Решите неравенство:

1. 2^х  4;

2. ^х  9;

3. ^х  2^х ;

4. 8  2^2х - 6  2^х + 1  0;

5. 6^х-1 + 6^х - 6^х+1  -29;

Решите неравенство:

1. 2^х  ;

2. ^х  81;

3. 3^х  ^х 27;

4. ^2х + 4  ^х  -5;

4^2х -16  4^х  0

Практическая работа №5. « Преобразование логарифмических выражений»

1. При логарифмировании выражений необходимо подставить знак логарифма в правой и левой части выражения и произвести необходимые преобразования.

2. Для решения уравнения следует применять определение логарифма или переход от степени к логарифму.

Вычислите:

1. log ₂32 - log ₃ - log _32;

2. lg 8 + lg 12,5;

3. log ₅ 64 : log ₅4

Найдите х, если:

log ₃ x = 2 log ₃ 7 + log ₃ 27-log₃16

Вычислите:

1. log ₃27 + log ₂ - log ₁₅

2. lg 2 + lg 5;

3. log ₃ 32 : log ₃2

Найдите х, если:

log ₂ x = 2log ₂ 5 - log ₂ 8 + log ₂ 0,2;

Практическая работа №6.

Решение задач по теме: «Действия с логарифмами».

Задание.

Вариант1.

1. Решите уравнения:

1. log ₉ x = ;

2. log _x 36 = 2;

3. log ₂ (3x+1) = 3;

4. log _0,5 (x² - 1) = -3;

2. Решите неравенство:

   1. lg x  -1

   2. log ₂ (4x - 1) < 4

Вариант2.

1. Решите уравнения:

1. log ₉ x =;

2. log _x 125 = 3;

3. log _0,5 (3 - 4x) = -3;

4. log _0,25 (4 - x²) = -;

2.Решите неравенство:

3. log _0,5 x  -1

4. log ₂₅ (9 - x) >-;

Тема 4. Прямые и плоскости в пространстве.

Цель: отработка навыка решения задач по теме.

Практическая работа №1. «Перпендикулярность прямой и плоскости».

1. Длина стороны ромба ABCD равна 5 см, длина диагонали BD равна 6 см. Через точку О пересечения диагоналей ромба проведена прямая ОК, перпендикулярная его плоскости. Найдите расстояние от точки К до вершин ромба, если ОК = 8 см.

Дано: ABCD - ромб. АВ = 5 см. BD = 6 см. OK ⊥ (ABC), OK = 8 см (рис. 1).

Найти: КА, КВ, КС, KD.

Ответ:

2.Длины сторон прямоугольника равны 8 и 6 см. Через точку О пересечения его диагоналей проведена прямая ОК, перпендикулярная его плоскости. Найдите расстояние от точки К до вершин прямоугольника, если ОК = 12 см.

Дано: ABCD - прямоугольник; АВ = DC = 6 см; AD = ВС = 8 см. AC ∩ BD = 0;OK ⊥ ABCD; ОК = 12 см (рис. 3).

Найти: КА, КВ, КС, KD. (Ответ: КА = КВ = КС = КР = 13 см.)

Практическая работа №2,3 : «Угол между прямой и плоскостью»,

«Двугранный угол».

1.Длина катета прямоугольного равнобедренного треугольника равна 4 см. Плоскость α, проходящая через катет, образует с плоскостью треугольника угол, величина которого равна 30°. Найдите длину проекции гипотенузы на плоскость α.

Дано: (рис. 2).

Найти: КВ.

1.Решение: - свойство диагоналей ромба. KB1, KC1, KA1, KD - наклонные к плоскости (ABCD) из одной точки. КА = КС, КВ = KD.

1) Из ΔКОВ: ∠O = 90°; КО = 8 см, ВО = OD = 3 см. По теореме Пифагора

2) Из ΔВОА: ∠O = 90°; ОВ = 3 см, АВ = 5 см. По теореме Пифагора Из ΔКОА: ∠O = 90°. По теореме Пифагора (Ответ: )

2.Длины сторон треугольника ABC соответственно равны: ВС = 15 см, АВ = 13 см, АС = 4 см. Через сторону АС проведена плоскость а, составляющая с плоскостью данного треугольника угол 30°. Найдите расстояние от вершины В до плоскости α.

Дано: ΔАВС. ВС = 15 см, АВ = 13 см, АС = 4 cm. АС ⊂ α. ∠BACK = 30°. BK ⊥ α(рис. 4).

Найти: ВК.

Решение: BACK - двугранный угол. АС - ребро двугранного угла. ∠BMK - линейный угол двугранного угла. ∠BMK = 30°.

Из ΔВКМ: ∠K = 90°; ∠M = 30°. Катет, лежащий против угла 30°, равен 1/2 гипотенузы, то есть ВК = 1/2ВМ = 6. (Ответ: 6 см.)

Практическая работа №4. «Перпендикулярность двух плоскостей».

Практическая работа №5,6«Параллельное проектирование»,

«Прямые и плоскости в пространстве».

Тема 5. Элементы комбинаторики

Цель: закрепление навыка по решению простейших комбинаторных задач.

Практическая работа №1. «Решение задач на перебор вариантов»

1. Для каждого из описанных событий определите, каким оно является: невозможным, достоверным или случайным:

1) завтра будет хорошая погода;

2) в январе в городе пойдет снег;

3) в 12 часов в городе идет дождь, а через 24 часа будет светить солнце;

4) на день рождения вам подарят говорящего крокодила;

5) круглая отличница получит двойку;

6) камень, брошенный в воду утонет.

2. Определите моду, среднее арифметическое и размах ряда: 5, 6, 11, 11, - 1.

3. Какова вероятность того, что задуманное двузначное число делится на 3 или делится на 2? Определите вид события.

а) сложение событий;

б) произведение событий.

4. Вычислите.

5. На стол бросают два игральных тетраэдра (серый и белый), на гранях каждого из которых точками обозначены числа от 1 до 4. Сколько различных пар чисел может появиться на гранях этих тетраэдров, соприкасающихся с поверхностью стола?

6. Из 10 первых натуральных чисел случайно выбираются 2 числа. Вычислите вероятности

следующих событий:

а) одно из выбранных чисел - двойка; б) оба числа нечетные.

Практическая работа № 2 «Решение задач по формуле бинома Ньютона»

1.В урне 6 белых и 4 черных шара. Из этой урны наудачу извлекли 5 шаров. Какова вероятность того, что 2 из них белые, а 3 черные?

2. На каждой карточке написана одна из букв р, с, т, у, л, х. Четыре карточки наугад выкладывают одну за другой в ряд. Какова вероятность, что при выкладывании получится слово «стул»?

Тема 6. Координаты и векторы.

Практическая работа №1,2. «Решение задач на нахождение расстояния между двумя точками. Проекция вектора на ось»

Цель: развитие навыка нахождения расстояний между точками.

I вариант

1. Даны векторы {2; - 4; 3} и {-3; 1/2; 1}. Найдите координаты вектора .

2. Даны векторы {1; -2; 0}, {3; -6; 0} и {0; - 3; 4}. Найдите координаты вектора

.

3. Найдите значения m,при которых векторы {6; n;1}, {m; 16; 2} коллинеарны.

II вариант

1. Даны векторы {1; -3; -1} и {-1; 2; 0}. Найдите координаты вектора .

2. Даны векторы {2; 4; -6}, {- 3; 1; 0} и {3; 0; - 1}. Найдите координаты вектора

.

3. Найдите значения т и п, при которых векторы {- 4; т; 2} и {m; - 6; 2} коллинеарны.

Практическая работа №3. Решение задач по теме: «Координаты и векторы».

Вариант 1.

1. Даны векторы 3; -2; 6), (24; 43; 0) и (.

Найдите координаты векторов: а) ; б) +; в) +; г) ++; в) -

2. Даны точки А(5: -6: -9), В(2;0;0), С(-3;7;8), D(0; 5;-10) и F(0,5; 2; -1). Найдите координаты векторов если точа О - начло координат.

3. Найдите координаты векторов и , ели точки заданы координатами А(3;-2;3), В(1; 5/6; 6/3) и С(1/2; 1/3; 1/4).

Вариант 2.

1. Даны векторы 3; -2; 16), (26; 43; 10) и (.

Найдите координаты векторов: а) ; б) +; в) +; г) ++; в) -

2. Даны точки А(0: -6: -9), В(12;0,5; 0,5), С(-4;5;3), D(0; 5;-10) и F(1,5; 2; -1). Найдите координаты векторов если точа О (0;0;1).

3. Найдите координаты векторов и , ели точки заданы координатами А(3;-2, 1;3,5), В(1; 5/3; 6/3) и С(1/2; 1/3; 1/4).

Тема 7.Основы тригонометрии.

Цель: закрепить умения использовать тригонометрические функции при решении уравнений, неравенств и построении графиков.

Практическая работа №1. Решение задач по теме: «Синус, косинус, тангенс и котангенс числа».

I вариант.

1. Выразите в градусной мере величину угла: .

2. Выразите величину угла в радианах: .

3. Найдите знак произведения, используя правило знаков по четвертям: .

4. Вычислите значение выражения:.

5. Найдите значение функции , если и .

II вариант.

1. Выразите в градусной мере величину угла: .

2. Выразите величину угла в радианах: .

3. Найдите знак произведения, используя правило знаков по четвертям: .

4. Вычислите значение выражения: .

5. Найдите значение функции , если и .

Практическая работа №2. Решение задач на применение формул.

1.Вычислить:

А) а) arcsin1

b) arccos1 b) arccos

c) arctg c) arcctg(- )

D) ARCCOS (- ) - ARCSIN (- 1) D) ARCCOS (- )

2.Решите простейшие тригонометрические уравнения, пользуясь общими формулами:

А) sin x=- a) sin x=-

b) cos x= b) cos x=

c) cos x= - c)sin x= -

3.Решите простейшие тригонометрические уравнения, пользуясь формулами для частных случаев.

a) cos x=0 a) cos x= - 1

b) sin x=1 b)sin x=0

Практическая работа №3,4 «Тригонометрические преобразования».

Цель: 1.закрепить навыки преобразования тригонометрических выражений;

2.закрепить навыки применения формул тригонометрии к решению задач.

Ход работы

1. ответить на вопросы:

1. Запишите формулу основного тригонометрического тождества и его следствие.

2. Чему равен синус двойного угла?

3. Как определить ?

4. Заполните пропуски:

5. Построить графики функций:

I вар. II вар. III вар.

2. решить задачи.

3. Сформулировать вывод ( в выводе указать принципы тригонометрических преобразований).

Методические рекомендации

1. При решении задачи следует четко определить формулу тригонометрии, которую необходимо применить.

2. При вычислении тригонометрической функции угла следует учитывать что: , т.е. значения косинуса и синуса угла ограничены промежутком , значение тангенса и котангенса не ограничены.

3. При вычислении тригонометрической функции необходимо учитывать четверть, в которой находится угол.

4. При решении задачи на вычислении значения функции угла следует помнить, что период функции необходимо исключить период функции и привести оставшейся угол к острому.

