- Преподавателю
- Математика
- Олмпиада по математике (школьный уровень)
Олмпиада по математике (школьный уровень)
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Другие методич. материалы |
Автор | Афанасьева О.А. |
Дата | 12.02.2015 |
Формат | doc |
Изображения | Есть |
Школьный этап олимпиады по математике
2013/2014 учебный год
7 класс
-
На листе бумаги написаны двадцать чисел 1,1 и двадцать чисел 1,11. Зачеркните несколько чисел так, чтобы сумма оставшихся была равна 19,93.
-
Из фигурок вида сложите квадрат.
-
К новогоднему празднику школа покупает каждому ученику по шоколадке. Известно, что если покупать шоколад в упаковках по 20 шоколадок в каждой, то понадобится на 5 упаковок больше, чем упаковок по 24 шоколадки. Сколько учеников в школе?
-
Определите, чему равен угол между часовой и минутной стрелками часов в 23 часа 45 минут.
-
В некотором месяце понедельников больше, чем вторников, а воскресений больше, чем суббот. Какой день недели был пятого числа этого месяца? Мог ли этот месяц быть декабрем?
8 класс
-
Расставьте скобки в левой части выражения 2:3:4:5:6=5 так, чтобы получилось верное равенство.
-
Дана пропорция .
а) Докажите, что верна пропорция .
б) Верно ли, что также верна и пропорция ?
-
На диагонали BD квадрата ABCD взяты точки E и F так, что прямая AE пересекает сторону BC в точке M, прямая AF пересекает сторону CD в точке N и CM=CN. Найдите длину диагонали квадрата, если BE=3, EF=4.
-
В два коммерческих киоска по одинаковой цене поступил товар. Через неделю в первом киоске все цены были снижены на 10%, а еще через неделю - подняты на 20%. Во втором киоске через две недели цены были увеличены на 10%. В каком киоске через две недели после поступления товара цены ниже?
-
Можно ли записать натуральные числа от 1 до 16 в строку так, чтобы сумма любых четырех подряд идущих чисел делилась на 3?
9 класс
-
Проходят ли прямые , и через одну точку?
-
Решите уравнение .
-
Высоты АА1 и СС1 остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке О. Докажите, что если ОА=ОС, то треугольник АВС - равнобедренный.
-
У некоторого трехзначного числа переставили две последние цифры и сложили полученное число с исходным. Получилось четырехзначное число, начинающееся на 173. Какой может быть последняя цифра этого числа?
-
В некотором месяце три воскресенья выпали на четные числа. Какой день недели был пятого числа этого месяца?
10 класс
1. Докажите, что для любого числа х справедливо неравенство .
2. Высота АА1 и СС1 остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке О. Докажите, что если ОА1=ОС1, то треугольник АВС - равнобедренный.
3. Каких натуральных чисел от 1 до 1000000 больше: делящихся на 11, но не делящихся на 13, или делящихся на 13, но не делящихся на 11?
4. На листе клетчатой бумаги нарисован треугольник с вершинами в узлах сетки. Как с помощью одной линейки построить точку пересечения медиан этого треугольника?
5. Квадрат со стороной 1993 разделен прямыми, параллельными его сторонам, на единичные квадратики. Первоначально в левом нижнем квадратике стоит фишка. Двое школьников играют в такую игру. Ходят по очереди. За ход разрешается передвинуть фишку на любое количество квадратиков вверх или вправо. Школьник, который не может сделать ход, проигрывает. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его партнер?
11 класс
1. Изобразите на координатной плоскости множество всех точек L (х; у), координаты которых удовлетворяют уравнению .
2. Параллелограмм двумя парами прямых, параллельных его сторонам, разбит на девять параллелограммов (см. рисунок). Найдите площадь, четырехугольника ABCD, если площадь исходного параллелограмма равна S1, а площадь центрального (закрашенного) параллелограмма равна S2.
3. Сумма цифр натурального числа А равна сумме цифр числа 3А. Докажите, что: а) А делится на 3; б) А делится на 9; в) Верно ли, что А обязательно делится на 27?
4. Положительное число х таково, что . Докажите, что число - целое, и вычислите его.
5. Прямоугольник размера 19×93 (большая сторона горизонтальна) разделен прямыми, параллельными его сторонам, на единичные квадратики. Первоначально в левом нижнем квадратике стоит фишка. Двое школьников играют в такую игру. Ходят по очереди. За ход разрешается передвинуть фишку на любое количество квадратиков вверх или вправо. Школьник, который не может сделать ход, проигрывает. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его партнер?
Решение задач.
7 класс
1. Ответ: Нужно зачеркнуть 15 чисел 1,1 и 7 чисел 1,11.
2
. Из двух фигурок модно сложить прямоугольник 2х5, а их 10 таких прямоугольников - квадрат 10х10.
