РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ

Фамилия_______________________________________________

Имя___________________________________________________

Отчество_______________________________________________

Специальность __________________________________________

Группа _________ Курс___2____

Период, за который представлены документы и материалы

с_______________________ 20_____ года

по______________________20______ года.

Личная подпись студента____________________

Москва 2013

Зачем тебе изучать математику?

Математическое образование является средством активного интеллектуального развития человека, его мыслительных способностей.

Успешно решать задачу обучения математике возможно лишь при наличии активной познавательной деятельности и самостоятельности студентов. В результате активной учебной работы студенты не только овладевают знаниями, но и развивают умственные способности, знакомятся с методами познания, формируют умственные и физические силы для решения проблемы преемственности в системе непрерывного образования. Для лучшего усвоения теоретического материала математические понятия следует формировать на основе практики, параллельно с процессом абстрагирования. По дидактическим функциям практические занятия делятся на обучающие, познавательные и проверочные. Эффективность познавательной деятельности студентов повышается при проведении обучающего практического занятия. В результате такой работы новые знания не поступают извне в виде информации, а являются внутренним продуктом практической деятельности самих студентов. Практические работы проводятся по учебному плану по темам:

- Вычисление пределов функции. - Вычисление производных. - Исследование функций. - Вычисление неопределенных интегралов. - Вычисление определенных интегралов. - Приложение интеграла к решению задач. - Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. - Операции над множествами. - Вычисление вероятностей и методы математической статистики

Изучив теоретический материал по данной теме, студенты выполняют практическую работу. Она предлагается как сильным студентам, так и слабоуспевающим. Примеры подобраны по уровню сложности. Сам студент определяет уровень сложности на первом этапе решения и впоследствии может его изменить. При решении можно пользоваться справочным материалом. Данные работы носят как репродуктивный, так и поисковый характер. Формы работы фронтальная и индивидуальная. Студент, знающий математику, и в своей будущей профессиональной деятельности стремится строго следовать тому предписанию и набору правил, которые приводят к получению правильного результата. Поэтому одной из задач математики является высокоинтеллектуальное развитие человека, способного творчески решать поставленные задачи и адаптироваться к динамически развивающемуся обществу. С этой точки зрения, конкретные математические знания рассматриваются как основы для дальнейшей профессиональной деятельности, а сам процесс изучения математики - как развивающая функция, способствующая повышению интеллектуального уровня студента.

Практическое занятие №1. Вычисление пределов. Виды неопределенностей и способы их раскрытия.

Цель: Закрепить знания студентов по теме «Предел функции» в процессе решения упражнений.

Теоретический материал. Множество чисел, каждое их которых снабжено своим номером, называется числовой последовательностью. Элементы этого числового множества называются членами последовательности: х₁, х₂,х₃,…х_n,…

Способы задания последовательностей

Аналитический способ задания последовательности. Задать последовательность аналитически- это значит указать формулу, позволяющую по номеру члена последовательности однозначно определить этот член. Формула, позволяющая вычислить любой член последовательности по его номеру, называется формулой общего члена числовой последовательности. Например, формулы общего члена

задают соответственно следующие числовые последовательности:

Рекуррентный способ задания последовательностей.

Рекуррентный способ задания состоит в том, что задается первый член( или несколько первых членов) последовательности указывается формула вычисления последующих членов последовательности по заданному первому члену( или нескольким членам).

a₁₌1, a_n+1=a_n+1, n,задается следующая последовательность:

1, 2, 3, 4, …, n-1, n, n+1, …

Последовательности бывают: ограниченные (если последовательность задается конечным числом элементов) и бесконечные ( если последовательность задается бесконечным числом элементов).

Последовательность называется монотонно возрастающей, если для любого натурального n выполнено неравенство x_n+1>x_n. Последовательность называется монотонно убывающей, если для любого натурального n выполнено неравенство x_n+1<x_n.

Предел числовой последовательности. Предел функции .

Если числовая последовательность монотонна и ограниченна, то она имеет предел.

Число к которому стремится последовательность называют пределом последовательности, и пишут lim x_n=a .

Вычисление пределов.

При вычислении пределов могут помочь их арифметические свойства. Пусть для последовательностей x_n и y_n существуют пределы . Тогда существуют пределы для суммы (разности), произведения и частного этих последовательностей, и справедливы равенства:

Существует несколько видов неопределенностей:

Некоторые приемы раскрытия неопределенностей.

1). Если в числителе и знаменателе дроби стоят многочлены относительно n , то при вычислении ее предела при nполезно поделить числитель знаменатель на старшую степень n, присутствующую в многочленах.

Пример. Вычислить предел:

.

Решение :

Ответ: -1

2). При вычислении предела отношений двух функций, при , необходимо произвести сокращение числителя и знаменателя дроби на общий множитель.

Пример. Вычислить предел:

.

Ответ:

3). Вычисление предела от иррационального выражения иногда можно осуществить переводом иррациональности из числителя в знаменатель или наоборот. Для этого и числитель, и знаменатель дроби, стоящей по знаком предела, надо умножить на выражение сопряженное подкоренному.

Пример. Вычислить предел: .

Решение:

Ответ: 0.

4). При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используется предел

Пример . Вычислить предел:

Решение :

Преобразуем, числитель дроби по формуле

Тогда получаем:

Ответ: 0.

5). Правило Лопиталя:

Предел отношения двух функций равен пределу отношения их производных, если последний существует в указанном смысле.

Пример : Вычислить предел:

Решение :

Ответ: 0.

Число иррациональное, (бесконечная непериодическая десятичная дробь). Более того, число трансцендентное, т. е. не является корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами.

Непрерывность функции в точке.

Функция f(x), определенная на промежутке (а;b), называется непрерывной в точке х_0, если:

1. существует предел ;

2. этот предел равен значению функции в точке х₀, т.е.

Пример: Доказать непрерывность функции

f(x)=3х²+5х, в точке х=2.

Решение:

С другой стороны, значение функции в точке 2 тоже равно 17. Следовательно, равенство выполняется и данная функция непрерывна в точке х=2 .

если существует, но функция не определена в точке х₀, то говорят, что х₀- точка устранимого разрыва. В этом случае можно доопределить функцию f(x) «по непрерывности», положив .

Пример. Доопределить функцию

в точке х=2 по непрерывности.

Решение :

точка х=2 не принадлежит области определения данной функции, но

Доопределяя функцию f(x) в точке х=2 значением, равным, 4, получаем функцию,

которая на всей области определения исходной функции совпадает с исходной функцией и будет непрерывной на всей числовой оси.

Ответ: =4.

Фронтальная практическая работа.

1. Вычислите

Решение.

Элементарная функция y = 2x + 1 непрерывна в любой точке области определения, поэтому

2. Вычислите пределы, требующие раскрытия неопределенности типа

Замечание. Сокращение на (х+1) возможно, так как … .

3. Вычислите пределы, требующие раскрытия неопределенности типа :

2)

3)

4. Вычислите пределы, требующие применения первого замечательного предела:

1) а)

б) закончите обобщение:

2) а)

б) закончите обобщение:

Индивидуальная практическая работа.

Вычислить предел:

Доопределить функции по непрерывности:

1) в точке х=3.

2) в точке х=0.

Практическое занятие №2. Производная функции. Нахождение производных по алгоритму. Вычисление производной сложных функций.

Цель: Закрепить знания студентов по теме «Производная функции» в процессе решения упражнений.

Производной функции у=f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю ( если этот предел существует):

Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции.

Геометрический смысл производной: производная есть угловой коэффициент( тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой в точке х_0, т.е.

y= f(x₀)+f^/(x₀)(x-x₀) - уравнение касательной.

Механический смысл производной: производная пути по времени есть скорость точки в момент

Пример: Написать уравнение касательной функции f(x)= х⁴+5х²- 4 в точке х₀=1.

Решение:

1) найдем значение функции в точке х₀: f(1)= ;

2) вычислим производную: f^/(x)=4х³+10х;

3) найдем значение производной в точке х₀: f^/(1)= =14.

Подставляя в формулу уравнения касательной получаем:

у=2+14(х-1)=

Ответ: у= 14х-12.

Правила вычисления производной.

Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций, т.е.

Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, т.е.

Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле

(при условии, что v).

Таблица производных

1

(С)΄ = 0, где С - постоянное число

10

(Сх)΄ = С х΄

2

(υ ѵ)΄ = υ΄ ΄

11

(х)΄ = 1

3

(υѵ)΄= υ΄ѵ + υѵ΄

12

( )΄ = -

4

΄ =

13

()΄ =

5

(Сυ)΄ = Сυ

14

)΄ =

6

()΄ = n

15

(sinх)΄=cоs х

7

( )΄=

16

(cоs х)΄ = - sin х

8

)΄ =

17

(tg х)΄ =

9

()΄=

18

(ctg х)΄ = -

Фронтальная практическая работа

Задача. Автомобиль движется по прямой согласно закону . Найдите скорость и ускорение автомобиля в момент времени .

Решение. Скорость движения - это производная от пути по времени, следовательно,

.

Значит, в момент времени скорость данного движения такова: .

Так как нам известна скорость движения как функция времени, мы можем найти ускорение этого движения: .

Значит, в момент времени ускорение данного движения равно: .

О т в е т: 46; 24.

Используя образец решения, решите задачу: В какой момент времени скорость тела, движущегося по закону Ѕ = 3- 15t + 2, равна 0? Найти ускорение тела. Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найдите производные функций:

а) у = - 4х + 3 б) у = + - + в) у = г) у =

Найдите производные сложных функций:

а) ;

Решение: Так как , где , то и , откуда .

б)

Решение: Так как , где , то и , откуда .

Найти производные следующих функций, используя правила вычисления производной сложных функций:

y=cos5x;

y=(2x+5)¹⁰⁰;

Индивидуальная практическая работа.

y=sin3x;

y=(5x-7)¹²⁰;

1. Найти производную функции

1) 2)

3) 4)

2. Найти производную функции

1) 2)

3) 4)

3. Найти производную функции

1) 2)

3) 4)

4. Найти производную функции

1) 2)

3) 4)

5. Найти производную функции

1) 2)

3) 4)

6. Найти производную функции

1) 2)

3) 4)

7. Найти производную функции

1) 2)

3) 4)

8. Найти производную функции

1) 2)

3) 4)

9. Найти производную функции

1) 2)

3) 4)

10. Найти производную функции

1) 2)

3) 4)

11. Найти производную функции в точке х = 0

1) -1 2) 0 3) 0,5 4) 1

12. Найти производную функции в точке х = 1

1) 4 2) -1 3) 1 4) 2

13. Найти производную функции в точке х = 2

1) 6 2) 4 3) - 4 4) -2

14. Найти производную функции в точке х = 1

1) 3 2) -3 3) -1 4) 1

15. Найти производную функции

1) 2) 3)

4)

16. Найти производную функции

1) 2) 3)

4)

17. Найти производную функции

1) 2) 3)

4)

18. Найти производную функции

1) 2) 3)

4)

Практическое занятие №3. Исследование функции и построение графиков. Приложения производной к решению задач.

Цель: систематизировать материал по данной теме и научить строить графики функций с помощью исследования функции. Научить решать задачи с помощью производной.

Функцией у = f(x) называется зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению переменной х соответствует единственное значение переменной у.

Графиком функции у = f(x) называется множество всех точек плоскости с координатами (х; f(x)).

Область определения функции - это множество значений, которые принимает переменная х.

Множество значений функции - это множество значений, которые принимает переменная у.

Под непрерывной функцией понимают функцию, график которой можно построить одной линией, не отрывая карандаша от листа бумаги.

Под точками разрыва понимают значения переменной х, в которых функция не является непрерывной.