5. Например:

6. ,

7. 

8. Для перехода от градусной мере к радианной применяют формулы:

Задание к практической работе

Вариант I

1. Вычислите значения остальных тригонометрических функций, если известно значение:

2. Упростите выражение:

3. Выразить в радианах углы:

4. Привести к тригонометрической функции острого угла:

5. Упростите выражение:

6. Найдите значение выражения:

а) , б) ,

в) , если

7. Упростите выражение: а) , б) , в)*

8. Найдите: , , если

9. Представить в виде произведения: а) ; б)

10. Найдите , , , если ,

Вариант II

1. Вычислите остальные тригонометрические функции, если известно:

,

2. Упростить выражение:

3. Выразите в радианах углы:

4. Приведите к тригонометрической функции острого угла: ,

5. Упростите выражение:

6. Найдите значение выражения: а) ,

б) , в) , если ,

7. Упростите выражение:а) б) , ^*в)

8. Найдите: если

9. Представьте в виде произведения: а) , б)

10. Найдите: , если

Практическая работа №5 Решение тригонометрических уравнений.

Цель1) закрепить навыки преобразования тригонометрических уравнений;

2) закрепить навыки применения формул тригонометрии к решению задач

Ход работы

1. ответить на вопросы:

1. Что называется арксинусом числа а?

2. Какие тригонометрические уравнения не имеют решений?

3. Перечислите частные случаи уравнения .

4. Запишите общую формулу корней уравнения .

5. Изобразите график функции .

II. решить уравнения.

III. Составить вывод( в выводе указать основные этапы решения тригонометрического уравнения).

Методические рекомендации

1. Коэффициент перед неизвестной функцией или аргументам должен быть равен единице.

2. поэтому уравнения вида где решений не имеют.

3. При решении уравнения следует выбирать общий или частный случай.

4. В уравнениях, приводимых к квадратным должна содержаться функция в квадрате, в первой степени и свободный коэффициент. Такие уравнения должны содержать синус (косинус, тангенс или котангенс). Поэтому применяют замены:

5. При решении однородных тригонометрических уравнений применяют замены:

Задание к практической работе

Вариант 1. Вариант 2 .

1. sin x =1 1. cos x = 1

2. cos x = -1 2. sin x = -1

3. cos x = 0 3. sin x = 0

4. 2sin(-x) = 0 4. 5cos(-x) = 0

5. 3ctg (-x) = 0 5. 2tg(-x) = 0

6.2cos x = 1 6. 2sin x = 1

7.2sin x = 7. 2cos x =

8.3tg x = 8. 2tg x = 2

9.2cos x = - 9. 2sin x = -

10.2sin x = - 1 10. 2cos x = - 1

Практическая работа №6 Решение тригонометрических неравенств.

Алгоритм решения тригонометрических неравенств

с помощью единичной окружности.

1) На оси ординат (абсцисс) отметить точку a и провести прямую y = a

(x = a), перпендикулярную соответствующей оси.

2) Отметить на окружности дугу, состоящую из точек окружности, удовлетворяющих данному неравенству (эти точки расположены по одну сторону от построенной прямой).

3) Записать числовой промежуток, точки которого заполняют отмеченную дугу, и к обеим частям неравенства прибавить период функции ( для y = sin x и y = cos x ).

Решение простейших неравенств вида sin x>a, sin xa, sin xa, sin x<a

Пример 1. Решите неравенство sin x>

На единичной окружности проводим прямую y = , которая пересекает окружность в точках A и B.

Все значения y на промежутке NM больше , все точки дуги AMB удовлетворяют данному неравенству. При всех углах поворота, больших , но меньших , sin x будет принимать значения больше (но не больше единицы).

Таким образом, решением неравенства будут все значения на интервале , т.е. <x<. Для того, чтобы получить все решения данного неравенства, достаточно к концам этого промежутка прибавить 2, , т.е. + 2<x< + 2, . Заметим, что значения x= и являются корнями уравнения sin,

т.е. =arcsin; .

Ответ:, .

В общем виде:

Ответ: ,.

Пример 2 . Решите неравенство

Все значения y на промежутке MN меньше , но не меньше (-1). Неравенство имеет решение или , отличающееся от предыдущего на минус один период, т.е. , причем . Обобщая, решение неравенства запишем: , .

Ответ: , .

Практическая работа №7«Тригонометрические функции и их графики».

Функция Y= sin X.

График - синусоида.

Свойства функции:

1. область определения:R.

2. область значения:

3. чётность, нечётность: функция нечётная.

4. период: 2

5. нули: sin x = 0 при x=n , где n Z

6. промежутки знакопостоянства:
   

7. экстремумы:
   

8. промежутки монотонности:
   функция возрастает при
   функция убывает при .

Функция Y = cos X.

График косинусоида

Свойства функции:

1. область определения:R.

2. область значения:

3. чётность, нечётность: функция чётная.

4. период: 2

5. нули: y=0 при

6. промежутки знакопостоянства:
   

7. экстремумы:
   

8. промежутки монотонности:
   функция возрастает при
   функция убывает при

Графики функций y = sin x и y = cos x получаются друг из друга с помощью параллельных переносов вдоль оси оХ на /2 :
.

Функция Y= tg X .

График тангенсоида.

Свойства функции:

1. область определения: объединение интервалов
   

2. область значения: R

3. чётность, нечётность: функция нечётная.

4. период:

5. нули: у = 0 при x = n, где n Z

6. промежутки знакопостоянства:
   

7. экстремумов нет

8. промежутки монотонности: функция возрастает на каждом интервале области определения

асимптоты:

Практическая работа №8. Решение тригонометрических уравнений и систем уравнений.

1. 1.

2. 2cos x + 1 = 0 2.

3. tg 2x = - 1 3.

4. 4.

5. 5.

Практическая работа №9: «Основы тригонометрии»

Формулы приведения для тригонометрических функций

Формулы приведения - это формулы, позволяющие упростить сложные выражения тригонометрической функции.

Выражения типа π + t, 3π/2 - t, π/2 + t и т.п. можно упростить настолько, что они будут состоять лишь из одного аргумента t. В предыдущих разделах мы имели дело с несколькими такими упрощениями - например, sin (π + t) = -sin t.

Формул приведения очень много. Запомнить их трудно - но самое главное, в этом нет необходимости. Достаточно запомнить одно-единственное правило - и вы легко сможете самостоятельно выводить формулы и упрощать выражения.

Правило приведения:

Для выражений
π + t, π - t, 2π + t, 2π - t

Для выражений
π/2 + t, π/2 - t, 3π/2 + t, 3π/2 - t

1) В приведенном выражении следует сохранить тригонометрическую функцию преобразуемого выражения.

2) Перед полученной функцией следует поставить тот знак, который имела бы преобразуемая функция при условии, что 0 < t < π/2.

1) В приведенном выражении следует изменить тригонометрическую функцию преобразуемого выражения на противоположную.

2) Перед полученной функцией следует поставить тот знак, который имела бы преобразуемая функция при условии, что 0 < t < π/2.

Обратите внимание: в левом и правом столбцах различаются только первые пункты правила. Вторые пункты абсолютно идентичны.

Пример 1: Надо преобразовать выражение cos (π + t).

Решение.

Следуем правилу:

1) Выражение не имеет дроби - значит, применяем левое правило. То есть функция после приведения остается прежней:

cos (π + t) = cos t.

2) Осталось определиться со знаком полученной функции.
Если предположить, что аргумент t больше нуля и меньше π/2, то π + t - это аргумент третьей четверти (то есть отмерили полукруг от точки А, а потом еще прошли дугу t длиной меньше π/2 и оказались в третьей четверти). А в третьей четверти косинус имеет знак минус. Значит, после преобразования наша функция обрела следующий тождественный вид:

cos (π + t) = -cos t.

Пример решен.

Пример 2: Надо преобразовать выражение sin (3π/2 - t).

Решение.

Следуем правилу:

1) Выражение имеет дробь - поэтому применяем правое правило. То есть функция меняется на обратную:

sin (3π/2 - t) = cos t

2) Теперь выясним, с каким знаком должно быть наше приведенное выражение. Снова предположим, что 0 < t < π/2. Тогда аргумент 3π/2 - t находится в третьей четверти. А в третьей четверти преобразуемая функция синус имеет знак минус. Значит, наше новое тождественное выражение тоже со знаком минус:

sin (3π/2 - t) = -cos t.

Пример решен.

Следуя этому правилу, можно составить другие формулы приведения.

Формулы приведения.

cos (π + t) = -cos t

sin (π + t) = -sin t

tg (π + t) = tg t

ctg (π + t) = ctg t

cos (π - t) = -cos t

sin (π - t) = sin t

tg (π - t) = -tg t

ctg (π - t) = -ctg t

cos (2π + t) = cos t

sin (2π + t) = sin t

tg (2π + t) = tg t

ctg (2π + t) = ctg t

cos (2π - t) = cos t

sin (2π - t) = -sin t

tg (2π - t) = -tg t

ctg (2π - t) = -ctg t

cos (π/2 + t) = -sin t

sin (π/2 + t) = cos t

tg (π/2 + t) = -ctg t

ctg (π/2 + t) = -tg t

cos (π/2 - t) = sin t

sin (π/2 - t) = cos t

tg (π/2 - t) = ctg t

ctg (π/2 - t) = tg t

cos (3π/2 + t) = sin t

sin (3π/2 + t) = -cos t

tg (3π/2 + t) = -ctg t

ctg (3π/2 + t) = -tg t

cos (3π/2 - t) = -sin t

sin (3π/2 - t) = -cos t

tg (3π/2 - t) = ctg t

ctg (3π/2 - t) = tg t

Примечание:

Часто встречаются более сложные выражения, но они не меняют правила.
Например, если cos (2π + t) = cos t, то cos (2π + 3t) = cos 3t.

2курс. Тема 8.Функции, их свойства и графики.

Практическая работа №1. «Основные свойства функции».

Цель: закрепить умения исследования, построения и описания графиков функции.

Ход работы

1. ответить на вопросы по вариантам.

2. решить задачи

   3. Составить вывод по работе.( в выводе указать свойства функций, применяемые при решении задач)

Методические рекомендации

1. При решении задач на исследования ООФ следует учитывать дробные и рациональные выражения знаменатель дроби не должен быть равен нулю, подкоренное выражение арифметического корня четной степени не отрицательно.

2. При исследовании функции на четность (нечетность) следует помнить, что функция общего вида не меняет и не сохраняет знак.

3. Y_max - это самое большое из всех значений функции (наибольшее значение функции)

Y_min - самое меньшее (наименьшее значение функции)

4. Монотонность функции следует определять по графику слева на право.

5. при построении графика функции следует применять свойства соответствия - каждому x должно соответствовать только одно y.

Задание к практической работе №1

Вариант I

1. Дайте определение функции и приведите примеры функциональных зависимостей.

2. Перечислите способы задания функций и приведите примеры.

3. Какая функция называется монотонной?

4. Закончите предложение. Областью определения функции называется ___________ _______________________

5. Какие виды промежутков вы знаете. Приведите примеры.

