Предел функции в точке, свойства. Бесконечно большие и бесконечно малые функции. Непрерывность функции

Урок №70 СДО

Конспект занятия.

ТЕМА. Предел функции в точке, свойства. Бесконечно большие и бесконечно малые функции. Непрерывность функции.

Цель: Формирование математических компетенций студентов посредством возможностей информационно-коммуникационной среды.

Задачи:

Образовательная: в ходе изучения данной темы студент должен:

знать: определение предела функции в точке; свойства предела функции в точке; определение непрерывности функции в точке; свойства непрерывных функций;

уметь: вычислять несложные пределы функций в точке и на бесконечности.

Воспитательная: прививать интерес к математике на основе исторического материала, формировать умение работать в группе, нести ответственность за результат выполнения заданий.

Развивающая: развивать логическое мышление, внимание, умение видеть проблему, находить пути её решения, переносить знания на новую ситуацию.

Тип урока: изучение нового материала.

Формы и методы: словесный, наглядный, фронтальная работа, самостоятельная групповая работа студентов.

Обеспечение: учебники: А. Дадаян «Математика» §5.11,§5.12,

Н.Богомолов «Математика» §42,

Время: 90 минут.

Структура занятия.

1. Организационный момент. Постановка цели и задач урока. Мотивация.

2. Актуализация знаний.

3. Изучение нового материала.

4. Решение типовых задач.

5. Самостоятельная работа студентов в группах.

6. Домашнее задание.

7. Рефлексия. Итоги занятия.

Ход занятия.

Постановка цели и задач урока:

Изучить определение и свойства предела функции в точке;

определение непрерывности функции в точке;

свойства непрерывных функций;

научиться вычислять несложные пределы функций в точке и на бесконечности

Мотивация. Продолжительность работы-2 минуты

Одновременно с развитием понятия функции развивалось и понятие предела функции. Первоначально ввести понятие предела функции пытался И.Ньютон, но только в 19 веке в работах А. Вейерштрасса, Б. Больцано, О. Коши сложились определение и обозначения пределов функции, используемые и в настоящее время. Понятие предел функции в точке лежит в основе понятия производной.

Понятие непрерывности играет важную роль, т.к. многие физические процессы характеризуются тем, что плавное изменение физических величин сменяется скачкообразным. Т.е. количественные изменения переходят в качественные.

Это один из основных законов диалектики.

2. Актуализация знаний. Продолжительность работы-3 минуты

Задание. 1) сформулировать определение функции

2) найти область определения функции

а) f(x) = x²+x-1; б) f(x) =; с)f(x) =_.

1. Изучение нового материала ( сопровождается демонстрацией слайдов). Продолжительность работы-15 минут

3.1.Определение предела функции в точке.

Сформулируем определение предела функции в точке.

Определение. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки а, кроме, может быть, самой точки а.

Число В называется пределом функции в точке а (или при ), если для любой последовательности значений аргумента , последовательность соответствующих значений функции, сходится к числу В.

Это же определение предела функции в точке часто рассматривают в другой формулировке:

Определение. Постоянная В называется пределом функции при (или в точке а), если для любого числа существует такое число , что при всех х, удовлетворяющих условию:

,

выполняется неравенство: .

Понятие предела возникает при определенном типе движения «по графику функции» - когда аргумент приближается к а, значение функции приближается к В.

Оба определения эквивалентны.

В этом случае пишут:

3.2.Свойства пределов функций

Основные свойства пределов функций:

1. Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) их пределов, если последние существуют:

2. Предел произведения функций равен произведению их пределов, если последние существуют:

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела: , если предел существует.

3. Предел отношения двух функций равен отношению их пределов, если последние существуют и предел делителя отличен от нуля:

, если .

Пример. Вычислить пределы:1. , 2. , 3.

Решение.1. ;

2. Поскольку предел знаменателя равен 0, то воспользоваться теоремой о пределе частного невозможно. Поэтому первоначально сократим дробь, разложив числитель и знаменатель на множители:

3.

Ответ: 1)11; 2) -1; 3) 2

3.3 Изучение нового материала. Продолжительность работы-25 минут.

Цель. Проработать информацию, вычленить существенное, главное.

Составить опорный конспект и представить его.

Задание 1 группе. Изучить §42(Н.В. Богомолов) Бесконечно большие функции. Определение, свойства. Оформить опорный конспект , сделать презентацию.

Задание 2 группе . Изучить §42 (Н.В. Богомолов) Бесконечно малые функции. Определение, свойства. Оформить опорный конспект сделать презентацию.

Задание 3 группе. Изучить § 42 (Н.В. Богомолов) Связь между бесконечно малой и бесконечно большой функциями. Оформить опорный конспект сделать презентацию.

Задание 4 группе. Изучить §5.14(А.А.Дадаян, §44 Н.В. Богомолов) Непрерывность функции в точке, на интервале. Определение, свойства, примеры. Оформить опорный конспект, сделать презентацию.

3.4 Решение типовых примеров. (Устно). Слайды

Цель: разобрать решение типовых задач. Продолжительность работы-12 минут.

ПРАВИЛО 1. Чтобы раскрыть неопределенность вида , надо числитель и знаменатель дроби разложить на множители с последующим сокращением.

ПРИМЕР 1.Вычислить:

Решение. .(проблема!)

1) 2х²+х-10=0 2) х²+х-6=0

D=b²-4ac D=1-4∙(-6)=25

D=1-4∙2(-10)=81

x²+x-6=(x-2)(x+3)

2x²+x-10=2(x-2)(x+)=(x-2)(2x+5)

Заметим, что х 2, но не равен 2, следовательно, множитель, на который сокращаем (х-2), отличен от нуля при х2

ПРАВИЛО 2: Чтобы раскрыть неопределенность вида , надо числитель и знаменатель дроби разделить на старшую степень неизвестного.

ПРИМЕР 2.

Решение:

5. Решение примеров. Самостоятельная работа

Цель: решение примеров, первичное закрепление.

Задание выдается на карточках. Продолжительность работы-15 минут

Найти пределы:

1. (x⁴-3x²+16x+1)

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

Ответить на вопросы. (Устно)

1. Определение функции.

2. Определение предела функции в точке.

3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Связь между ними.

4. Правила раскрытия неопределенностей вида ;.

Решив примеры, группы обмениваются решениями и проверяют их, оценивая.

Затем группам по очереди задаются вопросы преподавателем.

6. Домашнее задание. Вычислить пределы функций. (Инструктаж- 2мин.)

1) 1) 3) 3) 1

2) 2) 5

А. Дадаян «Математика» §5.11,§5.12,

Н.Богомолов «Математика» §42