Нули функции - это значения переменной х, в которых функция равна нулю.

Промежутки знакопостоянства функции - это множества значений переменной х, при которых функция принимает либо только положительные значения, либо только отрицательные.

Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если большему значению х из этого промежутка соответствует большее значение переменной у.

Функция называется убывающей на некотором промежутке, если большему значению х из этого промежутка соответствует меньшее значение переменной у.

Промежутки возрастания и убывания функции называются промежутками монотонности функции.

Функция называется монотонной, если она либо только убывает, либо только возрастает на всей области определения.

Точка х₀ называется точкой максимума функции у = f(x), если существует такая окрестность этой точки, что для всех значений х ≠ х₀ из этой окрестности значения функции в них меньше значения функции в точке х₀ , т.е. f(x) < f(x₀ ).

Точка х₀ называется точкой минимума функции у = f(x), если существует такая окрестность этой точки, что для всех значений х ≠ х₀ из этой окрестности значения функции в них больше значения функции в точке х₀ , т.е. f(x) > f(x₀ ).

Точки максимума и точки минимума называются точками экстремума функции.

Значения функции в точках экстремума называются экстремумами функции.

График функции называется выпуклым вниз на некотором промежутке, если, соединив отрезком прямой любые две точки графика функции на этом промежутке, обнаружим, что этот отрезок расположен выше соответствующей части графика.

График функции называется выпуклым вверх на некотором промежутке, если, соединив отрезком прямой любые две точки графика функции на этом промежутке, обнаружим, что этот отрезок расположен ниже соответствующей части графика.

Функция называется ограниченной снизу, если весь ее график расположен выше некоторой горизонтальной прямой у = b.

Функция называется ограниченной сверху, если весь ее график расположен ниже некоторой горизонтальной прямой у = b.

Функция называется ограниченной, если она ограничена снизу и сверху.

Асимптота - это прямая, к которой график неограниченно приближается.

Функция у = f(x) называется периодической, если существует такое число Т ≠ 0, что для всех значений переменной х из области определения выполняется равенство

f (x - T) = f (x) = f (x + T)

Число Т называется периодом функции.

Если Т - период функции, то любое число вида kT, где k - целое число, тоже является периодом функции.

Функция у = f(x) называется четной, если

1) ее область определения симметрична относительно начала координат;

2) для всех значений переменной х из области определения выполняется равенство

f (-х) = f (x)

Функция у = f(x) называется нечетной, если

1) ее область определения симметрична относительно начала координат;

2) для всех значений переменной х из области определения выполняется равенство

f (-х) = - f (x)

Функции, которые не являются ни четными, ни нечетными, называются функциями общего вида.

График четной функции симметричен относительно оси оу.

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Исследование функции с помощью производной

Одним из приложений производной является ее применении к исследованию функции, то есть изучению ее свойств, и построению графика функции.

Необходимое условие монотонности функции:

Если дифференцируемая на некотором интервале функция у = f(x) возрастает, то f´(x )≥ 0 для всех значений х из этого интервала.

Если дифференцируемая на некотором интервале функция у = f(x) убывает, то f´(x)≤ 0 для всех значений х из этого интервала.

Достаточное условие монотонности функции:

Если функция дифференцируема на некотором интервале и f ´(x ) > 0 для всех значений х из этого интервала, то функция у = f(x) возрастает на этом интервале.

Если функция дифференцируема на некотором интервале и f ´(x ) < 0 для всех значений х из этого интервала, то функция у = f(x) убывает на этом интервале.

Необходимое условие экстремума функции:

Если дифференцируемая функция у = f(x) имеет в точке х₀ экстремум, то производная этой функции в данной точке равна нулю.

Внутренняя точка области определения функции, производная в которой равна нулю, называется стационарной точкой.

Внутренняя точка области определения функции, производная в которой равна нулю или не существует, называется критической точкой.

Достаточное условие экстремума функции

Если непрерывная функция у = f(x) дифференцируема в некоторой окрестности критической точки х₀ и при переходе через нее производная функции меняет знак с плюса на минус, то х₀ является точкой максимума.

Если непрерывная функция у = f(x) дифференцируема в некоторой окрестности критической точки х₀ и при переходе через нее производная функции меняет знак с минуса на плюс, то х₀ является точкой минимума.

Точка графика функции называется точкой перегиба, если в этой точке есть касательная и происходит изменение направления выпуклости.

Внутренние точки области определения, в которых существует производная, а вторая производная равна нулю или не существует, называются критическими точками второго рода.

Достаточное условие точки перегиба

Если функция у = f(x) имеет вторую производную в некоторой окрестности критической точки второго рода х₀ и меняет знак при переходе через нее, то точка М(х₀; f(x₀)) графика функции является точкой перегиба.

Достаточное условие выпуклости функции

Если вторая производная функции у = f(x) на некотором промежутке является положительной, то график функции на этом промежутке выпуклый вниз.

Если вторая производная функции у = f(x) на некотором промежутке является отрицательной, то график функции на этом промежутке выпуклый вверх.

Общая схема исследования функции, представляющей многочлен, с помощью производной и построение графика

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на монотонность и экстремум.

   1. Найти производную функции.

   2. Найти критические точки функции.

   3. Отметить критические точки на числовой прямой и найти знак производной на каждом из получившихся промежутков.

   4. Найти интервалы монотонности, точки экстремума и экстремумы функции

   5. Записать координаты точек графика функции, соответствующих точкам экстремума.

3. Исследовать функцию на выпуклость.

   1. Найти производную второго порядка.

   2. Найти критические точки второго рода.

   3. Отметить критические точки второго на числовой прямой и найти знак второй производной на каждом из получившихся промежутков.

   4. Найти интервалы выпуклости графика функции вверх и вниз.

   5. Записать точки перегиба.

4. Построить график функции.

   1. Отметить в системе координат точки, соответствующие точкам экстремума, и точки перегиба.

   2. Для более точного построения графика найти дополнительно несколько точек, принадлежащих графику функции.

   3. Соединив поставленные точки согласно исследованию, изобразить график функции.

Пример.

Исследовать функцию у = х³ - 3х² и построить ее график.

Исследование:

1. Область определения: D(y) = ( - ∞; + ∞).

2. Исследуем функцию на монотонность и экстремум:

   1. y´ = 3x² - 6x = 3x(x-2)

   2. 3x(x - 2) = 0

x = 0, x = 2 - критические точки функции

4. Функция возрастает на промежутках: ( - ∞; 0); (2; + ∞).

Функция убывает на промежутке: ( 0; 2)

Точки экстремума: х_max = 0; x_min = 2.

Экстремумы функции: f(0) = 0³ - 3∙0² = 0; f(2) = 2³ - 3∙2² = 8 - 12 = - 4

5. Точки, соответствующие точкам экстремума: А(0; 0); В(2; - 4).

3. Исследуем функцию на выпуклость

   1. у´´ = 6х - 6

   2. 6х - 6 = 0

х = 1 - критическая точка второго рода

4. График функции выпуклый вверх на промежутке: ( - ∞; 1)

График функции выпуклый вниз на промежутке: (1; + ∞)

5. f(1) = 1³ - 3∙1² = 1 - 3 = - 2

Точка перегиба: С( 1; - 2)

4. Дополнительные точки:

х = - 1: f(-1) =( -1)³ - 3∙(-1)² = - 1 - 3 = - 4; D( - 1; -4 )

х = 3: f(3) = 3³ - 3∙3² = 27 - 27 = 0; E ( 3; 0 )

5. Построение графика функции

Фронтальная практическая работа

1. Исследовать функцию и построить ее график.

   1. у = -х³ + 3х² - 4

   2. у = 4х² - х⁴

Индивидуальная практическая работа.

2. На рисунках изображены графики производной функции у = f ´(x). Исследуйте функцию у = f( x ) на монотонность и экстремум.

2.1. 2.2.

3. Изобразите график непрерывной функции, зная, что:

а) область определения функции есть промежуток [-3;4];

б) значения функции составляют промежуток [-2;5];

в) в левом конце области определения функция принимает наибольшее значение;

г) 2 - единственная точка экстремума.

4. Исследовать функцию на монотонность и экстремум

   1. f(x) = x³ - 6x³

5. Исследовать функцию на выпуклость. Найти точки перегиба.

   1. y = x⁴ - 10x³ + 36x² - 31x - 37

6. Исследовать функцию и построить ее график

6.1. у = х3 - 3х2 + 4

6. На рисунках изображены графики производной функции у = f ´(x ). Исследуйте функцию у = f( x ) на монотонность и экстремум.

7.1. 7.2.

Приложение

у = х³ + 3х² у = - х³ + 3х² - 4 у = 3х⁴ + 4х³ - 2

у = х³ + 2х у = х⁴ + 2х³ - 5х² у = х³ - 4х² - 3х + 6

у = х⁴ - 2х³ - 3 у = 2х³ - 9х² + 12х - 3 у = 3х - х³

Тесты

Вопрос и варианты ответов

Если для точки х₀ существует такая окрестность, что для всех значений х из этой окрестности выполняется неравенство f(x) < f(x₀), то точка х₀ называется

1. производной

2. критической точкой

3. стационарной точкой

4. точкой максимума

5. точкой минимума

6. точкой перегиба

Если большему значению переменной х из данного промежутка соответствует меньшее значение функции у, то функция на данном промежутке называется

1. возрастающей

2. монотонной

3. нечетной

4. убывающей

5. выпуклой вверх

6. выпуклой вниз

Если в каждой точке некоторого промежутка производная функции положительная, то функция на данном промежутке

1. возрастает

2. выпуклая вверх

3. выпуклая вниз

4. убывает

5. ограниченная

Точка графика функции, в которой существует касательная и происходит изменение направления выпуклости, называется

1. точкой максимума

2. точкой перегиба

3. точкой минимума

4. критической точкой

5. точкой экстремума

6. стационарной точкой

Если при переходе через стационарную точку производная функции меняет знак с минуса на плюс, то данная точка является

1. критической

2. точкой максимума

3. точкой перегиба

4. точкой минимума

5. точкой разрыва

Предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю называется

1. касательной

2. секущей

3. производной

4. асимптотой

5. дифференциалом

Множество значений, которые принимает независимая переменная х, называется

1. областью значений функции

2. нулями функции

3. промежутками знакопостоянства функции

4. точками экстремума

5. областью определения функции

Если при переходе через критическую точку второго рода вторая производная меняет знак, то соответствующая ей точка графика функции называется

1. точкой максимума

2. точкой экстремума

3. точкой минимума

4. стационарной точкой

5. точкой разрыва

Функция, имеющая производную в каждой точке интервала (а;b), называется

1. монотонной

2. возрастающей

3. убывающей

4. ограниченной

5. дифференцируемой

6. непрерывной

Внутренняя точка области определения, в которой производная функции рана нулю или не существует, называется

1. стационарной

2. точкой максимума

3. точкой минимума

4. критической

5. точкой экстремума

6. точкой перегиба

Если в каждой точке некоторого промежутка вторая производная функции отрицательная, то график функции на данном промежутке

1. возрастает

2. выпуклый вверх

3. убывает

4. выпуклый вниз

5. отрицательный

Применение производной к решению задач.

Задача 1. Тело движется прямолинейно, и его скорость изменяется по закону υ(t) = 2t - 3 (м/с) [υ(t) = 6t + 4 (м/c)]. В момент времени t = 5 с [3 с] тело находится на расстоянии S = 10 м [19 м] от точки отсчета. Укажите формулу, которой задается зависимость S(t). Выбрать ответ.

