Пояснительная записка

Данное учебное пособие составлено в соответствии с требованиями ФГОС по специальности СПО «Сестринское дело»

Учебное пособие «Иррациональные уравнения» предназначено для преподавателей и студентов, для оказания помощи при изучении нового материала. В пособие входит одна из основных тем программы 9-летнего образования. Наряду с изучением теоретического материала, уделяется большое внимание решению типовых задач и упражнений Приведены примеры с решениями, иллюстрирующие теорию и используемые для закрепления и контроля знаний. Каждое задание посвящено конкретной теме учебной программы. Они расположены в порядке нарастания сложности. Ко всем задачам и примерам даются эталоны ответов. Данное пособие позволяет оценить уровень подготовки студентов и провести работу по ликвидации пробелов в знаниях. Оно может быть использовано и на внеаудиторных занятиях. При составлении пособия использованы действующие учебники, задачники, дидактические материалы и методические рекомендации специалистов. В пособии использована привычная терминология.

В ходе изучения темы формируются общие компетенции: ОК1, ОК2, ОК5.

Тема «Иррациональные уравнения»

Обоснование темы занятия:

Тема «Иррациональные уравнения» является одной из основных тем предложенных для рассмотрения в разделе «Показательные и логарифмические функции» курса математики на 1 курсе. Данная тема является связующим звеном между школьным курсом раздела «Уравнения» и ее дальнейшим изучением. Полученные знания также помогут при изучении таких дисциплин, как геометрия, физика и химия. В пособии сохранена привычная для студентов терминология, принятая в школьных учебниках

Цель занятия:

Сформировать теоретические знания и умения решать иррациональные уравнения

Задачи:

1. Учебная:

- Повторить теоретический материал по теме «Решение уравнений»;

- Разобрать основные способы решения иррациональных уравнений;

- Научить применять полученные знания при решении иррациональных уравнений;

- Закрепить изученное в ходе выполнения упражнений.

2. Воспитательная:

- Воспитывать аккуратность, четкость, последовательность, умение слушать.

3. Развивающая

-Развивать логическое мышление, трудолюбие, отрабатывать вычислительные навыки, добиваться четкого выполнения алгоритма решения упражнений

Компетенции и их оценка:

Результаты

(освоенные общие компетенции)

Основные промежуточные

показатели оценки результатов

Результаты обучения

(освоенные умения, усвоенные знания)

Основные итоговые показатели оценки результата

Формы и методы контроля и оценки результатов обучения

1

2

3

4

5

ОК 1

Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

Планирование профессиональной карьеры.

Нахождение и выделение профессионально значимых компонентов в изучаемом материале.

Умения:

Производить действия с иррац.

выражениями.

Знания:

Знать формулы сокращенного умножения и действия с корнями.

Определение сферы применения полученных знаний в других дисциплинах.

Тестовые задания.

Проверочная

работа.

(приложение 2)

ОК 2

Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их выполнение и качество

Выделение главного и существенного при решении задач.

Нахождение эффективного решения.

Обоснование способа и метода решения

Умения:

Уметь выделить

область определения и необходимые формулы.

Знания:

Знать правила применения формул

Организация

самостоятельной работы вне аудитории.

Тестовые задания.

Проверочная работа.

(приложение 2)

ОК 5

Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности

Планирование и проектирование учебной деятельности

Умения:

Уметь работать с учебником, справочниками

и ПК.

Знания:

Знать основные способы и методы решения задач

Своевременное выполнение домашних заданий

Фронтальный опрос у доски.

(приложение 1)

Домашнее задание.

(приложение 3)

Межпредметные связи:

Математика

Решение уравнений

Физика

Химия

Геометрия

тригонометрияВнутрипредметные связи:

Простейшие тригонометрические уравнения

Решение уравнений

Показательная

функция

Логарифмы

Производные

Интегралы

Геометрия

Теоретическая часть

Иррациональные уравнения

Уравнения в которых под знаком корня содержится переменная, называют иррациональными. Таково, например, уравнение

Методы решения иррациональных уравнений, как правило, основаны на возможности замены (с помощью некоторых преобразований) иррационального уравнения рациональным уравнением, которое либо эквивалентно исходному иррациональному уравнению, либо является его следствием. Чаще всего обе части уравнения возводят в одну и ту же степень. При этом получается уравнение, являющееся следствием исходного.

При решении иррациональных уравнений необходимо учитывать следующее:

1) если показатель корня - четное число, то подкоренное выражение должно быть неотрицательно; при этом значение корня также является неотрицательным (определение корня с четным показателем степени);

2) если показатель корня - нечетное число, то подкоренное выражение может быть любым действительным числом; в этом случае знак корня совпадает со знаком подкоренного выражения.