6. Что представляет собой множество значений функции?

7. Функция называется четной, если __________________________________________

8. Запишите условие нечетной функции. ______________________________________

9. Какая функция называется возрастающей? Приведите примеры.

10. Изобразите график линейной функции.

Решите задачи.

1. Найти область определения следующей функции:

а) б) *в)

*г) *д)

2. Исследуйте функцию на четность (нечетность):

а) б) *в)

г)

3. Функция задана условием:

X

1

4

-1

5

6

7

8

0

-2

-3

-4

Y

5

0

4

2

1

0

4

5

3

4

0

Найти: Наибольшее и наименьшее значение на промежутке [-1;8]

Построить график.

4. Решите графически уравнение:

а) б)

5. Постройте график функций:

а) *б) *в)

г)

Задание к практической работе №1

Вариант II

1. Что называется функцией? Приведите примеры.

2. Закончите предложение. Все действительные значения аргумента. При которых функция имеет смысл называться ________________________

3. Запишите условия четности функции.

4. Что называется постоянством знака функции?

5. Изобразите график квадратичной функции.

6. Какая функция называется убывающей? Приведите примеры.

7. Графиком функции называется ___________________________________

8. Что называется аргументом функции?

9. Какое значение функции называется наибольшим/наименьшим?

10. Как найти область определения дробной функции?

Решите задачи.

1. Укажите промежутки возрастания и убывания функции:

а) б) *в)

*г)

2. Функция задана условием:

если

если

Найти ; ; ;

Построить график.

3. Решите графически уравнение:

4. Найдите область определения уравнения следующих функций:

а) б) в)

г) д)

5. Построить график функций:

а) б) *в)

*г)

Тема 9.Многогранники.

Практическая работа № 1.

« Призма» Цели: закрепление понятий: прямоугольный параллелепипед, линейные размеры, диагональ, площадь боковой и полной поверхности призмы; содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям.

Оборудование: модели прямоугольного параллелепипеда, призм, линейки, карандаши, калькулятор.

Методические указания

Призма - многогранник, две грани которого являются многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани - параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками.

Виды призм.

• Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом.

• Прямая призма - это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Другие призмы называются наклонными.

• Правильная призма - это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. Боковые грани правильной призмы - равные прямоугольники.

прямая призма наклонная призма

Свойства призмы:

• Основания призмы являются равными многоугольниками.

• Боковые грани призмы являются параллелограммами.

• Боковые ребра призмы параллельны и равны.

Площадь боковой поверхности прямой призмы: S_б.п. = P•H, где P - периметр основания призмы (сумма всех сторон основания), H - высота призмы.

Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади её боковой поверхности и удвоенной площади основания: S_п.п. = P•H + 2• S_осн

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его линейных размеров: d² = a² +b² +c²

Использование призм: в строительстве, в быту, в технике, в медицине (лечение косоглазия)

Задание к практической работе: по данным вам моделям найти площадь боковой, полной поверхности,.

Пример: Найти площадь боковой, полной поверхности призмы.

Ход работы

1.Для нахождения площади боковой поверхности призмы нужно измерить линейкой следующие элементы призмы: стороны основания, высоту. Подставить значения в формулу для нахождения площади (если призма прямая)

2. Для нахождения площади полной поверхности призмы нужно найти площадь основания призмы (площадь треугольника, прямоугольника, ромба)

Площадь полной поверхности призмы находиться как сумма площадей боковой поверхности и двух оснований.

Оформление работы:

Дано: АВСС₁В₁А₁ треугольная призма, прямая, правильная

АВ=ВС=АС = 5 см, Н = 10 см

Найти: S_б.п., S_п.п.

Решение: S_б.п. = P•H

Р=5+5+5=15, Н=10

S_б.п.= 15•10 = 150 (см²)

Фо́рмула Герона позволяет вычислить площадь треугольника (S) по его сторонам a, в, c:

S_осн =

где p - полупериметр треугольника: р = (а+в+с):2

р= 15:2 =7,5 S_п.п. = P•H +2• S_осн, = 150 + 2•7,7 = 164,4 (см²)

Ответ: S_б.п.= 150см²; S_п.п.=164,4см²

3. Выполняют задания для самостоятельной работы (тесты, состоящие из двух вопросов и двух задач).

Задания для самостоятельной работы:

Вариант 1

1. Сколько ребер у шестиугольной призмы?

Ответ: а)18, б)24, в)12.

2.Выберите верное утверждение.

а) призма называется правильной, если ее основания - правильные многоугольники;

б) у треугольной призмы две диагонали;

в) высота призмы равна ее боковому ребру;

3.Задача. Найдите длину диагонали прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны 2м, 3м, 5м.

4. Задача. Коллекционер заказал аквариум, имеющий форму правильной четырехугольной призмы. Сколько квадратных метров стекла необходимо для изготовления аквариума, если сторона основания 70 см, а высота 60 см?

Вариант 2

1.Сколько граней у шестиугольной призмы?

Ответ: а)6, б)8, в)10

2. Выберите верное утверждение.

а) площадь полной поверхности призмы называется сумма площадей ее боковых граней и основания;

б) у треугольной призмы нет диагоналей;

в) высота прямой призмы равна ее боковому ребру;

3.Задача. Найдите длину диагонали прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны 3см, 4см, 5см.

4. Задача Необходимо изготовить короб с крышкой для хранения картофеля в форме прямой призмы высотой 0,7 м. В основании призмы лежит прямоугольник со сторонами 0,4 м и 0,6 м. Сколько фанеры понадобиться для изготовления короба?

Вариант 3

1.Сколько граней у четырехугольной призмы?

Ответ: а)6, б)8, в)10

2. Выберите верное утверждение.

а) У n - угольной призмы 2 n ребер;

б) площадь полной поверхности призмы называется сумма площадей ее боковых граней;

в) у треугольной призмы три диагонали;

3.Задача. Сколько необходимо купить листов 8 - волнового шифера размером 1750*1130 мм на покрытие крыши здания длиной 10 м. Фронтон имеет форму равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой 10 м и катетом 7 м.

4. Задача. Нужно оклеить обоями комнату, длина которой 6м, ширина 4м, высота 3м, площадь окон и дверей составляет 1/5 всей площади стен. Сколько нужно рулонов обоев для оклейки комнаты, если длина рулона 12 м, а ширина 50 см?

Практическая работа № 2.

«Сечение призмы» Цели: закрепление умений построения простейших сечений.

Оборудование: линейки, карандаши.

Задание к практической работе :постройте сечение 6-ти угольной призмы по данному чертежу.

Вариант 1.

Вариант 2.

Оформление работы:

Практическая работа № 3.

«Пирамида»

Цели: закрепление понятий: пирамида, площадь боковой и полной поверхности пирамиды; воспитание познавательной активности, показать возможность применения пирамиды в различных областях.

Оборудование: модели пирамид, таблица с формулами S_б.п., S_п.п., линейки, карандаши, калькулятор.

Методические указания.

Пирамида - многогранник, основание которого - многоугольник, а остальные грани - треугольники, имеющие общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и т. д.

Элементы пирамиды.

DN - высота пирамиды

DВ, DС, DА - боковые ребра - общие стороны боковых граней;

DВА, DАС, DВС - боковые грани - треугольники, сходящиеся в вершине пирамиды

DК, DL - апофема - высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины [ℓ]; DN- высота пирамиды.

Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Тогда она обладает такими свойствами:

• боковые ребра правильной пирамиды равны;

• в правильной пирамиде все боковые грани - равные равнобедренные треугольники;

• в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать около неё сферу;

Прямоугольная пирамида

Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В данном случае, это ребро и является высотой пирамиды.

Усечённая пирамида

Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.

Боковая поверхность - это сумма площадей боковых граней.

Для нахождения боковой поверхности в правильной пирамиде можно использовать формулу:

S_бок = , где Р - периметр основания, ℓ - апофема.

Полная поверхность - это сумма площади боковой поверхности и площади основания.

Для нахождения полной поверхности в правильной пирамиде можно использовать формулу:

S_п.п. = +S_осн.

Задание к практической работе: по данным вам моделям найти площадь боковой, полной поверхности. Выполнить тесты.

Пример: Найти площадь боковой, полной поверхности.

Ход работы

1.Для нахождения площади боковой поверхности пирамиды нужно измерить линейкой следующие элементы: апофему, стороны основания, высоту. Подставить значения в формулу для нахождения пощади (если пирамида правильная). Если пирамида наклонная, то боковую поверхность находим из суммы площадей граней.

2. Для нахождения площади полной поверхности пирамиды нужно найти площадь основания пирамиды (площадь треугольника, прямоугольника, ромба)

3. Площадь полной поверхности пирамиды находиться как сумма площадей боковой поверхности и основания.

Оформление работы:

Дано: SАВСД - пирамида, АВСД -прямоугольник. АВ=3см, ВС= 6см, Н=10см, ℓ₁=10,5см., ℓ₂=10,2см , ℓ- апофема. Найти: S_б.п. S_п.п.

Решение.

т.к. пирамида неправильная, то S_б.п. находят как сумму площадей ее боковых граней, т.е. площадей треугольников. S₁ = 1/2 ·ℓ₁·АВ=1/2·10,5·3=15,75(см²) - это площадь одной грани, а их две одинаковых, т.е

S_1,2 =15,75·2=31,5(см²)

S₃=1/2·ℓ₂·ВС= 1/2·10,2·6=30,6 (см²), S_3,4=2·30,6=61,2(см²)

S_б.п.= 31,5+61,2 =92,7(см²)

S_осн.= АВ·ВС=3·6=18(см²), S_п.п.= S_б.п+ S_осн.= 92,7+18=110,7 (см²)

2. Выполняют тесты, состоящие из трех вопросов и одной задачи.

Задания для самостоятельной работы:

Вариант 1

1. Сколько ребер у шестиугольной пирамиды: а)6; б)12; в)18; г)24;

2. Какое наименьшее число граней может иметь пирамида: а)5; б)4 в)10; г)6

3. Подтвердите или опровергните следующие утверждения: Да ^ нет

а) Многогранник, составленный из n-треугольников, называется пирамидой; б) Пирамида называется правильной, если ее основание - правильный многоугольник; в) Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой;

4.Задача. Крыша башни имеет вид правильной четырехугольной пирамиды, у которой сторона основания равна 12 м, а высота 18 м. Сколько понадобится плиток на покрытие этой крыши, если каждая плитка имеет вид прямоугольника со сторонами 22 см и 18 см.

