении интереса к изучению понятия создания эмоциональных ситуаций.

Задачи, занимательные по форме подачи материала, можно использовать в качестве мотивации введения понятия окружности, описанной около треугольника.

Пример.

Докажем, что всякая окружность имеет два различных центра. На сторонах произвольного АВС берем две произвольные точки Е и D и восстанавливаем к сторонам угла перпендикуляры EF и FD, которые обязательно пересекутся в точке F. Через не лежащие на одной прямой три точки Е, F, D. Проведем окружность. Если вершина В окажется вне окружности (рис.2), то стороны угла пересекут её в точках Н и К. Если вершина В окажется внутри окружности (рис.1), то окружность пересекут в точках Н и К продолжения сторон. В обоих случаях соединяем точки Н и К с F и убеждаемся, что HF и KF - диаметры, т.к. вписанные прямые углы Е и D опираются на них. Середины этих двух различных диаметров - точки О и О'- центры. Где ошибка?.

В процессе нахождения ошибки в доказательстве учащиеся приходят к необходимости убедиться в истинности того, что через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность. Учитель напоминает учащимся, что три точки не лежащие на одной прямой, однозначно определяют треугольник, а, значит, мы имеем дело с треугольником EFD, все вершины которого лежат на окружности, называемой описанной около треугольника.

Таким образом, доказательство истинности вышеуказанного утверждения сводится к доказательству того, что около любого треугольника можно описать окружность, тем самым мы осуществили не только мотивацию понятия описанной окружности, но и мотивацию теоремы о её существовании и единственности [19].

Пример. Этап мотивации при формировании понятия конуса (геометрия 11кл.) можно осуществить в следующей форме: урок начинается с демонстрации картины Шишкина «Корабельная роща» и модели конуса. Учитель задает классу вопрос: «Какая связь между картиной и вот этим телом?» Оказывается самая непосредственная. На картине изображены сосны, а модель, которую в руках держит учитель, называется конус, что означает в переводе с греческого «сосновая шишка».

На этапе выделения существенных свойств понятия, так же могут использоваться задачи, обладающие внешней занимательностью, исторические экскурсы.

Пример. Выделение существенных свойств понятия линейной функции можно осуществить в следующей игровой форме:

На доске начерчена таблица:

Х

У

Один из учеников называет любое значение х. Учитель записывает его и соответствующее ему значение какой-то известной учащимся функции в таблицу. Следующий ученик называет другое значение х, которое учитель тоже записывает в таблицу вместе с соответствующим ему значением той же функции и т.д. Суть игры заключается в угадывании формулы, задающей неизвестную функцию, если известно, что в ней участвуют только два действия: сложение и умножение на число.

В контексте рассматриваемого этапа основной задачей развития эстетического воспитания является создание наглядно-образной базы для формулировки определения понятия. Средством, дающим хороший результат в плане осуществления вышеуказанного процесса при формировании геометрических понятий, следует считать метод оригами (складывания листа бумаги).

Пример. Для выделения существенных свойств понятия перпендикулярных прямых учащимся можно предложить выполнить следующую последовательность действий:

С помощью сгибов проведем произвольную прямую АВ. Отметим на ней точку О. Получим развернутый угол АОВ (см. рис. 2).

Перегибанием построим биссектрису ОК угла АОВ, BOK=90 градусов . Проведем прямую КМ, содержащую биссектрису ОК. Получим две пересекающиеся прямые АВ и КМ, образовалось четыре угла: l,2,3,4 (см. рис.3).

1=2=90 градусов (так как ОК - биссектриса).

Сравним l,2,3,4 наложением согнем по намеченным линиям (рис 4)

Рис. 4

Получили при наложении l,2,3,4 - совпали. Следовательно, 1=2=3=4=90 градусов.

Таким образом, мы получили две пересекающие прямые, образующие четыре прямых угла. Они называются перпендикулярными.

Пример. В качестве мотивации введения понятия касательной к окружности учащимся можно предложить следующую проблемную задачу прикладного характера: «Как далеко видно с маяка высотой 125 м над уровнем моря?».