Ответы: l) S(t) = t² - 3t; 2) S(t) = 3t² + 4t - 20; 3) S(t) = 3t² + 4t + 20,

3. S(t) = t² - 3t + 10.

Задача 2. Автомобиль приближается к мосту со скоростью 72 км/ч. У моста висит дорожный знак "36км/ч". За 7 сек до въезда на мост, водитель нажал на тормозную педаль. С разрешаемой ли скоростью автомобиль въехал на мост, если тормозной путь определяется формулой s=20t-t²?

Да, т.к. скорость через 7 сек. будет равна 6м/с (21,6 км/ч). Обоснуйте ответ.

Задача 3. При торможении маховик коленчатого вала поворачивается на угол: Найти угловую скорость в момент времени t₀ = 3c и найти время, через которое маховик остановится.

8 - 2·3 = 8 - 6 = 2 (рад/с).

Если маховик остановился, то угловая скорость равна 0.

8 - 2t = 0; -2t = - 8; t = 4 (c).

Маховик остановился через 4 секунды.

Задача 4. Вращение тела вокруг оси совершается по закону Найдите угловую скорость в момент времени t=4c.

Практическое занятие №4. «Неопределенный интеграл».

Цель: Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Вычисление неопределенного интеграла».

Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной или дифференциала данной функции. Интегральное исчисление решает обратную задачу - нахождение самой функции по ее производной или дифференциалу.

Определение. Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x) на промежутке Х, если в каждой точке х этого промежутка F^/(x)=f(x). Например, является первообразной для функции f(x)=x², так как .

Основное свойство первообразной:

Если F(x) - первообразная для функции f(x) , то выражение вида F(x)+C, где С-произвольное число, задает все возможные первообразные для функции для f(x).

Определение. Совокупность всех первообразных для функции f(x) на промежутке Х называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается , где - знак интеграла, f(x)- подынтегральная функция , f(x)dx - подынтегральное выражение. Таким образом,

,

где F(x) - некоторая первообразная для f(x), С - произвольная постоянная.

Операция нахождения неопределенного интеграла от некоторой функции называется интегрированием этой функции.

Основные свойства неопределенного интеграла.

Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.

где k- некоторое число.

Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е.

Пусть F(x) некоторая первообразная для функции f(x). Тогда

,

где k и b-некоторые числа, k ≠0.

Таблица интегралов

Методы интегрирования.

Существуют следующие методы интегрирования:

• Интегрирование элементарных функций по таблице;

• Метод замены переменной;

• Метод интегрирования по частям;

Интегрирование по частям.

Пусть u(x) и v(x) - дифференцируемые функции. Метод интегрирования по частям основан на следующих равенствах:

1. (u^.v) = u^/.v + u^.v^/;

2. 

3. .

Пример 1.Вычислить интеграл:

Так как х^/=1, а функция cosx при интегрировании обращается в (-sinx), то данный интеграл можно найти интегрированием по частям, и полагая u(x) =x, v^/(x) =cos x

u^/(x)=1, v(x)=

Подставляя, получаем:

Ответ:

Типы интегралов, для нахождения которых используется формула интегрирования по частям:

1. 

2. где a, m, k - действительные числа ( k≠-1), n- целое положительное число.

Пример 2. Найти интегралы: а)

Решение:

а) Поскольку х²+2х+1=(х+1)², то используем замену переменной t= x+1.

Тогда dt = dx, x= t-1 u

Ответ:

b) Так как 4х²+4х-3 = (2х+1)²-4, то положим t= 2x+1. Тогда

При нахождении первого интеграла воспользуемся формулой (15) при а=1, с=-4. второй интеграл - (10). Теперь имеем

Ответ :

Пример 3. Найдите интеграл.

Решение. Полагая 2x+1=t ,2dx=dt, dx=.

Пример 4. Найдите интеграл

Решение. Пусть u=x,,

, ;

Фронтальная практическая работа

1. Найти неопределённый интеграл

2. Найти неопределённый интеграл

3. Найти неопределённый интеграл

4. Найти неопределённый интеграл

5. Найти неопределённый интеграл

6. Найти неопределённый интеграл

7. Найти неопределённый интеграл

8. Найти неопределённый интеграл

9. Найти неопределённый интеграл

10. Найти неопределённый интеграл

11. Найти неопределённый интеграл

12. Найти неопределённый интеграл

13. Найти неопределённый интеграл

14. Найти неопределённый интеграл

15. Найти неопределённый интеграл

16. Найти неопределённый интеграл

17. Найти неопределённый интеграл

18. Найти неопределённый интеграл

Практическое занятие №5. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла.

Свойства определенного интеграла:

1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т. е.

=k,

где k- некоторое число.

2. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е.

=.

3. Если отрезок интегрирования разбит на части , то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, т.е. при любых а, b, с:

Формула Ньютона -Лейбница:

Основная формула интегрального исчисления, традиционно связана с именами И. Ньютона и Г. Лейбница.

Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и F(x) -любая первообразная для f(x) на [a,b]. Тогда определенный интеграл от функции f(x) на [a,b] равен приращению первообразной F(x) на этом отрезке, т.е.

Вычислить: а)

Решение :

а) произвольная первообразная для функции f(x)=х² имеет вид для нахождения интеграла по формуле Ньютона- Лейбница возьмем такую первообразную, у которой С=0. Тогда

Ответ : .

b) первообразную подынтегральной функции найдем, используя формулу (4). Применяя формулу Ньютона- Лейбница получаем

Ответ: .

Вычисление площадей плоских фигур.

1 способ 2 способ

уy y=f₁(x)

у=f(x)

S

y=f(x)

х

₀ х=а х=b 0 x=a x=b x

f₂(x) < f₁(x)

3 способ

y

y=f(x)

y=k

S

0 x=a x=b x

.

Пример 1. Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями:

, х=0, у=4;

Решение: из чертежа видно , что искомая площадь S криволинейного треугольника ОАВ равна разности двух площадей:

S=S_ОАВС-S_ОВС, каждая их которых, находится по геометрическому смыслу интеграла.

у

В у=4

А

х =0

С

О х

найдем пределы интегрирования:

у₁ = х² и у₂= 4 у₁ = у₂;

х²= 4 (отрицательный корень не принимаем);

S_ОАВС=

S_ОВС=.

Окончательно S=(кв. ед.)

Ответ: S=кв. ед.

Фронтальная практическая работа

Закончите формулировку теоремы Ньютона - Лейбница:

Если F(x) есть какая-либо первообразная функции f(x), то справедлива формула

Найдите путь, пройденный автомобилем, движущийся по прямой с известной скоростью, являющейся функцией времени t .

Решение:

1). Выделим достаточно малый промежуток времени , на котором скорость

можно приближенно считать постоянной.

2). Определим «элемент пути» - путь, пройденный автомобилем за указанный промежуток времени: .

3). Проинтегрируем «элемент пути» от начального момента времени до конечного момента . Получаем искомый путь:

Определите работу A, совершаемую материальной точкой, движущейся по прямолинейному пути (вдоль оси Ox) под действиями переменной силы при условии, что направление совпадает с направлением движения.

Ре ш е н и е.

1). Выделим достаточно малое перемещение [x; x+dx] , на котором приложенную силу можно приближенно считать постоянной.

2). Определим «элемент работы» - работу, совершаемую силой F(x) на указанном перемещении .

3). Проинтегрируем «элемент работы» от начальной точки x=a до конечной x=b . Получим искомую работу:

Определите количество электричества Q, протекающего через поперечное сечение проводника за промежуток времени .

Р е ш е н и е.

1) Выделим элементарный отрезок времени [t; t+dt], такой, в пределах которого силу тока I можно приближенно считать постоянной. Тогда «элемент» количества электричества dQ определяются формулой dQ=I(t)… .

2) Для того чтобы найти Q, проинтегрируем dQ в промежутке

Найдите путь, пройденный за первые 10 с движения телом, свободно падающим в пустоте, если известно, что скорость свободного падения в пустоте определяется формулой , где - начальная скорость, g - ускорение силы тяжести, t - протекшее время.

Решение.

1). Учитывая, что , находим искомое расстояние:

Два электрических заряда Кл находятся на расстоянии 40см друг от друга. Разделяющей их средой служит парафин. Сначала оба заряда закреплены неподвижно, а затем заряд освобождается и под действием силы отталкивания удаляется от заряда на расстояние, равное 1м. Какая работа при этом будет произведена силой отталкивания? Решение.1) По закону Кулона сила F(x) взаимодействия зарядов и равна: F(x) = , где диэлектрическая проницаемость вакуума, - диэлектрическая проницаемость парафина. Искомая работа:

Определите координаты центра тяжести плоской однородной ( =1) фигуры, ограниченной синусоидой y=sin x и отрезком оси Ox от x=0 до x= .

Решение.

y

y=f(x)

0 a b x

Для рассматриваемой задачи a=0, b= , y(x)=sin x.

Следовательно,

Индивидуальная практическая работа.

1. Скорость движения задаётся формулой м/с. Найдите путь, пройденный точкой за первые 10 с от начала движения.

2. Какую работу надо затратить, чтобы растянуть пружину на 6 см, если сила в 1 Н растягивает её на 1 см?

3. Найдите координаты центра тяжести треугольника, ограниченного прямыми

x + y = 3, x = 0, y = 0. Плотность .

Практическое занятие №6. Приложения интеграла к вычислению площадей плоских фигур. Использование определенного интеграла для решения задач, связанных с профессиональной деятельностью.

ЦЕЛЬ: Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Вычисление определенного интеграла». Закрепить и систематизировать знания по теме.

Фронтальная практическая работа

Основные сведения из теории

Закончите определения:

Пусть на плоскости с введенной декартовой прямоугольной системой координат дана система материальных точек , с массами соответственно . Тогда:

1) произведение называется… массы относительно...;

2) произведение называется… массы относительно оси…;

3) если и - координаты центра тяжести данной системы, то они определяются по следующим формулам:

Найдите центр тяжести плоской криволинейной пластинки (плотность известна).

Р е ш е н и е.

y

p

х

0 a x x+dx b

1) Возьмем элементарный отрезок [x; x+dx] оси Ox. В криволинейной трапеции выделится элементарная полоска, которую при достаточно малом…можно приближенно считать прямоугольником.

2) Массу полоски будем считать сосредоточенной в ее центре тяжести, т.е. в точке . Тогда «элемент» статистического момента криволинейной трапеции относительно оси Ox найдется как произведение массы dm на ординату точки .

3) Аналогично определим «элемент» статистического момента той же криволинейной трапеции относительно оси Oy: .

4) Для нахождения проинтегрируем по отрезку [a,b]: .

5) Используя соотношения , в итоге находим:.

Закончите утверждения:

1. Если плоская непрерывная кривая задана в декартовой системе координат уравнением , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми x=a, x=b и осью 0x,определяется формулой S=… .

2. Eсли плоская непрерывная кривая задана уравнениями в параметрической форме то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми x=a, x=b и осью Ox, определяется формулой S=…, где значение верхнего и нижнего пределов интегрирования определяется из уравнений.

3. Если плоская непрерывная кривая задана в полярных координатах уравнением , то площадь сектора, ограниченного этой кривой и двумя полярными радиусами,

соответствующими значениям , определяется формулой S=…

x

4. Длина дуги плоской гладкой кривой, заданной в декартовой системе координат уравнением y = f(x) и ограниченной точками с абсциссами x = a и x = b, определяются формулой l = ….

5. Если плоская гладкая кривая задана в параметрической форме уравнениями и , а значения параметра, соответствующие началу и концу дуги, равны , то длина дуги определяется формулой l =….

6. Если плоская гладкая кривая задана в полярных координатах уравнением , где, то длина дуги определяется формулой l =… .

7. Формулой определяется объем тела, образованного вращением вокруг оси…. криволинейной трапеции, ограниченной кривой …, осью… и двумя прямыми …. и …

8. Формулой определяется …

9. Формулой определяется площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси…. дуги плоской гладкой кривой, заданной уравнением .

