Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе Бенефис одной задачи

Это не совсем обычный урок, а урок - бенефис одной задачи. Это урок на котором рассматривается несколько способов решения задачи. Представленный урок -бенефис – это урок - отчет о самостоятельных домашних исследованиях. На этом уроке рассматривается 6 способов решения одной задачи, которая была предложена учащимся для обдумывания неделю назад. Целью данного урока является: рассмотрение различных способов решения одной задачи; развитие творчества, логического мышления, речи, вычислительных навыков и навыков самостоятельной работы; воспитание интереса к математике, расширение кругозора.
Раздел Математика
Класс 11 класс
Тип Конспекты
Автор
Дата
Формат docx
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Урок «Бенефис одной задачи»

11 класс

Учитель математики высшей категории

МОУ «СОШ № 12» г. Щекино Тульской области

ТИМОФЕЕВА Галина Александровна

Цели: - рассмотреть различные способы решения одной задачи;

- развитие творчества, логического мышления, речи, вычислительных навыков и навыков самостоятельной работы;

- воспитание интереса к математике, расширение кругозора.

Ход занятия.

  1. Организационный момент.

  2. Решение задачи.

  3. Подведение итогов занятия. Задание на дом.

Оборудование.

  1. мультимедийный проектор, компьютер;

  2. плакат с высказываниями о математике;

  3. экран.

Организационный момент.

- Здравствуйте, садитесь!

- Сегодня у нас не совсем обычный урок, а урок - бенефис - бенефис одной задачи. Одним из требований к уроку бенефису является возможность увидеть несколько способов решения задачи.

Урок -бенефис - это урок - отчет о самостоятельных домашних исследованиях.

И сегодня мы рассмотрим 6 способов решения одной задачи, которая была вам представлена для обдумывания неделю назад.

Решение задачи.

Познакомит нас с «героиней» сегодняшнего занятия -

ЗАДАЧА. На графике функции у = |3х - 2| найдите точку, ближайшую к точке А(3;0).

Решение.

ООФ: хУрок по алгебре и началам анализа в 11 классе Бенефис одной задачиУрок по алгебре и началам анализа в 11 классе Бенефис одной задачи

ОЗФ: уУрок по алгебре и началам анализа в 11 классе Бенефис одной задачиУрок по алгебре и началам анализа в 11 классе Бенефис одной задачи

Зададим данную функцию в виде двух аналитических выражений:

у = |3х - 2| = Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе Бенефис одной задачи

Построим график данной функции.

х

Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе Бенефис одной задачи

2

у

0

4

у = 3х - 2, хУрок по алгебре и началам анализа в 11 классе Бенефис одной задачи

х

0

-2

у

2

8

у = 2 - 3х, хУрок по алгебре и началам анализа в 11 классе Бенефис одной задачи

Наша задача сводится к нахождению расстояния АК, где АК Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе Бенефис одной задачи l1.

Это можно сделать несколькими способами, а именно:

1. используя подобие треугольников;

2. теорему Пифагора;

3. через угловые коэффициенты и взаимное расположение прямых на плоскости;

4. координатный способ;

5. с помощью производной;

6. используя формулу нахождения расстояния от точки до прямой.

1 способ. (на доске)

По графику функции видно, что Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе Бенефис одной задачи

Рассмотрим треугольник АКС. По теореме Пифагора имеем: АС2 = СК2 + АК2.

Выразим через х и у СК и АК.

СК = Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе Бенефис одной задачи ; АК = Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе Бенефис одной задачи .

Заметим, что АС = АО - ОС = 3 - Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе Бенефис одной задачи

Поэтому имеет место система Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе Бенефис одной задачи

Воспользовавшись подстановкой у = 3х - 2, составляем уравнение 30х2 - 47х + 18 = 0.

Решив его, получаем: х1 =0,9 и х2 = Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе Бенефис одной задачи

х2 - не удовлетворяет области допустимых значений. Поэтому у = 3 ·0,9 - 2 = 0,7.

Ответ: К(0,9; 0,7).