Вариант 2

1. Сколько граней у шестиугольной пирамиды: а)6; б)7; в)8; г)10;

2. Какое наименьшее число ребер может иметь пирамида: а)6; б)5; в)4; г)7; 3. Подтвердите или опровергните следующие утверждения: Да ^ нет а) Высота пирамиды называется высотой грани; б) Площадь боковой поверхности пирамиды равна произведению периметра основания на высоту; в) Пирамида называется правильной, если ее основание - правильный многоугольник;

4.Задачи. Одно из самых грандиозных сооружений древности - пирамида Хеопса - имеет форму правильной четырехугольной пирамиды с высотой 150 м и боковым ребром 220 м. Найдите площадь боковой поверхности

Вариант 3

1. Сколько ребер у четырехугольной пирамиды: а)6; б)12; в) 8

2. Какое наименьшее число граней может иметь пирамида: а)5; б)4 в)10; г)6

3.Подтвердите или опровергните следующие утверждения: Да ^ нет а)Существует ли четырехугольная пирамида, у которой противоположные боковые грани перпендикулярны к основанию? б)Высота пирамиды, это перпендикуляр, проведённый из вершины к основанию. в)Общая точка боковых граней пирамиды называется вершиной

4.Задача. Крыша имеет форму пирамиды с квадратным основанием 4,5 м х 4,5 м и высотой 4 м. Сколько листов железа размером 70 см х 140 см нужно для покрытия крыши, если на отходы нужно добавить 10% площади крыши?

Тема 10.Тела и поверхности вращения.

Практическая работа № 1. «Цилиндр»

Цели: закрепление понятий: цилиндр, площадь боковой, полной поверхности; способствовать развитию математического мышления, формировать умения анализировать, сравнивать, обобщать.

Оборудование: модели цилиндра, тесты, калькулятор, линейки, карандаши.

Методические указания.

Цилиндр - геометрическое тело, образованное двумя кругами, не лежащими в одной плоскости и совмещаемые параллельным переносом, и всеми отрезками параллельных прямых, соединяющих соответствующие точи этих кругов.

Круги, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями цилиндра, а отрезки, соединяющие соответствующие точки оснований, - образующими цилиндра.

Поверхность, состоящая из образующих, называется боковой поверхностью цилиндра.

Цилиндр прямой круговой может быть получен путем вращения прямоугольника вдоль стороны как оси.

Элементы цилиндра.

R= АD - радиус цилиндра; d - диаметр.

H = АВ - высота;

L =СD - образующая.

S = πR ² - площадь круга. d = 2R.

С - длина окружности. С = 2πR

Виды цилиндров:

прямой наклонный

Сечения цилиндра:

осевое сечение сечение плоскостью

перпендикулярной оси

Площадь боковой поверхности прямого цилиндра вычисляется по его развёртке. Развёртка цилиндра представляет собой прямоугольник с высотой h (H) и длиной равной длине окружности основания 2πR.

Следовательно, площадь боковой поверхности цилиндра равна площади его развёртки и вычисляется по формуле: S_б.п.= 2πR•Н

Площадь полной поверхности находиться как сумма боковой поверхности и двух площадей основания (круга), вычисляется по формуле:

S_п.п.= 2πR•Н+2πR²

Использование цилиндров: в одежде, в быту, в технике: двигатель внутреннего сгорания, на железнодорожном транспорте, на автомобильном транспорте, в архитектуре и строительстве и т.д.

Задание: по данным вам моделям найти площадь боковой поверхности, полной поверхности цилиндра

Ход работы:

1.а) Для нахождения площади боковой поверхности цилиндра нужно измерить линейкой следующие элементы: диаметр, высоту. Подставить значения в формулу для нахождения площади боковой поверхности цилиндра.

б) Для нахождения площади полной поверхности цилиндра нужно найти площадь основания цилиндра (площадь круга π·R²). Подставить данные в формулу площади полной поверхности или найти как сумму площадей боковой поверхности и двух оснований.

Пример: Найти площадь боковой, полной поверхности

Оформление работы:

Дано: цилиндр, Н=12см, R=3см

Найти: S_б.п. S_п.п.

Решение: S_б.п.= 2·π·R·Н = 2·π·3·12=72π(см²)

S_п.п.= 2·π·R·Н+2·π·R² = 72π + 2·π·3² = 72π+18π = =90π (см²)

2.Выполняют тесты, состоящие из одного вопроса и двух задач.

Задания для самостоятельной работы:

1вариант

1.Выберите верное утверждение.

а) Длина образующей цилиндра называется радиусом цилиндра; б) Цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью цилиндра;

с) Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле ;

2.Задача. Сколько понадобится краски, чтобы покрасить бак цилиндрической формы с крышкой, имеющий диаметр основания 1,25 м и высоту 1,44 м, если на один квадратный метр расходуется 0,25 кг краски (найдите с точностью до 0,1 кг)?

3.Задача. 9.Цилиндрический паровой котёл с крышкой имеет диаметр 2 м и длину 10 м. Вычислить полную поверхность котла.

2 вариант.

1.Выберите верное утверждение.

а) Радиус цилиндра не может равняться высоте цилиндра; б) Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле ;

с) Цилиндр может быть получен в результате вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон.

2. Задача. Высота ведра, имеющего форму цилиндра, равна 28 см, диаметр дна 20 см. Вычислить, сколько квадратных дециметров оцинкованного железа пошло на изготовление ведра, если отходы составляют 20 % от всего заготовленного железа.

3.Задача. Развертка боковой поверхности цилиндра - квадрат со стороной 2. Найдите площадь полной поверхности цилиндра с точностью до 0,001.

3 вариант.

1.Выберите верное утверждение.

а) Цилиндр может быть получен в результате вращения треугольника вокруг своей стороны;

б) Длина образующей цилиндра называется диаметром цилиндра;

с) Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению площади основания цилиндра на его высоту.

2.Задача. Сколько квадратных метров жести израсходовано на изготовление 1 млн. консервных банок диаметром 10 см и высотой 5 см (на швы и отходы добавить 10% материала).

3.Задача. Пизанская башня находиться в итальянском городе Пиза. Высота башни составляет 55м. Диаметр основания равен 15 м. Найти площадь боковой и полной поверхности.

Практическая работа №« Конус» Цели: закрепление понятий: конус, площадь полной поверхности конуса, воспитание познавательной активности, показать применение конуса в различных областях, развитие логического мышления.

Оборудование: модели конуса, линейки, карандаши, калькулятор.

Методические указания.

Конусом называется тело, которое состоит из круга - основание конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга - вершины конуса, и всех отрезков, соединяющих

вершину конуса с точками основания.

Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса (ℓ).

Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка), называется высотой конуса (Н).

R - радиус основания.

Круговой конус - конус, основание которого является кругом.

Прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет (эта прямая представляет собой ось конуса)

Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конусом.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса -
S_бок = π ℓ (r ₁+ r₂).

где r₁ - радиус верхнего основания, r₂ - радиус нижнего основания.

Виды конусов:

наклонный прямой

Боковая поверхность конуса можно вычислить по формуле: S_б.п.= πRℓ, где R - радиус основания, ℓ - длина образующей.

Полная поверхность конуса равна сумме площадей боковой поверхности и площади основания: S_п.п. = πRℓ + πR² .

Сечения конуса:

Сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось, называют осевым сечением (сечением является равнобедренный треугольник)

Сечение плоскостью перпендикулярной оси конуса:

(сечением является круг).

Применение конусов.

Знания о конусе широко применяются в быту, производстве и науке. Например, мы используем ведра, имеющие форму усеченного конуса; крыши старинных замков похожи на конусы; для переливания жидкостей мы берем воронку, которая также имеет форму усеченного конуса. Во время спортивных соревнований, ограждения для движения в автошколах применяют спортивные фишки.

Задание: по данным вам моделям найти площадь боковой поверхности, полной поверхности.

Ход работы:

1.а) Для нахождения площади боковой поверхности конуса нужно измерить линейкой следующие элементы: диаметр, высоту. Подставить значения в формулу для нахождения площади боковой поверхности конуса . б) Для нахождения площади полной поверхности конуса нужно найти площадь основания конуса площадь круга π·R²). Подставить данные в формулу площади полной поверхности

Пример: Найти площадь боковой, полной поверхности. Оформление работы:

Дано: конус, Н=10см, R=6см, ℓ= 11,6см

Найти: S_б.п. S_п.п.

Решение: S_б.п.= πRℓ= π•6•11,6 = 69,6π (см²)

S_п.п.= πRℓ + πR² = π•6•11,6 + π•6² = 105,6π (см²)

2. Выполняют тесты, состоящие из одного вопроса и двух задач

Задания для самостоятельной работы:

1 вариант

1. Выберите верное утверждение:

а) конус может быть получен в результате вращения равностороннего треугольника вокруг его стороны;

б) прямая, проходящая через вершину конуса и центр его основания, называется осью конуса;

в) разверткой боковой поверхности усеченного конуса является круг;

2.Задача. Высота конуса равна15 см, а образующая 16 см. Найдите радиус конуса.

3.Задача. Сколько квадратных метров брезента потребуется для сооружения палатки конической формы? Высотой 1,5м и радиусом 2 м?

2 вариант

1.Выберите неверное утверждение:

а) конус может быть получен в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов;

б) конус называется равносторонним, если его осевое сечение - правильный треугольник.

в) Площадь боковой поверхности конуса может быть вычислена по формуле ;

2.Задача. Образующая конуса, равна 8 см, наклонена к плоскости основания под углом 30^о. Найдите площадь осевого сечения конуса.

3.Задача. Коническая крыша башни имеет диаметр 6 м и высоту 2 м. Сколько листов кровельного железа потребуется для этой крыши, если размер листа 0,7 м х 1,4 м, а на швы и обрезки тратиться 10% от площади крыши?

3 вариант

1.Выберите верное утверждение

а) сечение конуса, проходящее через ось, есть круг;

б) конус получен в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов;

в) осевым сечением усеченного конуса является прямоугольник.

2.Задача. Осевое сечение конуса - правильный треугольник, со стороной 2r . Найти площадь сечения проведенного через две образующие конуса, угол между которыми равен 60

3.Задача. .Сколько потребуется краски, для того чтобы покрасить пожарное ведро, если на 100см² необходимо затратить 10г? Радиусом 20 см, а высотой 45 см.

Практическая работа № 3. « Шар » Цели: закрепление понятий: шар, сфера, площадь сферы, сечения, продолжить формирование навыков решения задач с использованием теоретического материала; развивать творческую активность учащихся.

Оборудование: модели шара (клубки), плакат с формулами площади сферы, линейки, карандаши, калькулятор.

Методические указания. Сфера - замкнутая поверхность, геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки, называемой центром сферы. Сфера также является телом вращения, образованным при вращении полуокружности вокруг своего диаметра. Сфера является поверхностью шара.

Шар - это тело, ограниченное сферической поверхностью. Можно получить шар, вращая полукруг (или круг) вокруг диаметра.

Сечения шара

Наибольший круг лежит в сечении, проходящем через центр шара, и называется большим кругом. Его радиус равен радиусу шара. Все плоские сечения шара - круги.

Площадь сферы: S_сферы = 4π·R², R - радиус шара.

Длина окружности: С =2πR, S = πR ² - площадь круга

В мире все течет, все изменяется, но неизменно одно: у природы нет прямого угла. Идеальная форма - шар. Форму шара имеет не только Земля, но и другие планеты Солнечной системы. В царстве растений и животных распространены шарообразные формы.

Задание: по данным вам моделям найти площадь сферы.