Меридиан, на котором находится маяк, представляет собой окружность, тогда R - это радиус Земли, приближенно равный 6400 км. Зрительный луч будет направлен от вершины маяка по прямой, имеющей одну общую точку с окружностью-меридианом (см. рис.5). Такую прямую называют касательной к окружности. Искомое расстояние будет совпадать с длиной отрезка S, нахождение которой потребует определения вида получившегося треугольника, что, в свою очередь, приводит к необходимости рассмотрения свойства касательной. Таким образом, данная задача не только мотивирует введение понятия касательной к окружности, но и может служить мотивировкой теоремы о её свойстве. Кроме того, эстетически привлекательной рассматриваемую задачу делает неожиданный результат: с маяка высотой 125м радиус видимости составляет примерно 40км.

Пример задачи на применение понятия серединного перпендикуляра (геометрия 8 кл.). Каждый, наверное, уже давно привык к тому, что бумага перегибается всегда по прямой линии, а не по окружности и не по какой-либо другой кривой. Попробуйте найти причину этого явления.

Обычно бумагу перегибают следующим образом: одну часть листа накладывают на другую и, прижав их друг к другу в определенном месте рукой, разглаживают лист другой рукой до появления складки. Пусть какие-то две точки А и В оказались прижатыми друг к другу. Возьмем произвольную точку С, принадлежащую линии сгиба. Как будет расположена эта точка по отношению к точкам А и В? Естественно, она будет равноудалена от точек А и В, т.к. отрезки АС и ВС тоже окажутся прижатыми друг к другу. А нам известно, что все точки, равноудаленные от двух данных точек, образуют серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки, поэтому множество точек С совпадает с серединным перпендикуляром к отрезку АВ. Значит, полученная линия сгиба будет прямой линией.

Пример. На сторонах XOY отмечены точки А, В, С, D так, что ОА = ОВ, AC = BD (см. рис.6). Прямые AD и ВС пересекаются в точке Е. Докажите, что луч ОЕ - биссектриса XOY. Используя эту задачу, опишите способ построения биссектрисы угла.

Впервые данная задача встречается в учебнике «Геометрия 7-9» под редакцией Л.С. Атанасяна в разделе дополнительных задач главы «Треугольники». При её решении учащиеся в соответствии с уровнем своих знаний на данном этапе обучения могут использовать лишь аппарат треугольников, в силу чего, доказательство получается достаточно громоздким, а значит, не удовлетворяющим критериям эстетической привлекательности [3].

Первое решение.

1. Т.к. ОВА - равнобедренный, то углы, прилежащие к его основанию равны OBA=OAB;

2. ODA=OCB no двум сторонам и углу между ними, значит, DAO=OBC;

3. BAE=DAO-BAO, ABE=OBC-OBA, следовательно, BAE = ABE, a ABE - равнобедренный; ОВЕ=ОАЕ по двум сторонам и углу между ними;

4. из равенства этих треугольников следует, что BOE=EOA, значит, ОЕ - биссектриса.

Напомнив данное решение учащимся уже 8 классе при введении понятия осевой симметрии, указав его недостатки с точки зрения эстетической привлекательности, следует обратить внимание на то, что при перегибании XOY по биссектрисе точка В совпадет с точкой А, точка С с точкой D, причем это свойство поможет нам найти более красивое решение данной задачи, но для начала необходимо ввести понятие симметрии относительно прямой и рассмотреть его свойства. Само решение, опирающееся на понятие осевой симметрии, следует разобрать на этапе применения данного понятия.

Второе решение. Рассмотрим симметрию относительно биссектрисы XOY и докажем, что точка Е принадлежит этой биссектрисе. При симметрии относительно биссектрисы XOY точка А оказывается симметричной точке В, точка D - точке С. Отрезок AD симметричен отрезку ВС (при наложении совпадают). Таким образом, общая точка Е этих отрезков окажется симметричной самой себе, а таким свойством обладают только точки, принадлежащие оси симметрии, т.е. биссектрисе. Значит, точка Е принадлежит биссектрисе XOY.