Пример 1. Решить уравнение

Решение.

Возведем обе части уравнения в квадрат.
x² - 3 = 1;
Перенесем -3 из левой части уравнения в правую и выполним приведение подобных слагаемых.
x² = 4;
Полученное неполное квадратное уравнение имеет два корня -2 и 2.

Произведем проверку полученных корней, для этого произведем подстановку значений переменной x в исходное уравнение.
Проверка.
При x₁ = -2 - истинно:
При x₂ = -2 - истинно.
Отсюда следует, что исходное иррациональное уравнение имеет два корня -2 и 2.

Пример 2. Решить уравнение .

Это уравнение можно решить по такой же методике как и в первом примере, но мы поступим иначе.

Найдем ОДЗ данного уравнения. Из определения квадратного корня следует, что в данном уравнении одновременно должны выполнятся два условия:

а) x - 9 0;

x 9;

б) 1 - x 0;

-x -1 ;

x 1.

ОДЗ данного уранения: x .

Ответ: корней нет.

Пример 3. Решить уравнение = + 2.

Решение.

Нахождение ОДЗ в этом уравнении представляет собой достаточно трудную задачу. Возведем обе части уравнения в квадрат:
x³ +4x - 1 - 8 = x³ - 1 + 4 + 4;
=0;
x₁=1; x₂=0.
Произведя проверку устанавливаем, что x₂=0 лишний корень.
Ответ: x₁=1.

Пример 4. Решить уравнение x = .

Решение.

В этом примере ОДЗ найти легко. ОДЗ этого уравнения: x[-1; ).

Возведем обе части этого уравнения в квадрат, в результате получим уравнение x²= x + 1. Корни этого уравнения:

x₁ =

x₂ =

Произвести проверку найденных корней трудно. Но, несмотря на то, что оба корня принадлежат ОДЗ утверждать, что оба корня являются корнями исходного уравнения нельзя. Это приведет к ошибке. В данном случае иррациональное уравнение равносильно совокупности двух неравенств и одного уравнения:

x + 1 0 и x 0 и x² = x + 1, из которой следует, что отрицательный корень для иррационального уравнения является посторонним и его нужно отбросить.

Ответ:

Пример 5 . Решить уравнение + = 7.

Решение.

Возведем обе части уравнения в квадрат и выполним приведение подобных членов, перенес слагаемых из одной части равенства в другую и умножение обеих частей на 0,5. В результате мы получим уравнение
= 12, (*) являющееся следствием исходного. Снова возведем обе части уравнения в квадрат. Получим уравнение (х + 5)(20 - х) = 144, являющееся следствием исходного. Полученное уравнение приводится к виду x² - 15x + 44 =0.

Это уравнение (также являющееся следствием исходного) имеет корни x₁ = 4, х₂= 11. Оба корня, как показывает проверка, удовлетворяют исходному уравнению.

Отв. х₁ = 4, х₂= 11.

Замечание. При возведении уравнений в квадрат учащиеся нередко в уравнениях типа (*) производят перемножение подкоренных выражений, т. е. вместо уравнения • = 12, пишут уравнение = 12. Это не приводит к ошибкам, поскольку уравнения являются следствиями уравнений. Следует, однако, иметь в виду, что в общем случае такое перемножение подкоренных выражений дает неравносильные уравнения.

В рассмотренных выше примерах можно было сначала перенести один из радикалов в правую часть уравнения. Тогда в левой части уравнения останется один радикал и после возведения обеих частей уравнения в квадрат в левой части уравнения получится рациональная функция. Такой прием (уединение радикала) довольно часто применяется при решении иррациональных уравнений.

Пример 6. Решить уравнение - = 3.

Решение.

Уединив первый радикал, получаем уравнение
= + 3, равносильное исходному.

Возводя обе части этого уравнения в квадрат, получаем уравнение

x² + 5x + 2 = x² - 3x + 3 + 6, равносильное уравнению

4x - 5 = 3 (*). Это уравнение является следствием исходного уравнения. Возводя обе части уравнения в квадрат, приходим к уравнению
16x² - 40x + 25 = 9(x² - Зх + 3), или

7x² - 13x - 2 = 0.

Это уравнение является следствием уравнения (*) (а значит, и исходного уравнения) и имеет корни. Первый корень x₁ = 2 удовлетворяет исходному уравнению, а второй x₂ = - не удовлетворяет.

Ответ: x = 2.

