Задания для проведения олимпиады в 5-9 классах

Математика 2014-2015 учебный год

5 класс

Задача 1: Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 2,4,6,8, если цифры в записи числа не повторяются?

Задача 2: Сегодня Сереже исполнилось 10 лет, а Вове - 1 год. Каков будет возраст Сережи, когда он станет втрое старше Вовы?

Задача 3: Составьте из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 магический квадрат, то есть разместите их в таблице 3 × 3 так, чтобы суммы чисел по строкам, столбцам и двум диагоналям были одинаковы.

Задача 4: Девочка заменила каждую букву в своем имени ее номером в русском алфавите и получила число 2011533. Как ее зовут? Имеет ли задача однозначный ответ? Почему?

Задача 5: Школьники посадили вдоль дороги (по прямой) 25 деревьев. Расстояние между двумя любыми соседними деревьями одинаковое. Найдите это расстояние, если между крайними деревьями 600 дм.

6 класс

Задача 1: В правление фирмы входят 9 человек. Из своего состава правление должно выбрать президента и вице-президента. Сколькими способами это можно сделать?

Задача 2: Найдите пропущенное число:

13

60

17

16

14

26

20

14

19

31

Задача 3: Петя говорит: позавчера мне еще было 10 лет, а в следующем году мне исполнится 13. Может ли такое быть?

Задача 4: В портовом городе начинаются три туристских теплоходных рейса, первый из которых длится 15 суток, второй - 20 суток и третий - 12 суток. Вернувшись в порт, теплоходы в этот день снова отправляются в рейс. Сегодня из порта вышли теплоходы по всем маршрутам. Через сколько суток они впервые снова вместе уйдут в плавание?

Задача 5: Немецкого учёного Карла Гаусса называли королём математиков. Однажды в школе (Гауссу тогда было 10 лет) учитель предложил классу сложить все числа от 1до 100. пока он диктовал задание, у Гаусса уже был готов ответ. Попробуйте догадаться, как Карл Гаусс складывал числа от 1 до 100 и запишите результат вычислений.

7 класс

Задача 1: Составьте числовое выражение, значение которого равно 100, используя цифры 1,2,3,4,5 и не меняя порядок их следования

Задача 2: На двух кустах сидело 25 воробьев. После того как с первого куста перелетело на второй 5, а со второго улетело 7 воробьев, то на первом кусте осталось вдвое больше воробьев, чем на втором. Сколько воробьев было на каждом кусте первоначально?

Задача 3: Из 35 учащихся класса 22 выписывают журнал, 27 - газету, а 3 ученика не выписывают ни газету, ни журнал. Сколько учащихся выписывают и газету, и журнал?

Задача 4: Дана точка М(1,5). Найдите координаты точек L и N таких, что МN= =2МL, если NL=10,5. сколько решений имеет задача?

Задача 5: Сколько нечётных четырёхзначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,3,4?

8 класс

1. Расставьте скобки и знаки арифметических действий так, чтобы получилось правильное равенство:

2. Петя тратит 1/3 своего времени на игру в футбол, 1/5 - на учебу в школе, 1/6 - на просмотр кинофильмов, 1/7 - на решение олимпиадных задач, и 1/3 - на сон. Можно ли так жить?

3. У колхозника было несколько одинакового веса поросят и несколько ягнят также одинакового веса. Пионер спросил колхозника, сколько весит один поросенок и один ягненок. Колхозник ответил, что 3 поросенка и 2 ягненка весят 22 кг, а 2 поросенка и 3 ягненка весят 23 кг. Как узнать, сколько весит один поросенок и сколько весит один ягненок?

4. Один из углов треугольника на 120° больше другого. Докажите, что биссектриса треугольника, проведённая из вершины третьего угла, вдвое длиннее, чем высота, проведенная из той же вершины.