2 способ. (через проектор)

Проведем АЕ Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе Бенефис одной задачи ОА, точка Е(3; 7). Получим ∆ САЕ ~ ∆ АКС.

Из ∆ САЕ получим: СЕ = Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе Бенефис одной задачи .

Отсюда S∆ САЕ =Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе Бенефис одной задачиАС· АЕ =Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе Бенефис одной задачи.

Но S∆ САЕ =Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе Бенефис одной задачиАК· СЕ, значит, АК = Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе Бенефис одной задачи .

А теперь выразим расстояние между двумя точками А и К через их координаты:

АК = Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе Бенефис одной задачи .

Составим и решим систему уравнений: Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе Бенефис одной задачи

Получим: х=0,9; у=0,7.

Ответ: К(0,9; 0,7).

3 способ (на доске)

При хУрок по алгебре и началам анализа в 11 классе Бенефис одной задачи функция у = |3х - 2| имеет вид: у = 3х - 2, а ее графиком является прямая l1.

Угловой коэффициент k прямой l1 равен 3. так как АК Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе Бенефис одной задачи l1, то угловой коэффициент k1 прямой АК связан с коэффициентом k соотношением k1 = - Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе Бенефис одной задачи , т.е. k1 = -Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе Бенефис одной задачи.

Тогда уравнение прямой АК имеет вид: у = - Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе Бенефис одной задачи (х - 3).

Точка пересечения прямых АК и l1 определяется системой: Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе Бенефис одной задачи

Решение этой системы дает точку К(0,9; 0,7).

Ответ: К(0,9; 0,7).

4 способ (через проектор)

Выразим длину отрезка АК через х и у.

АК = Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе Бенефис одной задачи .

По условию у = 3х - 2, поэтому имеем равенство: АК = Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе Бенефис одной задачи .

По условию задачи расстояние АК - кратчайшее. Оно достигается когда (х-0,9)2=0, т.е. при х = 0,9. тогда у=3·0,9 - 2 = 0,7.

Ответ: К(0,9; 0,7).

5 способ (на доске)

В этом способе воспользуемся формулой для нахождения расстояния от точки до прямой: от А(хо; уо) до прямой ах+bу +с=0 по формуле d = Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе Бенефис одной задачи .

Найдем расстояние от точки А(3,0) до прямой у= 3х -2 или 3х -у -2 =0.

d = Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе Бенефис одной задачи .

АК = Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе Бенефис одной задачи и у= 3х -2.

Тогда Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе Бенефис одной задачи ;

Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе Бенефис одной задачи;

Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе Бенефис одной задачи;

Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе Бенефис одной задачи;

Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе Бенефис одной задачи;

(10х -9) = 0;

10х-9 =0;

х = 0,9;

у = 0,7.

Ответ: К(0,9; 0,7).

6 способ (через проектор)

Выразим через х расстояние от точки А до точки К.

АК = Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе Бенефис одной задачи ,где Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе Бенефис одной задачи

Обозначим f(x)= Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе Бенефис одной задачи и найдем f'(x)=20x -18.

f '(x)= 0 20x - 18 = 0;

20x =18;

x =0,9, заметим, что 0,9Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе Бенефис одной задачи(Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе Бенефис одной задачи.

Кроме того f '(0,7)<0 и f '(1)>0,следовательно, функция f(x) достигает минимума в точке х=0,9.

Найдем значение функции f(x) на границах интервала (Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе Бенефис одной задачи и при х = 0,9.

Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе Бенефис одной задачи; f(3)=49; f(0,9)=4,9.

Сравнив эти значения, мы убедились, что f(x) принимает наименьшее значение при х=0,9.

Тогда у= 0,7.

Ответ: К(0,9; 0,7).

Подведение итогов.

Итак, сегодня на уроке мы рассмотрели шесть способов решения одной задачи, а именно:

1. используя подобие треугольников;

2. теорему Пифагора;

3. через угловые коэффициенты и взаимное расположение прямых на плоскости;

4. координатный способ;

5. с помощью производной;

6. используя формулу нахождения расстояния от точки до прямой.

Какой способ решения вам понравился? Почему?

Домашнее задание: найдите задачу с несколькими способами решения.

© 2010-2022