Заметим, что если бы мы сразу, не уединив один из радикалов, возводили обе части исходного уравнения в квадрат нам бы пришлось выполнить довольно громозкие преобразования.

При решении иррациональных уравнений, кроме уединения радикалов используют и другие методы. Рассмотрим пример использования метода замены неизвестного (метод введения вспомогательной переменной).

Пример 7. Решить уравнение 2x² - 6x + + 2 = 0.

Решение.

Введем вспомогательную переменную. Пусть y = , где y 0, тогда получим уравнение 2y² + y - 10 = 0;
y₁ = 2; y₂ = - . Второй корень не удовлетворяет условию y 0.
Возвращаемся к x:
= 2;
x² - 3x + 6 = 4;
x² -3x + 2 = 0;
x₁ = 1; x₂ = 2. Проверкой устанавливаем, что оба корня являются корнями иисходного уравнения.
Ответ: x₁ = 1; x₂ = 2.

Пример 8. Решить уравнение + =

Решение.

Положим = t, Тогда уравнение примет вид t + = откуда получаем следствие: 2t² - 5t + 2 = 0 Решая это квадратное уравнение, находим два корня: t₁ = 2 t₂ = . Задача сводится теперь к решению следующих двух уравнений:

= 2, (*) = (**)

Возводя обе части уравнения (*) в куб, получаем 12 - 2x = 8x - 8; x₁ = 2.

Аналогично, решив (**), находим x₂ = .

Оба найденных корня удовлетворяют исходному уравнению, так как в процессе решения мы использовали (кроме замены неизвестного) только преобразование вида [f(x) = g(x)] [fⁿ(x) = gⁿ(x)], а при таком преобразовании, как было отмечено выше, получается равносильное уравнение.

Ответ: х₁ = 2, x₂ = .

Приложение 1.

Примеры решения иррациональныхуравнений:

№417 -420(б) «Алгебра и начала анализа 10 - 11 кл.» под редакцией Колмогорова А.Н.

№417(б)

О.Д.З.

=8

=36

Ответ:

418(б)

О.Д.З.

не удовл.

Ответ:

№419(б)

Проверка:

-истинно

Ответ:

№420(б)

О.Д.З.

=0

Ответ:

Приложение 2

Варианты самостоятельной работы.

Вариант 1

Ответы

Решить уравнения:

А). №417(а)

Б). №418(а)

В). №419(а)

Г). №420(а)

А).

Б). не удовл.

В).

Г).

Вариант 2

Ответы

Решить уравнения:

А). №417(в)

Б). №418(в)

В). №419(в)

Г). №420(в)

А).

Б). не удовл.

В).

Г).

Вариант 3

Ответы

Решить уравнения:

А). №417(г)

Б). №418(г)

В). №419(г)

Г). №420(г)

А).

Б). не удовл.

В).

Г).

Критерий оценок: «5» - 4 примера решены правильно,

«4» - 3 примера решены правильно,

«3» - 2примера решены правильно,

«2» - 1(0) примеров решены правильно.

Приложение 3

Домашнее задание

1. «Алгебра и начала анализа 10 - 11 кл.» под редакцией Колмогорова А.Н.

Москва «Просвещение» - 2000 г.

п.33 Иррациональные уравнения, стр 206

Упражнения №422(а, б). стр.209

Литература.

Для преподавателей:

1. «Алгебра и начала анализа 10 - 11 кл.»

под редакцией Колмогорова А.Н.

Москва «Просвещение» - 2000 г.

2. «Математика. Контрольные и проверочные работы 10-11 кл.» Н.В. Богомолов

АСТ «Астрель» Москва 2002 г.

3. « Сборник вопросов и задач по математике для поступающих в техникумы»

Л.А.Кондратьева, В.С.Соломонник . Москва «Высшая школа» 1983 г.

4. «Математика», пособие для поступающих в техникумы. В.А.Гусев.

Москва «Высшая школа» 1983 г.

Для студентов:

- основная

1. «Алгебра и начала анализа 10 - 11 кл.»

под редакцией Колмогорова А.Н.

Москва «Просвещение» - 2000 г.

- дополнительная

2. «Математика», пособие для поступающих в техникумы. В.А.Гусев.

Москва «Высшая школа» 1983 г.

Оглавление:

1. Пояснительная записка 2

2. Обоснование темы занятия 3

3. Компетенции и их оценка 4

4. Межпредметные связи 5

5. Внутрипредметные связи 5

6. Теоретическая часть 6

7. Примеры решения иррациональных

уравнений (приложение 1) 10

8. Варианты самостоятельной работы (приложение 2) 11

9. Домашнее задание (приложение3) 11

10. Литература 12

13