Серия фрагментов уроков

Не секрет, что геометрия для учеников является очень сложным и непонятным предметом, который требует пространственного, логического мышления. Чтобы как-то заинтересовать и удивить школьников, всегда хочется внести какую-нибудь изюминку, чтобы урок математики (геометрии) не пугал школьников, а наоборот вызывал огромный интерес, поэтому моей идеей было внести в урок геометрии (вначале или в конце, а может и в момент закрепления знания по новой изученной теме) математические головоломки, как в младших так и в старших класс. Поэтому я предлагаю серию фрагментов уроков с использование математических головоломок в различных классах.

Серия фрагментов уроков с использованием математических головоломок.

1. Урок по теме «площадь многоугольника», обобщающий урок (8 класс)

Цель: введения понятий площадь многоугольника, квадрата, прямоугольника, равносоставленных и равновеликих фигур. Отработка навыков вычисления площадей данных фигур.

На доске представлена фигура.

- Обратите внимание на рисунок, как вы думаете, каким образом можно определить площадь данной фигуры? (Разрезать данную фигуру на известные геометрические фигуры, найти сумму их площадей).

-Правильно, мы разрезаем представленную фигуру на различные геометрические фигуры, получаем треугольники, квадрат и параллелограмм. Но как мы вычислим площади этих фигур, если мы умеем вычислять только площадь квадрата и прямоугольника? (Необходимо попытаться собрать эти семь частей в квадрат).
- Да, действительно, необходимо собрать эти семь фигур в квадрат, называемый в древнем Китае «Доска Мудрости».

Учитель собирает семь геометрических фигур в квадрат.

- Мы только, что увидели, что и данная фигура, и квадрат составлены из одних и тех же геометрических фигур.

Такие фигуры называются равносоставленными.
А что вы можете сказать о площадях этих фигур? Да, площади равносоставленных фигур равны, а фигуры, имеющие равные площади называются равновеликими.

Вывод: Из всего вышесказанного можно сформулировать свойство площади: если фигура составлена из нескольких фигур, то её площадь равна сумме площадей этих фигур.

В качестве домашнего задания можно предложить задание на смекалку:

1)Перекроите два равных квадрата (см. рис.) в один квадрат, сделав при этом всего два разреза.

Ответ:

2) Перекроите фигуру, изображающую шлем, в квадрат.

Ответ:

2. Урок по теме «Прямоугольный параллелепипед» (5 класс), (по учебнику И. Ф. Шарыгин, Л.Н. Ерганжиева 5-6 класс Наглядная геометрия).

Данная тема «Прямоугольный параллелепипед» рассматривается также в учебниках, предусмотренных школьной программы: И.И. Зубарев, А.Г. Мордкович «Математика 5», Н.Я. Виленкин, В.И.Жохов, А.С.Чесноков, С.И. Шварцбурд «Математика 5», но в качестве дополнительного материала учитель может использовать учебники и других авторов в качестве дополнительного материала.

Цель: дать представление о прямоугольном параллелепипеде, дать понятия грань, ребра, вершины параллелепипеда; развивать пространственные навыки, логическое мышление, наблюдательность, развивать умение обобщать, конкретизировать; развитие геометрического зрения.

Данные задания предлагаются для закрепления изученного материала.

- Обратите внимание на картинку и определите, один и тот же объект изображен на рисунке а - ж? Постарайтесь объяснить, что значит ОДИНАКОВЫЕ (равные) объекты, а что значит РАЗНЫЕ. И посчитайте количество параллелепипедов на рисунке под буквами б) и ж).

(В пунктах в, д, е - один и тот же объект; а, б, г, ж - разные; 4 параллелепипеда, 3 - параллелепипеда).

- В данном задание необходимо указать число изображенных на рисунке фигур, определенного вида (в задаче будет указано какого именно), которые будут являться частью другой фигуры. А теперь конкретно перейдем к задаче, здесь необходимо быть внимательнее.

Задача №2: На рисунке изображен куб, сложенный из восьми одинаковых кубиков. Рассмотрите рисунок. Сколько всего прямоугольных параллелепипедов на нем изображено?

Решение: Сосчитать большие параллелепипеды и заметить, что каждый из них содержит два маленьких параллелепипеда. Значит, всего получится 6+6*2=18 параллелепипедов.

Задача №2. Разделить данную фигуру на три параллелепипеда. Найдите несколько решений.

3. Урок по теме «Объем параллелепипеда» (5 класс), (учебник по математике 5 класс под редакцией Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина).

Цель: введения понятия объема параллелепипеда. Отработка навыков вычисления объема данной фигуры; развитие «геометрического зрения».

Задание№1:

1. Сложите параллелепипед из одинаковых кубиков, выложив в длину 3 кубика, в ширину 2 кубика, в высоту 2 кубика. Подсчитайте число затраченных кубиков. А сколько кубиков потребуется, если в длину выложить 5 кубиков, в ширину 3 кубика, в высоту 2 кубика?