Примеры и упражнения.

1. Вычислите площадь параболического сектора, образованного параболой и прямой y =1. Сделайте чертеж.

Решение.

1) Абсциссы точек пересечения параболы и прямой: … .

2) Площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой , осью Ox а также прямыми…:

3) Площадь квадрата со стороной, длина которой равна …:

4) Площадь параболического сектора: S= … .

2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной одной полуволной синусоиды y = sin x и осью абсцисс. Сделайте чертеж.

Решение.

1) Заметим, что одна полуволна синусоиды соответствует значениям x, меняющимся в пределах от x = … до x = … .

2) Искомая площадь: S = … .

3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболами . Сделайте чертеж.

Решение.

1) Абсциссы точек пересечения данных парабол: … .

2) Площадь криволинейной трапеции, ограниченной: а) кривой …; б) осью …; в) прямыми … и…:

3) Площадь криволинейной трапеции, ограниченной: а) кривой …; б) осью …; в) прямыми … и…:

4) Искомая площадь: S= … .

4. Найдите площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и одной аркой циклоиды

x = a(t - sint), y = a(1 - cost). Сделайте чертеж.

Решение.

1. Значения параметра t соответствующие началу и концу арки: t = …, t = … .

2. Вычислим dx: … .

3. Искомая площадь: S = … .

Индивидуальная практическая работа.

Обратите внимание на теорию!

Криволинейной трапецией называют часть плоскости, ограниченную осью ОХ, прямыми х = а, х = в и графиком неотрицательной на отрезке [a;b]функции y = f(x).

Фигура не является криволинейной трапецией, если:

• ни одна ее сторона не лежит на оси ОХ;

• она ограничена графиками нескольких функций;

• вся фигура или ее часть располагаются ниже оси ОУ.

Чтобы найти площадь криволинейной трапеции, надо воспользоваться формулой Ньютона - Лейбница:

S = F(b) - F(a)

где F - это первообразная функции, ограничивающей трапецию, a и b - координаты концов отрезка, на котором рассматривается трапеция.

Если фигура не является криволинейной трапецией, то ее следует представить как комбинацию криволинейных трапеций и вычислить площадь как сумму или разность площадей, составляющих ее трапеций.

Если фигура располагается ниже оси ОХ, то, применяя формулу Ньютона - Лейбница, следует поменять местами координаты концов отрезка: S = F(a) - F(b)

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной перечисленными линиями, надо:

1. Построить перечисленные линии в одной системе координат;

2. Заштриховать искомую фигуру;

3. Если получилась криволинейная трапеция, применить формулу Ньютона-Лейбница

4. Если фигура не является криволинейной трапецией, найти ее площадь как сумму или разность каких-то криволинейных трапеций, опирающихся на тот же отрезок.

Выполните задание: на предложенных далее рисунках, расставьте необходимые обозначения так, чтобы указанная ниже формула для нахождения площади фигуры оказалась верной.

S = F(a)-F(b)

S = F(a)-F(0)

Применяя формулу Ньютона-Лейбница найти:

Пример. Найти путь, пройденный телом за 4 секунды от начала движения, если скорость тела v(t) = 10t + 2 (м/с).[5]

Решение: Если v(t) = 10t + 2 (м/с), то путь, пройденный телом от на­чала движения (t = 0) до конца 4-й секунды, равен

S = Ответ: 88 (м)

Пример. Определить величину давле­ния воды на полукруг, вертикально погружен­ный в жидкость, если его радиус R, а центр О находится на свободной поверхности воды (рис) [5]

Решение: Воспользуемся полученной форму­лой для нахождения давления жидкости на вер­тикальную пластинку. В данном случае пластинка ограничена линиями у= -, y, x = 0, x = R.

P =

Практическая работа №7. «Однородные дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющими переменными».

Цель: научиться решать дифференциальные уравнения первого порядка.

Рассмотрим движение тела массы m в вязкой среде с коэффициентом сопротивления k. По второму закону Ньютона можно записать:

Так как ускорение - первая производная скорости, ; В это уравнение входит неизвестная величина v и ее производная по времени

Движение тела в вязкой среде в отсутствие движущей силы.

Уравнения, подобные этому, нередко встречаются в физике, химии, экономике и других дисциплинах. Уравнение вида

называется обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка. Решением этого уравнения является произвольная функция y = y (x), подстановка которой в уравнение превращает его в верное тождество. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. Простейшим дифференциальным уравнением является уравнение вида

Чтобы его решить, нужно представить производную как помножить обе части уравнения на dx и проинтегрировать обе части получившегося уравнения:

Как видно, это уравнение имеет бесконечное количество решений, отличающихся друг от друга на постоянную C. Выбрать конкретное решение уравнения можно, если знать начальные условия, например, точку, через которую проходит график функции y = y (x). Так, если известно, что

то, подставляя это значение в общее решение получаем, откуда и

Это решение можно записать в виде Общим решением дифференциального уравнения называется функция y = y (x, C₁, C₂,…, C_n), зависящая от n констант, если она является решением дифференциального уравнения при любых значениях постоянных C₁, C₂,…, C_n.

Неоднозначность общего решения многих уравнений имеет простой физический смысл. Так, дифференциальное уравнение движения материальной точки массы m под действием силы F (второй закон Ньютона)

не определяет однозначно закон движения этой точки: для этого необходимо знать его начальные скорость и координату.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из общего решения путем придания определенного значения постоянным

1. Дифференциальные уравнения f(y) dy = g(x) dx называют уравнениями

с разделяющими переменными.

2. Если q(x) = 0, то уравнение называется однородным, если q(x) ≠ 0, то

уравнение неоднородное.

Общими положениями при составлении дифференциального уравнения по условию задачи являются следующие:

1. В результате анализа условия задачи установить, какую из величин надо принять за аргумент, а какую - за функцию.

2. Установит, какой конкретный смысл имеет производная искомой функции или дифференциалы аргумента и функции.

3. Найти соотношения, связывающие производную искомой функции (или дифференциалы), т.е. составить дифференциальное уравнение, соответствующее условию задачи.

4. Определить начальные условия.

Пример 1. Найти закон движения тела по оси 0х, если оно начало двигаться из точки М (4;0) со скоростью ѵ = 2t + 3t².

Решение. При прямолинейном движении скорость есть производная от пути по времени. Обозначив путь через х, имеем ѵ = ; тогда = 2t +3t², или dх = (2t + 3t²) dt. Проинтегрировав, получим х = + + С. Используя начальные условия, найдем С. Так как х = 4 при t = 0, то, подставив эти значения в общее решение, находим С = 4. Итак, закон движения тела имеет вид х = + + 4.

Пример 2. Составить уравнение кривой, проходящей через точку М (2; -3) и имеющей касательную с угловым коэффициентом 4х - 3.

Решение. Согласно условию задачи, имеем = 4х -3, или dу = (4х -3) dх. Проинтегрировав, получим у = 2х² - 3х + С. Используя начальные условия х = 2 и у = - 3, находим С = - 5. Следовательно, искомое уравнение имеет вид у = 2х² - 3х - 5.

Примеры физических задач, приводящих к дифференциальным уравнениям.

Во многих случаях приходится составлять дифференциальное уравнение, чтобы решить задачу. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Реактивное движение. Ракета, начальная масса которой равна m₀, движется вдали от небесных тел за счет газовой струи, выбрасываемой в направлении, противоположном движению, со скоростью u относительно ракеты. Начальная скорость ракеты равна v₀. Необходимо получить зависимость скорости ракеты от ее массы.

Запишем закон сохранения импульса. Пусть в некоторый момент времени t импульс ракеты равнялся mv. За бесконечно малый промежуток времени dt скорость ракеты увеличилась от v до v + dv, а масса уменьшилась от m до m - dm, и ракета увеличила свой импульс на выбросив назад dm топлива, импульс которого равен dm (v - u) (здесь и далее уравнение записывается в проекции на ось движения, u > 0). Получаем Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем Слагаемое dm · dv бесконечно мало по сравнению с остальными слагаемыми, так как оно является произведением двух бесконечно малых величин; этим слагаемым можно пренебречь. Разделим обе части получившегося уравнения на dt:

Это уравнение называется уравнением движения тела с переменной массой. Это дифференциальное уравнение.

Пример 2.

Истечение идеальной жидкости из сосуда.

Истечение идеальной жидкости из сосуда.

4

Пусть из сосуда с постоянной площадью поперечного сечения S через отверстие в дне площадью S₀ вытекает вода. Пренебрегая вязкостью, записать уравнение изменения уровня жидкости в сосуде h.

Скорость v истечения жидкости из сосуда, уровень жидкости в котором равен h, равна: (формула Торричелли). За бесконечно малый промежуток времени dt высота жидкости в сосуде уменьшается на dh. Этот же объем S dh истекает через отверстие площадью S₀. Можно записать, что за время dt через отверстие протекает «столб» воды dx = v dt. Таким образом (знак «минус» поставлен из-за того, что уровень воды в сосуде уменьшается). Таким образом,

Это тоже дифференциальное уравнение.

Фронтальная практическая работа

Основные сведения из теории

Закончите определения:

1) Дифференциальным уравнением называется соотношение, в которое входят независимая переменная, неизвестная функция и … .

2) Наивысший порядок входящих в дифференциальное уравнение производных или дифференциалов искомой функции называется его … .

3) Дифференциальное уравнение называется уравнением первого порядка, если в него входят … . Уравнение первого порядка всегда можно представить в виде F(…)=0.

4) Функция f(x) называется решением дифференциального уравнения первого порядка, если … .

5) Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется … .

6) Дифференциальное уравнение вида называется … .

7) Дифференциальное уравнение, которое можно представить в виде , называется … .

8) Линейным уравнением первого порядка называется дифференциальное уравнение, которое представимо в виде … .

Индивидуальная практическая работа.

1. Среди уравнений дифференциальным не является уравнение

1. 2xy = 4y² - x²

2. 2xydy = 4ydx

3. y' = 3xy

4. y'' = 3x²y

2. Среди уравнений дифференциальным не является уравнение

1. y' = 5x

2. y'' = 3x²y

3. xy = y² - x²

4. 5xydy = ydx

3. Порядок дифференциального уравнения y'' = 3x⁴y' равен

1. 1

2. 2

3. 3

4. 4

4. Порядок дифференциального уравнения y'' = 3x⁴y' + y''' равен

1. 1

2. 2

3. 3

4. 4

5. Дифференциальным уравнением с разделёнными переменными является уравнение

1. y' = 3xy

2. dy = dx

3. y' + y = 0

4. y' = - y''

6. Дифференциальным уравнением с разделёнными переменными является уравнение

1. 2y' = y

2. 2xdy = 3ydx

3. 2y' + 3y = 0

4. 2ydy = 3xdx

7. Общим решением дифференциального уравнения dy = 2xdx является

1. y = x²

2. y = x² + С

3. y = 2 + С

4. 

8. Общим решением дифференциального уравнения dy = 4xdx является

1. y = 4x²

2. y = 2x²

3. y = 2x² + С

4. y = 4 + С

9. Общим решением дифференциального уравнения dy = 6xdx является

1. y = 3x²

2. y = 6x²+ С

3. y = 3x² + С

4. y = 6 + С

10. Общим решением дифференциального уравнения dy = 3x²dx является

1. y = 3x³

2. y = 3x³ + С

3. y = 3 + С

4. y = x³ + С

11. Частным решением дифференциального уравнения dy = 5dx является

1. y = 5

2. y = 5x + 7

3. y = - 5x

4. y = 5 -5x

12. Частным решением дифференциального уравнения dy = -3dx является

1. y = 3

2. y = 3x

3. y = -3x + 2

4. y = -3 + x

13. Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка является

1. y'' - 2y' + 3y = 0

2. y'' = 5x + 7

3. y'' = - 5x²

4. y'' - 2y' + 3y = 1

14. Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка является

1. y'' = x + 1

2. y'' = - x²

3. 4y'' - y' + y = 0

4. y'' - хy' + 3y = 0

ответы:

1)- а; 2) - с; 3) - в; 4) - с; 5) - в; 6) - d; 7) - в; 8) - с; 9) - с; 10) - d; 11) - в; 12) - с;

13) - а; 14) - с;

Практическое занятие №8. Решение дифференциальных уравнений.