Пример. В окружность вписан равносторонний треугольник ABC. На дуге ВС дана произвольная точка М. Доказать, что МА=МВ+МС.

Данная задача, обладает свойством «открытости», в силу чего её можно использовать с целью развития эстетической воспитанности на теоретическом уровне.

Обобщение задачи: пусть точка М не принадлежит описанной окружности (рис.7). Тогда выполнив то же самое вспомогательное построение (поворот точки М вокруг точки В на 60°), получим точку D, не принадлежащую прямой AM.

Действительно, если точка М лежит внутри BAC, но вне окружности, то ADM=ADB+60°<180°, т.к. ADB=CMB<120°. Для полного доказательства следует рассмотреть все возможные случаи расположения точки М. Замечаем, что MD=MB, DA=MC, то есть стороны треугольника ADM равны отрезкам MA, MB и МС. Таким образом, приходим к такой теореме:

Если в плоскости равностороннего треугольника ABC дана произвольная точка М, то отрезки MA MB, MC смогут быть сторонами некоторого треугольника или один из них равен сумме двух других (если точка М принадлежит описанной окружности).

К традиционным аспектам методики преподавания математики, кроме проблем, связанных с изучением математических понятий и решением задач относятся проблемы, обусловленные изучением теорем в школьном курсе математики и обучением учащихся их доказательству.

В процессе работы с теоремой, по мнению Г.И. Саранцева, следует выделить следующие этапы [16]:

- мотивация изучения теоремы;

- ознакомление с теоремой;

- усвоение содержания теоремы;

- запоминание формулировки теоремы;

- ознакомление со способом доказательства;

- доказательство теоремы;

- применение теоремы;

- установление связей теоремы с ранее изученными теоремами.

Необходимо выявить те аспекты, привнесение которых в процесс работы над теоремой способствует развитию эстетического воспитания школьников. Не все из вышеуказанных этапов обладают равными возможностями в плане развития обозначенной способности, наиболее «плодотворными» среди них, являются этапы мотивации изучения теоремы, ознакомления с фактом, изложенным в теореме, и со способом её доказательства, само доказательство теоремы, а также этапы применения теоремы и установления связей с ранее изученными теоремами, поэтому именно на особенностях их реализации в контексте развития эстетического воспитания остановимся подробнее.

Пример. Мотивацию теоремы о формуле n-го члена арифметической прогрессии можно осуществить в виде следующей игровой ситуации: на доске записаны 20 чисел: 1,5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49, 53, 61, 65, 69, 73, 77. Учитель стоит спиной к доске. Ученики называю номер числа, а учитель мгновенно называет само число. Потом он предлагает учащимся объяснить, как ему это удается.

Рассмотрим специфику организации процесса изучения теоремы на процессуальном уровне развития эстетического воспитания школьников. Формирование указанной способности на рассматриваемом уровне должно происходить за счет вовлечения в процесс обучения математике задач, обладающих красивым решением, а также за счет демонстрации и самостоятельного нахождения учащимися эстетически привлекательных доказательств изучаемой теоремы. Наиболее подходящими в этом плане являются этап мотивации, в ходе которого необходимость введения той или иной теоремы может быть обусловлена отысканием красивого решения уже известной задачи или теоремы, и заключительный этап работы над теоремой, в рамках которого приводятся другие доказательства изучаемой теоремы, оцениваемые с точки зрения их эстетической привлекательности.

Пример. Мотивировать изучение теоремы о соотношении градусных мер вписанного и центрального углов, опирающихся на одну дугу, можно нахождением эстетически привлекательного решения задачи № 233 из учебника «Геометрия 7-9» под редакцией Л. С. Атанасяна:

Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию. Предварительно стоит напомнить уже известное решение данной задачи.

Первое решение.

Пусть BN - биссектриса внешнего MBC треугольника ABC (см. рис.8), тогда MBN = MBC = (A + C). Но A=C, отсюда MBN=A. Из этого следует по признаку параллельности прямых, что BN //АС.