Ход работы:

1.Для нахождения площади сферы нужно нитью клубка измерить «экватор», т.е длину окружности большого круга. Выразить из формулы длины окружности радиус и подставить в формулу площади сферы.

Пример:

Дано: шар, С= 15см.

Найти: S_сферы

Решение: длина окружности вычисляется по формуле:

С =2πR, отсюда найдем R= С/2π = 15/2•3,14= 2,39см

S_сферы = 4π·R² = 4π•2,39² = 22,85π (см²)

2.Выполняют тесты, состоящие из одного вопроса и двух задач.

Задания для самостоятельной работы:

1вариант.

1.Выберите верное утверждение.

а) Если точка удалена от центра сферы на расстояние, больше радиуса сферы, то она не принадлежит сферы.

б) Центр сферы не принадлежит данной сфере.

в) Всякое сечение сферы плоскостью есть окружность.

2.Задача .Сколько квадратных метров шелковой материи надо взять для приготовления оболочки воздушного шара диаметром 12 м, если на швы надо прибавить 5% материала?

3.Задача. На позолоту 1 кв. м купола идет 1 г золота. Сколько потребуется золота, чтобы позолотить купол окружностью 20 м? Форма купола - полусфера.

2 вариант.

1.Выберите верное утверждение.

а) Сфера может быть получена в результате вращения полуокружности вокруг диаметра.

б) Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

в) Всякое сечение сферы есть круг.

1. Задача. На окраску шара диаметром 1,5 дм расходуется 50 г краски. Сколько краски требуется для окраски шара диаметром 3 дм?

3.Задача.Сколько метров шелковой материи шириной 1,1 м надо для изготовления воздушного шара, радиус которого 2 м? На соединение и отходы идет 10% материала.

3 вариант.

1.Выберите верное утверждение.

а) Сфера является поверхностью шара.

б) Всякое сечение сферы плоскостью есть круг.

в) Радиус любого сечения сферы плоскостью не больше радиуса сферы.

2.Задача. Сколько потребуется краски, чтобы покрасить шар диаметром 22,4 м, если на окраску 1 м² уходит 120г краски?

3. Задача .Сколько квадратных метров шелковой материи надо взять для приготовления оболочки воздушного шара диаметром 10 м, если на швы надо прибавить 7% материала?

Тема 11. Начала математического анализа.

Практическая работа №1. «Производная функции. Решение задач»

Цели: 1.Повторить, обобщить и систематизировать знания о производной.

2.Закрепить навыки нахождения производных.

3.Развивать логическое мышление, память, внимание и самостоятельность.

Теоретическая часть.

1. Таблица производных:

f(x)

c

x

xⁿ

sinx

cosx

tgx

ctgx

a^x

e^x

lnx

f ^/ (x)

0

1

nx^n-1

cosx

-sinx

a^xlna

e^x

2. Правила дифференцирования:

(ku)^/ = ku^/

(u+v)^/ = u^/ + v^/

(uv)^/ = u^/v + uv^/

(u(v))^/ = u^/(v)v^/ - производная сложной функции

Практическая часть

1. 1. Используя таблицу производных, правила дифференцирования суммы, произведения и частного элементарных функций, найти производные следующих функций:

1.1

1.4

1.7

1.2

1.5

1.8

1.3

у =

1.6

1.9 у =

2. Вычислить частное значение производной.

2.1

2.4

2.7

2.2

2.5

2.8

2.3

2.6

2.9

3. Решить уравнение y^'=0.

3.1

3.6

3.11

3.2

3.7

3.12

3.3

3.8

3.13

3.4

3.9

3.14

3.5

3.10

3.15

4. Найти производную сложной функции.

4.1

4.6

4.11

4.2

y=cos3x

4.7

4.12

4.3 y=xcos3x

4.8

4.13

4.4

4.9

4.14

4.5

4.10

4.15

Практическая работа №2

Производная в физике и технике.

Цели:

• Повторить, обобщить и систематизировать знания о физическом смысле первой и второй производной.

• Закрепить навыки нахождения производных.

• Способствовать выработке навыков в применении производной к решению задач.

• Развивать логическое мышление, память, внимание и самостоятельность.

Теоретическая часть.

1. В чём заключается механический смысл производной?

Ответ. Производная функции у = f(х), в точке х₀, выражает скорость изменения функции в этой точке.

2. Если функция задана законом прямолинейного движения S = S(t), то S' (t) -?

Ответ. Скорость движения в момент времени t - это производная по перемещению S' (t) = v(t)

3. Что есть вторая производная от закона движения?

Ответ. Скорость изменения скорости этого движения, т.е. ускорение а(t) = v' (t) = S' ' (t).

С физической точки зрения дифференцирование - определение скорости изменения переменной величины. Производная, таким образом, играет роль скорости изменения зависимой переменной y по отношению к изменению независимой переменной х.

Выясняем формулы из физики, где используется производная.

• υ(t) = х'(t) - скорость.

• a(t) = υ'(t) - ускорение.

• I(t) = q'(t) - сила тока.

• с(t) = Q'(t) - теплоемкость.

• d(l) = m'(l) - линейная плотность.

• K(t) = l'(t) - коэффициент линейного расширения.

• ω(t) = φ'(t) - угловая скорость.

• e(t) = ω'(t) - угловое ускорение.

Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят понятие мощности.

• N(t) = A'(t) - мощность.

• F(x)= A'(x) - Сила есть производная работы по перемещению.

• Е = Ф'(t) - ЭДС индукции F = р'(t) - 2 закон Ньютона.

Примеры применения производной в физике

Задача

Решение

Тело массой 4 кг движется прямолинейно по закону x(t)=t²+t+1.

1. Какова кинетическая энергия тела в

- момент времени 3 сек. после начала

движения тела?

- конце движения тела?

2. Какова сила, действующая на тело?

1. 1. W_к = (mv²)/2

x ' (t) = v (t) = 2t+1,

v (3) = 7,

a(t)= v' (t) = 2,

W_к = (4·7²)/2=98

2. F = ma,

a(t) = v' (t) = x' ' (t),

x ' (t) = v (t) = 2t+1,

a(t)= v' (t) = 2,

F = ma = 4·2 = 8 H.

Угол поворота тела вокруг оси изменяется по закону φ(t)=0,1t²-0,5t+0,2.

Найти угловую скорость вращения тела в момент времени t=20с.

ω(t) = φ'(t)

φ'(t) = 0,2t-0,5

ω(t) = 0,2t-0,5

ω(20) = 3,5

Для любой точки С стержня АВ длиной 10 см, масса куска стержня АС определяется по формуле m(l)=3l²+5l.

Найти линейную плотность стержня в середине отрезка АВ, в конце отрезка.

d(l) = m'(l)

m'(l) = 6l+5

d(l) = 6l+5

d(5) = 6·5+5=35 - в середине отрезка

d(10) = 6·10+5=65 - в конце отрезка

Количество электричества, протекающее через проводник, начиная с момента времени t=0, задаётся формулой q=3t²-3t+4.

Найти силу тока в конце 6-й секунды.

I(t) = q'(t)

q'(t) = 6t-3

I(t) = 6t-3

I(6) = 6·6-3=33

Практическая часть.

1.Найти необходимые величины.

1.1 S(t)=2t⁴+3t²-t+√t³

v(t), a(t)-?

1.6 S(t)=12t ²-(2/3)t³
v(t), a(t)-?

1.11 S(t)=21t+2t²-(1/3)t³

v(t), a(t)-?

1.2 S(t)=5sin(3t+1),

v(t)-?

1.7 S(t)=6cos(0,5t-4),

v(t)-?

1.12 S(t)=0,5sin(4t+2),

v(t)-?

1.3 x(t)= - 4t²+2t+2,

v(1)-?

1.8 x(t)= √t+2t² - 3t+2,

v(25)-?

1.13 x(t)=(-1/3)t³+2t²+5t,

v(2)-?

1.4 x(t)=t³-4t², a(5) -?

1.9 x(t)=0,25t⁴-2t²,

a(1) -?

1.14 x(t)=t⁵+3t²-1,

a(2) -?

1.5 x(t)=(-1/6)t³ +3t² - 5,

найти t, когда a(t)=0

1.10 x(t)=2t³+t-1,

найти t, когда a(t)=2

1.15 x(t)= (-1/3)t³+2t²+5t,

найти t, когда v(t)=0

2. Решить задачу.

2.1 Найти силу F, действующую на материальную точку с массой m, движущуюся прямолинейно по закону s(t) = 2t³-t², при t=2.

2.2 Тело массой 2 кг движется прямолинейно по закону x(t)=t²+t+1. Найти действующую на тело силу F, кинетическую энергию тела через 2с после начала движения.

2.3 Маховик, задерживаемый тормозом, за время t поворачивается на угол φ(t)=4t-0,3t². Найти угловую скорость ω(t) вращения маховика в момент времени 2 с.

2.4 Точка движется по закону x(t)=√t. Найти её скорость в момент времени 4с.

2.5 Найти скорость тела, движущегося по закону s(t)=3t+5.

2.6 Тело движется прямолинейно по закону s(t)=2t²-t+4. Найти скорость тела в моменты времени t₁=0, t₂=2, t₃=5 с.

2.7 Найти скорость движения точки в момент времени t=5с, если закон движения задан формулой s(t)=3t²-2t+5.

2.8 Тело движется прямолинейно по закону s(t)=1-2t+t³. Найти скорость и ускорение в момент времени t=3с.

2.9 Найти скорость и ускорение движения тела в момент времени t=2с, если закон движения задан формулой s=4t²-3.

2.10 Когда скорость точки, движущейся прямолинейно по закону s(t)=t²-4t+5, равна 0?

2.11 Сила тока изменяется по закону I=0,4t² . Найти скорость изменения силы тока в конце 8-й секунды.

2.12 Изменение силы тока в зависимости от времени задано уравнением I = 2t²-5t. Найти скорость изменения силы тока в конце 10-й секунды.

2.13 Количество теплоты Q, получаемое некоторым веществом при нагревании определяется по формуле Q=10t+0,5t². Найти теплоёмкость этого вещества при 20 К.

2.14 Закон изменения температуры Т тела в зависимости от времени задан уравнением T=0,3t². С какой скоростью нагревается это тело в момент времени 10 с.

2.15 Температура тела изменяется по закону T(t)=0,5t²-2t. С какой скоростью нагревается тело в момент времени t=6с.

Практическая работа №3

Вычисление неопределённого интеграла

Цели:

• Повторить знания о первообразной, таблицу интегралов.

• Овладеть умением применения первообразной функции при решении вычислительных задач.

• Закрепить навыки нахождения табличных интегралов.

• Развивать логическое мышление, память, внимание и самостоятельность.

Теоретическая часть.

1. Таблица первообразных:

f(x)

k

xⁿ

sinx

cosx

a^x

e^x

F (x)

kx

lnx

-cosx

sinx

tgx

e^x

2. Формула пути, пройденного точкой:

3. Формула площади плоской фигуры

Практическая часть.

1. 1. Найти неопределённый интеграл, использую таблицу интегралов.