5. У подводного царя служат осьминоги с шестью, семью или восемью ногами. Те, у кого 7 ног, всегда лгут, а у кого 6 или 8 ног, всегда говорят правду. Встретились четыре осьминога. Синий сказал: "Вместе у нас 28 ног", зеленый: "Вместе у нас 27 ног", желтый: "Вместе у нас 26 ног", красный: "Вместе у нас 25 ног". У кого сколько ног?

9 класс

1. Решить уравнение ( х ² + 6 х - 4)( х ² + 6 х - 3) = 12

2. В плоскости расположено 11 зубчатых колёс таким образом, что первое колесо сцеплено своими зубцами со вторым, второе - с третьим и т.д. Наконец, последнее, одиннадцатое, колесо сцеплено с первым. Могут ли вращаться колёса такой системы?
3. В треугольнике АВС медиана ВМ в два раза меньше стороны АВ и образует с ней угол 40^o . Найдите угол АВС .

4. Какое наибольшее число белых и черных фишек можно расставить на шахматной доске так, чтобы на любой горизонтали и на любой вертикали белых фишек было ровно в два раза больше, чем черных?

5. Три друга сделали по одному заявлению про целое число х. Петя: «Число х больше 4, но меньше 8». Вася: «Число х больше 6, но меньше 9». Толя: «Число х больше 5, но меньше 8». Найдите число х, если известно, что двое из друзей сказали правду, а третий солгал. Нужно не только проверить, что найденное число годится, но и объяснить, почему другие варианты ответа невозможны.

Решение

5 класс

Задача: Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 2.4,6,8, если цифры в записи числа не повторяются?

Решение: стр. 39 учебника, 4*3*2= 24 трехзначных числа

Задача : Сегодня Сереже исполнилось 10 лет, а Вове - 1 год. Каков будет возраст Сережи, когда он станет втрое старше Вовы?

Решение: Серёже-15, Вове 5 через 5 лет

Задача: Составьте из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 магический квадрат, то есть разместите их в таблице 3 × 3 так, чтобы суммы чисел по строкам, столбцам и двум диагоналям были одинаковы.

Решение:

Задача: Девочка заменила каждую букву в своем имени ее номером в русском алфавите и получила число 2011533. Как ее зовут? Имеет ли задача однозначный ответ? Почему?

Решение: Таня, зависит от того, как читать числа

Задача: Школьники посадили вдоль дороги (по прямой) 25 деревьев. Расстояние между двумя любыми соседними деревьями одинаковое. Найдите это расстояние, если между крайними деревьями 600 дм.

Решение: 600:24 = 25 дм - расстояние между двумя любыми соседними деревьями.

6 класс

Задача: В правление фирмы входят 9 человек. Из своего состава правление должно выбрать президента и вице-президента. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: Президентом фирмы можно избрать одного из 9 человек, и для каждого выбранного президента 8 способами можно выбрать вице- президента.Значит: 9х8=72 способа

Задача: Найдите пропущенное число:

Решение: 60- удвоенная сумма крайних чисел; 20- полусумма крайних чисел

Задача: Петя говорит: позавчера мне еще было 10 лет, а в следующем году мне исполнится 13. Может ли такое быть?

Решение: Да, может, если день рождения Пети - 31 декабря, а указанную фразу он произносит 1 января.

Задача : В портовом городе начинаются три туристских теплоходных рейса, первый из которых длится 15 суток, второй - 20 суток и третий - 12 суток. Вернувшись в порт, теплоходы в этот день снова отправляются в рейс. Сегодня из порта вышли теплоходы по всем маршрутам. Через сколько суток они впервые снова вместе уйдут в плавание?

Решение: НОК=60 суток

Задача : Немецкого учёного Карла Гаусса называли королём математиков. Однажды в школе (Гауссу тогда было 10 лет) учитель предложил классу сложить все числа от 1до 100. пока он диктовал задание, у Гаусса уже был готов ответ. Попробуйте догадаться, как Карл Гаусс складывал числа от 1 до 100.