Эстетически привлекательное решение данной задачи связано с введением дополнительного построения, а именно: окружности с центром в точке В, проходящей через точки А и С (см. рис.9). Это дополнительное построение, во-первых, вносит в решение элемент неожиданности, во-вторых, делает его более наглядным. Уже из чертежа видно, что A и MBC являются вписанным и центральным углами, опирающимися на одну дугу, при этом, учитывая первое решение задачи, можно предположить, что A равен половине МВС, т.е. вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу. Таким образом, мы подвели учащихся к открытию факта, описанного в рассматриваемой теореме. Кроме того, следует заметить, что в первом решении содержатся идеи, используемые в процессе доказательства самой теоремы. Нахождение же второго решения целесообразнее всего предложить выполнить учащимся самостоятельно на этапе применения теоремы.

Пример. В учебном пособии теорема о средней линии трапеции доказывается с опорой на векторный метод. С точки зрения эстетической привлекательности это доказательство достаточно громоздко и не наглядно, поэтому целесообразно доказать её, опираясь на свойство средней линии треугольника, обращая внимание учащихся на его наглядность и простоту.

Доказательство: Пусть MN - средняя линия трапеции ABCD. Проведем прямую BN, пересекающуюся с прямой AD в точке Н (см .рис.10). Тогда MN - средняя линия треугольника АВН, следовательно, по свойству средней линии треугольника MN//AD и , а т.к. DH=BC, что следует из равенства треугольников BCN и NDH, то MN= (AD+BC). Однако, не всегда эстетически привлекательное доказательство изучаемой теоремы и доказательство, рассматриваемое в учебном пособии, удаётся продемонстрировать в рамках одного урока, в силу недостаточных знаний школьников, поэтому разумным является (возвращение к данной теореме на этапе применения понятия или теоремы, благодаря которым становится возможным нахождение доказательства, удовлетворяющего критериям красоты математического объекта. Например, доказательство теоремы Фалеса, базирующееся на признаках равенства треугольников и на свойствах параллелограмма, не соответствует эстетическому критерию простоты, в этом смысле наиболее удачным является доказательство, основанное на идее подобия, именно его нахождение и следует предложить учащимся на этапе применения признаков подобия треугольников. Переходя к формированию эстетического воспитания на теоретическом уровне, учащиеся являются уже достаточно подготовленными к восприятию и осознанию внутренней эстетики математики в высшем её проявлении, а именно: её единства, логической строгости и обоснованности.

Большинство теорем школьного курса математики представляет ой примеры эстетически привлекательных по неожиданности своих умозаключений проблемных ситуаций. Однако для того, чтобы то или иное умозаключение предстало перед учащимся во всей своей «внезапной простоте и очаровании», необходима специальная организация его самостоятельной деятельности по открытию рассматриваемой закономерности путем обобщения эмпирически полученных результатов измерений, построений и вычислений. Например, измеряя углы произвольно построенных треугольников, учащиеся получают открытие неожиданного для них факта постоянства мы углов треугольника и равенства её 180°.

Заключение

Анализ методической литературы показал, что о красоте математики написано немало высказываний, статей и книг. Авторы видят ее в гармонии чисел и форм, геометрической выразительности, стройности математических формул, решении задач различными способами, в изяществе математических доказательств, в порядке, богатстве приложений, универсальности математических методов. Под понятие красоты подводится широкий спектр различных объектов от схем зверушек, составленных из отрезков, до представления красивого объекта моделью, удовлетворяющей требованиям изоморфизма, простоты и неожиданности.

Школьный курс математики обладает широкими возможностями для эстетического воспитания учащихся. Его эстетический потенциал можно раскрывать не только через конкретные проявления прекрасного в том или ином математическом сознании с последующим их упорядочиванием на основе общих признаков, но и наоборот - через выделения разновидностей прекрасного в математике вообще, определяемых природой (признаками) математической красоты, затем объективируя их конкретными проявлениями этого прекрасного в школьном обучении.

В методике обучения математике процесс формирования понятий и изучения теорем исследованы достаточно подробно: выделены этапы этих процессов, выявлено их содержание, разработаны условия реализации данных этапов, выделены типы упражнений, адекватных понятий, действий и т.д.