Индивидуальная практическая работа.

Составление дифференциального уравнения по условию задачи состоит обычно в определении математической зависимости между переменными величинами, фигурирующими в условии задачи, и их приращениями, которые обычно заменяются соответствующими дифференциалами.

Вариант 1.

1.Найти частные решения дифференциальных уравнений:

а) (х+3)dy - (y+2)dx = 0, если y=3 при x=2;

б) y'+2y+4=0, если y=5 при x=0.

2.Составить уравнение кривой, проходящей через точку М(1;- 2) и имеющей угловой коэффициент в любой точке касания.

Вариант 2.

1.Найти частные решения дифференциальных уравнений:

а)(1 - x) dy - (y - 1) dx = 0, если y=3 при x=2;

б)y' - y+4=0, если y=5 при x=0.

2.Составить уравнение кривой, проходящей через точку М(2;1) и имеющей угловой коэффициент в любой точке касания.

Вариант 3.

1.Найти частные решения дифференциальных уравнений:

а)2(х+1) dy = y dx, если y=2 при x = 1;

б)y' - 2y - 4=0, если y= 2 при x = 0.

2.Составить уравнение кривой, проходящей через точку М(2;2) и имеющей угловой коэффициент в любой точке касания.

Практическое занятие №9. Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической и показательной форме.

Цель: научить переводить комплексные числа из алгебраической в тригонометрическую и показательную формы.

Определение. Комплексными числами называются выражения виды а + вi, где а называется действительной частью комплексного числа, а в - его мнимой частью. Число i называется мнимой единицей.

Определение. Суммой двух комплексных чисел а + вi и с + di называется комплексное число (a + с) + (в + d)i.

При сложении комплексных чисел их действительные части и коэффициенты при мнимых частях складываются.

Примеры: (3-5i)+(2+i)=3-5i+2+i=(3+2)+(-5+1)i =5-4i

Правило. Чтобы из одного комплексного числа вычесть другое, достаточно это вычитание произвести отдельно для действительных частей этих чисел и коэффициентов при мнимых частях (а + вi) - (с + di) = a+вi-c-di= (а - с) + (в - d)i.

Примеры: (5+4i)-(4i -3)=5+4i-4i+3=8+0=8

(4+7i)-(2-i)=4+7i-2+i=2+8i

Правило. Произведением двух комплексных чисел а + вi и с + di называется комплексное число (ас - вd) + (ad + вс)i

Примеры:

Правило деления комплексных чисел:

= + i

Примеры:

Правило возведения в степень комплексных чисел: это необходимо запомнить!

=

Классификация комплексных чисел

Решение квадратных уравнений:

х² - 4х + 5 = 0

D = b² - 4ac

D = (-4)² - 4·1·5= - 4, уравнение имеет мнимые корни.

Х₁ =

X₂ =.

Геометрическая интерпретация комплексного числа.

Числу a + bi соответствует точка с координатами (a;b).

Тригонометрическая форма комплексного числа.

Модуль комплексного числа z = x + yi: .

Выражение z = r· (cos называется тригонометрической формой комплексного числа.

sin

Замечание: При записи комплексного числа в тригонометрической форме cos и sin берутся от одного и того же угла x, равного аргументу числа Z, а между косинусом и синусом ставится знак «+».

Пример: z = - 1+

r = = 2; sin; cos ;

Z = 2(cos

Показательная форма комплексного числа.

Формула Эйлера:

cos

Замечание: При записи комплексного числа в тригонометрической форме cos и sin берутся от одного и того же угла x, равного аргументу числа Z, а между косинусом и синусом ставится знак «+».

Индивидуальная практическая работа.

1. Дано: z₁ = -2 - 4i и z₂ = 1 - 4i. Найти z₁ + z₂.

1. -1

2. 1 - 4i

3. 1 - 8i

4. -1 - 8i

2. Дано: z₁ = -3 - 5i и z₂ = -1 + 7i. Найти z₁ + z₂.

1. -2 - i

2. -2 + 2i

3. 4 - 2i

4. -4 + 2i

3. Дано: z₁ = -8 - i и z₂ = 2 - 4i. Найти z₁ + z₂.

1. -6 - 4i

2. -6 - 5i

3. -10 - 5i

4. -10 + 5i

4. Дано: z₁ = -7 + 6i и z₂ = -5 - i. Найти z₁ + z₂.

1. -12 + 6i

2. -12 + 5i

3. -2 + 5i

4. -2 - 5i

5. Дано: z₁ = -2 - 4i и z₂ = 1 - 4i. Найти z₁ - z₂.

1. -3

2. -3 - 8i

3. -1

4. -1 - 8i

6. Дано: z₁ = -3 - 5i и z₂ = -1 + 7i. Найти z₁ - z₂.

1. -4 - 12i

2. -2 + 2i

3. -4 - 12i

4. -2 - 12i

7. Найти i²³.

1. -1

2. 1

3. i

4. -i

8. Найти i²⁷.

1. -1

2. 1

3. i

4. -i

9. Найти i⁸⁴.

1. -1

2. 1

3. i

4. -i

10. Найти i⁸¹.

1. -1

2. 1

3. i

4. -i

11. Найти модуль комплексного числа

z = 2 - 3i

1. 

2. 13

3. 2 + 3i

4. 5

12. Найти модуль комплексного числа z = -2 - 4i

1. 20

2. 4

3. -2 + 4i

4. 

13. Найти аргумент комплексного числа

z = - 3i

1. 

2. 

3. arctg3

4. 

14. Найти аргумент комплексного числа z = - 5i

1. 

2. 

3. arctg5

4. 

15. Найти i²⁰ + i¹³.

1. -1 + i

2. 1 + i

3. 0

4. 2

16. Найти i¹⁴ + i²⁵.

1. -1 + i

2. 0

3. 1 + i

4. 1 - i

17. Найти i¹⁵ + i²⁶.

1. -2

2. 2

3. -1 + i

4. -1 - i

18. Найти i²² + i⁴⁰.

1. 0

2. -2

3. 2

4. -2i

19. Дано: z₁ = - 4i и z₂ = - 2i. Найти z_{1 ∙} z₂.

1. -8

2. - 8i

3. 8

4. 8i

20. Дано: z₁ = - 5i и z₂ = 7i. Найти z_{1 ∙} z₂.

1. 35i

2. -35

3. - 35i

4. 35

21. Записать комплексное число z = 1 - i в тригонометрической форме.

22. Записать комплексное число z = -2 + 2i в тригонометрической форме.

Практическое занятие №10. Определение сходимости рядов по признаку Даламбера. Определение сходимости знакопеременных рядов. Разложение функций в ряд Маклорена.

Цель: Научить на практике, находить общий член ряда, применять определение сходимости ряда по признаку Даламбера, раскладывать функции в ряд Маклорена.

Определение. Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел и₁, и₂,и₃,…,и_n… соединенных знаком сложения:

и₁+и₂₊,и₃+…+и_n+…=

Числа и₁, и₂,и₃,…,и_n… называются членами ряда, член и_n- общим членом или n-м членом ряда.

Ряд считается заданным, если известен его общий член и_n. Например, ряд с общим членом и_n=имеет вид:

Более сложной является обратная задача: по нескольким первым членам ряда написать общий член.

Пример: Найти в простейшей форме общий член ряда:

общий член

Сумма конечного числа членов ряда:

S₁=u₁, S₂=u₁+u₂, …, S_n=u₁+u₂+u₃+…+u_n.

Сумма n первых членов ряда S_nназывается n-й частичной суммой ряда.

Определение: Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм, т.е.

Число S называется суммой ряда. В этом смысле можно записать

Если конечного предела последовательности частичных сумм не существует, то ряд называется расходящимся.

Пример: Найти сумму ряда

Решение: n-я частичная сумма ряда

S_n=. Учитывая, что

Отсюда, т.е. сумма ряда S =1.

Необходимый признак сходимости: Если ряд сходится, то предел его общего члена и_n при равен нулю, т.е.

Пример: Исследовать сходимость ряда

Решение:

т.е. необходимый признак сходимости ряда не выполняется, следовательно, ряд расходится.

«Эталонные » ряды, часто используемые для сравнения:

1) Геометрический ряд:

a + aq + aq² +_…+aq^n-1+_…=.

Геометрический ряд сходится к сумме при│q│<1 b и расходится при │q│≥1.

Гармонический ряд.

- расходится.

Обобщенный гармонический ряд.

.

Ряд сходится при α >1, расходится при α≤1

Пример: Исследовать сходимость ряда

.

Решение:

Сравним данный ряд со сходящимся геометрическим рядом

( его знаменатель q=<1)

Пример. Исследовать сходимость ряда

Так как члены данного ряда, начиная со второго, меньше членов сходящегося геометрического ряда , то на основании признака сравнения ряд сходится.

Признак Даламбера: Пусть для ряда с положительными членами существует предел отношения (n+1)-го члена к n-му члену Тогда, если D< 1, то ряд сходится; если D> 1, то ряд расходится; если D=1, то вопрос о сходимости ряда остается нерешенным.

Пример: Исследовать сходимость ряда .

Решение:

. Тогда предел отношения будет равен

то по признаку Даламбера ряд сходится.

Замечание 1. Если , то ряд расходится.

Замечание 2. Если =1, то признак Даламбера ответа о сходимости не дает, и рекомендуется перейти к другим признакам сравнения.

Определение: Под знакочередующимся рядом понимают ряд, в котором члены попеременно то положительны, то отрицательны:

u₁-u₂+u₃-u₄+_…+(-1)^n-1u_n+_{… ,}u_n>0.

Теорема (признак Лейбница). Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине u₁>u₂…>u_n>_… и предел его общего члена при nравен нулю, т.е , то ряд сходиться, а его сумма не превосходит первого члена S≤u₁.

Пример. Исследовать сходимость ряда

Решение:

Так как члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине и предел общего члена , то по признаку Лейбница ряд сходится.

Сумма функционального ряда представляет собой функцию, определенную в области его сходимости. Про эту функцию говорят, что она разлагается в данный функциональный ряд. Для степенного ряда сумма обязательно будет бесконечно дифференцируемой функцией внутри интервала сходимости, поскольку степенной ряд можно почленно дифференцировать, т.е.

S(x) =, то существует S^/(x) и верно равенство

.

Это одно из замечательных свойств степенных рядов. Из этого свойства, в частности, вытекает, что при фиксированном х₀ разложение функции в степенной ряд единственно и имеет вид:

Указанный ряд называется рядом Тейлора.

При х₀=0, рассматривается частный случай ряда Тейлора - ряд Маклорена:

Элементарные функции е^х, sin x, cos x, ln(1+x), (1+x)^α разлагаются в ряды Маклорена в интервалах

e^x=

Индивидуальная практическая работа.

1. Числовым рядом является

   1. 

   2. 

   3. 

   4. 

2. Числовым рядом является

   1. 

   2. 

   3. 

   4. 

3. Степенным рядом является

   1. 

   2. 

   3. 

   4. 