1.1

1.3

1.5

1.2

1.4

1.6

Практическая работа №4

Тема: Определённый интеграл. Формула Ньютона-Лейбница

Цели:

• Повторить знания о первообразной.

• Закрепить навыки нахождения табличных интегралов, площадей криволинейных трапеций с помощью формулы Ньютона-Лейбница.

• Проверить уровень сформированности навыка нахождения первообразных.

• Способствовать выработке вычислительных навыков.

• Развивать логическое мышление, память, внимание и самостоятельность.

Теоретическая часть.

Практическая часть

1. Вычислить определённый интеграл.

1.1

1.6

1.11

1.2

1.7

1.12

1.3

1.8

1.13

1.4

1.9

1.14

1.5

2. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной заданными линиями.

2.1

2.6

2.11

2.2

2.7

2.12

2.3

2.8

у=0

2.13

у=0

2.4

у=0

2.9

у=0

2.14

у=0

2.5

у=0

2.10

у=0

2.15

у=0

3. Найти площадь криволинейной трапеции, изображённой на рисунке.

3.1

3.6

3.11

3.2

3.7

3.12

3.3

3.8

3.13

3.4

3.9

3.14

3.5

3.10

3.15

4. Построить площадь криволинейной трапеции и вычислить её площадь, использую соответствующие формулы.

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

4.6

Практическая работа №5

Тема: Решение задач.

Цели:

• Повторить, обобщить и систематизировать знания о производной и первообразной.

• Закрепить навыки вычисления производных, первообразных.

• Развивать логическое мышление, память, внимание и самостоятельность.

Практическая часть.

Вариант№1

Вариант№2

Вариант№3

1. Найти производную функции.

1.1.1

1.1.2

1.1.3

1.2.1

1.2.2

1.2.3

2.Вычислить приближённо, используя понятие дифференциала.

2.1.1

2.1.2

2.1.3

2.2.1

2.2.2

2.2.3

3. Найти неопределённый интеграл.

3.1.1

3.1.2

3.1.3

3.2.1

3.2.1

3.2.3

4. Вычислить площадь плоской фигуры с помощью формулы Ньютона - Лейбница.

4.1.1

4.1.2

4.1.3

Тема 12. Измерения в геометрии.

Практическая работа № 1

По теме: « Объем призмы.» Цели: закрепление формулы объема призмы в процессе решения задач, активизировать познавательный интерес к предмету; развитие логического мышления.

« Геометрия является самым могущественным средством для измерения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать» Галилео Галилей.

Оборудование: модели прямоугольного параллелепипеда, призм, линейки, карандаши, калькулятор.

Методические указания.

Призма - многогранник, две грани которого являются многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани - параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками.

Виды призм

• Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом.

• Прямая призма - это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Другие призмы называются наклонными.

• Правильная призма - это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. Боковые грани правильной призмы - равные прямоугольники.

прямая призма наклонная призма

Объём призмы равен произведению её высоты на площадь основания: V = S_осн.•H , H - высота призмы

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его линейных размеров: d² = a² +b² +c²

Плотность находится по формуле:

где m - масса тела, V - его объём;

Задание к практической работе: по данным вам моделям найти объем призмы.

Пример: Найти объем призмы.

Ход работы

1.Для нахождения объема призмы нужно измерить линейкой следующие элементы призмы: стороны основания, высоту. Подставить значения в формулу для нахождения объема (если призма прямая)

Оформление работы:

Дано: АВСС₁В₁А₁ треугольная призма, прямая, правильная

АВ=ВС=АС = 5 см, Н = 10 см

Найти: V

Решение: Формула Герона позволяет вычислить площадь треугольника (S) по его сторонам a, в, c:

S_осн =

где p - полупериметр треугольника: р = (а+в+с):2

р = 15:2 =7,5

S_осн= √7,5(7,5-5)(7,5-5)(7,5-5)= 7,7 (см²)

V = S_осн.•H = 7,7•10 =108 (см³)

3. Выполняют задания для самостоятельной работы (тесты, состоящие из двух вопросов и двух задач).

Вариант 1.

1.Выберите верное утверждение:

а) объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений на длину диагонали параллелепипеда;

б) равные тела имеют равные объемы;

в) за единицу измерения объемов принимается квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков.

2. Сколько граней у прямоугольного параллелепипеда?

а) 8, б) 6 , в) 4

3.Задача. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда по трём его измерениям, равным 3 см, 4 см, 5 см.

4.Задача. Сколько нужно рабочих для переноса дубовой балки размером 6,5 м х 30 см х 45 дм? Каждый рабочий может поднять в среднем 80 кг. Плотность дуба 800 кг/см³.

Вариант 2.

1.Выберите верное утверждение:

а) объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений;

б) объем куба равен квадрату его ребра;

в) тела, имеющие равные объемы равны;

2. Сколько вершин у прямоугольного параллелепипеда?

а) 8 , б) 4, в) 12

3.Задача. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда по трём его измерениям, равным 4 см, 7 см, 6 см.

4.Задача. Классные помещения должны быть рассчитаны так, чтобы на одного учащегося приходилось не менее 6 м³ воздуха. Можно ли в класс, имеющий вид прямоугольного параллелепипеда с измерениями 8,3 м х 6,25 м х 3,6 м вместить 30 человек, не нарушая санитарной нормы?

Вариант 3

1.Выберите неверное утверждение:

а) объем куба равен кубу его ребра;

б) объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту;

в) если тело составлено из нескольких тел, имеющих общие внутренние точки, то его объем равен сумме объемов этих тел;

2. Сколько ребер у прямоугольного параллелепипеда ?

а) 8, б) 6, в) 12.

3.Задача. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда по трём его измерениям, равным 4 см, 3см, 8 см

4.Задача. Строительный кирпич имеет размеры 25 см х 12 см х 6 см. Найдите объем стены, выложенной из 1000 кирпичей. Учтите, что раствор увеличивает объем на 15%

Практическая работа № 2

По теме: « Объем пирамиды.» Цели: закрепление понятий: пирамида, объем; способствовать развитию математического мышления и речи, памяти, формировать умения анализировать, сравнивать, оценивать, систематизировать.

« Знания не даются без старания» народная мудрость.

Оборудование: модели пирамид, таблица с формулами, линейки, карандаши, калькулятор.

Методические указания.

Пирамида - многогранник, основание которого - многоугольник, а остальные грани - треугольники, имеющие общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и т. д.

Элементы пирамиды.

D -вершина пирамиды

DВ, DС, DА - боковые ребра граней;

DВА, DАС, DВС - боковые грани

DК, DL - апофема

DN- высота пирамиды.

апофема - высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины [ℓ];

боковые грани - треугольники, сходящиеся в вершине пирамиды;

боковые ребра - общие стороны боковых граней;

вершина пирамиды - точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания;

высота - отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра) (Н);

диагональное сечение пирамиды - сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания;

основание - многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

Правильная пирамида

Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Тогда она обладает такими свойствами:

боковые ребра правильной пирамиды равны; в правильной пирамиде все боковые грани - равные равнобедренные треугольники; в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать около неё сферу;

Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В данном случае, это ребро и является высотой пирамиды.

Усечённая пирамида

Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.

Объем пирамиды (любой) может быть вычислен по формул: V = 1/3•S_осн.•Н

Объем усеченной пирамиды , где - площади оснований, - высота усечённой пирамиды.

Плотность находится по формуле:

где m - масса тела, V - его объём;

Задание к практической работе: по данным вам моделям вычислить объем пирамиды

Пример: Найти объем пирамиды.

Ход работы

Для нахождения объема нужно знать высоту пирамиды и площадь основания.

Оформление работы:

Дано: SАВСД - пирамида, АВ=3см, ВС= 6см, пирамида неправильная, Н=10см,

Найти:_. V

Решение:

V = 1/3•S_осн.•Н

S_осн.= АВ·ВС=3·6=18(см²),

V=1/3· S_осн·Н = 1/3·18·10 = 60(см³) - формула объема справедлива для любой пирамиды.

2. Выполняют тесты, состоящие из одного вопроса и двух задач.

Задания для самостоятельной работы:

1 вариант.

1. Выберите верное утверждение:

а) объём пирамиды равен произведению одной трети площади основания на высоту;

б) боковая грань пирамиды - квадрат;

в) высота пирамиды, это перпендикуляр, проведённый из вершины к стороне основания;

2.Задача. Масса чугунной пирамиды с квадратным основанием равна 540 г, высота равна 6 см. Вычислите длину стороны основания. Плотность чугуна 7,5 г/см³.

3. Задача .Кузов тракторного прицепа имеет размеры: вверху 3,5 м х 2,6 м, понизу 2,9 м х 1,1 м. Найдите вместимость, если высота прицепа 1,2 м.

2 вариант.

1. Выберите верное утверждение:

а) высота пирамиды, это перпендикуляр, проведённый из вершины к основанию;

б) объём усечённой пирамиды , высота которой равна h , а площади оснований равны S и М, вычисляется по формуле V = h/3(S + M + √S + M ) ;

в) пирамида называется правильной, если ее основание прямоугольник;

2.Задача. Щебень укладывается в кучу, имеющую форму правильной пирамиды с длиной основания 3 м. Какой высоты должна быть куча, чтобы ее объем был 8м^3. 3.Задача. Бункер, у которого дно и верх прямоугольники, размеры которых равны 2*2,5 и 2,8* 3.5 м и высотой 1,5м заполнен зерном. Вычислите массу зерна, если масса одного кубического метра зерна равна 500 кг.

3 вариант.

1. Выберите верное утверждение:

а) апофема - это высота пирамиды;

б) объём пирамиды равен V = 1/3•S_осн.•Н в) все грани треугольной пирамиды прямоугольными треугольниками;

2.Задача. Какой объем может войти в тетра пак в виде пирамиды, основание которой равносторонний треугольник со стороной 20 см, высотой 24 см.

3. Задача. Одно из самых грандиозных сооружений древности - пирамида Хеопса - имеет форму правильной четырехугольной пирамиды с высотой 150 м и боковым ребром 220 м. Найдите объем пирамиды.

Практическая работа № 3

• По теме: « Объем цилиндра » Цели: закрепление понятий: цилиндр, объем цилиндра; способствовать развитию математического мышления и речи, закрепить формулу объема в процессе решения задач.

« Геометрия приближает разум к истине» Платон

Оборудование: модели цилиндра, тесты, калькулятор, линейки, карандаши.

Методические указания.

Цилиндр - геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её

Круги, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями цилиндра, а отрезки, соединяющие соответствующие точки оснований, - образующими цилиндра.

Поверхность, состоящая из образующих, называется боковой поверхностью цилиндра.

Цилиндр прямой круговой может быть получен путем вращения прямоугольника вдоль стороны как оси.

Элементы цилиндра.

R= АD - радиус цилиндра; d - диаметр.

H = АВ - высота;

L =СD - образующая.

S = πR ² - площадь круга. d = 2R.

С - длина окружности. С = 2πR

Виды цилиндров:

прямой наклонный

Сечения цилиндра:

осевое сечение сечение плоскостью

перпендикулярной оси

Плотность находится по формуле: где m - масса тела, V - его объём;

Объем цилиндра вычисляется по формуле: V = πR²H

1.Задание: по данным вам моделям найти объем цилиндра.