Активное развитие эстетического воспитания учащихся возможно в процессе формирования понятий и изучения теорем.

В данной работе, на различных примерах, раскрывается эстетическая составляющая этапов формирования понятия и изучения теорем.

На основании этого можно сказать, что цель данной работы достигнута, поставленные задачи реализованы.

Список использованных источников

1. Азевич, А. И. Двадцать уроков гармонии: гуманитарно-математический курс / А. И. Азевич. - М. : Школа - Пресс, 1998. - 76 с.

2. Алимов, Ш. А. Алгебра и начала анализа: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. - М. : Просвещение, 2006. - 207 с.

3. Атанасян, Л. С. Геометрия: учеб. для 7-9 кл. сред. шк / Л.С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев - М. : Просвещение, 1994. - 335 с.

4. Болтянский, В. Г. Математическая культура и эстетика / В. Г. Болтянский // Математика в школе. - 1982. - № 2. - С. 40-43.

5. Зенкевич, И. Г. Эстетика урока математики: пособие для учителей / И. Г. Зенкевич. - М.: Просвещение, 1981 87 с.

6. Иванова, Т. А. Гуманитаризация математического образования / Т. А. Иванова. - Н. Новгород: НГПУ, 1998.-192 с.

7. Иванова, Т. А. Теория и технология обучения математике в средней школе: уч. пособие для студентов матем. специальностей пед. вузов / Т. А. Иванова, Е. Н. Перевощикова, Л. И. Кузнецова, Т. П. Григорьева; под ред. Т. А. Ивановой. - Н. Новгород : НГПУ, 2009. - 355 с.

8. Лабораторные и практические по методике преподавания математике: учеб. пособие для студентов физ. - мат. спец. пед. институтов / Е. И. Лященко, К. В. Зубкова / под ред. Е. И. Лященко. - М.: просвещение, 1988. - 223 с.

9. Литяйкина, О. Г. Проблемы эстетического воспитания в педагогических концепциях России конца XIX - первой трети XX вв.: дис. ... канд. пед. наук / Литяйкина Ольга Геннаьевна. - Саранск, 1997. - 243 с.

10. Методические рекомендации к курсу геометрии 9 - 10 классов: (По пробному учебнику Л. С. Атанасяна, В. Ф. Бутузова, и др.): Пособие для учителя / Л. С. Киселев, В. В. Пикал, Т. М. Савина, И. И. Юдина / под ред. Л. С. Атанасяна, В. Ф. Бутузова. - М. : Просвещение, 1989. - 176 с.

11. Методика преподавания математики в средней школе: общая методика: учеб. пособие студентов пед. ин - тов физ - мат спец / B. А. Оганесян, Ю. М. Колягин, Г. Л. Лукакин. В. С. СаннинскиЙ. М. : Просвещение, 1980. - 368 с.

12. Погорелов, А. В. Геометрия: Учебник для 7 - 11 кл. сред. шк. / А. В. Погорелов. 3-е изд. - М. : Просвещение, 1992. - 383 с.

13. Саранцев, Г. И. Методика обучения математике, Учеб, подобие для студентов мат. спец. пед. вузов / Г.И. Саранцев, М.: Просвещение, 2002. - 224с.

14. Саранцев, Г. И. Методология в обучении математики / Г.И. Саранцев, -Саранск; Красный октябрь. 2001. - 143 с.

15. Саранцев, Г. И. Методика обучения математике на рубеже веков / Г.И. Саранцев // Математика в школе.- 2000. - №7. - С.2-5.

16. Саранцев, Г. И. Упражнения в обучении математике / Г.И. Саранцев. - М. : Просвещение. 1995.-240с.

17. Саранцев, Г. И. Эстетическая мотивация в обучении математике / Г. И. Саранцев. - ПОРАО, Мордов. пед. институт. - Саранск. 2003. - 136 с.

18. Татаркевич, В.И. Античная эстетика / В.И. Татаркевич. - М. 1997.

19. Черник, О. В.Развитие эстетической воспитанности учащихся при обучении математике : дис. канд. пед. наук / Черник Ольга Владимировна. -Киров, 2003. -154 с.