4. Степенным рядом является

5. Гармоническим рядом является

6. Гармоническим рядом является

7. Сходящимся является ряд

8. Сходящимся является ряд

9. Расходящимся является ряд

10. Расходящимся является ряд

11. Разложением функции в ряд Маклорена является

12. Разложением функции в ряд Маклорена является

13. Для исследования ряда на сходимость целесообразнее применить признак

1. Признак Даламбера

2. Радикальный признак Коши

3. Интегральный признак Коши

4. Признаки сравнения

14. Для исследования ряда на сходимость целесообразнее применить признак

1. Признак Даламбера

2. Радикальный признак Коши

3. Интегральный признак Коши

4. Признаки сравнения

Практическое занятие №10. «Разбиение множества на классы».

Цель:

Множество - основное неопределяемое понятие математики.

Понятие множества на примерах: множество всех студентов в колледже, множество букв в русском алфавите, множество всех клеток человеческого тела, множество рыб в океане, множество всех точек на данном отрезке, множество действительных чисел и т.д.

Объекты, составляющие множество, называют его элементами.

Запись означает: элемент а принадлежит множеству А.

Запись означает: элемент а не принадлежит множеству А.

Множество можно задать перечислением элементов.

Например, М = {1,2,3,4,5}, A = {Петров, Сидоров, Иванов}

Среди всех множеств выделяют особое множество - пустое.

Пустое множество - это множество, в котором нет элементов. Это множество обозначается символом Ø. Множество можно задать указанием характеристического свойства элементов, входящих в множество. Это записывают следующим образом: . Такая запись читается так: множество М состоит из всех элементов b, которые обладают признаком Р. Множества изображают с помощью кругов Эйлера (диаграмм Венна).

Множества А и В называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Обозначение: А = В. Множество А называется подмножеством множества В, если каждый элемент множества А является элементом множества В. Обозначение . Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В.

Обозначение: .

Символическая запись:

Изображение:

Пример. Если A = [3; 7), B = [4; 8), то = [3; 8).

Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно А и В.

Обозначение: .

Символическая запись:

Изображение:

Пример. Если A = [3; 7), B = [4; 8), то = [4; 7).

Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В.

Обозначение: А \ В

Символическая запись: А \ В =

Изображение:

Пример. Если A = [3; 7), B = [4; 8), то А \ В = [3; 4).

Дополнением множества А до универсального множества U называется множество, состоящее из всех элементов множества U, которые не принадлежат множеству А, т.е. разность множеств U и А.

Обозначение: .

Символическая запись: = = U \ А

Изображение:

Симметрической разностью множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат одному из множеств А или В, но не являющихся общими элементами.

Обозначение: А Δ В.

Символическая запись: А Δ В = =

Изображение:

Пример. Если С = {a, b, c, d}, B = {c, d, е}, то А Δ В = {а, b, е}.

Декартовым произведением множеств А и В называется множество, состоящее из всех упорядоченных пар (а; b), где , .

Обозначение: А х В.

Декартовым квадратом множества А называется декартово произведение множества А на множество А.

Обозначение: А² = А х А.

Индивидуальная практическая работа.

1. Символом обозначается

1. Объединение множеств А и В.

2. Декартово произведение множеств А и В.

3. Пересечение множеств А и В.

4. А - подмножество множества В

5. Нет правильного ответа.

2. Множество, состоящее из тех и только тех элементов множества В, которые не принадлежат множеству А, называется

1. Дополнением к множеству В.

2. Пересечением множеств А и В.

3. Разностью множеств А и В.

4. Разностью множеств В и А.

5. Подмножеством множества А.

6. Дополнением к множеству А.

3. Дано: А = , В = . Найти .

1. 

2. 

3. 

4. 4

5. 

6. Нет правильного ответа

4. Множество, состоящее из тех и только тех элементов множества В, которые не принадлежат множеству А, называется

1. 1. пересечением множеств В и А

   2. дополнением к множеству В

   3. разностью множеств А и В

   4. разностью множеств В и А

2. Бесконечное множество, элементы которого можно занумеровать, называется

   1. бесконечным множеством

   2. множеством натуральных чисел

   3. счетным множеством

   4. множеством мощности континуум

3. Символом обозначается

   1. пересечение множеств А и В

   2. объединение множеств А и В

   3. подмножество множества В

   4. подмножество множества А

4. Символом обозначается

   1. пересечение множеств А и В

   2. пересечение множеств В и А

   3. объединение множеств В и А

   4. подмножество множества А

5. Символом обозначается

   1. объединение множеств А и С

   2. пересечение множеств А и С

   3. подмножество множества С

   4. подмножество множество А

6. Символом обозначается

   1. подмножество

   2. принадлежность элемента множеству

   3. принадлежность множества множеству

   4. включение

7. Символом С \ В обозначается

   1. разность множеств С и В

   2. разность множеств В и С

   3. дополнение к множеству В

   4. дополнением к множеству С

11. Дано: А = {6; 4; 8}, В = {2; 4}. Найти

    1. {2; 4; 6; 8}

    2. {4}

    3. {6; 8}

    4. 4

12. Дано: А = ; В = . Найти .

    1. {a; c}

    2. {a; c; p; x; y}

    3. {x; p}

    4. {y}

13. Дано: С ={1; 4; 7; 0}, М ={1; 4; 5; 6}. Найти С \ М.

    1. {1; 4}

    2. {5; 6}

    3. Ø

    4. {7; 0}

14. Дано: А = { 1; 2}, B = { 2; 3}. Найти А х В.

    1. { (1; 2), (1; 3), (2, 3), (2; 2) }

    2. { (1; 2), (2, 3) }

    3. { (1; 1), (3, 3), (2; 2) }

    4. { (2; 3), (4; 6) }

Практическая работа №11. «Сумма и произведение событий. Вероятность появления хотя бы одного события».

Цель: Научить студентов делить события, решать элементарные задачи по теории вероятности. Закрепить навыки вычисления вероятностей событий по классической формуле определения вероятности.

В жизни под событием понимают любое явление, которое происходит или не происходит. Событиями являются и результаты испытаний (опытов), наблюдений и измерений. Все события можно разделить на невозможные, достоверные и случайные.

Невозможным называют событие, которое в данных условиях произойти не может.

Например: а) Петя родился 30 февраля;

б) вода в чайнике закипела при температуре 50С.

Достоверным называют событие, которое в данных условиях обязательно произойдёт.

Например: а) после урока наступит перемена;

б) после воскресенья наступит будний день.

Случайным называют событие, которое в данных условиях может произойти, а может и не произойти.

Например: а) при телефонном звонке абонент оказался занят;

б) день рождения двух моих друзей - 15 марта.

Два события, которые в данных условиях могут происходить одновременно, называют совместными, а те, которые не могут происходить одновременно, - несовместными.

Например, события «пошёл дождь» и «наступило утро» являются совместными, а события «наступило утро» и «наступила ночь» - несовместными.

События называются равновозможными, если по условию испытания нет оснований считать какое-либо из них более возможным, чем любое другое.

Рассмотрим группы событий:

1. «появление орла» и «появление решки» при одном бросании монеты;

2. «появление 1 очка», «появление 2 очков», …, «появление 6 очков» при одном бросании игральной кости;

3. «падение бутерброда маслом вверх» и «падение бутерброда маслом вниз»;

4. «изъятие из набора домино дубля» и «изъятие из набора домино костяшки с разными очками».

В примерах 1 и 2 нет оснований полагать, что в наступлении одного из событий есть какое-то преимущество (если монета и кубик правильные). Это равновозможные события. Часто равновозможность событий удаётся установить из соображений симметрии.

Примеры 3 и 4 демонстрируют образцы неравновозможных событий. Действительно, бутерброд чаще падает маслом вниз из-за того, что после намазывания хлеба маслом центр тяжести бутерброда смещается из центра его симметрии в сторону слоя масла. Дублей в наборе домино (пример 4) всего 7, а остальных костяшек 21.

Событие называется событием, противоположным событию А, если оно происходит, когда не происходит событие А.

Вероятность события - это численная мера объективной возможности его появления.

Событие А называется благоприятствующим событию В, если появление события А влечёт за собой появление события В.

Пример. Событие А={выбито 4 очка} является благоприятствующим событию В={выбито менее 5 очков}.

Вероятность Р(А) наступления события А вычисляется как отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению события, к числу всех исходов испытания.

Если N - число всех исходов испытания, а М - число исходов, благоприятствующих событию А, то .

Пример. В классе 30 учащихся. Из них 12 мальчиков, остальные девочки. Известно, что к доске должны быть вызваны двое учащихся. Какова вероятность, что это девочки?

Решение: Обозначим событие, вероятность которого надо найти, буквой А. Очевидно, что по условию задачи порядок вызова к доске не играет роли, поэтому N=. Найдём теперь число М благоприятствующих исходов. Для этого следует определить число способов выбора двух девочек из 18. Оно равно

. По определению вероятности .

Свойства вероятности

1. Вероятность достоверного события равна 1: .

2. Вероятность невозможного события равна 0:

Сумма вероятностей противоположных событий равна 1: .

Вероятность противоположного события находится по формуле: .

Пример. Вероятность попадания некоторым стрелком по бегущей мишени равна 0,8. какова вероятность того, что этот стрелок промахнётся , сделав выстрел?

Решение: Пусть событие А - попадание по мишени, тогда Р(А)=0,8. Событие - промах. = 1-Р(А)=1-0,8=0,2.

Ответ: 0,2.

Индивидуальная практическая работа.

Свой ответ сверь с ответом. Не подглядывай в ответ, а думай! Ведь наверняка преподаватель может спросить, почему ты выбрал этот ответ.

Для каждого из этих событий определить, каким оно является: невозможным, достоверным или случайным.

1. Из 26 учащихся класса двое справляют свой день рождения: 1) 25 января; 2) 31 июня.

Ответ: 1) случайное; 2) невозможное.

2. Случайным образом открывается художественное произведение и находится второе слово на левой странице. Это слово начинается: 1) с буквы М; 2) с буквы Ъ.

Ответ: 1) случайное; 2) невозможное.

3. В нашем колледже учатся 758 студентов. Событие А=в колледже есть студенты с совпадающими днями рождения является случайным или достоверным. Выясните, произошло ли это событие в вашем классе?

Ответ: Событие А - достоверное, так как количество студентов колледжа 758366 дней в году. Это событие случайное, так как количество студентов нашего класса 26 человек.

4. В сыгранной Катей и Ларисой партии в шахматы: 1) Катя выиграла, Лариса проиграла; 2) Катя проиграла, Лариса проиграла.

Ответ: 1) совместные; 2) несовместные.

5. Из событий: 1) «идёт дождь»; 2) «на небе нет ни облака»; 3) «наступило лето» - составить всевозможные пары и выявить среди них пары совместных и пары несовместных событий.

Ответ: «идёт дождь» - «на небе нет ни облачка» - несовместные;

«наступило лето» - «на небе нет ни облачка» и «наступило лето» - «идёт

дождь» - совместные.

6. Из событий: 1) «наступило утро»; 2) «сегодня по расписанию 3 пары»; 3) «сегодня 1 января»; 4) «температура воздуха в Москве +30С» - составить всевозможные пары и выявить среди них пары совместных и пары несовместных событий.

Ответ: «сегодня 1 января» - «температура воздуха в Москве +30С»; «сегодня по расписанию 3 пары» - «температура воздуха в Москве +30С»; «сегодня 1 января» - «сегодня по расписанию 3 пары» - несовместные; «наступило утро»- «сегодня 1 января»; «наступило утро» - «температура воздуха в Москве +30С»; «наступило утро» - «сегодня по расписанию 3 пары» - совместные.

7. Назовите событие, для которого противоположным является такое событие:

а) на контрольной работе больше половины класса получили пятёрки;

б) все семь пулек в тире у меня попали мимо цели;

в) в нашем классе все умные и красивые;

г) в кошельке у меня есть три рубля одной монетой, или три доллара одной бумажкой.