2. Ребро кубика приняли за единицу длины. В каком случае потребуется больше таких кубиков, чтобы сложить из них куб с ребром, равным 3 ед. длины, или параллелепипед с ребрами, равными 3, 4, и 1 ед. длины?

3. Коробку начали заполнять кубиками, как показано на рисунке. Сколько кубиков войдет в коробку?

4. В какую коробку войдет больше кубиков с ребром 1 см: с размерами 4 см, 3см и 2 см или с размерами 2 см, 2 см и 5 см?
   
   
   

Задание№2: Ученик из маленьких кубиков составляет большие кубы. Сколько ему нужно добавить кубиков к каждой из фигур, изображенных на рисунке 7,8,9.

Схема рассуждений и ход решения:

Мысленно представим большой куб и посчитаем маленькие кубики, составляющие каждый его слой.

На рисунке 7 в первом слое 4 кубика, во втором слое их тоже должно быть 4, а изображено 3, значит, не хватает одного кубика.

На рисунке 8 изображены три слоя кубиков: в первом слое 9 кубиков, во втором - 7, значит, не хватает двух кубиков, в третьем слое 5 кубиков, значит, не хватает четырех, Итак, всего не хватает 2+4=6 кубиков.

На рисунке 9 изображены четыре слоя кубиков: в первом слое 16 кубиков, во втором - 12, не хватает четырех кубиков, в третьем слое - 10 , не хватает шести кубиков, в четвертом слое 8 кубиков, не хватает восьми кубиков. Значит, всего не хватает 4+6+8=18 кубиков.

Ответ: 1 кубик; 6 кубиков; 18 кубиков.

4. Урок по теме «Понятие объема. Объем прямоугольного параллелепипеда»

( 11 класс).

Цель: введения понятия объема параллелепипеда, объема прямоугольного параллелепипеда. Отработка навыков вычисления объема данной фигуры; развитие пространственного воображения.

В конце урока можно предложить учениками составить фигуры, имеющие максимальный объем. Для этого, предлагается рисунок с фигурами, сначала необходимо посчитать объемы каждой фигуры и выбрать с наибольшим объемом и построить.

Решение:

Фигура три имеет габариты 9×11×2 и занимает объем 9×11×2= 198 , фигура четыре имеет габариты 11×10×2 и объем 11×10×2=220 . Фигура пять имеет габариты 8×9×6 и занимает объем 8×9×6= 432 , фигура шесть имеет габариты 11×7×6 и объем 11×7×6= 462. Соответственно строим фигуру под номером 6.

5. Урок по теме «Задачи на построение» ( 7 класс).

Цель: Отработка навыков построения циркулем и линейкой, совершенствование навыков оформления задач по геометрии, развивать алгоритмическое, логическое, творческое мышление средствами геометрии.

Данное задание можно предложить для закрепления изученной темы «Задачи на построение», в данном построении закрепляются все изученные ранее элементарные построения циркулем и линейкой, а также, уже готовое построенное «колумбово яйцо» учащиеся могут использовать для игры в составлении различных силуэтов, предложенных учителем, а это в свою очередь развивает творческое и логическое мышление учащихся.

Интересным вариантом "Китайских головоломок" является "Колумбово яйцо". В ней надо складывать силуэтные изображения из частей головоломки. В этой головоломке за основу взят овал. Из частей этой головоломки можно составить много характерных силуэтов различных животных, фигур.

Опишем построение «Колумбово яйца».

1. Построим перпендикулярные прямые m и n.

2. Отложим на прямых m и n отрезки равные 1 и отметить точки А и В, соединим их.

3. Проведем окружность с центром из точки О радиусом АВ+ОВ.(На этом моменте у учащихся можно спросить: чему равен отрезок АВ). Т. е. по теореме Пифагора АВ=, следовательно, радиус R₁=. Пересечение окружности с прямой n получим точки: О₁ и Е, а с прямой m точки: С и D.

4. Проведем прямые l и l₁ через точки C и O_{1 ,} D и O₁.

5. Из точки O₁ на прямых l и l₁ отложим отрезки, равные =АВ, получим точки N и M.

6. Проведем окружность из точки D и радиусом R₂ =ND_, проходящую через точки C и N.

7. Проведем окружность из точки C и радиусом R₂ =CM_, проходящую через точки D и M.

8. Из точки O₁ проведем окружность радиусом R₃= O₁N= O₁M= через точки N и M.

9. На отрезке OD отложим отрезок OF, равный ОА и соединим точки F и B.

10. Искомое « колумбово яйцо» построено.

Домашним заданием будет следующее:

1) Найдите радиус R₂ «колумбова яйца», если известно, что OB=OA=1, AC=AB=BE= .

2) Попробуйте посоставлять из частей «колумбова яйца» предложенные фигуры.

1)Решение:

1) Рассмотрим прямоугольный треугольник OO ₁D , в нем OO ₁ = OD, так как радиусы R окружности. Найдем сторону O ₁D по теореме Пифагора

, OO ₁= OD=ОЕ=ОВ+ВЕ=1+ (ВЕ=АВ)

2) R₂ =DN=NO₁+O₁D , NO₁ =

R₂ = + =4,8