Ход работы:

Для нахождения объема цилиндра нужно измерить линейкой следующие элементы: диаметр, высоту. Подставить значения в формулу для нахождения объема цилиндра.

Пример: Вычислить объем цилиндра.

Оформление работы:

Дано: цилиндр, Н=12см, R=3см

Найти: V

Решение: V = πR²•H = π•3²•12 = 108π (см³)

2.Выполняют тесты, состоящие из одного вопроса и двух задач.

Задания для самостоятельной работы:

1вариант

1. Выберите верное утверждение.

а) Объём цилиндра равен половине произведения площади основания на высоту;

б) Объём цилиндра вычисляется по формуле V = πS/2, где S - площадь осевого сечения цилиндра;

в) длина окружности равна С = 2πD

2.Задача. Сколько тонн бензина можно хранить в цистерне цилиндрической формы, если ее диаметр 5 м, длина3 м.? плотность бензина 0,7г\см.

3.Задача. Сколько литров побелки надо налить в емкость для краскопульта диаметром 20 см и высотой 60 см.

2. вариант.

1.Выберите неверное утверждение:

а) объём равностороннего цилиндра равен V = 2πR³, где R - радиус основания цилиндра; б) объём цилиндра равен: V = πR²H

в) длина образующей цилиндра называется диаметром цилиндра;

2.Задача. Сколько бочек высотой 1,5 м и диаметром 0,8 м нужно, чтобы разлить в них содержимое цистерны длиной 4,5 м и диаметром 1,6 м?

3.Задача. 25 м медной проволоки имеют массу 100,7 г. Найдите диаметр проволоки, если плотность меди 8,9 г/см³.

3 вариант.

1.Выберите неверное утверждение:

а) объём цилиндра вычисляется по формуле V = Mh/2, где М - площадь боковой поверхности цилиндра, а h - его высота;

б) длина окружности равна С = 2πR,

в) площадь круга равна S = πR ².

2. Задача. Сколько весит километр железной телеграфной проволоки толщиной 4 мм, если известно, что 1 кубический сантиметр железа весит 8 г?

3.Задача. Сколько в связке электродов для электросварки, если их общая масса 10 кг, а каждый электрод - кусок стальной проволоки длиной 45 см и диаметром 6 мм? Плотность стали 7600 кг/м³.

Тема 13. Элементы теории вероятностей

Практическая работа № 1.

Решение задач по теме: «Элементы теории вероятностей».

Цели: закрепление понятий: событие случайное, невозможное, достоверное; способствовать развитию математического мышления и речи.

Задание.

1. Для каждого из этих событий определить, каким оно является: невозможным, достоверным или случайным.

Из 26 учащихся класса двое справляют свой день рождения: 1) 25 января; 2) 31 июня

2. В 9 «Г» классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Какие из следующих событий являются невозможными, какие случайными, какие - достоверными:

А= в классе есть два человека, родившихся в разные месяцы;

В=в классе есть два человека, родившихся в одном месяце;

С=в классе есть два мальчика, родившихся в одном месяце;

D=в классе есть две девочки, родившиеся в одном месяце;

3. В сыгранной Катей и Ларисой партии в шахматы: 1) Катя выиграла, Лариса проиграла; 2) Катя проиграла, Лариса проиграла.Выявить пары совместных и пары несовместных событий.

4. Назовите событие, для которого противоположным является такое событие:

в) в нашем классе все умные и красивые;

г) в кошельке у меня есть три рубля одной монетой, или три доллара одной бумажкой

5. Антон учится в 9 «Б» классе, Стас - в 9 «В», Игорь - в 9 «Г». От каждого класса по жребию выбирают одного делегата в школьный хор. Как вы думаете, у кого из друзей больше шансов петь в хоре, если в 9 «Б» учится 22 человека, в 9 «В» - 19 человек, а в 9 «Г» - 26 человек?

Тема 14.Уравнения и неравенства.

Практическая работа №1

Решение алгебраических уравнений и неравенств.

Цель: научиться решать квадратные уравнения и неравенства, используя формулы дискриминанта и корней уравнения.

Теоретический материал.

Приведенное квадратное уравнение:

Теорема Виета:

Полное квадратное уравнение:

Его дискриминант:

Решение полного квадратного уравнения:

нет действительных корней

Ход работы.

1. Решить уравнения, неравенства, найти область определения и данные внести в таблицу.

Пример

коэффициенты

Значение дискриминанта

Формулы для вычисления корней

Ответ

a

b

c

2. Образец решения.

Решить уравнение:

Найдём дискриминант Применим формулу корней квадратного уравнения:

Находим по формуле:

Решить самостоятельно

№

п/п

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

1

Решить уравнения

1.1

1.2

1.3

;

1.4

2

Решить неравенство

2.2

2.3

2.3

3

Найти область определения

3.1

Практическая работа №2

Показательная функция. Показательные уравнения и неравенства

Цель: научиться строить график показательной функции. Используя свойства показательной функции и свойства степеней, научиться решать показательные уравнения и неравенства.

Теоретический материал

Степени чисел от 0 до 10

n

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

4

8

16

32

64

128

256

512

1024

1

3

9

27

81

243

729

2187

6561

19683

59049

1

4

16

64

256

1024

4096

16384

65536

262144

1

5

25

125

625

3125

15625

78125

390625

1

6

36

216

1296

7776

46656

279936

1

7

49

343

2401

16807

117649

1

8

64

512

4096

32768

1

9

81

729

6561

59049

1

10

100

1000

10000

Свойства степеней

1. ;

Образец решения

Пример 1

Решить уравнение:

Решение: Представим 64 как и перепишем заданное уравнение в виде: . Это уравнение равносильно уравнению: .

Ответ: х=5

Пример 2

Решить уравнение: ;

Решение: Преобразуем как и перепишем заданное уравнение в виде:

. Это уравнение равносильно уравнению:

откуда находим .

Ответ: х = 2

Уравнения, сводящиеся к квадратным (метод замены)

Пример 1

Решить уравнение: .

Решение: Заметив, что

Перепишем заданное уравнение в виде:

Вводим новую переменную: , тогда уравнение примет вид:

Решив квадратное уравнение, получим: 4, 6. Но так как , то надо решить два уравнения:

Решим первое уравнение:

Рассмотрим второе уравнение.

Второе уравнение не имеет решения, так как для любых значений х.

Ответ: 2

Метод выноса за скобки

Пример 1

Решить уравнение:

В левой части выносим за скобки степень с наименьшим показателем, то есть . В результате получим:

;

;

;

;

;

Ответ: х = 2.

Системы показательных уравнений

Пример 1

Решить систему.

Решение: Воспользуемся способом подстановки. Выразив из первого уравнения у, получим . Тогда или откуда

Следовательно, .

Ответ: .

№

п/п

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

1

Построить график функции

1.2

2

Вычислить

2.1

3

Решить уравнения

3.1

3.2

3.3

3.4

4

Решить систему

4.1

5

Решить неравенство

5.1

Практическая работа №3

Тема: Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения и неравенства

Цель: научиться решать логарифмические уравнения и неравенства, используя свойства логарифмической функции и свойства логарифмов.

Теоретический материал:

Основное логарифмическое тождество:

Свойство логарифмов:

1. 

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

Образец решения:

Пример 1. Решите уравнение:

переходим к следующему равносильному квадратичному уравнению:

Проверка:

, - является корнем уравнения.

(-2) - не существует, - не является корнем уравнения.

Ответ:

Пример 2. Решите уравнение:

Решение. Область допустимых значений уравнения определяется здесь легко: x > 0.

Используем подстановку:

Уравнение принимает вид:

Обратная подстановка:

Оба ответа входят в область допустимых значений уравнения, поскольку являются положительными числами.

Решить самостоятельно:

Практическая работа №4

Тема: Решение тригонометрических уравнений и неравенств

Цель: научиться решать тригонометрические уравнения, используя свойства обратных тригонометрических функций и формул решения тригонометрических уравнений.

Теоретический материал:

Формулы для повторения

arcsin( a) = arcsin a

arccos (a) =

arctg (a) = arctg a

arcctg (a) = arcctg a

Общие формулы решения тригонометрических уравнений

;

tg x = a, a - любое число

x = arctg x +

ctg x = a, a - любое число

х= arcctgx +

Частные решения тригонометрических уравнений

sin x=0

х=

sin x=1

x=

sin x=-1 x=

cos x=0

x=

cos x=1

x=

cos x=-1

x=

Значение тригонометрических функций

град

0⁰

30⁰

45⁰

60⁰

90⁰

радиан

0

sin

0

1

cos

1

0

tg

0

1

не существ

ctg

Не существ

1

0

Образец решения №1

Решить уравнение:

Решение. Введем новую переменную: z = sin x. Тогда уравнение примет вид: 2z² - 5z + 2 =0. Решая квадратное уравнение находим z₁ = 2 и z₂ =.

Значит, либо sin x = 2, либо sin x = . Первое уравнение не имеет корней, а из второго находим

Образец №2

Решить уравнение:

Решение:

Воспользуемся тем, что

Тогда заданное уравнение можно записать в виде:

После преобразования получим:

Введем новую переменную z = cos x. Тогда данное уравнение примет вид:

2z² -z -1 = 0. Решая его, находим z₁ = 1, z₂ =

Значит, либо cos x = 1, либо cos x =

Решая первое уравнение cos x = 1, как частное, находим его решение

.

Решая второе уравнение, находим решение:

xarccos

) +

+ 2

Образец №3

Решить уравнение:

Решение:

С числом 2, содержащимся во правой части, поступим следующим образом. Известно, что - это тождество верно для любого значения х.

Тогда .

Заменив в первом уравнении 2 на , получим:

sinxcosx + 5

sinxcosx + 5

Обе части уравнения разделим на cos² x почленно

Так как , то полученное уравнение запишем в виде:

tg²x -

Введя новую переменную t=tg x, получим квадратное уравнение:

+3=0, решая уравнение, получим: t =

Итак, tg x=

x= arctg

x= ,

Вариант 1

Вариант 2

Решить уравнения:

1. sin²x - 5sinx +4 = 0

2. 3cos²2x + 10cos2x + 3 = 0

3. 3cos²x + 10cosx + 3 = 0

4. 2sin²x + 3cosx = 0

5. tg²x - 2tgx - 3 = 0

6. 

7. 

Решить уравнения:

1. 6cos²x + cosx - 1 = 0

2. 2sin²2x - 3sin2x + 1 = 0

3. 2sin²x - 3sinx + 1 = 0

3. 5cos²x + 6sinx - 6 = 0

4. 2tg²x + 3tgx - 2 = 0

5. 

6. 

Вариант 3

1. 3sin²x - 5sinx - 2 = 0

2. 

3. 

4. 

5. 3tg²x + 2tgx - 1 = 0

6. 

Тема 15. Итоговое повторение.

Практическая работа №1

Способы решения квадратных уравнений.