Решение: а) «На контрольной работе пятёрки получили не более половины класса», или «на контрольной работе больше половины класса не получили пятёрки». б) «В тире хотя бы одна пулька из семи у меня попала в цель». в) «В нашем классе есть хотя бы один не умный или не красивый». г) «В кошельке у меня нет ни трёх рублей одной монетой, ни трёх долларов одной бумажкой».

7. Когда Витя почувствовал себя нездоровым, мама, как обычно, поставила ему градусник. Расположите на вероятностной шкале следующие события:

А = Витина температура больше 36,6 ;

В = Витина температура равна 36,6 ;

С = Витина температура меньше 36,6 ;

D = Витина температура больше 20 ;

Е = Витина температура меньше 100 .

Ответ: В С А D

Е

невозможные случайные достоверные

8. В первом семестре отличник имел по русскому языку 5, а троечник - 3. Они пишут очередной диктант. Рассмотрите следующие события:

А = отличник сделает хотя бы одну ошибку;

В =троечник не сделает ни одной ошибке;

С = никто в классе не получит пятёрку;

D = отличник и троечник не сделают ошибки

Какие пары этих событий можно поставить вместо многоточий в утверждение: «Событие … более вероятно, чем событие ….»? Какие пары событий нельзя подставить в это утверждение и каких сведений для этого не хватает?

Ответ: А-С, В-D. Все остальные нельзя - для этого не хватает сведений о сложности диктанта.

9. Таня забыла последнюю цифру номера телефона знакомой девочки и набрала её наугад. Какова вероятность того, что Таня попала к своей знакомой?

Решение: На последнем месте в номере телефона может стоять одна из 10 цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; n=10; все предыдущие цифры никакого значения не имеют. Из n=10 только одна цифра верная, поэтому m=1. вероятность события А, состоящего в том, что, набрав последнюю цифру номера наугад, Таня попала к своей знакомой, равна =.

Ответ: .

Суммой конечного числа событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них.

Сумму двух событий обозначают символом А+В, а сумму n событий символом А₁+А₂+ … +А_n.

Теорема сложения вероятностей.

Вероятность суммы двух несовместных событий равна суммевероятностей этих событий.

или

Следствие 1. Если событие А₁, А₂, … ,А_n образуют полную систему, то сумма вероятностей этих событий равна единице.

.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий и равна единице.

.

Пример. Имеется 100 лотерейных билетов. Известно, что на 5 билетов попадает выигрыш по 20000 руб., на 10 - по 15000 руб, на 15 - по 10000 руб., на 25 - по 2000 руб. и на остальные ничего. Найти вероятность того, что на купленный билет будет получен выигрыш не менее 10000 руб.

Решение: Пусть А, В, и С- события, состоящие в том, что на купленный билет падает выигрыш, равный соответственно 20000, 15000 и 10000 руб. так как события А, В и С несовместны, то

.

Пример. На заочное отделение техникума поступают контрольные работы по математике из городов А, В и С. Вероятность поступления контрольной работы из города А равна 0,6, из города В - 0,1. Найти вероятность того, что очередная контрольная работа поступит из города С.

Решение: События «контрольная работа поступила из города А», «контрольная работа поступила из города В» и «контрольная работа поступила из города С» образуют полную систему, поэтому сумма их вероятностей равна единице:

, т.е. .

Пример. Вероятность того, что день будет ясным, . Найти вероятность того, что день будет облачным.

Решение: События «день ясный» и «день облачный» противоположные, поэтому

, т.е .

Задача: Антон учится в 9 «Б» классе, Стас - в 9 «В», Игорь - в 9 «Г». От каждого класса по жребию выбирают одного делегата в школьный хор. Как вы думаете, у кого из друзей больше шансов петь в хоре, если в 9 «Б» учится 22 человека, в 9 «В» - 19 человек, а в 9 «Г» - 26 человек?

Решение: Определим шанс каждого из мальчиков: у Антона он будет равен…, у Стаса - …, у Игоря - . Так как из трёх дробей наибольшей будет …, то у …. шансов больше.

Ответ: У ….

Задача: Для новогодней лотереи отпечатали 1500 билетов, из которых 120 выигрышных. Какова вероятность того, что купленный билет окажется выигрышным?

Решение: Если продажа билетов будет организована так, что покупка любого из 1500 билетов будет равновозможна, то можно применить формулу классической вероятности. Пусть событие А - «купленный билет оказался выигрышным». Тогда количество благоприятствующих исходов m= …, а общее число равновозможных исходов n= …; вероятность = ….

Ответ: 0,0...

Практическая работа №12. «Сложение вероятностей совместных событий».

Цель: Закрепить навыки вычисления вероятностей событий по классической формуле определения вероятности.

Теорема: (о сложении вероятностей совместных событий). Вероятность суммы событий A и B равна сумме вероятностей каждого из событий минус вероятность их произведения

P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB).

Следствие: Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

1) Доказать формулу

Р(АÈВÈС) = Р(А) + Р(В) + Р(С) - Р(АÇВ) - Р(АÇС) - Р(ВÇС) + Р(АÇВÇС)

2) Вероятность попасть в самолёт равна 0,4, вероятность его сбить равна 0,1. Найти вероятность того, что при попадании в самолёт он будет сбит.

3) Из урны, содержащей 6 белых и 4 чёрных шара, наудачу извлекают по одному шару до появления чёрного шара. Найти вероятность того, что придётся производить четвёртое извлечение, если выборка производится а)с возвращением; б) без возвращения.

4) а) В условиях задачи 1 найти вероятность того, что в мишень попали двое стрелков. б) В условиях задачи 1 найти вероятность того, что в мишень попали не менее двух стрелков.

5) По самолёту производится три выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,5, при втором - 0,6, при третьем-0,8. При одном попадании самолёт будет сбит с вероятностью 0,3, при двух-с вероятностью 0,6, при трёх самолёт будет сбит наверняка. Какова вероятность того, что самолёт будет сбит?

6) В условиях задачи 4 найти вероятность того, что на всех костях выпала шестёрка, если известно, что а) по крайней мере, на двух костях выпало одинаковое число очков; б) на всех костях выпало одинаковое число очков.

7) Бросаются три игральных кости. Какова вероятность того, что на одной из них выпадет единица, если на всех трёх костях выпали разные грани?

8) Вероятность того, что случайным образом выбранный из студенческой группы студент знает английский язык, равна 5/6. Вероятность того, что студент знает французский язык, равна 7/12. Вероятность того, что студент знает и английский и французский языки, равна 1/2. а) Найти вероятность того, что студент не знает французского языка при условии, что он не знает английского. б) Найти вероятность того, что студент знает французский язык при условии, что он знает английский.

9) В ящике лежат 12 красных, 8 зелёных и 10 синих шаров. Наудачу вынимают два шара. Найти вероятность того, что будут вынуты шары разного цвета при условии, что не вынут синий шар.

Ответы. 2)1/4; 3) а) 0,216; б) 1/6; 4) а) 0,398; б) 0,902; 5) 0,594; 6) а) 1/96; б) 1/6; 7) 0,5; 8) а) 0,5; б) 0,3; 9) 48/95.

Практическая работа №13. «Приложение теории вероятности и математической статистики в профессии»

Цель: Показать связь математики с профессией

Ответить письменно на вопросы:

1. Каким способом проводят перепись населения, имеющих автомобили российского производства в России.
   (ответ пометьте знаком )

• Анкетный

• Метод само регистрации

• Экспедиционный (анкеты заполняют специально подготовленные экспедиторы)
  
  

2. Каким способом регистрируются статистические сведения.

Проведение исследования согласно этапам статистического исследования:

3. Соберите данные об успеваемости вашей группы. Занесите данные в таблицу, разбив их на две группы: хорошисты и троечники. Для каждой группы найдите выборочную среднюю, среднее квадратичное отклонение и ошибку выборочной средней. Сравните результаты, сделайте выводы, постройте столбиковую диаграмму.

Задача с решением 1: Даны вероятности значений случайной величины : значение 10 имеет вероятность 0,3; значение 2 - вероятность 0,4; значение 8 - вероятность 0,1; значение 4 - вероятность 0,2. Построить ряд распределения случайной величины .

Решение. Расположив значения случайной величины в возрастающем порядке, получим ряд распределения:

2

4

8

10

0,4

0,2

0,1

0,3

Возьмем на плоскости хОр точки (2; 0,4), (4; 0,2), (8; 0,1) и (10; 0,3). Соединив последовательные точки прямолинейными отрезками, получим многоугольник (или полигон) распределения случайной величины

Задача 2. Разыгрываются две вещи стоимостью по 5000 руб и одна вещь стоимостью 30000 руб. Составить закон распределения выигрышей для человека, купившего один билет из 50.

Решение. Искомая случайная величина представляет собой выигрыш и может принимать три значения: 0, 5000 и 30000 руб. Первому результату благоприятствует 47 случаев, второму результату - два случая и третьему - один случай. Найдем их вероятности:

; ; .

Закон распределения случайной величины имеет вид:

0

5000

30000

0,94

0,04

0,02

В качестве проверки найдем

Пример 1. Найти математическое ожидание случайной величины , зная закон ее распределения

1. На заводе работают четыре автоматические линии. Вероятность того, что в течении рабочей смены первая линия не потребует регулировки, равна 0,9, вторая - 0,8, третья - 0,75, четвертая - 0,7. найти математическое ожидание числа линий, которые в течение рабочей смены не потребуют регулировки.

2. Найти дисперсию случайной величины Х, зная закон ее распределения:

Х

0

1

2

3

4

р

0,2

0,4

0,3

0,08

0,02

Задача 3. Коробка передач состоит из двух элементов, работающих независимо. Вероятность выхода из строя первого элемента равна 0,2; вероятность выхода из строя второго элемента равна 0,3. Найти вероятность того, что: а) оба элемента выйдут из строя; б) оба элемента будут работать.

Решение. Пусть событие А- выход из строя первого элемента, событие В- выход их строя второго элемента. Эти события независимы (по условию).

а) Одновременное появление А и В есть событие АВ. Следовательно,

.

б) Если работает первый элемент, то имеет место событие (противоположное событию А- выходу этого элемента из строя); если работает второй элемент- событие В. Найдем вероятности событий и :

;

.

Тогда событие, состоящее в том, что будут работать оба элемента, есть и, значит,

.

Пример 2.

1. 1. 1. Сколькими способами можно выбрать четырех лиц на четыре различные должности из девяти кандидатов?

      2. Сколькими способами можно распределить 12 человек по бригадам, если в каждой бригаде по 6 человек?

Индивидуальная практическая работа.

Задача 1. В партии из N изделий n изделий имеют скрытый дефект. Какова вероятность того, что из взятых наугад m изделий k изделий являются дефектными.

N = 20, n = 5, m = 4, k = 2.

Задача 2. На склад с трех предприятий поступают двигатели внутреннего сгорания первого и второго сорта. В продукции первого предприятия содержится 15% второсортных изделий, в продукции второго предприятия - 25%, в продукции третьего предприятия - 30%. Чему равна вероятность того, что среди трех изделий (по одному из продукции каждого предприятия) окажутся первосортными два изделия.

Задача 3. В результате систематически проводимого контроля качества изготовляемых предприятием деталей для автомобилей установлено, что брак составляет в среднем 5%. Сколько изготовленных деталей нужно взять, чтобы наиболее вероятное число годных среди них было равно 60 шт.?

Задача 4. Число грузовых машин, проезжающих мимо колонки, относится к числу

легковых как 3:2. Вероятность того, что грузовая машина будет заправляться, равна 0,1, а того, что будет заправляться легковая 0,2. У бензоколонки заправляется машина. Какова вероятность того, что это грузовая машина?