3. Ответ. 600.
4. Ответ. 82,5°.
Угол между минутной стрелкой и «12» равен 90°, а между часовой и «12», равен четверти от угла между «11» и «12», то есть равен .
5. Ответ. Четверг. Не мог.
За четыре недели с 1 по 28-ое число каждый день недели встречается ровно по 4 раза, поэтому из условия следует, что 29-ое - воскресенье, 30-е - понедельник, а 31 числа в месяце нет.
8 класс
1. Ответ. (2 : 3) : ((4 : 5) : 6) = 5.
2. а) По условию ad = bс, но тогда и a(b + d) = b(а + с);
б) Нет. Если ,то (например, , но ).
3. Ответ. АС = BD = 10.
Из условия следует равенство треугольников АВМ и ADN (ВМ =DN, АВ = AD, ABM =
= ADN), откуда BAE = DAF. Кроме того, АВ = AD и ABE = ADF (см. рис.). Поэтому треугольники ABE и ADF равны, и, значит, DF = ВЕ = 3.
4. Ответ. В первом киоске.
Если х - начальная цена товара, то его конечная цена в первом киоске - , а во втором - .
5. Ответ. Нельзя.
Разобьем записанные числа на четверки: первое - четвертое, пятое - восьмое, девятое - двенадцатое, тринадцатое - шестнадцатое. Если бы числа можно было бы записать так, как требуется в условии, то сумма чисел в каждой четверке делилась бы на три и, следовательно, сумма всех чисел делилась бы на три. Но сумма 1 + 2 + 3 + ... + 16 = 136 - не делится на три.
9 класс
1. Ответ. Да.
Прямые проходят через точку .
2. Ответ. Уравнение не имеет решений (при х = 2 знаменатель дроби обращается в нуль).
3. ∆AOC1 = ∆COA1 (по гипотенузе и острому углу), следовательно, ОС1 = ОА1 (см. рис.). Поэтому АА1 = СС1 и, следовательно, ∆ABA1 = ∆CBC1 (по катету и острому углу).
Откуда АВ = ВС.
4. Ответ. 2.
Пусть исходное число - , а последняя цифра суммы равна х. Тогда из условия
следует, что а = 8. Поэтому (800+10b+с)+ (800+10с + b) = 1730+х, то есть 11(b + с) = 130+х.
Откуда следует, что х = 2 (из чисел от 130 до 139 только 132 делится на 11).
5. Ответ. Среда.
В четырех неделях с 1 по 28 - четыре воскресенья, ровно два из которых выпадают на четные числа. Поэтому еще одно воскресенье должно выпадать на 30-е число.
10 класс
1. Неравенство равносильно очевидному: 4х2 + 2 > 0.
2. Решение аналогично задаче 9 класса №3.
3. Ответ. Чисел, делящихся на 11, но не делящихся на 13, среди чисел от 1 до 1000000 больше, чем чисел, делящихся на 13, но не делящихся на 11.
Действительно, пусть количество этих чисел равны А и В соответственно, а количество чисел от 1 до 1000000, кратных и 11, и 13, равно С. Тогда А + С - количество чисел, делящихся на 11, а В + С - делящихся на 13. Ясно, что А + С > В + С. Поэтому А > В.
4. Пусть А, В и С - вершины данного треугольника. Найдем узлы А1 и В1 такие, что четырехугольники АВА1С и ВСВ1А - параллелограммы. Искомая точка есть пересечение прямых АА1 и BB1.
5. Ответ. Выигрывает второй школьник.
Его стратегия такова: в ответ на любой ход начинающего он ставит фишку на клетку, расположенную на диагонали, идущей из левого нижнего угла квадрата в правый верхний.
11 класс
1. Ответ. Прямые, заданные уравнениями у = х и у = -х-1, с выколотыми точками с координатами (0;0), (0; -1), (-1;0), ( -1; -1) (см. рис.)
2. Ответ.
Четырехугольник ABCD складывается из закрашенного параллелограмма и половинок параллелограммов, составляющих рамку.
3. а), б) Пусть сумма цифр числа А равна S. Но так как 3А делится на 3, то S делится на 3, тогда и А делится на 3. Отсюда следует, что 3А делится на 9 и S также делится на 9, то есть А делится на 9.
в) Ответ. Не обязательно, можно взять, например, А = 9.
4. Ответ. 123.
Из равенства следует, что . Отсюда , значит, . Далее получаем: .
5. Ответ. Выигрывает начинающий.
Его выигрышная стратегия такова. Проведем диагональ из клеток, начиная с верхней правой (см. рис.). Начинающий первым ходом ставит фишку на указанную диагональ, а затем в ответ на каждый ход противника возвращает фишку на эту диагональ.