Решение: (1+99) + (2+98) + (3+97) + … + 100 +50 =5050

7 класс

Задача : Составьте числовое выражение, значение которого равно 100, используя цифры 1,2,3,4,5 и не меняя порядок их следования

Решение: (1+23-4) х 5 =100

Задача : На двух кустах сидело 25 воробьев. После того как с первого куста перелетело на второй 5, а со второго улетело 7 воробьев, то на первом кусте осталось вдвое больше воробьев, чем на втором. Сколько воробьев было на каждом кусте первоначально?

Решение: Пусть x - количество воробьёв на первом кусте. Тогда x - 5 = 2 × (25 - (x - 5 + 7)). Решаем, и получаем, что x = 17.

Задача : Из 35 учащихся класса 22 выписывают журнал, 27 - газету, а 3 ученика не выписывают ни газету, ни журнал. Сколько учащихся выписывают и газету, и журнал?

Решение:

35-3=32 что-нибудь выписывают

32-22=10 только газету

32-27=5 только журнал

10+5 = 15 или газету или журнал

32-15=17 и газету и журнал

Задача : Дана точка М(1,5). Найдите координаты точек L и N таких, что М N =2МL, если NL=10,5. сколько решений имеет задача?

Решение: 4 решения в зависимости от того как расположены точки

Задача : Сколько нечётных четырёхзначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,3,4?

Решение: На первом месте в записи числа может стоять любая цифра, кроме нуля, - 4 варианта. На втором и третьем местах - любая из пяти цифр. Так кА число нечётное, то на последнем месте могут быть только цифры 1 или 3 - т.е. получаем ещё два варианта: 4 х5 х5х 2=200

8 класс

1.

2. Петя тратит 1/3 своего времени на игру в футбол, 1/5 - на учебу в школе, 1/6 - на просмотр кинофильмов, 1/7 - на решение олимпиадных задач, и 1/3 - на сон. Можно ли так жить?

Решение Поскольку 1/5 + 1/6 > 1/3, то сумма данных дробей 1/3 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/3 > 1, что противоречит здравому смыслу. Нет, так жить нельзя.

3. У колхозника было несколько одинакового веса поросят и несколько ягнят также одинакового веса. Пионер спросил колхозника, сколько весит один поросенок и один ягненок. Колхозник ответил, что 3 поросенка и 2 ягненка весят 22 кг, а 2 поросенка и 3 ягненка весят 23 кг. Как узнать, сколько весит один поросенок и сколько весит один ягненок?

Решение. Если сложить вес трех поросят и двух ягнят с весом двух поросят и трех ягнят, то получим вес пяти поросят и пяти ягнят, равный 45 кг. Значит, один поросенок и один ягненок весят 9 кг, а два поросенка и два ягненка весят 18 кг. Вычтя это из первого данного веса, получим вес поросенка, равный 4 кг. Тогда ягненок весит 5 кг.

4. Один из углов треугольника на 120° больше другого. Докажите, что биссектриса треугольника, проведённая из вершины третьего угла, вдвое длиннее, чем высота, проведенная из той же вершины.

Решение

Пусть ABC - данный треугольник, B = a, A = 120° + a. Тогда C = 60° - 2a. Если CL - биссектриса данного треугольника, то CLA = LCB + LBC = (30° - a) + a = 30°. Пусть CH - высота треугольника АВС, тогда в треугольнике CLH катет CH, лежащий против угла в 30°, в два раза меньше, чем гипотенуза CL.

5. Три друга сделали по одному заявлению про целое число х. Петя: «Число х больше 4, но меньше 8». Вася: «Число х больше 6, но меньше 9». Толя: «Число х больше 5, но меньше 8». Найдите число х, если известно, что двое из друзей сказали правду, а третий солгал. Нужно не только проверить, что найденное число годится, но и объяснить, почему другие варианты ответа невозможны.