Цель: закрепить навыки по решению квадратных уравнений,используя формулы дискриминанта и корней уравнения.

Теоретический материал.

Приведенное квадратное уравнение:

Теорема Виета:

Полное квадратное уравнение:

Его дискриминант:

Решение полного квадратного уравнения:

нет действительных корней

Ход работы.

Решить уравнения

№

п/п

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

1

Решить уравнения

1.1

1.2

1.3

;

1.4

Практическая работа №2.

Способы решения неравенств.

Цель: закрепить навыки по решению квадратных неравенств, используя формулы дискриминанта и корней уравнения.

Ход работы.

2

Решить неравенство

2.2

2.3

2.3

Практическая работа №3.

Решение показательных уравнений.

Цель: научиться решать показательные уравнения и неравенства.

Теоретический материал

Степени чисел от 0 до 10

n

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

4

8

16

32

64

128

256

512

1024

1

3

9

27

81

243

729

2187

6561

19683

59049

1

4

16

64

256

1024

4096

16384

65536

262144

1

5

25

125

625

3125

15625

78125

390625

1

6

36

216

1296

7776

46656

279936

1

7

49

343

2401

16807

117649

1

8

64

512

4096

32768

1

9

81

729

6561

59049

1

10

100

1000

10000

Свойства степеней

10. ;

Ход работы.

3

Решить уравнения

3.1

3.2

3.3

3.4

4

Решить систему

4.1

5

Решить неравенство

5.1

Практическая работа №4 Решение логарифмических уравнений.2ч

Цель: Закрепление навыков решения логарифмических уравнений.

Задание.

Вариант1.

Решите уравнения:

1. log ₉ x = ;

2. log _x 36 = 2;

3. log ₂ (3x+1) = 3;

4. log _0,5 (x² - 1) = -3;

5. 

Вариант2.

1. 1. Решите уравнения:

1. log ₉ x =;

2. log _x 125 = 3;

3. log _0,5 (3 - 4x) = -3;

4. log _0,25 (4 - x²) = -;

5. -2x-8)=1

Практическая работа №5 .Решение логарифмических неравенств.

Цель: Закрепление навыков решения логарифмических неравенств.

Задание.

2. Решите неравенство:

   1. lg x  -1

   2. log ₂ (4x - 1) < 4

Укажите все натуральные решения неравенства:

2.Решите неравенство:

1. log _0,5 x  -1

2. log ₂₅ (9 - x) >-;

Укажите все целые решения неравенства:

+2x-8)

Практическая работа №6. Способы решения уравнений и их систем.

Цель: Систиматизировать знания по теме.

Решением системы двух уравнений называется пара чисел (x₀; y₀), которая каждое уравнение системы обращает в тождество. Решить систему - значит найти все ее решения. Далее рассмотрим на примерах несколько способов решения систем.

1. Способ подстановки. Решим систему уравнений:Способ подстановки заключается в следующем:

1) выражаем одно неизвестное через другое, воспользовавшись одним из заданных уравнений. Обычно выбирают то уравнение, где это делается проще. В данном случае нам все равно, какое из заданных уравнений использовать для нашей цели. Возьмем, например, первое уравнение системы, и выразим x через y: .2) подставим во второе уравнение системы вместо x полученное равенство: .

Получили линейное уравнение относительно переменной y. Решим это уравнение, помножим это равенство на 2, чтобы избавиться от дроби в левой части равенства:Подставим найденное значение в равенство, выражающее x, получим: .Таким образом, нами найдена пара значений , которая является решением заданной системы. Осталось сделать проверку.Проверка:

Пример 2.Решить систему уравнений Решение.ОДЗ: x > 0, y > 0.Перейдем во всех логарифмах к основанию 3:Разделим левую и правую части первого уравнения на соответствующие части второго: (второе решение отрицательно и является посторонним, так как х и у одного знака, следовательно, их отношение положительно).Получена подстановка: х = 4у. Тогда из второго уравнения последней системы

4у³ = 1, у = 1, х =4.Ответ: (4; 1).

1)Решите систему уравнений:

Решить систему

2) Решите уравнения:.

Практическая работа №7. Решение задач по теме: «Тригонометрические тождества».

Цель: проверить теоретические знания и навыки их применения при решении

задач по теме «Тригонометрические тождества и формулы».

Вариант 1.

1). Вычислите: а) sin ( - 225º ) б) cos в) tg 240º

2). Вычислите:

3). Дано: Найдите: tg α .

Упростите выражения:

4). 5).

6). ctg ( 270º - α ) + ctg ( 90º + α ) 7).

_____________________________________________

8). Упростите выражение:

9). Докажите тождество:

10). Не используя таблиц найдите значение sin 15º.

11). Докажите тождество:

Вариант 2.

1). Вычислите: а) sin 210º б) tg в) cos ( - 135º )

2). Вычислите:

3). Дано: Найдите: ctg α .

Упростите выражения:

4). 5).

6). tg ( 270º + α ) + ctg ( 180º + α ) 7).

_____________________________________________

8). Упростите выражение:

9). Докажите тождество:

10). Не используя таблиц найдите значение cos 75º.

11). Упростите выражение: 8 sin 10º • cos 20º • cos 40º

Вариант 3.

1). Вычислите: а) sin ( - 135º ) б) tg в) cos ( - 210º )

2). Вычислите:

3). Дано: Найдите: tg α .

Упростите выражения:

4). 5). 2

6). ctg ( 360º - α ) + tg ( 90º + α ) 7).

_____________________________________________

8). Упростите выражение:

9). Докажите тождество:

10). Не используя таблиц найдите значение cos 15º.

11). Докажите тождество:

Вариант 4.

1). Вычислите: а) cos 225º б) ctg в) sin ( - 135º )

2). Вычислите:

3). Дано: Найдите: ctg α .

Упростите выражения:

4). 5).

6). cos ( 270º - α ) + cos ( 90º - α ) 7).

_____________________________________________

8). Упростите выражение:

9). Докажите тождество:

10). Не используя таблиц найдите значение sin 75º.

11). Упростите выражение: 16 sin 18º • cos 36º • cos 72º

Практическая работа №8.Исследование функций.2ч.

Цель: систематизация знаний по теме.

Методические рекомендации:

Алгоритм исследования функции на возрастание и убывание.

1. Найти Д(f). 2. Найти f'(x).

3. Найти стационарные точки, т.е. точки, где f'(x) = 0 или f'(x) не существует.
(Производная равна 0 в нулях числителя, производная не существует в нулях знаменателя)

4. Расположить Д(f) и эти точки на координатной прямой.

5. Определить знаки производной на каждом из интервалов

6. Применить признаки. 7. Записать ответ.

-Найти промежутки возрастания функции

y=x⁴-2x²

y'=4x³-4x

4x³-4x>0

4x(x²-1)>0

Ответ: [- 1 ; 0], [1 ; )

Пример Построить график функции g(x) = 2 x³ - 3 x² +x + 5.

1 :: Функция g(x) - многочлен, а у всех многочленов область определения - вся вещественная ось: D(g) = R.

2 :: Многочлены бывают чётными функциями, если содержат только чётные степени переменного x, и нечётными функциями, если содержат только нечётные степени x. Для функции g(x) это не так, значит, g(x) не является ни чётной, ни нечётной функцией.

Периодическими из всех многочленов бывают только постоянные, то есть не зависящие от x; в нашем случае это не так, поэтому g(x) -- не периодическая функция.

3 :: Вертикальных асимптот график не имеет, поскольку область определения не имеет граничных точек. (У графиков многочленов вообще не бывает вертикальных асимптот.)

4 :: Поскольку многочлен имеет степень 3 (а не 1 или 0), то его график не имеет наклонных или горизонтальных асимптот.

5 :: Пересечение с осью Oy найдём, вычислив значение g(x) при x = 0 :

g(0) = 2∙0³ - 3∙0² + 0 + 0 = 5.

Для нахождения пересечений графика с осью Ox следует решить уравнение 2 x³ - 3 x² +x + 5 = 0. Целых корней это уравнение не имеет. Вычисляя значения в некоторых целых точках, например,

g(-2) = -25; g(-1) = -1; g(0) = 5; g(1) = 5; g(2) = 11,

мы начинаем подозревать, что уравнение имеет только один корень x₀ , лежащий на интервале (-1;0), причём ближе к точке -1, чем к 0. (Действительно, если применить какой-либо из методов приближённого нахождения корней алгебраического уравнения, мы получим, что x₀≈ -0.919. Эти методы мы изучим ниже, в главе 9. А пока нам достаточно того, что x₀ (-1;0).) Заметим, что g(x) меняет знак с − на + при переходе через точку x₀.

6 :: Производная данной функции равна g'(x) = 6 x² − 6 x + 1. Найдём интервалы возрастания функции, решая неравенство 6 x² − 6 x + 1 > 0. Корни квадратного трёхчлена - это (3 ± 3^1/2)/6 ≈ 0.5 ± 0.285, значит, решением неравенства служит объединение интервалов (−∞;(3 − 3^1/2)/6) и ((3 + 3^1/2)/6; +∞). На каждом из этих интервалов функция g(x) возрастает. Интервалы убывания задаются обратным неравенством g'(x) < 0, то есть x² − 6 x + 1 < 0. Его решением служит интервал ((3 − 3^1/2)/6;(3 + 3^1/2)/6). На этом интервале функция убывает.

В точке x₁ = (3 − 3^1/2)/6 ≈ 0.215 возрастание функции сменяется убыванием, значит, x₁ - точка локального максимума. Значение функции в этой точке равно

g(x₁) = 2∙3^1/2/9 + 5 ≈ 5.38

В точке x₂ = (3 + 3^1/2)/6 ≈ 0.785 убывание функции сменяется возрастанием, значит, x₂ - точка локального минимума. Значение функции в этой точке равно

g(x₂) = − 2∙3^1/2/9 + 4.5 ≈ 4.12

Как мы видим, на участке убывания значения функции изменяются от 5.38 до 4.12 и остаются положительными. Это доказывает, что сама функция действительно имеет только один корень.

7 :: Вторая производная функции равна g''(x) = 12 x − 6. Для отыскания интервала выпуклости решим неравенство g''(x) > 0, то есть 12 x − 6 > 0, откуда x > 1/2. Значит, функция выпукла на интервале (1/2;+∞). Обратное неравенство g''(x) < 0 даёт нам интервал вогнутости; очевидно, это (−∞;1/2). В точке 1/2 направление выпуклости меняется, следовательно,1/2 - это точка перегиба. Значение функции в этой точке равно g(1/2) = 5.

8 :: С учётом предыдущих семи пунктов строим график функции g(x).

.График функции g(x) = 2 x³ - 3 x² + x + 5

Вариант 1.

Дана функция y=x³-3x²+4.Найдите:

а) промежутки возрастания и убывания функции,

б) точки экстремума,

в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-1;4].

Постройте график функцииy=x³-3x²+4.

Вариант 2.

Дана функция y=0,5x⁴-4x².Найдите:

а) промежутки возрастания и убывания функции,

б) точки экстремума,

в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-1;3].

Постройте график функции y=0,5x⁴-4x²