Практическая работа №14. «Выполнение действий с матрицами. Вычисление определителей».

Цель: Научить выполнять действия с матрицами и определителями

Операции над матрицами.

1) Матрицы одинаковых размерностей можно складывать( суммируя элементы с одинаковыми индексами).Матрицы можно умножать на число ( умножая все элементы матрицы на это число).

Пример. Сложить матрицы

Решение:

2) Матрицы можно умножать на число (умножая все элементы матрицы на это число).

Пример. Умножить матрицу А на число 5.

4. Матрицу А можно умножить на матрицу В, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй ( произведением матриц будет называться матрица, каждый элемент, которой равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В).

Пример. Вычислить произведение матриц А^.В, где

Решение:

Определителем первого порядка, называется элемент a₁₁:

Например. А=(3), тогда |A|=3.

Определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

Например. Вычислить определитель

Решение:

=

Пример. Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера .

Решение:

=

₁₌

Ответ: (.

Индивидуальная практическая работа.

Вычислить определитель

1) ; 2) ;

Решить систему линейных уравнений

Практическая работа №15. «Метод касательных при решении алгебраического уравнения».

Цель: Показать, как решать уравнения методом касательных.

Немного теории: Метод касательных, связанный с именем И. Ньютона, является одним

из наиболее эффективных численных методов решения уравнений. Идея метода очень проста.

Возьмём производную точку x₀ и запишем в ней уравнение касательной к графику функции f(x): y=f(x₀)+ f((x) (x-x₀)

Графики функции f(x) и её касательной близки около точки касания, поэтому естественно ожидать, что точка x₀ пересечения касательной с осью Ox будет расположена недалеко от корня.

Для определения точки имеем уравнение: f(x₀)+ f ((x₀) (x₁-x₀) = 0

таким образом: x₁ = x₀ - f (x₀)/ f ((x₀)

Повторим проделанную процедуру: напишем уравнение касательной к графику функции f(x) при x=x₁ и найдём для неё точку пересечения x₂ с осью Ox :

x₂=x₁ - f (x₁)/ f ((x₁). Продолжая этот процесс, получим последовательность {xn}, определённую с помощью рекуррентной формулы:

x_n+ 1=x_n - f (x_n)/ f(x_n), n=0, 1, 2, …

Практическая работа

• Составить уравнения касательной и нормали к графику функции f(x) = x² + 4x + 5 в точке с абсциссой x = -3.

• К графику функции f (x) = x + 3x² в её точке с абсциссой x = -1 проведены касательная и нормаль. Составьте их уравнения.

• Составьте уравнения касательных к графику функции f(x) = x³ + x², угловые коэффициенты которых равны 8.

• Составьте уравнения касательных к графику функции f (x) = x³ - 2x² + x - 2, параллельных прямой 4y - 7x = 28

• Вычислите площадь треугольника образованного касательной проведённой к графику функции y = x³ в точке A(3;27) и осями координат.

• Методом касательных с точностью до 0,01 найти приближенное значение наибольшего действительного корня следующих уравнений:

Тест «Символы»

Цель: Проверить умения студентов распознавать символы, которые используются в дисциплине «Математика».

1. Производная функции g в точке х обозначается символом

   1. g´(x)

   2. g(x)

   3. 

   4. dg(x)

2. Производная функции f в точке х₀ обозначается символом

   1. 

   2. df(x₀ )

   3. f(x₀ )

   4. f'(x₀ )

3. Дифференциал функции f в точке х обозначается символом

1. 

2. df(x)

3. 

4. 

4. Символом Δg обозначается

1. Производная функции g

2. Дифференциал функции g

3. Первообразная функции g

4. Приращение функции g

5. Неопределённый интеграл функции g обозначается символом

1. g´(x)

2. 

3. 

4. dg(x)

6. Неопределённый интеграл функции f обозначается символом

1. 

2. 

3. 

4. df(x)

7. Определитель квадратной матрицы порядка 3 обозначается символом

8. Определитель квадратной матрицы порядка 2 обозначается символом

   1. 

   2. 

   3. 

   4. 

9. Символом можно обозначить

1. 1. Числовой ряд

   2. Сумму конечного числа слагаемых

   3. Функциональный ряд

   4. Интегральную сумму

10. Символом можно обозначить

1. Любую сумму бесконечного числа слагаемых

2. Геометрический ряд

3. Интегральную сумму

4. Гармонический числовой ряд

11. Среди уравнений дифференциальным не является уравнение

1. 2xy = 4y² - x²

2. 2xydy = 4ydx

3. y' = 3xy

4. y'' = 3x²y

12. Среди уравнений дифференциальным не является уравнение

1. y' = 5x

2. y'' = 3x²y

3. xy = y² - x²

4. 5xydy = ydx

Критерии оценки выполнения студентами практических работ.

Оценка знаний студентов производится по пятибалльной системе.

Оценка «5» выставляется в случае полного выполнения всего объёма работы, отсутствия существенных ошибок при вычислениях и построениях чертежей, грамотного и аккуратного выполнения всех расчётов и чертежей.

Оценка «4» выставляется в случае полного выполнения всего объёма работы при наличии несущественных ошибок при вычислениях и построениях чертежей, не повлиявших на общий результат работы (ошибки при округлении чисел, неточность в построении точек, отсутствие обозначений на чертежах и т.п.).

Оценка «3» выставляется в случае в основном полного выполнения всех разделов работы при наличии ошибок, которые не оказали существенного влияния на окончательный результат, а также за работу, выполненную несвоевременно по неуважительной причине.

Оценка «2» выставляется в случае, когда допущены принципиальные ошибки в вычислениях: перепутаны формулы, чертежи не соответствуют расчётам, нарушена последовательность выполнения вычислений, работа выполнена крайне небрежно и т.п.

Выполнять пропущенные работы по уважительным и неуважительным причинам студент может на дополнительных занятиях.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО РАБОЧЕЙ ТЕТРАДИ:

Задание

Источник

«Пределы, их свойства»

Нахождение области определения

• Омельченко В.П., Демидова А.А. «Математика: Компьютерные технологии» стр.16-20

• mathematics.ru

Исследовать функцию на:

• четность:

• Пехлецкий И.Д. «Математика»
  стр.60-62

• Омельченко В.П., Демидова А.А. «Математика: Компьютерные технологии » стр.20

• mathematics.ru

• периодичность:

• Омельченко В.П., Демидова А.А. «Математика: Компьютерные технологии» стр.21

• mathematics.ru

• непрерывность:

• Пехлецкий И.Д. «Математика»
  стр.55-59

• Омельченко В.П., Демидова А.А. «Математика: Компьютерные технологии » стр.42-43

• mathematics.ru

• построить эскиз графика:

• Омельченко В.П., Демидова А.А. «Математика: Компьютерные технологии » стр.30-33

• mathematics.ru

Предел функции в точке:

• Пехлецкий И.Д. «Математика»
  стр.50-53

• Омельченко В.П., Демидова А.А. «Математика: Компьютерные технологии » стр.37-39

• mathematics.ru

Предел функции на бесконечности:

• Пехлецкий И.Д. «Математика»
  стр.53-55

• Омельченко В.П., Демидова А.А. «Математика: Компьютерные технологии » стр.37-39

• mathematics.ru

«Производная функции. Дифференциал и его приложение к приближенным вычислениям»

Нахождение производной, используя правила дифференцирования

• Омельченко В.П., Демидова А.А. «Математика: Компьютерные технологии » стр.51-52

• mathematics.ru

Нахождение производной сложной функции

• Омельченко В.П., Демидова А.А. «Математика: Компьютерные технологии » стр.53

• mathematics.ru

Физический и геометрический смысл производной

• Омельченко В.П., Демидова А.А. «Математика: Компьютерные технологии » стр.48

• mathematics.ru

Применение дифференциала
при приближенных вычислениях

• Омельченко В.П., Демидова А.А. «Математика: Компьютерные технологии » стр.57

• mathematics.ru

Применение производной при исследовании функции и построении её графика

• Пехлецкий И.Д. «Математика» стр.146-150

• http://www.mathematics.ru

«Неопределенный и определенный интегралы и их свойства.

Применение определенного интеграла к решению прикладных задач»

Методы интегрирования:

• непосредственное интегрирование

• Пехлецкий И.Д. «Математика»

стр.164-166

• Омельченко В.П., Демидова А.А. «Математика: Компьютерные технологии » стр.62-63

• mathematics.ru

• подстановкой

• Пехлецкий И.Д. «Математика» стр.168

• Омельченко В.П., Демидова А.А. «Математика: Компьютерные технологии » стр.63

• по частям

• Пехлецкий И.Д. «Математика» стр.169

• Омельченко В.П., Демидова А.А. «Математика: Компьютерные технологии » стр.64-66

Определенный интеграл: Формула Ньютона-Лейбница.

• Омельченко В.П., Демидова А.А. «Математика: Компьютерные технологии » стр.72-73

• mathematics.ru

Применение определенного интеграла к нахождению площади криволинейной трапеции

• Омельченко В.П., Демидова А.А. «Математика: Компьютерные технологии» стр.74-75

• mathematics.ru

Нахождение длины дуги

• Пехлецкий И.Д. «Математика» стр.182

• Омельченко В.П., Демидова А.А. «Математика: Компьютерные технологии » стр.76

• mathematics.ru

«Дифференциальные уравнения и их применение в медицинской практике»

Нахождение общего решения дифференциального уравнения

Омельченко В.П., Демидова А.А. «Математика: Компьютерные технологии» стр.80

Нахождение частного решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными

• Пехлецкий И.Д. «Математика» стр.193

• Омельченко В.П., Демидова А.А. «Математика: Компьютерные технологии » стр.82-83

Найти общее решение линейного дифференциального уравнения

• Пехлецкий И.Д. «Математика» стр.195

• Омельченко В.П., Демидова А.А. «Математика: Компьютерные технологии » стр.84-85

Решение задач на составление дифференциального уравнения

• Пехлецкий И.Д. «Математика» стр.193

• Омельченко В.П., Демидова А.А. «Математика: Компьютерные технологии » стр.84-88

«Основные понятия дискретной математики. Закон больших чисел. Теория вероятности»

Комбинаторика

• Пехлецкий И.Д. «Математика»
  стр. 209

• Омельченко В.П., Демидова А.А. «Математика: Компьютерные технологии » стр.93-95

• http://www.matburo.ru/tv_book.php

Нахождение вероятности

• Пехлецкий И.Д. «Математика» стр.204

• Омельченко В.П., Демидова А.А. «Математика: Компьютерные технологии » стр.103-104

• http://www.matburo.ru/tv_book.php

Задан закон распределения. Найти числовые характеристики

• Омельченко В.П., Демидова А.А. «Математика: Компьютерные технологии » стр.115, 121-123

• http://www.matburo.ru/tv_book.php

«Математическая статистика и ее роль в автомобильной промышленности»

Проведение исследования по этапам с расчетами числовых характеристик.

• Омельченко В.П., Демидова А.А. «Математика: Компьютерные технологии » стр.135, 143, 150 (этапы).

• http://www.medarticle.moslek.ru

Решение задач на проценты и пропорции

Омельченко В.П., Демидова А.А. «Математика: Компьютерные технологии» стр.170-171

Решение задач на нахождении концентрации растворов

Омельченко В.П., Демидова А.А. «Математика: Компьютерные технологии» стр. 173-174

Расчет питания детей

Омельченко В.П., Демидова А.А. «Математика: Компьютерные технологии» стр.189

Расчет антропометрических показателей

Омельченко В.П., Демидова А.А. «Математика: Компьютерные технологии» стр.186