Ответ: 6. Решение. Ясно, что число х должно быть больше 4, но меньше 9, иначе все солгали. Поэтому для числа х есть всего четыре возможности: 5, 6, 7, 8. Если х=5, то правду сказал только Петя. Если х=8, то правду сказал только Вася. Если х=7, то правду сказали все трое. И только при х=6 правду скажут двое: Петя и Толя.

9 класс

1. Решить уравнение ( х ² + 6 х - 4)( х ² + 6 х - 3) = 12

Решение. Раскрывать скобки не имеет смысла, так как получится уравнение четвертой степени. В таких случаях применяется метод подстановки, ведь в скобках присутствует одинаковый блок х ² + 6 х .

Обозначая х ² + 6 х = у , получим уравнение ( у - 4)( у - 3) = 12, отсюда у ( у - 7) = 0, у 1 = 0, у 2 = 7. Делаем обратную замену х ² + 6 х = у . Если х ² + 6 х = 0, то х 1 = 0, х 2 = - 6. Если х ² + 6 х = 7, то, решая квадратное уравнение х ² + 6 х - 7 = 0, получим х 1 = 0, х 2 = - 6, х 3 = -7, х 4 = 1 . Ответ: 0, -6, -7, 1

2. В плоскости расположено 11 зубчатых колёс таким образом, что первое колесо сцеплено своими зубцами со вторым, второе - с третьим и т.д. Наконец, последнее, одиннадцатое, колесо сцеплено с первым. Могут ли вращаться колёса такой системы?
Решение: нет. Соседние колёса должны вращаться в противоположных направлениях. Поэтому колёса с номерами 1 и 11 должны вращаться в одном направлении (все колёса с нечётными номерами вращаются в одном направлении, а с чётными - в противоположном). С другой стороны, колёса с номерами 1 и 11 соседние, поэтому они должны вращаться в противоположных направлениях.

3. В треугольнике АВС медиана ВМ в два раза меньше стороны АВ и образует с ней угол 40^o . Найдите угол АВС .

Решение Продлим медиану BM за точку M на ее длину и получим точку D (см. рис.). Так как AB = 2BM , то AB = BD , то есть треугольник ABD - равнобедренный. Следовательно, BAD = BDA = (180^o - 40^o) : 2 = 70^o .
Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, так как его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Значит, CBD = ADB = 70^o . Тогда ABC = ABD + CBD = 110^o . Ответ 110^o .

4. Какое наибольшее число белых и черных фишек можно расставить на шахматной доске так, чтобы на любой горизонтали и на любой вертикали белых фишек было ровно в два раза больше, чем черных?

Решение Число фишек на каждой вертикали кратно 3, значит, их не больше 6, а на всей доске - не более 48. Пример расстановки 48 фишек: 32 белые фишки ставим на белые поля, а 16 черных - вдоль главной "черной" диагонали и вдоль двух параллельных диагоналей "длины" 4.Ответ48 фишек.

5. У подводного царя служат осьминоги с шестью, семью или восемью ногами. Те, у кого 7 ног, всегда лгут, а у кого 6 или 8 ног, всегда говорят правду. Встретились четыре осьминога. Синий сказал: "Вместе у нас 28 ног", зеленый: "Вместе у нас 27 ног", желтый: "Вместе у нас 26 ног", красный: "Вместе у нас 25 ног". У кого сколько ног?

Решение Так как осьминоги противоречат друг другу, то возможны два случая: либо все осьминоги лгут, либо ровно один из них говорит правду. Если все осьминоги лгут, то у каждого из них по 7 ног. Значит, вместе у них 28 ног. Но тогда синий осьминог сказал правду - противоречие.
Если же три осьминога солгали, а четвёртый сказал правду, то у солгавших осьминогов должно быть по 7 ног, а у сказавшего правду - либо 6, либо 8. Поэтому вместе у них либо 27, либо 29 ног, то есть правду сказал зелёный осьминог. Таким образом, у зелёного осьминога 6 ног, а у остальных по 7 ног.